lim lim lim lim

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE
ESCOLA DE ENGENHARIA
PROVA FINAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PARA ENGENHARIA IV
02/06/2008
Nome: GABARITO
No de matrícula:
NOTA: ________
Turma:
Assinatura
Assinatura (vista)
Data:
Instruções:
•
•
•
A prova contém 05 (cinco) questões. A duração mínima é de 30 minutos e a máxima é de 120
minutos (2 horas).
Transcreva as respostas à caneta (obrigatório).
As soluções devem conter todas as operações necessárias ao desenvolvimento das questões.
∞
1ª Questão) Verifique se a série
3n + 2
é convergente ou divergente. Caso utilize o teste da
n
n =1 (n + 1)
∑
integral mostre que a função satisfaz as três condições do teste.
A função f(x) =
(valor = 2,0)
3x + 2
é positiva, decrescente e contínua no intervalo [1, ∞[, portanto podemos usar
x(x + 1)
o teste da integral
∞ 3x + 2
t 3x + 2
t 1
1 
∫ x(x + 1) dx = lim ∫ x(x +1) dx = lim ∫  2 x + x +1  dx = lim

t → ∞
t → ∞ 1
t → ∞ 1
1
=
t


 2 ln x + ln(x +1)  =



1

 

 2 ln t + ln(t +1)  −  2 ln 1+ ln(2)  = ∞ + ∞ - ln(2) = ∞

 

t → ∞ 
 

lim
∞
3n + 2
é DIVERGENTE
n =1 n(n + 1)
Portanto a série ∑
Por Frações Parciais
3x + 2
A
B
=
+
x(x + 1)
x
x +1
3x + 2
A(x + 1) + Bx
=
x(x + 1)
x(x + 1)
3x + 2 = A(x + 1) + Bx
se x = -1
-B = -1
se x = 0
A=2
B=1
1
2ª Questão) A função y1(x) = x4.lnx (x > 0) é uma solução da equação diferencial
x2y” – 7xy’ + 16y = 0. Use a redução de ordem para encontrar a segunda solução y2(x).
(valor = 2,0)
x2y” – 7xy’ + 16y = 0
y” −
÷ (x2)
7
16
=0
y’ +
x
x2
7
x
P(x) = −
y2 = y1 ∫ e
− ∫ P( x) dx
(y 1) 2
dx
Fazendo:
7
− ∫ − dx
x
e
= e
7∫
1
dx
x
7
= e 7 ln x = e ln x = x7
y2 = x4.lnx ∫
y2 = x4.lnx ∫
x7
dx
(x 4 .ln x) 2
x7
dx
x 8 (ln x) 2
y2 = x4.lnx ∫
1
x(ln x) 2
dx
Por substituição, temos:
u = ln x
du = 1/x dx
y2 = x4.lnx ∫ 1 du
(u) 2
y2 = x4.lnx ∫ (u) −2 du = x4.lnx.  − 1  = x4.lnx.  − 1 
 u
 ln x 
4
y2 = - x
Solução geral:
y = c1.x4.lnx + c2.(-x4)
2
3ª Questão) A figura abaixo mostra um circuito elétrico simples contendo uma força eletromotriz que
produz uma voltagem de E(t) volts (V) e uma corrente elétrica de I(t) ampères (A) em um tempo t. O
circuito também contém um resistor com resistência de R ohms (Ω) e um indutor com indutância de L
henrys (H). A lei de Ohm fornece a queda na voltagem devido ao resistor como sendo RI e a queda de
 dI 
 . A lei de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual
 dt 
voltagem devido ao indutor é L 
 dI 
 + RI = E(t). Encontre a corrente I(t)
 dt 
à voltagem fornecida E(t), ou seja a equação diferencial L 
supondo que a resistência seja de 12 Ω, a indutância de 4 H, que a pilha forneça uma voltagem
constante de 60 V e que a corrente é nula quando t = 0.
(valor = 2,0)
 dI 
 + RI = E(t)
 dt 
L
 dI 
 + 12I = 60
 dt 
4
(:4)
I’ + 3I = 15
Por Fator Integrante:
e∫
3dt
= e3t
I’e3t + 3Ie3t = 15e3t
(I.e3t)’ = 15e3t
Integrando em ambos os lados, temos:
I.e3t = 15 ∫ e 3t dt
I.e3t = 15
e 3t
+C
3
I = 5 + C.e-3t
I(0) = 0
0 = 5 + C.e-3.0
C=-5
I(t) = 5 - 5.e-3t
Obs.: Esse exercício poderia ser resolvido de outras maneiras.
3
4ª Questão) Resolva a equação diferencial y” + 5y’ + 4y = 6e3t ,por Transformada de Laplace,
sabendo que as condições iniciais são y(0) = 1 e y’(0) = 0.
(valor = 2,0)
y” + 5y’ + 4y = 6e3t
s2L{y} – sy(0) – y’(0) + 5sL{y} – 5y(0) + 4L{y} = 6L{e3t}
s2L{y} – s.1 – 0 + 5sL{y} – 5.1 + 4L{y} = 6
L{y}(s2 + 5s + 4) = 6
L{y}(s + 1)(s + 4) =
L{y} =
1
s−3
1
+s+5
s−3
6 + s(s − 3) + 5(s − 3)
s−3
6 + s(s − 3) + 5(s − 3)
(s − 3)(s + 1)(s + 4)
Por Frações Parciais
6 + s(s − 3) + 5(s − 3)
A
B
C
=
+
+
(s − 3)(s + 1)(s + 4)
(s − 3) (s + 1) (s + 4)
6 + s(s − 3) + 5(s − 3)
A(s + 1)(s + 4) + B(s − 3)(s + 4) + C(s − 3)(s + 1)
=
(s − 3)(s + 1)(s + 4)
(s − 3)(s + 1)(s + 4)
se s = 3
28A = 6
A = 6/28 ou A = 3/14
se s = -1
-12B = -10
B = 10/12 ou B = 5/6
se s = -4
21C = -1
C = -1/21
L{y} =
6 + s(s − 3) + 5(s − 3)
3
1
5 1
1
1
−
=
+
(s − 3)(s + 1)(s + 4)
14 (s − 3) 6 (s + 1)
21 (s + 4)
y=
3 −1  1  5 −1  1 
1 −1  1 
L 
+ L 
 − L 

14
21
(s − 3)  6
(s + 1) 
(s + 4) 
y=
3 3t 5 − t
1
e + e
− e − 4t
14
6
21
4
ESPAÇO RESERVADO PARA A CONTINUAÇÃO DA RESOLUÇÃO DA 4ª QUESTÃO
5
5ª Questão) Use a Transformada de Laplace para resolver o sistema de equações diferenciais
 dx
 dt = x − 2y
, sabendo que x(0) = 0 e y(0) = 1.

 dy = −40x − y
 dt
 dx
 dt = x − 2y

 dy = −40x − y
 dt
(valor = 2,0)
sL{ x } − x(0) = L{ x } − 2L{ y }

sL{ y } − y(0) = −40L{ x } − L{ y }
=0
(s − 1)L{ x } + 2L{ y }

40
L
{
x
}
+
(
s
+
1
)
L
{
y
}
=1

sL{ x } − 0 − L{ x } + 2L{ y } = 0

sL{ y } − 1 + 40L{ x } + L{ y } = 0
(s − 1)(s + 1)L{ x } + 2(s + 1)L{ y } = 0

− 80L{ x } − 2(s + 1) L{ y } = −2

x(s + 1)
x(−2)
L{x}(s2 – 1 – 80) = -2
L{x}(s2 – 81) = -2
L{x}(s – 9)(s + 9) = -2
L{x} = − 2
1
(s − 9)(s + 9)
(LINHA 22)
x(t) = -2
e 9t − e −9t
9 − (−9)
x(t) = −
e 9t e −9t
+
9
9
(s – 1)L{x} + 2L{y} = 0
Como L{x} = − 2
(s – 1)
1
(s − 9)(s + 9)
(−2)
+ 2L{y} = 0
(s − 9)(s + 9)
2L{y} =
2(s − 1)
(s − 9)(s + 9)
L{y} =
s −1
s
1
=
−
(s − 9)(s + 9)
(s − 9)(s + 9) (s − 9)(s + 9)
y(t) =
8e 9t + 10 e −9t
9e 9t − (−9)e −9t e 9t − e −9t
−
=
9 − (−9)
9 − (−9)
18
y(t) =
(LINHAS 23 e 22)
4 e 9t
5e −9t
+
9
9
6
ESPAÇO RESERVADO PARA A CONTINUAÇÃO DA RESOLUÇÃO DA 5ª QUESTÃO
7
RASCUNHO
8