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Circuitos Básicos com Interruptores
R. N. do Prado
UNIDADE 2
CIRCUITOS BÁSICOS COM INTERRUPTORES
2.1 - CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM
2.1.1 - Circuito com Indutor Pré-Carregado em Série com Diodo
Seja o circuito representado na Fig. 2.1.
D
iL
+
E
t=0
L
Fig. 2.1-Circuito Com Indutor Pré-Carregado
Inicialmente o indutor L está carregado com iL(0)= -IL0. No instante t = t0, o indutor impõe uma
corrente no anodo do diodo, fazendo com que ele entre em condução. Assim:
(1)
(2)
As formas de onda de vD,vL e iL em função do tempo estão representados na Fig. 2.2.
vD
t
-E
vL
+E
t
iL
t0
t1
t
-ILO
Fig. 2.2 - Formas de Onda
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Circuitos Básicos com Interruptores
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A partir do instante em que a corrente do circuito se anula, o diodo se extingue.
Este tipo de circuito é comum em fontes chaveadas com recuperação de energia com
transformador, e em saídas de fontes chaveadas do tipo flyback.
2.1.2 - Circuito RC Série com Tiristor
A Fig. 2.3 abaixo mostra um circuito RC série utilizando um tiristor.
T
R
iC
E
vC +
-
C
Fig. 2.3 - Circuito RC em série com um tiristor
Antes do disparo do tiristor, o capacitor se encontra carregado, sendo vC = VC0. No instante t =
0, o tiristor é disparado, assim:
(3)
(4)
Resolvendo-se a equação (3), obtém-se:
(5)
(6)
Supondo-se que o capacitor está inicialmente descarregado e VC0 = 0, tem-se:
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(7)
(8)
As formas de onda de vC e iC em função do tempo, para situação em que VC0 = 0, estão
representadas na Fig. 2.4.
vC
E
iC
t
E/R
t
Fig. 2.4 - Formas de onda
A partir do momento em que a corrente do circuito for menor que a corrente de manutenção do
tiristor, ele se extingue e readquire sua capacidade de bloqueio.
2.1.3 - Circuito RL Série com Tiristor
Considere o circuito mostrado na Fig. 2.5 a seguir.
T
E
R
+ v R
iL
+
vL
L
-
Fig. 2.5 - Circuito RL série com tiristor
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Antes do disparo do tiristor, a corrente no indutor L é iL = IL0. No instante t = 0 o tiristor é
disparado. Desse modo:
(9)
Resolvendo-se a expressão (9) obtém-se:
(10)
(11)
Supondo-se inicialmente o indutor descarregado e IL0 = 0, tem-se:
(12)
(13)
As formas de onda de iL e vL para IL0 = 0 estão representadas na Fig. 2.6.
vL
E
t
iL
E/R
t
Figure 6
Fig. 2.6
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18
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Neste circuito a excitação do tiristor só é possível com ajuda de circuitos auxiliares,
denominados “Circuitos de Comutação Forçada”.
2.1.4 - Circuito com Diodo de Roda-Livre
A Fig. 2.7 representa o circuito com diodo de Roda-Livre.
S
R
+ v S
+ v - +
R
D
E
iL
vL
L
-
Fig. 2.7
Na primeira seqüência de funcionamento, a chave S está fechada e o diodo D bloqueado. Nesta
situação tem-se:
S
+ v S
R
S
iL
+ v - +
R
E
vL
R
+ v S
L
E
-
D
iL
+ v - +
R
vL
L
-
Fig. 2.8
(14)
No instante t =0, a chave é bloqueada. A presença do indutor pré-carregado provoca a condução
do diodo. Inicia-se a segunda etapa de funcionamento, também denominada de etapa de roda-livre.
Tem-se, portanto:
(15)
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(16)
Resolvendo-se a equação (16) obtém-se:
A. ser. colocada
(17)
Durante a etapa de roda-livre, a energia armazenada no indutor L é transformada em calor pelo
resistor R.
Caso não houvesse o diodo de roda livre, no instante de abertura da chave S o indutor provocaria
uma sobretensão sobre a chave. Esta sobretensão certamente seria destrutiva, caso a chave S fosse um
tiristor ou transistor.
iL
E/R
t
vL
t
Fig. 2.9
O diodo de roda-livre é utilizado principalmente em pulsador alimentando cargas indutivas.
2.1.5 - Circuito de Roda-Livre com Recuperação de Energia
No circuito da Fig. 2.7, a energia estocada na indutância é dissipada em forma de calor pela
resistência R. Na prática isto não é desejável, pois prejudica a eficiência do sistema. Esta pode ser
melhorada retornando esta energia para a fonte E1.
O circuito básico que possibilita esta recuperação de energia para a fonte está representado na
Fig. 2.10.
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S
+ v S
E
D
E1
iL
+
vL
L
-
Fig. 2.10
No instante t0, a chave S é aberta; a corrente no indutor é iL0.
Durante a roda-livre o circuito é representado pelas seguintes equações:
(18)
(19)
As formas de onda de iL e vL estão representadas na Fig. 2.11.
Fig. 2.11- Formas de Onda
Se a fonte de tensão E1 for maior que E, o intervalo (t0, t1) de recuperação de energia será maior
que o intervalo de carga do indutor (0, t0).
Toda energia armazenada no indutor é transferida para a fonte E1.
Este tipo de circuito encontra aplicação em fontes chaveadas com recuperação de energia.
2.1.6 - Circuito de Recuperação de Energia com Transformador
Na prática não é comum a utilização de uma segunda fonte para absorver a energia acumulada
no indutor. Utiliza-se uma configuração que permite a devolução desta energia para a própria fonte E.
Na Fig. 2.12 um segundo enrolamento é adicionado ao indutor, formando um transformador. O
enrolamento secundário do transformador é conectado a fonte de tensão E via diodo D. Considera-se
que o transformador é ideal, e que as resistências e as indutâncias de dispersão podem ser desprezadas.
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S
D
E
-
+ v S
+
N1
N2
+
-
Fig. 2.12-Circuito de recuperação de energia
Durante o intervalo em que a chave S está fechada, a energia é acumulada na indutância
magnetizante do transformador. A polaridade da tensão secundária não permite que o diodo entre em
condução. Quando a chave S abre, a polaridade da tensão secundária se inverte, fazendo com que o
diodo entre em condução e transfira a energia armazenada no campo magnético para a fonte E.
A Fig. 2.13 mostra o circuito equivalente para a análise quantitativa do fenômeno.
S
D
N1
+ v D
E
N2
-
+
E
+
-
+ v S
Fig. 2.13-Circuito Equivalente
Se o diodo e a fonte E são referidos ao primário, o circuito equivalente passa a ser representado
pela Fig. 2.14, onde n=N1 / N2.
S
D
-
E
+
nvD
+
+ v S
nE
N1
-
Fig. 2.14-Circuito Equivalente Referido ao Primário.
A primeira e a segunda etapa de funcionamento estão representadas nas Fig. 2.15 e Fig. 2.16,
respectivamente. As formas de onda mais importantes estão representadas na Fig. 2.17.
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D
+ v S
Lm
-
E
+
nvD
+
S
nE
E
-
Fig. 2.15-Primeira Sequência de Funcionamento.
S
D
Lm
-
E
nvD
+
-
+ v S
nE
nE
+
Fig. 2.16- Segunda Sequência de funcionamento
i1
I1
t
i2
t
vS
(1+n).E
E
t
vD
(1+1/n).E
t1
t
t2
T
Fig. 2.17-Formas de Onda para a Fig. 2.13
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As expressões que representam o comportamento do circuito são dadas abaixo.
(20)
(21)
onde:
(22)
(23)
(24)
(25)
iL
IO
t
vL
E
t0
E1
t1
t
Portanto:
(26)
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i2=0
t=T2
assim:
(27)
Substituindo a expressão (27) em (26), obtém-se:
(28)
A expressão (28) mostra que variando-se a relação de transformação, pode-se variar o tempo de
recuperação T2.
OBS.:
a) Quando N1 > N2 , T2 > T1: a recuperação é rápida.
b) vS = (1+n).E , Quando N1 > N2 , a tensão vS é grande, o que é indesejável.
Exemplo: Se E = 200V e seja (N1/N2) = 3, teremos:vS = 800V.
Como a chave S em geral é um transistor, esta tensão poderá vir a ser destrutiva.
O circuito descrito é empregado em fontes chaveadas com transformadores de isolamento e nos
circuitos de ajuda a comutação dos conversores CC-CC de correntes elevadas.
2.2- CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM
2.2.1- Circuito LC Série Submetido a um Degrau de Tensão
A Fig. 2.18 abaixo mostra o circuito LC série sendo submetido a um degrau de tensão.
S
L
iL
vL
- +
+ v - +
S
E
C
vC
Fig. 2.18-Circuito LC Série
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Condições iniciais:
vC (0) = VC0
iL(0) = IL0
No instante t = 0 a chave S é fechada. O circuito passa a ser representado pelas seguintes
expressões:
(29)
(30)
(31)
Resolvendo-se a expressão (31), obtém-se como solução as expressões (32) e (33).
(32)
(33)
onde:
(34)
Plano de Fase:
Multiplicando-se a expressão (33) por j e adicionando-a a expressão (32), obtém-se a
expressão(35).
(35)
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como:
(36)
e definindo-se:
(37)
Tem-se:
(38)
Casos Particulares:
a) VC0 = 0 ; IL0 = 0
; E …0
Assim:
(39)
A expressão (39) está representada graficamente na Fig. 2.19.
Fig. 2.19
Para t=0 tem-se Z(0)=0
b) VC0 = 0 ;
E=0
; IL0 > 0
Assim:
(40)
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A expressão (39) está representada graficamente na Fig. 2.20.
L
⋅ i (t )
C L
Z(0)
ω Ot
vC (t )
Fig. 2.20
Para
(41)
c) IL0 = 0 ;
E=0
;
VC0 > 0
Assim:
(42)
A expressão (40) está representada graficamente na Fig. 2.21.
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L
⋅ i (t )
C L
Z(0)
vC (t )
ω Ot
Fig. 2.21
Para t=0 tem-se z(0)=VC0
2.2.2- Análise do Circuito LC-Série com um Tiristor
Substituindo-se o interruptor S da Fig. 2.18 por um tiristor, tem-se o circuito representado pela
Fig. 2.22 abaixo.
T
+ v - +
T
L
iL
vL
- +
E
C
vC
Fig. 2.22
Condições iniciais: VC0 = 0 e IL0 = 0
No instante t = 0 o tiristor é disparado.
A evolução das grandezas no plano de fase é mostrada na Fig. 2.23.
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Fig. 2.23-Plano de Fase
Na Fig. 2.24 estão representadas, em função do tempo, as grandezas vC e iL.
vC (t )
2E
E
ω Ot
L
⋅ i (t )
C L
π /2
ω Ot
Fig. 2.24-Formas de Onda
No instante t = B / T0 a corrente se anula e o tiristor é bloqueado. Nesse instante o capacitor
encontra-se carregado com vC = 2E.
As expressões (43) e (44) representam o circuito.
(43)
(44)
2.2.3 - Inversão da Polaridade de um Capacitor
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Considere o circuito da Fig. 2.25 abaixo.
L
T
+ v - +
T
vL
iL
+
vC
-
C
Fig. 2.25-Circuito de Inversão de Polaridade de um Capacitor.
Condições iniciais: VC0 < 0
e
IL0 = 0
No instante t = t0 o tiristor é disparado. O capacitor inverte a sua polaridade e a corrente iL se
anula, fazendo com que o tiristor se bloqueie.
A evolução das grandezas no plano de fase é mostrada na Fig. 2.26.
Fig. 2.26- Plano de fase
Na Fig. 2.27 estão representadas as grandezas vC e iL em função do tempo.
vC (t )
VCO
ω Ot
-VCO
L
⋅ i (t )
C L
VCO
π /2
ω Ot
Fig. 2.27-Formas de Onda
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As expressões (43) e (44) representam o comportamento do circuito.
2.2.4- Aumento da Tensão de um Capacitor
Seja o circuito representado pela Fig. 2.28.
T1
E
+ v T1
+
vT2
-
L
iL
+ vL
T2
+
vC
C
-
Fig. 2.28-Circuito
Condições iniciais: vC0 < 0
e
IL0 = 0
No instante t = 0, T1 é disparado. A tensão começa a ser invertida. Antes que a corrente se anule,
dispara-se T2. A tensão E é aplicada reversamente sobre T1 nesse instante, fazendo com que ele bloqueie.
Uma parcela da energia é transferida de E para C. vC torna-se maior que E. A corrente iL se anula e o
tiristor T2 se extingue.
As grandezas envolvidas neste processo estão representadas, em função do tempo, na Fig. 2.29
abaixo.
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Fig. 2.29-Formas de Onda
Quando T1 está conduzindo, tem-se:
No instante t = t1, o tiristor T2 é disparado. Deste modo:
O plano de fase está representado na Fig. 2.30.
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Fig. 2.30- Plano de Fase
Substituindo as expressões (45) e (46) em (49), obtém-se:
Como
Assim:
Segundo a expressão (55), o controle do valor da tensão adquirida pelo capacitor pode ser feito
escolhendo-se o ângulo T0 t1.
Exemplo:
T0 t1 = B
Assim:
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Este circuito é utilizado em estruturas conversores à comutação forçada, como o inversor e o
chopper de McMurray.
2.2.5- Circuito RLC Série
A Fig. 2.31 a seguir, mostra o esquema de um circuito RLC série.
S
+
R
vS
- +
vR
iL
L
-+
E
vL
+
vC
C
-
Fig. 2.31-Circuito RLC Série
As seguintes equações podem ser escritas:
Considerando as condições iniciais: VC0 > 0 e IL0 > 0, tem-se como solução as expressões (55)
e (56).
onde:
Casos Particulares:
a) Circuito com perdas pequenas
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As seguintes aproximações são válidas:
T0 >> " ==> T0 – T
n – B/2 ==> sen(Tt - n) = -cos(Tt)
Assim:
b) Circuito ideal sem perdas:
Considerando-se R = 0 nas expressões acima, elas tomam a seguinte forma:
As expressões (59) e (60) são idênticas as expressões (32) e (31), como era de se esperar.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Nos circuitos abaixo, L = 100µH e C = 25µF. Fazer a análise do circuito, representando graficamente
as formas de onda de i, vL e vC, se o tiristor é disparado com o capacitor pré-carregado com as
seguintes condições iniciais:
a) Em 1, VC0 = 0
b) Em 2, VC0 = -50V
c) Em 3, VC0 = -50V
d) Em 3, VC0 = +50V
e) Nos circuitos 4, 5, 6 e 7, VC0 = -100V
(2)
(1)
(4)
(3)
(6)
(5)
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2. Seja o circuito abaixo. A chave S é disparado quando t = 0. Descrever gráfica e analiticamente em
função do tempo as grandezas i, vL, vC e iD; supor que L = 30µH, C = 120µF e VC0 = -75V. Faça
também o plano de fase.
3- Seja o circuito representado na Fig. abaixo, onde E = 100V, R = 1S, N1 = 100 e N2 = 200. A chave
S é aberta quando t = 0, após ter permanecido fechada durante um tempo muito longo. A indutância
magnetizante do transformador é igual a 200µH. Estabelecer as expressões analíticas e representar
graficamente as seguintes grandezas: i1, i2, v1, v2, vL e vS em função do tempo.
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