Sinais e Sistemas

Aula de Hoje
O que é um sinal?
Sistemas e Sinais
Como representamos matematicamente um sinal?
Sinais e Sistemas
Qual a diferença entre um sinal contínuo e um sinal
discreto?
Luís Caldas de Oliveira
Qual a diferença entre intervalo de amostragem e
frequência de amostragem?
[email protected]
O que é um sistema?
Instituto Superior Técnico
O que é um espaço de funções?
Qual a diferença entre o modelo matemático para um
sinal e para um sistema?
Sistemas e Sinais – p.1/19
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.2/19
Luís Caldas de Oliveira
Sinal em Tempo Contínuo
Sinal Acústico
Se s for um sinal acústico:
Um sinal x(t) em tempo contínuo é uma função de uma
variável contínua.
s : T empo → Pressão
∀t ∈ ’, x(t) = . . .
Podemos representá-lo na forma de uma função:
∀t ∈ ’, s(t) = . . .
x:’→’
Passaremos a denominar estes sinais pela forma abreviada
s:’→’
de sinais contínuos.
Pressão
Tempo
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.3/19
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.4/19
Tom Puro
Problema
Um tom puro é um sinal sinusoidal:
Calcular o intervalo de tempo entre dois máximos
consecutivos do sinal x:
∀t ∈ ’, x(t) = sin(2π × 440t)
∀t ∈ ’, x(t) = sin(2π × 440t)
x : ’ → [−1, 1]
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-1
0
-1
0
1
2
3
4
5
Tempo em milisegundos
6
7
8
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Luís Caldas de Oliveira
1
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3
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Tempo em milisegundos
6
7
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Luís Caldas de Oliveira
Imagem
Valor de Fecho do PSI-20
Uma fotografia a preto e branco pode também ser
representada por uma função:
O valor inicial (base) do PSI-20 é de 3000 pontos e é
calculado por referência aos preços de fecho da
sessão de bolsa de 31 de Dezembro de 1992.
Exemplo:
ImagemPB : E spacoVert × E spacoHoriz → Intensidade
{. . . , 7309, 7321, 7315, 7327, 7325, . . .}
ou seja,
i = ImagemPB(x, y)
Para uma imagem a cores:
ImagemCores : E spacoVert × E spacoHoriz → Intensidade3
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Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.8/19
Sinal em Tempo Discreto
Amostragem de Sinais Contínuos
Um sinal x(n) em tempo discreto é uma função de uma
variável discreta:
Muitos dos sinais em tempo discreto resultam da
amostragem de sinais em tempo contínuo (xc (t)):
x(n) = xc (nT ), ∀n ∈ š
∀n ∈ š, x(n) = . . .
em que xc (t) é uma função da variável t ∈ ’ e T é o
período de amostragem.
x:š→’
Passaremos a denominar estes sinais pela forma abreviada
...
...
de sinais discretos.
T
Sistemas e Sinais – p.9/19
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.10/19
Luís Caldas de Oliveira
Problema
Codificação da amplitude
Um determinado programa indica a ocupação de uma
ligação ADSL com intervalos de 500 milisegundos. Qual a
frequência a que é feita a amostragem da ocupação da
linha?
Para além da amostragem temporal, a amplitude do sinal
pode também ser codificada usando um número finito de
bits. No caso de uma codificação linear de 16 bits em
complemento para 2:
s : š → {−32768, . . . , 32767}
No caso de uma imagem quadrada com 512x512 pixeis de
com 8 bits por cada componente RGB (24 bits):
i : {0, . . . , 511}2 → {0, . . . , 255}3
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.11/19
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.12/19
Problema
Imagem Digital
Determinar taxa de compressão de uma faixa de música
de um disco compacto ao ser codificada em mpeg-3 a 128
Kb/s.
ImagemDigital : VertDiscreto × HorizDiscreto → Inteiros
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Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.14/19
Luís Caldas de Oliveira
Video Digital
Sistemas
Os sistemas são funções que transformam sinais.
Algumas operações realizadas por sistemas:
Um sinal de video digital é uma sequência de imagens
(frames) associadas a instantes de tempo:
armazenamento de sinais;
VideoDigital : T empo×VertDiscr×HorizDiscr → Intensidade
3
codificação e descodificação;
encriptação e desencriptação;
realçar parte da informação do sinal;
detecção de informação;
controle de processos físicos;
conversão de formatos;
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.15/19
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.16/19
Espaço de Funções
Sistemas como Funções
Sendo x um sinal com domínio D e contra-domínio C:
x:D→C
Se o sistema S aceitar à sua entrada sinais do tipo x
podemos dizer que o seu domínio é um espaço de
funções ou espaço de sinais X a que x pertence.
Representaremos o espaço de funções envolvendo em
parenteses rectos o domínio e o contra-domínio dos sinais
que ele representa:
Um sistema faz o mapeamento de um espaço de sinais
para outro espaço de sinais.
Por exemplo, um microfone é um sistema que converte
sinais acústicos em sinais eléctricos:
S : [T empo → Pressão] → [T empo → T ensão]
Tensão
Pressão
Tempo
Tempo
S
X = [D → C]
Sistemas e Sinais – p.17/19
Luís Caldas de Oliveira
Problema
Considere uma função f x tal que:
fx : X → Y
em que
X = {a, b, c}
Y = {0, 1}
Neste caso pode dizer-se que:
f x ∈ [X → Y]
Determine o número de elementos de [X → Y].
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.19/19
Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais – p.18/19