Aula de Física II - A Segunda Lei da Termodinâmica

Introdução
Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
Aula de Física II - A Segunda Lei da Termodinâmica
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes
([email protected])
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto Politécnico - IPRJ/UERJ
Departamento de Engenharia Mecânica e Energia
Graduação em Engenharia Mecânica/Computação
6 de outubro de 2010
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
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Introdução
Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
Introdução
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Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
Introdução
A primeira lei da Termodinâmica impõe uma condição
fundamental aos processos energéticos, isto é, não pode haver
geração ou desaparecimento espontâneo de energia. A
Segunda Lei adiciona outras restrições, quanto ao
comportamento e ao modo de utilização das transformações.
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Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
Introdução
A primeira lei da Termodinâmica impõe uma condição
fundamental aos processos energéticos, isto é, não pode haver
geração ou desaparecimento espontâneo de energia. A
Segunda Lei adiciona outras restrições, quanto ao
comportamento e ao modo de utilização das transformações.
Se os dois corpos são colocados em contato entre si num
sistema isolado, um com temperatura TA (corpo quente) e
outro com temperatura TB < TA (corpo frio), a experiência
mostra que o calor passa do corpo quente para o corpo frio até
que as temperaturas de ambos se estabilizem no equilíbrio TE .
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Máquinas Térmicas
Entropia
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A primeira lei da Termodinâmica impõe uma condição
fundamental aos processos energéticos, isto é, não pode haver
geração ou desaparecimento espontâneo de energia. A
Segunda Lei adiciona outras restrições, quanto ao
comportamento e ao modo de utilização das transformações.
Se os dois corpos são colocados em contato entre si num
sistema isolado, um com temperatura TA (corpo quente) e
outro com temperatura TB < TA (corpo frio), a experiência
mostra que o calor passa do corpo quente para o corpo frio até
que as temperaturas de ambos se estabilizem no equilíbrio TE .
Observamos que, se o processo fosse inverso, isto é, se o calor
passasse do corpo frio para o quente (aumentando a
temperatura do quente e diminuindo a do frio), não haveria
nenhuma violação da primeira lei (a mesma quantidade de
calor retirada de um é adicionada ao outro).
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Mas isso nunca acontece. Assim, pode-se dizer que,
expontaneamente, o calor só pode passar de um corpo de
temperatura mais alta para outro de temperatura mais baixa.
E esse é um dos enunciados da Segunda Lei da
Termodinâmica.
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Entropia
Mas isso nunca acontece. Assim, pode-se dizer que,
expontaneamente, o calor só pode passar de um corpo de
temperatura mais alta para outro de temperatura mais baixa.
E esse é um dos enunciados da Segunda Lei da
Termodinâmica.
Um exemplo comum da segunda lei é dado pela eciência de
uma máquina térmica. Uma máquina térmica ideal funcionaria
da seguinte forma: Todo o calor Q1 de uma fonte quente
(exemplo: a combustão de uma substância) seria transformado
em trabalho W . Assim, W = Q1 e haveria eciência de 100
por cento. Mas é claro que isso nunca ocorre. Numa máquina
real, há sempre uma parcela de calor Q2 que é trocada com
uma fonte fria (o próprio ambiente na maioria dos casos).
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E o enunciado a seguir é outra forma da Segunda Lei:
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E o enunciado a seguir é outra forma da Segunda Lei:
É impossível converter todo o calor de uma fonte em trabalho.
Sempre haverá uma parcela trocada com o ambiente
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.
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Entropia
Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Transformações termodinâmicas são processos que produzem
alterações em variáveis que denem o estado termodinâmico
de um corpo ou sistema. A reversibilidade ou não de uma
transformação é uma propriedade importante, que tem relação
com a segunda lei.
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Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Transformações termodinâmicas são processos que produzem
alterações em variáveis que denem o estado termodinâmico
de um corpo ou sistema. A reversibilidade ou não de uma
transformação é uma propriedade importante, que tem relação
com a segunda lei.
Como exemplo de transformação reversível, pode-se citar o
escoamento de um gás ideal em uma tubulação com um
estrangulamento. Desde que a condição é supostamente ideal,
não há atritos nem trocas de calor através da parede do tubo.
Devido à redução de seção, o estado termodinâmico do gás é
diferente do estado nos extremos. Passado o estrangulamento,
o estado termodinâmico é o mesmo, caracterizando a
reversibilidade do processo.
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Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
Agora, sejam dois corpos em contato mútuo dentro de um
sistema isolado. Depois de algum tempo, a troca de calor
termina e os corpos atingem uma temperatura comum de
equilíbrio TE (TA > TE > TB ). Se os corpos são afastados e
sicamente dispostos na mesma situação inicial, as suas
temperaturas não retornam espontaneamente aos valores
anteriores. Há, portanto, uma transformação irreversível.
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Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
Agora, sejam dois corpos em contato mútuo dentro de um
sistema isolado. Depois de algum tempo, a troca de calor
termina e os corpos atingem uma temperatura comum de
equilíbrio TE (TA > TE > TB ). Se os corpos são afastados e
sicamente dispostos na mesma situação inicial, as suas
temperaturas não retornam espontaneamente aos valores
anteriores. Há, portanto, uma transformação irreversível.
O equacionamento da Segunda Lei é descrito através do
conceito de entropia que está relacionado ao número de
congurações de mesma energia que um dado sistema pode
possuir. Podemos nos valer do conceito subjetivo de desordem
para facilitar a compreensão da Segunda Lei (embora entropia
não seja essencialmente caracterizada como desordem). Ou
seja, a segunda lei arma, à grosso modo, que a desordem de
um sistema isolado só pode crescer ou permanecer igual.
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Entropia
Rendimento Térmico
O Ciclo de Carnot
Eciência de uma Máquina Térmica
Rendimento Térmico
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Rendimento Térmico
O Ciclo de Carnot
Eciência de uma Máquina Térmica
Rendimento Térmico
Um motor térmico produz trabalho a partir de calor, operando
ciclicamente. Pela Segunda Lei, são precisos dois reservatórios
térmicos a temperaturas diferentes T1 > T2 . Sendo Q1 o calor
absorvido da fonte quente, Q2 o calor transferido à fonte fria em
cada ciclo e W o trabalho realizado pelo motor num ciclo, então,
pela Primeira Lei, temos:
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Entropia
Rendimento Térmico
O Ciclo de Carnot
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Rendimento Térmico
Um motor térmico produz trabalho a partir de calor, operando
ciclicamente. Pela Segunda Lei, são precisos dois reservatórios
térmicos a temperaturas diferentes T1 > T2 . Sendo Q1 o calor
absorvido da fonte quente, Q2 o calor transferido à fonte fria em
cada ciclo e W o trabalho realizado pelo motor num ciclo, então,
pela Primeira Lei, temos:
W
= Q1 − Q2
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(1)
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Rendimento Térmico
O Ciclo de Carnot
Eciência de uma Máquina Térmica
Rendimento Térmico
Um motor térmico produz trabalho a partir de calor, operando
ciclicamente. Pela Segunda Lei, são precisos dois reservatórios
térmicos a temperaturas diferentes T1 > T2 . Sendo Q1 o calor
absorvido da fonte quente, Q2 o calor transferido à fonte fria em
cada ciclo e W o trabalho realizado pelo motor num ciclo, então,
pela Primeira Lei, temos:
W
= Q1 − Q2
(1)
Desta forma, podemos denir o rendimento de um motor térmico
como sendo:
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O Ciclo de Carnot
Eciência de uma Máquina Térmica
Rendimento Térmico
Um motor térmico produz trabalho a partir de calor, operando
ciclicamente. Pela Segunda Lei, são precisos dois reservatórios
térmicos a temperaturas diferentes T1 > T2 . Sendo Q1 o calor
absorvido da fonte quente, Q2 o calor transferido à fonte fria em
cada ciclo e W o trabalho realizado pelo motor num ciclo, então,
pela Primeira Lei, temos:
W
(1)
= Q1 − Q2
Desta forma, podemos denir o rendimento de um motor térmico
como sendo:
W
Q1 − Q2
Q2
η=
=
=1−
(2)
Q1
Q1
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Q1
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Rendimento Térmico
O Ciclo de Carnot
Eciência de uma Máquina Térmica
Rendimento Térmico
Um motor térmico produz trabalho a partir de calor, operando
ciclicamente. Pela Segunda Lei, são precisos dois reservatórios
térmicos a temperaturas diferentes T1 > T2 . Sendo Q1 o calor
absorvido da fonte quente, Q2 o calor transferido à fonte fria em
cada ciclo e W o trabalho realizado pelo motor num ciclo, então,
pela Primeira Lei, temos:
W
(1)
= Q1 − Q2
Desta forma, podemos denir o rendimento de um motor térmico
como sendo:
W
Q1 − Q2
Q2
η=
=
=1−
(2)
Q1
Q1
Q1
Logo, vemos que Q2 > 0 ⇐⇒ η < 1, o que implica que o
rendimento é inferior a cem por cento.
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O Ciclo de Carnot
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O Ciclo de Carnot
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Rendimento Térmico
O Ciclo de Carnot
Eciência de uma Máquina Térmica
O Ciclo de Carnot
Se dene Ciclo de Carnot como um processo cíclico reversível que
utiliza um gás perfeito, e que consta de duas transformações
isotérmicas e duas adiabáticas.
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O Ciclo de Carnot
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O Ciclo de Carnot
Se dene Ciclo de Carnot como um processo cíclico reversível que
utiliza um gás perfeito, e que consta de duas transformações
isotérmicas e duas adiabáticas.
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Rendimento Térmico
O Ciclo de Carnot
Eciência de uma Máquina Térmica
Partindo de 1, o gás realiza uma expansão isotérmica 1-2,
recebendo calor de Q1 (fonte quente). A seguir, ocorre a expansão
adiabática 2-3, durante a qual não há troca de calor. A compressão
isotérmica 3-4 se verica à temperatura T2 da fonte fria, e nesta
etapa o gás rejeita a quantidade Q2 que não foi transformada em
trabalho. A compressão adiabática 4-1 se completa sem a troca de
calor. Pela Equação Fundamental da Calorimetria, temos:
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Rendimento Térmico
O Ciclo de Carnot
Eciência de uma Máquina Térmica
Partindo de 1, o gás realiza uma expansão isotérmica 1-2,
recebendo calor de Q1 (fonte quente). A seguir, ocorre a expansão
adiabática 2-3, durante a qual não há troca de calor. A compressão
isotérmica 3-4 se verica à temperatura T2 da fonte fria, e nesta
etapa o gás rejeita a quantidade Q2 que não foi transformada em
trabalho. A compressão adiabática 4-1 se completa sem a troca de
calor. Pela Equação Fundamental da Calorimetria, temos:
Q1
T1
=
Q2
T2
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Rendimento Térmico
O Ciclo de Carnot
Eciência de uma Máquina Térmica
Partindo de 1, o gás realiza uma expansão isotérmica 1-2,
recebendo calor de Q1 (fonte quente). A seguir, ocorre a expansão
adiabática 2-3, durante a qual não há troca de calor. A compressão
isotérmica 3-4 se verica à temperatura T2 da fonte fria, e nesta
etapa o gás rejeita a quantidade Q2 que não foi transformada em
trabalho. A compressão adiabática 4-1 se completa sem a troca de
calor. Pela Equação Fundamental da Calorimetria, temos:
Q1
T1
=
Q2
T2
=⇒
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O Ciclo de Carnot
Eciência de uma Máquina Térmica
Partindo de 1, o gás realiza uma expansão isotérmica 1-2,
recebendo calor de Q1 (fonte quente). A seguir, ocorre a expansão
adiabática 2-3, durante a qual não há troca de calor. A compressão
isotérmica 3-4 se verica à temperatura T2 da fonte fria, e nesta
etapa o gás rejeita a quantidade Q2 que não foi transformada em
trabalho. A compressão adiabática 4-1 se completa sem a troca de
calor. Pela Equação Fundamental da Calorimetria, temos:
Q1
T1
=
Q2
T2
=⇒ η = 1 −
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T2
T1
(3)
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Rendimento Térmico
O Ciclo de Carnot
Eciência de uma Máquina Térmica
Partindo de 1, o gás realiza uma expansão isotérmica 1-2,
recebendo calor de Q1 (fonte quente). A seguir, ocorre a expansão
adiabática 2-3, durante a qual não há troca de calor. A compressão
isotérmica 3-4 se verica à temperatura T2 da fonte fria, e nesta
etapa o gás rejeita a quantidade Q2 que não foi transformada em
trabalho. A compressão adiabática 4-1 se completa sem a troca de
calor. Pela Equação Fundamental da Calorimetria, temos:
Q1
T1
=
Q2
T2
=⇒ η = 1 −
T2
T1
(3)
Este é o rendimento máximo de uma máquina térmica, e como
nunca podemos ter T1 = 0 e |T 2| < |T 1| constatamos que uma
máquina térmica jamais terá rendimento de cem por cento, ou seja,
transformar todo o calor fornecido em trabalho.
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O Ciclo de Carnot
Eciência de uma Máquina Térmica
Teorema (Carnot)
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Eciência de uma Máquina Térmica
Teorema (Carnot)
Nenhuma máquina térmica que opere entre uma dada fonte quente
e uma dada fonte fria pode ter rendimento superior ao de uma
Máquina de Carnot. Todas as Máquinas de Carnot que operem
entre essas duas fontes terão o mesmo rendimento.
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Teorema (Carnot)
Nenhuma máquina térmica que opere entre uma dada fonte quente
e uma dada fonte fria pode ter rendimento superior ao de uma
Máquina de Carnot. Todas as Máquinas de Carnot que operem
entre essas duas fontes terão o mesmo rendimento.
Demonstração.
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Teorema (Carnot)
Nenhuma máquina térmica que opere entre uma dada fonte quente
e uma dada fonte fria pode ter rendimento superior ao de uma
Máquina de Carnot. Todas as Máquinas de Carnot que operem
entre essas duas fontes terão o mesmo rendimento.
Demonstração.
Para demonstrar o teorema, consideremos duas máquinas
reversíveis A e B, com rendimentos η e η 0 , respectivamente.
Suponhamos que o rendimento da máquina A é menor do que o
rendimento da máquina B (η < η 0 ). Então:
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Eciência de uma Máquina Térmica
Teorema (Carnot)
Nenhuma máquina térmica que opere entre uma dada fonte quente
e uma dada fonte fria pode ter rendimento superior ao de uma
Máquina de Carnot. Todas as Máquinas de Carnot que operem
entre essas duas fontes terão o mesmo rendimento.
Demonstração.
Para demonstrar o teorema, consideremos duas máquinas
reversíveis A e B, com rendimentos η e η 0 , respectivamente.
Suponhamos que o rendimento da máquina A é menor do que o
rendimento da máquina B (η < η 0 ). Então:
W
> W 0;
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Q1
< Q10
(4)
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Teorema (Carnot)
Nenhuma máquina térmica que opere entre uma dada fonte quente
e uma dada fonte fria pode ter rendimento superior ao de uma
Máquina de Carnot. Todas as Máquinas de Carnot que operem
entre essas duas fontes terão o mesmo rendimento.
Demonstração.
Para demonstrar o teorema, consideremos duas máquinas
reversíveis A e B, com rendimentos η e η 0 , respectivamente.
Suponhamos que o rendimento da máquina A é menor do que o
rendimento da máquina B (η < η 0 ). Então:
W
> W 0;
Q1
< Q10
(4)
Como as máquinas são reversíveis, podemos acoplar uma à outra
mas com a máquina A operando como refrigerador. Logo:
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Máquinas Térmicas
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Rendimento Térmico
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Eciência de uma Máquina Térmica
Demonstração.
A fonte quente ca inalterada.
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Demonstração.
A fonte quente ca inalterada.
A fonte fria perde a quantidade
de calor.
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Q1
− Q10 de energia na forma
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Eciência de uma Máquina Térmica
Demonstração.
A fonte quente ca inalterada.
A fonte fria perde a quantidade Q1 − Q10 de energia na forma
de calor.
É produzido um trabalho W 0 − W .
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Demonstração.
A fonte quente ca inalterada.
A fonte fria perde a quantidade Q1 − Q10 de energia na forma
de calor.
É produzido um trabalho W 0 − W .
Assim, o único efeito é a produção de trabalho às custas da energia
retirada na forma de calor de uma única fonte térmica. Isso viola a
Segunda Lei da Termodinâmica. Portanto, a condição η < η 0 não
pode ser verdadeira. Suponhamos, agora que o rendimento da
máquina A é maior do que o rendimento da máquina B (η > η 0 ).
Então:
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Demonstração.
A fonte quente ca inalterada.
A fonte fria perde a quantidade Q1 − Q10 de energia na forma
de calor.
É produzido um trabalho W 0 − W .
Assim, o único efeito é a produção de trabalho às custas da energia
retirada na forma de calor de uma única fonte térmica. Isso viola a
Segunda Lei da Termodinâmica. Portanto, a condição η < η 0 não
pode ser verdadeira. Suponhamos, agora que o rendimento da
máquina A é maior do que o rendimento da máquina B (η > η 0 ).
Então:
0
0
W < W ; Q1 > Q1
(5)
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Demonstração.
A fonte quente ca inalterada.
A fonte fria perde a quantidade Q1 − Q10 de energia na forma
de calor.
É produzido um trabalho W 0 − W .
Assim, o único efeito é a produção de trabalho às custas da energia
retirada na forma de calor de uma única fonte térmica. Isso viola a
Segunda Lei da Termodinâmica. Portanto, a condição η < η 0 não
pode ser verdadeira. Suponhamos, agora que o rendimento da
máquina A é maior do que o rendimento da máquina B (η > η 0 ).
Então:
0
0
W < W ; Q1 > Q1
(5)
Como as máquinas são reversíveis, podemos acoplar uma à outra
mas com a máquina B operando como refrigerador. Logo:
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Demonstração.
A fonte quente ca inalterada.
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Demonstração.
A fonte quente ca inalterada.
A fonte fria perde a quantidade
de calor.
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0
Q1
− Q1 de energia na forma
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Demonstração.
A fonte quente ca inalterada.
A fonte fria perde a quantidade Q10 − Q1 de energia na forma
de calor.
É produzido um trabalho W − W 0 .
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Demonstração.
A fonte quente ca inalterada.
A fonte fria perde a quantidade Q10 − Q1 de energia na forma
de calor.
É produzido um trabalho W − W 0 .
Assim, novamente, o único efeito é a produção de trabalho às
custas da energia retirada na forma de calor de uma única fonte
térmica. Isso viola a Segunda Lei da Termodinâmica. Portanto, a
condição η > η 0 não pode ser verdadeira. Como η não pode ser
maior nem menor do que η 0 , resta apenas a possibilidade de η = η 0 .
Isto demonstra o Teorema de Carnot.
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Eciência de uma Máquina Térmica
Eciência de uma Máquina Térmica
Considerando que a substância de trabalho é um gás ideal, a sua
energia interna depende explicitamente apenas da temperatura, e
desse modo ela se mantém constante ao longo de uma
transformação isotérmica. Ou seja:
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
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Introdução
Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
Rendimento Térmico
O Ciclo de Carnot
Eciência de uma Máquina Térmica
Eciência de uma Máquina Térmica
Considerando que a substância de trabalho é um gás ideal, a sua
energia interna depende explicitamente apenas da temperatura, e
desse modo ela se mantém constante ao longo de uma
transformação isotérmica. Ou seja:
(
(
E T2
E T1
) = E1 = E2
) = E3 = E4
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(6)
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Máquinas Térmicas
Entropia
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O Ciclo de Carnot
Eciência de uma Máquina Térmica
Eciência de uma Máquina Térmica
Considerando que a substância de trabalho é um gás ideal, a sua
energia interna depende explicitamente apenas da temperatura, e
desse modo ela se mantém constante ao longo de uma
transformação isotérmica. Ou seja:
(
(
E T2
E T1
) = E1 = E2
) = E3 = E4
(6)
Tendo em conta a Primeira Lei da Termodinâmica dE = dQ − dW ,
encontramos:
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Máquinas Térmicas
Entropia
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Eciência de uma Máquina Térmica
Eciência de uma Máquina Térmica
Considerando que a substância de trabalho é um gás ideal, a sua
energia interna depende explicitamente apenas da temperatura, e
desse modo ela se mantém constante ao longo de uma
transformação isotérmica. Ou seja:
(
(
E T2
E T1
) = E1 = E2
) = E3 = E4
(6)
Tendo em conta a Primeira Lei da Termodinâmica dE = dQ − dW ,
encontramos:
∆E12 = Q12 − W12
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Eciência de uma Máquina Térmica
Eciência de uma Máquina Térmica
Considerando que a substância de trabalho é um gás ideal, a sua
energia interna depende explicitamente apenas da temperatura, e
desse modo ela se mantém constante ao longo de uma
transformação isotérmica. Ou seja:
(
(
E T2
E T1
) = E1 = E2
) = E3 = E4
(6)
Tendo em conta a Primeira Lei da Termodinâmica dE = dQ − dW ,
encontramos:
∆E12 = Q12 − W12 =⇒
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Eciência de uma Máquina Térmica
Eciência de uma Máquina Térmica
Considerando que a substância de trabalho é um gás ideal, a sua
energia interna depende explicitamente apenas da temperatura, e
desse modo ela se mantém constante ao longo de uma
transformação isotérmica. Ou seja:
(
(
E T2
E T1
) = E1 = E2
) = E3 = E4
(6)
Tendo em conta a Primeira Lei da Termodinâmica dE = dQ − dW ,
encontramos:
∆E12 = Q12 − W12 =⇒ Q2 ≡ Q12 = W12
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Eciência de uma Máquina Térmica
Considerando que a substância de trabalho é um gás ideal, a sua
energia interna depende explicitamente apenas da temperatura, e
desse modo ela se mantém constante ao longo de uma
transformação isotérmica. Ou seja:
(
(
E T2
E T1
) = E1 = E2
) = E3 = E4
(6)
Tendo em conta a Primeira Lei da Termodinâmica dE = dQ − dW ,
encontramos:
∆E12 = Q12 − W12 =⇒ Q2 ≡ Q12 = W12
∆E34 = Q34 − W34
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Considerando que a substância de trabalho é um gás ideal, a sua
energia interna depende explicitamente apenas da temperatura, e
desse modo ela se mantém constante ao longo de uma
transformação isotérmica. Ou seja:
(
(
E T2
E T1
) = E1 = E2
) = E3 = E4
(6)
Tendo em conta a Primeira Lei da Termodinâmica dE = dQ − dW ,
encontramos:
∆E12 = Q12 − W12 =⇒ Q2 ≡ Q12 = W12
∆E34 = Q34 − W34 =⇒
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Considerando que a substância de trabalho é um gás ideal, a sua
energia interna depende explicitamente apenas da temperatura, e
desse modo ela se mantém constante ao longo de uma
transformação isotérmica. Ou seja:
(
(
E T2
E T1
) = E1 = E2
) = E3 = E4
(6)
Tendo em conta a Primeira Lei da Termodinâmica dE = dQ − dW ,
encontramos:
∆E12 = Q12 − W12 =⇒ Q2 ≡ Q12 = W12
∆E34 = Q34 − W34 =⇒ Q3 ≡ Q34 = W34
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Q1
Q2
=
W12
W34
=
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=
W12
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=
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2
∗ ln( V
V1 )
V4 )
nRT3 ∗ ln (
V3
nRT1
(8)
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Q1
Q2
=
W12
W34
=
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2
∗ ln( V
V1 )
V4 )
nRT3 ∗ ln (
V3
nRT1
(8)
Agora, considerando as propriedades de um gás ideal, quando
submetido a uma transformação adiabática, temos que:
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Logo:
Q1
Q2
=
W12
W34
=
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2
∗ ln( V
V1 )
V4 )
nRT3 ∗ ln (
V3
nRT1
(8)
Agora, considerando as propriedades de um gás ideal, quando
submetido a uma transformação adiabática, temos que:
TV
γ−1
= cte
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Q1
Q2
=
W12
W34
=
Rendimento Térmico
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2
∗ ln( V
V1 )
V4 )
nRT3 ∗ ln (
V3
nRT1
(8)
Agora, considerando as propriedades de um gás ideal, quando
submetido a uma transformação adiabática, temos que:
TV
γ−1
= cte =⇒
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Q1
Q2
=
W12
W34
=
Rendimento Térmico
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2
∗ ln( V
V1 )
V4 )
nRT3 ∗ ln (
V3
nRT1
(8)
Agora, considerando as propriedades de um gás ideal, quando
submetido a uma transformação adiabática, temos que:
(
TV
γ−1
= cte =⇒
T2 V
γ−1
2
T2 V
γ−1
1
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= T1 V3γ−1
= T1 V4γ−1
(9)
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Logo:
Q1
Q2
=
W12
W34
=
Rendimento Térmico
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Eciência de uma Máquina Térmica
2
∗ ln( V
V1 )
V4 )
nRT3 ∗ ln (
V3
nRT1
(8)
Agora, considerando as propriedades de um gás ideal, quando
submetido a uma transformação adiabática, temos que:
(
TV
γ−1
= cte =⇒
T2 V
γ−1
2
T2 V
γ−1
1
= T1 V3γ−1
= T1 V4γ−1
(9)
Dividindo membro a membro, obtemos:
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Logo:
Q1
Q2
=
W12
W34
=
Rendimento Térmico
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2
∗ ln( V
V1 )
V4 )
nRT3 ∗ ln (
V3
nRT1
(8)
Agora, considerando as propriedades de um gás ideal, quando
submetido a uma transformação adiabática, temos que:
(
TV
γ−1
= cte =⇒
T2 V
γ−1
2
T2 V
γ−1
1
= T1 V3γ−1
= T1 V4γ−1
(9)
Dividindo membro a membro, obtemos:
V
γ−1
2
V
γ−1
1
=
V
V
γ−1
3
γ−1
4
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Logo:
Q1
Q2
=
W12
W34
=
Rendimento Térmico
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2
∗ ln( V
V1 )
V4 )
nRT3 ∗ ln (
V3
nRT1
(8)
Agora, considerando as propriedades de um gás ideal, quando
submetido a uma transformação adiabática, temos que:
(
TV
γ−1
= cte =⇒
T2 V
γ−1
2
T2 V
γ−1
1
= T1 V3γ−1
= T1 V4γ−1
(9)
Dividindo membro a membro, obtemos:
V
γ−1
2
V
γ−1
1
=
V
V
γ−1
3
γ−1
=⇒
4
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Q1
Q2
=
W12
W34
=
Rendimento Térmico
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Eciência de uma Máquina Térmica
2
∗ ln( V
V1 )
V4 )
nRT3 ∗ ln (
V3
nRT1
(8)
Agora, considerando as propriedades de um gás ideal, quando
submetido a uma transformação adiabática, temos que:
(
TV
γ−1
T2 V
γ−1
2
= cte =⇒
T2 V
γ−1
1
= T1 V3γ−1
= T1 V4γ−1
(9)
Dividindo membro a membro, obtemos:
V
γ−1
2
V
γ−1
1
=
V
V
γ−1
3
γ−1
4
=⇒ ln
V2
V1
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= ln
V3
V4
= −ln
V4
V3
(10)
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Máquinas Térmicas
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Logo:
Q1
Q2
=
W12
W34
=
Rendimento Térmico
O Ciclo de Carnot
Eciência de uma Máquina Térmica
2
∗ ln( V
V1 )
V4 )
nRT3 ∗ ln (
V3
nRT1
(8)
Agora, considerando as propriedades de um gás ideal, quando
submetido a uma transformação adiabática, temos que:
(
TV
γ−1
T2 V
γ−1
2
= cte =⇒
T2 V
γ−1
1
= T1 V3γ−1
= T1 V4γ−1
(9)
Dividindo membro a membro, obtemos:
V
γ−1
2
V
γ−1
1
=
V
V
γ−1
3
γ−1
4
=⇒ ln
V2
V1
= ln
V3
V4
= −ln
V4
V3
(10)
Por m, assim como na equação (8), temos:
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Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
Logo:
Q1
Q2
=
W12
W34
=
Rendimento Térmico
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Eciência de uma Máquina Térmica
2
∗ ln( V
V1 )
V4 )
nRT3 ∗ ln (
V3
nRT1
(8)
Agora, considerando as propriedades de um gás ideal, quando
submetido a uma transformação adiabática, temos que:
(
TV
γ−1
T2 V
γ−1
2
= cte =⇒
T2 V
γ−1
1
= T1 V3γ−1
= T1 V4γ−1
(9)
Dividindo membro a membro, obtemos:
V
γ−1
2
V
γ−1
1
=
V
V
γ−1
3
γ−1
4
=⇒ ln
V2
V1
= ln
V3
V4
= −ln
Por m, assim como na equação (8), temos:
V2 )
nRT1 ∗ ln (
Q1
W12
V1 = − T 1
=
=
V
4
Q2
W34
T2
nRT3 ∗ ln (
V3 )
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
V4
V3
(10)
(11)
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Introdução
Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
O Teorema de Clausius
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Introdução
Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
O Teorema de Clausius
Considerando agora as relações de eciência em (11), temos:
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Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
O Teorema de Clausius
Considerando agora as relações de eciência em (11), temos:
η=
W
Q1
=1+
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
Q2
Q1
=1−
T2
T1
(12)
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Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
O Teorema de Clausius
Considerando agora as relações de eciência em (11), temos:
η=
W
Q1
=1+
Q2
Q1
=1−
T2
T1
(12)
Simplicando e reagrupando as duas últimas expressões, obtemos:
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
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Introdução
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Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
O Teorema de Clausius
Considerando agora as relações de eciência em (11), temos:
η=
W
Q1
=1+
Q2
Q1
=1−
T2
T1
(12)
Simplicando e reagrupando as duas últimas expressões, obtemos:
Q1
T1
=
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
Q2
T2
(13)
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Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
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O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
O Teorema de Clausius
Considerando agora as relações de eciência em (11), temos:
η=
W
Q1
=1+
Q2
Q1
=1−
T2
T1
(12)
Simplicando e reagrupando as duas últimas expressões, obtemos:
Q1
T1
=
Q2
T2
(13)
Essa soma pode ser entendida como a soma das relações entre calor
trocado e temperatura em cada parte de um ciclo reversível, que
pode ser generalizada para parcelas innitesimais do ciclo, ou seja:
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Introdução
Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
O Teorema de Clausius
Considerando agora as relações de eciência em (11), temos:
η=
W
Q1
=1+
Q2
Q1
=1−
T2
T1
(12)
Simplicando e reagrupando as duas últimas expressões, obtemos:
Q1
T1
=
Q2
(13)
T2
Essa soma pode ser entendida como a soma das relações entre calor
trocado e temperatura em cada parte de um ciclo reversível, que
pode ser generalizada para parcelas innitesimais do ciclo, ou seja:
i ∼
Σ
=
Ti
Q
I
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
δQ
T
=0
(14)
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Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
O Teorema de Clausius
Considerando agora as relações de eciência em (11), temos:
η=
W
Q1
=1+
Q2
Q1
=1−
T2
(12)
T1
Simplicando e reagrupando as duas últimas expressões, obtemos:
Q1
T1
=
Q2
(13)
T2
Essa soma pode ser entendida como a soma das relações entre calor
trocado e temperatura em cada parte de um ciclo reversível, que
pode ser generalizada para parcelas innitesimais do ciclo, ou seja:
i ∼
Σ
=
Ti
Q
I
A expressão (14) é conhecida como
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
δQ
T
=0
(14)
.
Teorema de Clausius
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Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Para um ciclo irreversível, a eciência é menor que a do ciclo de
Carnot (no limite, isto é, se for reversível, igual). Assim, a relação
(12) deve ser modicada para:
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Introdução
Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Para um ciclo irreversível, a eciência é menor que a do ciclo de
Carnot (no limite, isto é, se for reversível, igual). Assim, a relação
(12) deve ser modicada para:
η=
W
Q1
=1+
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
Q2
Q1
≤1−
T2
T1
(15)
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Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Para um ciclo irreversível, a eciência é menor que a do ciclo de
Carnot (no limite, isto é, se for reversível, igual). Assim, a relação
(12) deve ser modicada para:
η=
W
Q1
=1+
Q2
Q1
≤1−
T2
T1
(15)
Usando procedimento similar, chega-se a:
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
Aula de Física II - A Segunda Lei da Termodinâmica
Introdução
Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Para um ciclo irreversível, a eciência é menor que a do ciclo de
Carnot (no limite, isto é, se for reversível, igual). Assim, a relação
(12) deve ser modicada para:
η=
W
Q1
=1+
Q2
Q1
≤1−
T2
T1
(15)
Usando procedimento similar, chega-se a:
i ∼
Σ
=
Ti
Q
I
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
δQ
T
≤0
(16)
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Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Para um ciclo irreversível, a eciência é menor que a do ciclo de
Carnot (no limite, isto é, se for reversível, igual). Assim, a relação
(12) deve ser modicada para:
η=
W
Q1
=1+
Q2
Q1
≤1−
T2
T1
(15)
Usando procedimento similar, chega-se a:
i ∼
Σ
=
Ti
Q
I
δQ
T
≤0
(16)
A grandeza δTQ , conforme (14), deve ser uma propriedade do
processo, uma vez que, sendo nula no caminho fechado, não
depende do caminho, mas apenas dos estados do processo.
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Introdução
Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Seja o exemplo de um ciclo formado por dois processos reversíveis
conforme a gura a seguir:
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O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Seja o exemplo de um ciclo formado por dois processos reversíveis
conforme a gura a seguir:
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Introdução
Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Seja o exemplo de um ciclo formado por dois processos reversíveis
conforme a gura a seguir:
Por (14), temos:
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Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Seja o exemplo de um ciclo formado por dois processos reversíveis
conforme a gura a seguir:
Por (14), temos:
I2 δQ
T
1
I2 A(rev )
=
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δQ
T
1
B (rev )
(17)
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Introdução
Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Seja o exemplo de um ciclo formado por dois processos reversíveis
conforme a gura a seguir:
Por (14), temos:
I2 δQ
T
1
I2 A(rev )
=
δQ
T
1
B (rev )
(17)
A grandeza entre parênteses é uma propriedade do processo, que é
denominada entropia S.
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Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Portanto, a variação de entropia em um processo reversível é:
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Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Portanto, a variação de entropia em um processo reversível é:
dS
=
δQ
T
rev
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Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Portanto, a variação de entropia em um processo reversível é:
dS
=
δQ
T
rev
=⇒
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Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Portanto, a variação de entropia em um processo reversível é:
dS
=
δQ
T
Z2 rev
=⇒ S2 − S1 =
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δQ
T
1
rev
(18)
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Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Portanto, a variação de entropia em um processo reversível é:
dS
=
δQ
T
Z2 rev
=⇒ S2 − S1 =
δQ
T
1
rev
(18)
Considera-se agora um ciclo com a parte A irreversível. Então, de
acordo com (16), temos:
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Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Portanto, a variação de entropia em um processo reversível é:
dS
=
δQ
Z2 rev
T
=⇒ S2 − S1 =
δQ
T
1
rev
(18)
Considera-se agora um ciclo com a parte A irreversível. Então, de
acordo com (16), temos:
Z2 δQ
T
1
Z2 A(irev )
+
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δQ
T
1
B (rev )
≤0
(19)
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Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Portanto, a variação de entropia em um processo reversível é:
dS
=
δQ
Z2 rev
T
=⇒ S2 − S1 =
δQ
T
1
rev
(18)
Considera-se agora um ciclo com a parte A irreversível. Então, de
acordo com (16), temos:
Z2 δQ
T
1
Z2 A(irev )
+
δQ
T
1
B (rev )
≤0
(19)
Mas a segunda parcela é o negativo da variação da entropia
segundo (18). Desta forma:
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Entropia
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Variação da Entropia para um Gás Ideal
Portanto, a variação de entropia em um processo reversível é:
dS
=
δQ
Z2 rev
T
=⇒ S2 − S1 =
δQ
T
1
rev
(18)
Considera-se agora um ciclo com a parte A irreversível. Então, de
acordo com (16), temos:
Z2 δQ
T
1
Z2 A(irev )
+
δQ
T
1
B (rev )
≤0
(19)
Mas a segunda parcela é o negativo da variação da entropia
segundo (18). Desta forma:
Z2 S2
− S1 ≥
δQ
T
1
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rev
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Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Portanto, a variação de entropia em um processo reversível é:
dS
=
δQ
Z2 rev
T
=⇒ S2 − S1 =
δQ
T
1
rev
(18)
Considera-se agora um ciclo com a parte A irreversível. Então, de
acordo com (16), temos:
Z2 δQ
T
1
Z2 A(irev )
+
δQ
T
1
B (rev )
≤0
(19)
Mas a segunda parcela é o negativo da variação da entropia
segundo (18). Desta forma:
Z2 S2
− S1 ≥
δQ
T
1
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rev
=⇒
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Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Portanto, a variação de entropia em um processo reversível é:
dS
=
δQ
Z2 rev
T
=⇒ S2 − S1 =
δQ
T
1
rev
(18)
Considera-se agora um ciclo com a parte A irreversível. Então, de
acordo com (16), temos:
Z2 δQ
T
1
Z2 A(irev )
+
δQ
T
1
B (rev )
≤0
(19)
Mas a segunda parcela é o negativo da variação da entropia
segundo (18). Desta forma:
Z2 S2
− S1 ≥
δQ
T
1
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
rev
=⇒ dS ≥
δQ
T
(20)
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Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Portanto, a relação (20) indica, de forma genérica, a variação da
entropia de um processo. Se for reversível, ocorre a igualdade; se
irreversível, vale a desigualdade. Pode-se introduzir uma parcela
para eliminar a desigualdade anterior. Assim:
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Entropia
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Variação da Entropia para um Gás Ideal
Portanto, a relação (20) indica, de forma genérica, a variação da
entropia de um processo. Se for reversível, ocorre a igualdade; se
irreversível, vale a desigualdade. Pode-se introduzir uma parcela
para eliminar a desigualdade anterior. Assim:
Z2 S2
− S1 =
δQ
T
1
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rev
+ Sg
(21)
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O Teorema de Clausius
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Portanto, a relação (20) indica, de forma genérica, a variação da
entropia de um processo. Se for reversível, ocorre a igualdade; se
irreversível, vale a desigualdade. Pode-se introduzir uma parcela
para eliminar a desigualdade anterior. Assim:
Z2 S2
− S1 =
δQ
T
1
rev
+ Sg
(21)
Onde Sg ≥ 0 é a parcela de entropia gerada devido a
irreversibilidades. Naturalmente, para um processo reversível, deve
ocorrer Sg = 0.
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Entropia
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Variação da Entropia para um Gás Ideal
Variação da Entropia para um Gás Ideal
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Máquinas Térmicas
Entropia
O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Pode-se usar a Primeira Lei da Termodinâmica para o valor de δ Q
em (18). Portanto:
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Máquinas Térmicas
Entropia
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Variação da Entropia para um Gás Ideal
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Pode-se usar a Primeira Lei da Termodinâmica para o valor de δ Q
em (18). Portanto:
Z2 S2
− S1 =
dU
+ pdV
T
1
Z2 rev
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
=
dU
T
1
Z2 rev
+
pdV
T
1
rev
(22)
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Variação da Entropia para um Gás Ideal
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Pode-se usar a Primeira Lei da Termodinâmica para o valor de δ Q
em (18). Portanto:
Z2 S2
− S1 =
dU
+ pdV
T
1
Z2 rev
=
dU
T
1
Z2 rev
+
pdV
T
1
Lembrando que, para um mo de gás ideal, temos as relações:
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
rev
(22)
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Variação da Entropia para um Gás Ideal
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Pode-se usar a Primeira Lei da Termodinâmica para o valor de δ Q
em (18). Portanto:
Z2 S2
− S1 =
dU
+ pdV
T
1
Z2 rev
=
dU
Z2 T
1
rev
+
pdV
T
1
Lembrando que, para um mo de gás ideal, temos as relações:
dU
= CV dT ;
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p
=
nRT
V
rev
(22)
(23)
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Variação da Entropia para um Gás Ideal
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Pode-se usar a Primeira Lei da Termodinâmica para o valor de δ Q
em (18). Portanto:
Z2 S2
− S1 =
dU
+ pdV
T
1
Z2 rev
=
dU
Z2 T
1
rev
+
pdV
T
1
Lembrando que, para um mo de gás ideal, temos as relações:
dU
= CV dT ;
p
=
nRT
V
rev
(22)
(23)
Daí, (22) ca:
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Variação da Entropia para um Gás Ideal
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Pode-se usar a Primeira Lei da Termodinâmica para o valor de δ Q
em (18). Portanto:
Z2 S2
− S1 =
dU
+ pdV
rev
T
1
Z2 =
dU
Z2 T
1
rev
+
pdV
T
1
Lembrando que, para um mo de gás ideal, temos as relações:
dU
= CV dT ;
p
=
nRT
rev
(22)
(23)
V
Daí, (22) ca:
Z2 S2
− S1 =
C
V dT
T
1
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Z2 rev
+
nRdV
V
1
rev
(24)
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Integrando, encontramos:
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Integrando, encontramos:
S2
− S1 = CV ∗ ln
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T2
T1
+ nR ∗ ln
V2
V1
(25)
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Variação da Entropia para um Gás Ideal
Integrando, encontramos:
S2
− S1 = CV ∗ ln
Como TT21 = pp21
T2
T1
+ nR ∗ ln
V2
V1
(25)
V2 , então:
V1
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Variação da Entropia para um Gás Ideal
Integrando, encontramos:
S2
− S1 = CV ∗ ln
T2
T1
+ nR ∗ ln
V2
(25)
V1
Como TT21 = pp21
V2 , então:
V1
V2
V2
p2
+ CV ∗ ln
+ nR ∗ ln
(26)
= CV ∗ ln
S2
− S1
p1
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V1
V1
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Integrando, encontramos:
S2
− S1 = CV ∗ ln
T2
T1
+ nR ∗ ln
V2
(25)
V1
Como TT21 = pp21
V2 , então:
V1
V2
V2
p2
+ CV ∗ ln
+ nR ∗ ln
(26)
= CV ∗ ln
S2
− S1
p1
V1
V1
E nalmente, como cp = cV + R , obtemos, assim:
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Integrando, encontramos:
S2
− S1 = CV ∗ ln
T2
T1
+ nR ∗ ln
V2
(25)
V1
Como TT21 = pp21
V2 , então:
V1
V2
V2
p2
+ CV ∗ ln
+ nR ∗ ln
(26)
= CV ∗ ln
S2
− S1
p1
V1
V1
E nalmente, como cp = cV + R , obtemos, assim:
S2
− S1 = C V
ln
p2
p1
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+ Cp
ln
V2
V1
(27)
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O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Podemos representar a entropia como função de estado de um gás
ideal através de seus parâmetros (p,V,T). Para um mol de gás
ideal, temos que:
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Variação da Entropia para um Gás Ideal
Podemos representar a entropia como função de estado de um gás
ideal através de seus parâmetros (p,V,T). Para um mol de gás
ideal, temos que:
dS
=
dQ
T
=
V (t ) +
C
T
pdV
T
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Podemos representar a entropia como função de estado de um gás
ideal através de seus parâmetros (p,V,T). Para um mol de gás
ideal, temos que:
dS
=
dQ
T
=
V (t ) +
C
T
pdV
T
=⇒
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Podemos representar a entropia como função de estado de um gás
ideal através de seus parâmetros (p,V,T). Para um mol de gás
ideal, temos que:
dS
=
dQ
T
V (t ) +
=
C
T
pdV
T
ZT2
=⇒ S2 − S1 =
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T1
V (T ) +
C
T
ZV2
V1
RdV
V
(28)
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Podemos representar a entropia como função de estado de um gás
ideal através de seus parâmetros (p,V,T). Para um mol de gás
ideal, temos que:
dS
=
dQ
T
V (t ) +
=
C
T
pdV
T
ZT2
=⇒ S2 − S1 =
T1
V (T ) +
C
T
ZV2
RdV
V1
Se CV for constante no intervalo de temperatura considerado,
temos:
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V
(28)
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Podemos representar a entropia como função de estado de um gás
ideal através de seus parâmetros (p,V,T). Para um mol de gás
ideal, temos que:
dS
=
dQ
T
V (t ) +
=
C
T
pdV
T
ZT2
=⇒ S2 − S1 =
V (T ) +
C
T
T1
ZV2
V1
RdV
V
(28)
Se CV for constante no intervalo de temperatura considerado,
temos:
T2
V2
+ R ln
(29)
S2 − S1 = CV ln
T
V
1
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1
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Podemos representar a entropia como função de estado de um gás
ideal através de seus parâmetros (p,V,T). Para um mol de gás
ideal, temos que:
dS
=
dQ
T
V (t ) +
=
C
T
pdV
T
ZT2
=⇒ S2 − S1 =
V (T ) +
C
T
T1
ZV2
V1
RdV
V
(28)
Se CV for constante no intervalo de temperatura considerado,
temos:
T2
V2
+ R ln
(29)
S2 − S1 = CV ln
T
V
1
1
Logo, a entropia molar de um gás ideal, como função de V e T, é:
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Podemos representar a entropia como função de estado de um gás
ideal através de seus parâmetros (p,V,T). Para um mol de gás
ideal, temos que:
dS
=
dQ
T
V (t ) +
=
C
T
pdV
T
ZT2
=⇒ S2 − S1 =
V (T ) +
C
T
T1
ZV2
V1
RdV
V
(28)
Se CV for constante no intervalo de temperatura considerado,
temos:
T2
V2
+ R ln
(29)
S2 − S1 = CV ln
T
V
1
1
Logo, a entropia molar de um gás ideal, como função de V e T, é:
( , T ) = CV
S V
ln T
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+ R ln V + cte
(30)
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Agora, fazendo:
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Agora, fazendo:
pdV
= −Vdp + RdT
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(31)
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Agora, fazendo:
pdV
= −Vdp + RdT
(31)
então, a entropia pode ser escrita como:
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Agora, fazendo:
pdV
= −Vdp + RdT
(31)
então, a entropia pode ser escrita como:
dS
=
V + R dT −
C
T
V
T
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dp
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Variação da Entropia para um Gás Ideal
Agora, fazendo:
pdV
(31)
= −Vdp + RdT
então, a entropia pode ser escrita como:
dS
=
V + R dT −
C
T
V
T
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dp
=
p (T )
C
T
dT
−
R
p
dp
(32)
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Agora, fazendo:
pdV
(31)
= −Vdp + RdT
então, a entropia pode ser escrita como:
dS
=
V + R dT −
C
T
V
T
dp
=
p (T )
C
T
dT
−
R
p
dp
(32)
Logo:
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Agora, fazendo:
pdV
(31)
= −Vdp + RdT
então, a entropia pode ser escrita como:
dS
=
V + R dT −
C
T
V
T
dp
=
p (T )
C
T
dT
−
R
p
dp
(32)
Logo:
ZT2
S2
− S1 =
T1
p (T )
C
T
Zp2
+
p1
Rdp
p
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O Teorema de Clausius
Variação da Entropia para um Gás Ideal
Agora, fazendo:
pdV
(31)
= −Vdp + RdT
então, a entropia pode ser escrita como:
dS
=
V + R dT −
C
T
V
T
dp
=
p (T )
C
T
dT
−
R
p
(32)
dp
Logo:
ZT2
S2
− S1 =
T1
p (T )
C
T
Zp2
+
p1
Rdp
p
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
= Cp ln
T2
T1
+ R ln
p2
p1
(33)
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Introdução
Transformações Reversíveis e Irreversíveis
Máquinas Térmicas
Entropia
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Agora, fazendo:
pdV
(31)
= −Vdp + RdT
então, a entropia pode ser escrita como:
dS
=
V + R dT −
C
T
V
T
dp
=
p (T )
C
T
dT
−
R
p
(32)
dp
Logo:
ZT2
S2
− S1 =
T1
p (T )
C
T
Zp2
+
p1
Rdp
p
= Cp ln
T2
T1
+ R ln
p2
p1
(33)
Logo, a entropia molar de um gás ideal, como função de p e T, é:
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Agora, fazendo:
pdV
(31)
= −Vdp + RdT
então, a entropia pode ser escrita como:
dS
=
V + R dT −
C
T
V
T
dp
=
p (T )
C
T
dT
−
R
p
(32)
dp
Logo:
ZT2
S2
− S1 =
T1
p (T )
C
T
Zp2
+
p1
Rdp
p
= Cp ln
T2
T1
+ R ln
p2
p1
(33)
Logo, a entropia molar de um gás ideal, como função de p e T, é:
( , ) = Cp ln T + R ln p + cte
S p T
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(34)
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Entropia
E ainda, fazendo a substituição
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V
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= RT
p em (30), obtemos:
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Entropia
= RT
p em (30), obtemos:
pV
+ R ln V + cte =
E ainda, fazendo a substituição
( , ) = CV
S p V
ln
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V
R
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Entropia
= RT
p em (30), obtemos:
pV
+ R ln V + cte =
E ainda, fazendo a substituição
( , ) = CV
S p V
= CV
ln
ln
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V
R
(pV ) + R ln V − CV
|
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ln R
{z
cte
+ cte =
}
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Entropia
= RT
p em (30), obtemos:
pV
+ R ln V + cte =
E ainda, fazendo a substituição
( , ) = CV
S p V
= CV
ln
ln
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V
R
(pV ) + R ln V − CV
|
= CV
ln p
ln R
{z
cte
+ cte =
}
+ (CV + R ) ln V + cte =
| {z }
Cp
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= RT
p em (30), obtemos:
pV
+ R ln V + cte =
E ainda, fazendo a substituição
( , ) = CV
S p V
= CV
ln
ln
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V
R
(pV ) + R ln V − CV
|
= CV
ln R
{z
cte
+ cte =
}
+ (CV + R ) ln V + cte =
| {z }
Cp


ln p

= CV 
ln p +

p
ln V  + cte

CV
|{z}
C
γ
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Daí, obtemos:
( , ) = CV (ln p + γ ln V ) + cte
S p V
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Daí, obtemos:
( , ) = CV (ln p + γ ln V ) + cte = CV (ln p + ln V γ ) + cte
S p V
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Daí, obtemos:
( , ) = CV (ln p + γ ln V ) + cte = CV (ln p + ln V γ ) + cte
S p V
Portanto, a entropia molar de um gás ideal, como função de p e V,
é:
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Daí, obtemos:
( , ) = CV (ln p + γ ln V ) + cte = CV (ln p + ln V γ ) + cte
S p V
Portanto, a entropia molar de um gás ideal, como função de p e V,
é:
γ
S (p , V ) = CV ln (pV ) + cte
(35)
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Daí, obtemos:
( , ) = CV (ln p + γ ln V ) + cte = CV (ln p + ln V γ ) + cte
S p V
Portanto, a entropia molar de um gás ideal, como função de p e V,
é:
γ
S (p , V ) = CV ln (pV ) + cte
(35)
o que nos mostra explicitamente que um processo adiabático
reversível é isentrópico, ou seja, a entropia não se altera em tal
processo.
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