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Física I
2009/2010
Aula02 – Movimento Unidimensional
Sumário
2-1 Movimento
2-2 Posição e Deslocamento.
2 3 Velocidade
2-3
V l id d Média
Médi
2-4 Velocidade Instantânea
2-5 Aceleração
2-6 Caso especial: aceleração constante
2-7 Movimento de Queda Livre
Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02
2
Cinemática
Na cinemática estudamos a descrição dos
movimentos,
i
t
sem nos preocuparmos com o que
provocou os movimentos
O estudo do movimento envolve três grandezas
Deslocamento
Velocidade
Aceleração
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3
Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um
ponto
• Quando consideramos o movimento como de translação
Em muitos casos podemos estudar o movimento
pura sem considerarmos rotações e vibrações
pura,
de um corpo extenso, como se ele fosse um
• Quando o espaço envolvido é muito grande comparado
ponto
dimensões:
com assem
dimensões
do corpo
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Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um
ponto
Para descrevermos o
movimento temos de
utilizar um sistema de
coordenadas
espaciais e uma
coordenada temporal
p
Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02
5
Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um
ponto
0m
1m
2m
3m
4m
5m
6m
7m
8m
9m
10 m
11 m
x
0s
1s
2s
3s
4s
5s
6s
7s
8s
9s
10 s
11 s
0s
1s
2s
3s
4s
5s
6s
7s
8s
9s
10 s
11 s
6
Física I 2009-2010 - 1.º S Aula02
A posição e o deslocamento
A posição é definida em
termos do sistema de
referência que adoptamos
• No caso unidimensional,
unidimensional
utilizamos em geral o os eixos
dos x ou dos y
• É definido
d fi id um ponto
t d
de partida
tid
para o movimento – a origem do
eixo
O deslocamento é a variação da posição, Δx = xf – xi
• O subscrito “f” refere-se à posição final e “i” à inicial
• A unidade SI é o metro (m)
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Movimento Unidimensional
Sistema de Referência
O Deslocamento
pode ser positivo
ou negativo
Sentido positivo
tempo
Sentido negativo
t (s)
Origem
O Intervalo de tempo é
sempre positivo
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Movimento de um corpo descrito em termos do
movimento de um ponto
Δx
O deslocamento, no caso geral é um vector.
No movimento unidimensional, a linha de acção está fixa.
Basta o sinal p
para definir o sentido
Δx’ <
0
Como definimos o sentido positivo para a direita,
neste último movimento, o sentido do deslocamento é negativo
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Movimento de um corpo descrito em termos do
movimento de um ponto
Este processo torna-se confuso, quando existe movimento
nos dois sentidos, ao longo da mesma linha.
É então preferível utilizar um gráfico da posição
em função do instante de tempo.
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10
Movimento de um corpo descrito em termos do
movimento de um ponto
Δx
0s
1s
2s
3s
4s
5s
6s
7s
8s
9s
10 s
0s
1s
2s
3s
4s
5s
6s
7s
8s
9s
10 s
11 s
x
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11
11 s
t
Movimento de um corpo descrito em termos do
movimento de um ponto
0s
10 s
1s
9s
2s
8s
3s
7s
4s
6s
5s
5s
x
0s
1s
2s
3s
4s
5s
6s
7s
8s
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9s
12
10 s
11 s
t
Deslocamento e distância percorrida
O deslocamento de um objecto
j
não é a distância
percorrida pelo objecto
Exemplo:
Se lançarmos uma bola na vertical para cima e a apanharmos no
ponto em que a lançámos.
- A distância percorrida é igual ao dobro da altura a que subiu
- O deslocamento é nulo
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Grandezas Escalares e Vectoriais
As grandezas vectoriais caracterizam-se por
módulo, direcção
ç e sentido
Representam-se, em geral por caracteres a grosso ou com
uma seta sobre a letra
No movimento
N
i
t unidimensional
idi
i
lb
basta
t o sinal
i l + ou – para
indicar o sentido, porque todos os vectores têm a mesma
ç
direcção
As grandezas escalares caracterizam
caracterizam-se
se pelo seu
valor apenas
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Velocidade
É necessário tempo para um objecto efectuar um
d l
deslocamento
t
A velocidade média é o deslocamento dividido
pelo intervalo de tempo em que ocorre
vmedia
xf − xi
Δx
=
=
Δt
tf − ti
Como é geral o que interessa é o intervalo de
tempo, podemos fazer ti = 0
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Velocidade
Δx
Δt
Δt
0s
1s
2s
vmedia
3s
4s
5s
6s
7s
8s
9s
10 s
xf − xi
Δx
=
=
Δt
tf − ti
Neste caso, a velocidade média do corpo é
constante durante todo o movimento
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16
11 s
Velocidade
No movimento unidimensional, a direcção e sentido
da velocidade é a mesma do deslocamento
(o intervalo de tempo é sempre positivo)
É suficiente o sinal + ou – para indicar o sentido
A unidade SI da velocidade é m/s
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Interpretação Gráfica da Velocidade
(caso unidimensional)
A velocidade pode também ser determinada a partir de um
gráfico da posição em função do tempo
A velocidade média é o declive da recta que une a posições
inicial e a posição final
Para um objecto que se move com velocidade constante, o
gráfico é uma linha recta
O declive da recta fornece o
valor da velocidade média
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Movimento unidimensional com velocidade variável
0s
1s
2s
3s
4s
5s
x (m)
6s
7s
8s
9 s 10 s
Δx = xf - xi
50
A velocidade média num determinado
40
θ
30
intervalo de tempo Δt = tf – ti é dada por
Δx = xf – xi
vmedia =
Δt = tf - ti
Δx
Δt
Esta quantidade é a tangente do ângulo θ
que a recta que une, no gráfico, os pontos
(ti,xi) e (tf,xf ), faz com a horizontal
20
10
Neste movimento, a velocidade
média varia com o tempo
0
0
5
10
t (s)
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Velocidade média variável (caso unidimensional)
Se a velocidade do
movimento
i
t varia
i
com o tempo
H
A velocidade média
n m inter
num
intervalo
alo de
tempo é dada pelo
declive da recta
verde que une dois
pontos
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20
Velocidade Instantânea
(caso unidimensional)
A velocidade instantânea é o limite da velocidade média
quando o intervalo de tempo se torna infinitesimal ou seja,
quando o intervalo de tempo tende para zero
v ≡
lim
Δt → 0
Δx
Δt
Como o deslocamento também
de torna infinitesimal,
f
a razão
permanece finita
A velocidade instantânea indica o que acontece em cada
instante
Velocidade uniforme significa velocidade constante
Os valores da velocidade instantânea são os mesmos em
qualquer instante de tempo
E são sempre iguais aos da velocidade média
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Movimento unidimensional com velocidade variável
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22
Movimento unidimensional com velocidade variável
– caso geral
1
2
3
4
5
9
6
7
8
20
30
40
10
0
x
x/m
10
Identifique intervalos de tempo em
que a velocidade é:
50
8
- Positiva
40
- Nula
m
6
- Negativa
30
4
7
3
20
9
5
2
10
0
10
1
0
5
10
15
20
25
30
35
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40
45
50
23
(s)
Aceleração (caso unidimensional)
• Velocidade variável (não uniforme) significa que
existe aceleração diferente de zero
• A aceleração média é variação da velocidade
num intervalo de tempo a dividir por esse
intervalo de tempo
amed
Δv v f − v i
=
=
Δt
tf − ti
• A unidade da aceleração SI é m/s²
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Aceleração Média (caso unidimensional)
• A aceleração é uma quantidade vectorial, mas no
caso unidimensional basta o sinal + ou – (como
para o deslocamento e a velocidade)
• Quando os sinais da velocidade e da aceleração
são iguais
g
(p
(positivos ou negativos),
g
), o módulo da
velocidade instantânea está a aumentar
• Quando os sinais da velocidade e da aceleração
são opostos, o módulo da velocidade instantânea
está a diminuir
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Aceleração Instantânea (caso unidimensional)
•É o limite da aceleração média quando o intervalo de
tempo tende para zero
ero
Δv dv
a = lim
=
Δt →0 Δt
dt
dv d ⎛ dx ⎞ d 2 x
a=
= ⎜ ⎟= 2
dt dt ⎝ dt ⎠ dt
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Aceleração Média e Instantânea (caso unidimensional)
•
A aceleração média é o declive da recta que une os pontos
correspondentes aos valores da velocidade inicial e final num gráfico
da velocidade em função do tempo
•
A aceleração
ç
instantânea é, em
cada instante, o
declive da tangente
à curva que
representa a
velocidade em
função do tempo
Declive =
Declive =
ainst =
amed =
dv
dt
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Δv
Δt
Relação Entre Aceleração e Velocidade (caso unidimensional)
•Velocidade uniforme (representada por setas
vermelhas com o mesmo comprimento)
•A aceleração é nula
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Relação Entre Aceleração e Velocidade (caso unidimensional)
• A velocidade e aceleração têm o mesmo sentido
• A aceleração é uniforme (as setas azuis têm comprimento
constante)
• O módulo da velocidade está a aumentar (O comprimento
das setas vermelhas está a aumentar)
• Velocidade positiva e aceleração positiva
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Relação Entre Aceleração e Velocidade (caso unidimensional)
• A velocidade e aceleração têm sentidos opostos
• A aceleração
ç é uniforme ((as setas azuis têm
comprimento constante)
• O módulo da velocidade está a diminuir (O
comprimento das setas vermelhas está a diminuir)
• Velocidade positiva e aceleração negativa
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Equações da Cinemática (aceleração constante -caso
unidimensional)
• São utilizadas quando a aceleração é constante
(uniforme)
• v0 é o valor de v para t = 0
v − v0
a = amedia =
t −0
v = v 0 + at
Verificação
v = v 0 para t = 0
dv
=a
dt
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31
Equações da Cinemática (aceleração constante - caso
unidimensional)
• Utilizando a expressão da velocidade média
• x0 é o valor de x para t = 0
x − x0
v media =
t −0
x = x0 + v mediat
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Equações da Cinemática (aceleração constante - caso
unidimensional)
• Podemos agora utilizar
v m e d ia
para obter
v m e d ia
1
= (v 0 + v )
2
1
= v 0 + at
2
1 2
x = x0 + v 0t + a t
2
Verificação
x = x0 para t = 0
dx
d
= v = v 0 + at
dt
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v = v0 + at
1
x = vmedt = (v0 + v )t
2
1 2
x = x0 + v0t + at
2
v 2 = v02 + 2a( x − x0 )
Velocidade
•São utilizadas quando a
aceleração é constante
(movimento uniformemente
acelerado)
Aceleração
(aceleração constante - caso
unidimensional)
Posição
Equações da Cinemática
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Declive variável
Declive = a
Declive = 0
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Interpretação Gráfica da Equação (caso
unidimensional)
v = v0 + at
Declive
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35
Sugestões para a resolução de problemas unidimensionais
1. Ler atentamente o problema
2. Desenhar um diagrama
– E
Escolher
lh um sistema
i t
d coordenadas
de
d
d assinalar
i l os
pontos inicial e final, escolher o sentido positivo para a
velocidade e a aceleração
ç
3. Identificar todas a grandezas, assegurando-se
que as unidades estão no mesmo sistema
4. Escolher a equação cinemática apropriada
5. Resolver o problema para obter as incógnitas
6. Verificar os resultados
– Fazer estimativas e comparar com o resultado
– Verificar as unidades
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Aplicação - Queda livre
• Quando um corpo está a mover-se apenas sujeito
à gravidade, diz-se que está em queda livre
A queda livre não depende do movimento original do
corpo
• Todos os corpos que caem perto da superfície da
Terra possuem a mesma aceleração
• A essa aceleração, denominada aceleração da
gravidade, ou devido à gravidade, atribui-se o
símbolo g
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Aceleração da gravidade
• É indicada pelo símbolo g
g = 9.80 m/s²
– Em muitos casos pode utilizar-se g ≈ 10 m/s2
• A aceleração da gravidade é uma grandeza vectorial
que, junto
j t à superfície
fí i da
d T
Terra aponta
t sempre para
baixo, na direcção e sentido do centro da Terra
• Desprezando a resistência do ar e supondo que g
não varia com a altitude para pequenos
deslocamentos verticais, a queda livre é um
movimento unidimensional com aceleração
constante
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Queda livre – um objecto abandonado em repouso
• A velocidade inicial é nula
• Escolhemos (arbitrariamente) como
positivo o sentido “para
para cima
cima”
y
• Utilizamos as equações
q ç
da cinemática
– Em geral, utiliza-se y em vez de x porque
o movimento
i
t é na vertical
ti l
v0 = 0
a=g
• Como escolhemos como positivo a
sentido “para cima”, o valor da
aceleração é
g = -9.80 m/s2
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Queda livre – um objecto lançado para baixo
• a = g = -9.80 m/s2
y
• Agora a velocidade inicial ≠ 0
– Se o sentido “para cima” é
positivo, a velocidade inicial é
negativa
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v0 ≠ 0
a=g
40
Queda livre – um objecto lançado para cima
• A velocidade inicial é ”para
cima”, portanto é positiva
y
v=0
• A velocidade instantânea
quando o corpo atinge a
altura máxima é nula
• a = g = -9.80 m/s2 durante
todo
d o movimento
i
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Queda livre – um objecto lançado para cima
• Se movimento é simétrico (posição de partida
coincide com a de chegada)
Então tpara cima
= tpara baixo
i
b i
e vf = -vvo
•S
Se o movimento
i
t não
ã ffor simétrico,
i ét i
ttemos de
d
dividir o estudo do movimento em duas partes
•
•
Em geral, o movimento ascendente e o movimento descendente
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Queda livre – um objecto lançado para cima
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