Distribuições bidimensionais

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Data: ….……..
Tópico: Distribuições bidimensionais
Objetivos: Construir o diagrama de dispersão de uma distribuição bidimensional. Identificar e interpretar
o sentido e a intensidade da correlação entre duas variáveis. Definir e representar a reta de regressão
que se ajusta aos pontos de uma distribuição bidimensional. Estimar um valor de uma variável
conhecido o valor da outra.
Comentários
Tema: Estatística
10.º Ano
Aula de 90 minutos
Os grupos são heterogéneos e
compostos por 3 elementos.
Formato de Ensino: Trabalho de grupo e discussão grupo/turma
Atividade Motivacional:
1. O queijo, proveniente do leite, é um alimento rico em cálcio. No entanto, é necessário não abusar,
já que, de um modo geral, é um alimento muito calórico e a maior parte das vezes rico em gordura. Na
tabela seguinte apresentam-se, para vários tipos de queijo, a quantidade de gordura e o número de
calorias, por cada 100 gramas de queijo:
Gordura ( xi )
Calorias ( yi )
Alimento (100g)
1.1. Representa num referencial
cartesiano o conjunto de pares Queijo Brie
20
263
23
313
ordenados (X,Y), em que X e Y Queijo Camembert
26
357
representam, respetivamente, a Queijo Ilha
Queijo
de
Azeitão
25
309
quantidade de gordura e o número
Queijo
de
Évora
34
412
de calorias. Da análise do gráfico o
Queijo
de
Serpa
26
330
que observas?
Queijo
de
Tomar
27
305
1.2. Na representação gráfica dos
Queijo Flamengo 20%
8
185
pontos de
uma distribuição
Queijo flamengo 30%
14
246
bidimensional podes determinar o
Queijo flamengo 45%
23
315
centro de gravidade que é definido
Queijo fresco
21
265
pelas médias de cada uma das Queijo Gorgonzola
37
407
variáveis. Determina as coordenadas Queijo Parmesão
28
401
desse ponto e representa-o no Queijo Roquefort
32
371
gráfico.
Queijo Suíço
29
357
1.3. Com recurso à calculadora,
determina a expressão da reta que melhor se ajusta aos pontos da distribuição dada. Representa
essa reta no gráfico que elaboraste.
1.4. Qual o número de calorias de um queijo com 28g de gordura?
Exploração:
1. Solicitar aos alunos a representação dos dados num sistema de eixos cartesianos. Informar os
alunos que a representação obtida se designa por diagrama de dispersão.
2. Analisar o sentido e a intensidade da relação entre os valores das variáveis. Mostrar à turma
diferentes diagramas de dispersão quem ilustrem diferentes relações entre os valores das variáveis.
3. Pedir aos alunos que determinem e representem o centro de gravidade da distribuição dada.
4. Orientar os alunos, com recurso à calculadora gráfica, na determinação da reta que melhor se
ajusta aos pontos da distribuição. Questionar os alunos por que ponto passa a reta? E porquê?
5. Analisar com a turma o significado dos valores dos parâmetros fornecidos pela calculadora gráfica.
6. Estimar o valor de uma das variáveis conhecido o valor da outra variável através da reta de
regressão.
Com esta tarefa pretende-se que os
alunos construam o diagrama de
dispersão e que de forma intuitiva
refiram que existe uma associação
entre as duas variáveis. Neste caso,
referirem que há uma tendência para
o número de calorias aumentar à
medida que a quantidade de gordura
aumenta.
E, ainda, que com a ajuda da
calculadora gráfica determinem a reta
de regressão e estimem um valor da
variável dado um valor da outra.
Referir que o parâmetro r é o
coeficiente de correlação.
Prática:
Tarefa 1- Na tabela estão registadas as temperaturas observadas em algumas capitais europeias num
dia de Inverno.
Temperatura mín.
0
0
8
-3
-2
2
5
1
-5
-1
-3
-4
Temperatura máx.
12
6
10
5
2
3
12
1
6
2
0
-1
1.1. Determina as coordenadas do centro de gravidade.
1.2. Representa o diagrama de dispersão e indica o tipo de correlação existente entre as variáveis.
Cada grupo terá de resolver uma
tarefa e apresentar a sua resolução à
turma.
1.3. Recorre à reta de regressão e faz uma estimativa para:
1.3.1. A temperatura máxima quando a temperatura mínima for 4.
1.3.2. A temperatura mínima quando a temperatura máxima for 8.
Tarefa 2- A tabela seguinte relaciona a altitude a que se encontra um montanhista, em metros, e a
respetiva pressão atmosférica em mmHg.
Altitude /m
0
700
500
300
200
600
100
400
Pressão Atmosférica /mmHg
759
700
720
730
740
708
749
728
1.1. Determina as coordenadas do centro de gravidade.
1.2. Representa o diagrama de dispersão e indica o tipo de correlação existente entre as variáveis.
1.3. Recorre à reta de regressão e faz uma estimativa para:
1.3.1. A pressão atmosférica para uma altitude de 250m.
1.3.2. A altitude para uma pressão atmosférica de 690mmHg.
Tarefa 3- Uma atleta de 30 anos de idade com cerca de 60 quilos participou num estudo para conhecer
algumas das transformações fisiológicas sofridas pelo organismo humano durante uma prova de
maratona (42,2 km). Para tal foram colocados alguns sensores na atleta que permitiram fazer vários
registos, entre eles a temperatura do corpo e a frequência cardíaca (pulso).
Distância percorrida (km)
0
5
10
15
20
25
30
35
42
Temperatura (°C)
37
37.3
37.5
37.8
38
38.5
38.6
38.7
38.8
Freq. Cardíaca (pulsações por min.)
50
148
145
148
155
160
165
162
168
1.1. Determina as coordenadas do centro de gravidade.
1.2. Representa o diagrama de dispersão e indica o tipo de correlação existente entre as variáveis.
1.3. Recorre à reta de regressão e faz uma estimativa para:
1.3.1. A frequência cardíaca quando a temperatura da atleta é de 38.2°C.
1.3.2. A temperatura da atleta quando a frequência cardíaca é de 158 pulsações por minuto.
Tarefa 4- No quadro seguinte estão representadas as idades de 10 mulheres e os valores da tensão
arterial de cada uma delas.
Idades
54
40
72
34
61
48
57
55
73
Tensão arterial (pressão máx.)
14.6
12.4
16.1
11.9
14.9
12.8
15.0
14.7
16.3
1.1. Determina as coordenadas do centro de gravidade.
1.2. Representa o diagrama de dispersão e indica o tipo de correlação existente entre as variáveis.
1.3. Recorre à reta de regressão e faz uma estimativa para:
1.3.1. O valor da tensão arterial de uma mulher de 75 anos.
1.3.2. A idade de uma mulher com valor da tensão arterial 14.1.
Tarefa 5- O Sr. José esteve atendo à evolução dos preços do gasóleo e da gasolina, efetuando o
seguinte registo:
Gasóleo
(€/L)
Gasolina
(€/L)
1.017
1.017
1.021
1.042
1.062
1.064
1.067
1.063
1.067
1.063
1.066
1.060
1.271
1.267
1.266
1.276
1.296
1.307
1.311
1.306
1.311
1.307
1.301
1.296
1.1. Determina as coordenadas do centro de gravidade.
1.2. Representa o diagrama de dispersão e indica o tipo de correlação existente entre as variáveis.
1.3. Recorre à reta de regressão e faz uma estimativa para:
1.3.1. O preço da gasolina sabendo que o preço de cada litro de gasóleo era de 1.086€.
1.3.2. O preço do gasóleo sabendo que o preço de cada litro de gasolina era de 1.339€.
Tarefa 6- Na tabela seguinte encontram-se os dados referentes à taxa de mortalidade e ao número de
médicos por 1000 habitantes.
Taxa de mortalidade (%)
10.88
8.14
8.02
8
9.05
7.54
8.77
11.36
9.71
Médicos por 1000 habitantes
0.23
2.99
4.12
5.9
20.52
2.53
4.1
3.48
3.34
1.1. Determina as coordenadas do centro de gravidade.
1.2. Representa o diagrama de dispersão e indica o tipo de correlação existente entre as variáveis.
1.3. Recorre à reta de regressão e faz uma estimativa para:
1.3.1. A taxa de mortalidade para um número de médicos de 4.35.
1.3.2. O número de médicos por 1000 habitantes para uma taxa de mortalidade de 9.15 %.
Tarefa 7- Considera a tabela seguinte que fornece os dados da taxa de mortalidade masculina e o
consumo médio diário de vegetais.
Vegetais g/pessoa/dia
Mortalidade Masculina
(100000/ano)
17.07
15.23
25.17
23.33
12.20
10.9
14.37
12.07
16.77
227.6
188.9
164.3
101.9
266.7
300.9
209.0
222.1
231.1
1.1. Determina as coordenadas do centro de gravidade.
1.2. Representa o diagrama de dispersão e indica o tipo de correlação existente entre as variáveis.
1.3. Recorre à reta de regressão e faz uma estimativa para:
1.3.1. A taxa de mortalidade masculina para um consumo médio diário de vegetais de
18g/pessoa/dia.
1.3.2. O consumo médio diário de vegetais para uma taxa de mortalidade masculina de 207.1.
Tarefa 8- Num campeonato de futebol participaram 16 equipas. Parte da informação contida na tabela
classificativa encontra-se expressa da seguinte forma:
Classificação
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
11º
12º
13º
14º
15º
16º
Golos sofridos
21
26
27
19
35
34
34
32
33
28
32
27
36
31
42
27
Golos marcados
49
45
40
36
34
33
29
28
27
25
25
24
24
23
23
20
1.1. Determina as coordenadas do centro de gravidade.
1.2. Representa o diagrama de dispersão e indica o tipo de correlação existente entre as variáveis.
1.3. Recorre à reta de regressão e faz uma estimativa para:
1.3.1. O número de golos sofridos sabendo que foram marcados 44 golos.
1.3.2. O número de golos marcados sabendo que sofreram 16 golos.
Síntese Final:
Discute a relação entre duas variáveis segundo o coeficiente de correlação. Apresenta exemplos
gráficos que ilustrem o teu raciocínio.
Materiais:
Manual escolar do aluno, caderno, ficha de trabalho, quadro, projetor e calculadora gráfica.
Espera-se que os alunos consigam
tirar conclusões acerca do sinal e da
intensidade da correlação entre duas
variáveis a partir dos diagramas
construídos na resolução das tarefas
propostas.