Aula 9 _ Geometria Analítica

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Tecnologia em Construções de Edifícios
Aula 9
Geometria Analítica
Professor Luciano Nóbrega
2º Bimestre
Professor Luciano Nóbrega
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GEOMETRIA ANALÍTICA
INTRODUÇÃO
A geometria avançou muito pouco desde o final
da era grega até a Idade Média. René Descartes, em 1637,
revolucionou a MATEMÁTICA ao criar uma conexão entre a
GEOMETRIA e a ÁLGEBRA, ele demonstrou como aplicar os
métodos de uma disciplina na outra. Este é o fundamento
da geometria analítica, na qual representam-se as figuras
através de expressões algébricas.
x2 = 4py
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COORDENADAS CARTESIANAS
y → Eixo das ordenadas
2º Quadrante
x < 0 ⟵ Q(x, y)
y>0
1º Quadrante ⟶ x > 0
y>0
P(x, y)
x → Eixo das abscissas
x<0
y < 0 ⟵ R(x, y)
3º Quadrante
S(x, y) ⟶ x > 0
y<0
4º Quadrante
Todo ponto possui uma coordenada dada por um par
ordenado (x, y).
Vejamos o comportamento das coordenadas em
cada quadrante:
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COORDENADAS CARTESIANAS
EXEMPLO:
Dados os pontos A(–3,–2), C(2,–2), E(4, 2), G(2, 5), I(0, 3), J(–1, 4) e L(–5, 3).
a) Marque no plano cartesiano abaixo os pontos supra citados.
b) Determine as coordenadas dos pontos B, D, F, H, K e M.
c) Ligue os pontos na ordem alfabética. Feche a figura, ligando os pontos M e A.
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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
y
C(7, 5)
A(3, 2)
Qual a distância entre os pontos:
B(7, 2)
x
a) A e B ?
b) B e C ?
c) A e C ?
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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
y
B(xB, yB)
A(xA, yA)
C(xC, yC) =C(xB, yA)
x
Generalizando:
Sempre é possível pegarmos um ponto C, de tal maneira
que o triângulo ABC seja um triângulo retângulo.
Pelo Teorema de Pitágoras:
(dAB)² = (xC – xA)² + (yB – yC)²
(dAB)² = (dAC)² + (dBC)²
(dAB)² = (xB – xA)² + (yB – yA)²
dAB = √(xB – xA)² + (yB – yA)²
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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
EXEMPLO:
Um ponto P (a, 2) é equidistante dos pontos A (3, 1) e B (2, 4).
Qual o valor de “a” ?
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PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETA
Considere o segmento de reta com extremos A (xA, yA) e
B (xB, yB), e o ponto médio M (xm, ym). Sendo assim,
temos:
Pelo teorema de Tales:
AM = MB
AD = CD
xm – xA = xB – xm
2xm = xA + xB
M
xm = xA + xB
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D
Analogamente, fica como
exercício que vocês mostrem
que
ym = yA + yB
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PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETA
EXEMPLO:
Determine o comprimento da mediana AM do triângulo cujos
vértices são os pontos A (2, 3), B (4, –2) e C (0, –6)
EXEMPLO:
Dado o ponto A (–1, 1), determine as coordenadas do ponto B,
sabendo que M (–1, –1) é o ponto médio do segmento AB.
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CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Observe o gráfico:
Os triângulos ABE e ACD são
semelhantes, pois possuem
os mesmos ângulos.
Segue que:
xB – xA = yB – yA
AE = BE
xC – xA yC – yA
AD CD
y
B
yB
C
yC
yA
(xB – xA)(yC – yA) = (yB – yA)(xC – xA)
A
D
xA
xC
E
xB
(xB – xA)(yC – yA) – (yB – yA)(xC – xA) = 0
Vamos guardar esse resultado!
x
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CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Desenvolvendo o seguinte determinante:
Repetimos as duas 1ªs colunas:
xA yA 1
xC.yB +yC.xA +xB.yA
xB yB 1 = 0
xA
yA 1 xA yA
xC yC 1
xB
yB 1 xB yB = 0
xC
yC 1 xC yC
(continuação) Daí, temos que:
xA.yB +yA.xC +xB.yC
DP – DS = 0
xA.yB+ yA.xC+ xB.yC
(xB – xA)(yC – yA) – (yB – yA)(xC – xA) = 0
– xC.yB – yC.xA – xB.yA = 0
Vamos guardar esse resultado!
Ora, desenvolvendo a expressão “guardada”,obtemos o
mesmo resultado.
Condição de
xA yA 1
Podemos concluir que:
alinhamento de
xB yB 1 = 0
três pontos
x
y 1
C
C
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CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
EXEMPLO:
Determine os valores de “k” para que os pontos A (k, 7),
B (2, –3) e C (k, –1) sejam os vértices de um triângulo.
EXEMPLO:
Determine dois pontos que estejam alinhados com os pontos
A (1, 4) e B (0, 3)
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EQUAÇÃO DA RETA
Daí, temos que:
DP – DS = 0
xA.yB + yA.x + xB.y
– x.yB –y.xA –xB.yA = 0
(continuação)
B(xB, yB)
y
A(xA, yA)
(yA – yB).x + (xB – xA).y + (xA.yB -xB.yA) = 0
Ax+By+ C = 0
x
Pegando um terceiro ponto, um ponto P(x, y) qualquer sobre a
reta, temos pela condição de alinhamento de três pontos que:
xA yA 1
Resolvendo o determinante, temos:
x.yB +y.xA +xB.yA
xB yB 1
=0
xA yA 1 xA yA
x
y 1
xB yB 1 xB yB = 0
x y 1 x y
xA.yB +yA.x +xB.y
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EQUAÇÃO DA RETA
EXEMPLO:
Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A(-1, 3) e B(3, 2).
EXEMPLO:
Considere uma reta r que passa pelos pontos (-1, -2) e (4, 2) e
intercepta o eixo das ordenadas no ponto P. Determine as
coordenadas do ponto P.
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EQUAÇÃO DA RETA
INCLINAÇÃO DA RETA
A inclinação de uma reta ou, em outras palavras, o
coeficiente angular de uma reta é dado por:
y
y1  y0
tg 
x1  x0
Passando o denominador
para o outro lado e fazendo
tg Θ = m, temos:
y1 – y0 = m.(x1 – x0)
y1
Θ
y0
x0
x1
x
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EQUAÇÃO DA RETA
EXEMPLO:
Sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A (k, 2) e
B (–1, 3) é de 45º. Determine o valor de “k”, a equação da reta e as
coordenadas do ponto em que a reta intercepta o eixo das
abscissas.
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EQUAÇÃO DA RETA
Sabendo que a equação da reta pode ser obtida por:
y – yP = m.(x – xP)
Ela intercepta o eixo y no ponto P (0, n). Daí, temos:
y – n = m.(x – 0)
y – n = m.x
y = m.x – n
EQUAÇÃO reduzida DA RETA
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
PARALELAS ⟶ m1 = m2 e n1 ≠ n2
COINCIDENTES ⟶ m1 = m2 e n1 = n2
CONCORRENTES ⟶ m1 ≠ m2
PERPENDICULARES ⟶ m1 . m2 = –1
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EQUAÇÃO DA RETA
EXEMPLO:
Dado o ponto A (3, 5) e a reta “r” de equação x + y – 2 = 0,
determine a equação da reta “s” que passa por “A” e é
perpendicular a reta “r”.
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DISTÂNCIA ENTRE O PONTO E A RETA
Vejamos SEM a fórmula:
Considere o ponto P (4, 6) e a reta r de equação x + y – 1 = 0,
determine a distância entre o ponto P e a reta r. Para isso, faça o
que se pede em cada item, determine:
a) o coeficiente angular da reta r;
b) o coeficiente angular de uma reta perpendicular a reta r;
c) a equação de uma reta “s” perpendicular a reta r e que
passe pelo ponto P;
d) a interseção entre as retas “s” e “r”;
e) a distância entre o ponto P e a reta r.
f) Agora, utilize a fórmula
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EQUAÇÃO DA RETA
EXEMPLO:
Qual a distância do ponto P (–2, 3) à reta r de equação 3x + 4y – 8 = 0?
EXEMPLO:
Qual a distância entre as retas de equações 4x – 3y + 9 = 0 e
4x – 3y – 6 = 0 ?
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