MOVIMENTOS VERTICAIS NO VÁCUO

Disciplina de Física Aplicada A – 2012/2
Curso de Tecnólogo em Gestão Ambiental
Professora Ms. Valéria Espíndola Lessa
MOVIMENTOS VERTICAIS NO VÁCUO
Agora estudaremos os movimentos na direção verticais e estaremos desprezando a resistência do ar, já que
todas as observações serão feitas para movimentos no vácuo.
QUEDA LIVRE - LANÇAMENTO VERTICAL PARA BAIXO
O Movimento de Queda Livre é caracterizado pelo abandono de um corpo a uma certa altura em relação ao
solo. Este corpo sofre a influência da atração da terra e, sob determinadas condições, apresenta o movimento
retilíneo uniformemente variado. O valor absoluto da aceleração desse movimento é denominada aceleração da
gravidade, sendo indicada por g.
Para que o corpo apresente a aceleração da gravidade e o MRUV é necessário desprezar a resistência do ar.
Sabemos que o ar oferece resistência ao movimento; no entanto, as vezes ela é tão pequena que pode ser
desprezada.
Analisemos a seguinte situação:
 Um garoto do alto do prédio abandona uma pedra. O que eu sei a
respeito ?
Sua velocidade inicial é V0 = 0
 Observa-se que a medida que a pedra vai caindo sua velocidade
aumenta.
Para velocidade aumentar é necessário que exista aceleração
com sentido para baixo.
 Se a pedra não possui motor de onde vem esta aceleração ?
É a aceleração da gravidade, g. A aceleração é constante.
IMPORTANTE:
Aceleração da gravidade é uma grandeza vetorial, com as seguintes características:
MÓDULO: g ≈ 9,8 m/s2;
DIREÇÃO: Vertical;
SENTIDO: Orientado para o centro da Terra.
Equacionamento do Movimento de Queda Livre
O corpo em queda livre poderá ser abandonado do repouso ou lançado verticalmente para baixo com certa
velocidade inicial v0.
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O eixo do movimento é vertical, orientado de cima para baixo ↓
A velocidade escalar é positiva durante toda a descida (v > 0), e a
aceleração também é positiva (a > 0) => Movimento Acelerado

Aceleração: a   g

Equação horária da velocidade: v  v0  g  t

g  t2
Equação horária do espaço: s  s0  v0  t 
como s0  0
2
g  t2
s  v0  t 
2
1

Equação de Torricelli: v²  v0 ²  2  g  s
Exemplo 1: Um objeto partindo do repouso em queda livre demora 8 s para atingir o solo. No local a aceleração da
gravidade tem módulo g = 10m/s².
(a) Determine a velocidade escalar a cada 1s de movimento, até o instante 4s.
(b) Calcule a velocidade escalar com que o ponto atinge o solo.
(c) Determine a altura inicial do objeto.
Resolução:
(a)Usar a equação horária da velocidade v  v0  g  t => v  0  10  t
Para t = 1s
Para t = 2s
Para t = 3s
Para t = 4s
=>
=>
=>
=>
v  10  1  10m / s
v  10  2  20m / s
v  10  3  30m / s
v  10  4  40m / s
(b) Usar a equação horária da velocidade, com o tempo t = 8s => v  10  8  80m / s
(c) Usar a equação horária do espaço s  v0  t 
g  t2
10  t 2
=> s  0  t 
=> s  5t ²
2
2
s  5t ² => s  5  8²  5  64  320m
Exemplo 2: Um helicóptero está "parado" no ar a uma altura de 100m. De sua cabine, uma bolinha de ferro é atirada
verticalmente para baixo com uma velocidade inicial de 5m/s. No local a aceleração da gravidade pode ser
considerada constante e g = 10m/s². Considere desprezível a resistência do ar.
(a) Calcule o intervalo de tempo decorrido na queda livre da bolinha.
(b) Calcule a velocidade escalar com que a bolinha atinge o solo.
(a) Usar a equação horária do espaço: s  v0  t 
g  t2
10  t 2
=> 100  5  t 
2
2
5t ²  5t  100  0  t ²  t  20  0
t1  5
Resolver a equação fazendo a fórmula de bháskara
t2  4
Como não usamos tempo negativo, a bolinha leva 4s para atingir o solo.
(b) Usar a equação horária da velocidade, para t = 4s
v  v0  g  t => v  5  10  t => v  5  10  4 => v  45m / s
LANÇAMENTO VERTICAL PARA CIMA
Neste item iremos estudar o movimento de um corpo sendo lançado verticalmente para cima, sem
resistência do ar.
2
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Um garoto lança uma pedra verticalmente. O que eu sei a
respeito ?
Sua velocidade inicial é V0 ≠ 0
Observa-se que a medida que a pedra vai subindo sua velocidade
diminui.
Para velocidade diminuir é necessário que exista
aceleração com sentido para baixo, ou seja, desaceleração.
Se a pedra não possui motor de onde vem esta desaceleração ?
É a aceleração da gravidade com sentido oposto, - g. A
aceleração é constante.
Qual a velocidade, no ponto mais alto da trajetória de um
Lançamento Vertical p/ cima ?
A velocidade é igual a zero.
Qual o tipo de movimento na subida ?
Movimento Retardado.
Qual o tipo de movimento na descida ?
Movimento Acelerado.
Equacionamento do Lançamento Vertical para cima
 O eixo do movimento é vertical, orientado de baixo para cima ↑
 A velocidade escalar é positiva durante toda a subida (v > 0), pois está
no mesmo sentido da trajetória, mas a aceleração é negativa (a < 0) =>
Movimento Retardado
 Aceleração: a   g
 O Movimento de descida é acelerado, mas com velocidade negativa,
pois vai contra a trajetória ↑
 O tempo de subida é igual ao tempo de descida tsub  tdesc
 A velocidade de retorno do objeto lançado é igual a velocidade inicial
vret  v0
 Equação horária da velocidade: v  v0  g  t
 Equação horária do espaço: s  s0  v0  t 
g  t2
2
 Equação de Torricelli: v²  v0 ²  2  g  s
Tanto na subida como na descida temos a mesma aceleração (a = -g) O que muda de sinal é a velocidade.
IMPORTANTE:
O módulo da aceleração da gravidade varia com a altitude do local onde ela está sendo medida, mas em nosso
estudo iremos considerá-la constante.
3
Exemplo 3: Uma partícula P é lançada a partir do solo, verticalmente para cima, no vácuo, com velocidade de 12
m/s. A aceleração é 10 m/s². Adote t = 0 no instante do lançamento.
(a) Determine a velocidade escalar da partícula nos instantes t = 1 s e t = 1,4 s.
(b) Determine o tempo gasto pela partícula para atingir o ponto de inversão do sentido do movimento, ou seja, o
pico da trajetória.
(c) Determine a máxima altura atingida pela partícula P.
Resolução
(a) v = 12 - 10t => Para t = 1, temos v = 2 m/s (subindo)
Para t = 1,4, temos v = -2 m/s (descendo)
(b) Velocidade nula, v = 0 => 0 = 12 - 10t => t = 1,2 s (tempo para a inversão)
(c) Usando Torricelli v²  v0 ²  2  g  s temos: 0 = 12² - 2. 10. ∆s => ∆s = 7,2 m
OBS: Poderíamos ter usado a equação horária da velocidade também.
Exemplo 4: Uma bolinha de aço é atirada verticalmente para cima, tendo partido do solo. Em seu movimento
despreza-se a resistência do ar, de tal modo que ele poderá ser chamado de vôo livre vertical. Sabe-se que o corpo
atingiu a máxima altura de 20m e que g = 10m/s².
(a) Determine a velocidade escalar inicial com que a bolinha foi lançada.
(b) Calcule o tempo total de vôo livre da bolinha.
Resolução:
(a) Usar a equação de Torricelli, pois temos v = 0, ∆s = 20, g = 10, e queremos achar v0.
v²  v0 ²  2  g  s 0² = v0² - 2 . 10 . 20
=> 0 = v0² - 400 => v0   400 => v0  20
De acordo com a orientação da trajetória, v0 > 0 => v0 = 20 m/s
(b) Podemos encontrar o tempo que a bolinha leva para subir (ir até onde se tem v = 0) e multiplicar este valor por
dois, considerando que ela levará o mesmo tempo para descer. Ou podemos encontrar o tempo de toda a trajetória,
subida e descida, usando, para isso, a velocidade de choque com o solo, que é o oposto da velocidade inicial.
1º forma: v  v0  g  t => 0 = 20 - 10t => t = 2s => Tempo de 4s
2ª forma: v  v0  g  t => -20 = 20 - 10t => t = 4s
EXERCÍCIOS DE MOVIMENTOS VERTICAIS NO VACUO
1) Uma pedra é lançada do solo, verticalmente para cima, com velocidade de 18 m/s. Desprezando a resistência do
ar e adotando g = 10 m/s², determine:
(a) as funções horárias do movimento;
(b) o tempo de subida;
(c) a altura máxima;
(d) em t = 3s, contados a partir do lançamento, o espaço (posição) da pedra e o sentido do movimento;
(e) o instante e a velocidade escalar quando o móvel atinge o solo.
2) Um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade de 20 m/s, de um ponto situado a
160 m do solo. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s².
(a) Qual o tempo gasto pelo corpo para atingir o solo ?
(b) Qual a velocidade do corpo no instante 5 s ?
(c) Qual a velocidade do corpo ao atingir o solo?
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3) Uma pedra é abandonada do topo de um prédio e gasta exatamente 4 segundos para atingir o
solo. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s². Determine:
(a) a altura do prédio;
(b) o módulo da velocidade da pedra ao atingir o solo.
4) Uma bola de tênis é arremessada verticalmente para cima, partindo do chão, com uma velocidade de 20 m/s. Em
que instantes a bola estará a 15 m acima do chão ?
5) Dois móveis A e B são lançados verticalmente para cima, com a mesma velocidade inicial de 15 m/s, do mesmo
ponto. O móvel A é lançado no instante t = 0 e o móvel B é lançado 2 s depois. Determine, a contar do ponto de
lançamento, a posição e o instante do encontro dos móveis. Adote g = 10 m/s² e despreze a resistência do ar.
6) (UNICAMP-SP) Uma torneira, situada a uma altura de 1 m acima do solo, pinga lentamente à razão de 3 gotas por
minuto. Considere, g = 10 m/s².
(a) Com que velocidade uma gota atinge o solo ?
(b) Que intervalo de tempo separa as batidas de duas gotas consecutivas no solo ?
7) Se, em certo planeta, uma esfera cai livremente, a partir do repouso, de uma altura de 128 m e leva 8 s para
percorrer essa distância, quanto vale, nas circunstâncias consideradas, a aceleração da gravidade local?
Gabarito:
1) (a) v = 18 - 10t; s = 18t - 5t² ; (b) t = 1,8s; (c) s = 16,2 m; (d) s = 9 m; (e) 3,6 s e - 18 m/s.
2) (a) 8s; (b) v = - 30 m/s; (c) v = - 60 m/s
3) (a) s = 80 m; (b) v = 40 m/s
4) 1 e 3 s
5) t = 2,5s e s = 6,25m
6) (a) aprox. 4,47 m/s; (b) 20 segundos
7) g = 4 m/s²
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