Problema (flexão em 4 pontos)

Problema (flexão em 4 pontos)
Um provete cilíndrico de osso compacto, com um diâmetro exterior de=32 mm e
diâmetro interior di=16 mm, está sujeito a um esforço de flexão em 4 pontos (ver
figura, F=1 KN).Calcule a máxima tensão de flexão
F
F
de=2r
70mm
40mm
70mm
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Problema (tensões principais)
Considere o estado de tensão bidimensional (estado de tensão plana):
6 3 
   

3
2



Determine as tensões principais e as correspondentes direcções principais.
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Problema (transformação de coordenadas)
Considere o estado de tensão bidimensional (estado de tensão plana):
6 3 
   

3
2



Escreva o anterior estado de tensão num referencial rodado de :
a) 90º
b) 18,4º
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Problema (transformação de coordenadas)
Considere o estado de tensão bidimensional (estado de tensão plana):
6 3 
   

3
2



Represente-o no circulo de Mohr.
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Tensão octaedral
z
y
x
 xx  xy  xz 

 yy  yz 


 zz 

3
1
 1 0 0 

2 0 
2 

 3 

Plano octaedral
1
3
1
3
 oct  ( 1   2   3 )  ( xx   yy   zz )
 oct
1
1
2
2
2 1/ 2
 ( 1   2 )  ( 2   3 )  ( 3   1 )   ( 2 I12  6 I 2 )1/ 2
3
3
1/ 2
1
 ( xx   yy ) 2  ( yy   zz ) 2  ( zz   xx ) 2  6( xy2   yz2   zx2 )
3
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Densidade de energia elástica de deformação
U 0    ij d ij
Para materiais lineares elásticos e isotrópicos, sujeitos a um estado de
tensão generalizado
1
U 0   ij  ij
2
U0 
1 2
1 2


 xx   yy2   zz2  2 ( xx yy   yy zz   zz xx ) 
 xy   yz2   zx2 
2E
2G
Quando apenas existe uma tensão xx
 xx2
1
U 0   xx xx 
2
2E
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Energia elástica de distorção
1
3
Tensão normal média
 a  ( 1   2   3 )   oct
Tensão desviadora
S      I 
ij
ij
 S xx



a
S xz   xx   a
 xy
 xz 
S yz   
 yy   a
 yz 
 

S zz  
 zz   a 
S xy
S yy
Ou seja, um estado de tensão pode ser decomposto na soma duma tensão
média com uma tensão desviadora
    I   S 
ij
a
ij
A componente média é responsável pela variação de volume
A componente desviadora é responsável pela alteração da forma
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Energia elástica de distorção
A energia elástica de distorção pode ser escrita na forma
U 0d 
1
3 2

 oct
( xx   yy ) 2  ( yy   zz ) 2  ( zz   xx ) 2  6( xy2   yz2   zx2 ) 
12G
4G
Alternativamente a energia elástica de distorção pode escrever-se em função
duma tensão equivalente (ou tensão de Von Mises)
U 0d 
onde
1 2
e
6G
1/ 2
1
2
2
2
2
2
2
( xx   yy )  ( yy   zz )  ( zz   xx )  6( xy   yz   xz )
e 
2
Num caso de tensão uniaxial, e=xx
Num caso de tensão hidroestático, e=0
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Critério de Von Mises
A entrada em cedência (em plasticidade) dum material isotrópico dúctil,
ocorre quando a energia elástica de distorção excede um valor limite
U 0d
 1  cedência
U 0d Y
Tendo em atenção a definição de tensão equivalente e que num ensaio
uniaxial, e=xx
U 0d
U 0d Y
1 2
 e   2
 6G
 e
1 2  Y 
Y
6G
Pelo que o critério de Von Mises pode ser escrito na forma
e
 1  cedência
Y
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Problema (critério de Von Mises)
Um provete cilíndrico, com um diâmetro exterior de=32 mm e diâmetro interior
di=16 mm, está sujeito a um momento flector M=140 N.m e a um momento
torsor T=210 N.m.
O material, considerado isotrópico, tem uma tensão de cedência e=115 MPa.
Verifique se existem condições para o material entrar em cedência.
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Problema (critério de Mohr)
Um provete cilíndrico, com um diâmetro exterior de=32 mm e diâmetro interior
di=16 mm, está sujeito a um momento flector M=140 N.m e a um momento
torsor T=210 N.m.
O material, considerado isotrópico, tem tendência a uma rotura frágil com
valores de tensão de falha à tracção tf=133 MPa e tensão de falha à compressão
cf=195 MPa.
Verifique se existem condições para a falha do material.
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