Matematica_Guia_do_Aluno_1Ano_Vol.1 (3648560)

GUIA DO ALUNO
Volume 1
Matemática
1ª série do Ensino Médio
Entre Jovens 1ª série do Ensino Médio: guia do aluno matemática.
– São Paulo: Instituto Unibanco/CAEd, 2013.
294 p.; Vol I
Realização
Instituto Unibanco
Presidência
Pedro Moreira Salles
Vice-Presidência
Pedro Sampaio Malan
Conselho
Antonio Matias
Cláudio de Moura Castro
Cláudio Luiz da Silva Haddad
Marcos de Barros Lisboa
Ricardo Paes de Barros
Tomas Tomislav Antonin Zinner
Thomaz Souto Corrêa Netto
Wanda Engel
Diretoria Executiva
Fernando Marsella Chacon Ruiz
Gabriel Amado de Moura
Jânio Gomes
José Castro Araujo Rudge
Leila Cristiane B. B. de Melo
Luis Antônio Rodrigues
Marcelo Luis Orticelli
Superintendência Executiva
Ricardo Henriques
Gerência de Implementação de Projetos
Tiago Borba
Gerência de Desenvolvimento e Conteúdo
Marta Grosbaum
Coordenação do material
Juliana Irani do Amaral
Gerência de Gestão do Conhecimento
Mirela de Carvalho
Pesquisa e conteúdo
CAEd – Centro de Políticas Públicas e Avaliação
da Educação
Gerência de Administração e Finanças
Fábio Santiago
Assessoria de Assuntos Estratégicos
Christina Fontainha
Assessoria de Comunicação
Marina Rosenfeld
Assessoria de Voluntariado
Fabiana Mussato
Consultoria responsável
CAEd – Centro de Políticas Públicas e Avaliação
da Educação
Agradecimentos especiais
Secretaria Municipal de Educação do Rio de Janeiro,
Secretarias de Estado de Educação do Rio de Janeiro,
São Paulo, Espírito Santo e Minas Gerais e escolas
parceiras que contribuíram para a testagem e validação
da Metodologia Entre Jovens.
S
UMÁRIO
9
Oficina 1 – Números Naturais e Inteiros
27
Oficina 2 – Números Racionais
45
Oficina 3 – Potenciação e Radiciação
61
Oficina 4 – Introdução à Álgebra
79
Oficina 5 – Equações Lineares
91
Oficina 6 – Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais
103
Oficina 7 – Porcentagem
115
Oficina 8 – Grandezas e Medidas
131
Oficina 9 – Áreas de Figuras Planas
161
Oficina 10 – Sólidos Geométricos
179
Oficina 11 – Revisitação
191
Respostas
201
Referências Bibliográficas
203
Anexos
GUIA DO ALUNO
1
9
NÚMEROS NATURAIS E INTEIROS
1. Introdução
As operações e aplicações envolvendo números naturais e inteiros são pré-requisitos fundamentais
para que o aluno desenvolva bem a matemática do Ensino Fundamental e Médio, e por isso, este
capítulo inicial dedica-se a fazer uma recapitulação desses saberes. Inicialmente, utilizaremos a
resolução de problemas focando na matemática do cotidiano e depois, um jogo de tabuleiro que
objetiva trabalhar a fatoração de um número natural.
2. Resolução de problemas
Problema 1. Júlia, Diogo e Carolina jogaram um torneio de três partidas de boliche.
Veja as pontuações alcançadas por cada um nessas três partidas.
Partidas
1
2
3
Júlia
12060
12200
12580
Diogo
11960
11500
13500
Carolina
8020
12180
14590
a) Vence quem ganha mais partidas;
b) Vence quem faz maior número de pontos em qualquer uma das partidas;
c) Vence quem soma maior número de pontos;
d) Vence quem soma maior número de pontos em duas partidas, desprezando-se o pior resultado.
10
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Problema 2. Para montar seu restaurante, Dona Lia dispunha de R$ 50.000,00. Inicialmente, ela gastou
R$ 22.000,00 reformando o local do restaurante e R$ 6.750,00 em equipamentos para a cozinha. Depois,
ela comprou 3 lotes de refrigerantes, pagando R$ 1.250,00 por cada um, e um estoque de alimentos
congelados, que lhe custou R$ 3.000,00. Com tantos gastos, sobrou dinheiro? Quanto?
Problema 3. Paulo que é muito distraído, partiu de um determinado marco quilométrico da estrada
com destino a uma cidade que fica no quilômetro 400 dessa mesma estrada. Ao percorrer 129 Km,
leu na placa que estava no marco Km 311 dessa estrada, quando percebeu que havia esquecido a
mala no ponto de partida. Com isso Paulo teve que voltar para buscá-la.
129 Km
Km
?
Km
311
Km
400
a) De que ponto da estrada Paulo partiu?
b) Considerando as idas e vindas, quantos quilômetros ele percorreu até completar a viagem?
GUIA DO ALUNO
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lucro (em milhões)
Problema 4. O gráfico mostra os lucros de uma rede de supermercados no primeiro semestre do
ano passado. Você nota que, em alguns meses, ocorreram prejuízos. Podemos considerá-los como
lucros negativos.
35
30
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
Janeiro
Junho
Fevereiro
Março
Maio
Abril
meses
a) Em que mês o lucro foi de –30 milhões de reais?
b) Em algum mês o lucro foi de 45 milhões de reais?
c) Considerando o total do semestre, qual foi o lucro?
Problema 5. Indique a expressão correspondente a cada item e calcule seu valor:
a) A soma de -6 com o dobro de 5.
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
b) A metade da diferença entre –4 e 8.
c) O produto do dobro de –3 com o quíntuplo de –2.
d) A diferença entre a metade de –6 e o número 8.
Problema 6. Uma frota de caminhões levará uma tropa de 1128 soldados até um campo de
treinamento. Cada caminhão pode levar até 36 soldados. Para transportar essa tropa, quantos
caminhões, no mínimo, serão necessários?
2. O jogo Fatorando
As regras do jogo:
»» Número de participantes: 2 jogadores;
»» Cada participante deverá ter um botão;
»» Os participantes devem embaralhar as peças circulares que contêm os números primos, e
colocá-las sobre o tabuleiro, com a face voltada para baixo, nos espaços circulares do tabuleiro;
»» Em seguida, devem colocar as peças retangulares que contêm os números naturais sobre a
mesa, e separá-las de acordo com o nível de dificuldade (amarelos, azuis e vermelhos) em
três blocos com a face voltada para baixo;
»» Define-se, no início, a ordem em que os participantes jogarão. Em seguida, cada jogador
deve pegar uma peça retangular do nível 1 (fácil) e colocar sobre a cartela para cálculos
(figura 4 do anexo), conforme ilustra a figura no 7º passo abaixo;
»» O jogo tem início com um jogador lançando o dado e fazendo seu botão percorrer tantas
casas quantas as que foram indicadas na face superior do dado, em qualquer direção do
tabuleiro, mas por casas que estejam conectadas por segmentos;
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»» O primeiro jogador deverá virar a peça circular da casa em que parou e verificar se o número
do círculo dessa casa pode ou não dividir o número de sua cartela de cálculos. Se der, ele retira
esse círculo do tabuleiro e o coloca sobre a cartela de cálculos conforme ilustrado na figura
abaixo, faz a divisão na cartela de cálculos e fica com essa peça em sua cartela de cálculo,
passando a vez para o outro jogador. Caso o número do círculo dessa casa do tabuleiro não
der para dividir o número de sua cartela, o jogador recoloca o círculo de volta ao tabuleiro,
com a face voltada para baixo, e passa a vez para o outro jogador. Veja exemplo:
98
2
49
»» O segundo jogador repete o procedimento anterior e o jogo continua assim, sucessivamente,
até que um dos jogadores consiga finalizar a fatoração, vencendo a rodada;
»» O jogo prossegue com mais rodadas, de nível 1 (fácil), nível 2 (médio) e nível 3 (difícil).
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
3. Resolva as atividades propostas abaixo.
Atividade 1. Os quadrados mágicos apareceram na China, por volta de 2200 a.C. Os números
dispostos nesses quadrados mantêm uma soma constante nas suas linhas, colunas e diagonais,
chamada soma mágica. Construa, usando os números seguintes, um quadrado mágico com soma
mágica igual a - 15.
-15
-14
Atividade 2. Calcule:
a) mmc (16, 20)
b) mdc (18, 27, 45)
c) mmc (15, 24, 38)
d) mdc (12, 32, 45)
-13
-6
-5
-4
3
4
5
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Atividade 3. A malha abaixo é formada por quadrados de 1cm de lado. Resolvendo as expressões
abaixo, você irá encontrar o caminho feito por uma cobra que parte da origem destacada, pois cada
resultado corresponde ao número de centímetros que ela irá percorrer.
Nota: Quando a cobra vai para cima (norte) ou para a direita (leste) ela caminha no sentido positivo
e quando vai para baixo (sul) ou para a esquerda (oeste) ela caminha no sentido negativo.
norte
oeste
leste
origem
sul
Caminho da cobra:
+5 na horizontal, − ( +3) na vertical, −22 na horizontal, ( −8 ) na vertical, ( −9 ) ÷ ( −3) na horizontal,
0
(– 2)² na vertical e (5 ) na horizontal.
1
Marque na malha acima o caminho percorrido pela cobra.
Atividade 4. Diversos cometas passam perto do sol, periodicamente. O cometa A passa de 12 em 12
anos. O cometa B passa de 15 em 15 anos. Se os cometas A e B passarem perto do sol, num mesmo
ano, quanto tempo depois essa coincidência voltará a acontecer?
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Atividade 5. O esquema a seguir representa a rua onde Elvira mora e os números indicam a
distância orientada, em metros, de cada local em relação à igreja, sendo o sinal negativo o indicador
de que o local se encontra do lado esquerdo da igreja.
Casa de
Elvira
Igreja
Banco
Praça
-300
-200
-100
0
Padaria
Escola
100
200
Correio
300
a) Certo dia, Elvira saiu de casa e fez o seguinte trajeto: foi até o correio e em seguida foi assistir à
missa. Comeu um lanche na padaria após a missa, foi ao banco pagar uma conta e foi buscar sua
filha na escola, pararam na praça e foram para casa. Quantos metros Elvira andou nesse percurso?
b) Saindo da casa da Elvira, faça o seguinte trajeto sobre a reta numérica: 400m para a direita, 300m
para a esquerda, 500m para a direita, 300m para a esquerda e 200m para a esquerda. Descreva,
segundo esse trajeto, quais foram os lugares visitados e onde você parou.
Atividade 6. Dois rolos de corda, um de 200 metros e outro de 240 metros de comprimento,
precisam ser cortados em pedaços iguais e com maior comprimento possível. Responda:
Quanto medirá cada pedaço?
Quantos pedaços serão obtidos de cada rolo?
Atividade 7. Na reta numérica da figura abaixo, o ponto E corresponde ao número −9 e o ponto
F, ao inteiro −7 .
A
B
C
D
E
F
-9
-7
G
H
Nessa reta, o ponto correspondente ao inteiro zero estará:
a) sobre o ponto M.
b) entre os pontos L e M.
c) entre os pontos I e J.
d) sobre o ponto J.
I
J
K
L
M
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Atividade 8. Paola comprou dois secadores de cabelo de R$ 120,00 cada, três Dvd’s por R$ 115,00
cada e um televisor de R$ 2500,00. Os objetos foram pagos em cinco parcelas iguais e sem juros. O
valor de cada parcela, em reais, foi igual a:
a) 120
b) 617
c) 516
d) 716
Atividade 9. Na cidade de Moscou, na Rússia, os termômetros marcavam, de manhã, −16º C. Os
jornais locais indicavam que a temperatura, no decorrer do dia, iria ainda cair 13º C. Segundo essa
previsão, a temperatura chegaria a:
a) −29º C
b) −3º C
c) +3º C
d) +13º C
Atividade 10. Seja A = ( −5 ) + ( −5 ) . O valor de A é:
2
a) 125
b) -5
c) 625
d) -100
3
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
ANOTAÇÕES
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NÚMEROS RACIONAIS
1. Introdução
Os números naturais surgiram para ajudar no processo de contagem, mas na vida cotidiana utilizamos
também as partes próprias da unidade. Comprimento, área, peso, tempo são exemplos de medidas
usuais que, sem a criação do conjunto dos números racionais, não poderiam ser quantificadas.
2. Resolução de Problemas
Problema 1: Clara, Elisa, Marcos e Henrique tentam dividir três barras de chocolate entre eles. Mas
como fazer se todos devem receber a mesma quantidade?
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Problema 2: Imagine três terrenos idênticos, o primeiro dividido em duas partes iguais, o segundo
dividido em quatro partes iguais e o terceiro dividido em 16 partes iguais, como representado nas
figuras abaixo.
Os três pertencem ao mesmo agricultor e cada um será semeado da seguinte maneira: o primeiro com
sementes de cenoura, o segundo de alface e o terceiro de batata. A região colorida nas figuras acima
indicam a porção de cada terreno que será semeada. Qual dos três terrenos terá maior área semeada?
Problema 3. Os amigos Carlos, Jonas, Lucas e Pedro foram a uma pizzaria. Lá chegando, Carlos e
Pedro escolheram uma pizza de mussarela e pediram que ela fosse repartida em 8 partes iguais. Já
Lucas e Jonas escolheram uma de calabresa, mas pediram que fosse repartida em 6 partes iguais. No
final da noite, sobrou um pedaço de cada pizza. Qual dupla comeu mais?
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Problema 4. Um agricultor plantou batatas em 5 das 12 partes em que dividiu a sua horta. Em
outras 3 partes, plantou abobrinhas. Quantas partes da horta foram utilizadas com essa plantação?
Esse mesmo agricultor pretende plantar cenouras na parte restante da horta. Quanto da horta ainda
resta para essa plantação?
Problema 5. Dona Rosa é a responsável pela cantina de uma escola. Ela costuma fazer bolos de
chocolate para vender para os alunos. Em um dia, ela fez dois tabuleiros de bolo do mesmo tamanho,
mas um deles ela dividiu em 12 partes iguais e vendeu 5 pedaços e o outro ela dividiu em 8 partes
iguais e vendeu apenas um pedaço. Qual a fração que representa o quanto foi vendido de bolo de
chocolate naquele dia?
Problema 6. Seu Jorge tem cinco filhos. Ele comprou um grande terreno e dividiu igualmente entre
eles. Anos depois, Júlio, o filho mais velho de seu Jorge, decidiu dividir seu terreno entre seus três
filhos. Em relação ao terreno original, qual é a fração que representa a quantidade recebida por cada
filho de Júlio?
30
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Problema 7. Uma pesquisa foi feita para analisar a preferência de moradores de uma cidade por
3
3
esportes.
dos entrevistados gostam de futebol e metade desses
gostam também de vôlei. Qual
4
4
é a fração que representa os entrevistados que gostam de vôlei?
Antes do próximo problema, vamos analisar algumas situações.
Para repartir igualmente 40 litros de leite entre 10 famílias, quanto deverá receber cada família?
Se 40 litros de leite devem ser colocados em jarras de 1 litro cada uma, quantas jarras serão necessárias?
E se tivermos canecas de
1
litro cada uma, quantas serão necessárias?
2
E se tivermos copos de 250 m , isto é,
E se tivermos garrafas de
1
de litro cada um, quantos serão necessários?
4
4
de litro, quantas serão necessárias?
5
Vamos observar novamente todas as divisões que fizemos:
Problema 8. Para repartir
25
2
litros de leite em copos de  , quantos copos serão necessários?
4
5
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1
de litro a mais
4
em comparação com as garrafas comuns que contém um litro. Comparando a garrafa antiga e a
nova garrafa, que fração representa a quantidade de refrigerante na nova garrafa, considerando
como unidade um copo de 250 m  ?
Problema 9. Uma fábrica de refrigerantes pôs à venda uma garrafa que continha
Problema 10. Parte de um terreno foi utilizada para construção e outra parte para um jardim,
conforme mostra a figura.
Construção
Construção
Construção
Jardim
a) Indique as frações correspondentes à parte construída e à parte dedicada ao jardim em relação ao
terreno todo.
b) Indique a fração correspondente ao jardim em relação à parte construída.
c) Que número decimal representa o tamanho do jardim em relação ao terreno todo?
d) Que número decimal representa o tamanho do jardim em relação à parte construída?
32
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Problema 11. Veja a pontuação obtida por seis atletas em uma competição de ginástica artística:
Atleta
Pontos
Aline
8,72
Bia
9,25
Cláudia
9,36
Diana
8,725
Eloá
9,32
Flávia
8,728
Qual foi a ordem de classificação das atletas?
Ordem
Atleta
1ª
Cláudia
Problema 12. Seu José foi ao supermercado e comprou um pacote de 5kg de arroz por R$ 10,89,
1kg de carne por R$ 12,65 e uma dúzia de ovos por R$ 2,99. Quanto ele gastou? Para pagar a conta,
seu José entregou à caixa do supermercado uma nota de R$ 50,00. Quanto ele recebeu de troco?
Problema 13. Ao sair do mercado, seu José lembrou-se que deveria ter comprado mussarela. No
caminho de casa passou em uma padaria e comprou 250g do queijo que custava R$ 14,99 o quilo.
Quanto pagou pelo queijo?
GUIA DO ALUNO
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Problema 14. Para saber se um carro é econômico, calcula-se o rendimento médio de combustível.
Por exemplo, se o carro faz 14km com 2 litros de álcool, o rendimento é de 7km por litro. Isso porque
14 : 2 = 7. Qual será o rendimento médio de um automóvel que rodou 304,5km com 35 litros de
combustível?
3. O conjunto dos Números Racionais (
)
Todos os números vistos até agora são chamados números racionais, pois podem ser escritos em
forma de fração, como razão entre dois números inteiro. Esses números formam o conjunto dos
números racionais que é representado pela letra .
Fixando um ponto para o zero, uma unidade para o 1 e um sentido para ser o positivo,
podemos localizar na reta qualquer número racional. Localize na reta os seguintes números
2
; − 1, 5; 3, 25; −2, 6 e 2, 333... :
3
34
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Resolva as atividades propostas abaixo:
Atividade 1: Observe as figuras abaixo e identifique aquelas que podem ter a parte hachurada
representada por uma fração:
I
II
III
IV
V
VI
As questões a seguir são sobre as figuras que representam uma fração:
a) Que fração representa cada uma delas?
b) Encontre duas frações equivalentes a cada uma delas.
c) Em relação a letra (a), quais são frações equivalentes?
d) Quais são frações irredutíveis?
e) Qual pode ser expressa pela fração
1
?
2
Atividade 2: Três caixas d’água têm a mesma capacidade. Uma está com
outra com
4
11
e a terceira com
. Qual das caixas está mais cheia?
14
7
5
da sua capacidade,
6
Atividade 3: O chão da sala de jantar da casa de Denise está sendo acarpetado. Num dia foi
colocado carpete em
6
2
do chão e, no dia seguinte, em
.
11
8
a) Qual é a fração que representa a parte acarpetada?
b) Qual é a fração que representa a parte onde falta colocar carpete?
Atividade 4: A classe de Willian, o 9º ano B, foi ao zoológico observar os animais para fazer um
trabalho de Ciências.
a) Um ônibus de 48 lugares veio buscar os alunos na porta da escola. A professora de Ciências foi
junto. Se
5
dos lugares foram ocupados, quantos assentos ficaram vazios?
8
GUIA DO ALUNO
b) Cinco alunos faltaram à excursão. Quantos alunos têm o 9º ano B?
c) A distância da escola ao zoológico é de 12km. Quando havia percorrido
35
3
dessa distância, furou
4
um dos pneus do ônibus. Quantos quilômetros faltavam para chegar ao zoológico?
d) Quando conseguiram chegar ao zoológico, os alunos foram direto à ala dos macacos. Lá vivem 49
macacos;
4
são fêmeas. Quantos são os machos?
7
e) Num viveiro tinha 311 passarinhos; morreram 5. Um empregado do zoológico retirou os
passarinhos mortos, mas esqueceu a porta do viveiro aberta e
passarinhos sobraram?
5
do restante fugiram. Quantos
6
3
f) Na volta à escola, por causa de um grande congestionamento, o ônibus demorou
de hora.
2
Quantos quilômetros ele percorreu por hora?
Atividade 5: Observe o gráfico abaixo:
Desmatamento da Mata Atlântica (em milhares de
quilômetros quadrados)
287,8
193,6
200,5
1500
2000
46,1
58,8
13,9
Espírito Santo
41,9
39,2
29,9
4,7
Mato Grosso
do Sul
Minas Gerais
Paraná
São Paulo
Fonte: Almanaque Abril, 2004
Qual Estado apresenta maior área de desflorestamento da Mata Atlântica?
Em quais Estados mais da metade da Mata Atlântica foi desflorestada?
Qual a área total original de Mata Atlântica nos cinco Estados?
Qual a área desflorestada nos cinco Estados?
36
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Atividade 6: Considere as seguintes informações sobre o rendimento de combustível do carro do
,1 kmkm//  .
212,1
,1 kmkm//  ; rendimento médio na estrada –1216,5
seu Antônio: rendimento médio urbano –1
Em uma viagem, esse carro percorreu 36,3km na cidade e 198km na estrada. Calcule a despesa
com combustível que seu Antônio teve nessa viagem, considerando que o preço de cada litro de
combustível foi de R$ 2,30.
Atividade 7: Identifique quais dos racionais abaixo são dízima periódica e encontre sua geratriz.
a) 0,111...
b) 1,45379...
c) 0,23141414...
d) 0,6444...
e) 3,141516...
f) 0,0202...
Atividade 8: Localize em uma mesma reta os seguintes números racionais:
a) 0,1
b) – 1,2
c) 3,444...
2
5
10
e)
4
d) −
f) – 3,75
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ANOTAÇÕES
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POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
1. Introdução
Nessa oficina trataremos esses conteúdos começando pela potenciação com base racional e
expoente natural, ampliando para expoentes negativos e dando ênfase à utilização das potências
de 10 utilizadas nas notações científicas, que são fundamentais para o desenvolvimento das teorias
da Física e da Química. Trabalharemos também com as propriedades da potenciação, objetivando
desenvolver técnicas de cálculo e raciocínio.
Quanto à radiciação, introduziremos sua definição como a operação inversa da potenciação e
daremos ênfase às propriedades e aos cálculos que envolvam números irracionais trabalhando com
simplificação de radicais.
Usaremos um jogo como recurso didático, com o objetivo de desenvolver raciocínio lógico matemático
e habilidades de cálculo com potências e radicais por meio lúdico. O jogo que usaremos é uma
adaptação do “Dominó Humano Matemático”, que contará com cálculos que envolvem potências
e radicais, bem como suas propriedades. Esse jogo tem o objetivo de entreter, aperfeiçoar e, ao
mesmo tempo, dinamizar a aula. Por meio desse recurso os alunos aprendem matemática brincando,
desenvolvem autonomia, fixam as propriedades e ainda interagem com o professor e com os colegas.
2. Potenciação
A potenciação é útil no estudo de várias situações. Vejamos, por exemplo, como proceder na
compreensão da difusão de uma epidemia.
Problema 1. Suponha que uma pessoa esteja contaminada com uma determinada doença. Em 1
dia o sujeito contaminado espalha a doença para 4 pessoas. Cada uma dessas 4 pessoas contamina
outras 4 pessoas, no tempo de 1 dia. Em pouco tempo teremos uma epidemia. Faça um diagrama
de árvore e complete a tabela:
Tempo
Instante inicial
Novas pessoas contaminadas
1
1o dia
2o dia
3o dia
4o dia
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
No problema anterior, temos um problema com potências.
A fórmula que nos dá o número de contaminados C no enésimo dia, segundo essa tabela, é dado por:
Vamos efetuar as potenciações, relembrando as regras da multiplicação dos números racionais:
a)
b)
c)
5 2
d) ` 8 j
e)
f)
g)
h)
Observando as potências que você acabou de calcular, responda:
a) Se a base é positiva, a potência é positiva ou negativa?
b) Se a base é negativa, a potência é positiva ou negativa?
Problema 2. Complete a tabela, observando a regularidade em sua construção.
8
22
4
a) Escreva o resultado da potência:
21
2
20
2−1
2−2
2−3
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b) Efetue as potenciações, levando em consideração o resultado anterior:
−4
2
5
2
5
 
−2
−3
8
7
 
−1
(0,7)
0
Problema 3. Leia o seguinte texto, em voz alta, e em menos de 30 segundos:
“...como, por exemplo, o nosso Sistema Solar que tem um diâmetro aproximado
de 100.000.000.000 metros. E isso é muito pequeno se comparado com o tamanho
da Galáxia onde vivemos com seus incríveis 100.000.000.000.000.000.000 metros
de diâmetro. No entanto, ao lembrarmos que o Universo visível deve ter cerca de
100.000.000.000.000.000.000.000.000 metros de diâmetro, vemos que tamanhos
assombrosos estão incluídos no estudo da Astronomia. Daí pensamos que é melhor
estudar biologia, pois a molécula do DNA tem apenas 0,0000001 metro, muito mais fácil
de lidar. O problema é que a astronomia não é uma profissão perigosa enquanto que a
biologia... Imagine que os biólogos têm a coragem de lidar com vírus que medem apenas
0,000000001 metro e são terrivelmente mortais. E se, por distração, um biólogo deixar
um desses vírus cair no chão do laboratório? Nunca mais irá encontrá-lo!....”.
Difícil ler esses números, não é?
Para facilitar ainda a compreensão de textos como esses, os cientistas passaram a usar uma forma
compacta para escrever números muito grandes ou muito pequenos, a chamada notação científica
ou notação exponencial.
Agora você pode escrever os números que aparecem no texto acima utilizando notação científica.
3. Radiciação
Problema 4. Vamos completar a tabela calculando a área de um quadrado de lado medindo n centímetros.
Lado n
3 cm
7 cm
2,5 cm
x cm
Área
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Agora a situação é inversa. Escreva a medida do lado de um quadrado, conhecendo sua área:
Área
Lado
16 cm
2
64 cm2
2,25 cm2
x2 cm2
Você acabou de calcular várias raízes quadradas. A ideia é a mesma para outras raízes. Procure usar
esse raciocínio do inverso da potenciação para calcular as seguintes raízes:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Problema 5. O gráfico abaixo mostra a relação entre os números reais x, de 0 a 10, e os seus
quadrados, representados por y. Analise-o e determine através dele, o valor aproximado:
a) dos números cujos quadrado são 36; 30; 19; 84
b) dos números
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100
49
y
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
x
0
0
2
4
6
8
10
Problema 6. As sentenças seguintes referem-se a dois números não negativos. Classifique-as em
verdadeira ou falsa.
a) A soma das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada da soma desses
números:
50
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
b) O produto das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada do produto
desses números:
c) O quociente das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada do quociente
desses números:
d) A diferença das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada da diferença
desses números:
e) A raiz quadrada de um número corresponde a uma potência com expoente fracionário
1
:
2
Problema 7. Obtenha o perímetro do triângulo e do retângulo ilustrados abaixo, cujas medidas de
seus lados estão dadas em centímetros, procurando simplificar os radicais.
b)
a)
125
2 2
5
20
1
+
18
4. Dominó Matemático
Regras
»» Recorte as peças (você poderá refazer essas peças com outro material e de outro tamanho,
se julgar necessário) e distribuir para a turma entregando uma peça para cada aluno. Se
sobrarem peças, estas ficarão em sua responsabilidade para que o jogo possa se realizar. Se
houver mais alunos que peças, divida a turma em dois grupos diferentes, para que todos
possam participar.
»» Um aluno começa o jogo. Ele vai a frente e lê seu cartaz. Por exemplo:
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Eu tenho 9, quem tem 0100 ?
O aluno que tiver com a resposta, ou seja, o aluno que tem a peça com os dizeres: “Eu tenho 0, ...”
irá a frente, ficando ao lado do primeiro (como se fosse um dominó humano) e assim por diante,
cada aluno irá se posicionar no dominó conforme sua peça.
É importante que você, tutor, aguarde a tentativa dos alunos. Espere até que alguém se pronuncie
com o cartão que contém a resposta correta, mas não se esqueça de formalizar o cálculo ou a
propriedade que foi utilizada para resolver aquele item. Você poderá empregar as seguintes questões:
Com quem está o cartão com o resultado? Como você chegou ao resultado? Alguém usou algum
outro caminho pra efetuar o cálculo?
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
5. Resolva as atividades propostas abaixo.
Atividade 1. As distâncias entre as estrelas são tão grandes que não convém medi-las em quilômetros.
Por isso, os astrônomos utilizam uma unidade de medida mais conveniente: o ano-luz. Um ano-luz
é a distância percorrida pela luz em um ano. Responda:
a) Em cada segundo, a luz percorre 300 000 Km. Multiplique isso pelo número de segundos de um
ano e diga quantos quilômetros há em um ano-luz. Dê a resposta em notação científica.
b) A segunda estrela mais próxima da Terra está a 4 anos-luz de distância. Quantos quilômetros nos
separam dela?
Atividade 2. No primeiro dia de uma epidemia de gripe, foram registrados cinco casos de pessoas
infectadas. No segundo dia, cada uma das cinco transmitiu a gripe para outras cinco pessoas
saudáveis. E assim a doença se propagou nos dias seguintes. Ao final do 60 dia, quantas pessoas ao
todo haviam sido infectadas?
Atividade 3. Qual é o valor aproximado de 3 48 ?
2 3
. Nessas condições,
4
qual é a medida da área de um triângulo equilátero de lado medindo 3 5 cm?
Atividade 4. A medida da área de um triângulo equilátero de ℓ é dado por
Atividade 5. Um terreno retangular de dimensões 20m × 2 2m deverá ser cercado com arame.
Se o metro de arame custa R$ 3,50, quanto será gasto para cercar esse terreno, sendo necessário dar
3 voltas de arame? (Use valores aproximados para os radicais não exatos).
Atividade 6. Qual o resultado da expressão (0,8)2 : (31)0 + (6/10)2 ?
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ANOTAÇÕES
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INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA
Essa oficina trata de um tema muito importante, pois está na base da resolução de problemas
em matemática. Aqui veremos como traduzir, em linguagem e notação matemática, informações
apresentadas textualmente e saber operar com expressões matemáticas do tipo monômio e polinômio.
1. O emprego de letras em matemática
Problema 1: Represente as frases abaixo em linguagem matemática:
a) Um número mais o quádruplo dele é igual a 10.
b) A metade do número de eleitores de uma cidade é igual a 1642.
c) Os três quartos de um número menos dois é igual a 35.
d) Um número adicionado ao se dobro dá vinte e oito.
Problema 2: O quintal da casa de Érika tem formato retangular e suas dimensões (em metros) estão
representadas na figura abaixo.
a
b
b
a
Como podemos representar a medida do contorno desse quintal?
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
2. Operações com monômios
1 – Adição de monômios
Problema 3: Dona Emília quer colocar rodapé no contorno da cozinha, que tem forma retangular e
cujas dimensões estão representadas no desenho abaixo. Vamos ajudá-la!
3x
2x
2 – Multiplicação de monômios
Problema 4: Dona Emília quer calcular a área da cozinha para colocar piso. Vamos ajudá-la!
Você já sabe que a largura da cozinha é 3x e o comprimento é 2x.
3 – Subtração de monômios
Problema 5: Quando Dona Emília chegou à loja para comprar o piso, encontrou uma oferta.
Resolveu calcular para saber se o piso dava para a cozinha. Descobriu que o total do piso em oferta
era 8x 2 metros quadrados.
Como a área que Dona Emília precisa é 6x 2 metros quadrados, o piso em oferta será suficiente?
Sobrará ou faltará?
Quanto?
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4 – Divisão de monômios
Problema 6: Mas a loja só venderia parte dessa mercadoria (piso) se sobrassem pelo menos 3x 2
metros quadrados. Por isso, Dona Emília não pôde comprar o piso nessa loja. Como ainda precisa do
piso para a cozinha, Dona Emília foi a outra loja. Lá encontrou um lote de 18x 2 metros quadrados
de piso e, como o preço estava bom, ela resolveu comprar. Curiosa, pensou em quantas cozinhas do
tamanho da sua dariam para forrar com aquela quantidade de piso.
5 – Potenciação de monômios
Problema 7: Dona Emília resolveu colocar na sua sala um tapete quadrado com as dimensões abaixo:
2y
2y
Ela quer saber a área desse tapete.
6 – Radiciação de monômios.
Você já sabe que a operação inversa da potenciação é a radiciação. Então, para extrairmos a raiz de
um monômio fazemos a operação inversa:
2
2
4 y 2 = 2 22 ⋅ y 2 = 22 ⋅ y 2 = 21 ⋅ y1 = 2 ⋅ y = 2 y
Generalizando, temos:
n
m
am = a n
e
1
n
1
ab
= an ⋅ bn
Portanto, repetimos a base e dividimos o expoente do radical pelo índice da raiz.
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
3. Polinômios
1 – Adição de polinômios
Problema 8: O presidente do Tabajara Futebol Clube precisa cercar o campo e quer saber quantos
metros de alambrado terá que comprar, sendo o comprimento desse campo de futebol dado por 5x
+ 20 metros e sua largura por 4x + 10 metros.
2 – Multiplicação de polinômios
Problema 9: Em seguida ele necessita gramar o campo de futebol. Para isso, você sabe, é só calcular
a área. Assim:
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5. Resolva as atividades propostas abaixo:
1) Faça a tradução das seguintes informações para a linguagem matemática:
a) O dobro de um número.
b) O triplo de um número.
c) A metade de um número.
d) A terça parte de um número.
e) Dois terços de um número.
f) Um número mais quatro.
g) O triplo de um número menos dois.
h) Dois quintos de um número acrescidos de quinze.
i) O dobro de um número mais oito.
j) A metade de um número aumentado de dez.
k) A diferença entre um número e sete.
l) A quarta parte de um número, mais vinte.
m) A terça parte de um número, menos o seu dobro.
2) Uma creche tem x crianças. Escreva a expressão algébrica que representa:
a) o dobro do número de crianças dessa creche.
b) a quinta parte do número de crianças dessa creche.
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
c) o número de crianças que a creche teria se saíssem quinze crianças.
3) Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro das seguintes figuras:
a
a)
b)
a
a
a
a
a
2a
2a
b
b
2a
2a
4) Escreva cada situação descrita abaixo em linguagem algébrica.
a) a diferença entre um número e sua terça parte.
b) a soma de três números consecutivos.
c) a altura de uma pessoa é maior que a altura da irmã dessa pessoa.
d) o quádruplo de um número mais dez é igual a quarenta e seis.
5) Descreva cada situação descrita abaixo em linguagem corrente.
a) 5 x + 1
b) 4 x + 2 =
9
c) 3 x − 2 x
d)
x
3
+x=
2
2
e)
y
y
−3<
4
2
f) ( a + b )( a − b)
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6) Observe a figura e responda:
2x
3x
a) Qual é a expressão algébrica que representa a área desse retângulo?
b) Qual é a expressão algébrica do perímetro desse retângulo? Essa expressão pode ser reduzida a
um só termo?
7) Responda:
a) Quanto dá o produto de −3x 2 por 5xy ?
b) Quanto é o produto entre 8ab e − ab ?
8) Observe abaixo e responda:
3y²
4x²y
a) Qual é a expressão algébrica que representa a área desse retângulo?
b) A parte literal do monômio que representa a área do retângulo é x 2 y 4 ? Explique como chegou-se
a esse resultado.
9) Um litro de leite custa x reais. Léa comprou três litros de leite. Pagou com 5x reais. Nessas condições,
responda:
a) Qual é o monômio que representa o preço de 3 litros de leite?
b) Qual é a expressão algébrica que representa o troco que Léa recebeu?
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
10) Determine os monômios que representam a seguinte situação: um sorvete custa x reais. Leonardo
comprou 3 sorvetes e Carolina 5.
a) Quanto os dois gastaram?
b) O troco que Leonardo recebeu, se ele pagou os seus sorvetes com 10x reais.
11) Se Jussara tem 20x reais e resolveu dar a quarta parte desse dinheiro para seu filho, que quantia
seu filho receberá?
12) Qual é a forma mais compacta de representar as expressões abaixo?
a) −7 xy + 3 xy =
b) 15mn − 8mn =
c) 2,5ab − 0,5ab =
d) −3a2 b2 − a2 b2 =
e) y 2 + 6 y 2 − 2 y 2 =
f) 4 ax 2 − 3ax 2 + 9 ax 2 =
13) Qual é o resultado de:
(
)
b) ( −20 x y ) ÷ ( 4 y ) ?
c) ( 81a b c ) ÷ ( −9 ab ) ?
d) ( −49 a b c ) ÷ ( 7a bc ) ?
e) ( −48 x y ) ÷ ( −12 x y ) ?
f) ( 35 x y ) ÷ ( −5 x y ) ?
a) 15 xy 2 ÷ ( 3 x ) ?
2
4
2
3 2
4
2
2
2
3
4
2
2
2
14) Suponha que um quadrado tem área igual a 9 y 2 . Qual é a medida do lado desse quadrado?
15) A sala da casa de Lucimar tem forma de um quadrado e 16 m² de área. Qual é a medida do lado
dessa sala?
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16) Encontre a medida do lado de um quadrado cuja área mede:
a) 81a4
b) 100m2 n6
17) Dê o resultado de:
2
a) ( −2x ) =
( ) =
c) ( a b c ) =
d) ( − m n ) =
b) 3a2
2
3
2
3
2 3
4
e)
64m2 =
f)
100a4 b10 =
g)
4 4 10
x a =
9
18) Branco comprou 5 calças e 12 camisas. Se cada calça custou x reais e cada camisa y reais, qual o
polinômio que representa a quantia que Branco gastou?
19) Calcule:
a) ( x + y ) =
2
b) ( x − y ) =
2
c) ( x + 5 )( x − 5 ) =
d) ( a + 3) =
2
e) ( b − 2) =
2
f) ( m − n)( m + n) =
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
ANOTAÇÕES
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EQUAÇÕES LINEARES
1. Identidade e equação
É importante inicialmente compreender a diferença entre equação e identidade. Essa diferenciação
deve ser pontuada a priori, pois esclarecerá, mais a frente, as situações “estranhas” que surgirão ao
se resolver algumas equações.
Dada uma expressão onde figura apenas uma letra, digamos x, à qual nos referiremos como expressão
em x, o conjunto dos números reais x para os quais se podem efetuar as operações indicadas na
expressão é chamado de domínio da expressão. Veja os dois casos abaixo.
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
2
é o conjunto dos x reais diferentes de 3, pois nessa expressão
x −3
podemos atribuir a x todos os valores reais, exceto o valor 3 já que, nesse caso, o denominador se
anularia e estaríamos diante de uma divisão por zero, o que não existe.
a) O domínio da expressão
b) O domínio da expressão 3 x + 2 é o conjunto dos números reais, pois podemos atribuir a x
qualquer valor real que a expressão em tela sempre fornecerá, por resultado, um número real.
Dada uma igualdade onde em cada membro se tem uma expressão em x, consideremos o conjunto
dos números reais x que são comuns aos domínios dessas expressões, ou seja, o conjunto dos
números reais x para os quais são possíveis de serem realizadas as operações indicadas por ambas as
expressões. Indiquemos tal conjunto por D. Veja os dois casos abaixo.
a) No caso da igualdade 3 x + 1 = x − 4 , as operações indicadas por ambas as expressões 3 x + 1 e
x − 4 podem ser efetuadas para qualquer x real, logo D = � . O mesmo sucede com a igualdade
2
( x + 2) = x 2 + 4 x + 4 .
2
3
=
, o conjunto D é a coleção dos números reais diferentes de −2 e 2 3 , pois
x + 2 3x − 2
tais números anulam respectivamente os denominadores do primeiro e segundo membros. No caso da
b) Na igualdade
1
2
3
+
=, o conjunto D é a coleção dos números reais diferentes de 2.
x −2 x −2 x −2
Se a igualdade se verifica para todo x de D, tem-se uma identidade (em D). Caso contrário, tem-se
uma equação. Neste último caso, resolver a equação significa achar os valores x de D que a verificam,
o conjunto desses valores será chamado de conjunto-solução da equação (eventualmente tal conjunto
pode não conter nenhum elemento, que é o caso de não haver solução para a equação).
igualdade
2. Equação do 1º grau
Problema 1: Num país chamado Aposentadolândia, um trabalhador tem direito à aposentadoria
quando a soma do número de anos trabalhados com a idade do trabalhador é igual a 100. Com que
idade poderia aposentar-se uma pessoa que tenha trabalhado ininterruptamente a partir dos 22 anos?
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81
Problema 2: Resolva as equações abaixo:
a) 2 x + 3 = 4 x − 2
b)
3x − 1
1
= 1,5 x −
2
2
4x − 3
c) 2 x + 2 =
2
Problema 3: Em um teste de 25 questões, por cada acerto ganha-se 4 pontos e por cada erro perde-se
1 ponto. Pedro respondeu a todas as questões e marcou 70 pontos. Quantas questões Pedro acertou?
Problema 4: Azul e Branca são duas locadoras de automóvel. A locadora Azul cobra R$ 1,00 por
quilômetro rodado mais uma taxa de R$ 100,00 fixa. A locadora Branca cobra R$ 0,80 por quilômetro
rodado mais uma taxa fixa de R$ 200,00. Discuta em que situação é mais vantajoso se alugar um
carro em uma ou outra locadora.
Problema 5: Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que
seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas,
faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que
a despesa total será dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído
pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma
das 55 pessoas?
3. Sistemas lineares de duas equações com duas incógnitas
Resolver um sistema formado por duas equações lineares, com duas incógnitas corresponde a obter
as soluções simultâneas dessas duas equações.
1
2 x − y =
Problema 6: Resolva o sistema: 
11
x + 3y =
Problema 7: Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando
tiveres a idade que eu tenho, juntos teremos 135 anos. Qual é a minha idade?
82
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Resolva as atividades propostas abaixo.
Atividade 1: Para promover um baile, um clube fez o seguinte levantamento de gastos:
Banda
Decoração
Iluminação
R$ 3 000,00
R$ 2 400,00
R$ 400,00
Além dos gastos acima, o buffet cobrará R$ 35,00 por pessoa. O preço do convite individual é R$
70,00. Qual o número mínimo de convites que o clube deve vender para que o baile não dê prejuízo?
Atividade 2: A herança do Antônio foi dividida, entre 10 pessoas, seus 2 irmãos e seus 8 filhos, em
partes iguais. Caso a partilha da herança fosse feita somente entre seus 8 filhos, cada um deles teria
recebido R$ 5 000,00 a mais do que receberam na partilha por 10. Qual o valor da herança partilhada?
Atividade 3: Foram pesados 3 cubos idênticos e 2 esferas idênticas, todos juntos e, nessa pesagem,
obteve-se 11,5 kg. Em seguida, pesou-se 2 desses cubos juntos com 3 esferas idênticas às da primeira
pesagem e obteve-se 11kg. Qual o peso de cada cubo e de cada esfera?
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ANOTAÇÕES
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GRANDEZAS DIRETA E
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Esse é um tema básico e importante. Tem sido solicitado em concursos diversos, em vestibulares e
também no ENEM. Em geral o aluno sabe resolver problemas envolvendo duas grandezas proporcionais
pelo emprego da “regra de três”. Mas aplica a regra de três em situações inadequadas, para as quais
ela não é válida. Em geral, o aluno não avalia corretamente se as grandezas envolvidas são ou não
proporcionais, muito menos se essa proporcionalidade é direta ou inversa. Mais complicado ainda
para o aluno é a situação onde uma grandeza é proporcional a várias grandezas ao mesmo tempo.
1. Grandezas Proporcionais
Considere a seguinte situação: uma empresa de engenharia consegue asfaltar 60 km de estrada em
20 dias. Deseja-se saber quantos dias seriam necessários para que essa mesma empresa asfalte uma
estrada de 84km. As duas grandezas envolvidas, quilômetros de estrada a ser asfalto e o número de
dias necessários para realizar o asfaltamento são tais que: se uma delas aumenta, a outra também
aumenta, ou seja, quando aumentamos o número de quilômetros a ser asfaltado, o tempo necessário
para realizar esse asfaltamento também aumenta.
Note, em particular, que se duplicássemos o número de quilômetros, o tempo gasto para realizar
o asfaltamento seria também duplicado. Se triplicássemos o número de quilômetros, o tempo para
realizar o asfaltamento deveria também ser triplicado. Na tabela abaixo registramos a situação para
algumas quilometragens. Note que na última coluna dessa tabela encontra-se registrado o quociente
dos valores das duas grandezas em cada caso.
Quilometragem q
da estrada
60
Nº d de dias necessários para
realizar o asfaltamento
20
120
40
3
180
60
3
30
10
3
12
4
3
1
1/3
3
Quociente q/d
3
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Nessa situação, as grandezas q e d são tais que o valor de uma aumenta quando a outra também
aumenta e, além disso, o quociente entre elas é constante.
Quando duas grandezas apresentam características como as exemplificada acima, diremos que as
duas grandezas são proporcionais (ou diretamente proporcionais). Tecnicamente duas grandezas x
e y são proporcionais quando existe uma constante k (fator de proporcionalidade) tal que y= k × x
y
ou, equivalentemente, = k .
x
Problema 1: Uma empresa de engenharia consegue asfaltar 60 km de estrada em 20 dias. Quantos
dias seriam necessários para a mesma empresa asfaltar uma estrada de 84 km?
Problema 2: Uma lata de leite em pó, pesando 400 g, custa R$ 5,20. O mesmo leite, na embalagem
de 900 g, custa R$ 11,20. Qual das duas opções é economicamente a mais vantajosa?
Problema 3: Trabalhando 8 horas por dia, 3 trabalhadores constroem um muro de 40 m de altura
em 12 dias. Se o número de horas de trabalho diário for reduzido para 6 e o número de trabalhadores
aumentado para 5, qual o comprimento de um muro de mesma altura que eles construirão em 15 dias?
2. Grandezas inversamente proporcionais
Considere agora um tanque a ser enchido e que se possa enchê-lo utilizando-se uma, duas ou várias
torneiras, todas de mesma vazão. Dependendo do número de torneiras utilizadas, o tempo para encher
o tanque varia. É importante observar que essa situação se diferencia dos anteriores pois, nesse caso,
as duas grandezas envolvidas, número de torneiras e tempos para encher o tanque, são tais que,
quando uma delas aumenta, a outra diminui, ou seja, quando aumentamos os número de torneiras, o
tempo necessários para se encher o tanque diminui. Note, por exemplo, que se uma torneira sozinha
gastasse 6 horas para encher o tanque, duas torneiras juntas levariam a metade desse tempo, ou seja,
3 horas, e ainda, três torneiras juntas levariam um terço desse tempo, ou seja, 2 horas. Na tabela abaixo
registramos a situação para o número de torneiras variando de 1 a 6. Note que na última coluna dessa
tabela encontra-se registrado o produto dos valores das duas grandezas em cada caso.
GUIA DO ALUNO
Nº n de torneiras
Tempo t necessário para
encher o tanque (em horas)
Produto nXt
1
6
6
2
3
6
3
2
6
4
1,5
6
5
1,2
6
6
1
6
93
Nessa situação, as grandezas n e t são tais que o valor de uma aumenta quando a outra diminui e,
além disso, o produto entre elas é constante.
Quando duas grandezas apresentam características como as exemplificadas acima, diremos
que as duas grandezas são inversamente proporcionais. Tecnicamente, duas grandezas x e y são
inversamente proporcionais quando existe uma constante k (fator de proporcionalidade) tal que
k
y = ou, equivalentemente, x . y = k.
x
Problema 4: Se 4 torneiras (com mesma vazão) enchem um tanque em 2 horas (estando o tanque
inicialmente vazio), quanto tempo demorará para encher esse tanque (estando inicialmente vazio)
quando somente 3 dessas 4 torneiras estiverem abertas?
Problema 5: Um fazendeiro possui ração suficiente para alimentar suas 16 vacas durante 62 dias.
Após 14 dias, ele vende 4 vacas. Passados mais 15 dias, ele compra 9 vacas. Quantos dias, no total,
durou sua reserva de ração?
Problema 6: Uma torneira A enche um tanque em 5 horas. Uma torneira B enche esse mesmo
tanque em 15 horas. As duas torneiras juntas encherão esse tanque em quantas horas?
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Resolva as atividades propostas abaixo.
Atividade 1: Um barco com 7 pessoas, à deriva no mar, tem suprimento de água suficiente para
28 dias. Após 4 dias, o barco recolhe mais 1 náufrago. Se o consumo diário de água por pessoa se
mantiver o mesmo, em quantos dias mais durará a reserva de água?
Atividade 2: Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias,
alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a
tarefa e, nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia.
Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo e todos passaram a trabalhar 4
horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha
se mantido constante, qual a quantidade de alimentos arrecadados ao final dos 30 dias de campanha?
Atividade 3: Uma caixa d’água de 1000 litros tem um furo no fundo, por onde escoa água a uma
vazão constante. Às 6h da manhã de certo dia ela foi cheia e, ao meio dia desse mesmo dia, só tinha
850 litros. Quando o volume d’água restante na caixa alcançará a metade da capacidade da caixa?
Atividade 4: Uma caravana com 7 pessoas deve atravessar o Sahara em 42 dias. Seu suprimento de
água permite que cada pessoa disponha de 3,5 litros por dia. Após 12 dias, a caravana encontra 3
beduínos sedentos, vítimas de uma tempestade de areia, e os acolhe. Pergunta-se:
a) Quantos litros de água por dia caberão a cada pessoa se a caravana prosseguir sua rota como
planejado?
b) Se os membros da caravana (beduínos, inclusive) continuarem consumindo água como antes, em
quantos dias, no máximo, será necessário encontrar um oásis?
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PORCENTAGEM
O tema porcentagem é recorrente em toda a matemática e surge nas mais diversas situações. Este
é um assunto trabalhado ao longo do Ensino Fundamental e deve ser devidamente compreendido,
pois estão presentes em problemas diversos, relacionados a diferentes saberes matemáticos, além de
ser uma ferramenta muito empregada na vida cotidiana.
Objetivamente falando, uma porcentagem é uma fração de denominador 100.
Por exemplo, “sete por cento” escreve-se como “7%” e significa “sete centésimos”, isto é, 7% =
7
.
100
Sempre que se diz “sete por cento” está se pensando em 7% de uma determinada grandeza. Nesse
caso, está se pensando em sete centésimos dessa grandeza.
Como porcentagem surge a todo instante, é conveniente se ter em mente os significados das mais
frequentemente utilizadas.
Porcentagem
10%
20%
25%
50%
100%
Significado
1 10
15
14
12
1
Um erro muito comum é considerar que se uma mercadoria custava R$ 100,00, e passou a custar R$
400,00, então essa mercadoria sofreu um aumento de 400%, já que o preço atual é o quádruplo do
preço original. De fato, o preço atual é o quádruplo do preço original, entretanto o aumento foi de
R$ 400,00 – R$ 100,00 = R$ 300,00 = 3 × R$ 100,00, que corresponde a um aumento de 300%
em relação ao preço original.
Em determinados contextos não faz sentido falar em porcentagens superiores a 100%. Por exemplo, não
faz sentido falar em um desconto de 140% no preço de um produto. Seria dar um desconto superior ao
preço do produto. Entretanto, faz sentido falar que um produto teve um aumento de 140%.
Os problemas de porcentagem envolvem, em geral, três elementos fundamentais: o valor básico, a
taxa de porcentagem e a porcentagem do valor básico. Os problemas mais simples de porcentagem
consistem em, dados dois desses elementos, calcular o terceiro.
104
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Problema 1: O salário mensal de um trabalhador é R$ 980,00. Ao receber um aumento salarial de
3,6%, quanto passou a ser seu novo salário?
Problema 2: O preço da entrada do cinema foi reajustado em 25% e, com isso, passou a valer R$
Problema 3: Numa empresa há 620 funcionários. Desse total, 341 são homens. Qual a porcentagem
de funcionárias nessa empresa?
Problema 4: Em uma liquidação, um lojista diminuiu em 20% o preço de todas as suas mercadorias.
Terminado o período da liquidação, o lojista resolveu reajustar todos os preços de forma a restaurálos aos preços praticados antes da liquidação. Qual deverá ser o percentual de reajuste?
Problema 5: No 1º semestre de 2009, Carlos teve 5% de aumento salarial. No 2º semestre desse
mesmo ano Carlos teve um novo aumento salarial, agora de 10%.
a) Qual o aumento salarial de Carlos, acumulado nesses dois semestres?
b) Teria sido melhor ou pior (para Carlos) mudar a ordem (mas não os valores) dos aumentos?
GUIA DO ALUNO
105
Resolva as atividades propostas abaixo.
Atividade 1: Num salão com 200 pessoas, 99% são mulheres. Mantido os homens no salão, quantas
mulheres devem sair para que 96% das pessoas que fiquem no salão sejam mulheres.
Atividade 2: Um tanque contém 60 litros de combustível, dos quais 30% são de álcool e o restante
de gasolina. Quantos litros de gasolina devem ser acrescentados à esse tanque de modo que o
combustível resultante tenha apenas 20% de álcool?
Atividade 3: A água do mar contém 2,5% de seu peso em sal. Quantos quilogramas de água do
mar são necessários para obter 500g de sal?
Atividade 4: Numa promoção, uma bermuda sofreu um desconto de 15% e, no último dia da
liquidação, sofreu um novo desconto de 10%. Qual foi o desconto percentual total no preço da
bermuda no último dia da liquidação, em relação ao preço anterior à liquidação?
Atividade 5: Pedro realizou um trabalho pelo qual recebeu R$ 2.349,00 líquidos, após o desconto
de 10% de INSS.
a) Qual foi a remuneração (bruta) paga a Pedro por esse trabalho?
b) Quanto Pedro deveria ter cobrado por esse trabalho de forma a receber (líquidos) R$ 2610,00,
após a dedução do INSS?
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
ANOTAÇÕES
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GRANDEZAS E MEDIDAS
1. Introdução
O aluno está inserido em um universo em que as diferentes grandezas e medidas são presentes e
necessárias. O conhecimento desse conteúdo, que vem sendo explorado desde as séries iniciais, agora
será relembrado dando ênfase ao raciocínio nas resoluções de problemas e nas regras operacionais de
conversões de unidades. Esse conteúdo é de extrema importância para que o aluno acompanhe não
só a matemática do Ensino Médio, mas também a Física, a Química, que são disciplinas que trabalham
diretamente com medidas de tempo, espaço, massa, volume, área, dentre outras. Também se destaca
nessa oficina a possibilidade de trabalharmos as operações com números racionais e discutirmos a
ideia existente do sistema sexagesimal na medida do tempo. Iremos dividir essa oficina em três
etapas: na primeira faremos uma atividade prática, explorando o universo existente e conhecido
do aluno através da utilização de objetos concretos e de observações possíveis. Na segunda etapa,
trabalharemos com a revisão de conceitos importantes como operações e conversões de unidades de
medida. E, para finalizar, iremos, na terceira etapa, propor problemas sobre grandezas e medidas que
favoreçam o raciocínio lógico além de exercitarem as metodologias de conversão.
2. Unidades de Medida
Problema 1. Vamos completar a tabela abaixo, indicando a unidade de medida mais adequada,
dentre as apresentadas no primeiro quadro, para efetuar a medição nas seguintes situações:
Ano
Quilograma
Centímetro
Grau Celsius
Litro
Segundo
Grama
Milímetro
Mililitro
Polegada
Metro
Dia
Minuto
Tonelada
Quilômetro
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Tabela:
O que medir...
Comprimento da sala de aula
Um tempo de uma partida de futebol
Massa de um recém nascido
Distância de Juiz de Fora a São Paulo
Tempo entre uma copa e outra
Tempo gasto na troca de pneus de um carro de fórmula 1
Massa de um pão francês
Comprimento de um lápis
Capacidade de uma caixa d’água
Comprimento da Diagonal de uma TV
Temperatura em um dia frio em São Paulo
Espessura do grafite de uma lapiseira
Uma dose de xarope
Massa de um elefante
Tempo de duração da Quaresma
Problema 2.
A partir das informações da tirinha acima responda:
a) Que horas acabará esse jogo?
Unidade
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b) Quantos minutos há em 1 hora?
c) Quantos segundos há em 1 minuto?
d) Quantos segundos há em 1 hora?
e) Quantos minutos há em 1 mês?
f) Quantas horas há em 1 ano?
g) Joana resolveu assistir a dois programas de TV, um após o outro. O primeiro teve duração de 4h
20min 30s e o segundo 2h 48min 54s. Qual foi o tempo total que Joana gastou assistindo aos dois
programas?
h) Um triatleta marcou os tempos gastos em suas provas:
- Natação: 17min 56s 59 centésimos de segundo
- Ciclismo: 58 min 48 s e 50 centésimos de segundo
- Corrida: 49 min 34 s e 80 centésimos de segundo
Qual o tempo total das provas do triatleta?
i) Fernanda irá assistir um filme que tem duração de 124 minutos. No display do dvd ela observa que
já se passaram 1h 35mim e 39s do filme. Quanto tempo falta para terminar esse filme?
j) A aula de matemática que será apresentada num programa educacional de TV começa às 14h
15min 34 s e termina às 15h 30min 28s, sem intervalos. Qual é a duração desta aula?
Problema 3.
a) A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de cerca de 429 000 m.
b) A espessura do fio de cabelo é de cerca de 0,0001 m.
As medidas indicadas nos itens a e b poderiam ser melhor expressas em outras unidades de medida
de comprimento. Quais seriam essas unidades?
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Usando esse mesmo raciocínio, vamos fazer algumas conversões:
a) 10 m = __________dm
f) 12 m = _________mm
b) 25 cm = __________mm
g) 30 cm = ___________m
c) 870 m = __________dam
h) 2 Km = _________m
d) 43 mm = _____________m
i) 7,2m = _________cm
e) 32000 m =____________Km
j) 78,99cm = _________m
Problema 4. Vamos observar a receita de um bolo de fubá:
»» 3 ovos
»» 50 g de margarina
»» 300 g de açúcar
»» ½ Kg de farinha de trigo
»» 400 g de fubá
»» 30 g de fermento em pó
As quantidades estão expressas em gramas e quilogramas. Como fazer para converter essas unidades?
½ Kg são quantas gramas? Quantas gramas de ingredientes são necessárias no total (considere que
1 ovo = 40 g)?
Faça as seguintes conversões:
23 Kg = _________g
450 mg = __________g
30 hg = ___________dg
67,44 g = ___________mg
322,77 g = _________Kg
32 Kg = __________cg
3 ton = _________Kg
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Problema 5. Para azulejar uma parede, foi necessário medir sua altura e comprimento, mas só
tínhamos uma fita métrica em mãos e, por isso, as medidas foram: 205 cm de altura e 315 cm de
comprimento. Na loja de materiais de construção vende-se azulejos em metros quadrados. Quantos
metros quadrados de azulejos serão necessários para essa parede?
Faça as seguintes conversões:
20 cm2 = ___________m2
15000 km2 = ___________m2
340 cm2 = ___________mm2
30000 cm2 = ___________m2
Problema 6. Quantos litros de água são necessários para encher uma piscina retangular de 4m de
comprimento; 1,5m de largura e 2m de profundidade.
2m
1,5m
4m
Faça as seguintes conversões:
200 cm3 = ___________ℓ
25 m3 = ___________dm3
4,4 m3 = ___________ℓ
80000 mm3 = ___________ℓ
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Resolva as atividades propostas abaixo
Atividade 1. Uma lata de óleo tem, em geral, 900 ml. Quantas latas de óleo são necessárias para
encher um galão de 20ℓ ?
a) 21
b) 22
c) 23
d) 30
Atividade 2. Em uma garrafa com capacidade para 1,5ℓ de água mineral, seu conteúdo de água
tem 1,5 Kg de massa e a embalagem cerca de 35g. Qual é a massa, em Kg, de uma caixa que
transporta 30 garrafas de água mineral?
Atividade 3. Eduardo faz a edição de um programa de TV. O programa tem quatro blocos e deve
ter 14 minutos de duração total. Quando esse tempo é ultrapassado, Eduardo precisa fazer cortes.
Veja os tempos dos blocos da edição do programa de hoje:
Bloco
Duração
1
3 min 17 s
0
0
2
4 min 12 s
30
4 min 47 s
4
3 min 22 s
0
Eduardo precisará fazer cortes nessa edição? Se sim, de quanto tempo?
Para o próximo programa os três primeiros blocos já estão editados e tem os seguintes tempos:
3 min 50s, 3 min 34 s, 2 mim 58 s. Qual tempo deverá ter o quarto bloco respeitando o tempo total
de 14 minutos?
Suponha que o programa comece às 16h 48min e que tenha dois intervalos de 3min 15s cada. Qual
será o horário do término do programa?
Atividade 4. Um campo de futebol será coberto com grama. O campo é um retângulo de 100m
de comprimento e 50 m de largura. Para cada 10 metros quadrados de grana plantada, gasta-se 1
metro quadrado a mais por causa da perda. Cada metro quadrado de grama custa R$ 8,50. Quanto
será gasto, em reais, para cobrir todo o campo?
Atividade 5. Um caminhão pipa pesa 3,2 toneladas quando está vazio e tem capacidade para
15.000 litros de água. No momento ele transporta 65% de sua capacidade. Sabendo que cada litro
de água pesa 1Kg, quantas toneladas têm esse caminhão no momento?
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Atividade 6. Quantos litros de água são necessários para encher completamente um recipiente
cúbico de 2m de aresta?
Atividade 7. Uma piscina de formato retangular tem 5m de comprimento, 4m de largura e 3m de
altura. Ela será azulejada com azulejos quadrados de 20cm de lado.
a) Quantos azulejos serão necessários?
b) Quantos litros de água são necessários para preencher 60% da capacidade de piscina?
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
ANOTAÇÕES
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ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
1. Introdução
Agora que já estamos familiarizados com diferentes unidades de medida, podemos começar nosso
estudo sobre áreas de figuras planas.
Medir uma grandeza significa compará-la com uma outra, de mesma espécie, tomada como unidade.
Nessa oficina vamos tratar de medir a porção do plano ocupada por uma figura, cujo resultado será
a medida de sua área.
2. Perímetro de figuras planas
2.1. Perímetro de polígonos
Problema 1: Será construído um muro no entorno de um terreno cuja planta é representada pela
figura abaixo. Qual será o comprimento (extensão) desse muro?
6m
3m
15,3m
12m
6m
9m
9,48m
4,23m
132
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Problema 2: A professora Raquel pediu que alguns de seus alunos medissem o perímetro da sala de
aula. Para essa medição, Paula e Pedro utilizaram um pedaço de corda enquanto que Gabriel e Aline
utilizaram uma ripa de madeira. O pedaço de corda e a ripa eram de tamanhos distintos, mas eles não
sabiam qual era o comprimento de cada um. Veja as anotações que cada dupla fez após as medições:
Paula e
Pedro
Gabrie l
e Alin e
7,5
30
3
P = 7,5 + 3 + 7,5 + 3
12
P = 30 + 12 + 30 + 12
P = 21 cordas
P = 84 ripas
a) Observando as anotações das duas duplas dá pra saber quem tem o maior comprimento: a ripa
ou a corda?
b) A medida do perímetro encontrada pelas duplas é diferente. Porque isso acontece?
c) Sabendo que a corda tem 2m de comprimento, qual é o perímetro da sala em metros?
GUIA DO ALUNO
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Problema 3: A figura abaixo representa os três terrenos que Jorge quer cercar.
1
2
2
4
1
4
Terreno A
2
4
2
2
3
Terreno B
3
Terreno C
2
2
As medidas dos lados dos terrenos estão indicados em metros na figura. Quantos metros de cerca
serão necessários para contornar cada terreno?
2.2 Perímetro de uma circunferência
Antes de falar sobre perímetro de uma circunferência, devemos deixar bem clara a diferença entre
círculo e circunferência.
Dado um ponto A no plano e um número real positivo r, definimos circunferência de centro A e raio r
como sendo o conjunto de todos os pontos do plano que estão à distância r do ponto A. A união de
uma circunferência com a região plana de seu interior é chamada região circular fechada ou círculo.
r
A
Circunferência
r
A
Círculo
Portanto são dois conceitos distintos. Círculo é uma região do plano formada por uma circunferência
com a região por ela delimitada. Assim todo círculo contém uma circunferência, pois é uma de
suas partes. Uma circunferência, portanto, é só o contorno de um círculo, é só uma linha fechada.
Tecnicamente falando, uma circunferência é o perímetro de um círculo. Portanto, por se tratar de uma
linha, circunferência não tem área. Quem tem área é o círculo. Circunferências têm comprimento!
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
O número π é a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Esta razão dá
sempre o mesmo quociente, ou seja, não depende da circunferência, já que todas as circunferências
são semelhantes entre si. Indicando por C o comprimento de uma circunferência de raio r, tem-se
C
=π .
2r
Mas o que é o comprimento de uma circunferência? Nós sabemos o que é o comprimento de
um segmento, mas temos apenas uma ideia intuitiva do que vem a ser o comprimento de uma
circunferência. Podemos pensar em passar um barbante bem fino sobre a circunferência, esticálo e, em seguida, medir seu comprimento com uma régua. Isso dará uma boa ideia do que seja o
comprimento da circunferência. Mas este método é experimental e permite apenas avaliar (com
pouca precisão) essa medida.
Portanto, o comprimento de uma circunferência de raio r é dado por
C = 2π r .
O número π é um número irracional, aproximadamente igual a 3,1416. O uso da letra grega π
para representar a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro deve-se a Euler, que a
adotou em 1737. Mas esta razão sempre fascinou matemáticos e curiosos em toda a história. Por ser
um número irracional, sua representação decimal é infinita e não periódica. Hoje conhecemos mais
de cinco bilhões de casas decimais de π e muito em breve conheceremos mais.
Problema 4: Uma costureira vai contornar com renda uma toalha circular com raio de 70 cm.
Quantos centímetros de renda serão necessários?
3. Noções de área de figuras planas
Medir uma grandeza significa compará-la com uma outra de mesma espécie tomada como unidade.
Vamos tratar de medir a porção do plano ocupada por uma figura, cujo resultado será a medida da
área dessa figura.
Para encontrar a área de uma figura F devemos comparar sua superfície (a porção do plano que ela
ocupa) com a de uma outra figura, tomada como unidade de medida. O resultado dessa comparação
será um número que deverá informar quantas vezes a figura F contém a figura tomada como unidade
de medida (unidade de área).
Adotamos como unidade de área o quadrado cujo lado mede uma unidade de comprimento. Ele
será chamado de quadrado unitário.
= 1 unidade de área
1
GUIA DO ALUNO
135
Se o lado do quadrado for de 1 cm, a unidade de área será chamada de centímetro quadrado e
representada por cm2 . Naturalmente que, para cada unidade de comprimento, existe uma unidade
de área correspondente. Assim, o metro quadrado ( m2 ), o milímetro quadrado ( mm2 ), o quilômetro
quadrado ( km2 ) são outras unidades de área utilizadas.
Dissemos que a área de uma figura é um número que representa quantas vezes essa figura contém
a unidade de área. Isso é fácil de perceber, por exemplo, quando desejamos conhecer a área de um
retângulo cujos lados medem 5 cm e 3cm.
3 cm
5 cm
A unidade de área cabe 15 vezes no retângulo e, por isso, sua área é de 15 cm².
Se as medidas dos lados de um retângulo são os números inteiros a e b , a medida de sua área é
dada por:
S = ab
Em particular, se a medida do lado de um quadrado é o número inteiro n, então a medida de sua
área é igual a
S = n2 .
Problema 5:
Figura II
Figura I
a) Meça quantas vezes a figura I cabe na figura a seguir, sua seja, calcule área utilizando a figura I
como unidade de medida. 28 vezes
136
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
b) Agora, meça novamente utilizando a figura II como unidade de medida. 14 vezes
Problema 6: Observe as figuras abaixo:
A
B
D
C
E
a) Quais são as figuras que têm mesma área que a figura A? C e D
b) Essas figuras possuem formas iguais? Não
F
GUIA DO ALUNO
137
4. Áreas de algumas figuras planas
Nosso próximo passo é a dedução das fórmulas que permitem calcular a medida das áreas das
principais figuras planas.
Área do retângulo
Conforme foi visto acima, áreas de retângulos com lados de dimensões inteiras a e b , a medida de
sua área é dada por:
S = ab
Essa fórmula continua válida mesmo quando as dimensões a e b são não inteiras. Assim, a medida
da área de um retângulo é o produto das medidas de seus lados.
b
S = ab
a
Área do paralelogramo
Conhecida a medida da área do retângulo, podemos calcular a medida da área de um paralelogramo.
Consideremos o paralelogramo ABCD da figura abaixo com base AB = a e altura h .
D
C
h
A
B
a
A figura, a seguir, mostra o paralelogramo sendo transformado num retângulo de mesma área.
h
a
h
=
h
a
+
h
= +
h
h
a
=
h
a
138
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
A área do paralelogramo é, portanto, o produto da base pela altura.
S = ah .
Chamamos a atenção para o fato de que o mesmo poderia ter sido feito se tomássemos para base
o lado BC por exemplo. É claro que nesse caso a altura a ser considerada seria a distância entre os
lados opostos AD e BC, que na figura abaixo indicamos por h1. É lógico que h e h1 não precisam ser
iguais, assim como AB e BC.
h1
D
C
h1
A
B
Mas o fato é que teremos
AB × h = BC × h1 .
Nessa oficina há um encarte que deverá ser trabalhado com o aluno.
Agora, siga as indicações abaixo:
a) Recorte na linha pontilhada interna a figura.
b) Após o recorte, você obterá duas figuras. Cole no espaço indicado a figura que possui lado de
medida a.
c) Como os lados do paralelogramo são congruentes, um dos lados do triângulo obtido poderá ser
encaixado perfeitamente na figura que você colou. Encontre esse lado e cole o triângulo, de forma a
construir uma nova figura.
d) Qual figura você encontrou?
GUIA DO ALUNO
139
e) Qual é a área da figura encontrada?
f) A área da figura inicial foi modificada?
g) Conclusão:
h) Fórmula:
Área do triângulo
Para obter a medida da área de um triângulo ABC, escolha um lado para chamar de base. Vamos
escolher o lado BC para base. Suponha que a base tenha comprimento a e que a altura relativa a
essa base tenha tamanho h .
Pelo vértice A, oposto à base BC, trace paralelas aos lados AB e BC formando o paralelogramo ABCD.
A
D
h
B
C
É claro que a área do triângulo ABC é a metade da área do paralelogramo ABCD. Daí resulta que a
medida da área do triângulo é igual à metade do produto dos comprimentos da base pela altura, isto é,
S=
ah
.
2
Agora, siga as indicações abaixo:
a) Qual é a relação entre os dois triângulos? Eles são congruentes.
140
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
b) Cole a figura II no espaço indicado.
c) Cole a figura III junto à figura II de forma a obter uma figura de base a. Qual é essa nova figura?
d) Qual é a área dessa nova figura?
e) Qual é a relação entre a figura obtida e um dos triângulos recortados inicialmente?
f) Conclusão:
g) Fórmula:
Propriedades importantes sobre áreas de triângulos
GUIA DO ALUNO
141
Propriedade 1: A área de um triângulo não se altera quando sua base permanece fixa e o terceiro
vértice percorre uma reta paralela a base.
r
A1
A2
A4
A3
A5
h
B
C
Na figura acima, a reta r é paralela a BC . Os triângulos A1BC , A2BC , A3BC , A4 BC e A5 BC têm
áreas de mesma medida, pois todos possuem a mesma base BC e mesma altura h.
Propriedade 2: Em um triângulo, uma mediana divide sua área em partes iguais.
De fato, observando a figura a seguir, sendo M o ponto médio do lado AB, os dois triângulos interiores
possuem bases de mesma medida e mesma altura. Logo, possuem áreas de mesma medida.
C
S1
A
a
2
h
S2
M
a
2
S 1=S 2
B
Quando duas figuras possuem áreas de mesma medida, dizemos que elas são equivalentes. Portanto, o
enunciado desta propriedade pode ser: “Uma mediana divide o triângulo em dois triângulos equivalentes”.
142
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Problema 7. O triângulo ABC da figura abaixo tem área medindo 30 cm². O lado BC está dividido
em quatro partes iguais pelos pontos D , E e F . O lado AC está dividido em três partes iguais pelos
pontos G e H . Qual é a medida da área do triângulo GDE ?
A
G
H
B
D
E
C
F
Área do Trapézio
Chamamos os dois lados paralelos de um trapézio de bases do trapézio e o maior dentre esses dois
lados paralelos é chamado de base maior e, o menor deles, de base menor do trapézio. A distância
entre os lados paralelos de um trapézio é a medida da altura desse trapézio.
D
C
h
A
bases
B
Note que, duplicando o trapézio, podemos construir um paralelogramo conforme ilustrado abaixo.
a
+
b
=
h
a
b
h
a+b
Como já sabemos calcular a área de um paralelogramo, temos que a área desse paralelogramo é
dada pelo produto da medida de sua base ( a + b ) pela medida de sua altura ( h) , ou seja, a medida
de sua área é dada por ( a + b ) × h . Como a medida S da área do trapézio é igual à metade da área
desse paralelogramo, temos que
S=
( a + b) × h
.
2
GUIA DO ALUNO
143
No Anexo III você encontrará dois trapézios congruentes. Recorte essas figuras e mais uma vez
reconheça seus elementos.
Agora siga o roteiro abaixo:
a) Qual é a relação entre os dois trapézios?
b) Cole a figura IV no espaço indicado.
c) Cole a figura V junto à figura IV de forma a obter uma figura de base (B + b) . Qual é essa nova figura?
d) Qual é a área dessa nova figura?
e) Qual é a relação entre a figura obtida e um dos trapézios recortados inicialmente?
f) Conclusão:
g) Fórmula:
Área do losango
Como o losango é um paralelogramo, podemos calcular a medida de sua área da mesma forma
como calculamos a medida da área de um paralelogramo. Entretanto, o losango é um paralelogramo
com características especiais. Ele possui os quatro lados com a mesma medida, o que implica em ele
ser um paralelogramo com suas duas diagonais perpendiculares entre si. Chamando as medidas de
suas diagonais de D e d, podemos construir, a partir do losango, um retângulo cujas dimensões são
as medidas das diagonais do losango e, cuja medida de sua área será igual ao dobro da medida da
área desse losango.
D
d
D
d
144
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Assim, podemos concluir que a medida da área do losango é dada por
S=
D+d
.
2
Siga as instruções do seu tutor e responda as questões abaixo.
Vamos ao roteiro:
a) Qual é a área do retângulo recortado?
b) Dobre os cantos do retângulo para dentro, tomando por dobra os lados do losango.
c) Cole a figura já dobrada no local indicado.
d) Qual a relação entre o retângulo inicial e o losango?
e) Conclusão:
f) Fórmula:
Área do círculo
Para essa atividade você deverá utilizar o círculo que está no Anexo. Além disso, precisará de tesoura
e cola.
Vamos começar:
a) Recorte o círculo.
b) Com o auxílio de uma tesoura recorte os setores e reagrupe-os como na figura a seguir. Cole-os
dessa forma no espaço indicado.
r
r
c) A que polígono essa figura se assemelha?
GUIA DO ALUNO
145
d) Quais são as suas dimensões?
e) Qual a relação entre essa figura e o círculo inicial?
f) Qual é a medida de sua área?
g) Conclusão:
h) Fórmula:
Área de setor circular
A medida da área de um setor de um círculo é diretamente proporcional à medida do ângulo central,
ou ainda, diretamente proporcional ao comprimento de seu arco. Para justificar isto, basta observar
que, dobrando o ângulo central, a área do setor dobra, triplicando o ângulo central a área do setor
triplica, e assim por diante.
R
L
O
Assim, se o ângulo central tem medida α em graus, a área do setor medirá
360o − π R2
α −S
S=
α
360º
π R2 .
Por outro lado, como a área do setor também é diretamente proporcional ao comprimento L do seu
arco, podemos expressar essa área como:
2π R − π R2
L −S
=
S
L
LR
=
π R2
.
2π R
2
146
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Resolva as atividades propostas abaixo.
Atividade 1: Considere cada quadradinho da malha abaixo como uma unidade de medida de área.
Construa e pinte quatro regiões planas diferentes, todas com 12 unidades de área.
Atividade 2: Construa na malha quadriculada duas figuras planas com as seguintes características:
a) a base de uma é o dobro da base da outra.
b) ambas têm a mesma área.
GUIA DO ALUNO
147
Atividade 3: O comprimento da circunferência de uma moeda de R$ 1,00 é de 8,164 cm. Qual é o
raio dessa circunferência? Utilize a aproximação π ≅ 3,14 .
Atividade 4: O terreno de Paula foi dividido em três setores para uma plantação, de acordo com
o indicado na figura. Cada setor tem como contorno uma figura plana. Observe as medidas e os
ângulos retos da figura.
10 m
30 m
Setor I
Setor III
20 m
Setor II
40 m
8m
a) Que tipo de figura representa cada setor?
b) Calcule a área de cada setor.
c) Calcule a área do terreno todo.
d) Existe outra maneira de calcular a área total do terreno. Pense mais um pouco e responda: qual é
essa maneira?
Atividade 5: Durante o intercolegial da escola “Co-Educação” a turma 207
resolveu fabricar sua própria bandeira. Para isso, pegaram um lençol branco
retangular com dimensões 2,5 m por 3,6 m e desenharam um losango dentro.
Em seguida, resolveram pintar a parte interna do losango com tinta vermelha.
Turma 207
Quantos m2 do lençol serão pintados?
Para enfeitar ainda mais, a turma decidiu colocar uma fita de cetim no entorno da bandeira. Quantos
metros de fita foram utilizados?
148
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Atividade 6: Os irmãos Marcos e Júlia são donos de dois terrenos conjuntos, como indicado na
figura. Eles receberam duas propostas de compra:
Proposta I: compra dos dois terrenos juntos por
R$ 350,00 o metro quadrado.
30 m
Proposta II: compra apenas do terreno de área maior
35 m
por R$ 450,00 o metro quadrado.
a) Qual proposta é mais vantajosa?
b) Antes de vender, eles decidiram trocar o arame da cerca
que delimita o terreno. Em cada parte da cerca serão
colocados três níveis de arame. Quantos metros de arame
serão necessários?
Atividade 7: Marta tem um terreno retangular de 60 m
por 40 m; quer construir nele um canteiro triangular e um
lago circular com raio de 10 m, conforme indica a figura. No
restante do terreno, Marta pretende colocar pedregulhos.
Utilize as aproximações π ≅ 3,14 e 5 ≅ 2,24 .
30 m
40 m
30 m
60 m
20 5
40 m
a) Calcule quantos m de pedregulho serão colocados.
2
b) No total, quantos metros de arame serão necessários
para cercar o lago e o canteiro?
20 m
Atividade 8: Esta é uma chapa de aço com dimensões 60 cm de base por 50 cm de altura. Nela
foram feitos furos circulares com raio de 4 cm. Quanto resta da chapa após a perfuração? Utilize a
aproximação π ≅ 3,14 .
GUIA DO ALUNO
149
Atividade 9: Após anos de intensa circulação de carros e muitas derrapagens, a curva mais perigosa
de uma grande rodovia sofrerá obras de asfaltamento. A figura indica a porção da rodovia que será
asfaltada. Calcule quantos m2 de asfalto serão necessários, considerando que serão duas coberturas.
Utilize a aproximação π ≅ 3,14 .
120º
18 m
12 m
Atividade 10: A imagem a seguir representa o telhado de uma casa.
É um tipo específico de telhado chamado “quatro águas”. Duas partes são triângulos iguais e as
outras duas são trapézios iguais. As dimensões são:
10,1 m
4,5 m
8,4 m
5,3 m
16,2 m
Para cobrir 1 m2 de telhado gastam-se 15 telhas. Quantas telhas, aproximadamente, há no telhado
da casa?
150
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
ANEXOS
ANEXO I
ANEXO II
GUIA DO ALUNO
ANEXO III
ANEXO IV
151
152
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
ANEXO V
GUIA DO ALUNO
153
ANOTAÇÕES
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______________________________________________________________________________________________
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161
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
1. Introdução
Na oficina anterior, consideramos figuras planas, principalmente suas áreas e perímetros. Agora,
vamos estudar figuras tridimensionais, mais especificamente volumes, planificações e áreas laterais
e totais de sólidos geométricos.
Vivemos em um mundo físico tridimensional. Ao ser capaz de relacionar a teoria da sala de aula com
o cotidiano, o aluno terá maior facilidade para a aprendizagem. Explore o fato de que as figuras
geométricas foram criadas a partir da observação de formas existentes na natureza e dos objetos
produzidos pelo homem.
As figuras planas são aquelas que estão contidas em um plano. Quando uma figura geométrica
é tal que não há um plano que possa contê-la, ela é chamada de uma figura tridimensional.
Estaremos interessados em figuras tridimensionais que apresentam certas particularidades: os sólidos
geométricos. Essa figuras geométricas, além de comprimento e largura, possuem também altura (ou
profundidade). As figuras tridimensionais que estudaremos nessa oficina têm relação com as figuras
planas vistas anteriormente.
Figura
Tridimensional
Figura
Plana
Situação problema:
Desde criança Juliana adora peixes. Ela acaba de se mudar para uma casa e quer construir um grande
aquário com tampa para que possa curtir seus animais preferidos. Para isso, fez várias pesquisas e
descobriu coisas bem interessantes. A primeira coisa que descobriu foi que existem três opções para
o formato de seu aquário:
162
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Cilindro
Prisma Retangular
Cubo
Antes de escolher uma dentre as três formas, resolveu verificar quanto gastaria e quais as providências
deveria tomar com cada tipo de aquário.
Problema 1. A vidraçaria informou à Juliana que ela deveria levar um molde do aquário. Para tal,
Juliana buscou desenhar o que seriam os moldes para as diferentes formas de aquário. Quando
terminou de desenhar os moldes percebeu que havia cometido alguns erros. Abaixo, estão os moldes
construídos por ela. Identifique que sólido cada molde deveria representar, os erros cometidos em
cada um e desenhe novos moldes de forma correta.
Aqui, iremos trabalhar com planificações. Explique o que é a planificação de um sólido, utilizando
esse problema como exemplo. Lembre-se que existem várias planificações para cada sólido. Mostre
isso a seus alunos apresentando diferentes planificações desses sólidos.
Molde 1
Molde 2
Molde 3
GUIA DO ALUNO
163
MOLDE 1
SÓLIDO: _________________________________
ERROS: ______________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
MOLDE CORRETO
MOLDE 2
SÓLIDO: _________________________________
ERROS: ______________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
MOLDE CORRETO
164
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
MOLDE 3
SÓLIDO: _________________________________
ERROS: ______________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
MOLDE CORRETO
Problema 2. Antes de desenhar novos moldes, Juliana decidiu as dimensões de cada tipo de aquário.
70 cm
105 cm
105 cm
140 cm
105 cm
60 cm
Em seguida, corrigiu seus moldes e levou-os à vidraçaria. Lá foi informada que o metro quadrado de
vidro custava R$ 22,00. Quantos reais ela gastará em vidro para fazer cada tipo de aquário?
GUIA DO ALUNO
165
Problema 3. Com o orçamento da vidraçaria em mãos, a próxima providência de Juliana é calcular
o volume do aquário. Vamos ajudá-la nesse cálculo.
Problema 4. Chegou a hora de Juliana escolher os peixes para seu aquário. Ela quer colocar
paulistinhas, lebistes e néons.
Paulistinha
Lebiste
Néon
Em um aquário, é recomendável prever as seguintes quantidades de água para cada unidade de peixe:
»» Paulistinha: de 5 litros de água;
»» Lebiste: 11 litros de água;
»» Néon: 4 litros.
Em qual dos três aquários considerados por Juliana caberiam 50 paulistinhas, 50 lebistes e 85 néons?
Problema 5. Apesar de querer um aquário bem grande, Juliana quer ter o menor gasto possível em sua
confecção. Portanto, dentre as duas possibilidades que lhe resta, qual das duas é a mais econômica?
Outros sólidos importantes
Além do prisma retangular, do cubo e do cilindro, o cone e a pirâmide são formas geométricas que
aparecem com frequência em nosso cotidiano. Abaixo temos exemplos de cone e pirâmides junto
com suas planificações.
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
CONE
CARACTERÍSTICAS DA PLANIFICAÇÃO: ___________________________________________________
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PIRÂMIDE
Pirâmide
Triangular
Pirâmide
Quadrangular
Pirâmide
Pentagonal
CARACTERÍSTICAS DA PLANIFICAÇÃO: ___________________________________________________
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Resolva as atividades propostas abaixo
Atividade 1: Relacione as figuras com suas planificações.
Fig 1
Fig 2
Fig 3
Fig 4
Fig 5
Fig 6
Fig F
Fig A
Fig B
Fig C
Fig H
Fig D
Fig G
Fig E
Atividade 2: A figura abaixo mostra um dado planificado.
Qual das figuras abaixo representa o mesmo dado depois de reconstituído?
I
II
III
IV
GUIA DO ALUNO
169
Atividade 3: Um silo de milho tem a forma de cilindro circular reto com raio da base de 1,5m e
altura de 4m. Qual é a área total da superfície desse silo? Utilize a aproximação π ≅ 3,14 .
Atividade 4: Dona Jussara quer construir uma piscina em seu quintal com formato de um prisma
retangular. Essa piscina terá todo seu interior azulejado. Para isso tem dois projetos:
Projeto I: comprimento 2m, largura 3m e profundidade 1,5m;
Projeto II: comprimento 2,5m, largura 2m e profundidade 1,8m.
Qual dos dois projetos é mais vantajoso para Dona Jussara, ou seja, qual gastará menos azulejos?
Atividade 5: Uma vasilha está cheia de feijões. Essa vasilha tem formato de um cilindro circular reto
com raio da base de 10cm e altura 20cm. O que acontecerá se despejarmos os feijões em uma caixa
com mesma altura, comprimento de 18cm e largura de 15cm? Utilize a aproximação π ≅ 3,14 .
Atividade 6: Uma empresa de sucos precisa de embalagens com capacidade de um litro. Três fábricas
de embalagem apresentaram propostas:
Fábrica I: no formato de um cubo de aresta de 10cm;
Fábrica II: na forma de um paralelepípedo com comprimento 5cm, largura 20cm e altura 15cm;
Fábrica III: na forma de um paralelepípedo com comprimento 5cm, largura 10cm e altura 20cm.
a) Todas as fábricas apresentaram propostas compatíveis à necessidade do cliente?
b) O critério de escolha da empresa será a fábrica que utilizar menos material. Sendo assim, qual
fábrica será escolhida?
c) Após a escolha da embalagem, a empresa colocará suas caixas de suco em caixas de papelão com
formato de bloco retangular com comprimento de 40cm, largura de 50cm e profundidade de 60cm.
Quantas caixas de suco caberão em cada caixa de papelão?
170
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
ANOTAÇÕES
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REVISITAÇÃO
Como essa oficina tem o propósito de revisitar os temas trabalhados nas oficinas de 1 a 10, buscamos
selecionar vários problemas de forma a fornecer uma coletânea que possibilite mobilizar os saberes
abordados nas oficinas anteriores. Para tal, recorremos ao banco de questões da Olimpíada Brasileira
de Matemática das Escolas Públicas, onde há problemas interessantes e desafiadores para os alunos.
A proposta nessa oficina é trabalhar esses problemas que, em comum, têm o potencial de despertar
o prazer de raciocinar.
Procure discutir o enunciado dos problemas com os alunos, deixando-os pensar sobre cada um deles,
mas procure elaborar perguntas que possam ajudá-los a descobrir uma estratégia pertinente para o
problema em tela.
Problemas
1. Calcule a diferença - Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos
diferentes. O maior só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. Se a diferença
entre eles é a maior possível, qual é essa diferença?
2. O carro de Maria - Um litro de álcool custa R$ 0,75. O carro de Maria percorre 25 km com 3 litros
de álcool. Quantos reais Maria gastará com o álcool necessário para percorrer 600 km?
3. Quanto custa? - Ester vai a uma papelaria para comprar cadernos e canetas. Nessa papelaria,
todos os cadernos custam R$ 6,00. Se ela comprar três cadernos, sobram R$ 4,00. Se, em vez disso,
seu irmão lhe emprestar R$ 4,00 adicionais, ela conseguirá comprar dois cadernos e sete canetas,
todas iguais.
a) Quanto custa cada caneta?
b) Se ela comprar dois cadernos e não pedir dinheiro emprestado, quantas canetas Ester poderá comprar?
180
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
4. Retângulo e quadrados - A figura ao lado representa
um gramado retangular em que foram marcados sete
quadrados numerados de 1 a 7. Se a área do menor desses
quadrados é 1 m², quanto mede a área total do gramado?
2
3
1
4
5
6
7
5. Quadrado mágico - Complete as casas em branco da tabela ao lado com frações, de tal modo
que a soma dos três números de qualquer linha, qualquer coluna e das duas diagonais seja sempre
a mesma.
3
5
1
2
0,4
0,5
6. Três algarismos - Sejam A, B e C algarismos diferentes de zero tais que ( AB ) = CAB , isto é, o
número de dois algarismos AB, elevado ao quadrado dá o número de três algarismos CAB. Determine
o valor de A + B + C .
2
7. O suco do Diamantino - Diamantino colocou três litros de água e um litro de refresco num
recipiente. O refresco é composto de 20% de suco de laranja e 80% de água. Depois de misturar
tudo, que porcentagem do volume final representa o suco de laranja?
8. Uma eleição - Três candidatos concorreram à eleição de representante de uma turma de escola:
João, Rosa e Marcos. João obteve 2/7 dos votos e Rosa 2/5 dos votos. Quem ganhou a eleição?
9. Correndo menos - Correndo a uma velocidade de 10 km/h, João completa um certo percurso em
seis minutos. Com qual velocidade, em km/h, ele pode completar o mesmo percurso em oito minutos?
10. Qual é o numerador? - Se
n
1
1
é um número entre
e , quem é n?
24
4
6
11. A florista - Uma florista colheu 49 kg de flores do campo. O quilograma das flores pode ser
vendido imediatamente a R$ 1,25 ou, mais tarde, com as flores desidratadas, a R$ 3,25. O processo de
desidratação faz as flores perderem 5/7 de seu peso. Qual é o tipo de venda mais lucrativo para a florista?
GUIA DO ALUNO
181
12. Cálculo de porcentagem - Se você acerta 58 das 84 questões de um teste, qual é o seu
percentual de acertos?
13. Ovos e maçãs - Num certo armazém, uma dúzia de ovos e 10 maçãs tinham o mesmo preço.
Depois de uma semana, o preço dos ovos caiu 10% e o da maçã subiu 2%. Percentualmente, quanto
se gastará a mais na compra de uma dúzia de ovos e 10 maçãs?
14. O maior MDC - Quais são os seis números de dois algarismos cujo o máximo divisor comum é
o maior possível?
15. Divisões e restos - O dobro de um número dividido por 5 deixa resto 1. Qual é o resto da
divisão desse número por 5?
16. Perímetros e áreas - Um quadrado tem 3 + 3 cm de lado e as dimensões de um retângulo,
em centímetros, são 2 e 72 + 3 6 . Qual dos dois tem maior área? E maior perímetro?
17. Pontos da reta – Na reta dada estão representados os seis números a, b, m, n, p e q, além dos
1
números 0, , 1 e 2.
2
m
n
0
p
a
1
2
b
q
1
2
Dentre os seis números m, n, p e q, indique quais deles melhor representam os números a + b , a − b
e a⋅ b .
18. Qual é o cubo? – Cortamos o canto de um cubo oco, conforme mostra a figura ao lado.
Apresente uma planificação do cubo cortado.
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GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
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GUIA DO ALUNO
191
RESPOSTAS
Oficina 1: Números naturais e inteiros
Atividade
01
02
Resposta
Podem aparecer outras soluções.
–6
13
4
5
–5
– 15
– 14
3
–4
a) 80
b) 9
c) 2280
d) 1 (quando o mdc entre dois números é igual a 1, esses são chamados de
números primos entre si)
192
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
03
norte
oeste
origem
04
A coincidência voltará a ocorrer 60 anos depois.
05
2200 metros
Padaria ⇒ Banco ⇒ Correio ⇒ Igreja ⇒ Escola (parou na escola)
06
a) 40 metros
b) primeiro rolo: 5 pedaços e segundo rolo: 6 pedaços
07
Alternativa c
08
Alternativa b
09
Alternativa a
10
Alternativa d
leste
GUIA DO ALUNO
Oficina 2: Números Racionais
Atividade
Resposta
01
a) I ⇒
b)
3
6
3
7
, III ⇒ , IV ⇒
e VI ⇒
4
8
6
4
3 9 15 6 12 24 3 15 30 7 21 35
=
=
=
, =
, =
, =
=
=
4 12 20 8 16 32 6 30 60 4 12 20
3 6
=
4 8
3 7
d)
e
4 4
c)
e)
02
03
04
3 1
=
6 2
5
6
a)
82 41
=
88 44
b)
6
3
=
88 44
a) 18 vazios
b) 34 alunos
c) 3 km
d) 21 machos
e) 51 passarinhos
f) 8 km/h
05
a) MG
b) Todos
c) 786,8 km2
d) 657,2 km2
06
07
R$ 34,50
a)
1 c) 2291 d) 58 f) 2
90
9900
99
9
193
194
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Oficina 3: Potenciação e Radiciação
Atividade
01
Resposta
a) 9,46 x 1012
b) 3,78 x 1013
02
19.530 pessoas
03
20,4
04
19,12
05
R$ 151,20
06
Alternativa c
Oficina 4: Introdução à Álgebra
Atividade
Resposta
a) 2m
b) 3m
c) m
2
d) m
3
e) 2 m ou 2m
3
3
f) m + 4
01
g) 3m − 2
2m
h) 2 m + 15 ou
+ 15
5
i) 2m + 8
j) m + 10
2
k) m − 7
l) 4 m + 20
m) m − 2m
3
5
GUIA DO ALUNO
195
a) 2x
02
x
5
b)
c) x – 15
03
a) a + a + a + a + a + a = 6 a
b) 2a + 2a + b + 2a + 2a + b = 2a + 2a + 2a + 2a + b + b = 4 a + 2b
p
3
b) n + (n + 1) + [(n + 1) + 1] = 3n + 3
a) p −
04
c) a > b ou b < a
d) 4 y + 10 = 46
a) O quíntuplo de um número mais um.
b) O quádruplo de um número mais dois é igual a 9.
c) A diferença entre o triplo de um número e dobro desse número.
05
d) A soma de um número com sua metade é igual a três meios.
e) A diferença entre a quarta parte de um número e três é menor que a metade
desse número.
f) O produto da soma de dois números pela diferença desses dois números.
06
07
08
09
10
11
2
a) 2 x ⋅ 3 x = 6 x
b) P = 2 x + 3 x + 2 x + 3 x . Como os dois termos têm partes literal iguais então
podem ser reduzidos a um termos só. Com isso, temos P = 10 x.
(
)
(
)
2
2
3
3
a) − 3 x (5 xy ) = (− 3 ⋅ 5) x ⋅ x ⋅ y = −15 ⋅ x ⋅ y = −15 x y
b) (8ab)(− ab) = [8 ⋅ (− 1)](a ⋅ b ⋅ a ⋅ b) = −8 ⋅ a2 ⋅ b2 = −8ab
(
)( )
(
)
a) A = 4 x 2 y 3 y 3 = (4 ⋅ 3) x 2 ⋅ y ⋅ y 3 = 12 ⋅ x 2 ⋅ y 4 = 12 x 2 y 4
b) Sim. Aplicando a propriedade do produto de potência de mesma base que diz
que nesse caso devemos conservar a base e somar os expoentes.
a) 3 x
b) 5 x − 3 x = 2 x
a) Leonardo: 3 x Carolina: 5 x
b) 7 x
5x
196
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
a) − 4 xy
b) 7mn
12
c) 2ab
d) − 4 a2 b2
e) 5 y 2
f) 10ax 2
a) 5 y 2
b) − 5x 2
13
c) − 9 a 3 bc
d) − 7ab
e) 4 y
f) − 7
14
3y
15
16
a) 9a2
b) 10mn 3
a) 4x 2
b) 27a6
c) a 4 b6 c 2
17
d) m 8 n12
e) 8m
f) 10 a2 b5
g) 2 x 2 a5
3
18
5 x + 12 y
a) x 2 + 2 xy + y 2
b) x 2 − 2 xy + y 2
19
c) x 2 − 25
d) a2 + 6 a + 9
e) b2 − 4 b + 4
f) m 2 − n2
GUIA DO ALUNO
Oficina 5: Equações lineares
Atividade
Resposta
01
166 convites
02
R$ 200.000,00
03
2,5 kg e 2 kg
Oficina 6: Grandezas direta e inversamente proporcionais
Atividade
Resposta
01
21 dias
02
1720 kg
03
2h do dia seguinte
04
a) 2,45 litros b) em 21 dias ou menos
Oficina 7: Porcentagens
Atividade
Resposta
01
150 mulheres
02
30 litros
03
20 kg
04
23,5%
05
a) R$ 2.610,00
b) R$ 2.900
Oficina 8: Grandezas e Medidas
Atividade
Resposta
01
Alternativa c
02
46,05 Kg
03
c) Deverá cortar 1min 38
d) 3min 38s
e) 17h 08min 30s
04
R$ 46 750,00
05
12,95 toneladas
06
8000 litros
07
a) 1850
b) 36.000 litros
197
198
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
Oficina 9: Áreas
Atividade
03
Resposta
1,3 cm
a) Setor I: paralelogramo; Setor II: triângulo; Setor III: trapézio
b) Setor I: 200 m2; Setor II: 400 m2; Setor III: 380 m2
04
c) 980 m2
d) AI + AI + AIII = 980 m 2 ou AT =
05
a) 4,5 m2
b) 12,2 m
06
a) Proposta I
b) 525,96 m
07
a) 1686 m2
b) 167,6 m
08
1995,2 cm2
09
1205,76 m2
10
2658 telhas
(40 + 58) ⋅ 20 = 980 m 2
2
Oficina 10: Sólidos geométricos
Atividade
Resposta
01
1 → C 4 → G
2 → E 5 → F
3 → B 6 → D
02
III
03
51,81m2
04
Proposta II
05
Vai transbordar ( VC < VV )
06
b) Apenas I e III
c) Fábrica I
a) 120 caixas
GUIA DO ALUNO
Oficina 11: Revisitação
Problema
Resposta
01
729
02
R$ 54,00
03
a) R$ 2,00 b) 5
04
45 m²
05
06
13
07
5%
08
Rosa
09
7,5 km/h
10
5
11
Sem a desidratação
12
Aproximadamente 69,047%
13
4%
14
16, 32, 48, 64, 80 e 96
15
3
16
Ambos têm a mesma área.
O retângulo tem maior perímetro
17
q, m e p respectivamente.
18
199
200
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
201
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
»» DANTE, Luis Roberto. Tudo é Matemática: ensino fundamental. Volumes I, II, III e IV.
São Paulo - SP. Editora Ática, 2005.
»» DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática – São Paulo: Ática, 2002
»» DINIZ, Maria Ignez de S. V; SMOLE, Kátia Cristina S.. O conceito de ângulo e o ensino
de Geometria. 4ª edição. São Paulo – SP. CAEM - IME/USP. 2002.
»» LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Vol 1. Coleção Professor de
Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 1996.
»» LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas Elementares. 2ª edição. Coleção Professor de
Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 2006.
»» LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas. 2ª edição. Coleção Professor de Matemática.
SBM, Rio de Janeiro, 2003.
»» OCHI, Fusako H; PAULO, Rosa M.; YOKOYA, Joana H. e IKEGAMI, João K.. O uso de
quadriculados no ensino de Geometria. 3ª edição. São Paulo – SP. CAEM - IME/USP.
1997.
»» REZENDE, Eliane Q. F; QUEIROZ, Maria Lúcia B.. Geometria Euclidiana Plana e
construções geométricas. Campinas – SP. Editora da UNICAMP. 2000.
»» IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade. Volumes
I, II, III e IV. 5ª edição. São Paulo – SP. Atual Editora. 2005.
»» IMENES, Luiz Márcio; LELIS, Marcelo. Matemática. Volumes I, II, III e IV. São Paulo – SP.
Editora Scipione. 2001.
»» IMENES, Luiz Márcio. Matemática: Imenes & Lellis – 1o edição – São Paulo: Moderna,
2009.
»» CENTRO DE REFERÊNCIA VIRTUAL DO PROFESSOR – Secretaria de Educação de Minas Gerais.
http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/crv.htm
»» Dominó Humano: http://ensfundamental1.wordpress.com/407-2/415-2/
»» História da Matemática - http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page01.htm
»» ICMC/USP - http://educar.sc.usp.br/matematica/matematica.html
202
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
»» Motokame, Luciane Vieira de Paula – Jogo Fatorando: www.sbempaulista.org.br/.../
Comunicacoes_Orais%5Cco0021.doc
»» Portal São Francisco. http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/historia-da-matematica/
historia-da-matematica-1.php
»» Programa de Formação Continuada em Matemática – Escola Superior de Educação de Leiria
– Portugal. http://blogs.esecs.ipleiria.pt/eb1mat/
»» SÓ MATEMÁTICA - http://www.somatematica.com.br/index2.php
»» Usando números muito pequenos e números muito grande – Observatório Nacional. www.
on.br/site_edu_dist_2011/pdf/modulo1/1-numeros.pdf
GUIA DO ALUNO
203
ANEXOS
204
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
ANEXOS - OFICINA 1
Figura 1
205
206
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
Figura 2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
2
5
5
5
5
5
13
11
11
7
7
29
29
19
19
17
47
37
23
207
208
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
Figura 3
1650
414
125
36
2142
423
154
40
3990
665
220
60
4620
725
312
72
6105
957
380
98
209
210
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
Figura 4
211
212
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
Figura 1
213
214
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
Figura 2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
2
5
5
5
5
5
13
11
11
7
7
29
29
19
19
17
47
37
23
215
216
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
Figura 3
1650
414
125
36
2142
423
154
40
3990
665
220
60
4620
725
312
72
6105
957
380
98
217
218
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
Figura 4
219
220
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
ANEXOS - OFICINA 2
1
2
0,5
3
4
0,75
221
222
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
1
3
0,333...
5
8
0,625
1
6
0,1666...
5
3
1,666...
223
224
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
1
4
0,25
1
5
0,2
3
5
0,6
7
10
0,7
225
226
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
1
2
0,5
3
4
0,75
1
3
0,333...
5
8
0,625
227
228
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
1
6
0,1666...
5
3
1,666...
1
4
0,25
1
5
0,2
229
230
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
3
5
0,6
7
10
0,7
231
232
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
ANEXOS - OFICINA 3
Eu tenho 9,
Quem tem 0
100
?
Eu tenho 11,
Quem tem 3
2
?
Eu tenho 12,
Quem tem 121 ?
233
234
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
Eu tenho 0,
Quem tem 3
-2
?
Eu tenho 1,
9
Quem tem 8 . 2 ?
Eu tenho 4,
3
Quem tem 27 ?
235
236
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
Eu tenho 3,
4
Quem tem (-3)
?
Eu tenho 81,
3
Quem tem (-2) ?
Eu tenho -8,
Quem tem 16 + 4 ?
237
238
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
Eu tenho 6,
Quem tem
12
3
?
Eu tenho 2,
Quem tem 81 - 16 ?
Eu tenho 5,
2 4
Quem tem (3 ) ?
239
240
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
8
Eu tenho 3 ,
2
3
Quem tem 5 . 5 ?
5
Eu tenho 5 ,
Quem tem
10
10
7
3
?
4
Eu tenho 10 ,
Quem tem 2 ?
241
242
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
1/2
Eu tenho 2 ,
3
Quem tem 5 ?
1/3
Eu tenho 5 ,
2
Quem tem -4 ?
Eu tenho -16 ,
-80
Quem tem 1 ?
243
244
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
Eu tenho 1,
2
Quem tem 3 x 10 ?
Eu tenho 300,
-3
Quem tem 9 x 10 ?
Eu tenho 0,009,
2
3
Quem tem 5 + 5 ?
245
246
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
Eu tenho 150,
3
1
Quem tem 3 - 3 ?
Eu tenho 24,
-2
Quem tem 5 ?
Eu tenho 1 ,
25
-3
Quem tem (-4) ?
247
248
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
Eu tenho -1 ,
64
Quem tem 144 ?
249
250
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
ANEXOS - OFICINA 9
ANEXO I
ANEXO II
251
252
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
ANEXO III
ANEXO IV
253
254
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
ANEXO V
255
256
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
ANEXOS - OFICINA 10
257
258
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
259
260
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
261
262
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
263
264
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
265
266
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
267
268
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
269
270
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
271
272
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
273
274
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
275
276
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
277
278
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
279
280
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
281
282
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
283
284
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
285
286
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
287
288
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
289
290
GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1
GUIA DO ALUNO
291