Dinâmica de uma partícula material de massa constante

Física Geral – Dinâmica de uma partícula material de massa constante
Dinâmica de uma partícula material de massa constante
Introdução
Dinâmica
É o estudo da relação existente entre o movimento de um corpo e as causas desse movimento.
Este movimento é o resultado da interacção com outros corpos que o cercam. As interacções
são convenientemente descritas através de um conceito matemático chamado força.
Basicamente, o objecto da dinâmica é o estudo da relação entre força e as variações do
movimento de um corpo.
Partícula material
É um corpo de dimensões desprezáveis relativamente à grandeza que se está a estudar.
Considera-se a sua massa constante, mpartícula= k.
Quantidade de movimento, momento linear de uma partícula ou momento cinético
Define-se quantidade de movimento ou momento linear de uma partícula ou momento
cinético, como o produto da sua massa pela sua velocidade.
p = mv
É uma grandeza mais informativa que a velocidade.
Noção de Força de interacção ou de Newton
Considere-se uma partícula material de massa m, velocidade v1 no instante t1 e v 2 no
instante t2. A variação da sua quantidade de movimento entre estes dois instantes será:
(
p 2 − p1 = mv 2 − mv1 ⇔ p 2 − p1 = m v 2 − v1
)
A variação da quantidade de movimento por unidade de tempo será:
(
)
p 2 − p1
v −v
∆p
∆v
=m 2 1 ⇔
=m
t 2 − t1
∆t
∆t
t 2 − t1
Admitindo que o intervalo de tempo ∆t tende para zero, virá
lim
∆t →0
Como
dv
∆v
dp
∆p
⇔
=m
= lim m
∆
t
→
0
dt
∆t
dt
∆t
dp
dv
obtemos F = ma
= a e fazendo F =
dt
dt
A grandeza física F é um conceito matemático chamado força de interacção (força da
mecânica clássica ou de Newton) e representa a taxa de variação temporal da quantidade de
movimento de uma partícula material.
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Consequências da noção de força: Terceira lei de Newton.
A expressão F = ma traduz a Terceira Lei de Newton, que pode enunciar-se do seguinte
modo:
Se a massa de uma partícula é constante, a força é igual ao produto da massa
pela aceleração.
Lei da inércia ou 1ª lei de Newton
Admita-se que
dp
= 0 . Nesse caso,
dt
F =0
e como
dv
dp
,
=m
dt
dt
dv
= 0 , logo
dt
p = mv = k ⇔ v = k , dado a massa da partícula ser constante.
Duas situações são possíveis:
- Velocidade inicial nula, v0 = 0 . Como v = k , v = 0 , logo o corpo estava em repouso
e permanece em repouso.
- Velocidade inicial constante, v0 = k . Como v = k , v = v 0 , logo o corpo estava em
movimento rectilíneo e uniforme e assim permanece.
Conclusões
- Um ponto material com força de interacção nula permanece em repouso ou em
movimento uniforme e rectilíneo.
- Um ponto material que não está sujeito a interacções ou em que estas se anulam
chama-se partícula livre.
- Uma partícula livre permanece em repouso ou em movimento uniforme e rectilíneo.
A última conclusão traduz a Lei da Inércia, também chamada 1ª Lei de Newton ou Primeira
Lei da Dinâmica, tipicamente enunciada como:
Uma partícula livre move-se com velocidade constante, isto é, sem aceleração.
Um observador inercial reconhece que uma partícula é livre se ela não tiver aceleração.
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Teorema da conservação da quantidade de movimento de uma partícula.
Considere-se a seguinte situação ideal: 2 partículas isoladas do universo e unicamente sujeitas
ás suas interacções mutuas. Devido a estas interacções as partículas têm velocidade individual
variável e movem-se em trajectórias curvas. Num determinado instante t1, a partícula A está
em A1 com velocidade vA1 e a partícula B está em B1 com velocidade vB1. No instante t2, a
partícula A estará em A2 com velocidade vA2 e a partícula B em B2 com velocidade vB2.
Designando as massas das partículas A e B por, respectivamente, mA e mB, a quantidade de
movimento total do sistema no instante t1 será
P 1 = p A1 + p B1 = m A v A1 + m B v B1
e no instante t2
P 2 = p A2 + p B 2 = m A v A2 + mB v B 2
Sendo o sistema isolado não há interacção, logo a resultante das forças que sobre ele actuam é
nula, ou seja, a variação da quantidade de movimento, admitindo as massas constantes, é igual
a zero, vindo
P 2 − P1 = 0 ⇔ P 2 = P1
Esta igualdade traduz um dos princípios fundamentais da física, designado por Princípio da
conservação da quantidade de movimento e que pode enunciar-se do seguinte modo:
A quantidade de movimento total de um sistema composto por duas partículas,
sujeitas somente às suas interacções mútuas, permanece constante.
Considerando um sistema isolado, composto por um conjunto de partículas, este princípio
pode ser generalizado, vindo
P = ∑ p i = p 1 + p 2 + ... + p i = constante
i
ou seja,
A quantidade de movimento total de um sistema isolado de partículas é
constante.
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Princípio fundamental da dinâmica ou 2ª lei de Newton
Considere-se novamente o sistema isolado constituído por duas partículas. Sendo a
quantidade de movimento total constante, em dois instantes t1 e t2 teremos
P 1 = P 2 ⇔ p A1 + p B1 = p A 2 + p B 2 ⇔ p A1 − p A2 = p B 2 − p B1
Designando por ∆ p = p 2 − p 1 a variação da quantidade de movimento entre os instantes t1 e
t2, vem
− ∆ pA = ∆ pB
Considerando a variação instantânea e as relações anteriormente estabelecidos, virá
− ∆ pA = ∆ pB ⇔ −
−
⎛ ∆pA ⎞
∆ pA ∆ pB
⎟ = lim ∆ p B ⇔
=
⇔ lim ⎜ −
∆t → 0⎜
⎟ ∆t →0 ∆t
∆t
∆t
⎝ ∆t ⎠
d pA d pB
=
⇔ −F A = F B
dt
dt
Quando duas partículas interagem, a força sobre uma partícula é igual em
módulo e de sentido contrário, à força sobre a outra – Segunda Lei de Newton
ou Lei da acção e reacção.
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Teorema do Centro de Massa
Posição do centro de massa
Por definição, o centro de massa de um sistema de partículas é um ponto cujo vector de
posição é dado por
r CM = xCM î + y CM ˆj + z CM kˆ
As coordenadas xCM, yCM e zCM são dadas por:
xCM =
m1 x1 + m2 x 2 + ... + mn x n
;
m1 + m2 + ... + mn
y CM =
m1 y1 + m2 y 2 + ... + mn y n
;
m1 + m2 + ... + mn
z CM =
m1 z1 + m2 z 2 + ... + mn z n
m1 + m2 + ... + mn
Substituindo na expressão do vector posição e considerando
n
M = m1 + m2 + ...mn = ∑ mi
i =1
m1 x1 + m2 x 2 + ... + mn x n
m y + m2 y 2 + ... + mn y n ˆ m1 z1 + m2 z 2 + ... + mn z n ˆ
î+ 1 1
j+
k⇔
M
M
M
1
=
m1 x1î + y1 ˆj + z1 kˆ + m2 x 2 î + y 2 ˆj + z 2 kˆ + ... + mn x n î + y n ˆj + z n kˆ
M
r CM =
r CM
[ (
)
(
)
(
)]
Como r i = xi î + y i ˆj + z i kˆ , conclui-se que
r CM =
m1 r 1 + m2 r 2 + ... + mn r n
M
n
r CM =
∑m r
i
i =1
i
M
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Velocidade do centro de massa
Conhecida a lei do movimento do centro de massa é possível determinar a lei das velocidades.
dr
, vem
dt
Dado que v =
d r CM
dt
v CM =
ou seja
n
∑m
d r CM
=
dt
i =1
dri
dt
i
M
n
∑m v
v CM =
i
i =1
i
M
Vindo as coordenadas da velocidade dadas por
n
m1v1x + m2 v 2 x + ... + mn v nx
vCM x =
m1 + m2 + ... + mn
⇔ vCM x =
∑m v
i ix
i =1
M
n
vCM y =
m1v1y + m2 v 2 y + ... + mn v n y
m1 + m2 + ... + mn
⇔ vCM y =
∑m v
i iy
i =1
M
n
vCM z =
m1v1z + m2 v 2 z + ... + mn v nz
m1 + m2 + ... + mn
⇔ vCM z =
∑m v
i =1
i iz
M
Aceleração do centro de massa
a CM =
d v CM
dt
n
v CM =
∑m v
i
i =1
i
M
n
d v CM
=
dt
∑m
i =1
i
d vi
dt
M
n
a=
∑m a
i
i =1
i
M
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Quantidade de movimento de um sistema de partículas
A velocidade de um sistema de partículas é dada por
n
∑m v
v CM =
i
i =1
i
M
Vem, assim
n
M v CM = ∑ mi v i
i =1
n
∑m v
i
i =1
i
= p sistema
M v CM = p CM
p CM = p sistema
A quantidade de movimento de um sistema de partículas é igual à quantidade de
movimento do seu centro de massa.
Lei fundamental da dinâmica para um sistema de partículas
Derivando em ordem ao tempo p CM = p sistema , vem
d p CM d p sistema
=
dt
dt
n
d p sist
dv dv
= ∑ mi i e i = a i
dt
dt
dt
i =1
Como
n
∑m a
i
i =1
i
=
d p CM
dt
n
com
∑m a
i =1
i
i
representando a resultante das forças exteriores, F ext que actuam no sistema de
partículas, dado que, de acordo com a Lei de Acção e Reacção, a resultante das forças
interiores, F int , é nula.
Assim,
F ext =
d p CM
dt
F ext = M a CM
A resultante das forças exteriores que actuam sobre um sistema de partículas é
igual ao produto da massa total do sistema pela aceleração do seu centro de
massa.
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Principio da conservação da quantidade de movimento para um sistema de partículas
Se a resultante das forças exteriores for nula, a aceleração do centro de massa do sistema é
igualmente nula e a sua velocidade é constante.
F ext = 0 ⇔ a CM = 0 ⇔ v CM = k
F ext =
d p CM
d p CM
⇔
= 0 ⇔ p CM = p sistema = k
dt
dt
Se a resultante das forças exteriores que actuam sobre um sistema de partículas
é nula, a quantidade de movimento do sistema é constante.
Tipo de forças a considerar num sistema de partículas materiais
Forças Interiores – forças que resultam da interacção entre as partículas do sistema.
Forças Exteriores – forças que resultam da interacção com elementos estranhos ao sistema.
Forças aplicadas – forças que resultam da interacção com elementos em contacto com o
sistema. Exemplo: forças de contacto.
Forças de ligação – forças que limitam as possibilidades de movimento do sistema de
partículas.
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Aplicações
Considere-se um corpo assente sobre um plano inclinado, sujeito apenas ao seu peso próprio e
à reacção do plano e descendo sem atrito.
N
CM
F
g
θ
⎧⎪ R y = 0 = N + F n
⎧ N = Fn cos θ
⇔ ma = mg sin θ ⇔ a = g sin θ
⇔⎨
⎨
⎩ Fu = F sin θ
⎪⎩ R x = F u
y
N
C
F O=
M
u
F
F
n
g
x
θ
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Movimento no plano vertical
Fio sem massa e inextensível, roldana ideal e de massa desprezável e mA ≠ mB.
Sistema: A+B+fio
Forças exteriores ao sistema: F gA e F gB
Resultante das forças exteriores ao sistema:
R = F gA + F gB com R = F gB − F gA
Lei fundamental da dinâmica
R = mtotal a = (m A + m B )a
em módulo:
F gB − F gA = (m A + m B ) a ⇔ a =
a =
F gB − F gA
A
B
(m A + m B )
mB − m A
g Aceleração do sistema
(m A + m B )
Isolamento dos corpos
R A = − F gA + T A
T
R B = F gB − T B
A
T A − F gA = m A a
T A = F gA + m A a
F gB − T B = m B a
T
B
T B = F gB − m B a
F
gA
F
gB
TA = TB
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