A Indução Eletromagnética

Eletromagnetismo
A Indução Eletromagnética
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1
Introdução
Vimos na eletrostática que uma distribuição de cargas produz um campo elétrico.
No entanto, não só cargas elétricas em repouso ou em movimento podem gerar campos elétricos.
Campos magnéticos, que variam com o tempo, também podem dar origem a campos elétricos.
Esse fenômeno é conhecido como indução, pois um campo elétrico é induzido pela variação de
outro campo – o campo magnético.
Neste tópico, abordaremos ainda outra forma de gerar campos magnéticos. Essa forma é um
tanto sutil. Trata-se de um efeito relativístico, ou seja, ainda que o campo magnético não varie
com o tempo, se nós nos colocarmos num referencial em movimento, nesse referencial existe
um campo elétrico que se relaciona de uma forma muito simples com o campo magnético. É
um fenômeno análogo à lei de Biot-Savart invertendo-se, no entanto, os papéis dos campos
elétricos e magnéticos. Tem origem, em última análise, no caráter relativo de campos dos
campos elétricos e magnéticos.
Os dois fenômenos a serem abordados neste tópico têm um número muito grande de aplicações.
A lei que, afinal, descreve os dois fenômenos em termos do conceito de força eletromotriz estabelece
o princípio básico sobre o qual está assentada, por exemplo, a geração de energia elétrica em
grande escala. Para isso, construímos equipamentos denominados geradores. Outros dispositivos
como transformadores e motores fazem uso, para efeitos práticos, dos dois fenômenos descritos
nos dois primeiros parágrafos.
Apesar de outros pesquisadores estarem, àquela época, investigando o fenômeno, credita-se a
Michael Faraday  a descoberta experimental da indução eletromagnética no ano de 1831.
A experiência de Faraday era simples. Ele colocou duas bobinas próximas uma da outra. Em
seguida, fez passar uma corrente por uma delas. Notou que, ao abrir e fechar o circuito nessa
bobina, surgia uma corrente na outra. Dedicou-se ao tema durante muitos anos, tendo realizado
experiências envolvendo a indução provocada por ímãs, além de bobinas.
Entendemos hoje que, ainda com referência à primeira experiência de Faraday, o movimento dos
elétrons no segundo circuito se deve ao surgimento de uma força elétrica que atua nesses elétrons.
Esse fenômeno foi descrito, historicamente, como associado a uma força eletromotriz.
Figura 1: Usina Hidroelétrica de Itaipu.
De caráter binacional, localizada na fronteira
entre Brasil e Paraguai.
Figura 2: Ilustração e esquema da experiência
de Faraday.
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2
Veremos, neste tópico, que a força eletromotriz (que, a rigor, não é uma força)
se origina da variação do campo magnético produzido pelo primeiro circuito.
Heinrich Friedrich Emil Lenz deu outra contribuição significativa para o entendimento do
fenômeno ao definir um critério para se estabelecer o sentido da corrente elétrica induzida.
Tal critério acarreta, na verdade, a determinação do sinal num dos membros da equação de Maxwell.
Faraday descobriu ainda um segundo fenômeno eletromagnético, ou seja, o surgimento de uma
força eletromotriz que provoca o deslocamento de elétrons num condutor. Nesse novo fenômeno,
não ocorre uma variação do campo magnético com o tempo. Ainda assim, surge uma força
eletromotriz que impulsiona os elétrons ao movimento, desde que um condutor, um fio por exemplo,
esteja em movimento. Essa é a base do princípio de funcionamento do seu famoso Disco de Faraday.
Tal arranjo consistia, essencialmente, de um disco de cobre colocado entre os polos de um
magneto com a forma de uma ferradura, que, quando colocado em movimento giratório, funciona
como um gerador (dito gerador homopolar). Assim, coube a ele a construção do primeiro gerador
de eletricidade.
Assim, Faraday descobriu, por meio de experiências, que se pode gerar uma força eletromotriz
mesmo quando não existe uma variação do campo magnético ao longo de um circuito ou de
um condutor elétrico. Tal força eletromotriz surge quando o circuito ou o condutor se move em
determinadas direções em relação a um campo magnético uniforme.
Em resumo, Faraday descobriu dois fenômenos que, como se verá a seguir,
podem ser descritos em termos de um único conceito – o conceito de força
eletromotriz; portanto, os dois fenômenos eletromagnéticos, os quais, a despeito
de terem origens distintas, podem ser descritos a partir de uma só lei.
Logo depois das descobertas de Faraday houve uma corrida para a construção dos precursores
dos dínamos, os quais são geradores de eletricidade baseados na variação do fluxo de campos
magnéticos. Os primeiros geradores eram muito ineficientes. Até então, a corrente elétrica era
fornecida pelas pilhas. A viabilidade prática de tais dispositivos e a fabricação de dínamos em larga
escala só vieram a acontecer depois de 1866.
Muitas são as aplicações práticas do fenômeno da indução e da relatividade dos conceitos de
campo elétrico e magnético. A seguir, analisaremos algumas delas.
Figura 3: Ilustração e esquema do disco
de Faraday.
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3
Dois fenômenos distintos
O surgimento de uma força eletromotriz no caso de condutores em repouso submetidos a
um campo magnético que varia com o tempo, e aquele em que os condutores se movimentam
numa região que contém um campo magnético constante no tempo tem explicações distintas.
É interessante que, apesar de terem origens distintas, ainda assim é possível descrever os dois
fenômenos utilizando apenas uma lei.
Num primeiro caso, estamos tratando da variação do campo magnético com o tempo. Nesse
caso, a Lei de Faraday, discutida a seguir, se escreve da seguinte forma:


∂B
( 1 )
∇×E = −
∂t
Essa é a equação básica do fenômeno da indução, ou seja, um campo magnético que varia com o
tempo se comporta como uma fonte na geração de um campo elétrico (o campo elétrico induzido).
No segundo caso, um condutor ou um circuito é colocado em movimento numa região na qual
existe um campo magnético constante no tempo. Esse foi o segundo fenômeno observado por
Faraday a partir da sua experiência envolvendo um disco condutor em rotação.
Duas linhas de raciocínio inteiramente equivalentes podem ser adotadas para se entender a
segunda classe de fenômenos. Cada uma delas faz uma análise a partir de referenciais distintos.
Na primeira delas, o fenômeno é analisado a partir do referencial do laboratório, referencial
no qual os elétrons são vistos em movimento. Nesse caso, a existência da força que coloca os

elétrons em movimento dentro de um condutor, quando este se move com velocidade v , é uma
consequência da Força de Lorentz. Assim, quando um condutor se move numa região em que
existe um campo magnético independente do tempo, cada um dos elétrons experimentará a ação
de uma força dada por:
 
  
F ( r ) = qV × B ( r )
( 2 )
Considere agora o caso em que analisamos o mesmo fenômeno a partir do referencial que se
move junto com o condutor.
Ele experimentará a ação de uma força magnética?
Figura 4: A aproximação do ímã é equivalente à
variação do campo magnético no circuito gerando
um campo elétrico que colocará os elétrons.
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4
Não, pois nesse referencial tudo se comporta como se os elétrons estivessem em repouso.
A solução para esse aparente paradoxo vem da Teoria da Relatividade, na qual interpretamos
os campos elétricos e magnéticos como algo análogo a “duas faces da mesma moeda”. Assim, de
acordo com a Teoria da Relatividade, no referencial do condutor em movimento existe, além do
campo magnético, um campo elétrico, que é dado por:

  

Emovimento ( r ) = V × B ( r )
( 3 )

onde, agora, V é a velocidade relativa entre dois referenciais. No referencial do elétron, seu movimento
é atribuido ao campo elétrico resultante do movimento de acordo com a expressão 3. Sobre o elétron
age uma força dada por:
 

  

F ( r ) = qEmovimento ( r ) = qV × B ( r )
( 4 )
Assim, o resultado, quando analisado a partir dos dois referenciais, é o mesmo.
exemplos 
O que é força eletromotriz?
Força eletromotriz (ε = f.e.m.) é uma grandeza física atribuída a fontes e dispositivos como pilhas,
baterias e geradores elétricos. Essa denominação, de natureza histórica, não é uma força, como o
nome sugere.
Na definição rigorosa de força eletromotriz, fazemos uso de grandezas físicas obtidas através
de integrais de caminhos dos campos elétricos. Nessa formulação, a força eletromotriz é definida
como uma integral de caminho do campo elétrico, caminho designado por Γ, ao longo de uma
curva fechada, isto é, ela é definida por:
ε=
E
∫ ⋅ dl
Γ
( 5 )
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5
O campo elétrico acima pode ser de qualquer natureza: tanto aquele que resulta da variação
do campo magnético (veja expressão 1) como aquele deduzido a partir da teoria da relatividade
(expressão 3). Campos derivados de potencial, como aqueles da eletrostática contribuem com um
valor nulo para a f.e.m.
Como se nota na definição 6, a f.e.m. é a quantidade de energia por unidade de carga (joule/
coulomb) envolvida no deslocamento de uma carga elétrica – em um trajeto interno no interior da
fonte – de um terminal para outro, portanto – produzindo, entre eles uma diferença de potencial
elétrico. Por isso, ela é medida em “volt”.
A lei de Faraday
Para introduzir a lei de Faraday, mister se faz definir outra grandeza física denominada fluxo
do campo magnético. Definimos o fluxo do vetor campo magnético através de uma superfície
delimitada pelo caminho como a integral de superfície:
Φ = ∫∫ B idS
S
( 6 )
Figura 5: Fluxo de um vetor através de
uma superfície.
Muitas vezes podemos ter uma ideia do fluxo magnético analisando as linhas de força (ou linhas
do fluxo) do campo magnético.
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6
Considere, a título de exemplo, o caso de um ímã. O fluxo magnético − φ − é tanto maior quanto
maior for o conjunto de “linhas de fluxo” do campo magnético que atravessa uma superfície. O
fluxo será máximo se as linhas forem perpendiculares à superfície. Caso isso não ocorra, devemos
considerar apenas as componentes normais. No ímã de barra, o fluxo magnético através das
superfícies dos polos é o conjunto de todas as linhas de fluxo que as atravessam.
O fluxo magnético é uma grandeza escalar e a sua unidade de medida no sistema SI é o “weber”
(leia-se: véber), cujo símbolo é Wb, em homenagem ao físico alemão Wilhelm Webber .
exemplos 
A Lei de Faraday estabelece uma relação muito simples entre a força eletromotriz e a taxa com
que o fluxo magnético varia com o tempo. Tal lei se escreve:
ε=−
dΦ
dt
Figura 6: Linhas de fluxo de um ímã
de barra. As linhas são contínuas; elas
atravessam a superfície do polo S e saem
pela superfície do polo N, e retornam ao
polo S e assim sucessivamente.
( 7 )
Seu significado físico é simples. Uma corrente elétrica será induzida ao longo de um circuito
fechado se o campo magnético variar com o tempo, afetando o seu fluxo sobre uma superfície que
contém o circuito.
A força eletromotriz surgirá tanto no caso em que existe um movimento do circuito
(a corrente resulta da força de Lorentz), quanto no caso em que o campo elétrico surge devido à
alteração do campo magnético com o tempo, ou os dois efeitos concomitantemente.
Assim, a Lei de Faraday descreve os dois fenômenos apontados na introdução.
Finalmente, é importante comentar o sinal negativo da Lei de Faraday.
Esse sinal negativo é a contribuição de Lenz já mencionado. Esse sinal
determina o sentido da força eletromotriz resultante. De acordo com Lenz,
esse sentido se opõe à variação que o produziu.
Dito de outra forma, a Lei de Lenz afirma que:
A força eletromotriz induzida agirá de tal forma que a corrente
induzida gere um campo magnético, cujo fluxo se oporá à mudança no
fluxo magnético que a produz.
Figura 7: A força eletromotriz é dada como a
integral de caminho do campo elétrico numa
curva fechada. O fluxo do campo magnético se
refere ao fluxo numa superfície aberta delimitada por essa curva.
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7
Em particular, podemos afirmar que, quando o fluxo que induz a corrente está aumentando
com o tempo, o fluxo induzido (associado ao campo produzido pela corrente elétrica) tem sentido
oposto. No entanto, quando o fluxo indutor estiver diminuindo com o tempo, o fluxo induzido tem
o mesmo sentido que o indutor.
A indução eletromagnética é descrita, portanto, por duas Leis:
• Lei de Faraday que determina a f.e.m. (e, por consequência, a corrente elétrica) induzida.
• Lei de Lenz, que permite determinar o sentido da corrente induzida.
Figura 8: Indução por conta da variação do campo magnético.
exemplos 
Aplicações
Geração de energia elétrica
Um exemplo da utilização do fenômeno da indução o da geração de energia elétrica por meio de
geradores instalados em usinas hidroelétricas ou usinas atômicas. Nesses casos, existe a conversão
de duas formas de energia (gravitacional e atômica, respectivamente) em energia elétrica.
Numa usina hidroelétrica, formamos uma enorme barragem na qual a água é represada. Em
alguns pontos da barragem, permitimos o escoamento da água que, em seu movimento descendente,
atinge as hélices de turbinas que então se colocam em movimento. Condutores distribuídos de
forma a se movimentarem numa região em que existe um campo magnético produzirão correntes
elétricas. Na Figura 10 ilustramos como uma corrente alternada é produzida num gerador.
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b
a
Figura 10: Princípio de funcionamento de um
gerador de corrente alternada.
Figura 9: Usina Hidrelétrica de Itaipu (a) e
esquema de seu funcionamento (b).
De acordo com o que foi analisado nos dois exemplos anteriores, quando existe um campo
magnético uniforme numa região em que uma espira de área S se movimenta dotada de velocidade
angular ω, existe uma variação do fluxo do campo magnético através da espira. Seja θ o ângulo entre
a normal ao plano da espira e o campo magnético. Nessas circunstâncias, o fluxo será dado por:
Φ = BS cosθ
( 8 )
Se a velocidade angular for constante, o ângulo θ varia com o tempo de acordo com a expressão:
θ = ωt + θ0
( 9 )
E, portanto, o fluxo varia com o tempo de acordo com a expressão:
Φ = BS cos ( ωt + θ0 )
( 10 )
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9
Da expressão acima deduzimos que a força eletromotriz é dada por:
ε=−
dΦ
d
= − BS cos ( ωt + θ0 ) = BS ωsen ( ωt + θ0 )
dt
dt
( 11 )
Essa força eletromotriz pode ser expressa como:
ε = V0 sen ( ωt + θ0 )
( 12 )
Existe, portanto, uma diferença de potencial entre os coletores (diferença de potencial entre os
fios de entrada e de saída da espira) que varia com o tempo de forma periódica. Essa diferença de
potencial é denominada voltagem alternada. Esse é o princípio de funcionamento de um gerador
de corrente alternada.
Se um gerador estiver conectado a um circuito cuja resistência é R (usualmente, a resistência
interna), a corrente resultante será uma corrente alternada da forma:
i=
ε V0
= sen ( ωt + θ0 ) = i0 sen ( ωt + θ0 )
R R
( 13 )
Motor elétrico
Um fio condutor, quando conectado a uma bateria, será percorrido por uma corrente elétrica.
Considere um arranjo no qual uma espira é ligada a uma bateria, de tal forma que ela seja agora
colocada numa região em que existe um campo magnético. De acordo com a Força de Lorentz,
os elétrons experimentarão uma força cuja orientação é dada pela Figura 11. Cria-se, em função
da geometria do fio, um torque que colocará a espira em rotação. Considerando-se um conjunto
muito grande de espiras, esse efeito é grandemente ampliado. O movimento de rotação que pode
ser transferido a um eixo é de origem mecânica e pode ser aproveitado para os mais diversos fins.
O fato é que um fio no formato de uma espira quando percorrido por uma corrente e colocado
numa região onde existe um campo magnético externo experimentará a ação de um par de forças
denominado binário.
Figura 11: Força sobre uma espira percorrida
por uma corrente quando sob a ação de um
campo magnético.
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10
Transformadores
Quando variamos a corrente num circuito primário, geramos um campo magnético variável no núcleo
de um transformador. Se dispusermos de um segundo circuito − o secundário, esse campo magnético
variável induzirá uma força eletromotriz nesse circuito. É um efeito denominado indução mútua.
Figura 12: Transformador seu esquema de funcionamento.
exemplos 
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Exemplos: Dois Fenômenos distintos
Exercício 1
A bobina retangular feita de fio de cobre é posta a girar com velocidade angular ω = 2πf por meio

de uma manivela, numa região em que existe um campo magnético B. Essa região se localiza entre
os dois polos de um ímã. Fixando nossa atenção em apenas uma espira das grandes bobinas dos
geradores de corrente elétrica, este arranjo simples permite entender o princípio de funcionamento
de um gerador elétrico.
Como os elétrons livres do fio são postos em movimento?
Solução comentada

Ao girar os elétrons, eles adquirem uma velocidade v associada ao movimento de rotação da espira
  
( v = ω × r ). Isso significa que os elétrons livres do fio experimentam a ação de uma força magnética

 
dada pela equação 2, isto é: F = −e ( v × B ) . O sinal negativo advém do fato de a carga do elétron ser
negativa: q = −e (e = 1,6 × 10−19 C).

A Figura 13 ilustra uma posição da espira na qual a velocidade v é, momentaneamente,

perpendicular a B para facilitar o raciocínio.
 
Figura 13: Aplicação da Força de Lorentz F = qv × B sobre um elétron
 livre nos lados AB e CD da espira quando
eles (este lados) cruzam perpendicularmente o campo magnético B .
Figura 12: Esquema de uma bobina girante.
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12

Na Figura 13, representamos duas situações opostas: no lado AB a força magnética F sobre um
elétron livre é no sentido B para A; e no lado CD, ela é no sentido C para D. Isso ocorre por causa da
posição do elétron nesse segmento, que é invertida em relação ao segmento AB.
a
b
Figura 14: Referencial cartesiano adotado: 0x na direção do eixo de rotação e o eixo 0y na direção e sentido
do campo magnético B . Em (b), o ângulo
o lado AC e o campo
magnético é φ, crescente no sentido da



 entre
rotação da espira. Neste sistema: B = Bj e V = V sen ϕ. j + v cos ϕ.k .
Para melhor análise, vamos adotar um sistema cartesiano e escrever os vetores velocidade e
campo magnético em função dos versores cartesianos. A Figura 14 mostra o sistema cartesiano
adotado. Vamos agora analisar a força sobre um elétron livre do lado AB enquanto a espira
gira no sentido horário (quando vista de uma posição perpendicular ao plano que contenha a
manivela em movimento).
Seja φ o ângulo entre o plano que contém a espira e o plano xy que é, como resultado da rotação
crescente no sentido horário, tendo como referência (φ = 0) quando a espira estiver na posição da
Figura 14. A velocidade e o campo magnético podem ser escritos assim:



V = V .sen ϕ. j + V .cos ϕ.k


B = B. j
Substituindo-se na equação 1, teremos:

 



 
F = q. V .sen ϕ. j + V cos ϕk × B. j = qvB.sen ϕ ( j × j ) + qVB.cos ϕ k × j
(
)
(
)
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13
 

 
Como ( j × j ) = 0 e k × j = −i , temos:



F = [ q.V .B.cos ϕ] ( −i ) = − [ qvB cos ϕ] i
(
)
Como se trata de um elétron: q = −e, a expressão da força se reduz a:



F = − ( −e ) vB cos ϕ  i = [ eVB cos ϕ] .i
Devido ao movimento da espira, o ângulo φ varia com o tempo. Em termos do período do
movimento de rotação, escrevemos:
2π
ϕ = ωt =
t
T
Analisemos o que ocorre com os elétrons do lado AB à medida que a espira gira de 0 até φ = π,
ou seja, realiza uma meia rotação (decorrido um intervalo de tempo de meio período). Primeiramente,
como nesse intervalo a função cosφ cresce de 0 até 1 (−φ = π/2), a força varia de F = 0 até
F = evB. Posteriormente, quando o ângulo varia de π/2 até π, a função cosφ varia de 1 até atingir o
valor 0 e, portanto, nesse intervalo de tempo a força diminui até se anular em φ = π. Isso significa
que, no primeiro momento, os elétrons livres, contidos no lado AB da espira, são impelidos sempre
no mesmo sentido, o sentido positivo de 0x (ou seja, de B para A). No meio ciclo seguinte, quando
o ângulo varia de π até 2π, o cosφ adquire valores negativos e a força F = eVBcosφ assume valores
negativos, ou seja, os elétrons são impelidos no sentido oposto ao anterior (ou seja, de A para B).
O que ocorre no lado CD da espira? Exatamente o oposto. Assim, conforme a espira gira, nos
coletores 1 e 2 acumulam-se, alternadamente, cargas negativas em um deles e falta de cargas
negativas em outro. Por isso, esse tipo de gerador é denominado gerador de corrente alternada.
O vai e vem dos elétrons corresponde a uma corrente que se alterna. Tudo volta a acontecer da
mesma forma depois de um período T.
Podemos escrever a corrente alternada sob a forma:
i = i0 sen ( ωt + δ )
( 14 )
Os elétrons livres dos lados AC e DB da espira também sofrem ação da Força de Lorentz, porém,
eles são compelidos em direção à superfície interna do fio.
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14
Exercício 2
Transferindo-nos para o referencial da espira em movimento, como se comporta o campo
elétrico nos lados AB e CD da espira girante do Exemplo 1?
Solução comentada
Vamos usar os resultados do Exemplo 1. Lá foram estabelecidos:
 



V = V sen ϕ. j + V cos ϕ.k e B = Bj
Portanto, substituindo-se em 000 temos que o campo elétrico no interior dos fios da espira é:

 



 
E = V sen ϕ. j + V cos ϕ.k × B. j = (VB sen ϕ ) ( j × j ) + (VB cos ϕ ) k × j
 


 
Como ( j × j ) = 0 e k × j = −1 o vetor campo elétrico será E = −VB cos ϕ.i .
O campo elétrico tem a direção do eixo 0x (que é paralelo aos lados AB e CD da espira) mas no
sentido oposto ao positivo do eixo 0x. Portanto, ao longo do lado AB da espira atua um campo




elétrico expresso por E = −VB cos ϕ.i , cujo sentido é oposto ao da força F = eVB cos ϕi .
O campo elétrico no interior do fio varia conforme a espira gira; para ângulos entre π ≤ φ ≤ 2π,
o sentido do campo é oposto ao que vigora entre os valores 0 ≤ φ ≤ (π/2) em completa concordância
com os resultados do Exemplo 1.
(
(
)
)
(
)
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15
Exemplos: A lei de Faraday
Exercício 3


Qual é o fluxo do campo magnético uniforme dado por B = B.k através de uma espira plana
retangular e pertencente ao plano xy (veja Figura 15), e de lados x = a e y = b?
Figura 15: Fluxo do campo magnético num
elemento de superfície plana.
Solução comentada:

O elemento de área no plano xy é ds = dx.dy. Define-se o vetor elemento de área d s como um



vetor perpendicular ao elemento de área, ou seja, d s = (ds).en, onde en = vetor unitário na direção
perpendicular à superfície. No caso em tela, a direção normal à superfície considerada é o eixo






0z, o que implica que en = k . Então, podemos escrever que d s = (ds).k . Substituindo-se B e d s na
equação 000, temos:


 
 
ϕ = ∫∫ ( B ⋅ ds ) = ∫∫ Bk ⋅ ds.k = ∫∫ ( Bds ) k ⋅ k = ∫∫ ( Bds )
S
S
(
)
S
(
)
S
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16
Substituindo ds = dxdy, o fluxo é obtido resolvendo-se uma integral dupla cujo domínio é 0 ≤ y ≤ b
e 0 ≤ x ≤ a, conforme indica a figura. Logo:
a b
ϕ = ∫ ∫ Bdydx = B.a.b = B.S
0 0
Unidade do campo magnético em função da unidade de fluxo.
Da resposta acima podemos escrever: B = φ/S; portanto,
a unidade de B = (unidade de fluxo)/(unidade de área) = Wb/m² = tesla = N/amp.m.
Exemplo 4
A Figura 16 ilustra um campo magnético constante (módulo, direção e sentido) atravessando
uma espira circular de área S totalmente contida no plano. Determine o fluxo do campo
magnético na espira.
Solução comentada:
Nesse caso, a direção normal ao plano da espira difere da direção do campo magnético de
um ângulo θ.


A definição de produto escalar entre dois vetores nos leva a escrever B . d s = B.ds.cosθ.
Portanto, ϕ = ∫∫ ( B.ds.cos θ) = B.cos θ∫∫ ds . Uma vez que ∫∫ ds. = S , o fluxo na espira é:
S
S
S
φ = B.S.cosθ
Observa-se que
1. Quando as linhas de fluxo forem perpendiculares ao plano da área S, o ângulo θ = 0° e
cos0° = 1 e o fluxo φ = B.A.cosθ. = B. A atingem o valor máximo.
2. Quando as linhas de fluxo passarem tangencialmente ao plano da área S, o ângulo
θ = 90° → cos 90° = 0 e o fluxo φ = B.A.cos90°= 0 são nulos nesse caso.
Figura 16: Fluxo do campo magnético numa
espira circular contida num plano.
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17
Exemplos: A lei de Faraday
Exemplo 5

O polo N de um ímã de barra é aproximado com velocidade V perpendicularmente à área de
uma espira metálica circular. Determine o sentido da corrente elétrica induzida na espira. Analise
também o caso em que o polo se afasta.
Solução comentada:
O sentido da corrente elétrica induzida é aquele indicado na Figura 17.
Para entendermos a resposta dada, lembramos a Lei de Lenz. De acordo com essa lei, “o sentido
da corrente induzida é tal que os seus efeitos tendem a se opor às variações do fluxo magnético
promovidas pelo indutor.” Portanto:
Quando o fluxo magnético indutor aumenta sobre a espira, a corrente induzida gera um fluxo
que se oporá a esse aumento.
Em virtude da aproximação do polo N do ímã o fluxo magnético externo sobre a espira aumenta.
Conforme a Lei de Faraday, essa variação de fluxo gera na espira uma f.e.m. que, por sua vez, gera
uma corrente elétrica na espira. Qual o sentido da corrente elétrica induzida?
O sentido deve ser tal que o campo magnético induzido (ver Lei de Ampère) gera um fluxo que
se opõe ao fluxo do ímã (fluxo indutor).
Na Figura 18 as linhas vermelhas estão associadas ao fluxo magnético induzido pela corrente
induzida i; elas induzem um campo magnético oposto ao campo magnético indutor.
Outra maneira de descrever a situação é pelo modelo denominado “ímã fantasma”. A aproximação
do polo N do ímã indutor faz com que a corrente induzida circule na espira de modo a criar um “ímã
fantasma” cujo polo N se opõe à aproximação do polo N do ímã indutor.
Figura 17: Corrente elétrica induzida.
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18
Figura 18: Raciocinando com a lei de Lenz de forma a prever o sentido da
corrente induzida quando aumentamos o fluxo.
Consideremos agora o caso em que o ímã é movimentado no sentido oposto. O polo N do
ímã – se afasta do plano da espira. O fluxo magnético diminui, pois as linhas do fluxo do campo
magnético indutor ficam cada vez mais rarefeitas. Quando o fluxo magnético indutor sobre a espira
diminui, a corrente induzida induz um campo magnético cujo fluxo se opõe a essa diminuição.
A corrente induzida muda de sentido e passa a circular na espira de modo a induzir um fluxo
magnético que se oponha à diminuição do fluxo indutor. As linhas vermelhas da Figura 19 mostram
o sentido do fluxo magnético gerado pela corrente induzida. Elas têm o mesmo sentido das linhas
de fluxo magnético gerado pelo ímã indutor, mas as linhas pretas estão se afastando da espira.
O fluxo magnético da corrente induzida (em vermelho) cresce para compensar a diminuição do
fluxo magnético (em preto) do ímã que se afasta.
Exemplo 6
Analise a lei de Lenz à luz do princípio da Conservação da Energia.
Solução comentada:
A relação entre o sentido da corrente elétrica induzida em um circuito fechado e a variação do
fluxo magnético, estabelecida pela Lei de Lenz, é tal que a corrente elétrica induzida produz efeitos
opostos a suas causas.
Mais especificamente, o sentido da corrente elétrica induzida é tal que o fluxo magnético, por ela
criado, se opõe à variação do fluxo magnético que a produziu.
Figura 19: Raciocinando com a lei de Lenz de
forma a prever o sentido da corrente induzida
quando reduzimos o fluxo.
Eletromagnetismo » A Indução Eletromagnética
19
Em outras palavras, para gerar uma corrente induzida, é necessário energia. Se a corrente
elétrica induzida produzisse um fluxo magnético cuja variação fosse igual à do campo indutor, mais
e mais corrente elétrica seria induzida; e isso violaria a lei da conservação da energia.
Exemplo 7
O fluxo sobre uma bobina de 400 espiras varia com o tempo conforme a expressão:
ϕ = 28 × 105 − 400 × 105 t
( Wb; s )
Determine a f.e.m. induzida na bobina.
Solução comentada:
Numa bobina de N espiras, a f.e.m. é ampliada N vezes. Logo, para uma bobina de N espiras a
f.e.m. induzida é ε = −N(dφ)/(dt). Portanto:
 d ( 28 × 10−5 − 400 × 10−5 t ) 
 = − ( 400 ) ( −400 × 10−5 ) = +1, 6 V
ε = − ( 400 ) 


dt


Exemplo 8
Um campo magnético é perpendicular à secção transversal A = 12 cm² de uma bobina com
N = 13 espiras enroladas num tubo de plástico, com ar no seu interior. Se a intensidade do campo
magnético variar conforme a lei B(t) = 4.t (Tesla; segundo), qual a f.e.m. induzida nos terminais C e
D da bobina?
Solução comentada:
Considerando que o fluxo φ = B.S.cosθ, a força eletromotriz induzida nos terminais da bobina
com N espiras é dada pela expressão:
ε = N .d ϕ / dt = − N
d ( B.S .cos θ)
dt
Figura 20: Indução numa bobina.
Eletromagnetismo » A Indução Eletromagnética
No caso, como B é perpendicular ao plano da área S, o ângulo θ = 0 → cos 0° = 1;
S = 12 cm² = 12 × 10−4 m²; N = 13 espiras e B(t) = 4.t. Assim:
ε = − [ N .S .cos θ]
d ( B)
d ( 4t )
= − 13 × 12 × 10−4 × 1
= 624 × 10−4 ( m 2 .T/s ) = −62, 4 mV
dt
dt
Isso significa que as linhas do fluxo magnético se adensam no interior da bobina gerando uma
f.e.m. = −62,4 mV.
Se a intensidade do campo magnético diminuísse com o tempo à mesma taxa, (dΦ/dt < 0), as
linhas do fluxo magnético no interior da bobina ficariam cada vez mais rarefeitas, gerando uma
f.e.m. = + 62.4 mV.
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Eletromagnetismo » A Indução Eletromagnética
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Exemplos: Transformadores
Exercício 9
Explique o funcionamento de um transformador com base no fenômeno da indução
eletromagnética.
Resolução comentada:
Transformador é um dispositivo cujo funcionamento se fundamenta no fenômeno da indução
eletromagnética.
Basicamente, um transformar consiste de duas bobinas, cada uma delas com um número de
espiras diferentes e um núcleo de ferro também. Uma das bobinas recebe o nome de “bobina
primária” ou “bobina de entrada”; a outra é denominada “bobina secundária” ou “bobina de saída”.
Quando a bobina primária é percorrida por uma corrente alternada, cria-se um campo
magnético variável ao redor dela. A variação do campo magnético gera um fluxo magnético variável
que, propagando-se através do núcleo de ferro, induz na bobina secundária uma f.e.m. variável. O
núcleo de ferro, além de servir de estrutura, tem a função importante de confinar as linhas de fluxo,
impedindo que elas se espalhem.
A bobina primária corresponde à “entrada” de energia e a bobina secundária, à “saída” de energia.
Por meio das linhas de fluxo de um campo magnético variável produzido por uma bobina, ocorre
transferência de energia para o circuito da outra bobina.
Os transformadores dissipam energia em forma de calor; eles se aquecem durante o
funcionamento.
Relação entre as tensões e o número de espiras em cada bobina para um transformador ideal:
Num transformador ideal, a dissipação de energia é nula e as linhas de fluxo do campo magnético
criado pela bobina primária são confinadas no núcleo de ferro.
Assim, o fluxo por espira é o mesmo em todas as espiras das duas bobinas e a f.e.m. (ou a
diferença de potencial) em cada bobina é: Vp = −Np(dφ/dt) e Vs = −Ns(dφ/dt).
Vs N s
=
Vp N p
( 15 )
Figura 21: Um transformador com Np espiras no
primário e Ns espiras no secundário.
Eletromagnetismo » A Indução Eletromagnética
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Vs =  N s / N p  .V p
Se [Ns/Np] > 1 → Vs > Vp (transformador de elevação de tensão).
Se [Ns/Np] < 1 → Vs < Vp (transformador de redução de tensão).
( 16 )
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Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Mônica Gama.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
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