Conjuntos infinitos - DM

Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
Conjuntos innitos
Autor:
Alan Henrique de Jesus
Orientadora:
Disciplina:
Curso:
Profa. Dra. Cláudia Buttarello Gentile Moussa
Trabalho de Conclusão de Curso
Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis:
Karina Shiabel Silva
Sadao Massago
Vera Lúcia Carbone
São Carlos, 19 de agosto de 2013.
Conjuntos Innitos
Autor:
Alan Henrique de Jesus
Orientadora:
Disciplina:
Curso:
Profa. Dra. Cláudia Buttarello Gentile Moussa
Trabalho de Conclusão do Curso
Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis:
Karina Shiabel Silva
Sadao Massago
Vera Lúcia Carbone
Instituição:
Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
São Carlos, 19 de agosto de 2013.
Alan Henrique de Jesus (aluno)
Profa. Dra. Cláudia Buttarello
Gentile Moussa (orientadora)
Aos meus pais,
Manoel e Glória.
Agradecimentos
Primeiramente agradeço à minha família pelo apoio incondicional durante toda minha
vida, em especial durante este curso de Licenciatura em Matemática. Agradeço também
a professora Cláudia Buttarello Gentile Moussa, que me orientou neste Trabalho de Conclusão de Curso, pelo apoio, a juda e paciência durante o desenvolvimento deste, além do
suporte dado durante toda a minha graduação.
Agradeço também a todos os professores que acrescentaram algo a minha formação ,
em especial aos professores João Carlos Vieira Sampaio, Marcelo José Botta, Pedro Luiz
Aparecido Malagutti. Agradeço aos meus amigos do Kiko's Flat e de curso Caio Evaristo,
Caroline Raimundo, Diogo Melo, Gabriela Maria Machado, Grazielle Alves, Gustavo Sales
Barbosa, Jéssica Poelnitz Melo, Lucas Zago, Maykon Santana, Marcela Santos Santana,
Naiara Ap. Carneluti, Raphael Fernandes, Renata Oliveira, Richard Valefuego, pelos momentos de convivência durante estes quatro anos de graduação . Agradeço em particular
a ajuda dada por Diogo Melo e Marcos Paulo em alguns momentos de diculdades durante o desenvolvimento deste trabalho. Um agradecimento especial à minha namorada
Tamyris Marconi pelos muitos momentos vividos durante estes anos e principalmente pela
ajuda dada durante a confecção deste trabalho.
Resumo
Neste trabalho estudamos o conceito de números cardinais com particular interesse nos
cardinais transnitos.
Combinando alguns elementos da Teoria dos Conjuntos com no-
ções de estruturas algébricas, apresentamos modelos matemáticos para os conjuntos numéricos
N, Z, Q, R e C, que são importantes exemplos de conjuntos innitos.
Caracterizamos
conjuntos enumeráveis e não enumeráveis e apresentamos uma demonstração para o Teorema de Cantor, resultado importante na Teoria de Conjuntos que garante a existência
de innitos números cardinais transnitos.
Palavras chave:
Números cardinais; conjuntos numéricos; conjuntos enumeráveis;
cardinais transnitos, Teorema de Cantor.
ix
Sumário
Prefácio
xi
1 Números cardinais
1
1.1
O cardinal de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Operações com cardinais
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Conjuntos nitos e os números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2 Conjuntos numéricos
2.1
O conjunto
2.2
O conjunto
2.3
O conjunto
2.4
2.5
7
N dos números naturais .
Z dos números inteiros .
Q dos números racionais
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3.1
Construção do corpo de frações de um anel de integridade
. . . . .
10
2.3.2
Corpo dos números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
O Conjunto
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.4.1
Corpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.4.2
Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
O Conjunto
R
C
do números reais
dos Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Conjuntos nitos e innitos
3.1
16
19
Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4 Números cardinais transnitos
29
5 Apêndice
35
5.1
Algumas noções topológicas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
xi
Prefácio
Este trabalho é, essencialmente, um estudo inicial sobre conjuntos innitos e algumas de
suas principais propriedades, que podem parecer espantosas quando as conhecemos pela
primeira vez. Os conjuntos numéricos nos fornecem os principais exemplos de conjuntos
innitos e, portanto, gastamos algum tempo construindo modelos matemáticos abstratos para os números criados a partir da experiência humana com os procedimentos de
contagem e medida.
A um leigo pode parecer que há muitos mais números"em toda a reta do que há no
intervalo
[0, 1].
O que dizer então, quando comparamos um pequeno intervalo com todo o
espaço tridimensional? São denitivamente intrigantes os resultados que garantem que o
número cardinal de
[0, 1] e de Rn
são os mesmos, não importando qual seja o
n.
Também
é impactante a percepção de que, muito embora o denso conjunto dos números racionais
pareça ser tão maior que o discreto conjunto dos naturais, existe uma correspondência
um a um entre os elementos de
N e Q.
Diante de tais fatos, é difícil imaginar a existência
de conjuntos com número cardinal maior que o de
R, mas podemos provar de forma razo-
avelmente simples que existe uma sequência innita e ordenada de cardinais transnitos.
Isto é o que arma o Teorema de Cantor, com o qual encerramos o nosso estudo.
Este texto está organizado da seguinte forma:
no primeiro capítulo introduzimos a
noção de números cardinais, algumas de suas propriedades e um pouco da aritmética cardinal. No segundo capítulo estudamos os conjuntos numéricos
N, Z, Q, R e C.
No terceiro
capítulo caracterizamos conjuntos nitos e innitos e, entre estes, os enumeráveis e os não
enumeráveis. No quarto capítulo tratamos de números cardinais transnitos, culminando
com o Teorema de Cantor.
Acrescentamos a este trabalho um pequeno apêndice onde
constam algumas noções elementares da topologia da reta que, apesar de não estarem de
forma alguma conectadas com os capítulos anteriores, foram bastante utilizadas ao longo
das discussões que precederam a formalização dos resultados apresentados neste trabalho.
1
Capítulo 1
Números cardinais
Neste capítulo estudamos o conceito de número cardinal de um conjunto.
Iniciamos
denindo conjuntos equipotentes pois, a grosso modo, pode-se dizer que a cardinalidade
de um conjunto é a característica que ele tem em comum com todos os conjuntos com os
quais é equipotente.
A principal referência para esta primeira parte é [1], mas também
nos referiremos aos textos [5, 7].
Dizemos que um conjunto
X
em
Y.
X
é equipotente a um conjunto
Y
se existir uma bijeção de
A relação
X
é equipotente a
Y
que é denotada por
Eq(X, Y ),
é uma relação de equivalência quando a ambientamos em um conjunto de conjuntos. Mais
especicamente, temos que se
por:
XRY
se e somente se
equivalência em
X
Ξ
e
é um conjunto de conjuntos e R é a relação em
Y
pertencem a
Ξ
e
Eq(X, Y ),
então
R
Ξ
dada
é uma relação de
Ξ.
Teorema 1.1. Sejam X, Y dois conjuntos. Temos que uma das seguintes sentenças é
verdadeira:
1. X é equipotente a um subconjunto de Y ,
2. Y é equipotente a um subconjunto de X .
Além disso, se ambas as armações são verdadeiras, então X é equipotente a Y .
1.1 O cardinal de um conjunto
A cada conjunto
do conjunto
X
X
ou
vamos associar um ob jeto
Card(X)
x
que chamaremos de número cardinal
de tal modo que para que dois conjuntos
equipotentes é necessário e suciente que
Card(X) = Card(Y ).
X
e
Y
sejam
2
1. Números cardinais
Assim o ob jeto matemático
que
x = Card(X).
x
é um
número cardinal se existir um conjunto X
tal
Os números cardinais associados a conjuntos são denotados pelos
mesmos símbolos que representam os números ordinais
0, 1, 2, . . .
e temos que
0 = Card(∅)
é o cardinal do conjunto vazio. Veja que não há conjunto equipotente a
∅
que não seja o
próprio conjunto vazio. Desta forma, o único conjunto com número cardinal igual a 0 é
∅.
1 = Card({∅})
é o cardinal do conjunto
{∅}
e de todos os conjuntos unitários.
2 = Card({∅, {∅}})
é o cardinal do conjunto cujos elementos são o conjunto vazio
∅ e o unitário do vazio {∅}.
Prosseguindo desta forma, podemos associar recursivamente aos algarismos que denotam
os números naturais números cardinais de conjuntos de tal forma que, um conjunto tem
n
elementos se e somente se seu número cardinal for
n.
Podemos denir uma relação de ordem entre números cardinais. Sejam
x, y
dois nú-
meros cardinais. Escrevemos
x≤y
se houver conjuntos
X, Y
tais que
x = Card(X), y = Card(Y )
Y , para
x, y , temos
equipotente a um subconjunto de
Para todo número cardinal
x≤y
de tal forma que
uma escolha particular de
ou
X
e
X
é
Y.
y≤x
e também
x≤y
Além disso, é claro que se
x, y, z
Y
no conjunto
Z,
f
y ≤ x ⇒ x = y.
são três cardinais, temos
x≤y
pois se existir uma injeção
e
e
y ≤ z ⇒ x ≤ z,
do conjunto
X
temos que existe uma injeção de
A principal propriedade da relação
Y , e uma injeção g do conjunto
X em Z , que se denota g◦f .
no conjunto
x ≤ y
entre cardinais está contida no seguinte
teorema cuja demonstração pode ser encontrada em [1], pg 91.
Teorema 1.2. Seja E um conjunto de cardinais. Então existe um e somente um cardinal
a com a seguinte propriedade:
1. x ≤ a (resp x ≥ a) para ∀ x ∈ E ;
2. Se o cardinal b é tal que x ≤ b (resp x ≥ b) para ∀ x ∈ E , então b ≥ a (resp b ≤ a).
1.2. Operações com cardinais
3
1.2 Operações com cardinais
x, y dois números cardinais e denotemos x = Card(X) e y = Card(Y ).
x por y é o número cardinal
Sejam
de
O
produto
xy = Card(X×Y )
e permanece inalterado se substituirmos
a denição de
xy
X
ou
Y
por um conjunto equipotente. Ou seja,
é independente da escolha dos conjuntos
X
e
Y.
Esta operação possui
as seguintes propriedades:
xy = yx; x(yz) = (xy)z; 0x = 0; 1x = x;
As propriedades acima são consequências imediatas da denição.
a segunda por exemplo,
é suciente notar que,
dados três conjuntos
X×(Y ×Z) é equipotente a (X×Y )×Z já que podemos
(a, (b, c))∈X×(Y ×Z) o elemento ((a, b), c) de (X×Y )×Z .
tão
Observação 1:
Para demonstrarmos
X, Y
e
Z,
en-
associar a cada elemento
Apesar do que nossa intuição nos induz a pensar, é falso que
xz = yz ⇒ x = y ,
z 6= 0, conforme o seguinte contra-exemplo - Card({1} × N) = Card(N) =
Card({1, 2} × N) - que discutiremos apropriadamente após introduzirmos o conceito de
caso tenhamos
conjunto enumerável.
Agora deniremos
dois conjuntos
X, Y
soma
x, y dois números cardinais e escolha
x = Card(X) e y = Card(Y ). A soma de x com y
de cardinais.
disjuntos, tal que
Sejam
é o cardinal
x + y = Card(X ∪ Y )(onde X ∩ Y = ∅).
Não é difícil vericar que a soma é independente da escolha de
X
e
Y.
E além disso,
valem as seguintes propriedades:
x + y = y + x; x + (y + z) = (x + y) + z; 0 + x = 0.
Vale também a propriedade distributiva
x(y + z) = xy + xz
X, Y e Z quaisquer tais que
Y ∩ Z = ∅, o conjunto X×(Y ∪ Z) é equipotente a (X×Y ) ∪ (X×Z).
Finalmente, sejam x, y números cardinais com x = Card(X) e 0 6= y = Card(Y ).
que pode ser provada observando-se que dados três conjuntos
Denimos
xy = Card(X Y )
onde
XY é
o conjunto de todas a funções de
Y
em
X.
A operação é chamada de
nencial de um cardinal e satisfaz as seguintes condições:
expo-
4
1. Números cardinais
xy+z = xy xz ; (xy)z = xz y z ; (xy )z = xyz ; x0 = 1; x1 = x;
X, Y e Z são tais que Y ∩ Z = ∅,
Y 6= ∅ =
6 Z , e x = Card(X), y = Card(Y ) e z = Card(Z), então os conjuntos X Y ∪Z e
X Y × X Z são equipotentes. De fato, a cada par (f, g) de funções f : Y → X e g : Z → X ,
podemos associar a função f ∪ g : Y ∪ Z → X dada por
Para se provar a primeira propriedade, notemos que se
(
f ∪ g(w) =
f (w)
g(w)
se
se
w∈Y
w∈Z
Os detalhes desta vericação, bem como as demonstrações da boa denição de
xy
e das
demais propriedades acima podem ser encontradas em [5].
1.3 Conjuntos nitos e os números naturais
A seguir vamos enunciar e demonstrar um resultado através do qual poderemos caracterizar e diferenciar conjuntos nitos e innitos.
Teorema 1.3. Dado um conjunto X , as seguintes propriedades são equivalentes:
1. O único conjunto contido em X e equipotente a X é o próprio X .
2. Card(X) 6= Card(X) + 1
Demonstração. i)Suponha
que
vez que podemos decompor
X
X
X 0 estritamente contido em X . Uma
S
0
disjunta X = X
(X − X 0 ) , então temos
é equipotente a
na reunião
Card(X) = Card(X 0 ) + Card(X − X 0 );
como
Card(X − X 0 )≥1,
pois
X − X0
não é vazio, segue-se que
Card(X) ≥ Card(X 0 ) + 1.
Agora, como
X0
é equipotente a
X,
então
Card(X) = Card(X 0 )
e portanto
Card(X) ≥ Card(X) + 1.
Por outro lado, temos que
Card(X) + 1 ≥ Card(X)
Card(X) + 1 = Card(X ∪ {a}) para
concluímos que que Card(X) = Card(X) + 1.
já que
algum
a
não pertencente a
X.
Assim,
ii) Suponha agora que Card(X) = Card(X)+1 e seja a um elemento que não pertence
S
a X . Seja f uma bijeção de X
{a} em X . Então a imagem de X por f é evidentemente
equipotente a X e está estritamente contida em X .
1.3. Conjuntos nitos e os números naturais
Dizemos que um conjunto
X
do Teorema 1.3 e dizemos que é
nito
innito
é
5
se o conjunto possuir as propriedades
caso contrário.
nito se x 6= x + 1 e innito se x = x + 1.
Analogamente, o cardinal
Por exemplo, os cardinais
anteriormentes são nitos. Um cardinal nito é também chamado de
um cardinal innito de
x
Se
(xi )i∈I
e
y
1)
número transnito.
0, 1, 2, . . .
2)
xé
e
denidos
número natural e
x + y , xy e xy . Generalizando, se
família (xi )i∈I é nita se o conjunto
são números naturais, então já denimos
é uma família nita de números naturais (a
de índices for nito), então os cardinais
Y
X
xi
i∈I
xi
i∈I
são novamente nitos.
Se
único
x é um número natural,
cardinal z tal que
cada cardinal
y
tal que
y ≤ x é também nito,
e existe um
x = y + z;
z
é nito e é chamado de
diferença entre x e y, e é escrito da seguinte forma
z = x − y.
Se
x = Card(X)
e
y = Card(Y )
com
Y ⊂ X;
então teremos
z = Card(X − Y ).
Observemos que a situação problema descrita na Observação 1, não ocorre com números cardinais nitos. Para ser mais exato, a igualdade
x+z =y+z
implica que
x=y
se
z
é nito, e a igualdade
xz = yz
implica que
x=y
se
z
é nito e diferente de zero.
No que segue, usaremos frequentemente o seguinte resultado cuja demonstração pode
ser encontrada na página 96 em [1].
Teorema 1.4. Seja X um conjunto nito e f : X→X uma função. Então as seguintes
propriedades são equivalentes:
1. f é injetiva
2. f é sobrejetiva
3. f é bijetora
6
1. Números cardinais
7
Capítulo 2
Conjuntos numéricos
Neste capítulo apresentaremos construções matemáticas que são modelos abstratos para
os conjuntos numéricos
N, Z, Q, R
e
C
criados a partir da necessidade de se traduzir
formalmente quantidades observadas através da experiência humana.
2.1 O conjunto N dos números naturais
A existência de conjuntos nitos decorre a partir das considerações anteriores, porque os
conjuntos
∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}, . . .
são claramente nitos de acordo com o Teorema 1.3 e se baseia na idéia bastante intuitiva
de que existe um conjunto vazio.
A existência de um conjunto vazio é enunciada como
um axioma na construção da Teoria dos Conjuntos.
Por outro lado a existência de conjuntos innitos não é óbvia. Este ponto de vista pode
parecer estranho e contrário a nossa intuição, mas devemos recordar que a matemática
formal utiliza a prova lógica para provar suas armações, e que, em particular a palavra
"existência"na matemática não tem o mesmo signicado que na física ou na teologia, a
existência para os matemáticos deve ser mostrada usando a lógica e não apenas a crença
que algo existe.
Mostraremos a seguir que o conjunto dos números naturais é innito. Antes enunciamos o seguinte
Teorema 2.1. Seja X um conjunto innito. Então cada conjunto nito é equipotente a
um subconjunto próprio de X .
Demonstração.
cardinal
x
Temos que mostrar que
y < x
y e para cada
x ≤ y , então x
para cada cardinal nito
transnito. Mas de fato, caso tivéssemos o contrário, ou seja,
seria nito como visto anteriormente, o que contraria nossa hipótese.
8
2. Conjuntos numéricos
Teorema 2.2. Existe um único conjunto N tal que a relação "x ∈ N" é equivalente a
relação "x é um número natural". O conjunto N é innito.
Demonstração.
A = B
A unicidade de
N
resulta do fato que se
x ∈ A
se e somente se as relações
existência de
conjunto
Xn
como intuitiva.
N
tal que
e
Suponha que
Card(Xn ) = n.
A, B
x ∈ B são
N é nito, e
são dois conjuntos, então
equivalentes.
Aceitaremos a
n ∈ N escolha um
n ∈ N, Xn é nito, então é
para cada
Desde que para cada
nito o conjunto
X=
[
Xn
n∈N
Desde que cada
Xn
X , segue-se que
n ≤ x para todo n
está contido em
existe um número natural
x =
Card(X) com a propriedade de que
nito. Mas sendo x nito, então
x + 1 é nito e portanto x + 1 ≤ x. Contudo temos sempre x ≤ x + 1, logo x = x + 1,
contrariando a nitude de x. Temos assim uma contradição, portanto N é innito.
Resumindo :
As seguintes sentenças são equivalentes:
1. Existe um conjunto innito;
2. Existe um conjunto cujos elementos são os números naturais;
Diremos que um conjunto
X
é
enumerável
se ele for equipotente a
existir uma bijeção do conjunto dos números naturais
N
em
N,
ou seja, se
X.
2.2 O conjunto Z dos números inteiros
Além dos números naturais, a matemática necessita de números com
"sinais contrários" ,
ou seja, necessita dos números inteiros que iremos construir a seguir. A idéia fundamental
é a de que, se
x
e
y
são dois números naturais quaisquer, existe um inteiro
z
tal que
x + z = y.
Os inteiros negativos foram inventados para tornar possível a subtração em todos os casos.
Para construirmos o conjunto
Z
dos números inteiros, partimos do conjunto
N×N
que
são pares ordenados de números naturais, e denimos uma relação de equivalência
neste conjunto, dizendo que dois pares ordenados
equivalentes módulo
R
(x, y)
se, e somente se,
x + y 0 = x0 + y .
Então denimos o conjunto
Z
por
Z = (N×N)/R
e
(x0 , y 0 )
R
de números naturais são
2.2. O conjunto Z dos números inteiros
e os elementos de
Z
9
são chamados números inteiros. Podemos considerar o conjunto dos
números naturais um subconjunto do conjunto dos números inteiros associando a cada
n
natural a classe de equivalência de
(a, b)
indicaremos por
(n, 0).
Se
(a, b)
a classe de equivalência módulo
é um elemento qualquer de
R
determinada por
(a, b),
N×N
isto é,
(a, b) = {(x, y) ∈ N × N | (x, y)R(a, b)}
Ainda resta denir as operações algébricas sobre os inteiros. Denimos a soma e produto
z e z 0 da seguinte
z 0 = (x0 , y 0 ), logo
de dois números inteiros
tais que
z = (x, y)
e
forma, escolhemos pares
(x, y), (x0 , y 0 ) ∈ N×N
z + z 0 = (x, y) + (x0 , y 0 ) := (x + x0 , y + y 0 )
e
z·z 0 = (x, y)·(x0 , y 0 ) := (xx0 + yy 0 , xy 0 + yx0 ).
Pode-se mostrar que as operações estão bem denidas, ou seja, não dependem dos representantes escolhidos para as classes de equivalência.
Teorema 2.3. O conjunto Z dos números inteiros munido da operação de adição, tem a
estrutura de um grupo comutativo.
Demonstração.
•
Sejam
(x, y), (x0 , y 0 )
e
(x00 , y 00 )
elementos quaisquer de
Z,
valem
comutatividade:
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ) = (x0 + x, y 0 + y) = (x0 , y 0 ) + (x, y).
•
associatividade:
((x, y) + (x0 , y 0 )) + (x00 , y 00 ) = (x + x0 , y + y 0 ) + (x00 , y 00 ) =
((x + x0 ) + x00 , (y + y 0 ) + y 00 ) = (x + (x0 + x00 ), y + (y + y 00 )) =
(x, y) + (x0 + x00 , y 0 + y 00 ) = (x, y) + ((x0 , y 0 ) + (x00 , y 00 )).
•
existência de elemento neutro:
módulo
R.
consideremos a classe de equivalência
Temos que para todo elemento de
00 = (0, 0)
z ∈ Z, z = (x, y),
z + 00 = (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y) = z .
logo
•
00 = (0, 0)
é o elemento neutro da adição no conjunto
existência de elemento inverso: seja
mos
0
z = (y, x).
z = (x, y)
Z.
elemento qualquer de
Z
e considere-
Temos
z + z 0 = (x, y) + (y, x) = (x + y, y + x) = (x + y, x + y) = (0, 0) = 0,
10
2. Conjuntos numéricos
logo ,
(y, x)
é o oposto de
(x, y)
Denimos assim a subtração em
que será denotado por
Z,
denotada por
−,
−z 0 .
da seguinte forma: Se
z, z 0 ∈Z,
então:
z − z 0 = z + (−z 0 ).
Assim a subtração
z − z0
nada mais é do que a soma de
z
com o simétrico de
z0.
2.3 O conjunto Q dos números racionais
Nesta seção vamos apresentar uma construção do conjunto dos números racionais como
corpo frações do anel dos inteiros e detalhes de demonstrações omitidos no texto a seguir
podem ser encontrados em [4].
b quaisquer, com b 6= 0, existe um único inteiro
x tal que bx = a se, e somente se, a|b. Portanto, só podemos considerar quocientes
ou frações a/b quando a é múltiplo inteiro de b e b 6= 0. Para contornarmos esta restrição mostraremos que podemos contruir um corpo Q, uma amplicação do conjunto Z, onde
sempre será possível considerar o quociente a/b de dois números inteiros quaisquer desde
que b 6= 0.
Dados dois números interios
2.3.1
a
e
Construção do corpo de frações de um anel de integridade
Antes de começarmos a contruir o corpo de frações, vamos introduzir algumas denições.
Denição 2.4. Chama-se anel de integridade a todo anel comutativo com elemento unidade 1 6= 0, que não possui divisores próprios de zero.
Assim, dado um conjunto
A
com pelo menos dois elementos, dizemos que
anel de integridade se estão denidas em
A
(a, b) 7−→ a + b
e
(a, b) 7−→ ab,
e que satisfazem as seguintes condições:
(a + b) + c = a + (b + c)
2.
a+b=b+a
3.
a+0=a
4.
a + (−a) = 0
é um
duas operações binárias que chamaremos de
adição e de multiplicação
1.
A
(associatividade da adição )
(comutatividade da adição )
(elemento neutro da adição )
(elemento inverso da adição )
2.3. O conjunto Q dos números racionais
5.
(ab)c = a(bc)
6.
ab = ba
7.
a1 = a
8.
ax = ay
9.
a(b + c) = ab + ac
11
(associatividade da multiplicação )
(comutiviade da multiplicação )
(elemento neutro da multiplicação )
e
a 6= 0 =⇒ x = y
(lei do cancelamento)
(distributividade)
Denição 2.5. Seja A um anel e seja B um subconjunto de A; diz-se que B é um sub-anel
de A se, e somente se, são válidas as seguintes condições :
1. B é fechado em relação à adição e em relação à multiplicação denidas sobre A.
2. As operações induzidas sobre B pelas operações de A denem uma estrutura de anel
sobre o conjunto B .
Denição 2.6. Diz-se que um anel comutativo K , com elemento unidade 1 6= 0, é um
corpo se, e somente se, todo elemento não nulo de K é inversível com respeito à multplicação .
Em outras palavras, um conjunto
K
é um corpo se satisfaz os 9 axiomas de um anel
de integridade vistos anteriormente e o seguinte axioma:
1.
aa−1 = 1
Sejam
de
b
a
e
b
(elemento inverso da multiplicação )
dois elementos de um anel de integridade
se, e somente se, existe
o elemento
c
a
fração
tal que
a
b
ou
a/b.
de elementos de
A,
b
diz-se que
a
é um múltiplo
b 6= 0, então
denominado quociente de a por b e será
a
se b é inversível, tem-se
= ab−1 . Neste
b
Se
Em particular,
é chamado de numerador e
a
,
b
a = bc.
é único; este elemento passa a ser
indicado pela notação
caso
c
A;
a
é um múltiplo de
b
e se
de denominador. Portanto, tem sentido considerar a
se, e somente se,
b6=0
e
a
é múltiplo de
b.
Observamos que
A é um corpo, então existe sempre o quociente de a por b 6= 0 e
a
temos
= ab−1 .
b
∗
Seja A um anel de integridade e consideremos o produto cartesiano E = A×A dos
∗
conjuntos A e A = A − {0}. Deniremos uma relação R sobre o conjunto E do seguinte
se o anel de integridade
modo:
Denição 2.7. Se (a, b) e (c, d) são dois elementos quaisquer de E , então, colocaremos
(a, b)R(c, d) se, e somente se, ad = bc
A demonstração do teorema que será anunciado a seguir, pode ser encontrado na
página 200 do livro [4].
Teorema 2.8. A relação R, introduzida pela denição anterior é uma relação de equivalência sobre E .
12
2. Conjuntos numéricos
(a, b) a classe de equivalência módulo R detertemos que (a, b) = (c, d) se, e somente se, (a, b)R(c, d). O conjunto
relação de equivalência R será indicado por K , isto é,
Como anteriormente, indicaremos por
(a, b), e
de E pela
minada por
quociente
K=
A×A∗
E
=
.
R
R
Deniremos a soma e o produto de dois elementos quaisquer
(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)
e
(a, b)
e
(c, d)
de
K,
por
(a, b)(c, d) = (ac, bd).
Necessitamos vericar se estas denições são de fato indepentes das escolhas dos repre-
(a, b) e (c, d) das classes de equivalência (a, b) e (c, d), isto é, precisamos mostrar
(a, b) = (a0 , b0 ) e (c, d) = (c0 , d0 ), então,
sentantes
que se
(ad + bc, bd) = (a0 d0 + b0 c0 , b0 d0 )
e
(ac, bd) = (a0 c0 , b0 d0 ).
De fato, temos pela denição de
R
que,
ab0 = ba0
e
cd0 = dc0 ,
logo,
(ad + bc)(b0 d0 ) = (ab0 )(dd0 ) + (cd0 )(bb0 ) = (ba0 )(dd0 ) + (dc0 )(bb0 ) = bd(a0 d0 + b0 c0 )
e
(ac)(b0 d0 ) = (ab0 )(cd0 ) = (ba0 )(dc0 ) = (bd)(a0 c0 )
portanto,
(ad + bc, bd)R(a0 d0 + b0 c0 , b0 d0 )
e
(ac, bd)R(a0 c0 , b0 d0 ).
Mostramos assim que as
operações de adição e de multiplicação
((a, b), (c, d)) 7−→ (ad + bc, bd)
e
((a, b), (c, d)) 7−→ (ac, bd)
sobre o conjunto quociente
K=
(A×A∗ )
R
estão bem denidas. Com isso temos o seguinte
resultado:
Teorema 2.9. As operações acima denem uma estrutura de corpo comutativo sobre o
conjunto K .
As demonstrações do teorema acima e dos próximos podem ser encontradas em [4].
Teorema 2.10. O subconjunto
A0 = {(a, b) ∈ K | b = 1}
é um sub-anel unitário de K e, além disso, o corpo de frações de A0 em K é o próprio K .
2.3. O conjunto Q dos números racionais
13
Teorema 2.11. A aplicação f : A→A0 , denida por f (a) = (a, 1), é um isomorsmo de
A em A0 .
A0 pelo teorema acima e,
além disso, A passa a ser considerado um sub-anel unitário de K . Desta forma, diremos
que um elemento (a, b) de K é o quociente dos elementos (a, 1) e (b, 1)
Temos que o anel
A
será identicado como um sub-anel de
(a, b) =
e, como
(a, 1) = a
e
(b, 1) = b,
quociente de dois elementos de
os elementos de
O corpo
K
de integridade
K,
denotaremos
A.
(a, 1)
;
(b, 1)
(a, b) =
a
.
b
Ou seja, todo elemento de
K
é o
Daqui por diante só usaremos esta representação para
isto é, todo elemento
(a, b)
de
K
será indicado por
a
b
ou
a/b.
que acabamos de construir acima é denominado corpo de frações do anel
A.
Resumindo o que foi expôsto acima, dado um anel de integridade
A
K que contém A como um sub-anel unitário e tal que
a
a
c
todo elemento de K seja da forma
, com a e b em A e b6=0. Temos que
= se, e
b
b
d
a
= 0, para todo a em A e as operações denidas sobre K podem
somente se, ad = bc;
1
pode-se sempre construir um corpo
ser colocadas da seguinte forma
a c
ad + bc
+ =
b d
bd
e
ac
ac
= .
bd
bd
b
a
, com a6=0, é
. Além disso, se a e b são dois elementos quaisquer
b
a
a
de A, com b6=0, existe o quociente de a por b que é o elemento
de K . Assim, podemos
b
sempre determinar o quociente de dois elementos de A, desde que o divisor seja diferente
O inverso do elemento
de zero.
2.3.2
Corpo dos números racionais
Denição 2.12. Chama-se corpo dos números racionais ao corpo de frações do anel de
integridade Z.
O corpo dos números racionais será denotado pela letra
pode ser escrito na forma
a
,
b
A soma e o produto de dois
Q. Todo número racional
a
c
com a e b inteiros e b6=0 e
= , se, e somente se, ad = bc.
b
d
a c
números racionais quaisquer
e
são denidos por
b c
a c
ad + bc
+ =
b d
bd
e
ac
ac
= .
bd
bd
14
2. Conjuntos numéricos
Temos ainda que um número racional
a,
inteiro se, e somente se,
a
−b
a
x= .
b
é nulo se, e somente se,
é um múltiplo de
e todo número racional não nulo
inteiros quaisquer, com
a
b
b6=0,
b.
a
, a6=0,
b
a = 0,
e
a
b
é um número
O oposto do número racional
tem inverso
b
.
a
existe um único número racional
a
Se
x
e
b
a
b
é
−a
b
ou
são dois números
tal que
bx = a
e temos
2.4 O Conjunto R do números reais
Nesta seção seguiremos a referência [2], e apresentaremos uma caracterização dos números
reais a partir de
2.4.1
Q.
Corpos ordenados
K,
Dado um corpo
diremos que ele é um corpo ordenado se existe
P ⊂K
satisfazendo as
seguintes condições :
1.
x, y ∈ P ⇒ x + y ∈ P
2. Dado
x ∈ K,
e
xy ∈ P
é válido uma das seguintes alternativas:
x = 0,
ou
x∈P
ou
−x ∈ P
K = P ∪ (−P ) ∪ {0}, e denominamos P o conjunto dos elementos
positivos e −P o conjunto dos elementos {−x, x ∈ P } que chamaremos de conjuntos dos
elementos negativos. A relação a ≤ b ⇔ b − a ∈ P é uma ordem total em K . Num corpo
2
ordenado, se a 6= 0 então a ∈ P . Em particular temos que num corpo ordenado 1 = 1·1
é sempre positivo e que −1 não é quadrado de nenhum elemento.
Então temos
2.4.2
Seja
K
Números reais
um corpo ordenado e
b∈K
X em K .
X⊂K
um subconjunto limitado superiormente. Dizemos
X quando ele é a menor das cotas
que b ∈ K seja supremo do conjunto
que um elemento
é supremo do subconjunto
superiores de
Mais precisamente para
X⊂K
, é necessário e suciente que satisfaça as seguintes condições :
1. Para todo
2. Se
c∈K
x ∈ X,
tem-se
é tal que
x≤c
x ≤ b;
para todo
x ∈ X,
então
b ≤ c.
b e b0 pertencentes a K cumprem as condições 1 e 2 acima, devemos
0
0
0
ter b ≤ b e b ≤ b, logo b = b . Portanto quando existe o supremo de um conjunto, ele é
único e o denotamos por sup X . As condições que caracterizam o elemento supremo de
Se dois elementos
um conjunto podem ser escritas da seguinte maneira:
1.
x ∈ X ⇒ x ≤ sup X ;
2.4. O Conjunto R do números reais
2.
c≥x
3. Se
para todo
c < sup X
x ∈ X; ⇒ c ≥ sup X ;
então existe
x∈X
tal que
Analogamente chamamos um elemento
limitado inferiormente, quando
ção
15
a
c < x.
a ∈ K
de ínmo de um conjunto
é a maior das cotas inferiores de
K.
Y ⊂ K,
Usamos a nota-
a = inf Y.
A necessidade de construção dos números reais vem a partir do fato que alguns con-
juntos limitados de números racionais não possuem supremo ou ínmo em
Q.
Este fato
está extremamente ligado à inexistência de raízes quadradas racionais de certos números inteiros. Este fato tem uma demonstração extremamente simples que apresentamos a
seguir.
Lema 2.13. Não existe nenhum número racional p tal que p2 = 2
Demonstração.
m
∈ Q tal que p2 = 2. Podemos supor
p=
n
m
é irredutível, isto é m e n não são ambos
fração p =
n
De fato, suponha que existe
sem perda de generalidade que a
pares (múltiplos de 2). Então
m2
= 2 ⇔ m2 = 2n2 ⇒ m2
n2
é par
⇒m
é par (por que se
o quadrado de um número é par , então o próprio número é par). Mas se
é divisível por 4. E como
assumimos que
m
n
m2 = 2n2 ,
temos que
n2
m
é par
⇒ m2
é par, o que é uma contradição, pois
é irredutível.
Denição 2.14. Um corpo ordenado K é chamado de completo quando todo subconjunto
não vazio, limitado superiormente com X ⊂ K , possui supremo em K . Analogamente
denimos para o ínmo.
Assumiremos a partir de agora, o Axioma Fundamental da Análise Matemática:
Axioma 2.15. Existe um corpo ordenado completo, R, chamado o corpo dos números
reais.
Lema 2.16. Para todo número real positivo a existe um único número real positivo b tal
que b2 = a.
Demonstração.
Se
a = 0
números reais positivos).
unicidade de
b.
Se
b
e
c
é imediato, logo podemos supor que
O caso
a ∈ −P
é análogo.
a ∈ P
(conjuntos dos
Primeiramente vamos provar a
são números reais positivos tais que
b2 = a = c 2 .
Logo temos
(b − c)(b + c) = 0,
como
b + c > 0,
conjunto
então temos que
b = c,
logo
b
é único.
Agora consideremos o seguinte
16
2. Conjuntos numéricos
S = {x ∈ R | 0 ≤ x
e
x2 ≤ a}.
S é não vazio, pois x ≤ 0 e S é majorado (por a + 1), logo temos que
2
existe b = sup S e b > 0, pois R é um conjunto completo. Armamos que b = a. De
2
fato, se b 6=a, teríamos os seguintes dois casos para examinar:
É imediato que
1.
b2 < a;
2.
b2 > a;
Vericando o caso
1:
temos que
b2 < a ⇒ b3 < ab ⇒ b3 + ab < 2ab ⇒ b <
logo
b1 ∈ S ,
por que,
4a2 b2
≤a
(a − b2 )2 + 4ab2
(b1 )2 =
o que é um absurdo. Vericando
2:
x∈S
tal
temos que
a + b2
= b2 ,
b > a ⇒ 2b > a + b ⇒ b >
2b
2
2
que b2 < x ≤ b ⇒ (b2 ) < x ≤ a, por outro lado
2
logo existe
2ab
= b1
a + b2
2
2
(b2 )2 =
temos que
(a − b2 )2 + 4ab2
≥a
4b2
o que é um absurdo.
Se
a
é um número real positivo, então, o único número real positivo
é denominado raíz quadrada de
do conjunto
R − Q,
chamaremos de
√
2,
√
√
3, 5 . . .
a
e será indicado pela notação
√
a.
b
tal que
b2 = a
Assim, aos elementos
isto é, os números reais que não são racionais, a partir de agora
números irracionais.
Acabamos de ver que eles existem: por exemplo,
são números irracionais. O fato de que os números irracionais se acham
espalhados por toda parte entre os números reais e que há (em um sentido que precisaremos
mais tarde) mais números irracionais do que racionais, serão discutidas mais para frente.
2.5 O Conjunto C dos Números Complexos
b2 = a
x ∈ R tal
Vimos na seção anterior que a equação
tem solução se, e somente se,
número positivo, ou seja, não existe
que
x2 = −1.
dos números reais de modo que esta equação obtenha solução.
dos números reais e seja
(a, b)
e
(c, d)
C = R×R
C
Consideremos o corpo
R
R
por si mesmo; se
deniremos as seguintes operações
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
e
for um
Ampliaremos o conjunto
o produto cartesiano do conjunto
são dois elementos quaisquer de
a
2.5. O Conjunto C dos Números Complexos
17
(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc)
Denimos assim as operações de adição e multiplicação sobre o conjunto
C.
A seguir
enunciaremos um teorema cuja demonstração pode ser encontrada na página 270 em [4].
Teorema 2.17. As operações de adição e de multiplicação enunciadas anteriormente, denem uma estrutura de corpo comutativo sobre o conjunto C.
A partir de agora, todo elemento do corpo
complexo e diremos que
C
C
passa a ser denominado como número
munido com as operações de adição e multiplicação é o corpo
dos números complexos.
Indicaremos por
todo
i
o número complexo
(0, 1).
Como
(b, 0)(1, 0) = (0, b),
teremos para
(x, y) ∈ C:
z = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(1, 0) = x + yi.
Portanto, se identicarmos os números reais
respectivamente, todo número complexo
com
x
e
y
e
y
(x, 0) e (y, 0)
forma z = x + yi,
com os elementos
pode ser representado sob a
i = (0, 1). O número i é denominado unidade imaginária
2
2
equação x = −1, já que i = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1.
reais e
solução para a
z
x
e é uma
18
2. Conjuntos numéricos
19
Capítulo 3
Conjuntos nitos e innitos
Neste capítulo discutiremos algumas propriedades de conjuntos nitos e innitos, enumeráveis e não enumeráveis, e por m estudaremos números cardinais transnitos.
As
principais referências bibliográcas para o que segue são [1, 5, 6, 7].
Já denimos conjuntos nitos e innitos no Capítulo 2. Equivalentemente temos,
Denição 3.1. Dado um conjunto X, dizemos que ele é innito quando possui um subconjunto próprio Y , tal que existe um bijeção entre X e Y . Um conjunto é nito caso
contrário.
Dito de outra forma, um conjunto
X→ X
tal que
f (X)
X
é innito se, e somente se, existe um injeção
é um subconjunto próprio de
f:
X.
Denição 3.2. O conjunto X é um superconjunto do conjunto X se e somente se Y ⊂ X
Teorema 3.3.
1. Todo superconjunto de um conjunto innito é innito.
2. Todo subconjunto de um conjunto nito é nito.
Demonstração.
X um conjunto innito e Y um seu superconjunto, ou seja,
X ⊂ Y . Então como X é innito, existe um conjunto Z propriamente contido em
X e uma bijeção f : X → Z . Consideremos a seguinte função g : Y → g(Y ) tal que
1. Seja
(
g(y) =
f (y)
y
se
se
y∈X
y ∈Y −X
g é injetora, pois f é injetora e, quando y ∈ Y −X , g(y1 ) = g(y2 ) ⇔ y1 =
y2 . Já se y1 ∈ X e y2 ∈ Y − X , então g(y1 ) = f (y1 ) ∈ X mas g(y2 ) = y2 ∈ Y − X ,
logo g(y1 ) 6= g(y2 ). Como f não é sobrejetora em X , temos que g(Y ) 6= Y pois
f (X) 6= X . Portanto o superconjunto Y é innito.
Temos que
20
3. Conjuntos nitos e innitos
2. Agora vamos supor que o conjunto
X.
Então temos que
X
X
é nito e
é um superconjunto de
X
anteriormente demonstrada, temos que
nito. Portanto
Y
Y
Y,
é innito.
é um subconjunto innito de
e pela parte 1 deste teorema
Absurdo, pois supusemos
X
é nito.
Teorema 3.4. Seja g : X → Y bijeção. Se o conjunto X é innito, então Y é innito.
Demonstração.
Por hipótese o conjunto
X
é innito, então por denição existe uma in-
f (X) 6= X . Como g é suposta bijetora temos que g −1 : Y → X
−1
é também bijetora. Então a função h = g◦f ◦g
de Y em Y é injetora, porque composta
de funções injetoras é injetora. Mas h(Y ) 6= Y porque f (X) 6= X ou seja, e portanto Y é
jeção
f : X → X,
tal que
um conjunto innito.
Corolário 3.5. Seja g : X → Y bijeção. Se o conjunto X é nito, então Y é nito.
Demonstração.
g
−1
:Y →X
Suponha que
Y
é innito.
Temos que
também é bijetora e pelo teorema anterior
for nito então
Y
g : X → Y é
X seria innito.
bijeção , então
Portanto se
X
também será.
Teorema 3.6. Seja X um conjunto innito e seja x0 ∈ X . Então X − {x0 } é innito.
Demonstração.
X,
então denimos
1. Se
f : X → Z é uma injeção e Z é um subconjunto
g : X − {x0 } → X − {x0 } da seguinte forma:
De fato, se
f −1 (x0 ) = x0 ,
denimos
g(x) = f (x),
para todo
próprio de
x ∈ X − {x0 }.
f −1 (x0 ) 6= x0 e x1 = f −1 (x0 ), denimos g(x) = f (x), para todo x ∈ X − {x0 , x1 },
g(x1 ) = f (x0 ).
2. Se
e
Em qualquer caso teremos
Portanto
X − {x0 }
g
injetora e
g(X − {x0 })
propriamente contido em
X − {x0 }.
é innito.
Notemos que o teorema acima conrma a equivalência entre a denição de conjunto
innito dada nesta seção e a que se baseia no Teorema 1.3, segundo a qual um conjunto
é innito se a seguinte relação é verdadeira:
Card(X) = Card(X) + 1.
Corolário 3.7. Seja X um conjunto innito e Y um subconjunto nito de X , então
X − Y é innito.
Demonstração.
Como
Y
é nito,
mostrar por indução nita que se
n = 1,
temos que
X − {x1 }
então
X
Y
possui
n
é innito, então
elementos,
X−Y
é innito pelo teorema anterior.
a armação seja verdadeira para
n = k
com
n ∈ N.
Vamos
é também innito.
Para
Agora vamos supor que
e vamos mostrar que vale para
n = k + 1.
3. Conjuntos nitos e innitos
21
n = k , ou seja, A = X − {x1 , x2 , x3 , . . ., xk }
é innito.
Seja Y = {x1 , x2 , x3 , . . ., xk , xk+1 } = {x1 , x2 , x3 , . . ., xk } ∪ {xk+1 }, então
X − Y = X − {x1 , x2 , x3 , . . ., xk } − {xk+1 } = A − {xk+1 }, e novamente pelo teorema
anterior temos que A − {xk+1 } é innito. Portanto X − Y é innito.
Então como a armação é válida para
Teorema 3.8. Se A é um conjunto innito, então A × A também é innito.
Demonstração.
Por hipótese
propriamente contido em
A
A
é innito. Com isso, por denição existe um conjunto
B
f : A → B . Queremos provar que
seguinte função g : A × A → B × B dada por
claramente bijetora e g(A × A) = B × B é um
e uma função bijetora
A × A é innito, então tomemos
g(x, y) = (f (x), f (y)). A função g
subconjunto próprio de A × A.
a
é
No que segue, usaremos a notação
Nk
para indicar o conjunto
{0, 1, 2, 3, . . ., k}, k ∈ N.
Lema 3.9. Para cada k ∈ N, o conjunto Nk é nito.
Demonstração.
Utilizaremos indução nita para provar este lema.
k = 1, temos
próprio é ∅ e não há
Se
que
N1 = {1},
que é um conjunto nito, pois o único subconjunto
nenhuma função bijetora entre
Agora vamos supor que
Nk é nito para algum
Considere Nk+1 = Nk ∪ {k + 1}, vamos supor por
pelo teorema anterior temos que Nk+1 − {k + 1} é
temos que Nk = Nk+1 − {k + 1} é nito. Portanto
k ∈ N.
{1} e ∅,
k∈Ne
logo
é nito.
provemos que
absurdo que
innito.
N1
Nk+1
Nk+1
é nito.
é innito.
Então
Absurdo pois por hipótese
todo conjunto
Nk
é nito para cada
Teorema 3.10. Um conjunto X é nito se, e somente se, X = ∅ ou existe uma função bijetora do conjunto X sobre Nk .
Demonstração. (⇒) Vamos supor por absurdo que o conjunto X
nenhuma bijeção com nenhum
então existe
x1 ∈ X
Nk
é não vazio e não possui
k ∈ N. Como X é diferente de vazio,
X − {x1 } é diferente de vazio, porque caso
qualquer que seja
e temos também que
contrário existiria uma bijeção entre
X
e
N1 . Procedendo desta forma sucessivamente temos que podemos selecionar k elementos x1 , x2 , x3 , . . . , xk ∈ X , e X − {x1 , x2 , x3 , . . . , xk }
não é vazio qualquer que seja k ∈ N, pois caso contrário existiria uma bijeção entre
este conjunto e Nk . Logo existe xk+1 em X − {x1 , x2 , x3 , . . . , xk } e, assim existe uma
sequência {xn }n∈N de elementos distintos em X . Assim podemos denir a seguinte função f : X → X − {x1 } dada por f (xk ) = xk+1 . O conjunto X − x1 é um subconjunto
próprio de X , e f (xk ) = f (xn ) ⇔ xk+1 = xn+1 ⇔ k = n. Além disso para todo xk+1
existe xk tal que f (xk ) = xk+1 . Logo f é uma função bijetora entre X e seu subconjunto
próprio X − {x1 }. Assim temos que X é innito, o que contraria a hipótese que X é
nito. Portanto X = ∅ ou existe uma bijeção entre X e algum Nk .
(⇐) Se X = ∅, então X não possui nenhum subconjunto próprio e portanto X não
pode ser innito. Se X 6= ∅ e existe uma função bijetora f : X → Nk , supondo por absurdo
22
3. Conjuntos nitos e innitos
que o conjunto
X
é innito, então teríamos que
lema anterior. Portanto o conjunto
X
Nk
também seria innito, contrariando o
é nito.
Teorema 3.11. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer tais que A ∪ B é innito. Então
ao menos um dos dois conjuntos A ou B é innito.
Demonstração.
1. Se
Vamos supor por absurdo que os conjuntos
A
e
B
sejam ambos nitos.
A ∩ B = ∅.
e
B
fA = A → Nk1
e
Como supusemos que os conjuntos
A
são nitos, então pelo teorema anterior
existem as seguintes funções bijetoras:
Consideremos a seguinte função
fB = B → Nk2
f : A ∪ B → Nk1 +k2 ,
(
f (x) =
fA (x)
fB (x) + k1
, se
, se
dada por
x∈A
x∈B
Mostremos que esta função é bijetora.
(a) Injeção
De fato, sejam
x, y ∈ A ∪ B .
x, y ∈ A, então f (x) = fA (x) e f (y) = fA (y).
fA (x) = fA (y) e x = y pois fA é injetora.
i. Se
ii. Se
x, y ∈ B
x∈A
x 6= y .
iii. Se
e
Logo
f (x) = f (y) ⇒
a demonstração é análoga a do caso anterior.
y ∈ B,
então
f (x) ≤ k1 ,
e
f (y) > k1 ,
portanto
f (x) 6= f (y)
se
(b) Sobrejeção
Seja
w ∈ Nk1 +k2 .
w ≤ k1 , então w ∈ Nk1 , como fA
f (a) = w. Portanto w = f (a).
i. Se
é bijetora então existe
a∈A
tal que
w > k1 , então w = k1 + w com w ∈ Nk2 e, como fB é sobrejetora,
existe b ∈ B tal que fB (b) = w . Portanto f (b) = fB (b)+k1 = w +k1 = w .
ii. Se
A ∩ B 6= ∅, então temos que A ∪ B = A ∪ (B − A), e esta última reunião é
disjunta. Como B −A ⊂ B e B é nito por hipótese, segue-se que B −A é também
nito. Logo, pelo exposto acima, A ∪ B = A ∪ (B − A) é nito e portanto A ∪ B
2. Se
é nito.
3. Conjuntos nitos e innitos
Assim concluimos que se
A
e
B
23
forem ambos nitos, então
A ∪ B
é nito.
Exemplo 3.12. Os conjuntos numéricos N, Z, Q, R e C estudados anteriormente são
conjuntos innitos.
Demonstração.
Já foi provado no Teorema 2.2 que o conjunto
N
dos números naturais é
innito. Para provarmos que o conjunto
Z dos números inteiros é innito, consideremos
a seguinte função f : Z → 2Z dada por f (x) = 2x (aqui 2Z indica o conjunto dos pares).
Agora só resta vericarmos que esta função é bijetora. De fato, se f (x1 ) = f (x2 ) então
2x1 = 2x2 ⇔ x1 = x2 . Além disso dado a ∈ 2Z, temos que a = 2b, para algum b ∈ Z,
portanto f (b) = 2b = a. Com isso provamos que esta função é bijetora, logo o conjunto
dos números inteiros é innito. Mostraremos agora que Q é innito. Considere a seguinte
x
. Claramente se x for racional
função f : Q → Q ∩ (−1, 1), denida por f (x) =
1 + |x|
então f (x) também será racional e pertencerá ao intervalo (−1, 1). Por último precisamos
mostrar que f é bijetora.
1. Injeção : Sejam
x1 , x2 ∈ Q.
y1 = −x1 , x1 > 0 e y2 = −x2 , x2 > 0 então
−x1
−x2
temos que f (x1 ) = f (x2 ) ⇒
=
⇒ − x2 (x1 + 1) =
| − x1 | + 1
| − x2 | + 1
−x1 (x2 + 1) ⇒ − x2 − x2 x1 = −x1 − x1 x2 ⇒ − x2 = −x1 ⇒ y2 = y1 .
(a) Se
y1 < 0
(b) O caso
(c) Se
e
y2 < 0,
x1 ≥ 0
x1 > 0
e
e
sendo que
x2 ≥ 0
x2 < 0
ou
é análogo ao caso anterior.
x1 < 0
e
x2 > 0,
então
f (x1 ) 6= f (x2 ),
pois têm sinais
contrários.
(d) nalmente
f −1 (0) = 0.
2. Sobrejeção
a ∈ Q ∩ (−1, 1), Então se a > 0
f (b) = a. Logo f (x) é sobrejetora.
Se
e
b =
a
,
a−1
f (b) = a.
Se
a ≤ 0
e
b =
a
,
a+1
Portanto temos que o conjunto dos «umeros racionais é innito.
Neste momento vamos mostrar que o conjunto dos números reais é também innito,
e para tanto consideremos a função
x
f (x) =
.
1 + |x|
f : R → (−1, 1),
denida como anteriormente por
Claramente esta função é bijetora e portanto o conjunto dos números
reais é innito.
E para terminarmos a demonstração falta mostrarmos que o conjunto dos números
complexos é innito. Pela construção realizada anteriormente deste conjuntos, vimos que
C = R × R,
então pelo Teorema 3.8, o conjunto dos números complexos é innito.
24
3. Conjuntos nitos e innitos
3.1 Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis
Acabamos de mostrar que os conjuntos númericos que estudamos são todos innitos.
Agora veremos outra propriedade segundo a qual podemos classicar estes conjuntos.
Denição 3.13. Um conjunto X é enumerável quando X é equipotente a N. Um conjunto
contável é um conjunto nito ou enumerável.
Em outras palavras se
N.
X
é um conjunto enumerável então existe uma bijeção
f :X →
Se denotarmos
f (1) = x1 , f (2) = x2 , f (3) = x3 , . . . , f (k) = xk , . . .
então
de
X
X
pode ser escrito do seguinte modo
podem ser ordenados pelo índice.
{x1 , x2 , x3 , . . . , xk , . . . }.
Com isso os elementos
Agora, em relação ao termo "contável", se o
conjunto for nito é teoricamente possível contar seus elementos.
Agora se o conjunto
for enumerável, embora a contagem de fato de um conjunto enumerável seja impossível,
o conjunto está em correspondência biunívica com os números que são utilizados para a
contagem, que são os números naturais.
Teorema 3.14. Todo subconjunto innito de um conjunto enumerável, é também enumerável.
Demonstração.
innito de
X.
Suponhamos que
X
Queremos provar que
é um conjunto enumerável e que
Y
Y
é um subconjunto
é enumerável.
X é enumerável, então existe uma função bijetora f : X → N, onde f (xn ) = n
para todo n ∈ N e xn ∈ X . Queremos denir uma função bijetora g : Y → N. Seja n1
tal que xn1 ∈ Y e xn ∈ Y ⇒ n ≥ n1 . Uma vez escolhidos xn1 , xn2 , xn3 , . . . , xni−1 em Y ,
seja xni ∈ Y − {xn1 , xn2 , xn3 , . . . , xni−1 }, e tal que se xn ∈ {xn1 , xn2 , xn3 , . . . , xni−1 } então
n ≥ ni . Desta forma, Y = {xn1 , xn2 , xn3 , . . . }. Dena g(y) = g(xnm ) = m para m ∈ N.
Então temos que g é bijetora e Y é enumerável.
Como
Teorema 3.15. Seja f : X → Y injetiva. Se Y é enumerável então X também é.
Demonstração.
g : Y → N. Agora
consideremos a seguinte função composta h = g◦f de X em N. Como f e g são injetivas
segue-se que h também é injetiva. Portanto h : X → h(X) ⊂ N é uma bijeção. Como
h(X) ⊂ N , h(X) é enumerável e portanto X é enumerável.
Como
Y
é enumerável então existe uma bijeção
Corolário 3.16. Seja f : X → Y sobrejetiva. Se X é enumerável então Y também é.
Demonstração.
∈ Y seja n o menor índice tal que xn ∈ X tal que
f (xn ) = y . Isto dene uma função g : Y → N dada por g(y) = n para y ∈ Y . Então g
é injetiva. Pelo teorema anterior temos que Y é enumerável.
Para cada
y
3.1. Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis
25
Corolário 3.17. Todo subconjunto de um conjunto contável é também contável.
Demonstração.
Se
X
é um conjunto contável então ou ele é nito ou enumerável. Se for
nito, então pelo Corolário 3.5 todo subconjunto de
Agora caso o conjunto
X
X
é também nito, logo contável.
seja innito e enumerável, pelo teorema anterior qualquer seu
subconjunto innito será enumerável e portanto contável.
Teorema 3.18. A união de dois conjuntos enumeráveis é enumerável.
Demonstração.
Sejam
A
e
B
dois conjuntos enumeráveis.
Mostraremos que
A ∪ B
é
enumerável nos dois seguintes casos:
1. Caso 1:
A ∩ B=∅
A e B são enumeráveis, então existe uma função f : A → N
bijetora. Também existe uma função bijetora g : N
→ Np , onde Np denota o
conjunto dos números naturais pares dada por g(n) = 2n para ∀ n ∈ N. Logo
existe uma função injetora h1 = g◦f de A em Np . Por argumentação análoga, temos
que existe uma função k : B → N e l : N → Ni bijetoras tal que l(n) = 2n + 1.
Logo h2 = l◦k é uma função injetora de B em Ni .
Temos por hipótese que
Agora consideremos a seguinde função :
(
f (x) =
Esta função está bem denida pois
então
A ∪ B
2. Caso 2:
F : (A ∪ B) → (Np ∪ Ni ),
h1
h2
se
se
x∈A
x∈B
A ∩ B = ∅ e como (Np ∪ Ni ) = N é enumerável,
também é enumerável.
A ∩ B 6= ∅
A ∪ B = C ∪ B e C, B
disjuntos por construção. Temos pela parte 1 que C
∪ B é
A ∪ B também é enumerável pois A ∪ B = C ∪ B .
Seja
C = A − B,
um conjunto tal que
Corolário 3.19. Sejam A1 , A2 , A3 , . . . , An . Então
n
[
k=1
é enumerável.
dada por
Ak
são dois conjuntos
enumerável, então
26
3. Conjuntos nitos e innitos
Demonstração.
Utilizaremos o princípio da indução nita para mostrarmos este colorário.
Pelo teorema anterior sabemos que o resultado é válido se
que seja válido para
n = m − 1,
n = 2,
então vamos supor
ou seja, supomos que
m−1
[
Ak
k=1
é enumerável, e vamos mostar que a reunião de
M
conjuntos enumeráveis é enumerável.
De fato,
m
[
Ak =
k=1
m−1
[
Ak ∪ Am
k=1
mas como a união de dois conjuntos enumeráveis também é enumerável, temos que
m
[
Ak
k=1
é enumerável.
Teorema 3.20. O conjunto N × N é enumerável.
Demonstração.
f (j, k) = 2j 3k
(j, k) ∈ (N, N).
f (N × N) ⊂ N.
para
é equipotente a
f (N × N)
Considere a seguinte função
também é .
f :N × N → N
dada da seguinte forma
Esta é uma função injetora, de modo que
N × N é innito pelo
f (N × N) é enumerável e
Como
Logo temos que
N × N
Teorema 3.8, então
portanto
N × N
é
enumerável.
Corolário 3.21. O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto
enumerável.
Demonstração.
X e Y são dois conjuntos enumeráveis então existem sobrejeções f : N
→ X e g : N → Y , logo h : N × N → X × Y , dada por
h(m, n) = (f (m), g(n)) é sobrejetiva. Como N × N é enumerável, temos que X × Y
De fato, se
também é.
Exemplo 3.22. O conjunto dos números inteiros é enumerável
Demonstração.
N → Z,
A demonstração consiste em considerar a seguinte função bijetora
dada por
 n−1

2
f (n) =
 −n
2
,se
n
,se
n par
mpar
f :
3.1. Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis
27
Exemplo 3.23. O conjunto dos números racionais é enumerável.
Demonstração.
Como visto na construção do conjunto dos números racionais, cada nú-
mero racional é representado de maneira única como
p/q ,
com
p ∈Z
e
q ∈N
na forma
irredutível. Temos que o conjunto
(elementos negativos), sendo que
Q+ (elementos positivos) é equipotente ao conjunto Q−
Q = Q+ ∪ {0} ∪ Q− .
Logo para mostrarmos que o conjunto
Q+ é
enumerável. Agora consideremos a seguinte função claramente bijetora f : Q+ → N × N,
dada por f (p/q) = (p, q). Temos então que Q+ é equipotente a f (Q+ ) ⊂ N × N. Como
o conjunto Q+ é um superconjunto de N que é um conjunto innito, então ele é innito e
f (Q+ ) é um subconjunto innito de N × N, que é um conjunto enumerável como provado
anteriormente. Portanto f (Q+ ) é enumerável e como f (Q+ ) é equipotente a Q+ , então
Q+ é enumerável e consequêntemente Q também é enumerável.
Q
é enumerável, é suciente mostrar que
Teorema 3.24. O intervalo aberto ]0, 1[ de números reais é um conjunto não enumerável.
Demonstração.
forma
Todos os números
0, x1 x2 x3 . . .,
x
entre 0 e 1 têm como expansão decimal a seguinte
ou seja, pode ser escrito como
∞
X
xn
= 0, x1 x2 x3 . . . .
n
10
n=1
e representamos
0, 9 = 0, 89999 . . .
porque temos que
∞
X
9
+ 0.8 → 0.9.
10n
n=1
Duas expansões decimais são
x = 0, x1 x2 x3 . . .
e
xi = yi para todo i ∈ N. Assim, se para algum
tivermos xk 6= yk então teremos que x 6= y .
se,
y = 0, y1 y2 y3 . . .
k-ésima casa decimal diferir, ou seja,
]0, 1[ não é enumerável, vamos supor por absurdo
bijeção f :]0, 1[ → N. Assim, podemos ordenar os elementos
Agora para provarmos que o intervalo
que seja. Então existe uma
do intervalo
]0, 1[
da seguinte maneira
f (1) = 0, a11 a12 a13 . . .
f (2) = 0, a21 a22 a23 . . .
f (3) = 0, a31 a32 a33 . . .
.
.
.
f (k) = 0, ak1 ak2 ak3 . . .
.
.
.
onde cada
iguais se, e somente
ajk ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , 9}.
28
3. Conjuntos nitos e innitos
z ∈ ]0, 1[, que não pode ser encontrado na lista acima.
Seja z = 0, z1 z2 z3 . . . denido por zk = 3 se akk
6= 3 e zk = 1 se akk = 3 para cada
k ∈ N. Temos que o número z está claramente entre 0 e 1, mas z 6= f (i) porque
zi 6= aii qualquer que seja i ∈ N. Desta forma, f não pode ser sobrejetora, o que é uma
contradição. Portanto o intervalo ]0, 1[ é não enumerável.
Construiremos um número
Exemplo 3.25. O conjunto dos números reais R é não enumerável.
Demonstração.
rável.
Vamos supor por absurdo que o conjunto dos números reais seja enume-
Então pelo Teorema 3.14 temos que todo subconjunto innito de
enumerável, mas o intervalo
]0, 1[ ⊂ R
R
é também
é não enumerável como foi mostrado no teorema
anterior. Portanto o conjunto dos números reais é não enumerável.
Exemplo 3.26. O conjunto dos números irracionais é não enumerável.
Demonstração.
De fato, temos que
R = Q ∪ (R − Q).
Pelo Exemplo 3.23 temos que
enumerável. Se
pois reunião
Qé
R−Q também fosse enumerável teríamos que R também seria enumerável,
de conjuntos enumeráveis é enumerável. Mas pelo exemplo anterior R é não
enumerável. Portanto o conjunto dos números irracionais é não enumerável.
29
Capítulo 4
Números cardinais transnitos
No ínicio deste texto introduzimos o cardinal de um conjunto nito e um pouco da aritmética cardinal. Agora iremos estender este conceito para tratarmos da cardinalidade de
conjuntos innitos.
Acabamos de ver no capítulo anterior que o conjunto dos números
naturais e o conjunto dos números reais são ambos innitos, então poderíamos esperar
a princípio que os dois conjuntos tenham o mesmo "número de elementos", mas com o
estudo de teoria dos conjuntos começamos ver que não é bem isso o que acontece.
exemplo, o conjunto
N
é enumerável, ou seja, conseguimos ordenar seus elementos.
Por
Já
o conjunto dos números reais é não enumerável, ou seja, não conseguimos ordenar seus
elementos. Com isso percebemos que existem innitos com diferentes características. Será
que há conjuntos innitos com número maior de elementos que outros conjuntos? Neste
capítulo estudamos questões desta natureza.
Teorema 4.1. Card(N) < Card(R).
Demonstração.
Temos que o conjunto
N
é um subconjunto de
a um subconjunto de
Logo
R então N é equipotente
f (n) = n para ∀ n ∈ N.
R, pois basta tomar a função identidade
Card(N) ≤ Card(R). Pela seção anterior sabemos que R é
não enumerável, e como
já foi provado que não existe bijeção entre conjunto enumerável e não enumerável, temos
que
Card(N) < Card(R).
Seguindo Georg Cantor, os símbolos
ℵo
e
c
têm sido usados para denotar, respectiva-
mente o número cardinal de um conjunto enumerável e o número cardinal do continuum
ou cardinal do contínuo, ou seja,
ℵ0 = card(N)
e
c = card(R).
Teorema 4.2. Seja x1 um elemento qualquer de R e seja X = R − {x1 }. Então
Card(R) = Card(X).
Demonstração.
Seja
Card(R) = c
e
Card({x1 }) = 1.
Como já foi provado, o conjunto
Card(R) = Card(R) + 1,
Card(X) = Card(R) − 1 = Card(R) = c.
dos números reais é innito. Então pelo Teorema 1.3 temos que
logo
Card(R) = Card(R) − 1.
Portanto
30
4. Números cardinais transnitos
Corolário 4.3. Considere os conjuntos R e X = {x1 , x2 , x3 , . . . , xn }, e seja Y = R − X .
Então Card(Y ) = Card(R).
Demonstração.
Vamos
mostrar
por
indução nita
que,
Card(R) = c,
sendo
então
Card(Y ) = c.
n = 1. Agora
para n = m + 1.
Temos pelo teorema anterior que o resultado é válido para
vamos supor
n = m e vamos mostrar que vale
A = R − {x1 , x2 , . . . , xn } e suponhamos que Card(A) = c.
que seja válido para
X = {x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 } = {x1 , x2 , . . . , xn } ∪ {xn+1 }.
A − {xn+1 }, e pelo teorema anterior temos que Card(Y ) = c.
Seja
Então
Assim, seja
Y = R−X =
Denição 4.4. Denimos o conjunto de partes do conjunto A, como o conjunto de todos
os subconjuntos de A e denotamos por ℘(A)
Teorema 4.5. Seja A um conjunto, então 2Card(A) = Card(℘(A)).
Demonstração.
B = {0, 1}, Card(B) = 2, e consideremos o conjunto B A = {f, tal
A
card(A)
quef : A → B}. Por denição, Card(B ) = 2
. Para cada X ⊂ A consideremos
a seguinte função característica fX
Seja
(
fX (a) =
0
1
se
se
a ∈ X
a ∈ A−X
B A que associa a cada subconjunto
X de A a função fX . Se X e Y são subconjuntos de A tais que g(X) = g(Y ) então
fX = fY e, portanto X = Y pois, caso contrário haveria algum elemento w ∈ X − Y
tal que fX (w) = 0 6= 1 = fY (w).
Ou haveria algum elemento w ∈ Y − X tal que
fY (w) = 0 6= 1 = fX (w). Para nalizarmos a prova resta mostrar que a função g é
A
sobrejetora. De fato, dado qualquer função ϕ ∈ B , seja X ⊂ A o subconjunto dado
−1
pela imagem inversa de {1}, X = ϕ
{1}. Então ϕ = fX = g(X) e podemos concluir que
g é sobrejetora. Portanto 2Card(A) = Card(℘(A)).
Então consideremos agora a função
g
de
℘(A)
em
Teorema 4.6. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Se Card(A) = Card(B) então
Card(℘(A)) = Card(℘(B)).
Demonstração.
Card(A) = Card(B), então
g : ℘(A) → ℘(B) dada por g(X) = f (X) (a
Vamos mostrar que g é bijetora.
Se
f : A → B . Seja
conjunto X pela função f ).
existe uma bijeção
imagem do
1. Injeção
g(X) = g(Y ) então f (X) = f (Y )
X = f −1 (f (X)) = f −1 (f (Y )) = Y .
Se
como conjuntos.
Daí como
f
é bijetora,
4. Números cardinais transnitos
31
2. Sobrejeção
Y ∈ ℘(B) e consideremos a imagem inversa
−1
g(f (Y )) = f (f −1 (Y )) = Y pois f é bijetora.
Seja
Portanto
g : ℘(A) → ℘(B)
de
Y f −1 (Y ) ∈ ℘(A).
Então
é bijetora.
Teorema 4.7. Card(℘(N)) = Card(2N ) = Card(R).
Demonstração.
Card(R)
cardinal
Mostraremos que
Card(R)
≤
Card(℘(N))
e também
Card(2N )
≤
e utilizaremos a seguinte propriedade de números cardinais : para todo número
x, y ,
temos
x≤y
e
y ≤ x ⇒ x = y.
f : R → ℘(Q) denida por f (a) = {x ∈ Q : x < a}
para cada a
∈ R. Sejam a, b ∈ R, a 6= b. Temos que existe um número
racional r tal que a < r < b, logo r
∈ f (b) mas r 6∈ f (a) e, portanto, f é
injetora. Logo temos que Card(R) ≤ Card(℘(Q)), pelo Teorema 4.6 temos que
Card(℘(Q)) = Card(℘(N)). Portanto Card(R) ≤ Card(℘(N)).
1. Consideremos a função
g : {0, 1}N → R , denida por g(f ) = 0, f (1)f (2)f (3)f (4) . . ..
f é {0, 1}, então 0 ≤ g(f ) ≤ 0, 2 qualquer que seja f ∈ {0, 1}N .
2. Seja
da
Como a imagem
f, g ∈ {0, 1}N , g(f ) = g(h).
Então temos que
0, f (1)f (2)f (3)f (4) . . . = 0, h(1)h(2)h(3)h(4) . . . ⇔ f (n) = h(n) para ∀ n ∈ N,
logo as funções f e g são iguais. Portanto Card(R) ≥ Card(℘(N)).
Suponha
que,
para
Assim podemos concluir que
Card(℘(N)) = Card(2N ) = Card(R).
Teorema 4.8. Se Card(R) = c, então cc = c.
Demonstração.
Como já foi provado, existe um bijeção entre o conjunto dos números
reais e o intervalo aberto unitário
mostrar que
cc = c,
]0, 1[,
então eles têm o mesmo número cardinal
c.
Para
é suciente mostrar que existe uma injeção do produto cartesiano
]0, 1[ × ]0, 1[ no intervalo ]0, 1[.
Para este propósito, usaremos o fato de que cada
x ∈ ]0, 1[
é representado por sua expansão decimal innita, de forma que, por exemplo, o número
1
será
2
0, 4999 . . . mas não 0,5. Deste modo, teremos uma única expressão para cada
número em ]0, 1[. Seja f :]0, 1[ × ]0, 1[ → ]0, 1[, dada por f (0, x1 x2 x3 . . . , 0, y1 y2 y3 . . .) =
0, x1 y1 x2 y2 . . .. Claramente esta função é injetora e portanto cc ≤ c. Agora resta mostrar
que cc ≥ c. Considere a seguinte função g :]0, 1[ → ]0, 1[ × ]0, 1[ dada por g(x) = (x, 1/2).
Se g(x1 ) = g(x2 ) ⇒ (x1 , 1/2) = (x2 , 1/2) ⇒ x1 = x2 . Portanto temos que cc = c.
Corolário 4.9. Card(Rn ) = c.
32
4. Números cardinais transnitos
Demonstração.
Para provarmos este corolário vamos utilizar indução matemática.
Card(R × R) = Card(R) = c. Agora
vamos supor que Card(R
) = Card(R) = c. Temos que Card(Rn ) = Card(Rn−1 ×R) =
Card(Rn−1 ) · Card(R) = Card(R) · Card(R) = Card(R) = c.
Para
n = 2,
temos pelo teorema anterior que
n−1
Teorema 4.10. Se A é um subconjunto enumerável de B e Card(B) = c, então Card(B−
A) = c.
Demonstração.
B = R × R. Seja
P = {x ∈ R : (x, y) ∈ A para algum y ∈ R}. Claramente Card(P ) ≤ Card(A).
Como A é enumerável, então Card(A) = ℵ0 e temos que Card(P ) ≤ ℵ0 . Assim, existe
x0 ∈ R tal que x0 6∈ P . Logo X = {x0 } × R é disjunto de A, ou seja, está contido
em (R × R) − A. Além disso temos que Card(X) = Card(R), de onde concluímos que
c ≤ Card((R × R) − A). Portanto Card(B − A) = c.
Podemos assumir, sem perda de generalidade, que
Analisando os resultados acima expostos percebemos que a cardinalidade de
mesma cardinalidade do intervalo aberto unitário
]0, 1[,
Rn
é a
o que é muito intrigante pois um
"pequeno pedaço" da reta tem a mesma "quantidade de elementos" de todo o espaço.
Assim, a princípio parece um pouco ímpossivel existir algum conjunto que tenha cardinalidade maior que a de
Rn ,
mas Georg Cantor provou que podem existir innitos cardinais
transnitos, muito maiores que a cardinalidade do conjunto dos números reais.
Teorema 4.11.
Teorema de Cantor
Se X é um conjunto então Card(X) < Card(℘(X))
Demonstração.
X = ∅ então Card(X) = 0
Card(℘(X)) = 1, logo Card(X) < Card(℘(X).
Se
Agora resta provar o caso em que
X 6= ∅.
e temos que
℘(X) = {∅},
Então consideremos a função
ou seja,
g :X →
℘(X) dada por g(x) = {x} que é claramente injetora. Logo, concluimos que o conjunto
X é equipotente ao subconjunto {{x}|x ∈ X} de ℘(X), ou seja, existe uma bijeção de X
em um subconjunto de ℘(X) e então temos que Card(X) ≤ Card(℘(X)). A partir disto,
para mostrar que Card(X) < Card(℘(X)), é suciente mostrar que X não é equipotente
a ℘(X).
Então vamos supor por absurdo que exista uma função bijetora
f
de
X
em
℘(X).
Seja
S = {x ∈ X : x 6∈ f (x)}, que consiste daqueles elementos de X que não estão em
suas imagens sob f . Como claramente S ∈ ℘(X) existe um elemento e ∈ X tal que
f (e) = S . Então ou e ∈ S ou e 6∈ S .
e ∈ S
f (e) = S .
1. Se
S,
que
e 6∈ f (e).
S como f (e) = S , temos que e 6∈
denição de S , e ∈ S e portanto e ∈ f (e). Isto
2. Se
e
6∈
segue da denição de
Mas isto é impossível, pois
f (e).
Consequentemente, pela
é novamente impossível.
4. Números cardinais transnitos
33
O resultado importante que este teorema nos trás, é o de que é possível construir uma
longa sequência de novos números cardinais transnitos. Por exemplo, temos
Card(N) < Card(R) < Card(℘(R)) < Card(℘(℘(R)) < Card(℘(℘(℘(R))) < . . .
34
4. Números cardinais transnitos
35
Capítulo 5
Apêndice
Neste capítulo apresentamos brevemente algumas noções topológicas elementares e, como
referência, indicamos [2, 3].
5.1 Algumas noções topológicas
Denição 5.1. Dizemos que um ponto a é aderente a um conjunto X⊂ R quando a é
limite de alguma sequência de pontos xn ∈ X .
Teorema 5.2. Um ponto a é aderente ao conjunto X se, e somente se, toda vizinhança
de a contém algum ponto de X .
Demonstração. ⇒)
a = lim xn , onde
xn ∈ X para todo n ∈ N. Dada uma vizinhança V qualquer com a ∈ V temos xn ∈ V para
todo n suciente grande (pela denição de limite), logo temos V ∩ X6= ∅. ⇐) Se toda
1
1
, a + ),
vizinhança de a contém pontos de X podemos escolher, em cada intervalo (a −
n
n
1
n ∈ N, um ponto xn ∈ X . Então |xn − a| < , logo limxn = a e a é aderente a X .
n
Denição 5.3. Dizemos que o fecho de um conjunto X é o conjunto X formado por
todos os pontos aderentes a X .
Seja
a
aderente a
X.
Então pela denição anterior
Denição 5.4. Um conjunto X é fechado quando X = X , ou seja, quando todos os
pontos aderentes a X pertencem ao próprio X .
Denição 5.5. Sejam X, Y tais que X⊂ Y . Dizemos que o conjunto X é denso no
conjunto Y quando Y ⊂ X , ou seja, quando todo b ∈ Y é aderente a X .
Por exemplo, temos que
Q é denso em R, pois os números reais estão contidos no fecho
dos números racionais, que é o próprio conjunto dos números reais.
Denição 5.6. Dizemos que a ∈ R é ponto de acumulação do conjunto X ⊂ R quando
toda vizinhança V de a contém algum ponto de X diferente de a, ou seja, para todo ε > 0
dado, tem-se (a − ε, a + ε) ∩ (X − {a}) 6= ∅. Indicamos com X 0 o conjunto dos pontos de
acumulação de X .
36
5. Apêndice
Denição 5.7. Se a não é ponto de acumulação de X , dizemos que a é um ponto isolado
de X , ou seja, existe ε > 0 tal que a é o único ponto de X no intervalo (a − ε, a + ε).
Denição 5.8. Quando todos os pontos de um conjunto X forem isolados, X será chamado de um conjunto discreto.
37
Referências Bibliográcas
[1] GODEMENT, R. Course d'Algébre, Hermann, Paris - 1963
[2] LIMA, E. L. Curso de Análise, vol.1, Rio de Janeiro - IMPA, 1978, 47p.
[3] LIMA, E. L. Análise Real - Funções de uma variável, vol.1, Rio de Janeiro - IMPA,
2008, 49p.
[4] MONTEIRO, L.H. Jacy, Elementos de Álgebra. Rio de Janeiro, Ao livro Técnico,
1969, 167p.
[5] LIN, S.T. e Lin, Y.F. Set Theory: An Intuitive Approach, Houghton Miin Company,
Boston, 1974.
[6] JECH, T. e HRBACEK, K. Introduction to Set Theory, 1984.
[7] HALMOS, P. R.; Teoria Ingênua dos Conjuntos. Ciência Moderna, 2001