Lista 3 - André Luiz Galdino

Universidade Federal de Goiás
Regional Catalão - IMTec
Disciplina: Álgebra I
01/04/2015
Professor: André Luiz Galdino
Gabarito da 3a Lista de Exercícios
1. Seja G = GL(2, IR) o conjunto das matrizes inversíveis 2×2 com entradas reais. Encontre Z(GL(2, IR)).

Solução: Para determinar o centro de GL(2, IR), vamos supor que 

Dessa forma, a matrix 
a b
c d
 ∈ Z(GL(2, IR)).
 comuta com TODAS as matrizes pertencentes a GL(2, IR). Em
outras palavras, para TODA matrix 

c d




a b
a b
c d


x
y
z w
x
y
z w

 ∈ GL(2, IR) temos


=
x
y
z w


a b
c d


Donde obtemos,


ax + bz ay + bw
cx + dz cy + dw


=
ax + cy
bx + dy
az + cw bz + dw


Note que da igualdade acima devemos ter
⇒
ax + bz = ax + cy
bz = cy.
Como b, c ∈ IR são fixos e a escolha de y, z ∈ IR é arbitrária, a única forma da igualdade bz = cy
ser verdadeira para todo y, z ∈ IR é fazendo b = 0 e c = 0. Daí, consequentemente temos
ay + bw = bx + dy
⇒
ay = dy
⇒
a = d.
Portanto, o centro de GL(2, IR) é dado por:



 a 0

 : a 6= 0 .
Z(GL(2, IR)) = 
 0 a

2. Prove que se G é um grupo, então Z(G) ⊂ CG (x) para todo x ∈ G. Onde Z(G) é o centro do grupo
G e CG (x) é o centralizador de x em G.
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Solução: O centro Z(G) e o centralizador CG (x) são dados respectivamente por:
Z(G) = {a ∈ G | a ∗ g = g ∗ a, ∀ g ∈ G}
CG (x) = {g ∈ G | x ∗ g = g ∗ x}
Para provar que Z(G) ⊂ CG (x), basta provar que para todo a ∈ Z(G) temos que a ∈ CG (x). De
fato, se a ∈ Z(G) então a comuta com todos os elementos g de G, ou seja, a ∗ g = g ∗ a. Em
particular, uma vez que x ∈ G, temos que a comuta com x, ou seja, x∗a = a∗x. Consequentemente
a ∈ CG (x) e, portanto, Z(G) ⊂ CG (x).
3. Seja G um grupo. Prove que G é abeliano se, e somente se, G = CG (x) para todo x ∈ G.
Solução:
⇒ Suponhamos que G seja abeliano e provemos que G = CG (x) para todo x ∈ G. Como para
todo x ∈ G temos CG (x) ⊂ G, para mostrar que G = CG (x) basta mostrar que G ⊂ CG (x)
para todo x ∈ G. Para isto, basta mostrar que
∀g∈G
⇒
g ∈ CG (x), ∀x ∈ G.
De fato, como G é abeliano temos
∀g∈G
⇒
x ∗ g = g ∗ x, ∀ x ∈ G
⇒
g ∈ CG (x), ∀x ∈ G.
⇐ Suponhamos agora que G = CG (x) para todo x ∈ G e provemos que G é abeliano. Como
G = CG (x) para todo x ∈ G, então G ⊂ CG (x) para todo x ∈ G, ou seja,
∀g∈G
⇒
g ∈ CG (x), ∀x ∈ G
⇒
x ∗ g = g ∗ x, ∀ x ∈ G
De outra forma,
∀ g, x ∈ G
⇒
x ∗ g = g ∗ x.
Portanto, G é abeliano.
4. Prove que todo grupo cíclico é abeliano.
Solução: Dizemos que G é um grupo cíclico gerado pelo elemento a se G = {am | m ∈ ZZ}. Neste
caso denotamos G = hai.
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Afirmamos que que todo grupo cíclico é abeliano. De fato, sejam g, h ∈ G, sendo G um grupo
cíclico gerado por a. Então g = am e h = an , para algum valor de m e n inteiros. Assim
g ∗ h = am ∗ an = am+n = an+m = an ∗ am = h ∗ g.
Portanto, o grupo cíclico G é abeliano.

5. Seja G = GL(2, IR) com a multiplicação de matrizes usual. Sendo x = 

Solução: Devemos determinar CG 

A=
x
y
z w
1 1
1 1
1 1
1 1

, encontre CG (x).

, ou seja, devemos determinar todas as matrizes

 ∈ GL(2, IR) tal que


1 1
1 1


x
y
z w


=
x
y
z w


1 1
1 1


Donde obtemos,


x+z y+w
x+z y+w


=
x+y
x+y
z+w z+w


A igualdade de matrizes anterior nos fornece as seguintes equações:


 x+z = x+y
 z = y
⇒
 x+z = z+w
 x = w

Logo, A = 
x y


. Lembre-se que: como A = 
y x
6 0. Portanto,
x −y =
2
x y
y x

 ∈ GL(2, IR), então det(A) 6= 0, ou seja,
2





x y
1 1
 = 
 | x2 − y 2 6= 0 .
C G 
 y x

1 1


6. Seja Q4 = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}, onde i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1.
a) Mostre que ij = k, ji = −k, jk = −kj = i e ki = −ik = j.
b) Mostre que Q4 é um grupo.
c) Mostre que Z = {1, −1} é um subgrupo de Q4
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Solução:
a) Como i2 = −1, j 2 = −1, k 2 = −1 e ijk = −1 temos que:
1) ijk = −1 ⇒ ijk 2 = −k ⇒ −ij = −k ⇒ ij = k.
2) ijk = −1 ⇒ i2 jk = −i ⇒ −jk = −i ⇒ −j 2 k = −ji ⇒ k = −ji ⇒ ji = −k.
3) ijk = −1 ⇒ i2 jk = −i ⇒ −jk = −i ⇒ jk = i.
4) ijk = −1 ⇒ ijk 2 = −k ⇒ −ij = −k ⇒ −ij 2 = −kj ⇒ −kj = i.
5) ijk = −1 ⇒ ijk 2 = −k ⇒ −ij = −k ⇒ −i2 j = −ik ⇒ −ik = j.
6) ijk = −1 ⇒ ijki = −i ⇒ i2 jki = −i2 ⇒ −jki = 1 ⇒ −j 2 ki = j ⇒ ki = j.
b) Mostremos que Q4 é um grupo. Primeiramente, note que a operação binária considerada sobre
Q4 é a multiplicaç ao e, consequentemente, 1 é o elemento neutro de Q4 . Também pelo item
anterior temos que Q4 é fechado, ou seja, para todo a, b ∈ Q4 implica que ab ∈ Q4 .
É fácil ver que a propriedade associativa é verdadeira, e das igualdades i2 = −1, j 2 = −1 e
k 2 = −1 podemos concluir que i−1 = −i, j −1 = −j e k −1 = −k. Além disso, (−1)−1 = −1.
Portanto, Q4 é um grupo.
c) É fácil ver que Z = {1, −1} é um subgrupo de Q4 , pois,
1(−1)−1 = −1 ∈ Z
(−1)(1)−1 = −1 ∈ Z
(−1)(−1)−1 = 1 ∈ Z
√
7. Mostre que E = {a + b 2 ∈ IR∗ | a, b ∈ Q}
I é um grupo multiplicativo abeliano.
8. Mostre que se x é um elemento de um grupo G e x ∗ x = x, então x é o elemento neutro.
Solução: Como G é um grupo e x ∈ G, então existe um elemento x−1 ∈ G tal que x ∗ x−1 = e.
Sendo assim, por um lado temos:
x−1 ∗ (x ∗ x) = x−1 ∗ x = e
Por outro lado temos:
(x−1 ∗ x) ∗ x = e ∗ x = x
Uma vez que a operação ∗ é associativa concluimos que a = e.
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9. Se G é grupo e para todo x ∈ G temos x ∗ x = e, então G é abeliano.
Solução: Se para todo x ∈ G temos x ∗ x = e, então pela unicidade do elemento inverso temos
que x−1 = x. Provemos então que G é abeliano, ou seja, provemos que para todo x, y ∈ G temos
que x ∗ y = y ∗ x.
Note que:
y =e∗y
⇒
y = (x ∗ x) ∗ y
⇒
y ∗ y = y ∗ (x ∗ x) ∗ y
⇒
y ∗ y = (y ∗ x) ∗ (x ∗ y).
Como por hipótese y ∗ y = e vem
(y ∗ x) ∗ (x ∗ y) = e.
Pela unicidade do elemento inverso, temos que:
(y ∗ x)−1 = x ∗ y.
Além disso, por hipótese temos que
(y ∗ x) ∗ (y ∗ x) = e
⇒
(y ∗ x)−1 = y ∗ x
Sendo assim, novamente pela unicidade do elemento inverso podemos afirmar que
x ∗ y = y ∗ x.
Portanto, G é um grupo abeliano.
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Fim do Gabarito