Aula 12

Mecânica I (FIS-14)
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá
Sala 2602A-1
Ramal 5785
[email protected]
www.ief.ita.br/~rrpela
Onde estamos?
●
Nosso roteiro ao longo deste capítulo
–
A equação do movimento
–
Equação do movimento para um sistema de partículas
●
–
Centro de massa
Equações do movimento
●
●
●
coordenadas retangulares
coordenadas normais e tangenciais
coordenadas cilíndricas
–
Movimento sob a ação de força central
–
Referenciais não inerciais e forças de inércia
●
●
●
–
Força centrífuga
Força de Coriolis
Efeitos inerciais da rotação da Terra
Força de atrito
●
●
●
●
Atrito seco
Atrito em parafusos
Atrito em correias e mancais
Resistência ao rolamento
3.4 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Retangulares
●
Segunda lei de Newton
Equação vetorial = 3 equações escalares
3.4 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Retangulares
●
Procedimento para análise
–
Escolha o sistema de coordenadas (ex: xyz)
–
Desenhe o diagrama de corpo livre
–
Decomponha as forças
–
Determine a direção e o sentido (positivo) da
aceleração. Se o sentido é desconhecido, por
conveniência, adote o mesmo sentido dos eixos x,
y e z.
–
Identifique as incógnitas do problema
3.4 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Retangulares
●
Procedimento para análise
–
Se as forças podem ser decompostas diretamente
a partir do diagrama de corpo livre, aplique as
equações de movimento na forma escalar
–
Se a geometria do problema parece complicada (o
que geralmente ocorre nos casos 3D), use vetores
–
Atrito
●
●
–
Cinético:
Estático:
Mola
Iminência de
movimento
3.4 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Retangulares
●
Exemplo: Um projétil de 10,0 kg
é disparado verticalmente a
partir do solo com uma
velocidade inicial de 50,0 m/s.
Determine a altura máxima que
ele atingirá (a) se a resistência
atmosférica for desprezada; e (b)
a resistência atmosférica for
medida como FD = (0,0100 v2) N.
3.4 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Retangulares
●
Exemplo:
(a) sem resistência do ar
(b) com resistência do ar
3.4 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Retangulares
●
Exemplo: Um anel liso C
está ligado a uma mola
tendo uma rigidez k = 3,00
N/m e um comprimento
indeformado de 0,750 m.
Se o anel é solto do
repouso em A, determine a
sua aceleração e a força
normal da barra sobre o
anel no instante que y =
1,00 m.
3.4 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Retangulares
●
Exemplo
Por outro lado
Substituindo
3.4 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Retangulares
●
Exemplo: O bloco A
de 100 kg é solto do
repouso. Se as
massas das polias e
da corda são
desprezadas,
determine a
velocidade escalar
do bloco B de 20,0
kg em 2,00 s.
3.4 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Retangulares
●
Exemplo
Bloco A:
Bloco B:
Vínculo:
Resolvendo o sistema de equações
Para t = 2,00 s:
Onde estamos?
●
Nosso roteiro ao longo deste capítulo
–
A equação do movimento
–
Equação do movimento para um sistema de partículas
●
–
Centro de massa
Equações do movimento
●
●
●
coordenadas retangulares
coordenadas normais e tangenciais
coordenadas cilíndricas
–
Movimento sob a ação de força central
–
Referenciais não inerciais e forças de inércia
●
●
●
–
Força centrífuga
Força de Coriolis
Efeitos inerciais da rotação da Terra
Força de atrito
●
●
●
●
Atrito seco
Atrito em parafusos
Atrito em correias e mancais
Resistência ao rolamento
3.5 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Normal e Tangencial
●
Segunda lei de Newton
Equação vetorial = 3 equações escalares
3.5 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Normal e Tangencial
●
Procedimento para análise
–
Quando a partícula percorre uma trajetória conhecida, é
conveniente resolver o problema usando coordenadas
normais e tangenciais.
–
Estabeleça o sistema t, n, b
–
Desenhe o diagrama de corpo livre
–
Decomponha as forças
–
A aceleração normal sempre está dirigida no sentido positivo
de n
–
Se a aceleração tangencial é desconhecida, suponha que
ela está dirigida ao longo do sentido positivo de t
–
Identifique as incógnitas do problema
3.5 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Normal e Tangencial
●
Procedimento para análise
–
Componentes da aceleração
–
Raio de curvatura
●
Para o caso 2D
3.5 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Normal e Tangencial
●
Exemplo: Projetar a rampa de esqui mostrada na figura
exige conhecer o tipo de forças que serão exercidas
sobre a esquiadora e sua trajetória aproximada. Se o
salto pode ser aproximado pela parábola mostrada na
figura, determine a força normal sobre a esquiadora de
600 N no instante em que ela chega ao fim da rampa,
ponto A, onde sua velocidade é de 9,0 m/s. Além disso,
qual é sua aceleração neste ponto?
3.5 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Normal e Tangencial
●
Exemplo
Para x = 0:
Onde estamos?
●
Nosso roteiro ao longo deste capítulo
–
A equação do movimento
–
Equação do movimento para um sistema de partículas
●
–
Centro de massa
Equações do movimento
●
●
●
coordenadas retangulares
coordenadas normais e tangenciais
coordenadas cilíndricas
–
Movimento sob a ação de força central
–
Referenciais não inerciais e forças de inércia
●
●
●
–
Força centrífuga
Força de Coriolis
Efeitos inerciais da rotação da Terra
Força de atrito
●
●
●
●
Atrito seco
Atrito em parafusos
Atrito em correias e mancais
Resistência ao rolamento
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Segunda lei de Newton
Equação vetorial = 3 equações escalares
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
●
Coordenadas cilíndricas com
forças atuando na direção
normal e tangencial
Podem aparecer casos em que
a trajetória é conhecida
r = f(θ)
e sabe-se a direção de atuação
de algumas forças
●
–
Atrito: direção tangencial
–
Normal: direção normal
Nestes casos, é preciso
relacionar as coordenadas
cilíndricas com a direção normal
e tangencial
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Ilustrando o problema
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Geometricamente
No limite em que
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
OBS.: Quando o ângulo ψ é negativo
ψ = -75°
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Exemplo: O anel duplo liso de
0,500 kg mostrado na Figura pode
deslizar livremente no braço AB e
na barra-guia circular. Se o braço
gira com uma velocidade angular
constante de 3,00 rad/s, determine
a força que o braço exerce sobre o
anel no instante em que θ = 45,0°.
O movimento é no plano horizontal
r = (0,800 cos θ) m
0,400 m
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Exemplo:
Para θ = 45°
Com isso:
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Exemplo: O cilindro C de 2,00 kg
mostrado na figura tem um pino
P do seu centro que passa pela
fenda do braço OA. Se o braço é
forçado a girar no plano vertical
a uma taxa constante de 0,500
rad/s, determine a força que o
braço exerce sobre o pino no
instante em que θ = 60,0°.
0,400 m
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Exemplo:
Como:
Para θ = 60°
Com isso:
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Exemplo: Uma lata C, tendo massa de 0,500 kg, desloca-se ao longo
de uma ranhura entalhada na horizontal, como mostrado na figura. A
ranhura está na forma de uma espiral que é definida pela equação r =
(0,100 θ) m, onde θ é dado em radianos. Se o braço OA gira com uma
taxa constante de 4,00 rad/s no plano horizontal, determine a força que
ele exerce quando θ = π rad. Despreze o atrito e a dimensão da lata.
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Exemplo:
Para θ = 180°
Para θ = 180°
Com isso: