1 ELETRICIDADE 1 – CAPÍTULO 7 CAPACITÂNCIA

ELETRICIDADE 1 – CAPÍTULO 7
CAPACITÂNCIA
Na noite de 27 de outubro de 2004, quarta-feira, o futebol brasileiro ficou de luto pela morte do jogador
Serginho, do São Caetano. O zagueiro, então com 30 anos de idade, desmaiou em campo, às 21h55min, aos 14
minutos do segundo tempo, no jogo contra o São Paulo. Ao perceber que ele tombou sozinho, atletas dos dois
times acenaram desesperadamente para médicos dos clubes. O doutor José Sanchez, do tricolor, ainda no
gramado, explicava o que poderia ter ocorrido com o atleta. Segundo o lateral Anderson Lima, colega do atleta,
o zagueiro tinha problemas cardíacos. Mas o presidente do azulão, Nairo Ferreira, simplesmente “negou” (!).
Serginho foi removido para o Hospital São Luiz e, minutos depois, o jogo foi suspenso. Pouco antes das
23h00min, o repórter Daniel Lian deu a fatídica notícia: o zagueiro Serginho faleceu, às 22h45min. O
cardiologista Nabil Ghorayeb ressaltou que no atendimento feito foi o possível. O médico defende a presença de
desfibriladores semi-automáticos, que podem ser usados por pessoas comuns, em campos de futebol. “Morte
súbita em jovens atletas abaixo de 35 anos é morte elétrica, o coração desconecta e o único meio de salvar este
coração é dando choque elétrico. Massagem cardíaca é pouco eficaz neste caso, mas é o que tem de ser feito”,
explicou. A morte de Serginho reacendeu discussões sobre procedimentos a serem adotados em situações de
emergência. O uso do equipamento Desfibrilador Externo Automático, também denominado equipamento
“DEA”, é, a muitos anos, obrigatório nos Estados Unidos da América. Porém, no Brasil, o uso do DEA tornou-se
obrigatório “apenas depois” (!) da tragédia com o jogador Serginho.
A eficácia de um capacitor para armazenar energia potencial elétrica é a base do desfibrilador, aparelho
usado por uma equipe médica de emergência para conter a fibrilação de um coração vitimado por um ataque, tal
como mostrado na Figura 7.1, abaixo.
Figura 7.1 – Vítima de fibrilação (ataque cardíaco) sendo submetida a um desfibrilador.
Na versão portátil para um desfibrilador, uma bateria carrega um capacitor a uma ddp elevada,
armazenando uma grande quantidade de energia em menos de um minuto, em geral. A bateria mantém somente
uma diferença de potencial modesta. Um circuito eletrônico usa-a repetidamente para aumentar intensamente a
diferença de potencial do capacitor. A potência, ou taxa de transferência de energia, durante esse processo de
carga é também modesta. Terminais condutores (paddles ou condutos) são colocados sobre o peito da vítima, tal
como na Figura 7.1. Quando uma chave de controle é fechada, o capacitor envia uma parcela de sua energia
armazenada de um terminal a outro através do corpo da vítima.
1
Capacitância e Capacitor
A capacitância1 C de um material elétrico é uma grandeza elétrica que determina a capacidade com a
qual o mesmo pode armazenar uma determinada quantidade de carga elétrica Q. A capacitância verifica-se
sempre que dois condutores estejam separados por um material isolante. Em geral, a quantidade de carga Q
armazenada em um dado material elétrico será proporcional a tensão V sobre o mesmo. Então, matematicamente,
a capacitância C é constante de proporcionalidade entre a quantidade de carga elétrica Q e tensão V. Logo,
Q = C ⋅V
(7.1)
A unidade de capacitância no SI é o farad (F). Como a quantidade de carga elétrica é medida em coulomb (C) e a
tensão em volt (V), no SI, teremos, de acordo com (7.1), que 1C = (1F)⋅(1V). O farad é uma unidade de medida
considerada muito grande. Por isso, são utilizados valores de capacitâncias expressos em microfarads (µF),
nanofarads (nF) ou picofarads (pF), em geral.
Analogamente aos resistores, existem os denominados capacitores, os quais são dispositivos destinados a
apresentar uma determinada capacitância. Os formatos típicos dos capacitores consistem, geralmente, em duas
placas, ou eletrodos, que armazenam, em cada um destes, uma quantidade (líquida) de cargas elétricas de sinais
opostos. Estas duas placas, além de condutoras, estão separadas por um material isolante, também denominado
dielétrico. A quantidade de carga elétrica é armazenada (induzida) na superfície das placas, no limite com o
dielétrico. Devido ao fato de cada placa armazenar cargas de mesma magnitude, porém de sinais opostos, a carga
total no dispositivo é sempre nula. A simbologia (mais tradicional) de um capacitor é a seguinte:
A simbologia mostrada para o capacitor lembra um capacitor formado por duas placas planas
condutoras, dispostas paralelamente uma à outra, sendo estas separadas por uma pequena distância. O
espassamento entre as linhas simboliza o espaço entre as placas, o qual deve ser preenchido por algum material
dielétrico. Vale lembrar que a simbologia mostrada para o capacitor é, em parte, semelhante à simbologia
apresentada para uma fonte de fem contínua, no Capítulo 2.
Energia Armazenada em um Capacitor
Ao contrário de um resistor, o qual “dissipa” energia elétrica, o capacitor “armazena” energia potencial
elétrica entre suas placas. A energia potencial de um capacitor é armazenada no campo elétrico estabelecido
entre as placas do mesmo, devido a tensão V entre estas e a quantidade de carga elétrica armazenada em cada
uma delas (lembrando que tais são iguais em módulo).
A energia potencial elétrica U armazenada no interior de um capacitor, quando tal é carregado com uma
quantidade de carga Q ao ser submetido a uma tensão V, pode ser dada pelas relações
U=
Q2
,
2⋅C
U=
C ⋅V 2
2
(7.2)
(7.3)
ou
1
Algumas vezes, a capacitância é também denominada/referida como “capacidade”.
2
U=
Q ⋅V
.
2
(7.4)
Vale lembrar que a unidade SI de medida de energia é o joule (J). Logo, os valores das outras grandezas
envolvidas nas relações de (7.2) a (7.4) também devem expressos em suas unidades de medida no SI.
Leis de Kirchhoff para Circuitos Elétricos Capacitivos
Conforme visto no Capítulo 4, as leis de Kirchhoff para circuitos elétricos são utilizadas para a resolução
e análise de quaisquer circuitos elétricos que operam em corrente contínua (c.c.) ou, até mesmo, em corrente
alternada (c.a.). Logo, a aplicação destas leis permitirá a análise do comportamento das tensões e cargas elétricas
em circuitos elétricos de associações capacitivas série, paralela e mista, bem como a determinação da
capacitância equivalente em combinações que envolvam diversas malhas. Na lei dos nós, porém, quem
desempenha a função da corrente elétrica será a carga elétrica, conforme veremos. Os conceitos sobre nó e
malha, discutidos nos Capítulos 3 e 4, continuam válidos.
1ª Lei de Kirchhoff (versão capacitiva) – Lei dos Nós
A soma algébrica das “cargas elétricas” que entram em um determinado nó deverá ser igual a soma
algébrica das cargas elétricas que dele saem. Formalmente:
∑Q
entra
− ∑ Qsai = 0 .
(7.5)
Em (7.5), Qentra indica as cargas que entram em um determinado nó, ao passo que Qsai indica as cargas
que saem do mesmo. Esta lei se refere à forma como a carga elétrica se distribui nos circuitos de associação de
capacitâncias em paralelo. Ainda, conforme indicado, essa lei deve ser satisfeita para todos os nós existentes em
um dado circuito. Esta lei é uma conseqüência direta do princípio de conservação da carga elétrica, estudado no
Capítulo 1, e aplicado também à corrente elétrica, no Capítulo 4.
É importante ressaltar que, ao contrário do que ocorre nos circuitos puramente resistivos, a carga elétrica
não “circula” pelo circuito capacitivo; exceto nos instantes iniciais, depois de ligado o circuito à fonte de tensão
(ou fem). As mesmas, então, ficarão “acumuladas” dentro de cada capacitor da respectiva combinação. Porém, a
análise de que as cargas “circulam” pelo circuito, embora incorreta, é “usual”, pois “facilita” visualizar que as
mesmas se dividem ao encontrar um nó. Esse fato justifica as “setas” indicando o “sentido das cargas” no
diagramas seguintes embora, como já dito, não seja correto.
2ª Lei de Kirchhoff – Lei das Malhas
Essa é a mesma vista anteriormente para circuitos elétricos resistivos. Não há qualquer alteração ou troca
de parâmetro em sua formulação. Formalmente:
∑ε
malha
− ∑ Vmalha = 0 .
(7.6)
Circuitos Elétricos com Associação Série, Paralela e Mista de Capacitâncias
Vamos aplicar as leis de Kirchhoff aos circuitos capacitivos do tipo série, paralelo e misto, para analisar
o comportamento das tensões e cargas nos elementos (capacitâncias, no caso) destes. Também, pela aplicação
destas leis, é possível verificar, matematicamente, as equações para a determinação da capacitância equivalente
3
de uma associação capacitiva em série ou em paralelo. Tais quais têm notável similaridade com as equações
usadas para determinar a resistência equivalente em associações do tipo série e paralela com resistências.
Circuito com Associação de Capacitâncias em Série
Figura 7.2 – Circuito capacitivo do tipo série. Para cada uma das capacitâncias, há um voltímetro conectado em paralelo
com tal, com vistas a medir a sua tensão. Também, há um amperímetro conectado em série com cada uma das capacitâncias,
com vistas a medir a carga que atravessa cada uma destas.
A Figura 7.2 mostra um circuito capacitivo série composto por uma fonte de fem ideal ε e três
capacitâncias. O sentido (convencional) da carga Q é mostrado, indicando que esta deve ser a mesma que
percorre cada uma das capacitâncias. De fato, isto é verdade. Entretanto, vamos supor que não seja e, assim
sendo, empregar a lei das malhas (segunda lei de Kirchhoff) para verificar o contrário.
Consideremos que as três capacitâncias no circuito da Figura 7.2 tenham valores distintos, isto é,
C1 ≠ C 2 ≠ C 3 . Inicialmente, colocam-se os três amperímetros A1, A2 e A3 em série, respectivamente, com cada
uma das capacitâncias, C1, C2 e C3. Já os três voltímetros V1, V2 e V3 são conectados em paralelo com cada uma
das respectivas capacitâncias, C1, C2 e C3. Logo, constata-se que a carga que percorre cada uma das
capacitâncias é a mesma. Isto é, Q1 = Q2 = Q3 = Q , onde Q é, então, a denominada carga total (ou resultante)
do circuito. Também, constata-se que a tensão sobre cada uma das capacitâncias é diferente. Isto é,
V1 ≠ V2 ≠ V3 .
Então, como temos uma única fem na malha, e como há três capacitâncias associadas em série, a
segunda lei de Kirchhoff, (7.6), aplicada a este circuito, nos fornece
3
ε = ∑ V j = V1 + V2 + V3 .
(7.7)
j =1
Aplicando-se a relação Q = CV a cada uma das capacitâncias envolvidas em (7.7) teremos
ε=
Q1 Q2 Q3
+
+
.
C1 C 2 C 3
(7.8)
Como Q1 = Q2 = Q3 = Q , então, de (7.8), vem que
4
ε=
Q Q
Q
.
+
+
C1 C 2 C 3
(7.9)
Colocando-se em evidência a carga total Q do circuito, em (7.9), teremos que
 1
1
1 
 .
+
+
 C1 C 2 C 3 
ε = Q ⋅ 
(7.10)
A fem ε pode ser encarada como a ddp total (VT) aplicada à malha; Q representa a carga total do circuito,
sendo esta a mesma que atravessa cada uma das capacitâncias do mesmo. Então, ao dividirmos (7.10) por Q,
determinamos que
ε
Q
=
1
1
1
1
+
+
=
.
C1 C 2 C 3 C eq
(7.11)
Logo, generalizando o resultado obtido acima para n capacitâncias associadas em série, conclui-se que
n
1
1
1
1
1
1
=∑
=
+
+
+ ... +
.
C eq
C1 C 2 C 3
Cn
j =1 C j
(7.12)
Assim, pela aplicação da lei das malhas a um circuito capacitivo do tipo série, determina-se que o
inverso da capacitância total (ou equivalente) do mesmo é obtida somando-se o inverso dos valores individuais
de cada uma das capacitâncias contidas na malha. Ainda, às vezes, (7.12) pode aparecer na forma
C eq =
1

∑ 1
 j =1 C
j

n




=
1
 1
1
1
1
 +
+
+ ... +
Cn
 C1 C 2 C 3



,
(7.13)
a qual diz que a capacitância equivalente (Ceq), referente a uma associação em série de capacitâncias,
corresponderá ao inverso da soma dos inversos dos valores das capacitâncias usadas na referida associação. Em
uma associação de capacitâncias em série, a capacitância equivalente é sempre menor que a menor das
capacitâncias da associação.
Para o caso especial em que todas as capacitâncias usadas na associação série tenham o mesmo valor,
podemos determinar, via (7.12) ou (7.13), que a capacitância equivalente, neste caso, seja dada por
C eq =
C
,
n
(7.14)
onde C é o valor comum da capacitância usada na associação e n o número de capacitâncias (iguais) dessa
associação.
Para o caso especial de duas capacitâncias associadas em série, há uma relação bastante útil, derivada de
(7.12) ou (7.13), e expressa matematicamente na seguinte forma:
C eq =
C1 ⋅ C 2
.
C1 + C 2
(7.15)
5
Agora, estamos em condição de definir o conceito de capacitância equivalente, apresentado
anteriormente. Podemos concluir que a capacitância equivalente Ceq será aquela que pode substituir a
combinação capacitiva do circuito, sem que ocorra variação da carga total Q através dessa combinação ou, então,
da fem aplicada ε através da mesma. O circuito da Figura 7.2 pode ser então esquematizado da seguinte maneira:
Figura 7.3 – Circuito equivalente.
Circuito com Associação de Capacitâncias em Paralelo
Figura 7.4 – Circuito capacitivo do tipo paralelo. Para cada uma das capacitâncias, há um voltímetro conectado em paralelo
com tal, com vistas a medir a sua tensão. Também, há um amperímetro conectado em série com cada uma das capacitâncias,
com vistas a medir a carga que atravessa cada uma destas.
A Figura 7.4 mostra um circuito capacitivo paralelo composto por uma fonte de fem ideal ε e três
capacitâncias. O sentido (convencional) da carga Q é mostrado, indicando que esta não deve ser a mesma que
percorre cada uma das capacitâncias. De fato, essa é a carga total do circuito. Mas esta se subdividirá em outras
quantidades de carga (de menor valor, é claro) ao encontrar um nó. A experiência nos comprova que a soma das
cargas que atravessa cada uma das capacitâncias corresponde à carga total Q do circuito. Assim, vamos
empregar a lei dos nós (primeira lei de Kirchhoff, em sua versão para capacitâncias) para verificar isso.
Consideremos que as três capacitâncias no circuito da Figura 7.4 tenham valores distintos, isto é,
C1 ≠ C 2 ≠ C 3 . Inicialmente, colocam-se os três amperímetros A1, A2 e A3 em série, respectivamente, com cada
uma das capacitâncias, C1, C2 e C3. Já os três voltímetros V1, V2 e V3 são conectados em paralelo com cada uma
das respectivas capacitâncias, C1, C2 e C3. Logo, constata-se que a carga que percorre cada uma das
capacitâncias não é a mesma. Isto é, Q1 ≠ Q2 ≠ Q3 ≠ Q , onde Q é, então, a denominada carga total (ou
resultante) do circuito. Também, constata-se que a tensão sobre cada uma das capacitâncias é a mesma, sendo
esta igual a fem ε aplicada ao circuito. Isto é, V1 = V2 = V3 = ε .
6
Então, como temos uma única fem na malha, e como há três capacitâncias associadas em paralelo, a
primeira lei de Kirchhoff na versão para capacitâncias, (7.5), aplicada a este circuito, nos fornece
3
Q = ∑ Q j = Q1 + Q2 + Q3 .
(7.16)
j =1
Aplicando-se a relação Q = CV a cada uma das capacitâncias envolvidas em (7.16) teremos
Q = C1 ⋅ V1 + C 2 ⋅ V2 + C 3 ⋅ V3 .
(7.17)
Como V1 = V2 = V3 = ε , então, de (7.17), vem que
Q = C1 ⋅ ε + C 2 ⋅ ε + C 3 ⋅ ε .
(7.18)
Colocando-se em evidência a fem do circuito, em (7.18), teremos que
Q = ε ⋅ (C1 + C 2 + C 3 ) .
(7.19)
A fem ε pode ser encarada como a ddp total (VT) aplicada à malha, sendo esta a tensão de cada uma das
capacitâncias do circuito; Q representa a carga total do circuito. Então, ao dividirmos (7.19) pela fem,
determinamos que
Q
ε
= C1 + C 2 + C 3 .
(7.20)
Logo, generalizando o resultado obtido acima para n capacitâncias associadas em paralelo, conclui-se que
n
C eq = ∑ C j = C1 + C 2 + C 3 + ... + C n .
(7.21)
j =1
Assim, pela aplicação da lei dos nós a um circuito capacitivo do tipo paralelo, determina-se que a capacitância
total (ou equivalente) do mesmo é obtida somando-se os valores individuais de cada uma das capacitâncias
contidas na malha. Em uma associação de capacitâncias em paralelo, a capacitância equivalente é sempre maior
que a maior das capacitâncias da associação. O circuito equivalente para a Figura 7.4 corresponde ao mesmo da
Figura 7.3.
Para o caso especial em que todas as capacitâncias usadas na associação paralela tenham o mesmo valor,
podemos determinar, via (7.21), que a capacitância equivalente, neste caso, seja dada por
C eq = n ⋅ C ,
(7.22)
onde C é o valor comum da capacitância usada na associação e n o número de capacitâncias (iguais) dessa
associação.
Conservação da Energia em Circuitos Elétricos “Capacitivos”
Conforme discutido no início do capítulo, bem como no Capítulo 4, as leis de Kirchhoff constituem uma
reformulação de lei mais gerais da natureza, como a lei da conservação da carga (reformulada em termos da “lei
dos nós para capacitores”) e a lei da conservação da energia (reformulada em termos da “lei das malhas”), para o
7
caso específico dos circuitos elétricos capacitivos. Porém, essas leis, cada uma delas, se identificam com um
modelo de circuito elétrico capacitivo específico: um circuito elétrico de associação dos elementos capacitivos
em série (no qual se aplica a lei das malhas), ou um circuito elétrico de associação dos elementos capacitivos em
paralelo (no qual se aplica a lei dos nós para capacitores). Já para o circuito elétrico capacitivo do tipo misto, o
tratamento é complicado. Porém, podemos tirar proveito da lei da conservação da energia (que resultou na lei
das malhas), de uma maneira mais ampla, de forma a obter uma lei geral para os circuitos elétricos capacitivos
dos tipos série, paralelo e, também, “misto”.
No caso dos circuitos elétricos capacitivos submetidos a uma fem constante (e ideal), sabemos que esta
última (fem) é a fonte/sede de energia responsável por transferir energia elétrica aos dispositivos do circuito
(capacitâncias). Assim sendo, a quantidade de energia elétrica armazenada em cada uma das capacitâncias que
compõe o circuito elétrico (série, paralelo ou “misto”) representa uma fração da quantidade de energia elétrica
total fornecida pela fonte de fem ao circuito. Isto é, a energia total liberada pela fonte de fem ao circuito deverá
corresponder à soma da quantidade de energia elétrica armazenada em cada uma das capacitâncias do circuito.
Isto é,
n
U T = ∑ U j = U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n .
(7.23)
j =1
Em (7.23), a energia total UT, à esquerda da igualdade, também poderá ser determinada pelas relações de
energia para capacitores apresentadas anteriormente, no início do capítulo. Para tanto, deve-se fazer uso dos
valores da fem (que é a tensão total VT do circuito), da quantidade de carga total QT e ou da capacitância
equivalente (ou total) Ceq. Isto é,
2
Q
UT = T ,
2 ⋅ C eq
UT =
C eq ⋅ ε 2
2
(7.24)
(7.25)
ou
UT =
QT ⋅ ε
.
2
(7.26)
Assim sendo, a soma da energia das capacitâncias em um circuito elétrico capacitivo, à direita da
igualdade, em (7.23), deverá coincidir com o valor obtido para a energia total UT, à esquerda da igualdade, em
(7.23); valores estes dados pelas equações (7.24), ou (7.25) ou, então, (7.26). Esta “regra” é geral, valendo para
os circuitos elétricos capacitivos dos tipos série, paralelo e, também, “misto”.
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EXEMPLOS
1. Suponha que você tenha em mãos uma bateria ideal de força eletromotriz igual a 12V e dois capacitores
com capacitâncias C1 = 6µF e C2 = 3µF. Monta-se um circuito capacitivo de associação série das duas
capacitâncias com a bateria. Sendo assim, determine:
a) Um esboço (desenho) do circuito elétrico correspondente.
b) O valor da capacitância total do circuito, em microfarads (µF).
C eq =
C1 ⋅ C 2
(6 µF ) ⋅ (3µF )
=
= 2µF
C1 + C 2 (6µF + 3µF )
c) O valor da carga total armazenada nesta combinação capacitiva, em microcoulombs (µC).
QT = C eq ⋅ ε = (2 µF ) ⋅ (12V ) = 24 µC
d) O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C1, em microcoulombs (µC).
Q1 = Q2 = QT = 24µC
e) O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C2, em microcoulombs (µC).
Q2 = Q1 = QT = 24µC
f) O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C1.
V1 =
Q1 24µC
=
= 4V
C1
6µF
g) O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C2.
V2 =
Q2 24µC
=
= 8V
C2
3µF
Também, pela lei da malhas:
ε = V1 + V2
12V = 4V + V2
9
V2 = 12V − 4V = 8V
h) A energia acumulada no capacitor de capacitância C1, em microjoules (µJ).
U1 =
i)
A energia acumulada no capacitor de capacitância C2, em microjoules (µJ).
U2 =
j)
Q1 ⋅ V1 (24 µC ) ⋅ (4V )
=
= 48µJ
2
2
Q2 ⋅ V2 (24 µC ) ⋅ (8V )
=
= 96 µJ
2
2
A energia total acumulada no circuito, em microjoules (µJ).
U T = U 1 + U 2 = 48µJ + 96µJ = 144µJ
Também:
UT =
QT ⋅ ε (24 µC ) ⋅ (12V )
=
= 144 µJ
2
2
2. Resolva o exercício anterior considerando que as capacitâncias C1 e C2 estejam associadas em paralelo.
a) Diagrama:
b) C eq = C1 + C 2 = 6 µF + 3µF = 9 µF
c) QT = C eq ⋅ ε = (9 µF ) ⋅ (12V ) = 108µC
d) Como o circuito é do tipo paralelo, então V1 = V2 = ε = 12V . Assim:
Q1 = C1 ⋅ V1 = (6µF ) ⋅ (12V ) = 72µC
e) Q2 = C 2 ⋅ V2 = (3µF ) ⋅ (12V ) = 36 µC
Também, pela lei dos nós (em sua versão capacitiva):
QT = Q1 + Q2
108µC = 72µC + Q2
10
Q2 = 108µC − 72µC = 36µC
f)
V1 = V2 = ε = 12V
g) V1 = V2 = ε = 12V
h) U 1 =
Q1 ⋅ V1 (72 µC ) ⋅ (12V )
=
= 432 µJ
2
2
i)
U2 =
Q2 ⋅ V2 (36 µC ) ⋅ (12V )
=
= 216 µJ
2
2
j)
U T = U 1 + U 2 = 432µJ + 216 µJ = 648µJ
Também:
UT =
QT ⋅ ε (108µC ) ⋅ (12V )
=
= 648µJ
2
2
3. Dado o circuito abaixo, de fem ideal, determine:
ε = 20V
C1 = 10nF
C 2 = 8nF
C 3 = 15nF
C 4 = C 5 = 50nF
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
O valor da capacitância total do circuito, em nanofarads (nF).
O valor da carga total armazenada nesta combinação capacitiva, em nanocoulombs (nC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C1, em nanocoulombs (nC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C2, em nanocoulombs (nC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C3, em nanocoulombs (nC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C4, em nanocoulombs (nC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C5, em nanocoulombs (nC).
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C1.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C2.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C3.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C4.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C5.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Suponha que você tenha em mãos dois capacitores com capacitâncias C1 = 100µF e C2 = 25µF. Montase uma associação série das duas capacitâncias. Sendo assim, determine a capacitância total da
combinação, em microfarads (µF).
2. Suponha que você tenha em mãos dois capacitores com capacitâncias C1 = 100µF e C2 = 25µF. Montase uma associação em paralelo das duas capacitâncias. Sendo assim, determine a capacitância total da
combinação, em microfarads (µF).
3. Suponha que você queira montar um banco (isto é: uma associação) de capacitores em série usando 80
capacitores de capacitância igual a 1.500pF. Sendo assim, determine a capacitância total da combinação,
em picofarads (pF).
4. Suponha que você queira montar um banco (isto é: uma associação) de capacitores em paralelo usando
30 capacitores de capacitância igual a 5nF. Sendo assim, determine a capacitância total da combinação,
em nanofarads (nF).
5. Suponha que você tenha em mãos uma bateria ideal de força eletromotriz igual a 60V e três capacitores
com capacitâncias C1 = 10µF, C2 = 15µF e C3 = 20µF. Monta-se um circuito capacitivo de associação
série das três capacitâncias com a bateria. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
O valor da capacitância total do circuito, em microfarads (µF).
O valor da carga total armazenada nesta combinação capacitiva, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C1, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C2, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C3, em microcoulombs (µC).
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C1.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C2.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C3.
A energia acumulada no capacitor de capacitância C1, em microjoules (µJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C2, em microjoules (µJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C3, em microjoules (µJ).
A energia total acumulada no circuito, em microjoules (µJ).
6. Resolva o exercício anterior considerando as capacitâncias C1, C2 e C3 associadas em paralelo.
7. Suponha que você tenha em mãos uma bateria ideal de força eletromotriz igual a 72V e três capacitores
com capacitâncias C1 = 6µF, C2 = 15µF e C3 de valor desconhecido. Monta-se um circuito capacitivo de
associação série das três capacitâncias com a bateria. Sabe-se que a carga acumulada no capacitor de
capacitância C3 é de 216µC. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
O valor da capacitância total do circuito, em microfarads (µF).
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C1.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C2.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C3.
O valor da capacitância C3, em microfarads (µF).
8. Suponha que você tenha em mãos uma bateria ideal de força eletromotriz igual a 66V e três capacitores
com capacitâncias C1 = 10µF, C2 = 20µF e C3 de valor desconhecido. Monta-se um circuito capacitivo
de associação paralela das três capacitâncias com a bateria. Sabe-se que a carga total do circuito é de
2.310µC. Sendo assim, determine:
12
a)
b)
c)
d)
e)
O valor da capacitância total do circuito, em microfarads (µF).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C1, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C2, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C3, em microcoulombs (µC).
O valor da capacitância C3, em microfarads (µF).
9. Duas capacitâncias, C1 e C2, são associadas em série e esta associação, então, é conectada a uma fonte de
fem (ε) ideal e igual a 12V. Sendo C1 o triplo de C2 e sabendo-se que a quantidade de carga elétrica total
do circuito é de 72µC, determine:
a) O valor da capacitância C1 em microfarads (µF).
b) O valor da capacitância C2 em microfarads (µF).
10. Duas capacitâncias, C1 e C2, são associadas em paralelo e esta associação, então, é conectada a uma
fonte de fem (ε) ideal e igual a 12V. Sendo C1 o triplo de C2 e sabendo-se que a quantidade de carga
elétrica total do circuito é de 72µC, determine:
a) O valor da capacitância C1 em microfarads (µF).
b) O valor da capacitância C2 em microfarads (µF).
11. Dado o circuito abaixo, de fem ideal, determine:
ε = 50V
C1 = 20µF
C 2 = C 5 = 10µF
C 3 = 2µF
C 4 = 40µF
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
O valor da capacitância total do circuito, em microfarads (µF).
O valor da carga total armazenada nesta combinação capacitiva, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C1, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C2, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C3, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C4, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C5, em microcoulombs (µC).
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C1.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C2.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C3.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C4.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C5.
A energia acumulada no capacitor de capacitância C1, em microjoules (µJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C2, em microjoules (µJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C3, em microjoules (µJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C4, em microjoules (µJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C5, em microjoules (µJ).
A energia total acumulada no circuito, em microjoules (µJ).
13
12. Dado o circuito abaixo, de fem ideal, determine:
ε = 12V
C1 = 3µF
C 2 = 5µF
C 3 = 12µF
C 4 = C 6 = 10µF
C 5 = 30µF
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
O valor da capacitância total do circuito, em microfarads (µF).
O valor da carga total armazenada nesta combinação capacitiva, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C1, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C2, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C3, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C4, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C5, em microcoulombs (µC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C6, em microcoulombs (µC).
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C1.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C2.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C3.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C4.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C5.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C6.
A energia acumulada no capacitor de capacitância C1, em microjoules (µJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C2, em microjoules (µJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C3, em microjoules (µJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C4, em microjoules (µJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C5, em microjoules (µJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C6, em microjoules (µJ).
A energia total acumulada no circuito, em microjoules (µJ).
13. Dado o circuito abaixo, de fem ideal, determine:
ε = 20V
C1 = 40 pF
C 2 = 8 pF
C 3 = C 4 = 10 pF
C 5 = C 6 = 2,5 pF
a)
b)
c)
d)
O valor da capacitância total do circuito, em picofarads (pF).
O valor da carga total armazenada nesta combinação capacitiva, em picocoulombs (pC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C1, em picocoulombs (pC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C2, em picocoulombs (pC).
14
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C3, em picocoulombs (pC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C4, em picocoulombs (pC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C5, em picocoulombs (pC).
O valor da carga armazenada no capacitor de capacitância C6, em picocoulombs (pC).
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C1.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C2.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C3.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C4.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C5.
O valor da tensão sobre o capacitor de capacitância C6.
A energia acumulada no capacitor de capacitância C1, em picojoules (pJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C2, em picojoules (pJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C3, em picojoules (pJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C4, em picojoules (pJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C5, em picojoules (pJ).
A energia acumulada no capacitor de capacitância C6, em picojoules (pJ).
A energia total acumulada no circuito, em picojoules (pJ).
14. (a) Aproximadamente, quantos capacitores de 1µF devem ser ligados em paralelo para que essa
combinação acumule uma carga de 1C quando submetida a uma tensão de 110V? (b) Determine também
a energia, em joules (J), acumulada neste sistema de capacitores.
15. Um capacitor de 100pF, inicialmente descarregado, é carregado sob uma ddp de 50V e a bateria, suposta
ideal, que o carrega é retirada e levada embora. Esse capacitor é, então, ligado em paralelo com um
segundo capacitor, inicialmente descarregado. Sabendo-se que a ddp da combinação cai para 35V, qual é
a capacitância deste segundo capacitor, em picofarads (pF)?
16. Um banco de 2000 capacitores de 5µF associados em paralelo é usado para armazenar energia elétrica.
Qual o custo, em reais (R$), para carregar tal banco a uma ddp de 50kV, supondo que seja cobrada uma
tarifa de quarenta e quatro centavos por cada quilowatt-hora armazenado?
17. Quantos capacitores de 3600µF devem ser ligados em série para que tal combinação armazene uma
energia de 1kWh quando carregada a uma ddp de 100kV?
18. A eficácia de um capacitor para armazenar energia potencial elétrica é a base do desfibrilador, aparelho
usado por uma equipe médica de emergência para conter a fibrilação de um coração vitimado por um
ataque cardíaco. Suponha um desfibrilador construído com um capacitor de 70µF, o qual é carregado a
uma ddp de 5kV. Sendo assim, determine:
a) Qual a carga elétrica total, em milicoulombs (mC), armazenada neste capacitor?
b) Qual a energia total, em joules (J), armazenada neste capacitor?
c) Sabendo-se que cerca de 200J da energia calculada no item anterior são enviados através da
vítima durante um pulso de 2ms, determine a potência, em quilowatts (kW), desse pulso. Dica:
lembrando do Capítulo 2, use a equação P =
∆U
, considerando que U = ∆U .
∆t
d) Os 200J de energia enviados através da vítima equivalem aproximadamente a que percentual da
energia total armazenada no capacitor?
e) Qual a quantidade de energia elétrica, em joules (J), presente no capacitor imediatamente após o
pulso de 2ms?
f) Qual a tensão entre os terminais do capacitor, imediatamente após o pulso de 2ms?
g) Qual a quantidade de carga elétrica, em milicoulombs (mC), no capacitor imediatamente após o
pulso de 2ms?
15
h) Qual a quantidade de carga elétrica (∆Q), em milicoulombs (mC), enviada ao peito da vítima
durante o pulso de 2ms?
i) Qual o valor da corrente elétrica (média), em ampères, que atravessa o peito da vítima durante o
pulso de 2ms? Dica: lembrando do Capítulo 2, será necessário usar a equação I =
∆Q
,
∆t
considerando também que Q = ∆Q .
19. Considere duas capacitâncias, C1 e C2, e uma fonte de fem (ε) ideal e constante (contínua). Sendo C1 o
dobro de C2, pede-se:
a) Se as duas capacitâncias forem associadas em série e a combinação, então, for conectada na
fonte de fem (ε) ideal e constante, qual dessas capacitâncias, C1 ou C2, apresentará a maior ddp
(tensão)? Justifique sua resposta.
b) Se as duas capacitâncias forem associadas em série e a combinação, então, for conectada na
fonte de fem (ε) ideal e constante, qual dessas capacitâncias, C1 ou C2, estará carregada com a
maior parte da quantidade de carga elétrica total do circuito? Justifique sua resposta.
c) Se as duas capacitâncias forem associadas em paralelo e a combinação, então, for conectada na
fonte de fem (ε) ideal e constante, qual dessas capacitâncias, C1 ou C2, apresentará a maior ddp
(tensão)? Justifique sua resposta.
d) Se as duas capacitâncias forem associadas em paralelo e a combinação, então, for conectada na
fonte de fem (ε) ideal e constante, qual dessas capacitâncias, C1 ou C2, estará carregada com a
maior parte da quantidade de carga elétrica total do circuito? Justifique sua resposta.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20µF;
125µF;
18,75pF;
150nF;
a) 4,61µF; b) 276,92µC; c) 276,92µC; d) 276,92µC; e) 276,92µC; f) 27,69V; g) 18,46V; h) 13,85V;
i) 3.834,32µJ; j) 2.556,21µJ; k) 1.917,16µJ; l) 8.307,69µJ.
a) 45µF; b) 2.700µC; c) 600µC; d) 900µC; e) 1.200µC; f) 60V; g) 60V; h) 60V; i) 18.000µJ;
j) 27.000µJ; k) 36.000µJ; l) 81.000µJ.
a) 3µF; b) 36V; c) 14,4V; d) 21,6V; e) 10µF.
a) 35µF; b) 660µC; c) 1.320µC; d) 330µC; e) 5µF.
a) 24µF; b) 8µF;
a) 4,5µF; b) 1,5µF;
a) 4µF; b) 200µC; c) 200µC; d) 200µC; e) 40µC; f) 160µC; g) 160µC; h) 10V; i) 20V; j) 20V; k) 4V;
l) 16V; m) 1.000µJ; n) 2.000µJ; o) 400µJ; p) 320µJ; q) 1.280µJ; r) 5.000µJ.
a) 2,41µF; b) 28,86µC; c) 28,86µC; d) 11,91µC; e) 16,96µC; f) 9,7µC; g) 7,27µC; h) 7,27µC; i) 9,62V;
j) 2,38V; k) 1,41V; l) 0,97V; m) 0,24V; n) 0,73V; o) 138,82µJ; p) 14,17µJ; q) 11,96µJ; r) 4,71µJ;
s) 0,87µJ; t) 2,65µJ; u) 173,16µJ.
a) 4pF; b) 80pC; c) 80pC; d) 80pC; e) 40pC; f) 40pC; g) 20pC; h) 20pC; i) 2V; j) 10V; k) 4V; l) 4V;
m) 8V; n) 8V; o) 80pJ; p) 400pJ; q) 80pJ; r) 80pJ; s) 80pJ; t) 80pJ; u) 800pJ.
a) 9.091 capacitores aproximadamente; b) 55J.
42,86pF.
R$1,53.
Cinco capacitores.
a) 350mC; b) 875J; c) 100kW; d) 22,86%; e) 675J; f) 4.391,55V; g) 307,41mC; h) 42,59mC; i) 21,3A;
Faça você mesmo.
16