Visualizar páginas

CURSO PROGRESSÃO
Prof. Ivan Mendes
PREFÁCIO
Ao longo dos séculos, a convivência em sociedade provocou na humanidade a necessidade da
criação de um mecanismo capaz de gerenciar numerais. Existem indicações de que os sistemas de
numeração surgiram para registrar objetos, que inicialmente eram pedaços de pau e ossos talhados, peças
de barro e cordas com nós.
Com o passar do tempo, teve início o agrupamento de determinados números de unidades.
Primeiro os grupos eram relacionados às mãos e aos pés: cinco em cinco, dez em dez, vinte em vinte.
Contudo, em se tratando de quantidades maiores, era difícil juntar paus e ossos ou identificar o número de
traços facilmente.
As civilizações antigas começaram, então, a criar símbolos que representavam esses agrupamentos
de objetos. Surgiram assim os sistemas numéricos destas civilizações, como é o caso do sistema egípcio, o
sistema romano, o sistema chinês. E desde o surgimento das primeiras contagens até o aparecimento do
nosso sistema numérico decorreram milhares de anos.
A origem do nosso sistema de numeração posicional, assim como hoje nós usamos, remonta do
século V, e chama-se Indo-Arábico devido aos méritos de duas grandes civilizações: Indiana e Arábica.
Neste livro, o Prof. Ivan Mendes procura abordar de maneira ampla o sistema de numeração
decimal posicional, abrangendo conhecimentos obtidos através de pesquisas realizadas em livros didáticos
de outros países, graduando as dificuldades através de níveis, e esgotando os temas através de exercícios
exaustivos de fixação cuidadosamente selecionados, que auxiliam o leitor a fixar os conceitos e a
materializar sua aplicação prática, enriquecendo assim a formação obtida pela leitura. O leitor também terá
a oportunidade de acompanhar o crescimento das dificuldades entre os seus diversos níveis, participando
da construção do conhecimento pelo preenchimento de lacunas com a teoria, que direcionam a leitura.
Quem, como eu, conhece o Prof. Ivan Mendes, sabe da sua satisfação pessoal em transmitir
conhecimentos adquiridos ao longo de sua carreira como professor, estabelecendo de forma didática uma
relação entre o assunto e a História das Civilizações. É uma carreira coroada de êxitos e de aprovações,
que agora culminam na publicação da sua terceira obra, que ora tenho o prazer e a honra de prefaciar.
Aos leitores, meus parabéns por estarem adquirindo uma obra de qualidade, que com certeza vai
transformar, em quem a lê, a visão tradicional do sistema de numeração posicional, o que irá contribuir
significativamente para a desmistificação deste tópico da aritmética, apontando também o caminho a seguir
para que os conhecimentos sejam utilizados no cotidiano com maior segurança pelo conhecimento pleno
do conteúdo.
Profª Sonia Santos
1
CURSO PROGRESSÃO
Prof. Ivan Mendes
APRESENTAÇÃO
A Apostila “ARITMÉTICA EM TRÊS PARTES” foi criada para apoiar os candidatos que
concorrerão as vagas dos concursos do COLÉGIO NAVAL e da EPCAR.
Registramos que este material é a primeira de uma coleção de três partes da Aritmética que
serão publicados futuramente.
Agradecemos desde já as críticas e as sugestões dos nossos leitores no e-mail:
[email protected].
Prof. Ivan Mendes
AGRADECIMENTOS
Esta obra é dedicada, em memória, aos meus pais, Walter Larsen Mendes e Izabel Figueira
Mendes por sempre terem lutado pelo meu aprendizado, dando-me a liberdade de escolher uma profissão
sem restrições.
A minha esposa Martha e aos nossos filhos, Marcelo e Gabriel, pela compreensão aos meus
estudos, que por algumas vezes, retirou-me do cenário familiar.
Aos meus alunos, que são minha fonte de aprendizado, em especial, Thiago Severgnini,
Thiago Silva e Iury Kersnowsky por revelarem a sua gratidão de forma singular.
Prof. Ivan Mendes
2
CURSO PROGRESSÃO
Prof. Ivan Mendes
ARITMÉTICA EM TRÊS PARTES
PRIMEIRA PARTE
ÍNDICE
 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
 NÚMEROS NATURAIS E INTEIROS
 NÚMEROS FRACIONÁRIOS
 NÚMEROS DECIMAIS
 DÍZIMAS
 EXTRAÇÃO DE RAIZ QUADRADA E CÚBICA
3
CURSO PROGRESSÃO
Prof. Ivan Mendes
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
É constituído por um conjunto de regras e símbolos por meio dos quais pode-se ler, falar e
escrever os números.
BASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO
É o número de unidades necessárias de uma certa ordem, para que possa formar uma unidade
de ordem imediatamente superior, ou seja, é o número de elementos do conjunto tomado como
padrão.
REPRESENTAÇÕES DE BASES DE NUMERAÇÃO
 Número 23 na Base 10:
23 ou 23(10) ou 23[10] ou 2310
 Número 23 na Base 7:
23(7) ou 23[7] ou 237 ou (23)7
VALOR DO ALGARISMO NO NÚMERO
 VALOR ABSOLUTO: Não depende da sua posição no numeral.
Ex.: O valor absoluto do algarismo 4 no número 346 é 4.
 VALOR RELATIVO: Depende da sua posição no numeral.
Ex.: O valor relativo do algarismo 4 no número 346 é 40.
SUCESSÃO DOS NÚMEROS
É um conceito dos números naturais ou inteiros pelo acréscimo de mais uma unidade.
Ex1.: O sucessor(consecutivo) do nº 4 é o nº 5;
Ex2.: O antecessor do nº 4 é o nº 3.
4
CURSO PROGRESSÃO
Prof. Ivan Mendes
QUANTIDADE DE NÚMEROS EM UMA SUCESSÃO DE NATURAIS
É igual ao último número menos o primeiro mais um.
Ex1.: De 5 até 12  12 – 5 + 1 = 8 números
Nota1: A utilização das palavras inclusive (não altera a sucessão) e exclusive (exclui-se o número
designado).
Ex2.: De 5 exclusive a 12 inclusive = 12 – 5 + 1 – 1
Ex3.: De 5 a 12 exclusive = 12 – 5 + 1 – 1
Ex4.: De 5 a 12, ambos exclusives = 12 – 5 + 1 – 2
Nota2: Cuidado com a palavra entre, pois excluímos o primeiro e o último número.
Ex5.: Quantos números há entre 5 e 12?
Resposta: 12 – 5 + 1 – 2  7 números
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
BASES DE NUMERAÇÃO COM MENOS DE DEZ ALGARISMOS
Ex1: Base 5  {0, 1, 2, 3, 4}
Ex2: Base 8  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
BASES DE NUMERAÇÃO COM MAIS DE DEZ ALGARISMOS
Em função do aumento da base, criam-se símbolos (algarismos) em ordem crescente.
Ex1: Base 12  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B}
Ex2: Base 13  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ?, $, #}
5
CURSO PROGRESSÃO
Prof. Ivan Mendes
NOMENCLATURA DE ALGUMAS BASES DE NUMERAÇÃO
 Base 2 : Binária
 Base 10 : Decimal
 Base 3: Ternária
 Base 12 : Duodecimal
 Base 4: Quaternária
 Base 16 : Hexadecimal
 Base 5: Quinária
 Base 20 : Vigesimal
 Base 8: Octal
 Base 60 : Sexagesimal
TRANSPOSIÇÃO DE SISTEMAS DE NUMERAÇÕES COM BASES DIFERENTES
MUDANÇAS DE
BASES
Base 10 para
base qualquer
Divisões
sucessivas
Base qualquer para outra
base qualquer
Base qualquer
para base 10
GERAL
Forma
Polinomial
Resolução
Indireta
1ª) BASE 10 PARA OUTRA BASE QUALQUER (Divisões Sucessivas)
Consiste em transpor um número que esteja na base 10 para outra que você queira. Esta
transposição é feita pela simples divisão do número que está na base 10 pela base desejada, sendo o
quociente novamente dividido pela base desejada e assim sucessivamente, até a impossibilidade da
divisão.
6
CURSO PROGRESSÃO
Prof. Ivan Mendes
Desta forma, o número transposto para outra base será composto do último quociente com os
restos das divisões anteriores. Veja o exemplo:
Ex.: 45 da base 10 para a base 4.
45
4
05
11
4
1
3
2
(231)4
2ª) BASE QUALQUER PARA BASE 10 (Forma Polinomial)
Consiste em transpor um número de uma base diferente de dez para a base dez. Esta
transposição é feita pelo somatório das multiplicações da base pelos algarismos, obedecendo à ordem
destes algarismos. Veja o exemplo:
Ex.: 21 da base 5 para a base 10.
(2 1)5  50 x 1 + 51 x 2  1 + 10  11
3ª) BASE QUALQUER PARA OUTRA BASE QUALQUER (Resolução Indireta)
Consiste em transpor um número de uma base diferente de dez para outra também diferente
de dez. Observe:
Ex.: 432 da base 5 para a base 6.
Consiste em transpor, primeiramente, para a base dez.
(4 3 2)5  50x 2 + 51 x 3 + 52 x 4  2 + 15 + 100  117
Depois transpor para a base desejada, neste caso, base 6.
117
6
57
19
6
3
1
3
7
(313)6
CURSO PROGRESSÃO
Prof. Ivan Mendes
EXERCÍCIOS I
01)
Comparando os sistemas de numeração Nosso e Romano, podemos afirmar que:
I- A base é dez em ambos;
II- São posicionais;
III- Possuem um símbolo para o nada.
São verdadeiras:
a)
b)
c)
d)
e)
02)
a)
b)
c)
d)
e)
03)
a)
b)
c)
d)
e)
04)
Todas
Nenhuma
I e II somente
I e III somente
II e III somente
A menor base possível de um sistema de numeração é:
Base 0
Base 1
Base 2
Base 3
Base 10
Assinale o numeral escrito incorretamente:
(1342)6
(1342)4
(1010)5
(1)8
(13)13
Transpor da base dez para outra base qualquer menor que dez:
a) 5105 para a base 5 (quinária):
b) 740 para a base 4 (quaternária):
c) 7 para a base 8 (octal):
8
CURSO PROGRESSÃO
Prof. Ivan Mendes
d) 25 para a base 2 (binária):
e) 35 para a base 3 (ternária):
f)
93 para a base 3:
g) 26 para a base 8:
h) 34 para a base 7:
05)
Transpor da base dez para outra base qualquer maior que dez, adotando, quando necessário, os
seguintes símbolos, em função do aumento da base: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D,......}
a) 2210 para a base 11:
b) 24110 para a base 12:
c) 9 para a base 15:
d) 12 para a base 14:
e) 136 para a base 13:
06)
Transpor de uma base qualquer menor que 10 para a base dez:
a) (2101)3 para a base dez:
b) (10012)5 para a base dez:
9
CURSO PROGRESSÃO
Prof. Ivan Mendes
c) 79 para a base dez:
d) (35)4 para a base dez:
e) [12(3)]2 para a base dez:
07)
Transpor de uma base qualquer maior que 10 para a base 10, adotando, quando necessário, os
seguintes símbolos, em função do aumento da base: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , , θ, Ω, ☼,♀, ♫,
α,.........}:
a) (107)13 para a base 10:
b) (♀3)17 para a base 10:
c) (4)14 para a base 10:
d) 5(15) para base 10:
e) ()12 para a base 10:
f) ()16 para a base 10:
08)
Transpor de uma base qualquer maior que 10 para outra base qualquer, adotando, quando
necessário, os seguintes símbolos, em função do aumento da base: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b,
c, d, e, .....}:
a) (234)5 para a base 8:
b) (1301)6 para a base 4:
10
CURSO PROGRESSÃO
Prof. Ivan Mendes
c) (512) para a base 8:
d) (511) para a base 13:
e) (1b4)13 para a base 6:
f) (ca2)15 para a base 16:
g) (ca2)15 para a base 11:
h) (10000)3 para a base 9:
i) (1000000
⏟
… … 000)3 para a base 9:
30 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
09)
Passando para o sistema decimal, o maior número que se pode escrever na base 4 de três
algarismos é o:
10)
Qual é o número, no nosso sistema de numeração, que transposto para dois outros sistemas de
numeração consecutivos se apresentam como 443 e 333?
11
CURSO PROGRESSÃO
Prof. Ivan Mendes
QUESTÃO DUELO
01) Criou-se um sistema de numeração posicional vertical com cinco símbolos em ordem crescente 0, a, b, c e d com
aumento das ordens de baixo para cima, pois cada 5 unidades de uma ordem forma uma unidade de ordem
imediatamente superior. Por exemplo:
b → 3ª ordem
a → 2ª ordem
c → 1ª ordem
Desta forma, passando o numeral do exemplo acima para a nossa base decimal, teremos:
EXERCÍCIOS II
01)
(CN/62) Escrever, na base 8, o número que na base 10 se escreve 378:
02) A tabela abaixo está escrito no sistema binário. Determine o último elemento que satisfaça à
sequência:
1010
101
10
1
1011
110
11
100
1100
111
1101
1110
1000 1001
1111
?
03) Escreva o numeral 745 no sistema de base 16, sabendo que, neste sistema, os dígitos são: 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
04) Passando para o sistema decimal, o maior número que se pode escrever com dois algarismos na
base 5 é:
12
CURSO PROGRESSÃO
Prof. Ivan Mendes
05) O número !$? representa o número 91 escrito na base 6, então o número 51 escrito nesta base
ficará representado por:
06) “O setor público registra déficit de R$ 33,091 bilhões em 1994”. Se x é igual ao número de zeros
dessa quantia, desprezados os zeros dos centavos, então o número x escrito no sistema binário é:
07) Usando lâmpadas elétricas, de modo que as que estiverem acesas (
binário 1, e as apagadas o dígito binário 0. (Veja a figura abaixo)
) representem o dígito
Determine o número correspondente na base 5:
08) No País da Matemática, todos os números são escritos numa determinada base b. Sérgio, um de
seus habitantes, compra um produto anunciado por 440 unidades monetárias, paga com uma nota de
1.000 unidades monetárias e recebe de troco 340 unidades monetárias. Determine a base b do País da
Matemática:
09) (CN/89) O cubo de 12b é 1750b. A base de numeração é:
a)
b)
c)
d)
e)
primo
ímpar e não primo
par menor que 5
par entre 5 e 17
par maior que 17
13
CURSO PROGRESSÃO
Prof. Ivan Mendes
10) (CN/99) Considere um sistema de numeração, que usa os algarismos indo-arábicos e o valor
posicional do algarismo no numeral, mas numera as ordens da esquerda para a direita. Por exemplo:
no número 3452 tem-se:
1ª ordem: 3
2ª ordem: 4
3ª ordem: 5
4ª ordem: 2
Além disso, cada 7 unidades de uma ordem forma uma unidade da ordem registrada
imediatamente à direita. Com base nesse sistema, coloque (E) quando a operação for efetuada
erradamente e (C) quando efetuada corretamente. Lendo o resultado final da esquerda para a direita,
encontramos:
a)
b)
c)
d)
e)
245
- 461
543
620
+ 555
416
360
X
4
543
( )
( )
( )
E, E, E
E, C, C
C, E, C
C, C, E
C, C, C
11) Transpor o numeral 36110 da base 10 para a base 12, sendo que os símbolos ?e $ representam, em
ordem crescente, os novos algarismos decorrentes do aumento da base:
12) O professor Sérgio Lins, para trabalhar sistema de numeração na sala de aula, simula um motor de
empacotamento de uma fábrica de lápis. Para isso, pede aos alunos que adotem o seguinte
procedimento. Juntar todos os lápis que possuem, colocar cada conjunto de cinco lápis em um
estojo, reunir cada conjunto de cinco estojos em um pacote e acondicionar cada conjunto de cinco
pacotes em uma caixa.
Num certo dia, ao final do exercício de simulação, estavam formados uma caixa, três estojos,
dois pacotes e ainda sobraram quatro lápis. O total de lápis embalados pelos alunos, nesse dia, é
igual a:
14
CURSO PROGRESSÃO
Prof. Ivan Mendes
13) No país do triângulo, os números 14 e 123 são escritos como indicados nas figuras A e B,
respectivamente. Encontre o número representado pela figura C:
5
3
4
1
1
Figura A
2
Figura B
2
3
Figura C
14) Um sistema de numeração consiste dos símbolos ,e  com regras:
1ª- Não podemos ter três ou mais símbolos repetidos;
2ª- Cada  vale , cada  vale.
Se tivéssemos a quantidade de 23 unidades de contagem (), a escrita desse sistema seria:
15) Um ourives dispõe de peças de ouro pesando 1g, 5g, 25g, 125g e 625g. Para confeccionar uma joia
de 919g de ouro, quantas peças inteiras de cada tipo, no mínimo, ele deve utilizar?
16) Determine o valor de x, sabendo-se que (xxxx)3= 80 :
17) Um conjunto de lápis está sendo numerado da seguinte forma: 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
20, 21, 22, 23,........ O trecentésimo lápis receberá a representação numeral:
15