Pré-Cálculo

Universidade Federal do Vale do São Francisco
Câmpus Petrolina – PE
Colegiado de Administração
Prof. Pedro Macário de Moura
Matemática Aplicada a ADM – 2015.2
Discente ___________________________________________CPF
Turma A1 – Sala 22 Pavilhão 02 – Data 22 de outubro de 2015
Pré-Cálculo:
Uma Revisão de Conceitos Matemáticos
Para as Disciplinas de Cálculo
Diferencial e Integral
Se quer viver uma vida feliz, amarre-se a uma meta,
não a pessoas nem a coisas. Albert Einstein
Petrolina-PE, Outubro de 2015.
Sistematização dos Conjuntos Numéricos
Conjuntos Numéricos
Os números naturais surgiram na história da humanidade em tempos muito antigos.
São chamados naturais.
. Juntando aos números naturais o zero e os
inteiros negativos
obtemos o conjunto de todos os números inteiros.
. Se ao conjunto dos números inteiros acrescentarmos as
frações, obtemos o chamado conjunto dos números racionais. Número racional é, então, todo
número que possa ser representados na forma , onde e são inteiros, com
Em
símbolos:
e
São exemplos de números racionais. São
3 2 1 3 8
; ; ;
;
; 3;  5; 0 ; 7,26  726 ; 0,77777 ....  7
5 7 5 2 3
100
9
Além das representações decimais finitas e periódicas, têm-se representações decimais
exemplos de números racionais:
infinitas, porém não periódicas como: 0 ,2179874638 596079 .... Estes são chamados números
irracionais não há símbolo para representa-los. O primeiro número irracional descoberto foi
2 . Também  e o número de Euler e  2 ,718 ... são irracionais. Juntando os números
irracionais aos números racionais, obtém-se o que é chamado de sistema de números reais  .
Desta forma, qualquer número racional ou irracional é chamado de número real.
Como a raiz quadrada de um número real não pode ser negativa, a equação x 2  1
não tem solução no sistema de números reais. Foi criado então um novo número que foi
denotado por i   1 , definido com a propriedade de que i 2  1 . A criação deste número
levou ao desenvolvimento dos números complexos (C), os quais tem a forma a  bi onde a e
b são números reais. São exemplos de números complexos: 2  3i; 3  5i; 2i;  1;
Observa-se que todo número real a é também número complexo, pois pode ser escrito
como a  a  0i . Assim, os números reais são um subconjunto dos números complexos. Os
números complexos que não são reais são chamados de imaginários. (não estudaremos os
números complexos)
Pode-se ilustrar o relacionamento entre os conjuntos numéricos através da Figura 1.
PS: Não Sabemos dividi por zero, pois leva a inconsistências matemáticas. Por
exemplo, se atribuirmos a
um valor numérico , segue, então que
, ou seja,
uma incorreção.
A ciência é uma grande montanha de açúcar; dessa montanha só conseguimos retirar insignificantes
pedacinhos! Malba Tahan.
2
Estudo dos Números Reais
Representação Geométrica dos Números Reais
O número a associado ao ponto A de x, é chamado coordenada de A. Uma associação
de coordenadas de x constitui um sistema de coordenadas em x; x é então chamada de reta
coordenada ou reta real. Pode-se orientar x tomando-se como sentido positivo o sentido à
direita, e como sentido negativo, o sentido à esquerda. Indica-se o sentido positivo por meio
de uma seta em x, conforme ilustrado na Figura a seguir.
Valor Absoluto
Definição O valor absoluto de um número real a é denotado por a e definido por:
a , se a  0
a 
 a se a  0
(1.2)
Exemplos:
3  3 , pois 3 > 0

2
2
 2 2
     , pois   0
3
3
 3 3
0  0 , pois 0  0
Note que valor absoluto de um número, é o número sem sinal.
Relação entre Raízes Quadradas e Valores Absolutos
Da álgebra, sabe-se que a raiz quadrada de é o número que elevado ao quadrado
resulta em . Todo número real positivo tem duas raízes quadradas, uma positiva e outra
negativa. A raiz quadrada positiva é denotada por
e a negativa por 
.
Teorema 1.1
Para todo número real a, tem-se
a2  a
(1.3)
Demonstração:
2
2
Uma vez que a 2   a    a  , os números  a e  a são raízes quadradas de a 2 .
Se a  0 , então  a é a raiz quadrada não negativa de a 2 e se a  0 , então  a é a raiz
quadrada não negativa de a 2 . Uma vez que
tem-se que:
a 2   a , se a  0
a  a , se a  0
a 2 denota a raiz quadrada não negativa de a 2 ,
Isto é:
a2  a
2
A ciência é uma grande montanha de açúcar; dessa montanha só conseguimos retirar insignificantes
pedacinhos! Malba Tahan.
3
Interpretação Geométrica do Valor Absoluto
A noção de valor absoluto surge naturalmente em problemas de distância.
Teorema 1.2
Se A e B são pontos sobre um eixo coordenado com coordenadas a e b,
respectivamente, então à distância d entre A e B é
d  ba
(1.4)
A Figura 1.3 ilustra o teorema:
A
B
B
A
a
b
b
a
b-a
a-b
O número não negativo d chama-se também comprimento do segmento AB .
A distância da origem ao ponto A é d  a  0  a
Frações
 Frações são números escritos da seguinte forma: onde
é o numerador da fração e ,
que é diferente de 0 (zero), é o denominador da fração e ambos são números inteiros.
Adição
 Quando as frações a serem somadas possuírem os denominadores iguais, basta repetir
o denominador e somar os numeradores. Exemplo:
.
 Quando as frações a serem somadas possuírem os denominadores diferentes, basta
igualar os denominares e proceder como no exemplo anterior. Observação: Para igualar os
denominadores utilizamos (mmc) mínimo múltiplo comum, que é o menor múltiplo comum
entre os denominadores. Exemplo:
.
Subtração:
 Procede de forma igual à adição, mas com a operação subtração.
Multiplicação
 Para multiplicar duas ou mais frações, multiplicamos numeradores por numeradores e
denominadores por denominadores. Exemplo:
.
Divisão
 Para realizarmos a divisão de frações, devemos transformar a divisão em
multiplicação. Procedemos da seguinte maneira: mantemos a fração que está no numerador,
invertemos a operação e invertemos a fração que está no denominador. Exemplo:
A ciência é uma grande montanha de açúcar; dessa montanha só conseguimos retirar insignificantes
pedacinhos! Malba Tahan.
.
4
PRIMEIRA MISCELÂNEA
01. Qual a fração cujo denominador é 14 e o numerador 13?
02. Um mês tem trinta dias. Escreva a fração do mês correspondente a:
a) 2 dia
b) 18 dias
c) 23 dias
03. Que fração representa uma semana no mês de abril?
04. Que fração do mês de maio representam 10 dias?
05. Que fração do ano representam 5 meses?
06. Que fração do dia representam 17 horas?
07. Que fração da semana representam 4 dias?
08. Indique as frações correspondentes a cada situação:
a) Carolina comeu 3 doces de uma caixa que continha 8 doces.
b) Janice comprou 7 cadernos de um pacote que continha 10 cadernos.
09. Quinze pessoas foram convidadas para uma festa e apenas 8 compareceram.
a) Qual a fração que indica a presença? b) Qual a fração que indica a ausência?
10. Participam de uma conferência 9 brasileiros, 6 ingleses e 4 argentinos. Que fração do total
de membros da conferência representam os brasileiros? E os ingleses? E os argentinos?
Desafio
O Índice de Massa Corporal (IMC) é largamente utilizado há cerca de 200 anos, mas esse
cálculo representa muito mais a corpulência que a adiposidade, uma vez que indivíduos
musculosos e obesos podem apresentar o mesmo IMC. Uma nova pesquisa aponta o Índice de
Adiposidade Corporal (IAC) como uma alternativa mais fidedigna para quantificar a gordura
corporal, utilizando a medida do quadril e a altura. A figura mostra como calcular essas
medidas, sabendo-se que, em mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%.
Uma jovem com IMC = 20 kg/m2, 100 cm de circunferência dos quadris e 60 kg de massa
corpórea resolveu averiguar seu IAC. Para se enquadrar aos níveis de normalidade de gordura
corporal, a atitude adequada que essa jovem deve ter diante da nova medida é
(Use √3=1,7 e √1,7=1,3)
A) reduzir seu excesso de gordura em
cerca de 1%.
B) reduzir seu excesso de gordura em
cerca de 27%.
C) manter seus níveis atuais de
gordura.
D) aumentar seu nível de gordura em
cerca de 1%.
E) aumentar seu nível de gordura em
cerca de 27%.
A ciência é uma grande montanha de açúcar; dessa montanha só conseguimos retirar insignificantes
pedacinhos! Malba Tahan.
5
Intervalos
Intervalos são conjuntos de números reais, que correspondem a segmentos de reta
sobre um eixo coordenado.
Intervalos Finitos
Se a  b , então:
b, denotado por a ,b ou a,b ou x   / a  x  b é o
segmento de reta que se estende de a até b, excluindo-se os extremos. A Figura 1.4 ilustra
este tipo de intervalo.
a) Intervalo aberto de a à
a
b
Figura 1.1. Intervalo Aberto
a , denotado por a,b ou x   / a  x  b é o segmento de reta
que se estende de a até b, incluindo-se os extremos. A Figura 1.5 ilustra este tipo de
intervalo.
b) Intervalo fechado de
a
b
Figura 1.2. Intervalo Fechado
c) Intervalo semiaberto à esquerda, denotado por a,b ou a,b ou x   / a  x  b é o
segmento de reta que se estende de a até b, excluindo-se a e incluindo-se b. A Figura 1.6
ilustra este tipo de intervalo.
a
b
Figura 1.3. Intervalo Semiaberto à Esquerda
d) Intervalo semiaberto à direita, denotado por a,b ou a,b ou x   / a  x  b é o
segmento de reta que se estende de a até b, incluindo-se a e excluindo-se b. A Figura 1.7
ilustra este tipo de intervalo.
a
b
Figura 1.4. Intervalo Semi-Aberto à Direita
Intervalos Infinitos
Usaremos o símbolo   (infinito positivo) e o símbolo   (infinito negativo).
Sendo a um número real, tem-se:
A ciência é uma grande montanha de açúcar; dessa montanha só conseguimos retirar insignificantes
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6
ou a , ou x   / x  a, representa todos os números reais
maiores que a. A Figura 1.8 (a) ilustra este tipo de intervalo.
a) A notação
a ,
b) A notação a , ou a , ou x   / x  a, representa todos os números reais maiores
ou igual a a. A Figura 1.8 (b) ilustra este tipo de intervalo.
c) A notação  , a  ou  , a ou x   / x  a, representa todos os números reais
menores que a. A Figura 1.8 (c) ilustra este tipo de intervalo.
d) A notação  ,a ou  ,a ou x   / x  a, representa todos os números reais
menores ou igual a a. A Figura 1.8 (d) ilustra este tipo de intervalo.
e) A notação  ,  ou  , ou simplesmente  , indica o conjunto de todos os
números reais. A Figura 1.8 (e) ilustra este intervalo.
(a)
a
(b)
a
(c)
a
(d)
a
(e)
Figura 1.5. Intervalos Infinitos
Operações com Conjuntos
Um conjunto pode ser interpretado como uma coleção de objetos de qualquer natureza.
Estes objetos são os elementos do conjunto. Se S é um conjunto, então a  S significa que a é
elemento de S. Se a  S significa que a não é elemento de S. Se todo elemento de um
conjunto S é também elemento de um conjunto T, diz-se que S é subconjunto de T. Dois
conjuntos S e T dizem-se iguais e escreve-se S  T se S e T contém precisamente os mesmos
elementos. S  T indica que S e T não são iguais.
Se S e T são conjuntos, sua união S  T consiste dos elementos que estão em S, ou
em T, ou em ambos.
A intersecção S  T consiste dos elementos comuns aos dois conjuntos S e T.
União e Intersecção de Intervalos
Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser
realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas. E
a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica
dos intervalos envolvidos. Vamos a um exemplo prático de como efetuar tais operações.
A ciência é uma grande montanha de açúcar; dessa montanha só conseguimos retirar insignificantes
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Exemplos:
1) Sejam A   1,6 e B  x   / x  1 dois intervalos e vamos determinar A  B e A  B .
Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos
em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam
graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção
para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos
dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A  B na Figura 1.9 e de A  B na
Figura 1.10 a seguir.
-1
6
1
-1
1
A B
6
Figura 1.6. Exemplo de União de Intervalos
A resposta é: A  B  1, ou A  B  1, ou A  B  x   / x  1
-1
6
1
-1
1
A B
6
Figura 1.7. Exemplo de Intersecção de Intervalos
A resposta é: A  B  1,6 ou A  B  1,6 ou A  B  x   / 1  x  6
2) Sendo A  x   /  1  x  4, B  x   / x  3 e C  x   /  6  x  2 ou x  4 ,
encontre  A  B  C .
Utilizamos a Figura 1.11 para resolver este exemplo:
-1
4
A
3
A  B
-1
-6
3
4
2
4
2
4
C
( A B )C
-1
Figura 1.8. Exemplo de União e Intersecção de Intervalos
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Equações e Inequações
Equações do 1º grau e 2º graus Exemplos:
2) x 2  x  6  0
1) 2 x  3  4 x  1
  b 2  4ac   1  4.1. 6
  25
1 5
x
então x'  3 e x"  2
2
S   2,3
2
2x  4x  1 3
 2 x  4   1
2 x  4
x  2
S   2
Inequações do 1º grau e 2º graus Exemplos:
1)
2x - 5  - 3  4x
2x - 4x   3  5
- 2x  2  - 1
2 x  2
x  1
S  x   / x  1 ou   ,1
2)
4  2x  3  7
4  3  2x  3  3  7  3
1
7  2 x  10   
2
7
 x5
2
7


7 
S   x   /  x  5 ou  ; 5
2


2 
–1
7
3)
1
3

x 1 x  2
1
3

0
x 1 x  2
1( x  2)  3( x  1)
0
( x  1)( x  2)
 2x 1
0
( x  1)( x  2)
 2x 1  0
 2x  1
1
x
2
5
2
x 1  0
x  1
x2  0
x  2
–2
–
–
+
+
1
–1
+
–
+
–
+
+
+
+
2
+
+
–
–
1
1


S   x   / x  2 ou  1  x    ou   ;  2    1 ; 
2
2


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Sistema Cartesiano Ortogonal
Pares Ordenados de números reais.
Dois números reais quaisquer formam um par. Quando a ordem deste par de números
reais está determinada, denominamos par ordenado de números reais. Se x é o primeiro
número e y o segundo, indicamos este par por
Exemplos:
(1 , 2) é diferente de (2 , 1);
  , 6 é diferente de 6 ,   
Plano Cartesiano
O conjunto de todos os pares ordenados de números reais chama-se plano numérico, e
cada par
corresponde a um ponto deste plano. Indicaremos este plano por  2 . O
conjunto de pontos para os quais y  0 , formam uma reta horizontal, que chamaremos eixo x.
O conjunto de pontos para os quais x  0 , formam uma reta vertical, que chamaremos eixo y.
Estes dois eixos, se encontram no ponto (0,0) que será chamada origem do plano cartesiano.
y
+
+
–
+
0
x
–
O plano numérico  2 com eixos x e y, é chamado plano cartesiano, e os pares ordenados de
 2 são as coordenadas cartesianas dos pontos.
Vizinhança no Plano Cartesiano
Vizinhança O conjunto de todos os pontos (x , y) tais que x  x0   , y  y 0   com   0
, é chamado uma vizinhança  retangular de  x0 , y 0  . Vizinhança  retangular
y
y0  
-
y0
-
y0  
-
P
x0   x 0 x0  
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O conjunto 0  y  y 0   , que exclui  x0 , y 0  , é uma vizinhança  restrita de  x0 , y 0  .
y
y0  
-
y0
-
y0  
-
P
x0   x 0 x0  
O conjunto x  x0    y  y 0    2 é uma vizinhança  circular de  x0 , y 0  .
2
2
y
y0  
-
y0
-
y0  
-
P
x0   x 0 x0  
Função:
Definição de Função Real de Variável Real
Dados dois conjuntos não vazios e , uma função de em
cada elemento de faz corresponder um único elemento de .
é uma relação que a
Para dar nomes as funções costumamos usar as letras f, g, h e outras. Empregamos
também a seguinte notação:
f: A  B para indicar uma função f de A em B.
y = f(x) para indicar que y é o correspondente de x.
Exemplo:
a) Dado A= 1,2,3, 4, consideremos a função f: A   , definida por f(x) = 2x. Temos:
x
1
2
3
4
y
2
4
6
8

A
1
2
2
3
4
6
4
8
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b) f :  ,1  
2
1,5
1
0,5
0
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-0,5
-1
Domínio, contradomínio e imagem de uma função.
A partir da definição, temos:
 O domínio da função é o conjunto A e escrevemos D = A
 O contradomínio é o conjunto B e escrevemos Cd = B
 O conjunto imagem da função é o subconjunto de B formado pelos elementos que tem
correspondente em A e escrevemos Im(f).
Exemplos:
a) Usando o exemplo 2) da seção 3.2.1. temos:
D(f)=A
D(f)= (-  ; 1,5]
Cd(f)=B
Cd(f)= 
Im(f)= {2,4,6,8}
Im(f)=(-  ,1]
Tipos de Funções:
Polinômios:
São funções que tem a forma:
f ( x)  a0 x n  a1 x n1  a2 x n2  ...  an1 x  an , onde a 0 , a 1 , ...a n são constantes e n é
um inteiro positivo chamado grau do polinômio se a 0  0.
Observação: Se o grau de um polinômio é n, ele tem exatamente n raízes. Exemplo:
Exemplo:
P(x) = 3x3 - 7x2 + 6x - 1 .
Funções Algébricas:
São funções formadas por um número finito de operações algébricas sobre a função
y  c, c   (constante) e y  x (identidade). Estas operações algébricas incluem adição,
subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
Exemplos:
2 x3  6 x
a) Racional algébrica: y  4
;
5x  2 x2  6
b) Irracional algébrica:
x2  6x  7
y 3
( x  3 x 2  2 x  1) 2
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Funções Transcendentes
São funções que não são algébricas, tais como funções exponenciais, logarítmicas,
trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas inversas.
Funções Crescentes e Decrescentes:
Função Crescente:
Uma função é dita crescente, num intervalo, se para qualquer x 1 e x 2 pertencentes a
esse intervalo com x 1 < x 2 , tivermos f (x 1 ) < f (x 2 ).
Exemplo:
y  x 1
4
y
3
2
x1  0  y1  1
x1  1  y1  2
1
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x1  x2  y1  y2
-1
-2
Função Decrescente:
Uma função é dita decrescente, num intervalo, se para quaisquer x 1 e x 2 pertencentes
a esse intervalo com x 1 < x 2 , tivermos f (x 1 ) > f (x 2 ).
Exemplo:
y  x  1
4
y
3
x1  0  y1  1
2
x1  1  y1  0
1
x1  x2  y1  y2
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
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Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras.
Função Sobrejetora:
Seja uma função f de A em B. Dizemos que f é sobrejetora, se e somente se, a imagem de f
for o próprio contradomínio (conjunto B). Em símbolos f é sobrejetora  Im (f) = Cd (f).
Exemplos:
a)
a●
b●
c●
DA
Cd  B
Im  B
●1
●2
Contradomínio e
imagem iguais
 sobrejetora
Contradomínio e
imagem iguais
 sobrejetora
b) f :    . f ( x)  x 2
9
y
D
Cd  
8
7
6
5
Im  
4
x
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
Função Injetora:
Seja uma função f de A em B. Dizemos que f é injetora, se cada elemento do conjunto
contradomínio for imagem de apenas um elemento do conjunto A.
Em símbolos: f é injetora   x 1 , x 2  A, com x 1  x 2 temos f (x 1 )  f (x 2 )
Exemplos:
a)
A
a●
b●
c●
B
●1
●2
●3
●4
f  a,1, b,2c,3
DA
Cd  B
Im  1,2,3
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Como cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio, pode-se
afirmar que esta função é injetora.
b) f :    , f ( x)  x 2
9
y
8
7
6
D  
5
4
Cd  
Im  
x
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
Como cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio, pode-se
afirmar que esta função é injetora.
Função Bijetora:
Seja f uma função de A em B. Dizemos que f é bijetora, se e somente se f for ao
mesmo tempo sobrejetora e injetora. Em símbolos: f é bijetora  f é sobrejetora e injetora.
Exemplos:
a)
A
a●
b●
c●
B
●1
●2
●3
f  a,1, b,2 c,3
DA
Cd  B
Im  B
Esta função é sobrejetora pois a imagem e o contradomínio são iguais. É também
injetora pois cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio. Como é
sobrejetora e injetora é então bijetora.
Domínio Natural:
Se uma função de variável real a valores reais for definido por uma fórmula e se não
houver um domínio determinado explicitamente, então deve ser entendido que o domínio
consiste de todos os números reais para os quais a fórmula resulte em um valor real. Isto é
chamado de domínio natural da função.
Exemplos:
Vamos encontrar o domínio das funções abaixo:
a) f ( x)  x 2  3x
b) f ( x) 
3
( x  2).( x  1)
c) f ( x)  x 2  3x  4
A ciência é uma grande montanha de açúcar; dessa montanha só conseguimos retirar insignificantes
pedacinhos! Malba Tahan.
15
Operações aritméticas sobre funções:
Dadas às funções f e g, definimos:
 f  g x   f x   g x 
 f  g x   f x   g x 
 f .g x   f x .g x 
f
f x 
 x  
g x 
g
O domínio das funções
f
f
 g  x ,  f  g  x ,  f .g  x ,    x  é definido como a
g
intersecção do domínio de f e g.
f 
Para a função   (x), devem ser excluídos os valores em que g (x) = 0.
g
Exemplo:
f
Determine  f  g  x ,  f  g  x ,  f .g  x ,    x  e seus respectivos domínios, sendo
g
f ( x)  1  x  2 e g ( x)  x  3 :
Funções Compostas:
Dadas as funções f e g, a composta de f e g, denotada por f  g , é a função definida
por  f  g ( x)  f ( g ( x)) . O domínio de f  g consiste em, por definição, todo x no domínio
de g para o qual g (x) está no domínio de f.
Exemplos:
1) Sejam os conjuntos A = {–1, 0, 1, 2}, B = {–3, 0, 3, 6}, C = {–6, 0, 6, 12} e as funções
g : A  B com g ( x)  3x e f : B  C com f ( x)  2 x .
2) Seja f ( x)  x 2  3 e g ( x)  x . Vamos encontrar:
a)  f  g (x) :
b) Domínio de  f  g (x) :
c) g  f (x) :
d) Domínio de g  f (x) :
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16
Expressando uma função como uma composta.
Por exemplo, vamos considerar a função h( x)  x  2 . Para calcular h(x) para um dado
3
valor de x, faríamos primeiro x  2 e então elevaríamos ao cubo. Estas duas operações são
executadas pelas funções.
g ( x)  x  2 e f ( x )  x 3
Podemos então expressar h em termos de f e g.
h( x)  x  2  g ( x)  f ( g ( x))
3
3
Então o procedimento extensivo de decomposição de uma função h na composição
h  f  g , é:
1º) Pense sobre como você calcularia h(x) para um valor específico de x, tentando dividir os
cálculos em dois passos executados sucessivamente;
2º) A primeira operação no cálculo determinará uma g e a segunda uma função f.
3º) A fórmula para h pode, então, ser escrita como h( x)  f ( g ( x)) .
Obs.: Vamos chamar:
g  função de dentro
f  função de fora
Exemplos:
Vamos expressar as funções abaixo como composta de duas funções:
a) h( x)  3  x  2
Função Inversa.
Se f é uma função bijetora de A em B, a relação inversa de f é uma função de B em A
que denominamos função inversa f e indicamos por f 1 .
Ainda, f 1   y, x  / x, y  f  é a função inversa de f se para todo y  B , existe um
único x  A tal que f ( y, x)  f 1 .
Obs.:
1º) Os pares ordenados que formam f
1
podem ser obtidos dos pares ordenados de f,
permutando-se os elementos de cada par, isto é: x, y  f   y, x  f
1
;
2º) Pela observação anterior, temos:
 x, y   f
  y, x   f
isto é, a inversa de f 1
 
é a própria função f ou seja  f   f ;
1
e se  y, x  f 1  x, y  f
1 1
1 1
3º) O domínio da função f 1 é B, que é a imagem de f.
A imagem da função f 1 é A, que é o domínio de f.
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17
A
B
B f 1
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
 
A
●
●
●
●
 
D f 1  B  Im( f )
Im f 1  A  D( f )
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7}, consideremos a função f de A
em B definida por f ( x)  2 x  1 ..
A
x
1
2
3
y
1
3
5
1
2
3
4
B
f
1
3
5
7
f é bijetora
D( f )  A
Cd ( f )  B
f 1  1,1, 3,2, 5,3, 7,4 em que D( f 1 )  B e Im( f 1 )  A
.
Observemos que a função f é definida por y  2 x  1 e f 1 é
y 1
definida pela sentença x 
2
4
1
3
5
7
B
--1
7 f
A
1
2
3
4
Determinação da Função Inversa.
Regra prática.
Dada à função bijetora f de A em B, definida pela sentença y  f (x) , para obtermos a
sentença aberta que define f 1 , procedemos do seguinte modo:
1º) Na sentença y  f (x) fazemos uma mudança de variável, isto é, trocamos x por y e y por
x, obtendo x  f ( y) ;
2º) Transformamos algebricamente a expressão x  f ( y) , expressando y em função de x para
obtermos y  f 1 ( x) .
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18
Exemplos:
a) Vamos
encontrar
a
função
inversa
da
função
f
dada
por
f ( x)  2 x  3 .
b) Vamos encontrar a função inversa da função bijetora f f :   4   
1 tal que
f ( x) 
x 1
x4
Solução:
1º)
2º)
x 1
y 1
x

x4
y4
xy  4 x  y  1  xy  y  4 x  1 
y ( x  1)  4 x  1 
4x  1
4x  1
y
 f 1 ( x) 
x 1
x 1
y
Estudo das Funções:
Função Constante:
Dado um número real c, definimos função constante aquela que a todo número real x
faz corresponder o número c:
f :    / f ( x)  c, c  
Exemplo:
f ( x)  2
D( f )  
Im( f )  2
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19
Função Polinomial do 1∘ Grau:
Dados os números reais a e b, sendo a  0, definimos função polinomial do 1º grau aquela
em que a todo número real x faz corresponder o número ax + b:
f :    , com f (x) = ax + b (a   * , b   )
Exemplos:
a) f ( x )  2 x  1
x
y
0
1
1
3
D(f) = 
Im(f) = 
b) f ( x )  2 x  1
x
y
D(f) = 
0
1
Im(f) = 
1
-2
c) f ( x )  2 x
x
y
0
0
1
2
D (f) = 
Im (f) = 
Função Polinomial do 2º grau:
Dados os números reais a, b e c, sendo a  0, definimos função polinomial do 2º grau aquela
em que a todo número real x faz corresponder o número ax 2 + bx + c:
f :    / f ( x )  ax2  bx  c , a  *,b ,c  
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20
Exemplos:
a) f ( x )  x 2  2 x  3
x
y
-4
5
-3
0
D (f) = 
-1
-4
Im (f) = [-4, +  )
1
0
2
5
b) f ( x )   x 2  2 x  3
x
y
-4
-5
-3
0
-1
4
1
0
2
-5
D (f) = 
Im (f) = (-  , 4]
Funções Polinomiais de grau maior que 2:
Dados os números reais a n , a n 1 , ..., a 1 , a 0 , sendo a n  0 , definimos função polinomial
de grau n aquela em que a todo número real x faz corresponder o número
an xn  an 1xn 1  ...  a1x  a0
f :    / f ( x)  an x n  an 1 x n 1  a1 x  a0, an  *, an 1 ,...a1 , a0  
Exemplos:a) f ( x )  x3
x
y
-2
-8
-1
-1
-0
0
D (f) = 
Im (f) = 
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21
b) f ( x )  x 4
x
y
-1,5
-5,1
-1
1
0
0
1
1
1,5
5,1
D (f) = 
Im (f) =  
c) f ( x )  x5
x
-1,4
-1
0
1
1,4
y
-5,4
-1,0
0,0
1,0
5,4
D (f) = 
Im (f) = 
d) f ( x)  x 3  2 x 2  x  2
x
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
y
-8,0
-2,6
0,0
0,6
0,0
-1,1
-2,0
-1,9
0,0
4,4
D(f) = 
Im(f)= 
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22
e) f ( x )  x 4  2 x3  5 x 2  6 x
x
-2,5
-2,0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
y
6,6
0,0
-0,9
0,0
0,6
0,0
-0,9
0,0
6,6
D(f) = 
Im(f)= [-1,+  )
Função Racional Fracionária
Uma função que pode ser expressa como uma razão de dois polinômios é chamada de
P( x)
função racional fracionária. f ( x) 
Q( x)
Esboce o gráfico de uma função racional que você conhece!
Exemplos:
1
a) f ( x) 
x
x
-2,5
-2,0
-1,5
-1
-0,5
-0,2
-0,1
0,1
0,2
0,5
1
1,5
2
2,5
y
-0,4
-0,5
-0,7
-1,0
-2,0
-5,0
-10,0
10,0
5,0
2,0
1,0
0,7
0,5
0,4
D(f)= *
m (f) = *
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I
23
b)
f ( x) 
x
-6
-5
-4
-3,0
-2,5
-2,2
-1,8
-1,5
-1
0
1
1,5
2
3
x 1
x2
Y
1,8
2,0
2,5
4,0
7,0
16,0
-14,0
-5,0
-2,0
-0,5
0,0
0,1
0,3
0,4
c) f (x) =
x 2  2x
x2 1
x
-3
-2
-1,1
-1,1
-0,9
-0,8
-0,5
0
0,8
0,9
1,1
1,2
1,5
2
3
y
0,4
0,0
-4,7
-5,3
5,2
2,7
1,0
0,0
-6,2
-13,7
16,2
8,7
4,2
2,7
1,9
D(f)=  - {-2}
Im (f) =  - {1}
D(f)=  - {-1, 1}
Im (f) = 
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24
Função Exponencial:
Denominamos função exponencial de base a (a > 0 e a  1) à função f (x) = a x
definida para todo x real.
Exemplos: a) f ( x )  2 x
x
-4
-3
-2
-1,0
0
1
2
3
y
0,0625
0,125
0,25
0,5
1,0
2,0
4,0
8,0
1
b) f ( x )   
 2
x
-4
-3
-2
-1,0
0
1
2
a>0
Função Crescente
D (f) = 
Im (f) =  *
x
y
16,0
8,0
4,0
2,0
1,0
0,5
0,25
Função Logarítmica:
Dado um número real a (a > 0 e a  1), chamamos função logarítmica de base e à
função f ( x)  log a x , definida para todo x > 0.
Exemplos:
a)
f ( x)  log 2 x
x
y
0,125 -3
0,25 -2
0,5
-1
1,0
0
2
1
4
2
D (f) =  *
Im (f) =

a >0
Função
Crescente
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25
b)
f ( x)  log 1 x
2
x
0,125
0,25
0,5
1,0
2
4
8
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
0<a<1
Função Decrescente
D (f) =  *
Im (f) = 
Função Definida por Várias Sentenças
Uma função f pode ser definida por várias sentenças abertas, cada uma das quais está
ligada a um domínio Di, contido no domínio da f.
Exemplo:
1, se x  1

f ( x)   x 2 , se  1  x  2
4, se x  2

x
-3
-2
-1
-1
0
1
2
2
3
4
y
1
1
1
1
0
1
4
4
4
4
D(f)= 
Im(f)= [0,4]
Função Modular:
Uma aplicação de    recebe o nome de função modular quando a cada x  
associa o elemento x   e se escreve f ( x )  x .
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26
Exemplos:
a) f ( x )  x
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
3
2
1
0
1
2
3
D (f) = 
Im (f) = 
b) f ( x )  2  x  1
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-2
-1
0
1
2
1
0
-1
-2
D (f) = 
Im (f) = (-  , 2]
SEGUNDA MISCELÂNEA
01. Um fazendeiro dispõe de 40m de tela e deseja cercar uma área retangular utilizando um muro
como um dos lados, para fazer um jardim. Determine: a) a função A(x), onde x (comprimento de um
dos lados) é a variável independente em metros e A (área do retângulo) é a variável dependente em
metros quadrados. b) A partir do gráfico da função, estime o valor de x para que a área do jardim seja
máxima.
02. Um cientista faz uma experiência na qual o tempo T estimado para um rato percorrer um labirinto
na n-ésima tentativa é dado por T (n)  3  12n minutos.
a) Quanto tempo ele demora na 3ª tentativa ? R: T  7 min.
b) Quanto tempo ele demora na 6ª tentativa ? R: T  5 min.
c) Esboce o gráfico
n 1
T
2
3
4
6
12
d) Que tendência ele observa quando n “aumenta muito”
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27
03. Um retângulo de base x e altura y está inscrito num círculo, de raio igual a 2. Escreva a fórmula da
área A do retângulo em função de x. R: A  x. 16  x 2 ,
(0  x  4)
04. Deseja-se construir uma caixa sem tampa com um quadrado de papelão de 50 cm de lado,
cortando-se quadrados de lado x nos cantos e dobrando-se as abas para cima. a) Ache o volume V da
caixa em função de x. b) Esboce o gráfico e c) Estime o valor de x para que o volume seja máximo.
2
3
R: a) V  25 x  20 x  4 x ; (0  x  25) ; c) Vmáx  x  8,3
05. Uma caixa em forma de paralelepípedo tem base quadrada com lado x, altura y e volume
3
2
y igual a 324 cm . O material da base custa R$ 2,00 por cm e o da tampa e dos demais lados
2
custa R$ 1,00 por cm .
a) Escreva a fórmula do custo total C da caixa em função de x. b) Esboce o gráfico.
c) Estime o valor de x para que o custo total seja mínimo. d) Qual é o x valor do custo mínimo?
R: a) C  3x 2  1296
, ( x  0) c) x  6 e d) C mín  R$ 324,00
x
06. (UEPG) Dada à equação 32x – 4.3x + 3 = 0 assinale o que for correto.
01. A soma entre suas raízes é 4 e o produto é 3.
02. A soma entre suas raízes é nula.
04. Se s é a soma entre suas raízes, então 10s = 10
08. Se p é o produto entre suas raízes, então 3p = 1
16. O produto entre suas raízes é um número ímpar
07. (UFSM) Num raio de x km, marcado a partir de uma escola de periferia, o Sr. Jones
constatou que o número de famílias que recebem menos de 4 salários mínimos é dado por
N(x) = k.22x, em que k é uma constante e x > 0. Se há 6 144 famílias nessa situação num raio
de 5 km da escola, o número que você encontraria delas, num raio de 2 km da escola, seria:
log 3 1  log 10 0,01
é:
1
log 2 . log 4 8
64
c) 4/9
d) 3/5
e) 2/3
08. (UEL-PR) O valor da expressão
a)
4/15
b) 1/3
09. (UEPG-PR) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 60 vale:
a)
1,77
b) 1,41 c) 1,041 d) 2,141 e) 0,141
10. (UFSM-RS) A raiz real da equação log10(x + 1) + 1 = log10 (x2 + 35) é:
a) – 5
b) – 1 c) 2 d) 5 e) 10
11. (UFRGS ) A raiz da equação 2x = 12 é:
a)
6
b) 3,5
c) log 12
d) 2.log23 e) 2 + log23
12. (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação. 22x + 1 - 3.2x + 2 = 32, é:
A ciência é uma grande montanha de açúcar; dessa montanha só conseguimos retirar insignificantes
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28
13. (ACAFE-07) Num tanque biodigestor, os dejetos suínos sob a presença de determinadas
1t
bactérias se decompõem segundo a lei D(t )  K .2 4 , na qual K é uma constante, t indica o
tempo (em dias) e D(t) indica a quantidade de dejetos (em quilogramas) no instante t.
Considerando-se os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico abaixo, a
quantidade de dejetos estará reduzida a 128 g depois de:
a)
b)
c)
d)
e)
16 dias
12 dias
4 dias
20 dias
8 dias
14. (UDESC-08) Sabendo que log3(7x – 1) = 3 e que log2(y3 + 3) = 7, pode-se afirmar que
logy(x2 + 9) é igual a:
a)
6
b)
2
c)
4
d)
–2
e)
–4
15. (UFSM – 07)
O gráfico do desempenho de certo candidato à Câmara Federal foi ajustado através da função
f(x) = loga x + m e está apresentado na figura, onde x representa o número de dias que
precediam o pleito e f(x) o número de votos em milhares de unidades. Sabendo que
g(x) = f(x) – 3, o valor de g –1 (4) é:
a)
1
b)
3
c)
9
d)
27
e)
81
A ciência é uma grande montanha de açúcar; dessa montanha só conseguimos retirar insignificantes
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29
16. (UEPG-06) Se log2 N = p, assinale o que for correto.
p
01. log16 N =
4
02. log1/2 N = – p
04. log3 N = p. log32
2p
08. log8 N2 =
3
16. log2 N = 2.log2 p
17. (UFPR – 08 ) Um método para se estimar a ordem de grandeza de um número positivo N
é usar uma pequena variação do conceito de notação científica. O método consiste em
determinar o valor x que satisfaz a equação 10x = N e usar propriedades dos logaritmos para
saber o número de casas decimais desse número. Dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47 use esse
método para decidir qual dos números abaixo mais se aproxima de N = 2120330.
a) 1045
b) 1050
c) 1055
d) 1060
e) 1065
18. (UEL-PR) O crescimento de uma colônia de bactérias é descrito por P(t) = α.4 t onde
t ≥ 0 é o tempo, dado em horas, e P(t) é a população de bactérias no instante t. Se, após 4
horas, a população inicial da colônia triplicou, após 8 horas o número de bactérias da colônia
será:
a) 6 α b) 8 α
c) 9 α
d) 8 α – 4
e) α + 8
19. (UEL-PR) Um empresário comprou um apartamento com intenção de investir seu
dinheiro. Sabendo-se que este imóvel valorizou 12% ao ano, é correto afirmar que seu valor
duplicou em, aproximadamente:
(dados: log 2 = 0,30 e log 7 = 0,84)
a) 3 anos
b) 4 anos e 3 meses
c) 5 anos
d) 6 anos e 7 meses
e) 7 anos e 6 meses
20. (UEM-PR ) Assinale o que for verdadeiro.
01. Se a > 0, b > 0 e c > 0, então
 a 2 .c 3
log 
 b

  2. log a  3. log c  log b

A ciência é uma grande montanha de açúcar; dessa montanha só conseguimos retirar insignificantes
pedacinhos! Malba Tahan.
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02. Se log 2 = a e log 3 = b, então log2 72 =
3a  2b
a
04. Se log21(x + 2) + log21(x + 6) = 1, então x = 1
08. Se log(1000)x – log(0,001)x = - 1, então x = 
1
6
16. log5 7 < log8 3
32. Se f(x) =
log 1 (log( x  1)) , então f(9) = 0
2
21. (UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose sabe-se que o risco de infecção
depende do tempo , em anos, do seguinte modo:
infecção no início da contagem do tempo e
, em que
é o risco de
é o coeficiente de declínio. O risco de infecção
atual em Salvador foi estimado em 2%.
Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no
risco de 10% ao ano, isto é,
Use a tabela para os cálculos necessários.
8,2 9,0 10,0 11,0 12,2
2,1 2,2 2,3
2,4
2,5
O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2%, é de:
a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
22. Uma maionese mal conservada causou mal-estar nos frequentadores de um clube. Uma
investigação revelou a presença da bactéria salmonela, que se multiplica segundo a lei:
, em que
é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese
horas após o início do almoço e é uma constante real.
a) Determine o número de bactérias no instante em que foi servido o almoço;
b) Sabendo que após 3 horas do início do almoço o número de bactérias era de 800, determine
o valor da constante ;
c) Determine o número de bactérias após 12 horas da realização do almoço.
23. (UFSM) Num raio de
km, marcado a partir de uma escola de periferia, o Sr. Jones
constatou que o número de famílias que recebem menos de 4 salários mínimos é dado por
, em que
é uma constante e
. Se há 6 144 famílias nessa situação
num raio de 5 km da escola, o número que você encontraria delas, num raio de 2 km da
escola, seria?
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24. A onça-pintada, também conhecida por jaguar ou jaguaretê, costuma ser encontrada em
reservas florestais e matas cerradas, mas, atualmente, é um dos carnívoros brasileiros que
corre perigo de extinção. Suponha que, em determinada região, a população de onçaspintadas,
daqui a
anos, será estimada pela função
. Faça
uma estimativa da população de onças-pintadas que habitarão essa região daqui a vinte anos.
Aproxime a resposta para o número inteiro mais próximo.
25. O gráfico representa a fórmula
usada para determinar o número
de
miligramas de um remédio na corrente sanguínea de um indivíduo, horas depois de lhe ter
sido administrado um medicamento
.
a) Determine o valor de ;
b) A função
é crescente ou decrescente? Justifique;
c) Quanto tempo leva para que a quantidade do medicamento
administrado se reduza à metade?
26. Determine o domínio de cada função:
a)
b)
27. Observou-se o comportamento das quantidades ofertadas e demandadas, de determinado
bem durável, em relação ao seu preço de venda, obtendo-se:
Onde
é o preço
2
3
4
5
6
7
4,1
3,4
2,1
1,5
1
0,1
0
1
1,9
2,4
3,5
4,1
é a quantidade de demanda e
é a quantidade de oferta. Determine as
funções de demanda e oferta e depois encontre o ponto de equilíbrio e faça o gráfico das duas
funções no mesmo sistema de eixos.
28. Dadas as funções
, represente-as graficamente,
Identificando qual é a função de demanda e qual é a função de oferta e determine o ponto de
equilíbrio.
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29. Uma loja compra camisetas ao custo de R$ 7,00 a unidade. Estima-se que, se cada camisa
for vendida por R$ , os consumidores comprarão
camisetas por mês.
a) Estabeleça a fórmula que forneça o lucro mensal em função do preço de venda de cada
camisa.
b) Suponha que a loja não considere centavos nos preços de suas mercadorias, por quanto à
loja deveria vender cada camiseta para o lucro ser máximo?
30. Determina o ponto crítico e esboça os gráficos das funções receita, custo total e lucro total
em cada caso:
a)
e
b)
e
31. Uma empresa produz um certo produto de tal forma que suas funções de oferta diária e
demanda diária são:
e
–
, respectivamente. Determina:
a) O preço para que a quantidade ofertada seja igual a 50;
b) A quantidade vendida quando o preço é 10 reais;
c) Os gráficos das funções de oferta e demanda no mesmo sistema de eixos; interpreta o
resultado obtido em (b).
32. Uma construtora tem um terreno e calculou que gastará um total de 100.000 tijolos para
construir o muro que o cercará. Após construí-lo, acredita que precisará de 10.000 tijolos por
semana para a construção de casas no terreno.
a) Construir um modelo linear que descreva o número de tijolos necessários para as obras,
incluindo o muro, em função do número de semanas decorridas a partir do término do muro.
b) Após quatro semanas, qual é a quantidade utilizada de tijolos?
c) Se estiver previsto a construção de 20 casas no terreno, e cada casa consumir 20.000 tijolos,
qual o domínio da função construída no item (a)?
33. O custo
de estoque é modelado por
armazenamento, em que
e depende dos custos de pedido e
é o número de unidades vendidas por anos,
é o custo de
armazenamento de uma unidade por 1 ano, é o custo de fazer o pedido e
é o número de
unidades no pedido. Determine o tamanho do pedido que minimize o custo quando
e
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34. As funções de demanda e do custo de um produto são dadas por
em que
é o preço por unidade,
custo total. O lucro da produção de
e
é o número de unidades e
unidades é dado por
éo
em que é o
imposto sobre produtos industrializados por unidade. Determine os lucros máximos para um
imposto sobre produtos industrializados de
e
.
35. Em um cinema, verificou-se que o número de frequentadores por seção
com o preço de ingresso segundo a função
relaciona-se
Qual o preço que deve ser
cobrado para maximizar a receita, se o total de lugares for 600?
36. A massa
do coração de um mamífero é proporcional à massa
. Um ser humano com 70 quilos tem um coração de
de seu corpo. Ou seja
quilos. Use essa informação
para encontrar a constante de proporcionalidade , encontrada a constante de
proporcionalidade estime a massa do coração de um cavalo cuja massa é de 600 quilos.
37. A área de superfície
de um mamífero satisfaz a equação
do corpo e a constante de proporcionalidade
, onde
é a massa
depende da forma do corpo do mamífero. Um
humano com massa de 70 quilos tem uma área de superfície de 18.600
. Encontre a
constante de proporcionalidade para os humanos. Encontre a área de superfície de um humano
com 90 quilos.
Bom estudo!
Bibliografia
1.
ANTON, Howard, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo Vol. 1, 10ª ed. Porto Alegre:
Bookman, 2014.
2. BOULOS, Paulo. Calculo Diferencial e Integral, Vol. 1. São Paulo: Pearson Makron
Books, 1999.
3. FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: Funções, Limite,
Derivação, Integração. Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2006.
4.
HOFFMANN, Laurence D., BRADLEY, Gerald L. Cálculo - Um Curso Moderno e
Suas Aplicações, 11a ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
5.
Leithold, Louis. Matemática aplicada à economia e administração. São Paulo: Harbra,
2001.
6.
TAN, Soo Tang. Matemática Aplicada à Administração e Economia. (tradução da 9ª
ed. norte-americana). São Paulo: Cengage Learning, 2014.
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