Mecânica Quântica - Instituto de Física / UFRJ

Plano do curso
1. A física clássica em dificuldades.
2. Os princípios da mecânica quântica: sistemas de dois
estados.
3. Sistemas de dois estados: aplicações.
4. Sistemas de N estados.
5. Partículas idênticas.
6. Simetrias.
7. Posição e momentum.
8. Equação de Schroedinger em 1 dimensão: aplicações.
9. A soma sobre caminhos.
Mecânica Quântica
Carlos Eduardo Aguiar
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física
Instituto de Física - UFRJ
1º período letivo de 2010
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
Leituras recomendadas
Sobre o ensino de mecânica quântica:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge, 2006.
H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica,
Blucher, 2002.
R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III,
Bookman, 2008.
R.P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988.
T.F. Jordan, Quantum Mechanics in Simple Matrix Form, Dover, 2005.
D.F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge, 2000.
J.S. Townsend, A Modern Approach to Quantum Mechanics, USB, 2000.
O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003.
A. Zeilinger, A Face Oculta da Natureza, Globo, 2005.
•
•
•
•
•
•
•
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
3
2
M. A. Moreira, I. M. Greca, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da
mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências, 6 (2001) 29-56.
I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica
quântica, Revista Brasileira de Ensino de Física, 33 (2001) 444.
R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American
Journal of Physics 70 (2002) 200; ver também a discussão em AJP 70 (2002) 887.
I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum
mechanics, International Journal of Science Education 20 (1998) 427-446.
I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an Emphasis on the Concept of Quantum States Enhance
Students’ Understanding of Quantum Mechanics?, Science & Education 12 (2003) 541–557.
D. F. Styer, Common Misconceptions Regarding Quantum Mechanics, American Journal of
Physics 64 (1996) 31-34.
C. R. Rocha, V. E. Herscovitz, M. A. Moreira, O Ensino de Mecânica Quântica sob a
Perspectiva dos Referenciais Teóricos da Aprendizagem Significativa e dos Campos
Conceituais, Anais do XVIII SNEF (2009).
L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate Quantum Mechanics Reform, arxiv.org: 0806.2628
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5
A física clássica em dificuldades
A Quantização da Energia
Charles Addams, New Yorker, 1940
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12
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13
1
Espalhamento inelástico
Espalhamento por moléculas, átomos, ...
detector
E-ε
E-ε
N
N
E
ε
alvo
projétil
E
ε
ε
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14
Espalhamento inelástico pela molécula de CO
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15
Espalhamento inelástico pelo átomo de He
e + CO
e + He
G. J. Schulz, Vibrational Excitation of N2, CO, and H2
by Electron Impact, Phys. Rev. 135, A988 (1964)
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16
Espalhamento inelástico pelo núcleo de 12C
D.G. Truhlar, Differential and Integral Cross Sections for Excitation of the
21P State of Helium by Electron Impact, Phys. Rev. A 1, 778 (1970)
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17
Espalhamento inelástico pelo próton
B. Povh et al., Particles and Nuclei (Spriger, 2004) p.70
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ε
Quantização da energia.
O alvo ganha apenas
certas energias.
F. Halzen, A.D. Martin, Quarks and Leptons (Wiley, 1984) p.180
20
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21
2
Em suma:
O quantum de Planck
A energia de
- moléculas,
- átomos,
- núcleos atômicos,
- hádrons,
- ...
é quantizada.
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Max Planck: the reluctant revolutionary
Helge Kragh, Physics World (Dec. 2000)
http://physicsworld.com/cws/article/print/373
23
O quantum de Planck
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24
O quantum de Planck
Um oscilador harmônico de freqüência ν pode ter
apenas as energias
E
E
E = n hν , n = 0, 1, 2, K
hν
hν = quantum de energia
h = constante de Planck = 6,626069×10−34 Js
clássico
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25
h-cortado
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26
Osciladores moleculares
h
= 1,054 571 6 × 10 -34 Js
2π
CO ↔
Planck: ∆E = n ħω
(constante de Planck reduzida)
2.0
e + CO
ω = 2π ν
hω = h ν
freqüência angular do oscilador
Energia ganha pela molécula (eV)
h=
quântico
1.5
1.0
0.5
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
n
G. J. Schulz, Vibrational Excitation of N2, CO, and H2 by Electron Impact, Phys. Rev. 135, A988 (1964)
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27
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
28
3
Osciladores moleculares
Partículas de luz
Planck:
p + H2
H2
m
k
m( H ) 1
hω ( D2 )
=
=
≈ 0,7
m( D )
2
hω ( H 2 )
m
D2
2m
k
ω = k/µ
p + D2
2m
Dados:
∆E ( D2 )
≈ 0,8
∆E ( H 2 )
Albert Einstein
J.H. Moore and J.P. Doering, Ion-Impact Excitation of Pure Vibrational
Transitions in Diatomic Molecules, Phys. Rev. Lett. 23 564 (1969)
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29
O efeito fotoelétrico
elétrons
luz
31
Energia máxima dos elétrons (eV)
O efeito fotoelétrico
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metal
Freqüência (1014 Hz)
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33
Fótons
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34
O efeito fotoelétrico
fóton:
E = hν
Planck:
oscilador quantizado
elétron:
E = hν − ∆
E = n hν
hν
hν
metal
hν
hν
hν
Einstein:
n = número de fótons
hν = energia de um fóton
∆min ≡ W ↔ função trabalho
Emax = hν − W
ν0 = W/h = freqüência de corte
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35
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
36
4
O efeito fotoelétrico
Massa do fóton
R.A. Millikan, A Direct Photoelectric Determination of
Planck's "h“, Physical Review 7, 355 - 388 (1916)
Sódio metálico
E=
potencial de contato (Na-Cu) = 2,51 V
p=
constante de Planck
mc 2
1 − v 2 / c2
E 2 = c2 p2 + m2c 4
mv
1 − v 2 / c2
v = c ⇒ m = 0 ⇒ E = cp
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37
Momentum do fóton
p=
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38
O efeito Compton
E
ν
=h
c
c
p=
p’
h
λ
p
fóton
2π
k=
λ
elétron
p = hk
p′ < p ⇒ λ′ > λ
número de onda
A. H. Compton, The Spectrum of Scattered X-Rays,
Physical Review 22 409 (1923)
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39
O efeito Compton
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40
Ondas de matéria
p’
p
fóton
θ
elétron
conservação da
energia e momentum
λ′ − λ =
h
(1 − cos θ)
mec
Louis de Broglie
(Louis-Victor-Pierre-Raymond,
7º duque de Broglie)
h/mec = comprimento de onda Compton = 0,024 Å
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41
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
42
5
Relações de de Broglie
Interferência de partículas
onda
eletromagnética
Einstein
(1905)
Experimento de Young
partícula
E = hν
ν
λ
p=
L1
h
λ
L2
onda
E
h
h
λ=
p
partícula
de Broglie
(1923)
ν=
E
p
interferência construtiva:
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44
Experimento de Young: elétrons
1 fenda
2 fendas
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45
Elétrons (um a um)
5 fendas
C. Jönsson, Electron diffraction at multiple slits, Am. J. Phys. 42, 4 (1974)
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46
Experimento de Young: nêutrons
A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up
of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)
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47
Experimento de Young : átomos de neônio
R. Gähler, A. Zeilinger, Wave-optical experiments with
very cold neutrons, Am. J. Phys. 59, 316 (1991).
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L1 − L 2 = n λ
F. Shimizu et al., Double-slit interference with ultracold
metastable neon atoms, Phys. Rev. A 46, R17 (1992)
48
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49
6
Experimento de Young : moléculas de C-60
Em suma:
• Ondas eletromagnéticas podem ter
comportamento corpuscular
• Partículas podem ter comportamento
ondulatório
O. Nairz, M. Arndt, A. Zeilinger, Quantum interference experiments
with large molecules, Am. J. Phys. 71 , 319 (2003).
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50
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51
Dois “mistérios”
• Quantização da energia
• Dualidade onda-partícula
A Dualidade Onda-Partícula e a Quantização
Esses dois “mistérios” estão relacionados.
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52
A energia do átomo de hidrogênio
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53
A energia do átomo de hidrogênio
interferência construtiva
(onda estacionária)
mecânica clássica (F = ma):
m
2π r = nλ
elétron
próton
2π r = n
mv 2 r = e 2 ⎫
⎬ ⇒
mvr = nh ⎭
h
p
v 2 e2
= 2 ⇒ mv 2 r = e 2
r
r
e2 1
v=
h n
r=
h
pr = n
= nh
2π
Momento angular quantizado!
Bohr (1913)
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E=
L = nh
54
1
e2
mv 2 −
2
r
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⇒
h2 2
n
me 2
E=−
1 me 4 1
2 h2 n2
55
7
A energia do átomo de hidrogênio
O espectro do hidrogênio
fóton com energia hν = Ei - Ef
Ei
Ef
1 me 4 1
2 h2 n2
13,6 eV
=−
n2
E=−
hν =
1 1 me 4 ⎛ 1
1 ⎞
⎜
⎟
=
−
λ 2 h 3c ⎜⎝ n f 2 n i 2 ⎟⎠
Bohr, 1913
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56
O espectro do hidrogênio
1 me 4 ⎛ 1
1 ⎞
⎜
⎟
−
2 h 2 ⎜⎝ n f 2 n i 2 ⎟⎠
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57
O espectro do hidrogênio
espectro visível
Balmer:
Bohr:
⎛ 1
1
1 ⎞
= R H ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟
λ
ni ⎠
⎝2
RH =
RH = 109,677 cm-1
constante de Rydberg
1 me 4
2 h 3c
m = massa reduzida e-p
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58
Partícula em uma caixa
m
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59
Partícula em um potencial V(x)
p
V(x)
L
de Broglie:
pn =
p=
L
h
λ
h
n
2L
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onda estacionária:
En =
E
L=n
λ
2
x
p2n
h2 2
=
n
2m 8mL2
E=
p2
+ V ( x)
2m
p = ± p(x )
p( x ) = 2m[ E − V ( x )]
60
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
61
8
Partícula em um potencial V(x)
E
Regra de quantização de Bohr-Sommerfeld
h
h
=
p( x )
2m[ E − V ( x )]
λ ( x) =
p
+ p(x)
∫
b
a
p( x )
2m
=
[ E − V ( x )]
h
h2
k ( x) =
a
b
L
Caixa:
Potencial:
λ
b
dx
a
λ ( x)
∫
a
x
b
∫
− p(x)
=
n
2
=
n
2
k ( x ) dx = nπ
b
a
p ( x ) dx = nπ h =
kL = nπ
∫
b
a
∫ pdx = nh
k ( x ) dx = nπ
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nh
2
62
Regra de quantização de Bohr-Sommerfeld
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63
Oscilador harmônico via Bohr-Sommerfeld
p
área = n h
∫ pdx = nh
x
p
área = h
órbitas
permitidas
área no espaço
de fase = “ação”
-A
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64
Oscilador harmônico via Bohr-Sommerfeld
p2 1
+ K x2
2m 2
elipse no
espaço de fase
65
Momento angular via Bohr-Sommerfeld
∫ pdq = nh
p e q: variáveis “conjugadas”
área da elipse = π A B = nh
A= 2 E / K
A
-B
postulado de Planck
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E=
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∫ pdx = nh
elipse
B
x
p2
x2
p2 x2
+
= 2 + 2 =1
A
2mE 2 E / K B
h é o quantum de ação
-A
A
a ação é quantizada
x
p
1
V ( x) = K x 2
2
E
∫ L dθ = nh
B = 2mE
x
π
L × 2π = nh
2E
m
E = nh
2mE = 2 π
K
K
E=n
L = nh
h K
= nhω
2π m
66
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postulado de Bohr
67
9
Partícula quicando via Bohr-Sommerfeld
E = mgH =
z
H
Nêutrons no campo gravitacional da Terra
p2
+ mgz
2m
H = a n2/3
∫ pdz = nh
⎛ 9h 2 ⎞
a=⎜
2 ⎟
⎝ 32m g ⎠
g
4
2m 2 g H 3 / 2 = nh
3
1/ 3
a = 16,5 µ m
H 1 = 16,5 µ m
H 2 = 26,2 µ m
1/ 3
⎛ 9h ⎞ 1 / 3
n
H =⎜
2 ⎟
⎝ 32m g ⎠
H 3 = 34,3 µ m
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68
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69
Nêutrons no campo gravitacional da Terra
Mais Consequências da Dualidade Onda-Partícula
V. V. Nesvizhevsky et al., Quantum states of neutrons in the
Earth's gravitational field, Nature 415, 297-299 (2002).
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70
Tunelamento
V(x)
73
Tunelamento
p0 = 2m( E −V 0)
V1
k 0 = 2m( E −V 0) / h
E
onda de de Broglie = A sen( k 0 x ) + B cos(k 0 x )
V0
p1 = 2m( E − V1 )
x
k1 = 2m( E − V1 ) / h = iκ 1 , κ 1 = 2m(V1 − E ) / h
p0 = 2m( E −V 0)
p1 = 2m( E − V1 ) = i 2m(V1 − E )
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C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
momentum imaginário,
energia cinética negativa:
proibido “classicamente”
74
onda de de Broglie = A sen( k1 x ) + B cos( k1 x )
= A' exp(ik1 x ) + B ' exp( −ik1 x )
= A' exp( −κ 1 x ) + B ' exp(κ 1 x )
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75
10
Tunelamento
Tunelamento
A onda de de Broglie penetra em regiões onde, pela
física clássica, a partícula não poderia ir.
V
senóide
V1
E
m
exponencial
a
E
x
exponencial
V0
x
atenuação da onda
de de Brolglie:
h
∆x = 1/ κ1 =
2m(V1 − E )
penetração na região
classicamente proibida
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76
Decaimento alfa
Z, A α
⎛ a 2m(V − E ) ⎞
~ exp( −κ a ) = exp⎜ −
⎟
h
⎝
⎠
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
77
Decaimento alfa
Z, A
α
Z, A
α
Z+2, A+2
H
V (r) =
2 Ze 2
r
E α << V (R )
v
v << 2 gH
Eα
r
R
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78
Microscopia de tunelamento
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
79
Microscopia de tunelamento
vácuo
superfície
ponta de prova
W
V
superfície do material
E
-eV
e
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
ponta de prova
80
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
81
11
Microscopia de tunelamento
Microscopia de tunelamento
ondas de elétrons em
superfície de cobre
superfície de níquel
http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html
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82
Elétrons numa caixa circular
http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html
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83
Elétrons numa caixa retangular
“curral” feito com 48 átomos de ferro sobre uma superfície de cobre
http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
84
http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
85
Experimento de dupla fenda com partículas
N1
O único mistério
1
2
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88
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
89
12
Experimento de dupla fenda com partículas
Experimento de dupla fenda com partículas
Partículas “clássicas”
1
2
1
N1
2
N2
N
N2
Cada partícula passa ou pela fenda 1 ou pela fenda 2
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90
Partículas clássicas
⇒
N = N1 + N2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
91
Experimento de dupla fenda com partículas
Cada partícula passa ou pela fenda 1 ou pela fenda 2
⇒
N = N1 + N2
Elétrons, nêutrons,
átomos, ...
N1(x)
x
apenas a fenda 1 aberta
1
N2(x)
N
2
x
apenas a fenda 2 aberta
N ( x ) = N1 ( x ) + N 2 ( x )
N(x)
x
N ≠ N 1 + N2
fendas 1 e 2 abertas
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
92
Experimento de dupla fenda com partículas
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
93
Elétrons, nêutrons, átomos, ...
Elétrons, nêutrons, átomos, ...
N1(x)
x
apenas a fenda 1 aberta
N2(x)
x
apenas a fenda 2 aberta
N(x)
N ( x ) ≠ N1 ( x ) + N 2 ( x )
x
fendas 1 e 2 abertas
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
94
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
95
13
Elétrons, nêutrons, átomos, ...
E se observarmos por onde passa a partícula?
N(x) ≠ N1(x) + N2(x)
A afirmativa
1
“cada partícula passa ou pela fenda 1 ou pela fenda 2”
2
é falsa.
… a phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain
in any classical way, and which has in it the heart of quantum mechanics.
In reality, it contains the only mystery.
R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1
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96
E se observarmos por onde passa a partícula?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
97
E se observarmos por onde passa a partícula?
N ( x ) = N1 ( x ) + N 2 ( x )
1
N(x)
2
x
A interferência desaparece!
-- complementaridade -C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
98
Experimento sobre a complementaridade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
99
Experimento sobre a complementaridade
impulso no
anteparo
molas
M = massa do
anteparo superior
Desenhos: Niels Bohr
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
100
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
101
14
Experimento sobre a complementaridade
Experimento sobre a complementaridade
M→0
M→∞
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
102
Experimento sobre a complementaridade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
103
Experimento sobre a complementaridade
•M=0
• caminho
identificado
• não há padrão de
interferência
N ↔ massa M
•M→∞
• caminho não
identificado
• padrão de
interferência
diferença de caminhos (ajustável)
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
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Experimento sobre a complementaridade
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
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Próximos passos (não estão em ppt)
2. Os princípios da mecânica quântica: sistemas de dois
estados.
3. Sistemas de dois estados: aplicações.
4. Sistemas de N estados.
5. Partículas idênticas.
6. Simetrias.
7. Posição e momentum.
8. Equação de Schroedinger em 1 dimensão: aplicações.
9. A soma sobre caminhos.
impossível determinar
o caminho
interferência
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
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