A(x) - Unesp

• O volume de um sólido compreendido entre os
planos x = a e x = b e cuja área da secção
transversal por x é uma função integrável A(x),
é a integral de a até b de A,
b
V = A( x)dx
a
Capítulo 5 Cálculo – Thomas
Addison Wesley
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1. Esboce o sólido e uma secção transversal
típica.
2. Encontre uma fórmula para A(x).
3. Encontre os limites de integração.
4. Integre A(x) para determinar o volume.
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• Sólidos com mesma altura e com áreas das
secções transversais iguais em cada altura têm
o mesmo volume.
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Uma cunha foi obtida por meio do corte de um
cilindro de raio 3 por dois planos. Um deles é
perpendicular ao eixo do cilindro. O segundo
cruza o primeiro formando um ângulo de 45°
no centro do cilindro.
Determine o volume da cunha.
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Figura 5.5: A cunha do Exemplo 3, fatiada
perpendicularmente ao eixo x. As secções transversais são
retângulos.
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!
• A secção transversal típica de um sólido
perpendicular ao eixo de revolução é um disco
de raio R(x) e área
A( x) = π (
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) = π [R( x)]
2
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2
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Figura 5.6: A região (a) e o sólido (b) do Exemplo 4.
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Figura 5.7: A região (a) e o sólido (b) do Exemplo 5.
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!
1. Desenhe a região e identifique a função raio
R(x)
2. Eleve R(x) ao quadrado e multiplique por π
3. Integre para determinar o volume
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Figura 5.8: A região (a) e o sólido (b) do Exemplo 6.
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Figura 5.9: A região (a) e o sólido (b) do Exemplo 7.
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!
• Raio externo: R(x).
• Raio interno: r(x).
• Área da arruela:
[
A( x) = π [R( x)] − π [r ( x)] = π R( x) − r ( x)
2
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2
Addison Wesley
2
2
]
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Figura 5.10: As secções transversais do sólido de revolução
gerado aqui são arruelas, não discos, portanto a integral
b
A(x) dx tem uma fórmula ligeiramente diferente.
a
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!
1. Desenhe a região e esboce um segmento de
reta que a atravesse perpendicularmente ao
eixo de revolução
2. Determine os limites de integração
3. Determine os raios externo e interno da
arruela gerada pelo segmento de reta
4. Integre para determinar o volume
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Figura 5.11: A região do exemplo 8 cortada por um segmento de
reta perpendicular ao eixo de revolução. Quando a região gira em
torno do eixo x, o segmento de reta gera uma arruela.
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Figura 5.12: Os raios interno e externo da arruela gerada pelo
segmento de reta da Figura 5.11.
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Figura 5.13: A região, os limites de integração e os raios do
Exemplo 9.
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Figura 5.14: A arruela gerada pelo segmento de reta da
Figura 5.13
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