atividades com polígonos - MAT-UnB

ATIVIDADES COM POLÍGONOS
Observação. Para o desenvolvimento das seguintes Atividades, levando em conta que Polígonos é
uma coleção de peças com um número elevado de elementos, utilizamos as subcoleções de
Polígonos apresentadas na Introdução: Polígonos, Polígonos T, Polígonos Q, Polígonos R e
Polígonos C. Em cada Atividade especificamos qual é a coleção de figuras planas utilizada.
1. Material: Polígonos.
Classifique as figuras de Polígonos segundo o número dos seus lados e complete a seguinte tabela.
Número de lados Polígono Representação gráfica
Três
Quatro
Cinco
Seis
Sete
Oito
Nove
Dez
Onze
Doze
2. Material: Polígonos.
Classifique os polígonos pela convexidade em polígonos convexos e polígonos não convexos.
3. Material: Polígonos.
Exemplifique a construção dos seguintes tipos de polígono:
i. Polígono não convexo usando diferentes polígonos convexos do conjunto.
ii. Polígono convexo usando diferentes polígonos convexos do conjunto.
4. Material: Polígonos.
i. Determine o polígono que possui o menor lado.
ii. Indique o polígono que possui o maior lado.
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5. Material: Polígonos.
Classifique os polígonos pelas seguintes propriedades dos lados.
i. Número de lados congruentes.
ii. Número de pares de lados congruentes.
6. Material: Polígonos
Classifique os polígonos pelos pares de lados paralelos que possuem e coloque na tabela.
Pares de lados paralelos 1 2 3 4 5 6
Polígonos
7. Material: Polígonos.
i. Ache o polígono convexo de Polígonos que possui a menor diagonal.
ii. Indique o polígono convexo que possui a maior diagonal.
8. Material: Polígonos.
Determine qual dos polígonos convexos tem todas as diagonais iguais, se existir.
9. Material: Polígonos.
Determine os elementos dos seguintes polígonos convexos e complete a tabela.
Polígono convexo
Lados Vértices Diagonais de cada vértice Diagonais do polígono
Triângulo
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
10. Material: Polígonos.
Determinar quantas diagonais tem cada um dos seguintes polígonos convexos:
i. 20-ágono. iii. 100-ágono.
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11. Material: Polígonos.
Represente todas as diagonais de cada um dos polígonos não convexos pertencentes a Polígonos.
Coloque os dados numa tabela.
12. Material: Polígonos.
i. Ache o polígono não convexo de Polígonos que possui a menor diagonal.
ii. Indique o polígono não convexo que possui a maior diagonal.
13. Material: Polígonos.
Calcule o número de diagonais de um polígono com n lados.
14. Material: Polígonos.
Classifique os polígonos indicando quantos e quais satisfazem as seguintes definições:
i. Polígono equilátero e não equiângulo.
ii. Polígonos equiângulo e não equilátero.
15. Material: Polígonos.
i. Ache o polígono convexo que possui o maior ângulo interno.
ii. Indique o polígono convexo que possui o menor ângulo interno.
16. Material: Polígonos.
Classifique os polígonos convexos pelo número de ângulos internos retos que possuem e preencha a
seguinte tabela.
Ângulos internos retos 1 2 3 4
Polígonos convexos
17. Material: Polígonos.
Classifique os polígonos convexos pelo número de ângulos internos agudos que possuem e
preencha a seguinte tabela.
Ângulos internos agudos 1 2 3 4
Polígonos convexos
3
18. Material: Polígonos.
Classifique os polígonos convexos pelo número de ângulos internos obtusos que possuem e
preencha a seguinte tabela.
Ângulos internos obtusos 1 2 3 4 5 6
Polígonos convexos
Observação. A seguir, aplicamos três métodos diferentes para calcular a soma das medidas dos
ângulos internos de um polígono convexo.
19. Material: Polígonos.
Método 1. Escolha um polígono convexo e trace em ele todas as diagonais num vértice fixado.
i. Conte o número de triângulos justapostos que foram formados no interior do polígono.
ii. Ache a soma das medidas dos ângulos internos do polígono convexo.
20. Material: Polígonos.
Método 2. Escolha um polígono convexo e marque um ponto interior P do polígono.
i. Trace os segmentos que unem P a todos os vértices do polígono.
i. Conte o número de triângulos justapostos que foram formados no interior do polígono.
ii. Ache a soma das medidas dos ângulos internos do polígono convexo.
21. Material: Polígonos.
Método 3. Escolha diferentes polígonos convexos e seccione todo o interior desses polígonos em
triângulos justapostos usando diagonais que não se intersectam.
i. Conte o número dessas diagonais que seccionam o polígono como especificado.
ii. Conte o número de triângulos justapostos que foram formados no interior do polígono.
iii. Ache a soma das medidas dos ângulos internos do polígono convexo.
iv. Complete a seguinte tabela.
Polígono
Diagonais
Triângulos Soma dos
convexo
sem intersecção internos
ângulos internos
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Octógono
4
22. Material: Polígonos.
Escolha um polígono não convexo e seccione todo o interior do polígono em triângulos justapostos
usando diagonais internas do polígono que não se intersectam.
i. Conte o número de triângulos justapostos que foram formados no interior do polígono não
convexo.
ii. Ache a soma das medidas dos ângulos internos do polígono não convexo.
23. Material: Polígonos.
Verifique se a fórmula para a soma dos ângulos internos de polígonos convexos é válida para
polígonos não convexos.
24. Material: Polígonos.
Ache a soma em graus das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo.
25. Material: Polígonos.
i. Defina ângulo externo de um polígono não convexo.
ii. Marque todos os ângulos externos de um polígono não convexo.
iii. Calcule a medida de um ângulo externo em um vértice reentrante do polígono em termos da
medida do ângulo interno adjacente.
26. Material: Polígonos.
Escolha um polígono não convexo e marque todos os ângulos externos. Calcule a soma das medidas
dos ângulos externos do polígono não convexo.
27. Material: Polígonos
Identifique todos os triângulos pertencentes a Polígonos.
Observação. O conjunto dos triângulos forma a coleção Polígonos T.
28. Material: Polígonos T
Classifique os triângulos pelos seus lados e complete a tabela.
Equilátero
Triângulos
Isóscele
Escaleno
5
29. Material: Polígonos T
Classifique os triângulos pelos seus ângulos e complete a seguinte tabela.
Acutângulo
Triângulos
Retângulo
Obtusângulo
30. Material: Polígonos T
Indique se os triângulos descritos existem sempre ou somente algumas vezes ou nunca. Complete a
tabela.
Triângulo
Sempre Algumas vezes Nunca
Triângulo escaleno obtusângulo
Triângulo escaleno retângulo
Triângulo escaleno acutângulo
Triângulo equilátero obtusângulo
Triângulo equilátero retângulo
Triângulo isóscele obtusângulo
Triângulos isóscele retângulo
Triângulo isóscele acutângulo
31. Material: Polígonos
Identifique todos os quadriláteros pertencentes a Polígonos.
Observação. O conjunto dos quadriláteros forma a coleção Polígonos Q.
32. Material: Polígonos Q
Classifique os quadriláteros pelo comprimento dos lados: quatro lados congruentes (4), 3 lados
congruentes e 1 diferente (3-1), 2 pares de lados congruentes (2-2), 1 par de lados congruentes e
outro dois lados diferentes (2-1-1) e os 4 lados com diferentes comprimentos (1-1-1-1).
Coloque os dados na seguinte tabela.
4
Quadriláteros. Comprimento dos lados
3-1
2-2
2-1-1
1-1-1-1
6
33. Material: Polígonos Q
Classifique os quadriláteros pelas suas diagonais seguindo os seguinte critérios:
i. Segundo que as diagonais se cortem (quadriláteros convexos); o que elas não se cortem
(quadriláteros não convexos).
ii. O ângulo de corte é reto (as diagonais são perpendiculares) ou o ângulo de corte não é reto.
iii. As diagonais são congruentes ou elas não são congruentes.
iv. As duas diagonais se interceptam no ponto médio de ambas diagonais e o ângulo de corte é reto.
v. As duas diagonais se interceptam no ponto médio de ambas diagonais e o ângulo de corte não é
reto.
vi. O ponto de intersecção das duas diagonais é o ponto médio somente de uma das diagonais .
vii. O ponto de intersecção das duas diagonais não é ponto médio de nenhuma das duas diagonais.
34. Material: Polígonos Q
Identifique e nomeie todos os paralelogramos de Polígonos Q.
35. Material: Polígonos Q
Identifique e classifique os trapézios de Polígonos Q.
36. Material: Polígonos Q
Identifique os quadriláteros que não são paralelogramos e não são trapézios.
37. Material: Polígonos Q
Indique se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa. Se o enunciado é falso
justifique a sua resposta.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
Todos os quadrados são retângulos.
Alguns retângulos são losangos ou rombos.
Todos os paralelogramos são quadriláteros.
Todo losango ou rombo é um quadrilátero regular.
Todo paralelogramo é um trapézio.
Todo quadrado é uma pipa.
Alguns retângulos são quadrados.
Nenhum quadrado é um retângulo.
Nenhum trapézio é um paralelogramo.
Um trapézio isóscele pode não ser uma pipa.
Nenhum paralelogramo é um trapézio isóscele.
38. Material: Polígonos
Identifique e classifique os polígonos regulares convexos pelo número de lados.
Observação. O conjunto de polígonos regulares convexos forma a coleção Polígonos R.
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39. Material: Polígonos R
Indique todos os elementos de cada polígono convexo regular.
40. Material: Polígonos R
Ache a medida em graus de cada ângulo interno e da soma dos ângulos internos dos polígonos
regulares convexos. Complete a seguinte tabela.
Polígono regular
Triângulo
Quadrado
Pentágono
Hexágono
Octógono
Decágono
Dodecágono
n-ágono
Lados
3
Ângulo interno
60°
Soma dos ângulos internos
n
41. Material: Polígonos R
Determine a medida em graus da soma dos ângulos externos e de cada ângulo externo de um
n-ágono regular convexo.
42. Material: Polígonos R
Determine a medida em graus do ângulo central de cada polígono regular convexo. Complete a
tabela.
Lados do polígono
Ângulo central
3
4
5
6
8
10
12
43. Material: Polígonos R
Construa todos os polígonos convexos equiláteros possíveis, com todos os lados congruentes.
Somente utilize triângulos equiláteros e quadrados, usando sempre polígonos dos dois tipos em
cada construção.
44. Material: Polígonos T
Ache exemplos de construções de figuras congruentes com cópias de triângulos iguais.
45. Material: Polígonos
Identifique todas as figuras que possuem simetria central.
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46. Material: Polígonos
Classifique os polígonos pelo número de eixos de simetria que possuem.
47. Material: Polígonos
Exemplifique a construção dos seguintes polígonos:
i. Com cópias iguais de um polígono dado, construa polígonos semelhantes a esse polígono.
ii. Com diferentes polígonos construa um polígono semelhante a alguma das peças de Polígonos.
48. Material: Polígonos
Determine se as seguintes figuras são semelhantes sempre, somente algumas vezes ou nunca.
Figuras planas
Sempre Algumas vezes Nunca
Dois ângulos
Dois triângulos equiláteros
Dois triângulos isósceles
Dois quadrados
Dois retângulos
Um quadrado e um retângulo
Dois pentágonos
Dois pentágonos regulares
Um pentágono regular e um hexágono regular
49. Material: Polígonos T
Com cópias iguais de cada um dos triângulos da Coleção realize construções de figuras geométricas
planas.
50. Material: Polígonos
Identifique as figuras: triângulo equilátero, quadrado, trapézio isósceles, hexágono convexo regular
e os losangos A e B.
Observação. O conjunto desses seis polígonos convexos forma a coleção denominada Polígonos C.
Compare os lados das figuras de Polígonos C.
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51. Material: Polígonos C
Compare os ângulos das figuras de Polígonos C e verifique se elas satisfazem as seguintes
condições:
i. Um ângulo do triângulo equilátero e um ângulo do losango A são congruentes.
ii. Um ângulo do losango B mede a metade da medida de um ângulo do triângulo equilátero e
também a metade da medida de um ângulo do losango A.
iii. Um ângulo do trapézio isóscele e um ângulo do triângulo equilátero são congruentes.
iv. Um ângulo do triângulo equilátero mede a metade da medida de um ângulo do trapézio isóscele.
v. Um ângulo hexágono convexo regular e um ângulo do trapézio isóscele são congruentes.
vi. Um ângulo do trapézio isóscele mede a metade da medida de um ângulo do hexágono convexo
regular.
vii. Um ângulo do quadrado mede a soma das medidas de um ângulo do triângulo equilátero e de
um ângulo do losango B.
viii.A soma de três vezes a medida de um ângulo do losango B é a medida de um ângulo do
quadrado.
52. Material: Polígonos C
Compare os tamanhos das superfícies das figuras de Polígonos C e enuncie suas conclusões:
i. Quantos triângulos equiláteros contem o losango A?
ii. Quantos triângulos equiláteros contem o trapézio isóscele?
iii. Quantos trapézios isósceles contém o hexágono regular?
iv. Quantos triângulos equiláteros contém o hexágono regular?
v. Quantos losangos A contém o hexágono regular?
vi. Quais polígonos diferentes contem o trapézio isóscele?
53. Material: Polígonos C
Com as peças de Polígonos C forme polígonos convexos, polígonos não convexos, polígonos
regulares, polígonos irregulares e construa outras diversas figuras geométricas.
Observação. Construímos um mosaico quando recobrimos o plano com figuras planas sem fazer
superposições das figuras e sem deixar espaços vazios entre elas.
O mosaico é lado a lado se os lados dos polígonos adjacentes coincidem inteiramente, incluindo os
vértices.
54. Material: Polígonos R
Construa mosaicos lado a lado com cópias iguais de um triângulo equilátero.
55. Material: Polígonos R
Construa mosaicos lado a lado com cópias iguais de um quadrado.
56. Material: Polígonos R
Construção de um mosaico lado a lado com cópias iguais de um hexágono regular.
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Observação. Os mosaicos das Atividades 54-56 são chamados mosaicos regulares e são os únicos
mosaicos formados com cópias congruentes de um mesmo polígono convexo regular.
Observação. Os mosaicos semirregulares são formados por mais de um tipo de polígonos
regulares convexos, todos com lados congruentes e tais que em cada vértice concorre o mesmo
número de polígonos e na mesma ordem.
57. Material: Polígonos R
Construção de mosaicos semirregulares formados por triângulos equiláteros e por quadrados, todas
as peças com lados congruentes.
58. Material: Polígonos R
Construa um mosaico semirregular que possui octógonos regulares convexos congruentes na sua
formação. Determine qual outro(s) polígono(s) também faz(em) parte desse mosaico
59. Material: Polígonos R
Construção de mosaicos semirregulares formados por triângulos equiláteros e por hexágonos
regulares. Em cada mosaico, todas as peças têm os lados congruentes.
60. Material: Polígonos R
Construção de mosaicos semirregulares formados por triângulos equiláteros, quadrados e
hexágonos regulares convexos. Em cada mosaico, todas as peças têm os lados congruentes.
61. Material: Polígonos R
Representação dos mosaicos semirregulares que possuem dodecágonos regulares convexos
congruentes na sua formação. Determinar em cada caso qual(is) outro(s) polígono(s) também
faz(em) parte do mosaico. Em cada mosaico, todas as peças têm os lados congruentes.
62. Material: Polígonos R
Construção do fractal floco de neve.
i. Construir um triângulo equilátero com lados medindo nove unidades, 9u.
ii. Divida em três partes cada um dos lados e construa um triângulo equilátero sobre cada um dos
terços centrais.
iii. Repetir essa operação sobre cada um dos novos triângulos da figura. Cada novo elemento da
figura é obtido construindo novos triângulos equiláteros cada vez menores pequenos sobre o terço
central dos lados.
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63. Material: Polígonos R
Fractal antifloco de neve.
i. Construa um triângulo equilátero com lados medindo nove unidades, 9u.
ii. Divida em três partes cada um dos lados e construa um triângulo equilátero voltado para dentro
em cada um dos terços centrais, isto equivale a retirar um triângulo equilátero com base no
segmento central de cada lado.
iii. Repita essa operação sobre cada um dos novos triângulos da figura. Cada novo elemento da
figura é obtido retirando novos triângulos equiláteros cada vez menores com base no terço central
dos lados.
64. Material: Polígonos R
Fractal tapete de Sierpinski.
i. Construa um quadrado com lados medindo nove unidades, 9u.
ii. Retire o quadrado central com lados medindo 3u.
iii. Repita essa operação em cada um dos oito quadrados restantes com lados medindo 3u, retirando
o quadrado central da figura. Cada novo elemento da figura é obtido retirando novos quadrados
cada vez menores do centro dos quadrados.
65. Material: Polígonos R
Fractal Triângulo de Sierpinski ou Peneira de Sierpinski.
i. Construa um triângulos com lados medindo nove unidades, 9u.
ii. Marque os pontos médios dos três lados e retire o triângulo com vértice nesses pontos..
iii. Repita essa operação em cada um dos três triângulos equiláteros restantes, retirando o triângulos
central de cada um.
iv. Repetir este procedimento, sempre retirando triângulos cada vez menores determinados pelos
pontos médios dos lados dos triângulos resultantes na etapa anterior.
66. Material: Polígonos R
Construa um fractal tomando como peça base a figura F formada por três quadrados unidos como segue.
i. Substitua cada quadrado da figura por uma peça igual à figura F.
ii. Repetir a operação anterior em cada um dos quadrados da nova figura.
67. Material: Polígonos R
Construa um fractal tomando como peça base a figura F formada por três quadrados dispostos como segue.
i. Substitua cada quadrado da figura por uma peça igual à figura F.
ii. Repetir a operação anterior em cada um dos quadrados da nova figura.
68. Material: Polígonos R
i. Construa um quadrado com lados medindo nove unidades, 9u.
ii. Retire os quatro quadrados dos cantos, cada um com lados medindo 1u.
iii. Substitua cada um dos cinco quadrados na figura pela figura formada em (ii).
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69. Material: Polígonos R
i. Construa um quadrado com lados medindo nove unidades, 9u.
ii. Retire dois quadrados com lados medindo 1u, um é o quadrado central e o outro é o quadrado
acima dele.
iii. Substitua cada um dos sete quadrados na figura pela figura formada em (ii).
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