LISTA DE EXERCÍCIOS – INE 5116 – PROBABILIDADE E

Lista de Exercícios - Probabilidade
1
INE 7002 – GABARITO LISTA DE EXERCÍCIOS –PROBABILIDADE
1) Vamos medir o tempo de duração da lâmpada. Ao ligarmos a lâmpada ela pode não funcionar, ou
durar um tempo indeterminado.
a) = {tempo, tempo  0).
b) E1 = {168h  tempo  720h}
E2 = {tempo < 1200h}
E3 = {tempo > 500h}
E1  E2 = {168h  tempo < 1200h}
E1  E3 = {500h < tempo  720h}
2) Como há 6 tipos de peso, e estamos avaliando 2 peças, o espaço amostral será uma matriz 6 x 6:
 (5,5) (5,10) (5,15) (5,20) (5,25) (5,30) 
(10,5) (10,10) (10,15) (10,20) (10,25) (10,30) 


(15,5) (15,10) (15,15) (15,20) (15,25) (15,30) 


(20,5) (20,10) (20,15) (20,20) (20,25) (20,30)
(25,5) (25,10) (25,15) (25,20) (25,25) (25,30)


(30,5) (30,10) (30,15) (30,20) (30,25) (30,30)
a) X = Y: { (5,5) (10,10) (15,15) (20,20) (25, 25) (30, 30)}
b)
 (5,10) (5,15) (5,20) (5,25) (5,30) 

(10,15) (10,20) (10,25) (10,30) 


(15,20) (15,25) (15,30) 
YX

(20,25) (20,30)


(25,30)




c) Y = 2X : { (5, 10) (10, 20) (15,30) }
d) X = Y – 10 : { (5, 15) (10, 20) (15, 25) (20, 30) }
e) [(X + Y)/2] < 20 : { (5,5) (5,10) (5,15) (5,20) (5,25) (5,30) (10,5) (10,10) (10,15) (10,20) (10,25) (15,5)
(15,10) (15,10) (15,20) (20,5) (20,10) (20,15) (25,5) (25,10) (30,5) }
A = fechado B = fechado C = fechado
3) A = aberto B = aberto
C = aberto
Há 3 semáforos, o espaço amostral precisa incluir todas as combinações possíveis:
A  B  C A  B  C A  B  C A  B  C


A  B  C A  B  C A  B  C A  B  C 
4) Dois eventos são mutuamente exclusivos quando não podem ocorrer simultaneamente. Os eventos das
letras a, b, c, f e h são mutuamente exclusivos.
5) Neste caso temos interesse na SOMA das faces.
a)  = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
b) b.1 E1 = {2, 3, 4, 5}
b.2 E2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
b.3 E3 = {3, 5, 7, 9, 11}
b.4 E 1 = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} b.5 E 2  E 1 = {6, 8, 10, 12}
b.6 E4 = 
c) Não. As somas 6, 7, e 8 têm maior probabilidade de ocorrer por haver maior número de combinações
de faces.
6) a)  = {0, 1, 2, ...} Se não conhecemos o número total de peças produzidas o espaço amostral é
infinito numerável.
b) b.1 E1 = {0}
b.2 E2 = {3, 4, ...}
b.3 E3 = {1, 2, 3, ...}
b4 E4 = E 1 = {1, 2, 3, ...}
Lista de Exercícios - Probabilidade
b.5 E5 = E 2  E 3 = {3, 4, ...} = E2
2
b.6 E6 = E 2 = {0, 1, 2}
b.7 E7 = E 4  E 6  E 1  E 2 = {1, 2}
7) a)  = {(Figura  Vermelha), (Figura  Preta), (Número  Vermelha), (Número  Preta)}
b) Ganhar = {[(Figura  Vermelha)  (Figura  Vermelha)], [(Figura  Preta)  (Figura  Preta)]
8) Nos 3 casos cada resultado dos respectivos espaços amostrais tem a mesma probabilidade de
ocorrência.
a) Em um baralho de 52 cartas há 4 ases, então: P(1 ás) = nases/n = 4/52 = 1/13 = 0,077 (7,7%).
b) Supondo um dado comum, de 6 faces, não viciado. Há 3 faces pares:
P(face par) = nfaces pares/ n = 3/6 = ½ = 0,5 (50%).
c) A moeda será lançada 3 vezes, e queremos que o primeiro resultado seja cara E o segundo E o
terceiro.
P(3 caras) = P(cara 1ª  cara 2ª  cara 3ª )
Se a moeda é honesta, cada resultado é INDEPENDENTE dos demais, resultando:
P(3 caras) = P(cara 1ª) × P(cara 2ª) × P(cara 3ª )
Novamente, se a moeda é honesta, cara e coroa têm a mesma probabilidade de ocorrer nos 3
lançamentos:
P(3 caras) = (1/2) × (1/2) × (1/2) = (1/8) = 0,125 (12,5%).
9) Há 36 resultados possíveis:
 (1,1)
(2,1)

(3,1)

(4,1)
(5,1)

(6,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
(3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
(4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
(5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
(1,6) 
(2,6)
(3,6)

(4,6) 
(5,6) 

(6,6) 
(6,2) (6,3) (6,4) (6,5)
a) Soma dos dados = múltiplo de 3 = {3  6  9  12} Estes 4 resultados são mutuamente exclusivos:
não há intersecção entre eles: a probabilidade de ocorrência da união deles é apenas a soma das
probabilidades individuais: P{3  6  9  12} = P(3) + P(6) + P(9) + P(12)
Há 2 resultados em que a soma é 3, há 5 em que a soma é 6, há 4 em que a soma é 9, e há 1 em que a
soma é 12: P{3  6  9  12} = (2/36) + (5/36) + (4/36) + (1/36) = 12/36 = 1/3 = 0,3333 (33,33%).
b) É o complementar do evento descrito em a):
P{3  6  9  12}  1  P{3  6  9  12} = 1- 1/3 = 2/3 = 0,6667 (66,67%).
c) Soma < 5 = {2  3  4}. Novamente os eventos são mutuamente exclusivos.
P{2  3  4} = P(2) + P(3) + P(4).
Há 1 resultado em que a soma é 2, há 2 em que a soma é 3, e há 3 em que a soma é 4.
P{2  3  4} = 1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6 = 0,167 (16,7%).
d) É o complementar do evento descrito em c):
P{2  3  4}  1  P{2  3  4} = 1-1/6 = 5/6 = 0,833 (83,3%).
e) Soma par: há 18 resultados em que a soma é par. P(soma par) = 18/36 = 1/2 = 0,5 (50%).
f) Caso de probabilidade condicional. Supõe-se que a soma é par, e queremos saber a probabilidade de
que a soma seja menor do que 5:
P(soma  5  soma par)
P(soma  5 | soma par) 
P(soma par)
Soma < 5  soma par = {(1,1) (1,3) (2, 2) (3, 1)} => Há 4 resultados.
Da letra e sabemos que o evento “soma par” tem 18 resultados.
P(soma < 5| soma par) = (4/36) / (18/36) = 4/18 = 2/9 = 0,222 (22,2%).
g) Caso de probabilidade condicional, o inverso da letra f. Supõe-se que a soma é menor do que 5, e
Lista de Exercícios - Probabilidade
3
queremos saber a probabilidade de que seja par.
P(soma par  soma  5)
P(soma  5)
Como a intersecção é comutativa podemos usar a probabilidade obtida em f, e P(soma <5) vem da letra
c:
P(soma par| soma <5) = (4/36)/ (6/36) = 4/6 = 2/3 = 0,667 (66,7%)
h) Soma menor do que 5 E par: intersecção de 2 eventos. A probabilidade foi calculada em f.
P(soma < 5  soma par) = 4/36 = 1/9 = 0,111 (11,1%).
i) Soma menor do que 5 OU par: união de 2 eventos. Observe que os dois eventos PODEM ocorrer
simultaneamente, o que exige “descontar” a intersecção: pode haver soma de faces menor do que 5 E
par, conforme visto na letra h:
P(soma < 5  soma par) = P(soma < 5) + P(soma par) – P(soma < 5  soma par) = 6/36 + 18/36 –
4/36 =
20/36 = 5/9 = 0,555 (55,5%).
P(soma par | soma  5) 
10) Use as freqüências para obter o número de resultados associado a cada evento.
Mulheres = 40
Homens = 60
Mestrado = 67
Doutorado = 33
Mulheres  Mestrado = 22 Mulheres  Doutorado = 18
Homens  Mestrado = 45 Homens  Doutorado = 15
Total = 100
a) P(Mestre) = 67/100 = 0,67
b) P(Homem) = 60/100 = 0,6
P(Homem  Mestre) 45 / 100 45
c) P(Homem | Mestre) 


P(Mestre)
67 / 100 67
P(Mestre Homem) 45 / 100 45
d) P(Mestre| Homem) 


P(Homem)
60 / 100 60
e) P(Mestre  Homem) = 45/100 = 0,45.
f) P(Mestre  Homem) = P(Mestre) + P(Homem) – P(Mestre  Homem) = 67/100 + 60/100 – 45/100 =
82/100 = 0,82
g) P(Mestre Homem)  P(Doutor  Homem)  15 / 100  0,15
h) P(Mestre Mulher)  P(Doutor  Mulher)  P(Doutor)  P(Mulher)  P(Doutor  Mulher) =
33/100 + 40/100 -18/100 = 55/100 = 0,55
11) a)  = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Cada evento tem a mesma probabilidade = 1/10.
b) b.1 E1 = {2, 4, 6, 8, 10} b.2 E2 = {1, 3, 5, 7, 9}
b.3 E3 = {1, 2}
b.4 E4 = {E1  E2} = 
b.5 E5 = E1  E3 = {2}
b.6 E6 = E2  E3 = {1}.
12) a)  = {A, B, Branco-Nulo}
P(A) = 0,30 P(B) = 0,50 P(Branco-Nulo) = 0,20
b) P(A  B), sendo que A e B são mutuamente exclusivos. P(A  B) = P(A) + P(B) = 0,3 + 0,5 = 0,8
13) Procedimento semelhante ao do exercício 10.
a) P(usa programa) = 78/120
b) P(2º grau) = 44/120
c) P(2ograu )  1  P(2ograu )  76/120
d) P(usa programa  2º grau) = 25/120
e) P(usa programa  2ograu )  31 / 120  22 / 120
f) P(usa programa | 2º grau) = P(usa programa  2º grau)/ P(2º grau) = (25/120)/(44/120) = 25/44
g) P(2º grau | usa programa) = P(2º grau  usa programa)/ P(usa programa) = (25/120)/(78/120) =
25/78
14) a) P(verde) = nverde/n = 5/50
b) P(azul) = nazul/n = 20/50
c) P(azul  verde) = P(azul) + P(verde) = 20/50 + 5/50 = 25/50 (azul e verde são mutuamente
exclusivos).
d) P(vermelha ) = 1 – P(vermelha) = 1 – 15/50 = 35/50
e) P(vermelha  verde) = P(vermelha) + P(verde) = 15/50 + 5/50 = 20/50 (vermelha e verde são
Lista de Exercícios - Probabilidade
4
mutuamente exclusivos).
f) P(amarela) = zero (pois não há bola amarela na urna).
g) P(amarela )  1  P(amarela )  1  0  1
h) P(verde  vermelha )  P(verde)  5 / 50
i) P(verde  amarela )  P(verde)  P(amarela )  P(verde  amarela )  P(verde)  P(amarela )  P(verde)  1
15) a) a.1 P(ambas = 6) = nfaces 6/n = 1/36
a.2 P(ambas pares) = nfaces pares/n = 9/36 = ¼
a.3 P(ambas=6|ambas pares)= P(ambas= 6ambas pares)/ P(ambas pares) = (1/36)/ (9/36) = 1/9
b) b.1 P(todas = 6) = nfaces6/n = 1/6 × 1/6 × 1/6 = 1/216
b.2 P(todas pares) = P(1par  1par  1par) = 3/6 × 3/6 × 3/6 = 27/216 (eventos independentes)
b.3 P(todas = 6| todas pares) = P(todas = 6  todas pares)/ P(todas pares) = (1/216)/(27/216) = 1/27
16) a) P(Falha1  Falha2  Falha3  Falha4) = P(Falha1) × P(Falha2) × P(Falha3) × P(Falha4)
= 0,01 × 0,02 × 0,05 × 0,1 = 0,000001
(os eventos são independentes).
b) P(nenhuma falha) = P(Opera1  Opera2  Opera3  Opera4) =
(os eventos são independentes)
P(Opera1)× P(Opera2)×P(Opera3)× P(Opera4) =
(1-0,01) × (1-0,02) × (1-0,05) × (1-0,1) = 0,829521
17) a)Há 26 cartas vermelhas P(V1  V2) = P(V1) × P(V2|V1) = (26/52) × (25/51) = 0,245
b) Há 13 cartas de paus, P(Paus1  Paus2) = P(Paus1) × P(Paus2|Paus1) = (13/52) × (12/51) = 0,058
c) Há 16 figuras, P(Figura1  Figura2) = P(Figura1) × P(Figura2|Figura1) = (16/52)×(15/51) =
0,0905
d) P[(Paus1 Copas2)  (Copas1 Paus2)] = P(Paus1 Copas2) + P(Copas1 Paus2) (eventos
Mutuamente exclusivos.)
= P(Paus1) × P(Copas2|Paus1) + P(Copas1) × P(Paus2| Copas1) =
(13/52) × (13/51) + (13/52) × (13/51) = 0,1274
18) Onde está o valor 51 substituir por 52, pois há reposição.
19) P(linha| dia normal) = 0,75
P(linha| dia chuva) = 0,25 P(ocupado| linha) = 11/21
P(dia chuva) = 0,1
a) Ligação completa = [(dia normal  linha  ocupado)  (dia chuva  linha  ocupado)]
Os eventos acima são mutuamente exclusivos:
P(dia normal)  P(linha | dia normal)  P(ocupado | linha ) 
P(ligação completa) 
P(dia chuva )  P(linha | dia chuva )  P(ocupado | linha )
P(ligação completa) = 0,9 × 0,75 × (10/21) + 0,1 × 0,25 × (10/21) = 0,333
b) P(dia chuva| ligação completa) = P(dia chuva  ligação completa) / P(ligação completa) =
[0,1 × 0,25 × (10/21)] / 0,333 = 0,0357
20) Procedimento semelhante ao do problema 10.
a) P(conhecido|furto) = (106/2000) / (505/2000) = 106/505
b) P(conhecido  furto) = 106/2000
c) P(furto  conhecido) = P(furto) + P(conhecido) – P(furto  conhecido) =
505/2000 + 787/2000 – 106/2000 = 1186/2000
d) P(furto1  furto2) = (505/2000) × (505/2000) = 0,0637 (eventos independentes).
e) P(estranho| homicídio) = P(estranho  homicídio) / P(homicídio) = (12/2000) / (69/2000) = 12/69
f) P(ignorado1  ignorado2) = (95/2000) × (95/2000) = 0,022 (eventos independentes).
21)
P(HIV| risco) = 0,1 P(HIV| normal) = 0,003
P(risco) = 0,04
P(detecta| HIV) 0,95
P(não detecta| HIV) = 0,05
P(normal) = 0,96
Lista de Exercícios - Probabilidade
5
P(não detecta| não HIV) = 0,95
P(não detecta| HIV) = 0,05
Construindo a árvore de probabilidades:
Detecta
0,95
HIV
0,003
0,05
Não detecta
0,05
Detecta
0,95
Não detecta
Normal
0,997
Não HIV
0,96
Início
0,04
0,95
Detecta
0,05
Não detecta
HIV
0,1
Risco
0,9
0,05
Detecta
0,95
Não detecta
Não HIV
a) P(detecta HIV normal) = P[(normal  HIV  detecta)  (normal  não HIV  detecta)]
os dois eventos são mutuamente exclusivos.
= 0,96 × 0,003 × 0,95 + 0,96 × 0,997 × 0,05 = 0,050592
b) P(detecta HIV risco) = P[(risco  HIV  detecta)  (risco  não HIV  detecta)]
os dois eventos são mutuamente exclusivos.
= 0,04 × 0,1 × 0,95 + 0,04 × 0,9 × 0,05
c) P[(normal  não HIV  detecta)  (normal  HIV  não detecta)  (risco  não HIV  detecta) 
(risco  HIV  não detecta)] =
0,96 × 0,997 × 0,05 + 0,96 × 0,003 × 0,05 + 0,04 × 0,9 × 0,05 + 0,04 × 0,1 × 0,05 = 0,05
os quatro eventos são mutuamente exclusivos.
d) P[HIV| (detecta  risco)] =
P(HIV detecta  risco)/ P[(risco  HIV  detecta)  (risco  não HIV  detecta)] =
(0,04 × 0,1 × 0,95) / 0,056 = 0,6785
e) P[não HIV | (não detecta  normal) =
P(não HIV  não detecta  normal)/ P[(normal  não HIV  não detecta)  (normal  HIV 
detecta)]
= 0,96 × 0,997 × 0,95/ (0,96 × 0,997 × 0,95 + 0,96 × 0,003 × 0,05) = 0,9998.
Nos problemas 21 a 25 é preciso usar análise combinatória para calcular o número de resultados
associados a cada evento. Em TODOS os casos há importância apenas da natureza dos elementos,
devendo ser usadas combinações.
22) a) P(6 mesmo grupo) = P[(6 1ª )  (6 2ª - 4ª)  (6 5ª - 7ª)]
Os 3 eventos são mutuamente exclusivos, não havendo intersecção entre eles:
P(6 mesmo grupo) = C10,6/C45,6 + C20,6/C45,6 + C15,6/C45,6
b) P(2 cada grupo) = P[(2 1ª)  (2 2ª - 4ª)  (2 5ª - 7ª)]= (C10,2 × C20,2 × C15,2) / C45,6
Lista de Exercícios - Probabilidade
c) P[(1 1ª)  (4 2ª - 4ª)  (1 5ª - 7ª)] = (C10,1 × C20,4 × C15,1) / C45,6
d) P(6 2ª - 4ª | 6 mesmo grupo) = P(6 2ª - 4ª)/ P(6 mesmo grupo)
= (C20,6/C45,6) / (C10,6/C45,6 + C20,6/C45,6 + C15,6/C45,6)
23)
a) P(3  4  5) = P(3) + P(4) + P(5)

C 10, 3  C 40, 2
C 50,5

6
(pois os eventos são mutuamente exclusivos)
C 10,4  C 40,1
C 50,5
b) P(3  4  5) = P(3) + P(4) + P(5) 
c) P(3  4  5) = P(3) + P(4) + P(5) 

C 10,5
C 50,5
C 5, 3  C 45, 2
C 50,5
C 5, 3  C 90, 2
C 95,5


C 5,4  C 45,1
C 50,5
C 5,4  C 90,1
C 95,5


C 5, 5
C 50,5
C 5, 5
C 95,5
24)
a) P(Você 2  Amigo 2) = (C5,2 × C8,2)/ C200,4
b) P(Você 4) = C5,4/ C200,4
c) P(Amigo 4) = C8,4/ C200,4
d) P(Nenhum prêmio) = C187,4/ C200,4
e) P[(Você 1  Amigo 0)  (Você 0  Amigo 1)] = P (Você 1  Amigo 0) + P (Você 0  Amigo 1)
Pois os eventos são mutuamente exclusivos.
P[(Você 1  Amigo 0)  (Você 0  Amigo 1)] 
C 5,1  C 8,0  C 187, 3
C 200,4

C 5,0  C 8,1  C 187, 3
C 200,4
25)
a) 40 homens, 30 mulheres, 5 vagas
- P(apenas homens) = C40,5 / C70,5
- P(apenas mulheres) = C30,5 / C70,5
- P(maioria homens) = P (3 homens  4 homens  5 homens)
eventos mutuamente exclusivos
C 40, 3  C 30, 2 C 40,4  C 30,1 C 40,5
P(maioria homens) =


C 70,5
C 70,5
C 70,5
- P(maioria mulheres) = P (3 mulheres  4 mulheres  5 mulheres)
C 30, 3  C 40, 2 C 30,4  C 40,1 C 30,5
P(maioria mulheres) =


C 70,5
C 70,5
C 70,5
eventos mutuamente exclusivos
- P(5 homens | 5 mesmo sexo) = P(5 homens)/ P(5 homens  5 mulheres)
exclusivos no denominador.
P(5 homens | 5 mesmo sexo) =
C
C
40, 5
40, 5
eventos mutuamente
/ C 70,5 
/ C 70,5   C 30,5 / C 70,5 
b) 40 homens, 30 mulheres, 6 vagas
- P(apenas homens) = C40,6 / C70,6
- P(apenas mulheres) = C30,6 / C70,6
- P(maioria homens) = P (4 homens  5 homens  6 homens)
eventos mutuamente exclusivos
C 40,4  C 30, 2 C 40,5  C 30,1 C 40,6
P(maioria homens) =


C 70,6
C 70,6
C 70,6
- P(maioria mulheres) = P (4 mulheres  5 mulheres  6 mulheres)
C 30,4  C 40, 2 C 30,5  C 40,1 C 30,6
P(maioria mulheres) =


C 70,6
C 70,6
C 70,6
- P(3 mulheres) = (C30,3 × C40,3) / C70,6
eventos mutuamente exclusivos
Lista de Exercícios - Probabilidade
7
- P(6 mulheres | 6 mesmo sexo) = P(6 mulheres)/ P(6 homens  6 mulheres) eventos mutuamente
exclusivos no denominador.
P(6 mulheres | 6 mesmo sexo) =
C
C
40, 6
30, 6
/ C 70,6 
/ C 70,6   C 30,6 / C 70,6 
26) a) Sim, a soma das respostas é igual a 1,0.
b) Média =  x i  p(x i ) = (0 × 0,0625) + (1 × 0,25) + (2 × 0,375) + (3 × 0,25) + (4 × 0,0625) = 2,0
Variância =
 x
2
i

 p(x i )   x i  p(x i ) = 0,125
2
variância  0,125  0,353
Desvio padrão =
27) a) Sim, a soma das probabilidades é igual a 1.
b) Média =
 x
Desvio padrão =
i
 p(x i ) = 2,8
Variância =
 x
2
i

 p(x i )   x i  p(x i ) = 6,36
2
variância  6,36  2,52
28) P(A em TGA) = 0,8
P(Não A em TGA) = 0,2
P(A em Mat.) = 0,4 P(Não A em Mat.) = 0,6
a) P(A em TGA  A em Mat.) = P(A em TGA) × P(A em Mat.) = 0,8 × 0,4 = 0,32 (eventos
independentes)
b) P(Não A em TGA  Não A em Mat.) = P(Não A em TGA) × P(Não A em Mat.) = 0,2 × 0,6 = 0,12
(novamente, os eventos são independentes).
c) P(A em TGA  Não A em Mat.) = P(A em TGA) × P(Não A em Mat.) = 0,8 × 0,6 = 0,48 (novamente
os eventos são independentes).
29) Podemos construir uma árvore probabilidades:
Lista de Exercícios - Probabilidade
8
X = {0, 1, 2, 3}
Basta calcular as probabilidades para cada valor (3, 2, 1, 0). Cada aluno é independente dos outros.
P(X = 3) = P(A resolve  B resolve  C resolve) = P(A resolve) × P(B resolve) × P(C resolve) =
4/5 × 2/3 × 3/7 = 0,228
P(X = 2) = P[(A resolve  B resolve  C não resolve)  (A resolve  B não resolve  C resolve) 
(A não resolve  B resolve  C resolve)] eventos mutuamente exclusivos:
= 4/5 × 2/3 × 4/7 + 4/5 × 1/3 × 3/7 + 1/5 × 2/3 × 3/7 = 0,476
P(X = 1) = P[(A resolve  B não resolve  C não resolve)  (A não resolve  B resolve  C não
resolve)  (A não resolve  B não resolve  C resolve)] eventos mutuamente exclusivos:
= 4/5 × 1/3 × 4/7 + 1/5 × 2/3 × 4/7 + 1/5 × 1/3 × 3/7 = 0,257
P(X = 0) = P(A não resolve  B não resolve  C não resolve) = 1/5 × 1/3 × 4/7 = 0,038
X
0
1
2
3
p
0,038
0,257
0,476
0,228
b) Procedimento semelhante ao dos problemas 26 e 27.
Lista de Exercícios - Probabilidade
9
30) Procedimento semelhante ao do problema 29.
31) a) E(X) =
b) V(X) =
 x
 x
2
i
Desvio padrão =
i
 p(x i ) = (10 × 0,3) + (15 × 0,2) + (22 × 0,5) =17 dias (centro de massa)

 p(x i )   x i  p(x i ) = (102 × 0,3) + (152 × 0,2) + (222 × 0,5) – 172
2
V(X)
32) Podemos definir a variável aleatória X = número de recém-nascidos homens, que pode assumir os
valores: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Como não há nenhuma informação prévia podemos considerar que a
probabilidade de que o recém-nascido seja homem é 0,5, e de que seja mulher é o seu valor
complementar, também 0,5. Podemos também considerar que os sexos dos recém-nascidos são
independentes.
a) P(X = 8) = P(8 homens) = P(1º H  2º H  3º H  4º H  5º H  6º H  7º H  8º H) =
= 0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,58 = 0,0039
b) P(pelo menos uma mulher) = P(X  7) = 1- P(X > 7) = 1- P(X = 8) = 1- 0,0039 = 0,9961
c) P(exatamente 3 homens). Então 3 serão homens e 5 serão mulheres: de quantas maneiras diferentes
podemos ter uma seqüência de 8 recém-nascidos em que 3 são homens? Podemos resolver por
combinações: C8,3. Este valor será multiplicado pelas probabilidades de que 3 sejam homens e 5 sejam
mulheres:
P(X = 3) = C8,3 × P(1º H  2º H  3º H  4º M  5º M  6º M  7º M  8º M) (esta é apenas uma das
combinações possíveis, e lembre-se que os eventos são independentes):
Lista de Exercícios - Probabilidade 10
P(X = 3) = C8,3 × 0,5 3 × 0,5 5 = 0,21875.
d) P(ao menos 3 homens) = P(X  3) = 1 – P(X < 3) = 1- P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2).
Para encontrar P(X = 1) e P(X = 2) precisamos usar um raciocínio semelhante ao visto na letra c:
precisamos encontrar C8,1 e C8,2. Posteriormente, obter as probabilidades associadas às seqüências com
1 ou 2 homens.
P(X = 1) = C8,1 × P(1º H  2º M  3º M  4º M  5º M  6º M  7º M  8º M) (esta é apenas uma
das combinações possíveis, e lembre-se que os eventos são independentes):
P(X = 1) = C8,1 × 0,5 1 × 0,5 7
P(X = 2) = C8,2 × P(1º H  2º H  3º M  4º M  5º M  6º M  7º M  8º M) (esta é apenas uma
das combinações possíveis, e lembre-se que os eventos são independentes):
P(X = 2) = C8,2 × 0,5 2 × 0,5 7
P(X = 0) = P(8 mulheres) = P(1º M  2º M  3º M  4º M  5º M  6º M  7º M  8º M) = 0,58
Então: P(X  3) = 1 - 0,58 - C8,1 × 0,5 1 × 0,5 7 - C8,2 × 0,5 2 × 0,5 7 = 0,855468
e) Para calcular a média (valor esperado) é preciso obter as probabilidades associadas a cada valor de
X, e então usar a expressão do problema 31, letra a. Vamos obter que a média vale 4.
f) O valor de X que apresentará a maior probabilidade será 4, que será o valor mais provável. Neste
caso, valor mais provável e média coincidiram, mas isso NEM SEMPRE ocorre.
Uma árvore de probabilidades completa seria igual a:
33) a) Contínua, medida em metros, pode assumir inúmeros valores.
b) Discreta, varia de 0 a 230.
c) Discreta, podemos ter 0, 1, 2, ... carros.
d) Contínua, medida em toneladas, pode assumir inúmeros valores.
e) Contínua, medido em unidades monetárias (com centavos) pode assumir inúmeros valores.
34) Se 2 variáveis aleatórias X e Y são independentes então: E(X + Y) = E(X) + E(Y) e
V(X + Y) = V(X) + V(Y)
a) Lucro esperado total = 4000 + 5000 + 10000 + 20000 = 39000
Desvio padrão total = variância total  100 2  200 2  300 2  400 2 = 547,72
b) Não, porque para calcular a variância total é preciso haver independência entre as variáveis, para
que possamos somar suas variâncias individuais.