Problemas

Exercícios de
Telecomunicações I
(TEC)
Telecomunicações I
Folha 1 - Sinais
1 - Calcule a transformada de Fourier de v(t) = Ae-t/T u(t).
2 - Calcule a transformada de Fourier dos sinais da figura. Desenhe a amplitude do espectro
fazendo δ<<T.
2A
δ
-T
δ
A
T
t
A
-2T
2T
3 - Represente o espectro do sinal:
w(t) = 2 + 6 cos(2π10t+π/6) + 3 sen 2π30t - 4 cos 2π35t.
4 - Calcule a transformada de Fourier de: Ae-t/T sen wct.
5 - Calcule e represente graficamente o espectro de x(t) cos 2πfpt sabendo que:
 0
X(f) = 1−|f|/ f m
 0
î
f < −f m
−f m ≤ f ≤ f m
f > fm
e que fp>>fm.
6 - Calcule v(t)ƒ w(t) em que v(t) = e-tu(t) e w(t) = Π(t/2T).
t
Telecomunicações I
Folha 2 – Modulações de Amplitude
1 - Uma portadora representada por 10.cos(2π x 106 t)V é modulada em amplitude por um sinal
modulador representado por 3.cos(2π x 103 t)V. Calcule:
a) o índice de modulação
b) as frequências das bandas laterais
c) a amplitude das bandas laterais
d) a percentagem da potência transmitida nas bandas laterais.
2 - Um emissor de AM emite um sinal com potência de 5kW e com um índice de modulação de
60%. Calcule a potência transmitida na portadora e em cada banda lateral.
3 - Um emissor de AM emite um sinal com uma potência 24kW quando modulado a 100% por
uma sinusoide. Determine a potência do sinal quando:
a) a portadora não é modulada
b) a portadora é modulada a 60%, uma banda lateral é suprimida e a portadora é
atenuada de 26dB.
4 - A corrente na antena de um emissor AM é de 8A quando só é transmitida a portadora, e
passa a 8,93A quando a portadora é modulada por uma sinusoide. Calcule o indice de
modulação. Calcule a corrente na antena quando a portadora for modulada a 80%.
5 - Um emissor radia 9kW quando a portadora não está modulada e 10,125kW quando está
modulada por uma sinusoide. Se outra sinusóide modular simultaneamente a portadora com
um indice de modulação de 0,4 qual será a potência radiada.
0
6 - Para o circuito dado A=10V, V2=5V e v a = 
2
î v e + 4v e
ve ≤ 0
ve > 0
Calcule o índice de modulação máximo que se pode obter com este circuito sem causar
distorção na envolvente de vo(t).
7 - Mostre que o sinal
n
v(t) = ∑ [cos(ω p t).cos(ω i t + θ i ) − sen(ω p t).sen(ω i t + θ i )]
i =1
é um sinal SSB-SC (wp>>wi)
a) trata-se de banda lateral superior ou inferior?
b) escreva uma expressão para a banda lateral que falta.
c) obtenha uma expressão para o sinal completo de DSB-SC.
8 - A fig. representa o modulador SSB de Weaver. Analise o seu funcionamento considerando
X(t) = cos(2πfmt) e fm < W.
9 - a) A forma de onda v(t) = (1 + m.cos wm t)cosw p t , em que m é uma constante (m•1), é
aplicada ao detector de envolvente da figura. Mostre que para a saída do desmodulador
acompanhar a envolvente de v(t) é necessário, em qualquer instante t0:
1
m sen wm t 0
≥ wm
1 + m cos wm t0
RC
b) Usando o resultado da alínea anterior mostrar que, se quisermos que o detector siga a
envolvente, então m deve satisfazer a desigualdade:
RC ≤
1− m 2
mω m
Detector de envolvente
10 - Quando um receptor superheterodino é sintonizado para 555kHz o seu oscilador local
apresenta à entrada do misturador um sinal de 1010kHz. Qual é a frequência imagem? A
antena está ligada ao misturador atraves de um circuito sintonizado com um Q de 40. Qual
será o factor de rejeição para a frequência imagem?
11 - Calcule o factor de rejeição da frequência imagem para um receptor de dupla conversão
que tem uma primeira frequência intermédia de 2MHz e uma segunda de 200kHz, o
amplificador de RF tem um Q de 75 e está sintonizado para 30MHz.
12 - Para a realização de um grupo primário de FDM (12 canais) procede-se do seguinte modo:
i - filtra-se o sinal vocal (300 - 3600Hz)
ii - modula-se em SSB/SC (banda lateral superior) três canais pelas portadoras de
12kHz, 16kHz e 20kHz sucessivamente
iii - repete-se o procedimento ii para mais três grupos de três canais
iv - modula-se em SSB/SC (banda lateral inferior) os quatro subgrupos anteriores pelas
portadoras de 120kHz, 108kHz, 96kHz e 84kHz sucessivamente
Quais são as frequências máxima e mínima de cada um dos grupos finais?
Telecomunicações
Folha 3 – Modulações Angulares
1 - Para além do FM e do PM temos outros dois tipos de modulação exponencial, uma em que
t
Ø(t) = k ⋅ dx(t) / dt e outra em que f (t) = k ∫ x(∂)d∂ . Complete a tabela e calcule o valor
máximo de Ø(t) e f (t) para os quatro tipos de modulação, quando x(t) = cos2 πf m t .
PM
FM
Ø(t)
f (t)
Ø∂ . x(t)
t
2 π f ∂ ∫ x ( ∂)d∂
Ø∂ / 2π ⋅dx(t) / dt
f ∂ ⋅ x(t)
Ø(t) - Fase
f (t) - Frequência
2- Um sinal de 1MHz com amplitude de 3V é modulado em frequência por um sinal de 500Hz
com amplitude de 1V. O desvio de frequência é de 1kHz.
a) Se o nivel do sinal modulador passar a ser de 5V e a frequência de 2kHz escreva a
expressão do novo sinal de FM.
b) Determine a largura de banda do sinal modulado nas duas situações descritas.
3 - O desvio de frequência de 75kHz de um sinal FM é obtido com um sinal modulador
sinusoidal de amplitude unitária. Suponha que a mesma portadora é modulada em FM por
um outro sinal sinusoidal de valor eficaz igual a 80% do valor eficaz do primeiro sinal e de
frequência 15kHz. O sinal de FM obtido é aplicado a um filtro passa-banda ideal de largura
de banda B=(2ß+1)fm. Qual fracção da potência é deixada passar por este filtro.
4 - Suponha que a máxima largura de banda requerida por um sinal modulador arbitrário de
frequência máxima 10kHz é Bt.
a) Calcule a percentagem de Bt ocupada quando o sinal modulador é um sinal sinusoidal
de amplitude unitária e fm=0.1, 1 e 5kHz respectivamente, sendo a modulação FM
com ∆f=30kHz.
b) Repita a alínea anterior para PM com ßPM=3. Compare os resultados.
5 - Considere um sistema FM em que ∆f=75kHz e fm=15kHz. Calcule a largura de banda de
forma a incluir 95% da potência.
n
Jn(2)
Jn(5)
Jn(10)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.22
0.58
0.35
0.13
0.03
-0.18
-0.33
0.05
0.36
0.39
0.26
0.13
0.05
0.02
-0.25
0.04
0.25
0.06
-0.22
-0.23
-0.01
0.22
0.32
...
6 - Um oscilador funcionando a 100MHz tem um condensador de 75pF no seu circuito de
sintonia, em paralelo com um díodo varicap. Qual a variação de capacidade total que o
varicap deve proporcionar de maneira a permitir um desvio de frequência máximo de
80kHz.
7-
O condensador variável com a tensão é um díodo inversamente polarizado cuja capacidade
está relacionada com a tensão de polarização v. Co=200pF e L está ajustado para a
ressonância a 5MHz quando uma tensão inversa fixa v=4V é aplicada ao condensador Cv. A
tensão moduladora é m(t) = 4 + 0. 045sen2 π .103 t . Se a amplitude de oscilação for 1V
escreva uma expressão para a forma de onda de saída do oscilador.
8 - Projecte um sistema de Amstrong usando um oscilador a cristal de 500kHz, com flutuação
máxima de frequência de ±30Hz, supondo que se pretende uma portadora de 97MHz com
∆f=75kHz. Tenha em conta que os multiplicadores só devem ser duplicadores ou
triplicadores.
Telecomunicações
Folha 4 - Ruído
1 - Considere o processo aleatório definido por y(t) = a + b cos(t) , em que a e b são variáveis
aleatórias independentes. A variável aleatória b tem distribuição N(0,2), e a é
uniformemente distribuida em [0,2]. Qual é o valor médio do processo aleatório y(t)?
Calcule o valor da função de autocorrelação Ry(Ë). O processo y(t) é estacionário?
2 - Ruído n(t) de banda limitada e valor médio nulo tem uma densidade espectral de potência
Gn(f) = 10-6 V2/Hz na gama de frequências de -100 a 100KHz.
a) Determine Rn(Ë). Para que espaçamento de Ë, n(t) e n(t+Ë) são não
correlacionados?
b) Suponha que n(t) é gaussiano. Qual é a probabilidade, em qualquer instante t, de
n(t) exceder 0.45V? e 0.9V?
3 - Z(t) = M(t) cos(wt + Ø). M(t) é um processo aleatório com E(M(t))=0 e E(M(t)2)=Mo.
a) Se Ø=0 calcule E(Z(t)2). Z(t) é estacionário?
b) Se Ø é uma variável aleatória independente tal que f(Ø)=1/2• para -••Ø•• mostre
que E(Z(t)2) = E(M(t)2) E(cos2(wt+Ø)) = Mo/2. Z(t) é estacionário?
4 - Duas resistências R1 e R2 encontram-se ás temperaturas T1 e T2 respectivamente, e estão
ligadas em série. Calcule a temperatura equivalente de ruído da combinação.
5 - Um gerador de ruído com um díodo de vazio apresenta Gv(f) = 2kRTo + eIbR2 , em que R
é a resistência da fonte, e é a carga do electrão e Ib é a corrente contínua que atravessa o
díodo. Obtenha uma expressão para a temperatura de ruído e calcule também o seu valor
quando R=50• e Ib=20mA.
6 - Calcule a largura de banda equivalente de ruido do filtro |H(w)2|= exp(-w2).
7 - Considere o circuito da figura. Mostre que a densidade espectral de potência de vo(t) é :
Gv(f) =
10-8
V2/Hz
com B = G/2•C
1+(f/B)2
8 - Uma antena tem uma temperatura de ruído Tant=10K e está ligada a um receptor com
temperatura de ruído efectiva Te=140K. O ganho disponível a meio da banda do receptor é
gao=1010 e, relativamente a esta frequência intermédia, a largura de banda de ruído é
Bn=1.5*105Hz. Calcule a potência disponível do ruído de saída.
9 - Uma antena está apontada numa direcção tal que a sua temperatura de ruído é de 30K. Está
ligada a um preamplificador com uma figura de ruído de 1.6dB e um ganho disponível de
30dB numa banda de 10MHz.
a) Calcule a temperatura efectiva de ruído á entrada do preamplificador.
b) Calcule a potência do ruído á saída do preamplificador.
10 - Um tom de amplitude 2 Vrms e frequência 5.8 KHz modula em amplitude uma portadora de
amplitude 5 Vrms, sendo transmitida a portadora e as bandas laterais. Sabendo que a
densidade espectral de ruído à entrada do detector é 0.1 µW/Hz, determine a relação sinal
ruído à saída do detector. A largura de banda do receptor é 10 KHz e a amplitude da
portadora á entrada do detector é 1 Vrms.
11 - A relação sinal ruído à saída de um detector coerente é 25 dB quando a entrada é um sinal
SSB-AM. Se a entrada do detector passar a ser DSB-AM com m=100%, determine o
aumento da potência total à entrada do detector para manter uma S/N à saída deste de 25
dB.
12 - Um transmissor de VHF radia um sinal DSB-AM com um índice de modulação de 45% e
uma largura de banda de áudio de 15 KHz, produzindo uma S/N de 40 dB à saída de um
receptor que dista 3 Km do transmissor. Se o transmissor for comutado para FM, radiando a
mesma potência total e com um desvio máximo de frequência de 60 KHz, determine a que
distância se deve encontrar um receptor de FM para apresentar na saída uma S/N igual à do
DSB-AM. Assuma que a densidade espectral de ruído à entrada dos receptores é a mesma e
que a potência recebida decresce com o quadrado da distância ao transmissor.
13 - Uma estação de radio transmite um sinal DSB - SC - AM com uma potência média de 1
KW. Se a transmissão passar para SSB-AM calcule a potência média emitida nos dois casos
seguintes:
a) receber a mesma potência de sinal à saída do receptor.
b) ter a mesma S/N à saída do receptor.
14 - Um tom de 7,5 KHz é o sinal modulador para dois sistemas, DSB-AM e FM, sendo a
potência transmitida igual nos dois casos. O desvio máximo de frequência da portadora de
FM é 60 KHz, e a amplitude do 1º par de riscas do espectro de FM é igual à amplitude das
bandas laterais do sinal de DSB-AM transmitido. Assuma uma largura de banda de 7,5 KHz
para os receptores de AM e FM e determine o ganho em S/N que o receptor de FM
apresenta. A densidade espectral de potência tem um valor constante e é a mesma em ambos
os casos.
15 . Para o processo aleatório definido por v(t) = 6eXt calcular E[v(t)], R(t1,t2) e E[v2(t)].
16 Seja o processo aleatório definido por v(t) = A.cos(ωot + φ), onde A e φ são variáveis
aleatórias independentes tendo φ uma fdp uniforme em [0, 2π]. Determinar E[v(t)], Rv(t1,t2),
E[v2(t)] e <v2(t)> e conclua sobre a estacionaridade e ergodicidade do processo.
17 Um processo aleatório apresenta uma função de autocorrelação Rv(τ) = 16e-8τ2+9. Faça o
esboço da sua função densidade espectral de potência e determine o valor dc do sinal, a sua
potência média e o valor rms.
18 Considere o circuito seguinte em que R e L são ideais (sem ruído) e a fonte de ruído gera
ruído branco de densidade η. Sendo v(t) a tensão na resistência calcular Gv(f), Rv(τ) e
E[v2(t)].
19 O ruído térmico produzido por uma resistência de 10kW à temperatura ambiente, processo
y(t), passa por um filtro passa baixo ideal com frequência de corte 2,5MHz a ganho unitário,
após o que entra num rectificador de onda completa terminando num processo que
designamos por z(t). Qual a média e o valor rms de z(t)?
20 Um sistema de transmissão analógico com a banda limitada a W = 5kHz e um emissor com
potência ST=100mW é usado para transmitir sinais a longo de um canal sendo a relação
(S/N)D à entrada do receptor de 46 dB. Se alterarmos a largura de banda do canal conforme
necessário, como deveríamos fazer variar a potência emitida se pretendêssemos usar o canal
para (a) transmitir sinais de alta fidelidade e (b) transmitir voz com qualidade telefónica.
21 Um sinal com banda W = 5kHz é transmitido numa distância de 40km utilizando um cabo
cuja atenuação é α = 3dB/km. O receptor utilizado possui uma temperatura de ruído
equivalente à entrada TN = 10To. (a) Determine a potência de emissão requerida para que
(S/N)D = 60dB, (b) idem, quando a meia distância de transmissão se usa um repetidor com
emissor e receptor iguais aos usados nas extremidades.
22 Determine a expressão corresponde à tensão vn2(f) de uma série de duas resistências R1 à
temperatura T1 e R2 à temperatura T2, em equilíbrio térmico. Verifique que se for T1 = T2 o
ruído é o que estaria associado à resistência série das duas.
23 Repita para o caso das duas resistências se encontrarem em paralelo.
Sugestão: trabalhe com a corrente de ruído e o problema é muito idêntico ao anterior.
24
Considere um circuito com impedância complexa e com ruído ligado a uma resistência
também ruidosa. Mostre que, uma vez que as potências de ruído trocadas nos dois sentidos
devem ser iguais para que as duas partes atinjam o equilíbrio térmico, isso significa que o
ruído da reactância é o associado pela expressão normal à sua parte resistiva.
25 Um amplificador com ganho em potência G = 50dB e BN= 20kHz apresenta à saída uma
potência de ruído No= 80pW quando a temperatura de ruído à entrada é TS = To. Calcule a
temperatura equivalente de ruído do amplificador (Te), o seu factor de ruído (F) e a potência
à saída quando for TS = 2To.
26 Quando a temperatura de ruído à entrada de um amplificador passa de To para 2To a
temperatura de ruído à saída aumenta de 1/3. Determine Te e F.
27 Um sistema de recepção consiste num pré-amplificador (F = 3dB e G = 20dB), um cabo
com atenuação L = 6dB à temperatura To e um receptor com F = 13dB. (a) Determine o
factor de ruído do sistema, (b) repita trocando a posição do pré-amplificador por forma a
ficar entre o cabo e o receptor.
28 Calcule a distância máxima que poderá ser utilizada para efectuar comunicação em RF
admitindo que: a Banda de transmissão é B = 200KHz, o factor de ruído do receptor é de
6dB, a potência emitida é de 1kW e as antenas apresentam ganhos GT = 20dB e GR =20dB e
o comprimento de onda utilizado é 3cm, o ruído da antena possui uma temperatura
equivalente Ta = 50ºK e (S/N)D = 30dB.
OBS: Algumas expressões importantes para estes cálculos. Nas expressões Ae designa área
eficaz de uma antena, G o ganho dessa antena, P potências, R e T em índice designam
respectivamente receptor e emissor, r designa a distância entre antenas de emissão e
recepção:
4πAe
λ2
A A
PR = PT eR2 2eT
r λ
G=
A segunda expressão é essencial neste caso e pode escrever-se de outra forma:
Sendo agora a potência na recepção expressa em termos da potência emitida, dos ganhos das
duas antenas utilizadas e da atenuação em espaço livre, dada por
4πAeR 4πAeT
PR = PT
λ2
λ2
 4πr 
L fs = 

 λ 
2
2
 λ 
P .G .G

 = T T R .
L fs
 4πr 
Este último termo designa-se por atenuação em espaço livre que pode ser expressa em dB do
seguinte modo
 4πr 
L fs = 20 log 10 

 λ 
Normalmente todas estas grandezas são expressas em dB e nesse caso ficará
PR = PT + G T + G R − L fs
Onde o uso de bold significa que a grandeza está expressa em dB.
29
Um sistema de comunicação com as seguintes características
PT = 10W
W = 10kHz
No = 10-13W/Hz
Atenuação do cabo de ligação = 1dB/km,
Em que PT é a potência do emissor, W a frequência máxima do sinal modulador, No a densidade
espectral de potência do ruído efectivo à entrada do receptor. Calcule o comprimento máximo
do cabo que se pode utilizar por forma a garantir que a relação SNRo à saída seja de 40 dB, para
os seguintes casos: (a) modulação SSB, (b) modulação AM com 100% de modulação e (c) FM
com β = 2 e 8 e sem pré-ênfase.