Decomposição Primária de Módulos

Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Departamento de Matemática
Álgebra Comutativa
Docente: Fernando Torres
Decomposição Primária de Módulos
Mazílio Coronel Malavazi
RA: 030367
Campinas-SP, abril de 2007.
Decomposição Primária de Módulos
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Introdução
A decomposição de um submódulo em submódulos primários é um pilar da teoria de
módulos, uma generalização das idéias apresentadas pela teoria de ideais. De fato, a decomposição de variedades algébricas em componentes irredutíveis é uma das preocupações
da álgebra. Em geral, esse processo pode ser muito complicado ou mesmo falhar. De
outro ponto de vista a decomposição primária decorre da generalização da fatorização de
números inteiros em potências de números primos.
Estamos interessados, neste texto, em apresentar os teoremas clássicos de unicidade
da decomposição primária de módulos. Para isso assumimos diversos conceitos básicos e
anunciamos outros a seguir.
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Conceitos e Resultados Preliminares
Neste texto, A é um anel comutativo com unidade.
Definição 2.1 Um A-módulo é um grupo abeliano (M, +) em que A age linearmente:
mais precisamente, existe uma aplicação multiplicação por escalar de µ : A × M → M, tal
que, µ(a, x) = ax e com a seguintes propriedades:
a(x + y ) = ax + ay ;
(a + b)x = ax + by ;
(ab)x = a(bx);
1x = x.
para todo a, b ∈ A e x, y ∈ M. Dizemos que N ⊆ M é um submódulo de M, se N é
subgrupo de M e é fechado com respeito a multiplicação por elementos de A. O grupo
abeliano M/N herda a estrutura de A-módulo de M, definida por a(x + N) = ax + N. O
A-módulo M/N é o quociente de M por N. Seja {Ni }i∈I uma família de submódulos de
P
P
M, então o conjunto
Mi = { xi finitas xi ∈ Ni } é o menor submódulo de M, com
respeito a inclusão, que contém ∪Ni . A interseção ∩Ni é um submódulo de M.
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CONCEITOS E RESULTADOS PRELIMINARES
Definição 2.2 Seja M um A-módulo, L e N submódulos de M. Definimos
(N : L) = {a ∈ A : aL ⊆ N}.
Definimos Ann(M) = (0 : M) como o anulador de M. Definimos os primos minimais de
N, como os primos minimais de (N : M).
Proposição 2.1 Seja M um A-módulo, L e N submódulos de M. Então (N : L) é um
ideal de A.
Demonstração: Sejam a, b ∈ (N : L) e x ∈ L, então (a − b)x = ax − bx ∈ N, portanto
(a − b)L ⊆ N, logo a − b ∈ (N : L). Seja s ∈ A, então (sa)x = a(sx) ∈ N, logo
sa ∈ (N : L), ou seja, A(N : L) ⊆ (N : L). Portanto (N : L) é um ideal de A.
Definição 2.3 Seja M um A-módulo e N um submódulo de M. Definimos o radical de N
em M como
rM (N) = {a ∈ A : ∃ n ∈ N∗ ; an M ⊆ N}.
Proposição 2.2 Seja M um A-módulo e N um submódulo de M. Então
rM (N) = r (N : M) = r (Ann(M/N)).
Em particular rM (N) é um ideal de A.
Demonstração: Observe que
a ∈ rM (N) ⇔ ∃ n ∈ N∗ ; an M ⊆ N ⇔ ∃ n ∈ N∗ ; an ∈ (N : M) ⇔ a ∈ r (N : M).
Portanto rM (N) = r (N : M). Agora,
a ∈ Ann(M/N) ⇔ aM/N ⊆ 0 ⇔ ∀x + N ∈ M/N; ax + N ⊆ 0,
se e somente se,
∀x ∈ M, ax ∈ N ⇔ aM ⊆ N ⇔ a ∈ (N : M).
Portanto r (N : M) = r (Ann(M/N)). Assim temos o resultado.
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CONCEITOS E RESULTADOS PRELIMINARES
Proposição 2.3 Seja M um A-módulo e N um submódulo de M. Então:
1. r (rM (N)) = rM (N)
2. rM (L ∩ N) = rM (L) ∩ rM (N)
3. rM (N) = A ⇔ N = M
Demonstração:
1. Dado a ∈ r (rM (N)), temos que ∃ n ∈ N∗ , an ∈ rM (N) = r (N : M), portanto
∃ m ∈ N∗ , (an )m ∈ (N : M), ou seja, anm ∈ (N : M), logo a ∈ rM (N).
2. Dado a ∈ rM (L∩N) = r (L∩N : M), temos que ∃ n ∈ N∗ , an ∈ (L∩N : M), portanto
an M ⊆ L ∩ N, ou seja, an M ⊆ L e an M ⊆ N, assim an ∈ (L : M) e an ∈ (N : M),
portanto a ∈ rM (L) e a ∈ rM (N), logo a ∈ rM (L) ∩ rM (N).
Por outro lado, se a ∈ rM (L)∩rM (N), então ∃ n ∈ N∗ , an ∈ (L : M) e ∃ m ∈ N∗ , am ∈
(N : M), assim anm ∈ (L : M) e anm ∈ (N : M), logo anm M ⊆ L e anm M ⊆ N, ou
seja, anm M ⊆ L ∩ N, portanto anm ∈ (L ∩ N : M), ou seja, a ∈ rM (L ∩ N).
3. De fato se rM (N) = A, então dado a ∈ A, existe n ∈ N∗ , tal que an M ⊆ N, portanto
M = 1n M ⊆ N, logo N = M.
Por outro lado, se N = M, então 1.M ⊆ N, logo 1 ∈ (N : M), ou seja (M : M) = A,
portanto rM (N) = A.
Definição 2.4 Seja M um A-módulo. Dizemos que x ∈ A é um divisor de zero em M
se existe m 6= 0, m ∈ M, tal que xm = 0. Dizemos que x é nilpotente em M, se existe
n ∈ N∗ , tal que x n M = 0.
Definição 2.5 Seja M um A-módulo e N um submódulo de N. Dizemos que N é um
submódulo rM (N)-primário de M, se para todo a ∈ A e x ∈ M tal que se
ax ∈ N, x ∈
/ N ⇒ ∃ n ∈ N∗ , an M ⊆ N.
ou equivalentemente,
ax ∈ N, x ∈
/ N ⇒ a ∈ rM (N).
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CONCEITOS E RESULTADOS PRELIMINARES
Proposição 2.4 Seja M um A-módulo e N um submódulo de M. Então N é um submódulo
primário de M se e somente se M/N 6= 0 e todo divisor de zero em M/N é nilpotente em
M/N.
Demonstração:
(⇒) Observe que 0 é divisor de zero e nilpotente, então basta considerar elementos não
nulo. Dado x divisor de zero em M/N, então x m̄ = 0, com m̄ 6= 0. Portanto
xm ∈ N e m ∈
/ N, como N é primário, existe n ∈ N∗ , tal que x n M ⊆ N, se e só se,
x n M/N = 0, logo x é nilpotente. Em contra partida, se x é nilpotente e n é o menor
número tal que x n M/N = 0, temos que existe m ∈ M, tal que m̃ = x n−1 m 6= 0, e
portanto x m̃ = 0 portanto, x é divisor de zero.
(⇐) Se xm ∈ N, com m ∈
/ N, então x m̄ = 0 e m̄ 6= 0, logo x é divisor de zero em M/N e
portanto nilpotente em M/N, ou seja, existe n ∈ N∗ , tal que x n M/N = 0, portanto
x n M ⊆ N, donde segue que N é primário.
Proposição 2.5 Seja M um A-módulo e N um submódulo primário de M. Então (N : M)
é ideal primário de A. Assim rM (N) é primo.
Demonstração: Sejam xy ∈ (N : M), se x ∈
/ (N : M), então xy M ⊆ N. Como
x ∈
/ (N : M), existe m ∈ M tal que m̃ = xm ∈
/ N, portanto y m̃ ∈ N, mas m̃ ∈
/ N, então
existe n ∈ N∗ , y n M ⊆ N, ou seja, y n ∈ (N : M), logo (N : M) é primário.
Proposição 2.6 Seja M um A-módulo e Qi , i : 1, . . . , n submódulos p-primários de M.
Então ∩ni=1 Qi é submódulo p-primário de M.
Demonstração: Observe que rM (∩ni=1 Qi ) = ∩ni=1 rM (Qi ) = p. Seja xm ∈ ∩ni=1 Qi , então
xm ∈ Qi , ∀ i : 1, . . . , n. Se x ∈
/ p, como cada Qi é p-primário, temos que m ∈ Qi para
cada i . Logo m ∈ ∩ni=1 Qi . Assim temos o resultado.
Proposição 2.7 Seja M um A-módulo e Q um submódulo p-primário de M. Então:
1. Se x ∈ Q, então (Q : Ax) = A
2. Se x ∈
/ Q, então (Q : Ax) é p-primário.
Demonstração:
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CONCEITOS E RESULTADOS PRELIMINARES
1. Se x ∈ Q, então 1 ∈ (Q : Ax).
2. Se a ∈ (Q : Ax), então ax ∈ Q, como x ∈
/ Q, temos que a ∈ p, portanto (Q : M) ⊆
(Q : Ax) ⊆ p, logo r (Q : M) ⊆ r (Q : Ax) ⊆ p, ou seja p ⊆ r (Q : Ax) ⊆ p, donde
segue que r (Q : M) = p. Se ab ∈ (Q : Ax) e b ∈
/ p, então abcx ∈ Q, ∀ c ∈ A,
como b ∈
/ p, temos que acx ∈ Q, logo a ∈ (Q : Ax). Donde segue que (Q : Ax) é
um ideal p-primário de A.
Proposição 2.8 Sejam p, pj , j : 1, . . . , n ideais primos de A e I, Ij , j : 1, . . . , n ideais de
A. Então:
1. Se ∩nj=1 Ij ⊆ p, então existe i , tal que p ⊆ Ii .
2. Se ∩nj=1 Ij = p, então existe i , tal que p = Ii .
3. Se I ⊆ ∪nj=1 pj , então existe i , tal que I ⊆ pi .
Demonstração:
1. Suponha, por contradição, que p * Ij , ∀j, então existe xj ∈ P \Ij . logo x1 x2 . . . xn ∈
∩nj=1 Ij ⊆ p, como p é primo, temos que xi ∈ p, para algum i , o que é uma contradição.
2. Do item anterior, temos que existe Ii ⊆ p. Dado x ∈ p, temos que x ∈ ∩nj=1 Ij ,
portanto x ∈ Ii , logo p = Ii .
3. Por indução em n, vamos mostrar que I * pj , 1 ≤ j ≤ n, então I * ∪nj=1 pj . É fato
para n = 1. Se n > 1 e é verdade para n − 1, então para cada j, como I * pj , pela
hipótese de indução temos que I * ∪i6=j pi , então existe xj ∈ I, xj ∈
/ pi . Se xj ∈ pj ,
para algum j, então xj ∈ I, mas xj ∈
/ ∪i6=j pi ∪ pj , donde segue o resultado. Podemos
Pn
supor que xj ∈ pj . Considere y = j=1 x1 . . . xj−1 xj+1 . . . xn ∈ I. Temos que y ∈
/ pj .
De fato, se y ∈ pj , então x1 . . . xj−1 xj+1 . . . xn ∈ pj , como pj é primo temos que
xi ∈ pj , o que é uma contradição.
Definição 2.6 Seja M um A-módulo, N um submódulo de M. Considere S um sistema
multiplicativo fechado em A, definimos o módulo de frações de N por S, como S −1 N =
{[n, s], n ∈ N, s ∈ S}. De fato S −1 M é um S −1 A-módulo e S −1 N é um submódulo
de S −1 M com as operações operações a seguir: [m,s]+[n,t] = [mt + sn, st] e [a,s][m,t] =
[am,st]. Chamamos de aplicação canônica de N em S −1 N, a aplicação tal que n → [n, 1].
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CONCEITOS E RESULTADOS PRELIMINARES
Proposição 2.9 Sejam M um A-módulo, Q um módulo q-primário, S um sistema multiplicativo fechado de A. Então:
1. Se S ∩ p 6= ∅, então S −1 Q = S −1 M
2. Se S ∩ p = ∅, então S −1 Q é S −1 p-primário e (S −1 Q)c = Q, onde (S −1 Q)c é a
imagem inversa de S −1 Q pela aplicação canônica.
Demonstração:
1. Existe a ∈ S ∩ p, então a ∈ p e a ∈ S, portanto existe n ∈ N∗ , tal que an ∈ (Q : M)
e como S é multiplicativamente fechado an ∈ S. Dado [m, s] ∈ S −1 M, temos que
[m, s] = [man , san ] ∈ S −1 Q.
2. Dado q ∈ Q, temos que [q, 1] ∈ S −1 Q, portanto q ∈ (S −1 Q)c . Po outro lado, se
m ∈ (S −1 Q)c , então existe [q, s] ∈ S −1 Q, tal que [m, 1] = [q, s], portanto, existe
u ∈ S, tal que u(ms − q) = 0 ∈ Q, como u ∈ S, temos que u ∈
/ p, do fato que Q é
p-primário, temos que ms − q ∈ Q, como q ∈ Q, temos que ms ∈ Q, analogamente
s ∈S →s ∈
/ p, temos que m ∈ Q. Portanto (S −1 Q)c = Q. Como S −1 comuta
com radicais, temos que rS−1 M (S −1 Q)= S −1 rM (Q) = S −1 p. Se [a, u][m, v ] ∈ S −1 Q,
[m, v ] ∈
/ S −1 Q, então existe [q, s] ∈ S −1 Q, tal que [q, s] = [am, uv ], ou seja, existe
u ∈ S, tal que u(ams − quv ) = 0 ∈ Q, como u ∈
/ p, temos que ams − quv ∈ Q,
portanto ams ∈ Q, como s ∈
/ p, temos que am ∈ Q, como m ∈
/ Q por hipótese,
temos que a ∈ p, ou seja [a, u] ∈ S −1 p. Assim S −1 Q é S −1 p-primário.
Proposição 2.10 Sejam pi , i : 1, . . . , n ideais primos de A. Então S := A\ ∪ni=1 pi é um
sistema multiplicativo fechado.
Demonstração: Como 1 ∈
/ pi para cada i , temos que 1 ∈ S. Por outro lado, dados
a, b ∈ S, então ab ∈ S. Senão, ab ∈ ∪ni=1 pi , logo ab ∈ pi , para algum i , como pi é primo,
temos que a ∈ pi ou b ∈ pi , o que é uma contradição.
Definição 2.7 Seja M um A-módulo, N um submódulo de M. Se existem Qi , i = 1, . . . , n
módulos primários de M, tais que N = Q1 ∩ · · · ∩ Qn , dizemos que N é um submódulo
decomponível de M, ou que N admite decomposição primária de módulos.
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EXISTÊNCIA DE DECOMPOSIÇÃO PRIMÁRIA
Definição 2.8 Seja M um A-módulo. Dizemos que M é um A-módulo Noetheriano, se
para Ni , i = 1, 2 . . . submódulos de M, tais que N1 ⊆ N2 ⊆ · · · ⊆ Ni ⊆ · · · , existe n ∈ N∗ ,
tal que Nn = Nn+1 , ou equivalentemente, se todo conjunto não-vazio de submódulos de M
admite elemento maximal.
Agora já temos as definições e resultados necessários para apresentarmos os resultados
básicos da decomposição primária de módulos.
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Existência de Decomposição Primária
Nesta secão estamos preocupados em apresentar resultados de existência de decom-
posição primária de módulos. De fato, em geral não é possível obter a decomposição
primária de módulos. Nós mostraremos que no caso particular em que trabalhamos com
Módulos Noetherianos, isso sempre é possível. Essa classe de módulos é muito importante,
pois um grande números de módulos que rotineiramente trabalhamos faz parte dessa classe,
assim esse resultado de existência é muito importante.
Definição 3.1 Seja M um A- módulo, K, L, N submódulos de M. Dizemos que N é
irredutível, se N = K ∩ L, então N = K ou N = L.
Lema 3.1 Seja M um A-módulo Noetheriano. Suponha que N seja um submódulo irredutível de M, então N é submódulo primário de M.
Demonstração: Suponha que N = 0, então basta mostrar que todo divisor de zero em M
é nilpotente. Suponha que x ∈ A é divisor de zero em M, então existe m0 6= 0, m0 ∈ M,
tal que xm0 = 0. Considere Xi = {m ∈ M; x i m = 0}, observe que Xi é submódulo de
M. Ainda mais, X1 ⊆ X2 ⊆ · · · ⊆ Xn ⊆ Xn+1 ⊆ · · · . Como M é Noetheriano, temos que
Xn = Xn+1 para algun n ∈ N∗ . Vamos mostrar que 0 = x n M ∩ (m0 ). Se m ∈ x n M ∩ (m0 ),
então m = x n m̄, m̄ ∈ M e m = am0 , a ∈ A, portanto 0 = am0 x = mx = x n+1 m̄, logo
m̄ ∈ Xn+1 = Xn , portanto x n m̄ = 0, logo m = 0. Assim temos que 0 = x n M ∩ (m0 ). Por
hipótese N = 0 é irredutível, então 0 = x n M ou 0 = (m0 ), mas m0 6= 0, então 0 = x n M,
portanto x é nilpotente em M, donde segue que 0 é primário.
No caso geral, observe que N irredutível se e só se 0 é irredutível em M/N. De fato,
basta observar que N = N1 ∩ N2 , se e somente se, 0 = N̄1 ∩ N̄2 . Temos também que N
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UNICIDADE DA DECOMPOSIÇÃO PRIMÁRIA
é primário se e só se 0 é primário em M/N. De fato, observe que (M/N)/0 é isomorfo a
M/N, assim todo divisor de zero em 0 é nilpotente em M/N se e só se todo divisor de zero
em N é nilpotente em M. Portanto, se N é irredutível, temos que 0 é irredutível em M/N,
portanto 0 é primário em M/N, e assim temos que N é primário em M.
Teorema 3.1 (Teorema de Existência) Seja M um A-módulo Noetheriano, então todo
submódulo de M possui decomposição primária.
Demonstração: Pelo lema anterior, é suficiente mostrar que todo submódulo de M pode
ser escrito como a interseção finita de submódulos irredutíveis. De fato, suponha por
contradição que existe um submódulo tal que o teorema seja falso, então seja B o conjunto
dos submódulos de M não decomponíveis numa insterseção finita de submódulos irredutíveis
de M. Observe que B 6= ∅. Pela caracterização de módulo Noetheriano, B admite elemento
maximal M0 , como M0 é redutível, temos que existe K, L submódulos de M, tal que
M0 = K ∩ L, com M0 ( K e M0 ( L. Então K, L ∈
/ B, ou seja, possui decomposição
finita em submódulos irredutíveis, pois M0 é um maximal de B. Mas como M0 = K ∩ L,
então M0 pode ser decomposto como a insterseção finita de elementos irredutível, o que
é uma contradição.
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Unicidade da Decomposição Primária
Nesta seção estamos preocupados em apresentar resultados de unicidade da decom-
posição primária, quando a mesma existe. Esses resultados generalizam a unicidade da
decomposição de um número inteiro como produtos de potências de primos.
Definição 4.1 Seja M um A-módulo, N um submódulo de M decomponível. Dizemos que
N = Q1 ∩ · · · ∩ Qn é uma decomposição primária minimal de N, se:
• pi 6= pj , i 6= j, onde pk = rM (Qk ).
• ∩j6=i Qj * Qi , i : 1, . . . , n.
Proposição 4.1 Seja M um A-módulo, N um submódulo decomponível de M. Então N
admite decomposição primária minimal.
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UNICIDADE DA DECOMPOSIÇÃO PRIMÁRIA
Demonstração: Considere N = Q1 ∩ · · · ∩ Qn uma decomposição primária de N. Se
pi = pj =: p, então pela Proposição 2.6 temos que Q := Qi ∩Qj é p-primário, logo podemos
substituir Qi e Qj , por Q e obtemos uma nova decomposição primária. Podemos proceder
dessa forma, até que tenhamos, pi 6= pj , i 6= j. Agora de ∩j6=i Qj ⊆ Qi , então podemos
retirar Qi da decomposição e assim obtemos uma nova decomposição. Prosseguindo assim,
conseguimos uma decomposição primária minimal para N.
O primeiro resultado nos mostra que se um dado submódulo é decomponível, tomando
um decomposição primária minimal, então o conjunto dos radicais de cada elemento da
decomposição independe da decomposição primária minimal de N tomada.
Teorema 4.1 (10 Teorema de Unicidade) Seja M um A-módulo, N um submódulo decomponível de M. Se N = Q1 ∩ · · · ∩ Qn é uma decomposição primária minimal de N,
então {p1 , . . . , pn } = {r (N : Ax), x ∈ M, primo em A}. Portanto {p1 , . . . , pn } independe
da decomposição de N.
Demonstração:
(⊆) Dado pi , como ∩j6=i Qj * Qi , existe xi ∈ ∩j6=i Qj \Qi . Vamos mostrar que pi = r (N :
Axi ). De fato,
(N : Axi ) = (Q1 ∩ · · · ∩ Qn : Axi ) = (Q1 : Axi ) ∩ · · · ∩ (Qn : Axi ) = (Qi : Axi )
pois xi ∈ Qj , j 6= i , então (Qj : Axi ) = A, j 6= i , pela Proposição 2.7. Pela mesma
proposição, ainda temos que r (N : Axi ) = r (Qi : Axi ) = pi , pois xi ∈
/ Qi .
(⊇) Dado r (N : Ax) ideal primo de A, então x ∈
/ N. Caso x ∈ N, então Ax ⊆ N, logo
(N : Ax) = A, em particular, r (N : Ax) = A, o que contradiz o fato de r (N : Ax)
ser primo. Como x ∈
/ N, então x ∈
/ Qi para algun Qi . Logo pela Proposição 2.7,
(Qi : Ax) é pi -primário, ainda mais (Qj : Ax) é pj -primário, se x ∈
/ Qj e (Qj : Ax) = A,
se x ∈ Qj . Portanto,
(N : Ax) = (Q1 ∩ · · · ∩ Qn : Ax) = (Q1 : Ax) ∩ · · · ∩ (Qn : Ax) = ∩x ∈Q
/ j (Qj : Ax)
portanto,
r (N : Ax) = ∩x ∈Q
/ j r (Qj : Ax) = ∩x ∈Q
/ j pj
pela Proposição 2.8, temos que r (N : Ax) = pj , para algum 1 ≤ j ≤ n.
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UNICIDADE DA DECOMPOSIÇÃO PRIMÁRIA
Definição 4.2 Seja M um A-módulo, N um submódulo decomponível.
Dizemos que
p1 , . . . , pn dados no teorema anterior são os primos associados a N. Os elementos minimais de {p1 , . . . , pn }, são chamados de primos minimais associados a N. Os demais
elementos de {p1 , . . . , pn }, são chamados de primos mergulhados associados a N.
Proposição 4.2 Seja M um A-módulo, N um submódulo decomponível. Então os primos
minimais associados a N são precisamente os primos minimais de N.
Demonstração:
(⊆) Seja pi um primo minimal associado a N. Como (N : M) = ∩nj=1 (Qj : M), temos
que r (N : M) = ∩nj=1 r (Qj : M) = ∩nj=1 pj , portanto (N : M) ⊆ r (N : M) ⊆ pi .
Suponha, por contradição, que exista J ideal primo de A, tal que (N : M) ⊆ J ( pi ,
então r (N : M) ⊆ r (J) = J ( r (pi ) = pi , ou seja, ∩nj=1 pj ⊆ J ( pi , portanto pela
Proposição 2.8, temos que pj ⊆ J ( pi , para algum j, mas isso é uma contradição
com o fato que pi é primo minimal associado a N, logo pi é primo minimal de N.
(⊇) Seja p um primo minimal de N, então (N : M) ⊆ p, portanto r (N : M) ⊆ p, ou seja,
∩nj=1 pj ⊆ p, pela Proposição 2.8, temos que pi ⊆ p, para algum i , mas como p é
primo minimal de N, temos que p = pi .
O segundo resultado de unicidade, nos mostra que se um dado submódulo é decomponível, tomando um decomposição primária minimal, então a interseção arbitrária de
elementos da decomposição, associados a primos minimais de N, não depende da decomposição primária minimal de N tomada.
Teorema 4.2 (20 Teorema de Unicidade) Seja M um A-módulo, N um submódulo decomponível de M. Se N = Q1 ∩· · ·∩Qn é uma decomposição primária minimal de N, então
para todo subconjunto {pi1 , . . . , pin }, dos ideias primos minimais associados a N, temos que
Qi1 ∩ · · · ∩ Qin , independe da decomponsição.
Demonstração: Considere S := A\pi1 ∪ · · · ∪ pin . Pela Proposição 2.10, temos que S é um
sistema multiplicativo fechado. Se p é um primo associado a N, tal que p 6= pij , j : 1, . . . , n,
então p ∩ S 6= ∅. Se p ∩ S = ∅, então p ⊆ pi1 ∪ · · · ∪ pin , pela Proposição 2.8, temos que
p ⊆ pij , para algum j e portanto, p = pij , pois pij é primo minimal associado a N, o que
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REFERÊNCIAS
REFERÊNCIAS
é uma contradição. Se Q é p-primário pertence a esta decomposição primária miniaml de
N, então, pela Proposição 2.9, temos que S −1 Q = S −1 A. Assim temos que
S −1 N = S −1 (Q1 ∩ · · · ∩ Qn ) = S −1 Q1 ∩ · · · ∩ S −1 Qn = S −1 Qi1 ∩ · · · ∩ S −1 Qin
E finalmente, temos da Proposição 2.9, que
(S −1 N)c = (S −1 Qi1 ∩ · · · ∩ S −1 Qin )c = (S −1 Qi1 )c ∩ · · · ∩ (S −1 Qin )c = Qi1 ∩ · · · ∩ Qin .
Como S independe da decomposição tomada, temos o resultado.
Referências
[1] Atiyah, M. F. e Macdonald, I. G. Introduction to Commutative Algebra. AddisonWesley Publishing Company (1969).
[2] Kunz, E. Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry. Birkhäuser
(1985).
[3] Matsumura, H. Commutatlive Ring Theory. Cambridge (1986).
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