MATEMATICA BB__montagem

AULA 01
1) Números inteiros
Conjunto formado pelo conjunto N (números naturais) e os números inteiros negativos.
N = {0, 1, 2, 3...}, logo:
Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3....}
Obs.: Z* = {...-3, -2, -1, 1, 2, 3....}
Z+ = {0, 1, 2, 3....}
Z- = {...-3, -2, -1, 0}
Z*+ = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3....}
Z*- = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3....}
a. Relação de ordem
Identifica os números iguais, maiores e menores.
Todos os números são maiores do que os que estão à sua esquerda.
b. Módulo (Valor absoluto)
Valor absoluto de um número é o número, desconsiderando seu sinal.
|-5|= 5; |-1|= 1; |+3|= 3
c. Números opostos (simétricos)
Números de mesmo valor absoluto e sinais contrários. Por exemplo, -7 e +7 são opostos
(simétricos)
d. Adição, subtração, multiplicação e divisão
i. Adição e subtração
Para sinais iguais, adicionamos os valores absolutos e conservamos o sinal. Se os sinais forem
diferentes, subtraímos os valores absolutos e conservamos o sinal do maior.
+2+3 = +5
-2-4 = -6
-5+2 = -3
+5-2=+3
Banco do Brasil
1
ii. Multiplicação e divisão
Multiplica-se ou divide-se os valores absolutos e usa-se a regra dos sinais: resultado positivo se
sinais iguais e resultado negativo se diferentes.
(+4) . (+3) = +12
(-2) . (-4) = +8
(-20) : (+5) = -4
(-30) : (-6)=+5
e. Potenciação e radiciação
Potenciação é a multiplicação de fatores iguais. Composta de base, expoente e potência.
24 = 16 = 2.2.2.2; 2 é a base, 4 o expoente e 16 a potência
Para o caso de bases negativas, devemos considerar o expoente: se o expoente for ímpar o
resultado é negativo. Se for par, o resultado é positivo.
(-3)3 = -27;
(-3)4 = +81;
(+3)3 = +27
Obs.: se a base for positiva o resultado sempre será positivo
Não esquecer: Todo número elevado a zero é sempre igual a 1
Radiciação é o inverso da potenciação. O resultado é obtido achando-se o número que, elevado ao
índice, resulte no radicando.
4
f.
16 = 2; 24 = 16;
4 é o índice, 16 é o radicando e 2 é a raiz
Expressões numéricas
Resolve-se as expressões inicialmente pelas potenciações e radiciações, na ordem em que aparecem.
Depois as multiplicações e divisões e só então as adições e subtrações. Além disso, deve-se eliminar os
sinais de associação sempre na seguinte ordem:
1º parênteses ( )
2º colchetes [ ]
3º chaves { }
Exercícios de fixação:
1- Resolva as operações:
a. (-44):(-4) + (-5).(+2) =
b. [(-3)3.(-2)2]:(+6)2 =
c. (–1)10 + (–1)24 . (–1)35 · (–1)41 =
d. (–7)³ · (–2)² + (–5)³ + (–6)² : 4 =
e. 4 – [22 · (–3) – (–3)2 · (–2)] – 60 : [(–2)2 · 5 – 23] =
f.
81 ⋅ 16 − 121 ⋅ 64 =
g.
102 − 8 − 8 ⋅ 7 − 20 ⋅ 14 =
Respostas: a=1; b=-3; c=2; d=-1488; e=-7; f=-52; g=-274
2
Banco do Brasil
2) Números racionais
Os números que podem ser expressos na forma de fração (ou razão),
razão), onde o numerador e denominador
são inteiros e o denominador é diferente
diferente de zero. A notação dos números racionais é:
Q = {m/n
m/n: m e n em Z, n diferente de zero}
Q* = racionais não nulos
Q+ = racionais não negativos
Q- = racionais não positivos
Q*+ = racionais positivos
Q*- = racionais negativos
De forma geral temos o seguinte diagrama:
a. Frações e decimais
Supondo um número racional m/n,, tal que m não seja múltiplo de n.. Para represent
representá-lo
lo na forma de
decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Assim, podem acontecer decimais com um
número finito de algarismos após a vírgula (decimais
(decimais exatos)
exatos ou com número infinito de algarismos após a
vírgula (decimais
(decimais periódicos ou dízimas periódicas):
periódicas
3/4 = 0,75;
35/8 = 4,375; 1/3 = 0,333....
36/7 = 5,147857....
Para transformar números decimais em frações deve-se
deve se considerar o caso de decimais exatos ou
dízimas. Para decimais exatos basta copiar, no numerador, o decimal sem a vírgula e colocar o número 1 no
denominador, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado:
0,9 = 9/10;
0,76 = 76/100;
/100; 32,17 = 3217/100
Para as dízimas basta compor o numerador com o número que se repete e no denominador colocar
quantos 9 forem os algarismos do número que se repete. Mas atenção,
atenção, para isso é necessário isolar o termo
que se repete e deixá-lo
deixá lo após a vírgula:
vírgula:
0,333.... = 3/9
4,3232... = 4+0,3232... = 4+32/99
7,123123...=7+123/999
b. Módulo
Mesmo raciocínio dado aos números inteiros, agora considerando a distância do número racional ao
zero.
Banco do Brasil
3
c. Números opostos
Idem aos números inteiros, considerando que a distância de números opostos ao ponto de abcissa
zero é igual.
d. Adição e subtração
A adição e subtração de números racionais segue a regra de adição e subtração de frações. Com
denominadores iguais, repete-se o denominador e soma-se (ou subtrai-se) os numeradores. Para
denominadores diferentes, acha-se o MMC (mínimo múltiplo comum) dos denominadores, divide-se por cada
denominador e multiplica-se pelo seu respectivo numerador. De forma genérica, temos:
x p xq ± py
± =
y q
yq
5 1 10 − 3 7
=
− =
12 8
24
24
31 4 35
+ =
=7
15 15 15
1 1 2
− =
3 5 15
Propriedades da adição:
- Comutativa: x+y = y+x
- Associativa: x+(y+z) = (x+y)+z
- Elemento neutro: x+0 = x
- Elemento oposto: x+(-x) = 0
e. Multiplicação e divisão
Para a multiplicação de números racionais é suficiente multiplicarmos os numeradores e os
denominadores em separado, resultando um novo numerador e denominador e respeitando-se as regras de
sinais já estabelecidas:
 2 1  2 
 + . −  =  − 
 5   3   15 
 4   3   12 
 − . −  =  + 
 13   2   26 
Propriedades da multiplicação:
- Comutativa: x.y = y.x
- Associativa: x.(y.z) = (x.y).z
- Distributiva: x.(y+z) = (x.y) + (x.z)
- Elemento neutro: x.1 = x
- Elemento inverso:
x y
x
. = 1 ; se ≠ 0
y x
y
A divisão de números racionais é igual a multiplicação, desde que o segundo número seja invertido:
 2  1  2 3 6
  :  −  =  . −  −
 5   3  5  1 5
4
 4   3 8
−  : −  =
 13   2  39
Banco do Brasil
f.
Potenciação e radiciação
Tal qual os números naturais, a potenciação do número racional é a multiplicação de fatores iguais,
composta de base, expoente e potência.
3
8
 2   2  2  2 
 −  =  −  −  −  = −
125
 5   5  5  5 
Propriedades da potenciação:
0
1
 3
−  = 1
 8
 3
− 
 8
 3
 3
−  = − 
 8
 8
−2
2
64
 8
= −  =
9
 3
3
- Toda potência com expoente impar tem o mesmo sinal da base:
8
 2
−  = −
27
 3
4
- Toda potência com expoente par é positiva:
16
 2
−  = −
81
 3
- Produto de potências de mesma base. Conserva-se a base e somam-se os expoentes:
4
3
 2
 2  2
−  −  = − 
 5  5
 5
7
- Divisão de potências de mesma base. Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes:

−

4
3
2  2
 2
 :−  = − 
5  5
 5
2
- Potência de potência. Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes:
8
 2  4 
 2
−
=
−
 



 5
 5  
A radiciação de números racionais também é obtida sendo o inverso da potenciação. Alguns
exemplos devem ser expostos para uma melhor fixação:
2
4 2
4
2
= ⇒  =
25 5
25
5
4
16 2
=
81 3
3
0,027 = 0,3
− 0,16 = ?
Banco do Brasil
5
Exercícios de fixação:
1- Resolva as operações:
a.
7  5 1   7
−  −  − − +
24  12 8   6
b.
 3   1 
 16  :  − 12  +

  
c.
13  1   3 
−
−  :  
24  2   4 
3 
 =
4 
5  9 7 
− −  =
2   4 2 
3
2- Transforme em fração:
a. 2,08 =
b. 1,4 =
c. 0,017 =
d. 32,17 =
3- Reduza a uma potência:
7
3
2 2 2
a.   .  :  
3 3 3
12
b.
4
 16   16 
−  : − 
 25   25 
4
4- No dia do lançamento de um prédio de apartamentos,
1
1
desses apartamentos foi vendido e
foi
3
6
reservado. Qual a fração do total de apartamentos que não foram vendidos ou reservados?
5- Em um pacote há
4
1
de 1Kg de açúcar. Em outro pacote há . Quantos quilos de açúcar o primeiro
5
3
pacote tem a mais que o segundo?
Respostas: 1)a=5/12; b=15/4; c=13/144; 2)a=52/25; b=7/5; c=17/1000; d=3217/100; 3)a=(2/3)6; b=(16/25)8 ; 4)1/2; 5)7/15
6
Banco do Brasil
Questões de provas:
1- (Escriturário BB – 08/2011)
2- (Escriturário BB – 03/2011)
Banco do Brasil
7
3- (Escriturário BB – 03/2011)
4-
(Escriturário BB – 03/2011)
Gabarito: 1)c; 2)c; 3)a; 4)b
8
Banco do Brasil
Aula 02
1) Expressões numéricas
a. Expressões algébricas, variáveis e valor numérico
Expressões que contém letras e números, sendo as letras chamadas de variáveis. O valor numérico
é o resultado que se obtém quando substituímos as variáveis por números.
O valor numérico de X3+y2, para x = 1 e y = 2 é 5.
b. Adição e subtração
Para somar ou subtrair expressões algébricas basta somar ou subtrair os termos semelhantes.
x3+y5-x2z2+2x3-3y5+4x2z2 = 3x3-2y5+3x2z2
(x3+2y2+1) – (y2-2) = x3+y2+3
c. Multiplicação e divisão
Para multiplicar ou dividir expressões algébricas usamos a propriedade distributiva.
x(x2+y) = x3+xy
(a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by
(6x3-8x):2x = 3x2-4
(a-b)(x+y) = ax+ay-bx-by
(x4-5x3+9x2):(x2) = x2-5x+9
Exercícios de fixação:
1- Resolva as operações:
a.
1

x +  6 =
x

b.
c.
d.
e.
(3x2+2x-1)+(-2x2+4x+2) =
(2x+3)(4x+1) =
(x-y)(x2-xy+y2) =
(3x-y)(3x+y)(2x-y) =
Respostas: a=6x+6/x; b=-6x4+8x3+16x2-2; c=8x2+14x+3; d=x3-2x2y+2xy2-y3; e=18x3-9x2y-2xy2+y3
2) Múltiplos e divisores de números naturais
14:2 = 7
14 é múltiplo de 2 e 2 é divisor de 14.
Banco do Brasil
9
a. Conjunto dos múltiplos
É obtido multiplicando-se um número pela sucessão dos números naturais 0, 1, 2, 3.... O conjunto
dos múltiplos de 4 é: M(4) = {0,4,8,16,20,24...}
Obs.:
Todo número natural é múltiplo de si mesmo
Todo número natural é múltiplo de 1
Todo elemento do conjunto N* tem infinitos múltiplos
Zero é múltiplo de qualquer número natural
b. Divisibilidade
Regras práticas para saber se um número é divisível ou não por outro, sem a necessidade de efetuar a
divisão.
10
•
Divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 se ele for par. Ex: 9656, 4321.
•
Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos dos algarismos
do número é divisível por 3. Ex: 354, 5332.
•
Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 se seus dois últimos algarismos são 00 ou são
divisíveis por 4. Ex: 15300, 632, 1521.
•
Divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 se seu último algarismo for 0 ou 5. Ex: 5620,
78245, 6841.
•
Divisibilidade por 6: um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e por 3. Ex: 430254, 80530.
•
Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 se a diferença entre o número formado pelos
algarismos, sem o último, e o dobro do último for divisível por 7. Ex: 41909, 364609.
•
Divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 se seus três últimos algarismos são 000 ou são
divisíveis por 8. Ex: 153000, 6032
•
Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 se a soma dos valores absolutos dos algarismos
do número é divisível por 9. Ex: 6253461, 325103.
•
Divisibilidade por 10: um número é divisível por 10 se termina em 0.
•
Divisibilidade por 11: um número é divisível por 11 se a diferença ente a soma dos algarismos de
posição impar e a soma dos algarismos de posição par é um número divisível por 11. Ex: 43813,
83415721
•
Divisibilidade por 12: um número é divisível por 12 se for divisível por 3e por 4. Ex: 78324,
863104
•
Divisibilidade por 15: um número é divisível por 15 se for divisível por 3e por 5. Ex: 650430,
673225.
Banco do Brasil
3) Problemas
Normalmente a solução de problemas envolve as adições e subtrações e posteriormente as
multiplicações e divisões. Depois se faz necessária a criação de equações matemáticas com variáveis
(letras) para a resposta genérica. Se for necessário, substitui-se as variáveis pelos valores numéricos
encontrando-se, finalmente, a solução.
Exercícios de fixação:
1- A soma de 3 números pares consecutivos é 96. Determine-os.
2- O triplo de um número natural somada a 4 é igual ao quadrado de 5. Calcule-o.
3- A idade de um pai é igual ao quádruplo da idade do seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será
o triplo da idade do filho. Qual a idade atual de cada um?
4- O dobro de um número adicionado ao ser triplo corresponde a 20. Qual é o número?
5- Em uma fazenda existem galinhas e coelhos, totalizando 35 animais e 100 pés. Qual o total de
galinhas e coelhos na fazenda?
6- Verificou-se que numa feira 5/9 dos feirantes são de origem japonesa e 2/5 do resto são de origem
portuguesa. O total de feirantes japoneses e portugueses é 99. Qual o total de feirantes?
7- Num dia, uma pessoa lê 3/5 de um livro. No dia seguinte, lê ¾ do restante e no terceiro dia, lê as 20
páginas finais. Quantas páginas tem o livro?
8- A soma das idades de Lúcia e Gabriela é 49 anos. Qual a idade de cada uma, sabendo-se que a
idade de Lúcia é ¾ da idade de Gabriela?
9- Um aluno escreve 3/8 do total das páginas de seu caderno com tinta azul e 58 páginas com tinta
vermelha. Escreveu, assim, 7/9 do total de páginas do caderno. Quantas páginas possui o caderno?
Respostas: 1) 30,32,34; 2)7; 3)p=40, f=10; 4)4; 5)g=20, c=15; 6)135; 7)200; 8)L=21,G=28; 9)36
Banco do Brasil
11
Questões de provas:
1- (Escriturário BB – 02/2011)
2- (Escriturário BB – 06/2010)
3- (Escriturário BB – 08/2011)
12
Banco do Brasil
4-
(Escriturário BB – 03/2011)
Gabarito: 1)e; 2)c; 3)b; 4)a
Banco do Brasil
13
Aula 03
1) Frações e operações com frações
a. Adição e subtração
Para adicionar ou subtrair frações de mesmo denominador, somam-se os numeradores e repete-se o
denominador. Temos que analisar dois casos:
i.
Denominadores iguais
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o
denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o
denominador.
Observe os exemplos:
ii.
Denominadores diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de
denominadores iguais ao MMC dos denominadores das frações.
Ex:
4 5
+
5 2
Obtendo o MMC dos denominadores temos MMC (5,2) = 10.
b. Multiplicação e divisão
Nas multiplicações de frações multiplica-se o numerador com numerador e denominador com
denominador. Se necessário, simplifique o produto.
14
Banco do Brasil
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.
Sempre simplifique, caso necessário.
8 1 1 8 2 3 48
: : = X X =
5 2 3 5 1 1 5
Questões de provas:
1- (Escriturário BB – 01/2013)
Banco do Brasil
15
2- (Escriturário BB – 08/2011)
3- (Escriturário BB – 03/2011)
16
Banco do Brasil
4- (Escriturário BB – 02/2011)
5- (Ass. Adm. PMMG – 03/2012)
Gabarito: 1)d; 2)d; 3)e; 4)a; 5)c
Banco do Brasil
17
Aula 04
1) Números e grandezas proporcionais
a. Razão
A razão é simplesmente o quociente entre dois números. Apesar de ser representada por um número
racional, é lida de forma diferente.
Ex1: a razão entre 30 e 50 é
30 3
5
= , já a razão entre 50 e 30 é
50 5
3
Ex2: Se numa sala de aula há 18 homens e 24 mulheres, a razão entre o número de homens e
mulheres é
3
12
. Já a razão entre o número de mulheres e o total de alunos é
, o que significa que, para
4
21
cada 21 alunos, 12 são mulheres.
b. Proporção
Proporção é a igualdade entre 2 razões.
1
4
=
(1 está para 3 assim como 4 está para 12)
3 12
Não esquecer: Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Ex: A bula de um remédio indica 7 gotas para cada 1Kg da criança. Quantas gotas devem ser dadas para
uma criança de 8 Kg? E se fosse sabido que a criança precisa tomar 28 gotas, qual seria o peso da criança?
7
x
=
=> 42 gotas
1 8
1
x
=
=> 4 gotas
7 28
c. Propriedades da proporção
a.A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro (segundo) assim
como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro (quarto).
4 8
(4 + 3) (8 + 6) 7 14
=
=>
=
=> =
3 6
4
8
4
8
b.A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos consequentes
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
3 9
3+9
3 12 3
=
=>
= => =
2 6
2+6 2
8 2
18
Banco do Brasil
Exercícios de fixação:
1- Em um mapa, a distância em linha reta entre duas cidades é 10 cm. Sabendo que a distância real
entre elas é 3.000km, qual a escala utilizada na confecção do mapa?
2- A cidade de POA ocupa uma área aproximada de 500 Km2 e tem uma população de 1.500.000
habitantes, segundo o censo 2011. Qual é a densidade demográfica de Porto Alegre?
3- A diferença entre dois números é 65. Sabendo que o primeiro está para 9 assim como o segundo
está para 4, calcule esses números.
4- Em um galão, estão misturados água e tinta à razão de 9 para 5. Sabendo que há 81 litros de água
na mistura, qual o volume total?
Respostas: 1)1:30.000.000; 2)3.000 hab/km2; 3)117,52; 4)126
2) Divisão em partes proporcionais
a. Diretamente
Deve-se montar um sistema com quantas equações forem o número de incógnitas.
Ex1: determinar dois números diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo que a diferença entre eles
é 60.
x y x − y 60
= =
=
= 12 => x = 96; y = 36
8 3 8−3
5
Ex2: determinar os números diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, sabendo que o dobro do primeiro,
somado ao triplo do segundo e subtraído do quádruplo do terceiro é igual a 120.
a b c
2a + 3b − 4c
120
= = =
=
= −15 => a = −30; b = −60; c = −90
2 4 6 2.2 + 3.4 − 4.6 − 8
b. Inversamente
Segue-se a mesma linha de raciocínio da divisão em partes diretamente proporcionais (montar um
sistema com quantas equações forem o número de incógnitas) com a diferença na construção dos
denominadores.
Ex1: determinar dois números inversamente proporcionais a 8 e 3, sabendo que a diferença entre
eles é 60.
x y x − y 60
= =
=
= −288; x = −36; y = −96
1 1 3−8 −5
8 3
24
24
Ex2: determinar os números inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, sabendo que o dobro do primeiro,
somado ao triplo do segundo e subtraído do quádruplo do terceiro é igual a 10.
a b c 120
60
30
20
= = =
=> a =
;b = ;c =
1 1 1 13
13
13
13
2 4 6
Banco do Brasil
19
3) Regra de três
a. Simples
É o processo usado para resolver problemas envolvendo duas grandezas, diretamente ou
inversamente proporcionais.
Ex1: Se um carro faz 180km com 15 litros de combustível, quantos litros ele gastaria para percorrer
210km?
Ex2: Ao participar de uma corrida, um piloto faz um percurso em 18 segundos com uma velocidade
média de 200km/h. Se sua velocidade fosse aumentada para 240km/h, em quanto tempo ele faria o mesmo
percurso?
b. Composta
É o processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou
inversamente proporcionais.
Ex1: Em 4 dias, 8 máquinas produzem 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas levaria para
produzir 300 peças?
Exercícios de fixação:
1- Duas torneiras enchem um tanque em 75 min. Em quantos minutos 5 torneiras encheriam esse
mesmo tanque?
2- Com 3 pacotes de pão, Samanta faz 63 sanduíches. Quantos pacotes ela precisa para fazer 105
sanduíches?
3- Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m.
Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um
muro de 225m?
Respostas: 1)30; 2) 5; 3)15 dias
4) Porcentagem e problemas
Denomina-se porcentagem a medida da razão que apresenta como base o número 100 (razão
centesimal). Assim, admitindo a razão 2/5, podemos transformá-la em centesimal se multiplicarmos o
numerador e o denominador por 20.
Desse modo a razão centesimal 40 para 100 é equivalente à expressão 40 por cento e pode ser
representada por 40% (forma porcentual).
Um método fácil de expor a forma porcentual de uma razão é achando a sua forma decimal (dividindo
o numerador pelo denominador), e multiplicando-a por 100.
2
= 0,4 (forma decimal)
5
0,4 . 100 = 40% (forma porcentual)
20
Banco do Brasil
a. Aumento percentual e aumento sucessivo
É o resultado direto do percentual aplicado sobre um dado valor inicial. Basta somar o percentual
dado, representado na forma de decimal, à unidade e multiplicar pelo valor inicial.
Para o caso de aumentos sucessivos, basta multiplicar os fatores dos aumentos individuais.
Ex1: Um produto que custava V teve um aumento de x%. Qual seu valor final?
x 
 x 

V =>Vf = V 1 +

 100 
 100 
Vf = V + x % de V =>Vf = V + 
Fator de aumento
Ex2: Um produto que custava R$ 100,00 sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Qual o preço final do
produto?
Pf = 100 (1+0,2)(1+0,2) =>Pf = 100 (1,2)2 =>Pf = R$ 144,00
b. Desconto percentual e desconto sucessivo
Tem o mesmo raciocínio do aumento percentual, com o sinal de subtração no lugar da adição.
x 
 x 

V =>Vf = V 1 −

 100 
 100 
Vf = V - x % de V =>Vf = V- 
Fator de desconto
Para o caso de descontos sucessivos, também multiplicam-se os fatores dos aumentos individuais.
Ex1: Um produto que custava R$ 120,00 sofreu dois descontos sucessivos de 10% e 20%. Qual o preço final
do produto?
Pf = 120 (1-0,1)(1-0,2) =>Pf = 120 (0,9)(0,8) =>Pf = R$ 86,40
Ex2:Maria decidiu fazer uma economia e guardou 45 % do seu salário. Se o salário dela é de R$ 900, quanto
de dinheiro Maria juntou?
45% de 900 = 0,45 . 900 = 405 (reais)
Ex3:Uma TV de plasma que custava R$ 1.200 passou a custar R$ 900 durante uma promoção. Qual foi a
porcentagem de desconto da TV?
Desconto = 1200 – 900 = 300 (reais)
A questão também poderia ser resolvida assim:
Banco do Brasil
21
Questões de provas:
1- (Escriturário BB – 04/2006 - DF)
2- (Escriturário BB – 08/2011)
3-
22
(Escriturário BB – 06/2010)
Banco do Brasil
4-
(Escriturário BB – 06/2010)
5- (Téc. Bancário BANESE – 03/2012)
6- (Téc. Bancário BANESE – 03/2012)
Banco do Brasil
23
7- (Escriturário BB – 04/2006 - SP)
8- (Escriturário BB – 08/2011)
9- (Escriturário BB – 06/2010)
24
Banco do Brasil
10- (Téc. Bancário BANESE – 03/2012)
11- (Ag. Adm. MPU/RS – 12/2010)
12- (Ag. Adm. MPU/RS – 12/2010)
Gabarito: 1)c; 2)a; 3)e; 4)b; 5)e; 6)c; 7)c; 8)e; 9)d; 10)d; 11)e; 12)a
Banco do Brasil
25
Aula 05
1) Estatística Descritiva
a. Média aritmética simples
A média dos elementos de um conjunto numérico é a soma de todos os seus elementos, dividida
pela quantidade de elementos.
Ex: qual a média aritmética entre os números 3,4,6,9 e 13?
X=7
b. Média aritmética ponderada
A média dos elementos de um conjunto numérico é a soma dos produtos de cada elemento,
multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela soma dos pesos.
Ex: qual a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 com pesos 2, 3 e 5,
respectivamente?
X = 18
Exercícios de fixação:
1- Em uma sala do 1º ano do ensino médio, 10 alunos possuem 14 anos, 12 possuem 15 anos e 8
possuem 16 anos. Qual é a idade média dessa turma?
2- Alcebíades participou de um concurso, onde foram realizadas provas de Português, Matemática,
Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que Alcebíades
tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média que
ele obteve?
3- Calcule a média salarial de uma empresa, cuja folha de pagamento é assim discriminada:
Profissionais
Auxiliares
Técnicos
Engenheiros
Quantidade
20
10
5
Salário
R$ 640,00
R$ 1.680,00
R$ 3.200,00
Respostas: 1)14,933...; 2)6,45; 3)R$ 1.302,85
26
Banco do Brasil
Questões de provas:
1- (Escriturário BB – 01/2013)
2- (Escriturário BB – 08/2011)
Banco do Brasil
27
3- (Escriturário BB – 03/2011)
4- (Téc. Bancário BANESE – 03/2012)
5- (Ag. Adm. MPU/RS – 12/2010)
28
Banco do Brasil
6- (Escriturário BB – 04/2006 - SP)
Gabarito: 1)a; 2)c; 3)b; 4)e; 5)c; 6)e
Banco do Brasil
29
Aula 06
O gráfico é uma forma de representar os dados mediante uma visualização imediata. Ele permite
uma rápida interpretação dos valores apresentados.
O importante para analisar uma questão é determinar o significado dos eixos e os valores
distribuídos.
Usemos,
mos, como exemplo, os dados da tabela representada abaixo:
2) Gráficos de Barras
O gráfico em barras é a representação por meio de figuras retangulares com tamanhos
variáveis – todos alinhados na base – indicando os valores analisados.
Se a apresentação dos retângulos estiver na vertical, o gráfico é chamado de gráfico de
colunas.
30
Banco do Brasil
3) Gráficos de Setor
Também conhecido como gráfico de pizza é uma representação onde um círculo,
representando o total, é dividido proporcionalmente à frequência dos dados.
4) Gráficos Linhas
Muito usado para mostrar crescimento, decrescimento e estabilidade, o gráfico de linhas é
utilizado para a representação poligonal de algum dado. É a melhor representação gráfica para
mostrar tendências ao longo do tempo.
Banco do Brasil
31
5) Infográficos
A melhor definição para infográficos seria a junção das palavras informação + gráficos.Os
infográficos normalmente contêm breves textos com ilustrações em sua apresentação de modo que o
leitor tenha tantas informações quanto possível.
32
Banco do Brasil
Fonte: visualoop.com.br – out/2012
Banco do Brasil
33
Questões de provas:
1- (Escriturário BB – 01/2013)
34
Banco do Brasil
2- (Escriturário BB – 01/2013)
Banco do Brasil
35
3- (Ag. Adm. MPU/RS – 12/2010)
Gabarito: 1) 21-e; 22-a; 2) 23-b; 24-c; 25-e; 3)d
36
Banco do Brasil
Aula 07
6) Juros simples
Os juros são uma quantia em dinheiro paga a um credor por um devedor, referente à remuneração
ocasionada por um empréstimo. É necessário nos familiarizarmos com as nomenclaturas usadas neste tipo
de transação.
O dinheiro que se empresta e sobre o qual são calculados todos os juros é chamado de capital e
representado pela letra C.
Os juros são representados pela letra J.
O tempo durante o qual é contratado o empréstimo é denominado n.
A taxa de juros – razão centesimal que incide sobre o capital – é representada por i.
O valor final a ser pago é o montante e representado por M.
a. Cálculo dos juros simples
Se for aplicado uma taxa de juros i a um capital C, durante n períodos consecutivos sob o regime
de capitalização simples, os juros formados no final de cada período serão iguais. Assim:
J = C.i.n
E o montante, que é a soma do capital com os juros, seria:
M = C + J = C(1+i.n)
Ex1: Quais os juros de um capital de R$ 1.000,00, colocado a uma taxa de 1,5 % a.m., durante 6
meses?
J = 1000.0,015.6 =>J = R$ 90,00
Ex2: Qual o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado a uma taxa de 1% a.m. durante
1 ano e meio?
M = 1200 (1+0,01.18) =>M = R$ 1.416,00
Ex3: A que taxa esteve empregado o capital de R$ 20.000,00 e que rendeu, em 3 anos, R$
36.000?
i = 100 X (36000)/(20000.3) =>i = 60% a.a.
7) Juros compostos
No regime de capitalização composta os juros obtidos, ao final de cada período, são incorporados ao
principal e passam, por sua vez, a render juros. É o chamado juros sobre juros.
O crescimento do montante sob o regime de juros compostos cresce exponencialmente enquanto
que, no regime de juros simples, o crescimento do montante é linear.
Banco do Brasil
37
a. Cálculo dos juros compostos
Se for aplicado uma taxa de juros i a um capital C, durante n períodos consecutivos sob o regime
de capitalização composta, os juros formados no final de cada período serão:
J1 = M0.i
J2 = M1.i
J3 = M2.i
E o montante é dado por:
C = M0
M1 = M0 + J1 = M0 + M0.i = C(1+i)
M2 = M1 + J2 = M1 + M1.i = C(1+i)2
M3 = M2 + J3 = M2 + M2.i = C(1+i)3
M = C(1+i)n
Assim, os juros obtidos no final do período ficam:
J=M-C
J = C(1+i)n-C
J = C[(1+i)n-1]
Ex1: Qual o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado a uma taxa de juros compostos
de 1% a.m. durante 1 ano e meio?
M = 1200 (1+0,01)18 =>M = R$ 1.435,37
38
Banco do Brasil
Questões de provas:
1- (Escriturário BB – 08/2011)
2- (Escriturário BB – 03/2011)
3- (Escriturário BB – 03/2011)
Banco do Brasil
39
4- (Escriturário BB – 02/2011)
5- (Escriturário BB – 02/2011)
6- (Téc. Bancário BANESE – 03/2012)
40
Banco do Brasil
7- (Téc. Bancário BANESE – 03/2012)
8- (Escriturário BB – 04/2006 - SP)
9- (Ass. Adm. PMMG – 03/2012)
Banco do Brasil
41
10- (Ag. Adm. MPU/RS – 12/2010)
11- (Ag. Adm. MPU/RS – 12/2010)
Gabarito: 1)b; 2)d; 3)c; 4)b; 5)d; 6)b; 7)d; 8)e; 9)b; 10)d; 11)e
42
Banco do Brasil