MONÔMIOS E POLINÔMIOS

MONÔMIOS
E
POLINÔMIOS
Problema: Observa as figuras.
6
x-9
6
x–4
Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do retângulo.
Resolução:
Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma área, logo
podemos formar a seguinte equação:
x  9x  4  36
No 1.º membro da equação surge um produto que ainda não sabem efetuar.
Portanto, torna-se necessário estudar novas expressões e suas operações
que nos permitam dar resposta a alguns problemas.
POLINÔMIOS
1
 x6
2
7x  4
2a  3
2x2  3
y2  4 y  3
No polinômio
y  4y  3
2
, às parcelas,
y 2,  4 y
e
3
chamam-se termos ou monômios.
Um polinômio é uma soma algébrica de vários monômios.
Exemplos:
y  4y
2
4 x 2  4 x  30
7 y 2  4 xy  7 xy
Binômio, porque é constituído por dois monómios.
Trinômio porque é constituído por 3 monómios
MONÓMIOS
Um monômio é uma expressão que pode ser constituída por um
número ou por um produto de números em que alguns podem ser
representados por letras.
Exemplos:
M3
-xy
23x
x

y
4
6

Curiosidade:
Monômio é uma palavra de
origem grega, derivada de
monos, que significa único.
Monômio significa único
termo.
y
1
1
 y y
4
4
4
Nota: Num monômio não aparecem adições nem subtrações.
Constituição de um monômio
Exemplo:
-7y3
Neste monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente (-7) e
uma parte literal (y3).
Exercício:
Completa a tabela seguinte:
Monômio
Coeficiente
Parte literal
x
 10

z
6
5 yz
 89
xyz
Como escrever corretamente um monômio?
Exemplo I
a
x
x
A área do maior retângulo da figura ao lado pode ser dada pela expressão:
2 x  a
mas deve escrever-se:
2ax
Exemplo II
Observa a figura:
x
Qual a sua área?
x
7x  2x = 14x2
O produto de dois monômios é um monômio cujo coeficiente é o produto
dos coeficientes e cuja parte literal é o produto das partes literais.
Convencionou-se que para escrever um produto de vários fatores (um monômio)
escreve-se primeiro os números, e, em seguida, as letras por ordem alfabética.
Por exemplo:
Monômio
x  5 y
Escrita correcta
5 xy
5 b  a  3
15ab
 3 q   2 p
6 pq
3  a 2  b   2 a  b
 6a 3b 2
Grau de um monômio
6
6a
2
6a
3
6a
3
6a b
5 2
6a b
grau 0
grau 1
grau 2
grau 3
grau 4
grau 7
Então, como se determina o grau de um monômio?
O grau de um monômio é igual à soma dos expoentes da parte literal.
Completa a tabela:
Monômios
7 xy
 23 x 2 y 3
Grau
8
3
7 x4 y
Monômios semelhantes
Considera o seguinte polinômio:
6x  7x  9  4x
4
e
Este polinômio é constituído por 4 monômios 6x 4 ,7 x ,  4 x e
9.
Os monômios
7x
e  4x
são semelhantes.
Monômios semelhantes – são aqueles que têm a mesma parte literal.
Os monômios
 4x
e
6x 4
não são semelhantes porque não têm a
mesma parte literal.
Grau de um polinómio
Consideremos o polinômio
6 x 4  5x 2  1 .
O grau deste polinômio é 4.
Chama-se grau de um polinômio ao maior grau dos monômios que o
constituem.
Adição algébrica de polinômios
Nos monómios as letras representam números e as operações têm as mesmas
propriedades que as operações com números.
Por exemplo:
Tal como na aritmética, é possível simplificar expressões quando estas têm
termos semelhantes.
Aritmética
Álgebra
2  3  3 2
ab  ba
2  3  3 2
a  b  b  a ou
2  3  5  2  3  5
2  3 5  2  3 5
Propriedade
comutativa
ab  ba
a  b  c  a  b  c
a  b c  a  b  c
Propriedade
associativa
Tal como na aritmética, é possível simplificar expressões quando estas têm termos semelhantes.
Aritmética
Álgebra
3 + 3 + 3 + 3 = 43
a + a + a + a =4a = 4a
54 + 64 = 114
5a + 6a = 11a
37 + 27 + 47 = 97
3a + 2a + 4a = 9a
A soma de vários monômios semelhantes é um monômio semelhante com
coeficiente igual à soma algébrica dos coeficientes dos monômios das parcelas.
Exemplos:
1. O polinômio
6 x  7 x  9  4 x  6 x  3x  9
4
4
Polinômio reduzido porque não tem termos
semelhantes
2. Transforma num polinômio reduzido os seguintes polinômios:
6 x  7 y  9 x  4 y  12 
4
4
 15 x  3 y  12
4
6 y 3  2 y  5   7 y 3  y 2  3 y  10  
 6 y 3  2 y  5  7 y 3  y 2  3 y  10 
 13 y 3  y 2  5 y  15
OPERAÇÕES COM
POLINÔMIOS
Produto de um monômio
por um polinómio
a
c
A área é dada pela expressão:
b
ab
bc
ba  c   b  a  b  c 
 ab  bc
Como escrever corretamente, sem utilizar parênteses, área do maior
retângulo da figura?
b
b
b2
c
bc
b 2  bc
bb  c   b  b  b  c 
 b 2  bc
Para multiplicar um monômio por um polinômio, aplica-se a propriedade
distributiva da multiplicação em relação à adição, isto é, multiplica-se
o monômio por cada um dos termos do polinômio.
 2 3x  3  x 1  6x  6  2 x  2
Multiplicação de polinômios
A figura representa um retângulo.
x+8
x+2
A expressão que representa a sua área é:
x  8x  2
Produto de dois polinômios
Como transformar esta expressão num polinômio reduzido?
x  8x  2
1.ª processo:
2.ª processo:
x  8x  2  xx  2  8x  2 
 x 2  2 x  8 x  16 
 x 2  10 x  16
x  10 x  16
2
Polinômio reduzido
Expressão que representa a
área do rectângulo dado.
x  8x  2  x  2 x  8x  16 
2
 x  10 x  16
2
Para multiplicar polinômios, multiplica-se
cada termo de um, por todos os termos do
outro, obtendo-se assim um novo polinómio.
Exercício:
Transforma num polinômio reduzido:
3x  2 x  5
1

 y   2 x  6 
2


 
2 x 2  3x 4  10 x3

2
2
1 2
1 

y

10
0
,
4
y

y 
 

3 
3 

1  x 
 2
x

2
x


   1
4  2 

x  53x  1  2x 2  3
CASOS NOTÁVEIS
DA
MULTIPLICAÇÃO
Entre todos os produtos de polinómios há dois casos que têm um interesse
particular, não só pela sua aplicação a muitas situações, como pela sua
ligação à geometria.
Já vimos que um polinômio com dois termos, ou seja, com dois monômios,
também se pode chamar BINÔMIO.
x5
Se
x5
é um binômio, então
 x  5
2
representa o quadrado de um binômio.
Exemplos
• Quadrado de binômio:
(x + 6)2 = x2 + 2 × 6 × x + 62 = x2 + 12x + 36
(5 + 3x)2 = 52 + 2 × 5 × 3x + (3x)2 = 25 + 30x + 9x2
(y + 2x)2 = y2 + 2 × y × 2x + (2x)2 = y2 + 4xy + 4x2
(7a + 3b)2 = (7a)2 + 2 × 7a × 3b + (3b)2 = 49a2 + 42ab + 9b2
Exemplos
• Quadrado de um binômio
(a - 5b)2 = a2 - 2 × a × 5b + (5b)2 = a2 - 10ab + 25b2
2
2
1 1
1
 1
2
2
 x    x  2 x      x  x 
2
2 2
4

2
2
x  x
x
 x
2
 3    3  2  3      9  3x 
2 2
4
 2
2
Diferença de quadrados
De um modo geral,
a  b a  b   a 2  ab  ab  b 2  a2  b2
Quadrado do 1.º termo
Quadrado do 2.º termo
a  ba  b  a 2  b 2
É importante ler a igualdade nos dois sentidos.
Observa :
2
2



x

3
x

3

x

3
x

3
x

9

x
9

 5x  85x  8  25 x 2  8x  8x  64  25 x 2  64

3
1
1
 1
 1 3
2

3
y

3
y


y

y

9
y

 9 y2



5
25
5
 5
 25 5
Repara que:
•Cada expressão dada é um produto de dois binômios, que só diferem num sinal.
Têm um termo em comum e o outro é simétrico.
•O sinal, -, da diferença fica associado ao quadrado do termo que tem sinal diferente.
•A expressão que se obteve em cada caso é uma diferença de quadrados.
Mais Exemplos
• Diferença de quadrados
2
2
2
x – 9 = x – 3 = (x + 3)(x – 3)
16  4a  4   2a    4  2a  4  2a 
2
2
2
2
2
1 y  1   y   1 y  1 y 
            
4 9  2   3   2 3  2 3 
2
Geometricamente:
As igualdades
a  b
2
 a  2ab  b
2
a  ba  b  a
2
2
b
2
são casos particulares da multiplicação de
polinómios. Chamam-se por isso, CASOS
NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO.
Resumo
• Quadrado de um binômio:
a  b
2
  a  b  a  b   + a  2ab +
b
2
2
• Diferença de Quadrados:
a  b   a  b  a  b 
2
2
32
Exercício 1
•
Escreve um polinômio equivalente a:
 7  4x 
•
2
Resolução:
 7  4x 
2
 49  56 x  16 x
2
Exercício 2
•
Escreve um polinômio equivalente a:
2
a
  
3
7
•
2
Resolução:
2
a 4a 4
a 2


   
 7 3  49 21 9
2
FATORAÇÃO DE
POLINÔMIOS
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES
Recordar…
A+B é uma soma
A e B são parcelas
A  B é um produto
A e B são os
factores
Fatorar um polinômio é escrevê-lo sob a forma de um produto de
fatores.
Para decompor um polinômio em fatores, aplicando a propriedade
distributiva, procuram-se os fatores comuns e colocam-se em
evidência.
Já sabem transformar produtos em somas algébricas, agora pretende-se que
façam o contrário.
 A Propriedade distributiva na decomposição em factores
Distribuímos o factor a pelas parcelas
a  b  c   ab
 ac


 
PRODUTO
SOMA
Colocamos em evidência o factor comum a
ab

ac  a  b  c 




SOMA
PRODUTO
Acabamos de transformar a soma num produto de fatores – fatoração do polinômio.
Fatorar a seguinte expressão:
x
4x+5xy = ..........
x
Fator comum
(4+5y)
.........................
Expressão obtida suprimindo o
fator comum
Se multiplicares o fator comum pela expressão dada, terás de obter
a expressão inicial. Caso contrário, a expressão está mal fatorada.
= 4x+5xy
Colocamos em evidência o fator x.
Mais exemplos:
10 x  10 y  10  x  y 
4 x  16 
 4  x  4
10 x  10 y  10x  y 
x  y  3  5  y  3 
  y  3 x  5 
3b  6b 
2
 3bb  2  3b  3b  b  2 
3x  10 xy 
 x  3  10 y 
2x  xy 
2
 2 xx  xy  x  2 x  y 
Os casos notáveis e a decomposição
em fatores
a  ba  b  a 2  b 2
•Diferença de quadrados
x  25  x  5  x  5 
2
1  m  1  m 1  m 
2
9 x  16   3x  4  3x  4 
2


4 2   2  c  2  c 
 c  


 3
 3

9
x 5  x  5 x  5
2

Lei do anulamento do produto
Reparem que:
4 0  0
0 0  0
0   5 6  0
Um produto é nulo se e só se (sse) pelo
menos um dos seus fatores é nulo.
Assim, se o produto de dois (ou mais) fatores é zero, então, pelo menos um dos
fatores é zero.
Nota: O símbolo
Ou seja,
A B  0  A  0  B  0

lê-se ou.
Esta propriedade é conhecida pela LEI DO ANULAMENTO DO PODUTO.
A lei do anulamento do produto permite resolver equações de grau
superior ao primeiro.
Mas, será possível aplicar a lei do anulamento do produto na
resolução de qualquer equação?
Atenção, para aplicar a lei do anulamento do produto na resolução de
equações, é necessário que:
A expressão de um dos membros seja um produto de fatores;
 O outro membro seja zero.
( x  4)( x  7)  0
( x  4)( x  7)  0 
Conseguirás
descobrir
mentalmente
as soluções?
 ( x  4)  0  ( x  7)  0 
 x  4  x  7
S  7  4  7, 4
Ao aplicar esta lei, obtemos uma disjunção
de duas condições, a que corresponde a
reunião de dois conjuntos-solução.
x( x  74)(2 x  2)  0 
 x  0  x  74  0  2 x  2  0 
 x  0  x  74  x  1
2( x  74)(2 x  2)  0 
 x  74  0  2 x  2  0 
 x  74  x  1
5x  10 x  0
2
Para aplicar a lei do anulamento do
produto, é necessário factorizar o 1.º
membro da equação.
5 x  10 x  0  5 xx  2  0 
 5x  0  x  2  0  x  0  x  2
2
S.={0, 2}
5 x  10 x  6  0
2
Nota: é uma equação de grau 2,
completa (porque tem o termo de
grau 2, de grau um e de grau
zero). Está escrita na forma
canónica.
4x  4x  1  0 
2
 2 x  1  0 
 2 x  12 x  1  0 
 2x  1  0  2x  1  0 
1
1
 x x
2
2
2
S.={-1/2}
-0,5 é raiz dupla
x 2  14 x  49  0
16  (3x  1) 2
Resolve, por dois processos diferentes, as equações seguintes.
4x  9 
9
2
x  
4
9
x

4
3
3
 x x
2
2
4x2  9 
2
ou
 4x2  9  0 
 2 x  32 x  3  0 
 2x  3  0  2x  3  0 
3
3
 x x
2
2
Problema: Observa as figuras.
6
x4
6
x 9
Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do retângulo.
x  9x  4  36
Um voluntário?!