2 SISTEMAS LINEARES

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS PATO BRANCO
Curso das Engenharias
2 SISTEMAS LINEARES
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Coordenação do Curso das Engenharias e Tecnologia
Índice de tabelas
Tabela 1- Matéria Prima e Produtos..........................................................................................................................6
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Sumário
CAPITULO 2............................................................................................................................................................4
2 METODOS DIRETOS PARA A SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES.........................................................4
TRANFORMAÇÕES ELEMENTARES............................................................................................................5
2.1 ELIMINAÇÃO DE GAUSS...............................................................................................................................6
2.1.1 EXERCÍCIOS.............................................................................................................................................6
2.2 PIVOTAMENTO PARCIAL.......................................................................................................................13
2.2.1 Estratégias De Pivotamento................................................................................................................13
2.2.1.1 Pivotação parcial..............................................................................................................................13
2.3.1 Exercicios............................................................................................................................................15
2.3 PIVOTAMENTO TOTAL OU COMPLETO..............................................................................................17
2.4 FATORIZAÇÃO LU....................................................................................................................................20
2.4.1 EXERCICIOS.....................................................................................................................................23
2.5 FATORAÇÃO DE CHOLESKY ou DECOMPOSIÇAO DE CHOLESKY...............................................28
2.5.1 Exercicios............................................................................................................................................29
2.6 TECNICAS ITERATIVAS PARA SOLUCIONAR SISTEMAS LINEARES............................................33
2.6.1 Metodo Iterativo de Jacobi..................................................................................................................34
2.6.1.1Criterio de Convergencia para o Método de Jacobi....................................................................34
2..6.2 Método Iterativo de Gauss-Seidel......................................................................................................37
2.6.3 Exercicios............................................................................................................................................39
2.7 NOÇÕES DE MAL CONDICIONAMENTO.............................................................................................39
2.7.1 Norma Matricial..................................................................................................................................40
2.7.1.1 Exercicios...................................................................................................................................41
J) MATRIZ INVERSA PELA ADJUNTA.........................................................................................................44
L) USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO....................................................................................................45
2.8 APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA...............................................................................45
2.5.2 Aplicações da Ferramenta Matematica Scilab....................................................................................47
2.5.3 Aplicações da Ferramenta Matematica wxmaxima............................................................................47
REFERÊNCIAS......................................................................................................................................................50
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CAPITULO 2
2 METODOS DIRETOS PARA A SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
•
Para BARROSO (1987, p.17) através de um sistema linear S n de n equações e n
variáveis pode-se aplicar em calculo
de estruturas, redes elétricas e solução de
equações diferenciais, entre outras.
•
Um sistema linear Sn de n equações com n incógnitas:
a11 x 1a 12 x 2...a1n x n =b 1
a x a x ...a 2n x n =b 2
S n= 21 1 22 2
..............
an1 x 1an2 x 2...a nn x n=b n
•
Sob a forma matricial Sn
pode ser escrito como Ax=b, onde A é uma matriz
aumentada quadrada de ordem n, b e x são matrizes n por 1 , e aij é chamado de
coeficiente da variável xj e os bj são chamados de termos independentes.
•
A matriz A é chamada matriz dos coeficientes e a matriz aumentada ou matriz
completa do sistema.
[ ]
a11 a 12 ... a1n b 1
B= a21 a22 ... a 2n b 2
.........
a n1 a n2 ... a nn b n
Os números
= [A:b]1
x 1 , x 2 , . .. , x n constituem uma solução do sistema linear e as equações
transformam em igualdades numéricas.
A solução é escrito na forma de matriz coluna:
[]
x 1T
x
X= 2
...
xn
1Concatenção de matrizes
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•
Os sistemas lineares podem ser classificados quanto ao numero de soluções em
compatível, quando tem solução e incompatível não tem solução.
•
Os sistemas compatíveis podem ser determinados ( uma solução) ou indeterminados
( varias soluções).
TRANFORMAÇÕES ELEMENTARES
BARROSO (1987,p.17)
•
trocar a ordem de duas equações do sistema
•
multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula
•
adicionar duas equações do sistema
LEON (2011, p.13) Sistemas sobredeterminados•
há mais equações que variáveis, são geralmente inconsistentes.
LEON (2011, p.15) Sistemas Subdeterminados
•
menos equações do que variáveis.
•
Um sistema subdeterminado possa ser inconsistente , mas geralmente são consistentes
com um numero infinito de soluções.
Métodos diretos: estes métodos determinam a solução de um sistema linear com um numero
finito de operações. BARROSO(1987, p.17)
DALCIDIO( 1989,p.68), o método de Gauss é indicado para matrizes densas não simétricas
de ordem até 50.
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a) ELIMINAÇÃO DE GAUSS
2.1 ELIMINAÇÃO DE GAUSS
2.1.1 EXERCÍCIOS
1) BOLDRINI ( 1980, p.51), resolva os sistemas lineares:
a) x1+2x2-x3+3x4=1
b) x+y+z=4
c) x +y+z=4
d) x-2y+3z=0
2x+5y-2z=3
2x+5y-2z=3
2x+5y+6z=0
x+7y-7z=5
2) FRANCO (2009, p.162) aplicações práticas. Sejam x1,x2,x3,x4 o numero de quatro
produtos que podem ser produzidos no decorrer de uma semana. Para a produção de cada
unidade , precisa-se de tres tipos diferentes de matérias-primas A, B e C, conforme indicado
na tabela 1.0:
Tabela 1- Matéria Prima e Produtos
materia-prima
produtos
A
B
C
1
1
2
4
2
2
0
1
3
4
2
3
4
3
1
2
Para produzir uma unidade de (1) precisa-se de 1 unidade de A, 2 de B e 4 de C. Se existem
disponíveis 30,20 e 40 unidades de A, B, C, respectivamente , quantas unidades de cada
produto pode ser produzido? Resolva o sistema linear pela eliminação de Gauss.
[]
6
−x 4+ 8
2
X=
−x 4+ 8
2
x4
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3) BOLDRINI ( 1980, p.54)Faça o balanceamento das reações:
a)HF + SiO2 →SiF4+H2O ( dissolução do vidro em HF)
SOLUÇÃO :
xHF + ySiO2 →zSiF4+tH2O
equações do balanceamento da reação química
H: x =2t
F: x=4z
Si: y =z
O: 2y =t
4) LEON (2011, p.17) FLUXO DE TRÁFEGO. Em uma regiao central de certa cidade, dois
conjuntos de ruas mão única se interceptam conforme figura seguir . O volume de trafego
450
310
A
610
D
x1
640
x4
x2
520
B
x3
520
C
600
x3
480
390
* em cada intersecção, o numero de automóveis entrando deve ser o mesmo que o numero
saindo.
x1+450=x2+610 ( intersecção A)
x2+520=x3+480 ( intersecção B)
x3+390=x4+600 ( intersecção C)
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x4+640=x1+310 ( intersecção D)
•
em seguida resolver o sistema linear.
•
RESPOSTA: [k+330;k+170;k+210;k]T
5) LEON (2011, p.24) FLUXO DE TRÁFEGO.Em uma regiao central de certa cidade, dois
conjuntos de ruas mao única se interceptam conforme figura seguir . O volume de tráfego:
380
430
A
x4
x1
D
450
x2
420
400
540
B
x3
420
resposta: x1=280 x2=230 x3=350
C
470
x4=590
LEIS DE KIRCHHOF
LEON(2011, p.18)
1. em qualquer nó , a soma das correntes entrando é igual a soma das correntes saindo.
2. Ao longo de qualquer malha fechada, a soma algebrica de todos os ganhos de tensão deve
ser igual a soma algebrica de todas as quedas de tensão.
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6)LEON(2011, p.18)
As quedas de tensao E cada resistor são dadas pela lei de Ohm, E=iR onde i representa a
corrente em ampéres e R a resistencia em ohms.
Solução : primeira lei i1+i3=i2 ( nó A)
i2=i1+i3 ( nó B)
segunda lei
4i1 +2i2=8 malha superior
2i2 +(2+3)i3=9 malha inferior
resposta: i1=1 i2=2 i3=1
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7) LEON( 2011, p.25)
a) solução : (nó A) i1+i3=i2
( nó B) i2=i1+i3
2i1 +2i2=16
2i2 +3i3=0 resposta:[ 5;3;-2]
b) solução ( no A) i2=i1+i3
( no B) i2=i1+i3
2i1+ 4i2=20
4i2+2i3=20
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c) solução : (nó A) i1+i3==i2
( nó B) i1+i4=i2
( nó C) i3+i6=i5
( nó D) i5=i4+i6
malha superior 2i2+4i1=8
malha
2i2+4i5=0
malha inferior 4i5 +5i6=10
resposta: (2,0,-2,-2,0,2)
8) BARROSO(1987, p.37), determinar o vetor solução dos sistemas lineares através do
método de Eliminação de Gauss: 4 casas
2x13x2x3−x4=6,9
−x1 x2−4x3x4=−6,6
a)
solução exata do sistema
x1 x2x3x4=10,2
4x1−5x2x3−2x4=−12,3
[
[
[
−1 1 −4 1 −6,6
2
3
1 −1
6,9
1
1
1
1
10,2
4 −5 1 −2 −12,3
−1 1 −4
0
5 −7
0
2
−3
0 −1 −15
]
]
1 −6,6
1 −6,3
2
3,6
2 −38,7
−1 1 −4 1 −6,6
0 −1 −15 2 −38,7
0
2
−3 2
3,6
0
5 −7 1 −6,3
]
pivo:-1 operações: 2L1+L2 ; 1*L1+L3 ; 4L1+ L4
permutando L2 e L4
pivo: -1 operações: 2L2+L3 ; 5*L2+L4
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[
[
−1 1 −4 1
−6,6
0 −1 −15 2 −38,7
0
0 −33 6 −73,8
0
0 −82 11 −199,8
]
pivo : -33 -2,4848*L3+ L4
−1 1 −4
1
−6,6
0 −1 −15
2
−38,7
0
0 −33
6
−73,8
0
0
0
−3,9088 −16,4218
x4=4,2012 x3=3,0002
[ ]
6,8968
b̃ = −6,6
10,2006
−12,3
x2=2,0994
]
x1=0,8998
[ ]
0,0032
0
resíduo=
−0,0006
0
* todos os resíduos menores que 10-2
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b) PIVOTAMENTO PARCIAL
2.2 PIVOTAMENTO PARCIAL
2.2.1 Estratégias De Pivotamento
2.2.1.1 Pivotação parcial
CLAUDIO(1989, p.76-79) , é o mesmo que algoritmo de Gauss, com um troca
▪
de linhas sistemáticas, de modo a minimizar os erros de arredondamento.
A escolha dos pivôs é feita da seguinte maneira:
▪
1. é o elemento de maior valor absoluto na coluna 1
2. é o elemento de maior valor absoluto na coluna 2 da matriz-resto.
* outra variante técnica do pivotamento parcial é tornar os pivos unitários visando diminuir o
erro de arredondamento.
2.2.1.2 GILAT ( 2008, p. 124) Potenciais dificuldades encontradas com a aplicação do método
de eliminação de Gaus
a) o elemento pivo é igual a zero
•
se o valor do pivo for igual a zero pode ser corrigido com a mudança da ordem das
linhas ( outro pivo diferente de zero) chamado de pivotação.
b)o elemento pivo é pequeno em relação aos demais termos da linha pivo.
•
Ocorre erros de arredondamento significativos.
9) Seja o sistema linear SPF( 10,4,-10,10) :
0,0003x1 + 12,34x2=12,343
0,4321x1 +x2=5,321
soluçao exata:
solução:
[
[ ]
X=
10
1
0,0003 12,34 12,343
0,4321
1
5,321
]
* usando notação de ponto flutuante o numero 12,343= 0,12343*102= 0,1234*102=12,34
[
0,0003 12,34 12,34
0,4321
1
5,321
]
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usando a eliminação de Gauss.
m1=-0,4321/0,0003=-1440,3333=0,14403333*104 =-1440 ( SPF(10,4,-10,10)
[
•
-1440*12,34+1=-17768,6=-0,177686*105=0,1777*105=-17770
•
-1440*12,34+5,321=-17764,279=-0,1776*105=-17760
0,0003 12,34
12,34
0
−17770 −17760
]
x2=0,9994
operação realizada :m1*L1+L2
primeira linha
0,0003*x1+12,34*x2=12,34
0,0003*x1+12,34*0,9994=12,34
0,0003*x1+12,33=12,34
x1=33,33
Aplicando o pivotamento parcial
[
[
0,4321
1
5,321
0,0003 12,34 12,34
0,4321
1
5,321
0
12,34 12,34
]
]
m1=0,0003/0,4321=0,0006943=0,6943*10-3
x2=1 x1=10
10) FRANCO( 2009, p.146-147) Através do método de eliminação de Gauss, resolver o
sistema linear:
0,0001x1+ x2=1
x1+x2=2
usando em todas as operações com tres digitos significativos.
X=[0;1]
solução :
[
[
0,0001 1 1
1
1 2
]
0,0001
1
1
0
−9999 −9998
]
m1=-10000
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x2=1 e x1=0
11) Resolver pelo pivoteamento parcial
resposta: x=[1;1]
[
1
1 2
0,0001 1 1
]
m1=-0,0001
[
1 1 2
0 1 1
]
x1=1 x2=1
2.3.1 Exercicios
12) CLAUDIO (1987, p.89) Resolva o sistema linear com pivoteamento parcial usando 5
casas após a virgula:
2,4759 x1 +1,6235x2+4,6231x3=0,0647
1,4725 x1+ 0,9589x2-1,3253x3=1,0473
2,6951x1+2,8965x2-1,4794x3=-0,6789
[
2,6951
2,8965
−1,4794 −0,6789
0
−0,62363 −0,51702 1,41822
0
−1,03743 5,98218 0,68839
]
m1=-0,54636 m2=-0,91867
m1*L1+L2
m2*L1+L3
[
2,6951
2,8965
−1,4794 −0,6789
0
−1,03743 5,98218 0,68839
0
0
−4,11309 1,00441
]
m3=-0,60113
m3*L2+L3
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[
1,84056
X = −2,07169
−0,24420
] [
0,06469
b̃ = 1,04732
−0,67889
]
[
0,00001
b−b̃ =resíduo=r= −0,00002
−0,00001
para calcular b̃ faz-se a substituição do
]
X no sistema de equações.
13) BARROSO (1987, p.37) ,determinar o vetor solução dos sistemas lineares através do
método da Pivotação parcial. * 4 casas após a virgula
2x13x2x3−x4=6,9
−x1 x2−4x3x4=−6,6
a)
x1 x2x3x4=10,2
4x1−5x2x3−2x4=−12,3
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c) PIVOTAMENTO TOTAL OU COMPLETO
2.3 PIVOTAMENTO TOTAL OU COMPLETO
•
Em sistema linear escolhe o elemento de maior módulo e não pertencente à coluna dos
termos independentes.
•
Quando ocorre um pivo nulo deve-se efetuar uma troca de linhas para escolher um
pivo não nulo.
•
Outra maneira de se evitar o pivo nulo é usar o método da pivotação completa.
•
Esta pivotação minimiza a ampliação dos erros de arredondamento durante as
eliminação, sendo recomendado na resolução de sistemas lineares de maior porte.
BARROSO(1987, p.40).
14) BARROSO (1987, p.37) ,determinar o vetor solução dos sistemas lineares através do
método da Pivotação Completa : 4 casas após a virgula
2x1+3x2+ x3− x4=6,9
−x1+ x2−4x3+ x4=−6,6
a)
x1+ x2+ x3+ x4=10,2
4x1−5x2+ x3−2x4=−12,3
SOLUÇAO:
permutou a L1 com L4
4 −5 1 −2 −12,3
−1 1 −4 1 −6,6
1
1
1
1
10,2
2
3
1 −1
6,9
pivo: -5
0,2*L1+L2
0,2*L1+L3
0,6*L1+L4
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4
−5
1
−2 −12,3
−0,2 0 −3,8 0,6 −9,06
1,8
0
1,2
0,6
7,74
4,4
0
1,6 −2,2 −0,48
pivo: 4,4
permutou a L4 com L2
4
−5
1
−2 −12,3
4,4
0
1,6 −2,2 −0,48
1,8
0
1,2
0,6
7,74
−0,2 0 −3,8 0,6 −9,06
operações L2 ~ L3 ; L2~L4
-0,4091*L2+L3
0,0455*L2+L4
4 −5
1
−2
−12,3
4,4 0
1,6
−2,2 −0,48
0
0
0,5454
1,5
7,9364
0
0 −3,7272 0,5 −9,0818
pivo: -3,7272
0,1463*L3+L4
permutar L4 ~L3
1,5731 x4=6,6077
[ ]
0,9002
2,1
VETOR SOLUÇAO: X =
3
4,2004
[ ]
6,9
b̃ = −6,5998
10,2005
−12,3
[ ]
0
resíduo= −0,0002
−0,0005
0
* todos os resíduos menores que 10-3
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4x13x22x3 x4=10
x12x23x34x4=5
b)
x1−x2−x3−x4=−1
x1x2x3 x4=3
4 3
2
1
10
0 1,25 2,5 3,75 2,5
0 -1,75 -1,5 -1,25 -3,5
0 0,25 0,5 0,75 0,5
Pivo: 4
4 3
2
1
0 1,25
2,5
3,75 2,5
0 -1,3333 -0,6667 0
10
-2,6667
0 0
0
0
0
Pivo:3,75 Pivo: -0,6667
primeira equação :
4*x1+3*x2+2*x3+1*x4=10
isolando a variável do pivo
10−x 4−2∗x 3−3∗x 2
4
x 1=
segunda equação
1,25*x2+2,5*x3+3,75*x4=2,5
isolando a variável do pivo
x 4=
2,5−1,25∗x 2−2,5∗x 3
3,75
terceira equação
-1,3333*x2-0,6667*x3=-2,6667
isolando a variável do pivo
x 2=
−2,6667+0,6667∗x 3
−1,3333
quarta equação
0x3=0 (variável livre- aparece em todas as equações)
x 3=λ
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15) BARROSO( 1987, p.41) Resolver o sistema linear , usando 5 casas após a vírgula:
0,8754 x 1+ 3,0081 x 2 +0,9358 x3 +1,1083 x 4=0,8472
2,4579 x 1−0,8758 x 2+1,1516 x 3−4,5148 x 4=1,1221
resposta: X=[1;-1;2;1]T
5,2350 x 1−0,8473 x 2−2,3582 x3 +1,1419 x 4=2,5078
2,1015 x 1 +8,1083 x 2−1,3232 x 3 +2,1548 x 4=−6,4984
i) pivotamento total ii) pivotamento parcial
iii) eliminação de Gauss
d) FATORIZAÇÃO LU
2.4 FATORIZAÇÃO LU
•
Para KOLMAN (1999, p.443), uma matriz é decomposta como um produto de uma
matriz triangular inferior com uma matriz triangular superior.
•
Esta decomposição leva o algoritmo para resolver um sistema linear Ax=b.
•
A popularidade deste método faz com que forneça uma maneira mais “ barata” de
resolver um sistema linear quando se faz uma mudança no vetor b de Ax=b.
•
A decomposição para resolver o sistema linear , onde U e´ a matriz triangular superior
e L e´ uma matriz triangular inferior.
•
A matriz U e´ resolvida sem colocar a matriz aumentada [ U: b], e possuem todos os
elementos diagonais diferentes de zero.
•
A solução é obtida de baixo para cima. Para a construção da matriz L, coloca-se na
diagonal principal iguais a 1.
•
Colocar na primeira coluna L1 , respectiva os multiplicadores com sinal trocado e
assim por diante.
•
Suponha que uma matriz A n x n pode ser escrita com um produto de uma matriz
triangular inferior L com uma matriz triangular superior U, ou seja : A=LU.
•
Entåo diz-se que A tem uma fatorização LU ou decomposição LU.
•
Substituindo A=LU, no sistema Ax=b, escreve-se (LU)x=b. Fazendo Ux=z , então essa
equação matricial fica escrita Lz=b.
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Segundo BURDEN (2003, p.339-341), esta fatoração e´ chamada de método de Doolitle e
requer que valores iguais a 1 estejam na diagonal de L.
Então as matrizes L e U podem ser escritas:
Para LAY (1999, p.125) , existem matrizes unidades triangulares inferiores E1...Ep tais
que:
 E p ... E 1∗A=U
A=( E p ... E 3 . E 2 . E 1)−1∗U ou
−1
−1
−1
L=E−1
1 ∗E 2 ∗E 3 ... E P
A=L*U
O método de Crout requer valores iguais a 1 estejam na diagonal de U
Seja Ax=b
fonte:http://www.monografias.com/trabajos92/factorizacion-matrices/image023.png
•
A=Lc*Uc
•
A matriz Lc (matriz triangular inferior) possui diagonal principal diferente de zero e
diferente de 1 e é obtida da seguinte maneira:
•
Lc=L*D ( as matrizes L e D são obtidas da fatoração LU, onde D é matriz diagonal
da matriz U) , esta matriz Lc é triangular inferior.
•
Para obter a matriz triangular superior UC do método de Crout , divide cada linha
matriz U ( fatoração LU ) pelos elementos da diagonal principal.
•
Então pode- se escrever :A=Lc*Uc
•
ou a matriz pode ser fatorada na forma de:
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•
A=L*D*Uc= Lc*UC
•
L= matriz triangular inferior com diagonal igual a 1 da fatoração LU
•
D= matriz diagonal de U
•
UC= matriz triangular superior com diagonal principal igual a 1.
O esforço computacional
•
•
CUNHA(2009, p.34) , em um sistema triangular requer n2 operações.
2n 3
2n 3 3n 2 7n
Para eliminação de Gauss requer
e para n grande
+
−
3
3
2
6
Na fatoração LU tem dois sistemas triangulares portanto requer 2n2 operações.
ALGORITMO DA FATORIZAÇÃO LU DOOLITLE
Os elementos da matriz L são os aij e os de U são os uij .
u1k  a1k
u jk  a jk 
 j1 
 jk 
k  1,  , n
j 1
  ji u ik
k  j,  , n ; j  2
i 1
a j1
j  2,  , n
u11
1 
 a jk 
u kk 
k 1

  ji u ik 
i 1

j  k  1,  , n ; k  2
fonte: http://MetodosNumericoseEstatisticos/MNEaula04.ppt
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2.4.1 EXERCICIOS
x 1 x 23x 4=4
2x 1x 2− x 3x 4=1
3x 1−x 2 −x 32x 4 =−3
−x 12x 23x 3−x 4=4
16)BURDEN( 2003, p.340), seja o sistema linear
[
1 1
0
3
0 −1 −1 −5
U=
0 0
3
13
0 0
0 −13
] [
1
0
2
1
L=
3
4
−1 −3
0
0
1
0
0
0
0
1
]
RESPOSTA: [ -1;2;0;1]T
17) BURDEN (2003, p.345) Resolver o seguinte sistema linear pelas seguintes fatorações:
2x 1−x 2 + x 3=−1
3x 1+ 3x 2+ 9x 3=0
3x 1+ 3x 2+ 5x 3=0
i) Doolitle
solução 1:
passo1: eliminação de Gauss
[
2 −1 1
A= 3 3 9
3 3 5
] [
2 −1 1
U = 0 4,5 7,5
0 4,5 3,5
] [
2 −1 1
U = 0 4,5 7,5
0 0 −4
] [
1 0 0
L= 1,5 1 0
1,5 1 1
]
operações
m1=-3/2=-1,5 m1*L1+L2
m2=-3/2=-1,5
m2*L1+L3
m3=-4,5/4,5=-1 m3*L2+L3
passo 2: Ux=z e Lz=b
resposta: Z=[-1;1,5;0]
X=[-1/3;1/3;0]
solução 2:
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[
1
0 0
L= L 21 1 0
L 31 L32 1
] [
u11 u12 u13
U = 0 u 22 u 23
0
0 u33
] [ ]
2 −1 1
A= 3 3 9
3 3 5
ii) Crout
A=LDLc
a matriz Lc é obtida atraves da matriz
[
2 −1 1
U = 0 4,5 7,5
0 0 −4
[ ]
2
2
elemento de cada diagonal, U c = 0
−1
2
4,5
4,5
0
[
][
0
][
1
2
7,5
4,5
−4
−4
1 0 0 2 0
0 1 −0,5 0,5
AC = 1,5 1 0 0 4,5 0 0
1
5 /3
1,5 1 1 0 0 −4 0
0
1
[
][
[
]
, dividindo cada linha pelo
1 −0,5 0,5
U c= 0
1
5/3
0
0
1
]
]
]
]
1 0 0 2 0
0
L=
L*D=
1,5 1 0 0 4,5 0
1,5 1 1 0 0 −4
[
][
2 0
0 1 −0,5 0,5
= A= 3 4,5 0 0
1
5 /3
3 4.5 −4 0
0
1
A=(L*D) *Uc
iii) solução pela fatoração LU
Lz=b e Ux=z
resposta: Z=[-0,5;1/3;0] X=[-1/3;1/3;0]
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18) KOLMANN (1999, p.448) , resolver os sistemas lineares Ax=b pelas seguinte fatorações:
i) Doolitle ii) Crout
a) A=[ 2 3 4;4 5 10;4 8 2] b=[6;16;2]
solução
i) fatoração LU - doolitle
[
] [
]
] [
]
2 3
4
U = 0 −1 2
0 0 −2
1 0 0
L= 2 1 0
2 −2 1
ii) crout
[
1 0 0
L= 2 1 0
2 −2 1
2 0
0
D= 0 −1 0
0 0 −2
[
2 0
0
Lc = L∗D= 4 −1 0
4 2 −2
•
]
Na matriz Uc é obtida atraves da matriz U e para obter a diagonal principal 1 é preciso
dividir cada linha pelo elemento da diagonal principal.
[ ]
2
2
U c= 0
0
3
2
−1
−1
0
4
2
2
−1
−2
−2
[ ]
1
U c=
0
0
3
2
2
1 −2
0 1
, então matriz A pode ser fatorada da seguinte
maneira:
[
2 0
0
Lc = L∗D= 4 −1 0
4 2 −2
]
[ ]
1
U c=
0
0
3
2
2
1 −2
0 1
, A=Lc*Uc
ou pode ser decomposta na
forma : A=L*D* Uc
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[
1 0 0
L= 2 1 0
2 −2 1
] [
2 0
0
D= 0 −1 0
0 0 −2
]
[ ]
1
U c=
0
0
3
2
2
1 −2
0 1
iii) solução do sistema linear pela fatoração LU.
Lz=b
•
[
] []
[]
6
b= 16
2
1 0 0
L= 2 1 0
2 −2 1
resposta :
6
z= 4
−2
Ux=z
[
2 3
4
U = 0 −1 2
0 0 −2
] []
6
z= 4
−2
[]
4
x= −2
1
iv) solução do sistema pelo método de Crout
Lc*z=b
•
[
] []
[]
2 0
0
Lc = 4 −1 0
4 2 −2
6
b= 16
2
3
Z=
resposta:
−4
1
•
Uc=Z
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[ ]
1
U c=
0
0
3
2
2
1 −2
0 1
[]
3
Z= −4
1
[]
4
resposta: X = −2
1
b) A=[ 2 8 0;2 2 -3;1 2 7] b=[18;3;12]
c)A=[ -3 1 -2;-12 10 -6; 15 13 12] b=[15;82;-5]
[
... ... 3 ...
4 −1 10 8
19)FRANCO (2009, p.128) Aplicando-se a fatoração LU A=
... −3 12 11
0 −2 −5 10
as
matrizes
[
... ... ... ...
2 ... ... ...
L=
3 0 ... ...
.. ... 1 ...
] [
... −1 ... 5
0 1 ... −2
U=
... 0 3 −4
0 ... 0 10
]
.
Preencher
]
os
obteve-se
espaços
pontilhados, usando o método de Doolitle.
Respostas: A=[ a11=2 a12=-1 a13=5 a31=6 ] L= diagonal principal igual a 1 , L31=0
L32=-2 ]
U= [ u11=2 u12 =-1 u13=3 u23=4 ]
KOLMAN(1998, p.244) diagonalização de matrizes: B=P−1∗A∗P
A= matriz primitiva
P=autovetores
B=resulta na diagonal os autovalores
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e) FATORAÇÃO DE CHOLESKY ou DECOMPOSIÇAO DE CHOLESKY
2.5 FATORAÇÃO DE CHOLESKY ou DECOMPOSIÇAO DE CHOLESKY
•
Em BURDEN (2003, p.349), o método de Cholesky, que requer que lii =uii para cada i.
•
A matriz definida positiva é chamada definida positiva simétrica.
•
Em PERESSINI (1988), a fatoração LLT resolve um sistema linear Ax=b onde U= LT
é uma matriz triangular superior com os elementos da diagonal positivos.
•
Condição para uma matriz ser definida positiva de tamanho n xn:
•
a) aii>0 para cada i=1,2,...,n
•
b) xTAx>0 para todo vetor n-dimensional.
•
c)determinante matrizes condutoras ou submatrizes são positivas.
•
d) na eliminação de Gauss sem intercambio de linhas todos os pivôs positivos.
•
Matriz nxn A e chamada de estritamente em diagonal quando
•
•
é valido para cada i=1,2,...,n
BURDEN (2003, p.346).
KOLMANN(1998, p.399) uma matriz simétrica A é positica definida se e somente se
todos os autovalores são posítivos.
•
A matriz L na fatorizaçao de Cholesky da matriz definida positiva pode ser calculada
pela seguinte matriz equação A=LLT.
[ ][ ]
l 11 ....
l 21 l 22 ....
....
l n1 l n2 ... l nn
l 11 l 21 ... l n1
... l 22 ... l n2
........
l nn
=A=L*LT
Para resolver o sistema Ax=b faz-se:
Lz=b e Lty=z
ou pode ser fatorada a matriz simétrica definida positiva conforme RUGGIERO ( 1996,p.147)
•
A=GGT
•
A=LU
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•
A=LDLT
•
U=DLT
D= √ D diagonal da matriz U
A=(L∗D)∗( D∗LT ) sendo G=L∗D A=GGT
2.5.1 Exercicios
20)BURDEN (2003, p.352-357)
(
)
4
−1
1
a) Fatores a matriz A= −1 4,25 2,75 pelos seguintes métodos :
1 2,75 3,5
i) doolitle
ii) crout
iii) cholesky
solução 1: doolitle
(
1
0
0
L= −0,25
1
0
0,25 0,75 1
) (
4 −1 1
U= 0 4 3
0 0 1
)
a diagonal principal :4.4,1 são autovalores da matriz U
solução 2: crout
Lc=L*D Uc= dividir cada linha pelo elemento da diagonal principal
(
)(
)(
1
0
0 4 0 0 4 /4 −1/4 1/4
−0,25
1
0 0 4 0 0
4/ 4 3/4
0,25 0,75 1 0 0 1 0
0
1/1
[
4 0 0
Lcrout = −1 4 0
1 3 1
*
]
[
1 −1 /4 1/4
U crout = 0
1
3/4
0
0
1
)
]
Lcrout =U doolitle * matriz simétrica
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solução 3: cholesky
A matriz LDLT:
(
)(
)(
1
0
0 4 0 0 1 −0,25 0,25
−0,25
1
0 0 4 0 0
1
0,75
0,25 0,75 1 0 0 1 0
0
1
)
* calcular a raiz quadrada da diagonal principal da matriz U ( doolitle)
1
0
0
−0,25
1
0
0,25 0,75 1
(
(
1
0
0
−0,25
1
0
0,25 0,75 1
(
)(
)(
)
√4
0
0
√4
0
0
)(
)
0
√4
0
0 1 −0,25 0,25
1
0,75
0 0
0
1
√1 0
0
√4
0
0
0
√1
)
2
0 0
G= −0,5 1 0
0,5 1,5 1
conclusão:
(
) (
) (
2
0 0
2 −0,5 0,5
4
−1
1
t
G= −0,5 2 0 G = 0
2
1,5 A= −1 4,25 2,75
0,5 1,5 1
0
0
1
1 2,75 3,5
)
produto :G*Gt =A
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b) Mostrar que a matriz simétrica é definida positiva.
(
)
2 −1 0
A= −1 2 −1
0 −1 2
Dica: calcular os determinantes das submatrizes
c) Considere as matrizes

 

7 2 0 e
6
4 −3 , mostre que é possível ou
A= 3 5 −1 B= 4 −2 0
0 5 −6
−3 0
1
não fatorar pela decomposição de Cholesky.
21) Resolva os sistemas lineares pela fatorações
i) doolitle
ii) crout
iii) cholesky
a) 2x1 –x2 =3
-x1 +2x2 –x3=-3
-x2 +2x3=1
b)
4x1 +x2 +x3+x4=0,65
x1 +3x2 –x3 +x4=0,05
x1- x2 +2x3 =0
x1+x2 + 2x4 =0,5
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22) FRANCO (2009,p.145) Aplicando-se o processo de Cholesky a matriz A, obteve-se :
[
... 2 ... ...
... 8 10 −8
A=
3 10 14 −5
... −8 ... 29
]
=L*Lt onde
[
1 ... ... ...
L= 2 ... ... ...
... 2 1 ...
0 −4 ... 2
]
Preencher os espaços
pontilhados com valores adequados.
23) FRANCO (2009,p.159) Relacione os sistemas lineares :
I)
II)
[]
3x 2+ 2x3 =5
x 1+ 4x 2+ x 3=6
2x 2+ 5x3=7
1
resposta: X = 1
1
[ ]
[] []
−2x1 + 2x 2=−1
1,357
X
=
x 1+ 3x 2− x 3=3 resposta:
0,8572
0,9286
−x 2+ 2x 3=1
x 1+ 2x 2+ x 3=4
4
1
Z=
X
=
2x
+
6x
=8
III)
resposta:
0
1
1
2
1
1
x 1+ 4x 3=5
e resolva pela eliminação de Gauss ou decomposição de Cholesky.
24) Dada a matriz
[
2
1 −1
A= 1 10 2
−1 2
4
]
calcular A-1 utilizando o processo de Cholesky.
25) BURDEN( 2003,p.358) Encontre α de modo que
[
α 1 −1
A= 1 2 1
−1 1 4
]
seja definida
positiva.
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f) MÉTODOS ITERATIVOS
2.6 TECNICAS ITERATIVAS PARA SOLUCIONAR SISTEMAS LINEARES
•
Para BURDEN (2003, p.381), os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel
surgiram no final do século XVIII.
•
Estas técnicas são raramente utilizadas para solucionar sistemas lineares de pequenas
dimensões.
•
Em sistemas grandes, com uma grande porcentagem de entradas zero, essas técnicas
são eficientes em termos tanto de calculo como de armazenamento.
•
São sistemas que surgem na analise de circuitos e na solução numérica de problemas
de valor limite e equações diferenciais parciais.
•
Esta técnica iterativa para resolver sistemas linear nxn Ax=b começa com um
aproximação inicial x(o) para a solução x e gera uma seqüência de vetores x K para k
=0 até ꝏ(infinito) , que converge para x.
•
O sistema Ax=b e convertido em um sistema equivalente na forma x=Tx+c para
alguma matriz T e algum vetor c fixos.
•
Quando o vetor inicial xo ter sido selecionado, a seqüência de vetores para aproximar
a solução ‘e gerada calculando-se:
k
x =Tx
k−1
c para cada k=1,2,3...
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g) MÉTODO DE JACOBI
2.6.1 Metodo Iterativo de Jacobi
BURDEN(2003, p.383)
A equação Ax=b ou (D-L-U)x=b , é transformada em Dx=(L+U)x+b, isolando x,
•
tem-se :
−1
−1
x=D  LU  xD b para D matriz não singular.
Resulta na forma matricial da técnica iterativa de Jacobi:
•
x
k+1
−1
(k)
−1
=D ( L+U ) x + D b para k=0,1,2,...
Introduzindo a notação
T j=D−1  LU e c j=D−1 b , então a técnica iterativa de Jacobi
passa a ter a forma x k+1=Tx k +c
Critério de interrupção de Passo:
∥x k −x k −1∥
tol
∥ x k∥
( tol=tolerância)
Para BARROSO (1987, p.52), continua-se a gerar aproximações até que um dos critérios seja
satisfeito:
max ∣x
k1
− x ∣tol
k
ou k>M , M=numero maximo de iterações.
Nota: a tolerância  (Epsílon) fixa o grau de precisão das soluções.
2.6.1.1Criterio de Convergencia para o Método de Jacobi
a) BARRROSO (1989,p.67) Criterio das Linhas: é condição suficiente para que a iteração
convirja, que:
n
∣a ii∣>
∑
j=1 e j≠i
∣aij∣ para i=1,2,..n
b) Criterio das colunas:é condição suficiente para que a iteração convirja, que:
n
∣a jj∣>
∑
i=1 ei≠ j
∣aij∣
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Na pratica são usados criterios de suficiencia de convergência tanto para o metodo de Jacobi
e Gauss-Seidel.
Este Criterio de convergência para o metodo de Jacobi converge testanto se a matriz dos
coeficientes é estritamente diagonalmente dominante.FRANCO (2009, p.173)
26)O Sistema linear Ax=b dado por
10x1 –x2 +2x3=6
-x1 +11x2 –x3+3x4=25
2x1-x2+10x3-x4=-11
3x2-x3+8x4=15
resolva pelo método de Jacobi.
[]
0
o 0
X
0
0
, e o critério de parada
ϵ<10−3
solução:

isolar cada variável x1,x2,x3,x4 e encontrar as equações e compor a matriz T com
a diagonal igual a zero.

k
x =Tx
k−1
c

Construir uma tabela para x1,x2,x3 e x4

Usar o vetor inicial nulo.
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k
x1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x2
0
0,6000
1,0473
0,9326
1,0152
0,9890
1,0032
0,9981
1,0006
0,9997
1,0001
x3
0
2,2727
1,7159
2,0533
1,9537
2,0114
1,9922
2,0023
1,9987
2,0004
1,9998
x4
0
-1,1000
-0,8052
-1,0493
-0,9681
-1,0103
-0,9945
-1,0020
-0,9990
-1,0004
-0,9998
criterio de parada
0
1,8750
0,8852
1,1309
0,9738
1,0214
0,9944
1,0036
0,9989
1,0006
0,9998
FALSO
FALSO
FALSO
FALSO
FALSO
FALSO
FALSO
FALSO
FALSO
VERDADEIRO
Sintaxe: E(ABS(C5-C4)<10^-3;ABS(D5-D4)<10^-3;ABS(E5-E4)<10^-3;ABS(F5-F4)<10^-3)
2.6.1.2 Exercicios
27) Obtenha as 4 primeiras iterações do método de Jacobi para os seguintes sistemas lineares,
usando xo=0.
a)3x1-x2+x3=1
3x1+6x2+2x3=0
3x1+3x2+7x3=4
28) Resolva o seguinte sistema linear :
a)
[
][
][ ] [ ]
1 0 0 2 3 −1 x1
2
2 1 0 0 −2 1 x2 = −1
−1 0 1 0 0
3 x3
1
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h) MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
2..6.2 Método Iterativo de Gauss-Seidel
•
A forma matricial do método de Gauss-Seidel é:
(D-L)xk=Uxk-1+b
Isolando xk tem-se:
xk= (D-L)-1Uxk-1+(D-L)-1b
•
Em LAY (1999),uma matriz A, nxn é chamada de estritamente dominante se o modulo
de cada elemento da diagonal principal é maior que a soma dos módulos dos outros
elementos da sua linha.
•
A velocidade de convergência depende do quanto os elementos da diagonal principal
dominam as somas de linhas correspondentes.
2.6.2.1 Criterio de Convergência para o Método de Gauss-Seidel.
FRANCO ( 2009,p.177-178) , o metodo de Gauss-Seidel converge se :
a) criterio de Sassenfeld for satisfeito :
max i 1 onde os Βi=α s são calculados por recorrencia através de :
1in
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fonte:http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/metnum/condicao_para_convergencia.htm
n - ordem do sistema linear que se deseja resolver
aij - coeficientes das equações do sistema
Este critério garante que o método de Gauss-Seidel convergirá para um dado SEL se a
quantidade M, definida por:
M = max β i
1≤i≤n
for menor que 1 (M<1
M<1).
29) O sistema linear dado
10x1 –x2 +2x3=6
-x1 +11x2 –x3+3x4=25
2x1-x2+10x3-x4=-11
3x2-x3+8x4=15
resolva pelo metodo de Gauss-Seidel.
Solução:
k
x1
0
1
2
3
4
5
x2
0
0,6000
1,0302
1,0066
1,0009
1,0001
x3
0
2,3273
2,0369
2,0036
2,0003
2,0001
x4
0
-0,9873
-1,0145
-1,0025
-1,0003
-1,0002
criterio de parada
0
0,8789
0,9843
0,9984
0,9998
0,9998
FALSO
FALSO
FALSO
FALSO
VERDADEIRO
30)Mostre que o método de Gauss-Seidel gera uma seqüência que converge para a solução do
seguinte sistema, desde que as equações estejam devidamente arrumadas:
x1-3x2+x3=-2
-6x1+4x2+11x3=1
5x1-2x2-2x3=9
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2.6.3 Exercicios
31) FRANCO (2008, p.194) Considere cada um dos seguintes sistemas lineares :
I)
x12x25x3=20
3x1−3x27x3=18
x16x2− x3=10 II) x13x2x3=10
10x1−2x27x3=27
4x1x22x3=12
a) sem rearranjar as equações, tente achar as soluções iterativamente, usando os métodos de
Jacobi e Gauss-Seidel, começando com
x o =1,001 , 2,01,3 ,01t .
b) rearranje as equações de tal modo que satisfaçam os critérios de convergência e repita o
que foi feito no item (a).
c)verifique suas soluções nas equações originais.
i) NOÇÕES DE MAL CONDICIONAMENTO
2.7 NOÇÕES DE MAL CONDICIONAMENTO
•
BARROSO ( 1987, p.74), para avaliar a precisão da solução
resíduo r =b− A∗̂x , onde
•
Se
x̂
x
do sistema Ax=b, o
é a solução computada.
x for uma boa aproximação para x , é esperado que as componentes de r seja
valores pequenos.
•
Valores pequenos para as componentes do resíduo podem não indicar que
x seja
uma boa aproximação para x.
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32) a) Seja o sistema linear
x1+ 1,001x2=2,001
0,999x1+ x2=1,999
•
a solução exata do sistema [ 1;1] r=[0;0]
•
para
x =[2; 0,001] o resíduo r=[-0,00001; 0]
b)x1+ 1,001x2=2
0,999x1+ x2=1,999
solução: [-999;1000] resíduo=[0;0]
*o sistema é mal condicionado
c) Seja o sistema linear:
0,992x + 0,873y=0,119
0,481x+0,421y=0,060 solução :[1,-1]T
d) 0,992 x +0,873y=0,12 ( valor perturbado)
0,481x+0,421y=0,060
solução:[0,8154 ; -0,7891]
e) Uma matriz mal condicionada é a matriz de Hilbert.
Aij =
1
i j−1
Um modo de se detetar o mal condicionamento é através do determinante normalizado da
matriz dos coeficientes do sistema dado; se o determinante normalizado for sensivelmente
menor que a unidade, o sistema será mal condicionado.
Se A é uma matriz de ordem n , seu determinante normalizado, denotado por det(Norm A) é
dado por :
det  norm A=
det  A
1 2 ... n
onde
=  i ,1 i ,2 i ,n
2
2
2
2.7.1 Norma Matricial
Segundo FRANCO (2008, p.16-17) , seja A uma matriz (nxn) . Define-se:
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n
∥A∥∞ = máx ∑ ∣aij∣ ( norma linha)
1in j=1
2.7.1.1 Exercicios
33) Considere as matrizes
∥A∥∞
∥B∥∞
[ ]
2 1
A=
3 2
[ ]
3 2 1
B= 2 2 1
3 3 2
,
[
2 1
3 −1
4 3
8
2
C=
6 7 10 1
3 −1 0
1
]
, calcule
∥C∥∞ .
34)BURDEN (2003, p.372),seja a a matriz A=[1 2 1;0 3 -1;5 -1 1] calcule a ∥A∥∞ .
35)Seja o sistema linear x1+2x2+3x3=1
2x1+3x2 +4x3=-1
3x1+4x2+6x3=2
sendo dado
T
T
X =[0 ;−7 ; 5] solução geral e X =[−0,33 ;−7,9 ; 5,8] solução aproximada
 ∞ e∥A X −b∥∞ Respostas: 0,9 e 0,27.
calcule : ∥X − X∥
•
Para CLAUDIO (1989, p.79-84), seja um sistema sistema linear Ax=y e os vetores
soluções x1 e x2 duas aproximações exata para x.
•
Qual das aproximações é melhor?
•
Uma forma trivial seria calcular os resíduos dados por r1=y-Ax1 e r2=y-Ax2.
36)Seja o sistema linear:
0,24x+0,36y+,12z=0,84
0,12x+0,16y+0,24z=0,52
0,15x+0,21y+0,25z=0,64
e sejam x1=[25,-14,-1]T e x2=[-3,4,0]T
Os resíduos são :
[ 0 0 0,08] e [0,12 0,24 0,25]
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A solução exata : [-3,4,1]T , embora modulo r1 < modulo de r2, a solução de x2 é melhor que
x1.
Conclusão:

Nem sempre a aproximação de menor resíduo é a melhor ou mais exata.

Um problema é dito mal condicionado se pequenas alterações nos dados de entrada
ocasionam grandes erros no resultado final.

Quando o sistema linear é 2x2 é fácil de verificar ( construção das retas) , mas quando
aumenta o tamanho do sistema é preciso um meio de medir este condicionamento.

Seja o sistema linear Ax=b e o sistema linear com alguma perturbação Ax=b’ . Então a
solução Ax=b’ é x’ .

Qual é a modificação em x , sabendo que b foi alterado para b’ .
Ax=b
A(x-x’)=b-b’
(x-x’)=A-1(b-b’)
Aplicando a norma de vetores, indicada por uma barra e a norma de matrizes indicada por
duas barras ∥.∥∞ .
Aplicando uma propriedade de norma de matrizes:
∣x −x '∣≤∥A−1∥∣b−b '∣ (1)
Divindo por |x|:
∣x −x '∣ ∥A−1∥
≤
∣b−b '∣
∣x∣
∣x∣
Pode-se escrever :
∥x∥≤∥A−1∥∥b∥
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1 ∥A∥
≤
(2)
∥x∥ ∣b∣
Multiplicando as equações (1) e (2) ambos os membros.
∣x −x '∣
∣b−b '∣
≤∥A−1∥∥A∥
∣x∣
∣b∣
valor relativo provocado pela alteração fator
dos sistema linear de b para b’
de valor relativo de perturbação
ampliação
feita no sistema Ax=b
A definição de condicionamento é dado por:
cond (A)= ||A||* ||A-1||
FRANCO (2008, p.153) o cond (A) será considerado grande quando valer por volta de 10000
ou mais. Então o sistema será mal condicionado.
37)Sejam os sistemas lineares
a) x1+ 1,001x2=2,001
0,999x1+ x2=1,999
b)0,992x + 0,873y=0,119
0,481x+0,421y=0,060
calcule cond (A)= ||A||* ||A-1|| e verifique se os sistemas são mal ou bem condicionado.
38) ARENALES (2008, p.49) Considere o sistema linear :
[
][ ] [
][ ] [
] [
]
x1
x1
1
1
2
1
1
2
=
=
b)
1 1.00001 x 2
2.00001
1 1.00001 x 2 1.9999
resolva-os e calcule o condicionamento das matrizes e escreva se é mal ou bem condicionado.
a)
39) BURDEN ( 2003, p.402) O seguintes sistemas lineares Ax=b tem x como solução real e
∥b− A x̃ ∥
x̃ como soluçaõ aproximada. Calcule ∥x − x̃ ∥∞ ; K ( A)∞ ;
∥A∥∞
3,9 1,6 x 1 = 5,5
1
0,98
X=
X̃ =
a)
6,8 2,9 x 2
9,7
1
1,1
[
][ ] [ ]
[]
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[ ]
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b) x1 +2x2 =3
1,0001 x1 +2x2=3,0001
[]
X=
1
1
[ ]
0,96
X̃ =
1,02
J) MATRIZ INVERSA PELA ADJUNTA
. Cálculo da matriz C dos cofatores de A. Seja A, a matriz
, então a matriz C dos cofatores
de A é
Cofator Ai,j do elemento a11 (1):
Cofator Ai,j do elemento a12 (3):
Cofator Ai,j do elemento a21 (2):
Cofator Ai,j do elemento a22 (0):
De posse dos valores dos cofatores escrevemos a matriz C dos
cofatores:
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3. Cálculo da matriz Adjunta de A.A matriz adjunta A é a transposta da matriz C dos cofatores, isto
é:
A = Ct
Portanto temos:
4. Cálculo da inversa A-1, pelo teorema
encontrados anteriormente no teorema temos:
Multiplicando
pelos elementos da matriz A, obtemos enfim a inversa de A.
fonte:http://www.infoescola.com/matematica/matriz-inversa-inversao-por-matriz-adjunta/
L) USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO
2.8 APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA
•
SOLUÇAO NO WXMAXIMA PELO COMANDO TRIANGULARIZE
•
INFORMA A MATRIZ MATRIZ AMPLIhADA DO SISTEMA.
(%i4) Matrix([2,3,1,-1,6.9],[-1,1,-4,1,6.6],[1,1,1,1,10.2],[4,-5,1,-2,-12.3])
•
LINHA DE COMANDO: triangularize(%i4);
(%o9)matrix([20,30,10,-10,69],[0,-2200,-200,0,-5220],[0,0,-6000,-16500,-87300
[0,0,0,-
322500,-1750500])
*a matriz fica tela em forma de matriz escalonada ou triangularizada.
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* para resolver este sistema linear utilizando o comando TRIANGULARIZE , neste caso
precisa-se de uma calculadora.
EXERCICIO NUMERO 10
SOLUÇÃO 1:WXMÁXIMA
(%i2) algsys([x=2*t, x=4*z, y=z, 2*y=t], [x,y,z,t]);
(%o2) [[x=%r1,y=%r1/4, z=%r1/4,t=%r1/2]]
%r( variável livre que pode ser atribuida como w
t=w/2 z=w/4
y=w/4 x=w
SOLUÇÃO 2 : SCILAB
A=[1 0 0 -2;1 0 -4 0;0 1 -1 0; 0 2 0 -1]
b=[0;0;0;0]
X8=linsolve(A,-b)
* encontra apenas solução nula
disp('comando RREF ')
disp('matriz ampliada do sistema')
Ab8=[A8,b8]
disp('forma escada ')
X81=rref(Ab8)
[
1
0
0
0
0
1
0
0
0 −2 0
0 −0,5 0
1 −0,5 0
0
0
0
]
* a partir desta matriz na forma escada tem que resolver a mão este sistema linear.
SOLUÇÃO 1 : SCILAB COMANDO : linsolve
A=[ 2 -1 3;4 -3 2;1 1 1; 3 1 1]
b=[11;0;6;4]
X=linsolve(A,-b)
SOLUÇÃO 2 : SCILAB COMANDO : RREF
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disp('comando RREF ')
disp('matriz ampliada do sistema')
Ab=[A,b]
disp('forma escada ')
X2=rref(Ab)
SOLUÇÃO 3 : WXMÁXIMA
COMANDOS: EQUAÇÕES/SISTEMAS LINEARES /NUMERO DE EQUAÇÕES/ DIGITAR
AS VARIÁVEIS
(%i1) linsolve([2*x-y+3*z=11, 4*x-3*y+2*z=0, x+y+z=6, 3*x+y+z=4], [x,y,z]);Dependent
equations eliminated: (4)(%o1) [x=-1,y=2,z=5]
* aqui é possível ver quando o sistema é possível e indeterminado, uma solução e impossível.
APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA WXMAXIMA
•
(%i10) matrix([3,2], [1,6]);
•
(%o10) matrix([3,2],[1,6])
•
(%i11) lu_factor (%o10);
•
(%o11) [matrix([3,2],[1/3,16/3]),[1,2],generalring]
•
(%i12) get_lu_factors(%o11);
•
(%o12) [matrix([1,0],[0,1]),matrix([1,0],[1/3,1]),matrix([3,2],[0,16/3])]
APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA SCILAB
>> A=[ 3 2;1 6]
>> [L,U,P]= lu(A)
*P=matriz permutação
2.5.2 Aplicações da Ferramenta Matematica Scilab
>>L =chol(A) * resultado matriz triangular superior e a matriz triangular inferior
fazer transposta: L'*L=B
2.5.3 Aplicações da Ferramenta Matematica wxmaxima
•
(%i12) matrix( [4,3], [3,8]);
•
(%o12) matrix([4,3],[3,8])
•
(%i13) cholesky (%o12);
•
(%o13) matrix([2,0],[3/2,sqrt(23)/2])
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40) Exemplo: Uma matriz mal condicionada é a matriz de Hilbert
USANDO O WXMAXIMA:
(%i1) h [i, j] := 1 / (i + j - 1);
1
h := --------i, j i + j - 1
(%i2) genmatrix (h, 3, 3);
[ 1 1]
[1 - -]
[ 2 3]
[
]
[1 1 1]
(%o2)
[- - -]
[2 3 4]
[
]
[1 1 1]
[- - -]
[3 4 5]
(%o1)
fonte: http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/maxima_25.html
Função: mat_cond (M, 1)
Função: mat_cond (M, inf)
•
•
Retorna o número condiciona da norma de ordem p da matriz m.
Os valores permitidos para p são 1 e inf.
•
Essa função utiliza a factorização linear alta para inverter a matriz m.
•
Dessa forma o tempo de execução para mat_cond é proporcional ao cubo do tamanho
da matriz;
•
lu_factor determina as associações baixa e alta para o número de condição de norma
infinita em tempo proporcional ao quadrado do tamanho da matriz.
•
(%i6) matrix( [1,2], [5,9]);
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•
(%o6) matrix([1,2],[5,9])
•
(%i7) mat_cond(%o6,1);
•
(%o7) 154
•
(%i8) mat_cond(%o6,inf);
•
(%o8) 154
•
a principio esta calculando a norma infinita pelas linhas
•
ou
•
mat_norm(A,inf); norma infinita das linhas
APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA SCILAB
-->A=[1 2; 5 9]
A =
1.
2.
5.
9.
-->cond(A)
ans = 110.99099
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www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/.../CN_Sistemas_%20Parte2.ppt
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