apostila completa de matemática

• Matemática – Função exponencial
• Matemática – Logaritmos
Viveiro de tartarugas em Re
Extrativista (Resex) do Rio serva
Jutaí
pg. 02
pg. 04
• Física – Movimentos circulares
• Física – Dinâmica
pg. 06
pg. 08
• Português – Perscrutando o texto
pg. 10
o
ha leva o
n
a
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E
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c
s
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l
e
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máti
Grupo o físico, mate
nome d ewton
Isaac N
Enfermagem e
Odontologia formam
primeiras turmas
do interior
Imagine receber uma proposta para atuar
no mercado de trabalho antes mesmo da
formatura, ainda durante o estágio? Essa é
a situação de muitos acadêmicos da
Universidade do Estado do Amazonas,
particularmente os estudantes do interior,
na área de Saúde. No fim de janeiro, a
UEA graduou as duas primeiras turmas de
alunos do interior dos cursos de
Odontologia e Enfermagem.
São 17 acadêmicos de Enfermagem e 21
de Odontologia, que podem voltar aos
seus locais de origem depois de
cumprirem o Estágio em Saúde Coletiva,
também chamado Internato Rural, período
em que acadêmicos da Escola Superior
de Ciências da Saúde vão para o interior
do Estado promover atividades de
assistência básica à saúde em hospitais e
postos, além de palestras educativas em
instituições como APAE’s, escolas e
associações de apoio aos idosos.
Durante o estágio, os acadêmicos presenciam situações inesperadas, peculiares à
realidade dos municípios do interior.
Dessa forma, o estágio rural em saúde
coletiva constitui-se em um ato educativo
que visa à complementação do ensino e
da aprendizagem em que o aluno deve
conhecer a realidade sócioeconômica,
sanitária e cultural dos municípios que
compreendem o Estado do Amazonas.
Nesse sentido, o estágio contribui para a
melhora do processo de ensino-aprendizagem entre os acadêmicos e a comunidade local. Ganham todos. Os alunos,
que devolvem e põem em prática os
conhecimentos técnicos apreendidos
durante o curso, exercendo
verdadeiramente o seu papel de cidadãos.
E a comunidade, que se beneficia do
conhecimento e colabora junto com os
alunos na construção deste processo
ensino-aprendizagem.
Assim, o internato rural é um caminho
viável para a execução dos projetos de
ensino e extensão da Universidade em
prol da melhoria na saúde da população
do interior do Estado, enriquecendo a
experiência de vida dos acadêmicos e
futuros profissionais de saúde.
Se você está interessado em prestar
vestibular para a área de saúde, é essa a
realidade que o aguarda. Uma realidade
de conhecimento e cidadania.
Matemática
• Se n = 2, costuma-se não representar o
número 2 e lê-se como c raiz quadrada de A.
• Se n = 3, lê-se o radical como c raiz cúbica
de A.
Potência de expoente fracionário
A propriedade acima decorre de: Seja x = am/n.
Podemos escrever xn = (am/n)n e, daí, xn = am de
onde vem, extraindo-se a raiz n-ésima de ambos
os membros:
Professor CLÍCIO
Função exponencial
Revisão sobre potenciação
Potência de expoente natural
A operação com radicais é denominada
RADICIAÇÃO e, esta
operação é a inversa da POTENCIAÇÃO. Isto
decorre de
Exemplo 3:
(UFAM)Calcular o valor da expressão
4.(0,5)4 +
+ 8–2/3.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Solução:
4.(0,5)4+
+ 8-2/3=
Sendo a um número real e n um número natural
maior ou igual a 2, definimos a n-ésima
(enésima) potência de a como sendo:
an = a.a.a.a.a. … .a (n vezes) onde o fator a é
repetido n vezes, ou seja, o produto possui n
fatores.
Denominamos o fator a de base e n de expoente;
an é a n-ésima potência de a. Portanto, potência é
um produto de n fatores iguais.
A operação através da qual se obtém uma
potência, é denominada potenciação.
Nota: A potência 10n é igual a 1 seguido de n
zeros.
Convenções:
Exemplo 4:
(UTAM) Determine o valor de:
a) Potência de expoente zero.
a0 = 1
b) Potência de expoente unitário.
a1 = a
c) As potências de expoente 2 e 3 recebem
nomes especiais, a saber:
a2 = a.a, é lido como a ao quadrado.
a3 = a.a.a, é lido como a ao cubo.
.
a) 21
d) 4
Solução:
b) 12
e) 6
c) 2
Propriedades das potências
São válidas as seguintes propriedades das
potências de expoentes naturais, facilmente
demonstráveis:
(1) am . an = am+n
(2) am : an = am-n
(3) (am)n = am.n
(4) am.bm = (a.b)m
(5) am:bm = (a:b)m
(6) a-n = 1/an
Nota: estas propriedades também são válidas
para expoentes reais.
Chamamos de funções exponenciais aquelas
nas quais temos a variável aparecendo em
expoente.
A função f: IR → IR+ definida por f(x) = ax, com a
IR+ e a ≠ 1, é chamada função exponencial de
base a. O domínio dessa função é o conjunto IR
(reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos,
maiores que zero).
Exemplo 1:
Gráfico cartesiano da função exponencial
(MACK) Ache o número designado por
x–2 + y
–––––––––
quando x = -2 e y = 1.
2xy + y–1
a) –5/12
b) 5/12
c) 12/5
d) –12/5
e) n.d.a.
Solução:
x–2 + y
(–2)–2 +1
1/4 +1 5/4
5
–––––––––=–––––––––––=–––––––=–––
= – –––
–1
2xy + y
2(–2).1 +1–1 –4 +1
–3
12
Exemplo 2:
2n+4+2n+2+2n–1
(PUC) Simplifique a expressão –––––––––––––––.
2n–2+2n–1
a) 82
b) 3
c) 82/3
d) 3/82
e) n.d.a.
Solução:
2n+4+2n+2+2n–1
2n.24 + 2n.22 + 2n.2–1
–––––––––––––––
= ––––––––––––––––––––
=
n–2
n–1
2 +2
2n.2–2 + 2n.2–1
2n(24 + 2–2 + 2 –1)
24 + 2–2 + 2 –1
–––––––––––––––––
= –––––––––––––––
=
2n(2–2+ 2–1)
2–2+ 2–1
16 + 4 + 1/2
41/2
82
––––––––––––––– = ––––– = ——
1/4+ 1/2
3/4
3
Temos 2 casos a considerar:
• quando a>1;
• quando 0<a<1.
Acompanhe os exemplos seguintes:
1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os
correspondentes valores de y, obtemos a tabela
e o gráfico abaixo:
Função Exponencial
2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Revisão sobre radicais
A forma mais genérica de um radical é
,
onde c = coeficiente, n = índice e A = radicando.
O radical acima é lido como: c raiz n-ésima
(enésima) de A.
Atribuindo alguns valores a x e calculando os
correspondentes valores de y, obtemos a tabela
e o gráfico abaixo:
2
Exemplo 7:
(UEA) Resolva a equação exponencial:
8
2x+3 + 63 = –––
2x
a) –1
b) –2
c) –3
d) –4
e) n.d.a.
Solução:
8
8
⇒ 2x.23 + 63 = –––
2x+3 + 63 = –––
2x
2x
Faça 2x = y
8
8y + 63 = ––– ⇒ 8y2 + 63y – 8 = 0
y
y = –8 ou y = 1/8
2x = –8(falso, já que 2x >0)
2x = 1/8 ⇒ 2x = 2-3 ⇒ x = –3
S = {–3}
Nos dois exemplos, podemos observar que:
a) O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a
função não tem raízes;
b) O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);
c) Os valores de y são sempre positivos
(potência de base positiva é positiva),
portanto o conjunto imagem é Im=IR+.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
Se 0 < a < 1, então f será decrescente
Desafio
Matemático
01. (UFC) Calcule o valor da expressão
1/2
0
0
0
+ (–3) + (–0,1) . (25–1) .
b) 7
c) 2/7
e) n.d.a.
02. (UFAM) Simplifique a expressão:
Exemplo 8:
x
x-1
(UFAM) Resolva a equação 7 + 7
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Solução:
7x + 7x-1 = 8x
7x
7x + –––= 8x
7
1
7x(1 + ––– )= 8x
7
8/7 = (8/7)x ⇒ x = 1
S = {1}
x
=8.
Inequação Exponencial
Chamamos de inequações exponenciais toda
inequação na qual a incógnita aparece em
expoente.
Para resolver inequações exponenciais, devemos
realizar dois passos importantes:
1.° redução dos dois membros da inequação a
potências de mesma base;
2.° aplicação da propriedade:
Se a > 1, então f será decrescente
–1
4 – 2
a) 2
d) 7/2
a) 11
d) 11/318
b) 318
e) n.d.a.
c) 318/11
03. (UTAM)Qual é o valor da expressão:
, quando
a = 10-3 e b =10-2?
b) 10-9
e) n.d.a.
a) 10
d) 10-1
c) 109
04. (UFPA)Calcule o conjunto verdade da
equação
.
a) {2}
d) {-3}
b) {3}
e) n.d.a.
c) {-2}
05. (UFPA)Resolva a equação:
52x-1 – 10.5x-1 – 75 = 0, em U = IR.
a) x = 0
d) x = 3
b) x = 1
e) n.d.a.
c) x = 2
06. (UFRS)Determine o valor real de x
para que se tenha
Exemplo 9:
(UEA) Resolva a inequação exponencial:
(0,1)5x-1 ≤ (0,1)2x+8.
a) x ≥ 3
b) x > 3
c) x < –3
d) x ≤ 3
e) n.d.a.
Solução:
(0,1)5x-1 ≤ (0,1)2x+8 ⇒ 5x – 1 ≥ 2x + 8, já que
0 < 0,1 < 1
5x – 2x ≥ 8 + 1
3x ≥ 9
x≥3
Na reta real, teremos que:
Exemplo 5:
(UFRJ) Qual é o conjunto imagem da função
f(x) = 2x + 1?
a) y > 1
b) y < 1
c) 0 < y < 1
d) y > 0
e) n.d.a.
Solução:
2x > 0, para todo x real
Então 2x + 1> 0 + 1 ⇒ f(x) > 1
Equações Exponenciais
Chamamos de equações exponenciais toda
equação na qual a incógnita aparece em
expoente.
Para resolver equações exponenciais, devemos
realizar dois passos importantes:
1.° Redução dos dois membros da equação a
potências de mesma base;
2.° Aplicação da propriedade:
am = an, então m = n, para a > 0 e a ≠ 1
Exemplo 6:
(UNIP) Resolva a equação exponencial:
23x+1=128
a) x = 2
b) x = -1
c) x = 0
d) x = 3
e) .d.a.
Solução:
23x+1=128 ⇒ 23x+1=27 ⇒ 3x + 1 = 7 ⇒ 3x = 6
⇒x=2
S = {2}
Por propriedade, teríamos:
S = {x ∈ IR/ x ≥ 3}
Por intervalo, teríamos:
S = [3;+∞[
(UFAM) Qual é o domínio mais amplo da função:
?
3
b) x > -5
e) n.d.a.
b) x = 3
e) n.d.a.
.
c) x = 4
07. (FUVEST) Determine a solução da
inequação: 22x+2 – 0,75.2x+2 < 1.
a) x < 2
d) x > 0
b) x > 2
e) n.d.a.
c) x < 0
2
08. Na função exponencial y = 2x – 4x
encontre os valores de x para os quais
1 < y < 32.
a)
b)
c)
d)
e)
–1 < x < 0 ou 4 < x < 5
–1 < x < 0
4<x<5
x > –1
x < –1 ou x > 5
09. Seja A = x + y onde x e y são,
respectivamente, as soluções das
equações exponenciais
e
9.3y+1 – 3y = 78. Calcule o valor de ª
Exemplo 10:
a) x < 5
d) x > 5
Solução:
a) x = 2
d) x = 5
a) 30
d) 45
b) 35
e) 50
c) 40
10. (UNINORTE)Resolver a equação:
.
c) x < -5
a) S={1,2}
c) S={1,3}
e) S={0,1}
b) S={0,2}
d) S={1,4}
Desafio
Matemático
01. (UFAM)Se
a)
b)
c)
d)
e)
Matemática
Professor CLÍCIO
Logaritimos
, então x vale:
6
2
3
5
1
é:
x < -2
x>0
–2 < x < 0 ou x > 2
–2 < x < 0 ou x > 1
x>2
03. Sendo x e y reais, tais que
e
, então x + y
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
é igual a:
b) {-2}
e) {6}
c) {2,-6}
06. (UFPE)Se log5 = 3n, log3 = m e
a) m + n
d) 3n + m
Considere a função y = ax , denominada função
exponencial, onde a base a é um número
positivo e diferente de 1, definida para todo x real.
x
Observe que nestas condições, a é um número
positivo, para todo x ∈ IR, onde IR é o conjunto
dos números reais.
Denotando o conjunto dos números reais positivos por R+* , poderemos escrever a função
exponencial como segue:
f: R → R*+ ; y = ax , 0 < a ≠ 1
Esta é bijetora, pois:
a) é injetora, ou seja: elementos distintos
possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem
coincide com o seu contradomínio.
Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA
e, portanto, é uma função inversível, OU SEJA,
admite uma função inversa.
x
Vamos determinar a da função y=a , onde
0<a ≠ 1.
Permutando x por y, vem:
x = ay → y = logax
Portanto, a função logarítmica é então:
f: R*+ → R ; y = logax , 0 < a ≠ 1.
Mostramos a seguir, os gráficos das funções
exponencial (y = ax) e logarítmica (y = logax),
para os casos a > 1 e 0 < a ≠ 1. Observe que,
sendo as funções, inversas, os seus gráficos
são curvas simétricas em relação à bissetriz do
primeiro e terceiro quadrantes, ou seja,
simétricos em relação à reta y = x.
• cologbN = – logbN.
(UFAM) Determine o valor de
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
Solução:
05. (UNIP)O conjunto verdade da equação
2logx = log4 + log(x + 3) é:
1002x =
Função Logaritmica
• logbN = logN / logb
• logba . logab = 1
Exemplo 1:
8n/3
4n/3
2n/3
3n
n/3
a) {-2,6}
d) ∅
Propriedades dos logaritmos
Sejam a, b, c ∈ IR*+ e a,c ≠ 1.
• O logaritmo da unidade em qualquer base é
nulo, ou seja, logb1 = 0 porque b0 = 1.
• O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou
seja, logbb =1, porque b1 = b.
• logbbk = k, porque bk = bk .
• blogbM = M ou seja, b elevado ao logaritmo
de M na base b é igual a M.
• loga(b.c) = logab + logac
• loga(b/c) = logab – logac
logab
• loga b = —–––––– , com logca ≠ 0
logca
então
, então x vale:
b) 3m + n/4
e) m + n/4
c) 3n + m/4
.
Exemplo 2:
(UTAM) Simplificar a expressão:
2+log3 2
.
3
a) 12
b) 81
c) 18
d) 21
e) n.d.a.
Solução:
2+log 2
3 = 32.3log32 = 9.2 =18
3
Exemplo 3:
(PUC) Calcule o logaritmo de 1/64 na base 0,25.
Solução:
07. O valor de logx8, sendo x a solução da
equação
é:
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
08. Se log3a = x, então log9a2 é igual a:
a) x
2
d) x
b) 2x
2
e) 2x
c) x + 2
,
observe que:
sen 1° = cos 89°, sen 2° = cos 88°, .................
Então, teremos que a expressão se reduz a log1 = 0
Exemplo 6:
(USP) Calcule o valor da expressão
.
a) 12
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20
Solução:
• Logaritmo da potência: logabn = n.logab
1
• logam b = —––. logab
m
0
–1
–2
1 ou –4
–6 ou –2
04. (UEA)Se logax = n e logay = 6n,
a)
b)
c)
d)
e)
=
O Conceito de Logaritmo
Sejam a, b ∈ IR*+ e a ≠ 1. O número x que
satisfaz a igualdade ax = b é chamado logaritmo
na base a de b.
O símbolo para representar a sentença “O logaritmo na base a de b é igual a x” é: logab = x.
x
Portanto, logab = x ⇔ a = b
02. (FATEC)O domínio da função
a)
b)
c)
d)
e)
Exemplo 5:
(UFRR)Calcule o valor da expressão:
log tg1° + log tg2° + log tg3° + .....+ log tg89°.
a) –1
b) 1
c) 2
d) 0
e) 3
Solução:
log tg1°+log tg2°+log tg3°+....+ log tg89° =
= log(tg1°. tg2°. tg3°............... tg89°) =
Exemplo 4:
(MACK) Simplifique a expressão:
log25. log57. log78.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Solução:
4
Da simples observação dos gráficos acima,
podemos concluir que:
• Para a > 1, as funções exponencial e
logarítmica são CRESCENTES;
• Para 0 < a ≠ 1, elas são DECRESCENTES.
• O domínio da função y = logax é o conjunto
R*+ .
• O conjunto imagem da função y = logax é o
conjunto R dos números reais.
• O domínio da função y = ax é o conjunto R
dos números reais.
• O conjunto imagem da função y = ax é o
conjunto R*+.
2
logx (3x – x) – 2 = 0
2
2
logx (3x – x) = 2 ⇒ 3x – x =x2
x2
2 – x = 0 ⇒ x = 1/2 (V) ou x = 0 (F)
Logo x = 1/2 é a solução dessa equação.
Exemplo 11:
(UEA) Dê o conjunto solução da equação:
.
a) 10
d) 40
Solução:
Exemplo 7:
(UEA) Qual é o domínio mais amplo da função:
2
f(x) = log(1 – x )?
a) x < -1
b) x > 1 c) –1 < x < 1
d) x > 0
e) x < 0
Solução:
f(x) = log(1 – x2) 1 – x2 > 0
1 – x2 = 0, então x = ± 1
b) 20
e) n.d.a.
Desafio
Matemático
c) 30
Exemplo 12:
(PUC) Resolva a equação log(x–4) (–4x + 13) = 2
a) x = 5
b) x = 6
c) x = 7
d) x = 8
e) S = ∅
Solução:
01. (UFBA)A equação xlogx = 10000
admite duas raízes:
a)
b)
c)
d)
e)
iguais
opostas entre si
inteiras
cujo produto é igual a 1
cuja soma é 101
02. (UFAM) Se log3x + log9x = 1, então
o valor de x é:
a)
Logo –1 < x < 1 é a solução.
Exemplo 13:
(USP) Resolver a equação log5(log3x) = 1.
a) 27
b) 64
c) 81
d) 243
e) 256
Solução:
Observe a condição de existência,
Exemplo 8:
(UFAM) Determine a condição de existência da
função f(x) = log(1-x) (2x).
a) x < -1
b) x > -1
c) –1 < x < 0
d) 0 < x < 1 e) x > 0
Solução:
f(x) = log(1-x)(2x)
log5(log3x) = 1 ⇒ log3x = 5 ⇒ x = 35 = 243(V)
Inequações Logaritmicas
Chamamos de inequações logarítmicas toda
inequação que envolve logaritmos com a
incógnita aparecendo no logaritmando, na base
ou em ambos.
Para resolver inequações logarítmicas, devemos
realizar dois passos importantes:
1. redução dos dois membros da inequação a
logaritmos de mesma base;
2. aplicação da propriedade:
Se a > 1, então logam > logan ⇒ m>n>0
Se 0<a<1, então logam > logan ⇒ 0<m<n
Exemplo 9:
(FEI) No campo real, para que valores de x tem
sentido a expressão y = log(x2 +x –12)?
a) x < 4
b) x < -4 ou x > 0
c) x < -4 ou x > 3 d) x > 3
e) x < -3
Solução:
y = log(x2 +x –12) ⇒ x2 +x –12 > 0
x2 +x –12 = 0 ⇒ x = -4 ou x = 3
Exemplo 14:
(UFAM) Resolver a inequação logaritmica:
log3(5x – 1) > log34.
a) x < -1
b) x > 1
c) x > -1
d) x > 0
e) x < 1
Solução:
log3(5x – 1) > log34
(1) 5x – 1 > 0 ⇒ 5x > 1 ⇒ x > 1/5
(2) 5x – 1 > 4 ⇒ 5x > 5 ⇒ x > 1
Logo x > 1
x < -4 ou x > 3
Equações Logarítmicas
Chamamos de equações logarítmicas toda
equação que envolve logaritmos com a
incógnita aparecendo no logaritmando, na base
ou em ambos.
Para resolver equações logarítmicas, devemos
realizar dois passos importantes:
1. redução dos dois membros da equação a
logaritmos de mesma base;
2. aplicação da propriedade:
logax = logay ⇒ x = y, satisfeitas as
condições de existência.
Exemplo 10:
(UNIP) Determinar o conjunto solução da
2
equação: logx (3x – x) – 2 = 0.
a) 1
b) 1/2
c) 2
d) 2/3
e) 3
Solução:
Vamos a condição de existência dos elementos
dessa equação logaritmica.
Exemplo 15:
(UTAM) Determine o conjunto solução da
inequação:
log12(x -1) + log12(x -2) ≤ 1.
a) x > 2
b) x < 5
c) x ≤ -5
d) 2 ≤ x ≤ 5
e) 2 < x ≤ 5
Solução:
b)
c) 9
d) 3
e) n.d.a.
03. (FGV)Daqui a t anos o valor de um
automóvel será V = 2000.(0,75)t
dólares. A partir de hoje, daqui a
quantos anos ele valerá a metade do
que vale hoje?
a)
b)
c)
d)
e)
3 anos
2,5 anos
2 anos
4,5 anos
6 anos
04. (MACK)O domínio da função
é:
a)
b)
c)
d)
e)
0<x<2
0<x≤2
x<0
x>2
n.d.a.
05. (FGV) Se log23 = a, calcule o
conjunto solução da equação 2x +
27.2-x = 12.
a) {a,2a}
d) {-a,2a}
b) {a}
e) {a,3a}
c) {3a,2a}
06. (UFMG)Determine os valores inteiros
de x e y, tais que
a) (2,64)
d) (2,128)
b) (1,4)
e) (4,64)
c) (2,32)
07. (UFPA)Resolva a equação
log2 (x+3) + co log2 (x–1) = 1.
a) x = 2
d) x = 5
b) x = 3
e) x = 6
c) x = 4
08. (USP)Determine o conjunto solução
da inequação
(1)
(2) log12[(x – 1).(x – 2)] ≤ 1
x2 –3x + 2 ≤ 12
x2 –3x - 10 ≤ 0 ⇒ -2 ≤ x ≤ 5
Portanto, 2 < x ≤ 5
5
a) x > -2
d) x < 3
b) x < 4
c) x > 4
e) 1 < x < 3
Anota
Aí!
MOVIMENTOS CIRCULARES
Física
tangente à curva, no ponto considerado, e
sentido indicado pela orientação do vetor:
Professor CARLOS Jennings
Atenção: uma grandeza vetorial só é constante
se forem constantes sua direção, seu sentido e
sua intensidade. Assim, o único movimento
que tem velocidade vetorial constante é o
movimento retilíneo uniforme.
Movimentos circulares
Na Cinemática Escalar, estudamos a descrição
de um movimento em trajetória conhecida,
utilizando as grandezas escalares. Agora,
veremos como obter e correlacionar as
grandezas vetoriais descritivas de um
movimento, mesmo que não sejam conhecidas
previamente as trajetórias.
Aceleração Vetorial Instantânea
É a aceleração vetorial de um móvel em cada
ponto de sua trajetória.
Vamos decompor o vetor aceleração instantânea, tomando como base a direção do vetor
velocidade:
Deslocamento Vetorial
Representação de uma partícula em MCU. Os
intervalos de tempo entre duas posições
consecutivas são sempre iguais.
→
→
1. Aceleração tangencial (at) – Compõe a
aceleração vetorial na direção do vetor veloci→
dade ( v ) e indica a variação do módulo deste.
Possui módulo igual ao da aceleração escalar:
Δv
at = a = –––
Δt
Importante:
→
→
1. Em movimentos acelerados, at e v têm o
mesmo sentido, como na Figura, acima.
→
→
2. Em movimentos retardados, at e v têm
sentidos contrários.
→
3. Em movimentos uniformes, at é nula, já que
→
o módulo de v não varia nesses movimentos.
→
Na Figura 1, rA e rB são vetores-posição com
origem em O. Se um móvel realizar um
movimento de A para B, terá realizado um
→
deslocamento Δr , com origem no ponto A e
extremidade no B, dado pela diferença entre o
vetor-posição no fim do deslocamento e o vetorposição no início:
→
→
→
Δr = rB – rA
Velocidade Vetorial Média
Numa trajetória qualquer (retilínea ou curvilínea),
a velocidade vetorial média é definida pela razão
entre o vetor deslocamento e o correspondente
intervalo de tempo:
Um satélite em órbita circular em torno da
Terra realiza um movimento que, além de
circular, é uniforme. Em telecomunicações
destacam-se os satélites denominados
geoestacionários. Esses satélites
descrevem uma circunferência com cerca
de 42 000km de raio, no mesmo plano do
equador terrestre, e se mantém
permanentemente sobre um mesmo local
da Terra, completando, portanto, uma volta
a cada 24 horas.
→
2. Aceleração centrípeta ou normal (ac) –
Componente da aceleração vetorial na direção
do raio de curvatura (R); indica a variação da
→
direção do vetor velocidade ( v ); tem sentido
apontando para o centro da trajetória (por isso,
centrípeta) e módulo dado por:
v2
ac = ––––
R
→
Importante: nos movimentos retilíneos, ac é nula
porque o móvel não muda de direção nesses
movimentos.
(o vetor velocidade média tem a mesma direção
e o mesmo sentido do vetor deslocamento).
Aplicação 1
Num certo instante, um homem observa o filho
dele deslocar-se de bicicleta da posição A, a 6m
do ponto O em que está posicionado. Depois de
5s, a criança está na posição B, a 8m do mesmo
referencial, conforme ilustra a figura. Determine o
módulo da velocidade vetorial média do movimento do menino.
3. Aceleração vetorial resultante – A obtenção
da intensidade da aceleração resultante pode ser
feita aplicando-se o Teorema de Pitágoras no
triângulo retângulo em destaque na figura acima:
2
2
2
a = a t+ a c
Aplicação 2
Um corpo descreve uma trajetória circular de
diâmetro 20cm, com velocidade escalar de
5m/s, constante. Nessas condições, calcule a
aceleração à qual fica submetido o corpo.
Solução:
Módulo do deslocamento vetorial:
Solução:
Como D = 20cm, o raio R = 10cm = 0,1m;
v = 5m/s.
O módulo da velocidade não muda (v constante),
então: at = 0.
A aceleração do corpo é:
2
2
2
2
2
a = a t + a c ∴ a = a t ∴ a = ac
2
2
2
v
5
a =–––– = ––––– = 250m/s
R
0,1
Módulo da velocidade vetorial média:
A Lua completa uma volta ao redor da
Terra em aproximadamente 27 dias
(período de translação). Nesse mesmo
intervalo de tempo, ela também completa
uma rotação em torno de seu eixo
(período de rotação). Em virtude dessa
igualdade de períodos de translação e
rotação da Lua, ela nos mostra sempre a
mesma face. A outra face (face oculta) só
ficou conhecida com o advento da era
espacial.
Velocidade Vetorial Instantânea
A direção, o sentido e a "rapidez" (módulo) do
movimento, em cada ponto da trajetória, são os
elementos que o vetor velocidade instantânea
representa.
MOVIMENTOS CIRCULARES
Deslocamento escalar – O perímetro de uma
circunferência corresponde à medida do arco
relativo a uma circunferência completa (uma volta):
S = 2πR (Unidade no SI: metro – m).
A correspondente medida em radianos vale:
S
2π R
θ = ––– = ––––– = 2π rad
R
R
Assim, quando um corpo se desloca sobre uma
circunferência, podemos fornecer a sua posição
mencionando o ângulo central correspondente.
1. Em um movimento retilíneo:
A velocidade vetorial, em dado instante, tem o
sentido do movimento e a direção da reta em
que ele ocorre:
2. Em um movimento curvilíneo:
A velocidade vetorial instantânea tem direção
6
Deslocamento angular – A medida algébrica
do ângulo que define a posição do corpo, em
relação à origem, é chamada de fase (θ).
A variação sofrida pela fase (Δθ ), num dado
intervalo de tempo, recebe o nome de
deslocamento angular: Δθ = θ – θo (unidade
no SI: radiano – rad).
Relação entre os deslocamentos escalar e
angular – É uma constante de valor igual ao
raio da circunferência:
ΔS
ΔS
––– = R ⇒ Δθ = –––
Δθ
R
Velocidade escalar linear e velocidade
angular – Do mesmo modo como definimos a
velocidade escalar média (vm= ΔS/Δt), podemos
definir a velocidade angular média:
Δθ
ωm= ––– (unidade no SI: rad/s).
Δt
Relação entre velocidade escalar média e
angular média – Opera-se por meio do raio:
vm
ωm = –––
∴ vm = ωm R
R
Relação entre aceleração centrípeta e
velocidade angular:
2
2
(ω R)
v
2
ac = ––– = –––––– ⇒ ac = ω R
R
R
Aceleração escalar linear e aceleração angular
– Do mesmo modo como definimos a aceleração
escalar média (am = Δv/Δt), podemos definir a
aceleração angular média:
Δω
γm = ––––
Δt
Relação entre aceleração escalar média e
angular média – Opera-se por meio do raio:
am
γm = ––––
⇒ am = γm R
R
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
Características:
• Trajetória: circunferência.
• Movimento periódico.
• Velocidade vetorial: constante em módulo e
variável em direção e sentido.
• Aceleração tangencial: nula.
• Aceleração centrípeta: constante em módulo
e variável em direção e sentido.
• Freqüência e período: constantes.
Funções horárias escalar e angular (de fase):
Desafio
Físico
01. Considere a Terra perfeitamente
esférica e suponha um aro nela
ajustado, na linha do equador (que
mede aproximadamente 40 000km).
Aplicação 4
(FGV) A função horária do espaço, para um
MCU de raio 2m, é S = 5 + 4t (SI). Determine:
a) A função horária de fase.
Solução:
R = 2m; S = 5 + 4t
S
5 + 4t
θ = ––– = ––––––– ∴ θ = 2,5 + 2t
R
2
b) As velocidades escalar e angular do
movimento.
Solução:
Das funções horárias do espaço e da fase,
respectivamente, retiramos:
v = 4m/s e ω = 2rad/s
c)As acelerações tangencial e centrípeta
para esse movimento.
Solução:
at = 0 (MCU);
2
2
v
4
2
ac = ––– = –––– = 8m/s
R
2
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE
VARIADO (MCUV)
Características:
• Trajetória: circunferência.
• Velocidade vetorial: variável em módulo,
direção e sentido.
• Aceleração tangencial: constante em módulo,
variável em direção e sentido.
• Aceleração centrípeta: variável em módulo,
direção e sentido.
Expressões do MCUV:
Funções horárias
MOVIMENTOS PERIÓDICOS
Aqueles que se repetem identicamente em
intervalos de tempo iguais.
Grandezas características:
1. Freqüência (f) – Representa o número de
voltas (n) que o móvel efetua por unidade de
tempo:
n
f = ––– (unidade no SI: rotações por segundo
Δt
(rps), que recebe o nome de hertz – Hz).
2. Período (T) – Representa o intervalo de
tempo correspondente a uma volta completa:
Se o comprimento desse aro for
aumentado de 1m, surgirá uma folga x
entre ele e a Terra, como está indicado
na figura. Dentre as alternativas,
assinale aquela que traz o maior animal
capaz de passar por essa folga:
a) Pulga.
d) Gato.
b) Aranha.
e) Elefante.
c) Rato.
02. (FEI–SP) Uma partícula descreve uma
circunferência com movimento
uniforme. Pode-se concluir que:
a) Sua velocidade vetorial é constante.
b) Sua aceleração tangencial é não-nula.
c) Sua aceleração centrípeta tem módulo
constante.
d) Sua aceleração vetorial resultante é nula.
e) Suas acelerações tangencial e resultante
são iguais em módulo.
Arapuca
Encontre uma expressão da velocidade escalar
linear v de um ponto da superfície da Terra,
referida apenas ao movimento de rotação, em
função da latitude L. A Terra, suposta esférica,
tem raio R e seu período de rotação é T.
Solução:
Δt
T = –––– (unidade no SI: segundo – s).
n
Relação entre T e f – O período é o inverso da
freqüência:
f = 1/T ou T = 1/f
Relação entre ω, T e f :
Δθ
2π
ω = –––– ∴ ω = –––– ∴ ω = 2πf
Δt
T
Aplicação 5
Uma partícula em MCUV tem sua velocidade
angular alterada de 2π rad/s para 10π rad/s,
durante 20s. Calcule o número de voltas que a
partícula efetua nesse intervalo de tempo.
Aplicação 3
Um móvel percorre uma trajetória circular de 4m
de raio, dando 4 voltas em 8s. Quais as
velocidades tangencial e angular do móvel?
Solução:
ωo = 2π rad/s; ω = 10π rad/s
ω = ωo + γ t
10π = 2π + γ .20 ⇒ 10π – 2π = γ . 20
2π
2
γ = –––– rad/s
5
O deslocamento angular:
2
2
ω = ω o+ 2 γ Δθ
2π
2
2
100π = 4π + 2. ––– . Δθ ⇒ Δθ =120πrad
5
O número de voltas:
1 volta → 2π rad
n voltas → 120π rad
n = 60
Solução:
Comecemos pelo período:
4 voltas → 8s
1 volta → T
Então: T =2s
Agora, a velocidade tangencial:
2. 3,14 .4
2π R
v = ––––– = ––––––––– = 12,56m/s
T
2
Finalmente, a velocidade angular:
2. 3,14
2π
ω = –––– = –––––––– = 3,14rad/s
T
2
7
Um ponto P qualquer, de latitude L, da superfície
terrestre descreve uma circunferência de raio r
em relação ao eixo da Terra, com velocidade
angular dada por:
2π
ω = –––– (I)
T
Do triângulo destacado, temos:
r
cosL = –––– ⇒ r = RcosL (II)
R
A velocidade escalar linear é dada por:
v =ω r (III)
Substituindo (I) e (II) em (III), obtemos:
2πRcosL
v = ––––––––––
T
Anota
Aí!
UNIDADES DE FORÇA
No SI, a unidade de intensidade de força é o
Newton, cujo símbolo é N. Considerando a
2.a Lei de Newton, temos:
F=m.a
2
-2
1N = 1kg . 1m/s ⇒ N = m . kg . s
O SISTEMA CGS
O sistema de unidades mais usado é o SI.
Mas algumas áreas da Física, por razões
práticas, usam o sistema CGS (iniciais das
unidades básicas desse sistema: centímetro,
grama e segundo).
Física
da força normal (N) trocada entre os corpos em
contato: Fat = μ .N
Professor CARLOS Jennings
Dinâmica
Nesta aula, aprenderemos a analisar as causas
dos movimentos, pela aplicação das chamadas
Leis de Newton, e resolver problemas a partir do
conceito físico de força.
Caiu no vestibular
(FGV) Tendo um objeto sobre um
plano horizontal rugoso, para pô-lo em
movimento é necessário aplicar uma
força:
Conceitos básicos
Força
• Resultado da interação entre corpos.
• Unidade de força (SI): Newton (N)
a) qualquer;
b) igual ao peso;
c) menor que para mantê-lo em movimento
uniforme;
d) a mesma para mantê-lo em movimento
uniforme;
e) maior do que para mantê-lo em movimento uniforme.
Efeitos de uma força:
•
•
•
•
Alterar o movimento ou o repouso.
Produzir equilíbrio.
Deformar um corpo.
Anular outra força.
Interações a distância
Solução:
Para que o corpo entre em movimento, é
necessário aplicar uma força maior que a força
de atrito estático. Sabemos que a força de atrito
estático é maior que a força de atrito cinemático.
Letra “e”.
1. Forças de campo
• Interação sem contato.
• Meio transmissor: campo.
• Forças de campo: gravitacional, magnética e
elétrica.
Força peso
No sistema CGS, a unidade de intensidade
de força é dina, cujo símbolo é dyn. A
relação entre as unidades de força do SI e
do sistema CGS é:
1N = 105dyn
O QUILOGRAMA-FORÇA
O quilograma-força (cujo símbolo é kgf) é
uma antiga unidade de força que não
pertence ao SI, mas que ainda hoje é usada.
O kgf é definido como a intensidade de
força igual à intensidade do peso de um
corpo cuja massa é 1kg, num local em que
a aceleração da gravidade tem seu valor
normal (9,80665m/s2). Observe:
P=m.g
1kgf = 1kg . 9,80665m/s2
1kgf = 9,80665N
Desafio físico
01. Um bloco de 30kg está em repouso
sobre uma superfície horizontal. Os
coeficientes de atrito estático e dinâmico
entre o bloco e a superfície valem,
respectivamente, 0,30 e 0,25 (g =
10m/s2). Uma corda é amarrada ao
bloco numa direção paralela à superfície
horizontal. Nessas condições,
determine:
a) a intensidade da tração na corda que
deixa o bloco na iminência de
movimento;
b) a aceleração do bloco, se a tração na
corda é 150N.
Força resultante
Nas proximidades de um planeta (satélite ou
estrela), o peso é a força com que esse planeta
(satélite ou estrela) atrai um corpo.
Cuidado! No dia-a-dia, as pessoas costumam
confundir massa com peso. São comuns frases
do tipo: “O meu peso é 70 quilogramas”. Mas
quilograma é unidade de massa (conforme já
vimos na apostila anterior) e não de peso. O
peso é uma força (P = mg) e, assim, deve ser
expresso em unidades de força.
É a soma vetorial de todas as forças atuantes
em um corpo. A força resultante sozinha produz
o mesmo efeito dinâmico que todas as forças
associadas produzem sobre o corpo.
Veja um exemplo simples:
Um corpo de massa 5kg é solicitado somente
pelas duas forças da figura. Represente
graficamente a resultante e encontre a sua
intensidade.
Arapuca
Ao nível do mar, a aceleração da gravidade é:
2
2
gP = 9,83m/s no pólo Norte, e gE = 9,78m/s
no equador. Na Lua, a aceleração da gravidade
2
é, aproximadamente, gL = 1,6m/s . Calcule o
peso de um corpo de massa m = 100kg em
cada um desses lugares.
Solução:
Solução:
No pólo Norte: PP = m . gP = 100 . 9,83 = 983N
No Equador: PE = m . gE = 100 . 9,78 = 978N
Na Lua: PL = m . gL = 100 . 1,6 = 160N
Observe que, ao ir de um lugar para outro, a
massa do corpo não mudou; o que mudou foi o
seu peso, ou seja, a força de atração exercida
sobre ele (no caso, pela Terra e pela Lua).
A intensidade da resultante é dada pela soma
vetorial das duas forças que atuam no corpo.
2
2
2
R =3 +4 ⇒R=
⇒ R = 5N
Interações de contato
Forças de contato
• Resultado da compressão entre sólidos.
• Dificuldade à interpenetração.
LEIS DE NEWTON
LEIS DO MOVIMENTO MECÂNICA CLÁSSICA
Componentes da força de contato
Primeira Lei de Newton
Princípio da Inércia
Sob condição de força resultante nula, um
corpo tende a permanecer, por inércia, em
repouso ou em MRU.
1. Força Normal
• Aplicada pela superfície.
• Age sempre no sentido de empurrar.
2. Força de Atrito
• Atrito estático: corpos em contato com
tendência ao deslizamento.
• Atrito dinâmico: ocorre no deslizamento
depois que se supera o valor máximo do
atrito estático.
A intensidade da força de atrito é proporcional à
Equilíbrio
As situações previstas na 1.a Lei (repouso e
MRU), constituem situações em que a resultante
das forças que atuam no corpo é nula:
• Repouso: equilíbrio estático.
• MRU: equilíbrio dinâmico.
8
μ .P = m.a
Fazendo P = mg:
μ .mg = m.a
a = μ .g
Substituindo esse resultado na equação de
Torricelli:
2
2
v = vo + 2aΔS
2
2
0 = 20 – 2. μ .g.ΔS
0 = 400 – 2. 0,5 .10.ΔS
ΔS = 40m
Portanto, o móvel percorre 10m até parar.
Aplicação 1
Um avião está em vôo ascendente, em trajetória
retilínea x, inclinada de θ em relação ao solo,
admitido plano e horizontal, sob a ação de
quatro
forças:
→
P
:
força
da gravidade.
→
S
: força de sustentação do ar.
→
F
: força propulsora.
→
R: : força de resistência do ar.
Terceira Lei de Newton
Princípio da Ação-Reação
Se um corpo A exerce uma força sobre um
corpo B, o corpo B reage em A com uma força
de mesma intensidade, mesma direção, mas de
sentido contrário.
→
Supondo que o movimento do avião seja
uniforme, analise as proposições a seguir,
apontando as falsas e as verdadeiras.
I) O→avião
está em equilíbrio
dinâmico.
→ → →
→
S+→F+ R =→0
II) P+
→
III) | F|=
R: |→+ | P|sen θ
→
IV) | S| = | P|
V) O avião está em movimento, por inércia.
Solução:
I) Correta. Se o avião realiza movimento retilíneo
uniforme, ele está, como vimos, em equilíbrio
dinâmico.
II) Correta. A resultante das forças atuantes no
avião
deve ser nula
(condição de equilíbrio):
→ → → →
→
P+ S+ F+ R = 0
III) Correta. Na direção x, a resultante das forças
deve
ser→nula. Logo:
→
→
| F|= | R| + | P|sen θ
IV) Errada. Na direção y, a resultante das forças
também
deve
ser nula. Então:
→
→
| S| = | P| cos θ
V) Correta.
→
F AB = – F BA
Forças de ação-reação:
• São coexistentes.
• São simultâneas.
• Podem apresentar efeitos diferentes.
• Não se anulam.
Aplicação 2
Um rebocador arrasta duas pequenas balsas
idênticas, de 3,2t de massa cada, imprimindolhes uma aceleração de módulo 0,10m/s2, ao
longo de uma linha reta. A força de tração no
cabo que o une à primeira balsa tem
intensidade de 800N.
Desafio
Físico
01. (UEA – Aprovar) Considere uma caixa
de massa m em repouso em relação à
superfície da Terra, considerada
horizontal. Assinale certo ou errado:
I. O peso da caixa é a força de interação entre ela e a superfície.
II. Se a caixa estivesse no ar, ela não
aplicaria força na superfície, mas,
ainda assim, estaria interagindo com
a Terra.
III. A força normal é uma interação de
contato e a força peso é uma
interação de campo.
02. Dois blocos (A, de 3,0kg, e B, de
7,0kg) ligados por um fio, inicialmente
em repouso sobre um plano horizontal,
→
são puxados para a direita pela força F
de intensidade 50N.
Sendo o coeficiente de atrito entre os
blocos e a superfície horizontal igual a
0,20, determine:
a) a aceleração adquirida pelos blocos;
b) a intensidade da força de tração no
fio que une os blocos.
03. Com base na Primeira Lei de Newton,
julgue as afirmações seguintes:
A força de resistência aplicada pela água em
cada balsa, tem intensidade f e a força de
tração no cabo que une as duas balsas tem
intensidade T. Calcule f e T.
Segunda Lei de Newton
Princípio Fundamental da Dinâmica
Força e variação de velocidade são diretamente
proporcionais: F = ma.
• Maior força aplicada, maior aceleração.
• Maior massa, menor aceleração.
Solução:
3
m = 3,2t = 3,2 . 10 kg
a
2. Lei de Newton para o conjunto das duas
balsas:
T1 – 2f = (m + m).a ⇒ T1 – 2f = 2ma
3
800 – 2f = 2 . 3,2 . 10 . 0,10 ⇒ f = 80N
a
2. Lei de Newton para a balsa de trás:
3
T2 – f = ma ⇒ T2 – 80 = 3,2 . 10 . 0,10
T2 = 400N
Caiu no vestibular
01. (FGV) Um corpo com massa igual a
10kg, sujeito a uma força de 30N,
partindo do repouso, terá que
velocidade após 6m de percurso?
Solução:
A 2.a Lei de Newton permite encontrar a
aceleração do automóvel:
F=m.a
30 = 10.a → a = 3m/s2
Aplicação 3
Qual a força mínima, expressa em N, para
acelerar um corpo de massa 1,0kg, Segundo a
vertical, para cima, com aceleração de 1m/s2?
(g = 10m/s2)
Como o tempo do movimento não foi fornecido,
utilizemos a equação de Torricelli:
2
2
v = vo + 2aΔS
2
v = 0 + 2.3.6 ⇒ v = 6m/s
Solução:
02. (ITA) Um corpo é lançado com
velocidade de 20m/s sobre um plano
horizontal rugoso. Qual é o espaço
percorrido pelo corpo até parar?
(Dados: μ = 0,5 e g = 10m/s2).
A resultante das forças que agem no corpo é:
R=F–P
Aplicando a 2.a Lei de Newton:
m.a = F – m.g ⇒ F = m(a+g)
F = 1(1+10) ⇒ F =11N
Solução:
→
→
Fat = R
μ .N = m.a
Como N = P, temos:
9
I. Um corpo em repouso permanece
em repouso se, e somente se, a
resultante das forças que agem
sobre ele é nula.
II. Um corpo em movimento retilíneo e
uniforme permanece em movimento
retilíneo e uniforme se, e somente
se, a resultante das forças que agem
sobre ele é nula.
III.Sob resultante nula, dizemos que as
forças que agem no corpo estão
equilibradas.
IV. Um corpo em repouso encontra-se
em equilíbrio estático.
V. Um corpo em movimento encontrase em equilíbrio dinâmico. (V)
VI.Para um corpo estar em equilíbrio
não pode haver forças agindo sobre
ele. (F)
04. Um bloco de massa 50kg encontra-se
em repouso sobre uma superfície
horizontal perfeitamente lisa. Aplica-se
ao bloco uma força paralela à superfície
e para a direita, de módulo 80N, durante
10s.
a) Qual é a aceleração do bloco?
b) Qual será a velocidade do bloco
após os 10s?
c) Se, após os 10s, a força é retirada, o
que acontece com a velocidade do
bloco?
Desafio
Gramatical
01. Escolha a letra em que a norma culta
da língua NÃO foi respeitada.
a) Tem a ONU uma função precípua: ela
medeia a paz entre as nações.
b) Nos dias de hoje, os jovens anseiam
por diversões e aventuras.
c) Ações bem-articuladas do Ministério
Público remediam injustiças no interior
do Amazonas.
d) Declarações do presidente incendeiam
os ânimos políticos e provocam malestar na bancada governista.
e) Apesar dos maus-tratos que recebe
dos familiares, ele não os odeia.
02. Escolha a letra em que a norma culta
da língua NÃO foi respeitada.
a) Quando estivemos aqui, há três anos,
este riacho ainda abrigava muitas
vidas.
b) Quando estivemos aqui, três anos
atrás, este riacho ainda abrigava
muitas vidas.
c) Em dadas circunstâncias, a poluição
dos igarapés-açus pode passar
despercebida.
d) O Sol, estrela em torno da qual giram a
Terra e os outros planetas do sistema
solar, denomina-se Coaraci na
mitologia tupi-guarani.
e) Hajam os problemas que houver, não
se deixe influenciar por pseudoinformações.
03. (FGV) Ainda que endureçamos os
nossos corações diante da vergonha
e da desgraça experimentadas pelas
vítimas, o ônus do analfabetismo é
muito alto para todos os demais.
A locução ainda que e o advérbio muito
estabelecem, nesse enunciado, relações
de sentido, respectivamente, de
a)
b)
c)
d)
e)
restrição e quantidade;
causa e modo;
tempo e meio;
concessão e intensidade;
condição e especificação.
04. (FGV) Assinale a alternativa que
preenche corretamente o espaço da
frase: “Descubra .................... os
bons sofrem.
a)
b)
c)
d)
e)
porquê
o porquê
por quê
porque
por que
Português
06. Quanto às rimas, o poeta alterna palavras paroxítonas com palavras oxítonas e/ou monossilábicas, isto é, ele alterna rimas:
Professor João BATISTA Gomes
a)
b)
c)
d)
e)
Texto
Bacante
masculinas com femininas;
femininas com masculinas;
masculinas com esdrúxulas;
femininas com esdrúxulas;
femininas com soantes.
07. No verso “eu me afogo em mar de vinho”, o pronome “me” é:
Letra: Anibal Beça
Música: Eudes Fraga
a)
b)
c)
d)
e)
O mar lava a concha cava
e cava concha lava o mar,
como a língua limpa lava
tua concha antes de amar.
Delírio da estrela D’alva:
mistério da preamar
vinda e volta abrindo a aldrava
da concha do paladar.
pronome que integra o verbo;
objeto direto;
objeto indireto;
adjunto adnominal;
complemento nominal.
08. Observe a estrofe:
Oh! Minhas parcas de mel!
eu me afogo em mar de vinho
na espera de algum batel.
A expressão “Minhas parcas de mel”
tem função de:
Oh! Minhas parcas de mel!
eu me afogo em mar de vinho
na espera de algum batel.
a)
b)
c)
d)
e)
Sou cantador de cordel:
estórias sabor marinho,
bacantes de moscatel.
aposto;
vocativo;
sujeito;
oração intercalada;
oração adjetiva.
09. Observe a estrofe:
Perscrutando o texto
Delírio da estrela D’alva:
mistério da preamar
vinda e volta abrindo a aldrava
da concha do paladar.
01. Na primeira estrofe, a seqüência de
sons consonantais simetricamente dispostos constitui:
a)
b)
c)
d)
e)
Pode-se trocar a palavra sublinhada,
sem prejuízo semântico, por:
metáfora;
metonímia;
aliteração;
hipérbato;
hipérbole.
a)
b)
c)
d)
e)
02. Quanto à métrica, os versos do poema
podem ser classificados de:
a)
b)
c)
d)
e)
10. Observe a estrofe:
decassílabos;
eneassílabos;
octossílabos;
redondilha menor;
redondilha maior.
Oh! Minhas parcas de mel!
eu me afogo em mar de vinho
na espera de algum batel.
Sem prejuízo semântico, as palavras
sublinhadas podem ser substituídas,
respectivamente, por:
03. Na primeira estrofe, as rimas cava/lava
e mar/amar são, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
rica e pobre;
ricas;
pobre e rica;
pobres;
esdrúxulas.
04. Pela disposição dos versos nas estrofes
e pela desposição das estrofes no papel, o poema classifica-se como:
a)
b)
c)
d)
e)
deusas e pequeno barco;
favos e pequeno barco;
deusas e batelão;
favos e batelão;
deusas e barcaça.
Caiu no vestibular
Janela do Amor Imperfeito
elegia;
ode;
epitalâmio;
soneto;
madrigal.
Thiago de Mello
Alta esquina no céu, tua janela
surge da sombra e a sombra faz dourada.
Já não me sinto só defronte dela,
me chega doce o fel da madrugada.
05. Quanto à temática, o poema pode ser
classificado de:
a)
b)
c)
d)
e)
boca;
concavidade;
porta;
tranca;
saliva.
Atrás dela te estendes alva e em sonho
me levas desamado sem saber
que mais amor te invento e que te ponho
sobre o corpo um lençol de amanhecer.
Doce é saber que dormes leve e pura,
depois da dura e fatigante lida
que a vida já te deu. Mas é doçura
lírico-erótico;
lírico-sacro;
satírico.
lírico-épico;
bucólico.
10
3. Exemplo 2 – Veja a construção de um tópico
frasal usando-se a “declaração inicial” sobre
o tema “Violência urbana”:
que sabe a sal no mais azul do peito
onde o amor sofre a pena malferida
de ser tão grande e ser tão imperfeito.
A violência urbana não tem,
necessariamente, ligações com a
pobreza ou com o racismo. Ela tem
raízes num modelo de educação que
privilegia uma minoria bem-sucedida,
relegando a maioria a um plano marginal
de vida, sem oportunidades para competir
de igual para igual.
01. (FGV/UEA–2006) O verso 5 do peoma
reme-te a um momento da literatura
anterior ao Modernismo. Identifique-o.:
a)
b)
c)
d)
e)
Simbolismo
Arcadismo
Barroco
Terceira Geração do Romantismo
Segunda Geração do Romantismo
02. (FGV/UEA–2006) O texto classifica-se
como:
a)
b)
c)
d)
e)
Comentários – O tópico frasal está em
negrito e contém uma negação: “a violência
não está ligada à pobreza ou ao racismo”. O
período após o tópico frasal indica as
origens da violência, satisfazendo a
curiosidade levantada pela negação inicial.
écloga.
elegia.
ode.
soneto.
poema em prosa.
4. Exemplo 3 – Veja a construção de um tópico
frasal usando-se a “declaração inicial” sobre
o tema “Ensino superior no Brasil”:
03. (FGV/UEA–2006) Os versos do poemas
são:
a)
b)
c)
d)
e)
decassílabos.
dodecassílabos.
em redondilha maior.
em redondilha menor.
livres.
Cursar uma faculdade e garantir uma
vida estável: sonho cada vez mais
distante para a maioria dos brasileiros.
A conquista de uma profissão em nível
superior depende, quase sempre, do
esforço do próprio universitário e dos
fatores socioeconômicos que o cercam.
04. (FGV/UEA–2006) Para o eu-lírico do
poema, o amor:
a) se realiza plenamente na maturidade.
b) só é possível após a morte.
c) é carregado de imperfeições e
sofrimentos.
d) se manifesta no desejo carnal.
e) é impossibilitado pela vida dura
cotidiana.
Comentários – O tópico frasal está em
negrito e contém uma afirmação: “cursar
uma faculdade é sonho distante para a
maioria dos brasileiros”. O período que vem
depois do tópico frasal condiciona a
aquisição de uma profissão em nível superior
a dois fatores: o esforço do próprio aluno e
as condições sociais e econômicas que o
cercam.
Momento da dissertação
Dificuldades
da língua
DESPERCEBIDO e DESAPERCEBIDO
1. Despercebido – Significa ignorado, sem ser
notado; que não se sentiu ou não se viu;
impercebido.
Veja construções certas e erradas:
a. Quase tudo que se passa à nossa volta
passa desapercebido, isto é, não se
toma como fato que mereça ser
divulgado. (errado)
b. Quase tudo que se passa à nossa volta
passa despercebido, isto é, não se toma
como fato que mereça ser divulgado.
(certo)
c. No processo de revisão textual, erros
passam desapercebidos. (errado)
d. No processo de revisão textual, erros
passam despercebidos. (certo)
2. Desapercebido – Significa despreparado,
desprovido, desprevenido, desaparelhado.
Veja construções certas e erradas:
a. O exército perdeu a batalha porque
estava desapercebido. (certo)
b. O exército perdeu a batalha porque
estava despercebido. (errado)
c. Notou que ela estava desapercebida e
roubou-lhe a bolsa. (certo)
d. Notou que ela estava despercebida e
roubou-lhe a bolsa. (errado)
ABAIXO e A BAIXO
TÓPICO FRASAL 1
Declaração inicial
Momento poético
1. Definição – Declarar, nesse caso, consiste
em “afirmar” ou “negar” alguma coisa logo
no primeiro período do parágrafo. O que vem
depois deve justificar ou fundamentar a
declaração inicial. Todos nós temos algo a
declarar sobre problemas que nos afligem no
dia-a-dia (violência, desemprego, educação,
moradia, terrorismo, êxodo rural, saúde
pública, etc.).
PARA FAZER UM SONETO
Carlos Pena Filho*
Tome um pouco de azul, se a tarde é clara,
e espere pelo instante ocasional.
Neste curto intervalo Deus prepara
e lhe oferta a palavra inicial.
Aí, adote uma atitude avara:
se você preferir a cor local,
não use mais que o sol de sua cara
e um pedaço de fundo de quintal.
2. Exemplo 1 – Veja a construção de um tópico
frasal usando-se a “declaração inicial” sobre
o tema “Violência urbana”:
A violência urbana é um problema
social insolúvel que desafia a
inteligência do homem moderno. A
melhoria do aparato policial, a construção
de novos presídios, a ameaça com pena
de morte são medidas que controlam a
escalada desse mal crônico, mas não
conseguem (nem conseguirão) extirpá-lo
por completo.
Se não, procure a cinza e essa vagueza
das lembranças da infância, e não se
apresse,
antes, deixe levá-lo a correnteza.
Mas ao chegar ao ponto em que se tece
Dentro da escuridão a vã certeza,
Ponha tudo de lado e então comece.
Comentários – O tópico frasal está em
negrito e contém duas afirmações: “a
violência é problema social insolúvel” e
“desafia a inteligência do homem moderno”.
O período após o tópico frasal tenta justificar
a declaração inicial: o homem consegue
amenizar o problema, mas não solucioná-lo
por completo.
*Carlos Pena Filho, poeta do azul, como ficou
conhecido, era pernambucano do Recife, autor
de O tempo da busca (1952) e Memórias do Boi
Serapião (1965). Foi um renovador do soneto na
temática e, sobretudo, na linguagem, carregada
de oralidade, essencialmente musical e de forte
apelo pictórico.
11
1. Abaixo – O advérbio abaixo é usado em
vários sentidos (sempre opondo-se a
acima). Veja:
a. Em local menos elevado; embaixo.
Esta cinta de concreto deveria ficar mais
abaixo.
b. Em posição subseqüente.
As mercadorias abaixo relacionadas
devem seguir via aérea.
c. Para a parte inferior, em direção
descendente.
Ela escorregou e rolou ladeira abaixo.
d. Em situação ou posição de menor
importância.
Aqui, na fundação, o presidente está
abaixo do Conselho-Diretor.
e. Ao chão, à terra.
Com auxílio de máquinas, a casa foi
abaixo rapidamente.
2. Abaixo – Na condição de interjeição, abaixo
faz parte de frases exclamativas de protesto
veemente, de reprovação. Veja:
a. Abaixo os maus-tratos!
b. Abaixo a corrupção!
3. A baixo – A locução “a baixo” só se usa em
parceria com as locuções “de alto” ou “de
cima” . Veja:
a. O muro está rachado de alto a baixo.
b. Antes de autorizar a entrada, ele a olhou
de alto a baixo.
c. Os manifestantes interditaram a rua de
cima a baixo.
Encarte referente ao curso pré-vestibular
Aprovar da Universidade do Estado do
Amazonas. Não pode ser vendido.
Governador
ALVARENGA, Beatriz et al. Curso de
Física. São Paulo: Harbra, 1979, 3v.
Eduardo Braga
Vice-Governador
Omar Aziz
ÁLVARES, Beatriz A. et al. Curso de
Física. São Paulo: Scipicione, 1999, vol. 3.
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice-Reitor
Carlos Eduardo Gonçalves
Pró-Reitor de Planejamento e Administração
Antônio Dias Couto
Pró-Reitor de Extensão e
Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Walmir Albuquerque
Coordenadora Geral
Munira Zacarias
Coordenador de Professores
João Batista Gomes
Coordenador de Ensino
Carlos Jennings
Coordenadora de Comunicação
Liliane Maia
Coordenador de Logística e Distribuição
Raymundo Wanderley Lasmar
Produção
Aline Susana Canto Pantoja
Renato Moraes
Projeto Gráfico – Jobast
Alberto Ribeiro
Antônio Carlos
Aurelino Bentes
Heimar de Oliveira
Mateus Borja
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 3)
01. C;
02. E;
03. 12;
04. A;
05. B;
06. D;
x–3
07. f-1(x) = ––––––
5
08. B;
09. B;
10. D;
11. B;
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 4)
01. B;
02. B;
03. E;
04. D;
05. E;
06. C;
07. C;
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 5)
01. D;
02. D;
03. C;
04. A;
05. D;
06. A;
07. A;
DESAFIO FÍSICO (p. 6)
01. C; 02. E; 03. D; 04. B; 05. B; 06. B;
BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA,
Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo:
Moderna, 1996.
BONJORNO, José et al. Física 3: de olho
no vestibular. São Paulo: FTD, 1993.
CARRON, Wilson et al. As Faces da
Física. São Paulo: Moderna, 2002.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática:
contexto e aplicações. São Paulo: Ática,
2000.
GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática.
São Paulo: FTD, 1995.
Grupo de Reelaboração do Ensino de
Física (GREF). Física 3: eletromagnetismo. 2.a ed. São Paulo: Edusp, 1998.
DESAFIO FÍSICO (p. 7)
01. 50m;
02. C;
DESAFIO FÍSICO (p. 8)
01. B;
02. 352m;
2
03. 20m/s , 100m/s, 50m/s;
04. D;
05. A;
06. 6s;
2
07. 15m/s ;
DESAFIO FÍSICO (p. 9)
01. E; 02. D; 03. A; 04. D; 05. 40m;
06. 132m/s;
DESAFIO GRAMATICAL (p. 11)
01. A;
02. D;
03. E;
04. C;
PARANÁ, Djalma Nunes. Física. Série
Novo Ensino Médio. 4.a ed. São Paulo:
Ática, 2002.
RAMALHO Jr., Francisco et alii. Os
Fundamentos da Física. 8.a ed. São
Paulo: Moderna, 2003.
TIPLER, Paul A. A Física. Rio de Janeiro:
Livros Técnicos e Científicos, 2000, 3v.
Paulo Alexandre
Rafael Degelo
Tony Otani
Editoração Eletrônica
Horácio Martins
Este material didático, que será distribuído nos Postos de Atendimento (PAC) na capital e Escolas da Rede Estadual de Ensino, é
base para as aulas transmitidas diariamente (horário de Manaus), de segunda a sábado, nos seguintes meios de comunicação:
• TV Cultura (7h às 7h30); sábados: reprise às 23h
• Amazon Sat (21h30 às 22h)
• RBN (13h às 13h30) reprise: 5h30 e 7h (satélite)
• Rádio Rio Mar (19h às 19h30)
• Rádio Seis Irmãos do São Raimundo
(8h às 9h e reprise de 16h às 16h30)
• Rádio Panorama de Itacoatiara (11h às 11h30)
• Rádio Difusora de Itacoatiara (8h às 8h30)
• Rádio Comunitária Pedra Pintada de Itacoatiara
(10h às 10h30)
• Rádio Santo Antônio de Borba (18h30 às 19h)
• Rádio Estação Rural de Tefé (19h às 19h30) – horário local
• Rádio Independência de Maués (6h às 6h30)
• Rádio Cultura (6h às 6h30 e reprise de 12h às 12h30)
• Centros e Núcleos da UEA (12h às 12h30)
Postos de distribuição:
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•
•
•
PAC São José – Alameda Cosme Ferreira – Shopping São José
PAC Cidade Nova – Rua Noel Nutles, 1350 – Cidade Nova I
PAC Compensa – Av. Brasil, 1325 – Compensa
PAC Porto – Rua Marquês de Santa Cruz, s/n.°
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