halliday-cinematica-2d

Halliday & Resnick
Fundamentos de Física
Mecânica
Volume 1
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
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Capítulo 4
Movimento em Duas e Três
Dimensões
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4-1 Posição e Deslocamento
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4-1 Posição e Deslocamento
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Objetivos do Aprendizado
4.01 Desenhar vetores posição
bidimensionais e
tridimensionais de uma
partícula, indicando as
componentes em relação
aos eixos de um sistema de
coordenadas.
4.03 Usar a relação entre o
vetor deslocamento de uma
partícula e os vetores da
posição inicial e da posição
final.
4.02 Para um dado sistema de
coordenadas, determinar a
orientação e o módulo do
vetor posição de uma
partícula a partir das
componentes, e vice-versa.
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4-1 Posição e Deslocamento

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O vetor posição localiza uma partícula no espaço
o
Liga um ponto de referência (origem) à partícula
Eq. (4-1)
Exemplo
o Vetor posição (3 m, 2 m, 5 m)
Figura 4-1
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4-1 Posição e Deslocamento

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A variação de um vetor posição é um deslocamento
Eq. (4-2)

que pode ser escrito na forma:
Eq. (4-3)

ou em termos das variações das coordenadas:
Eq. (4-4)
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4-2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea
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4-2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea
Objetivos do Aprendizado
4.04 Saber que a velocidade é
uma grandeza vetorial e,
portanto, possui um módulo
e uma orientação e pode ser
representada por
componentes.
4.05 Desenhar vetores
velocidade bidimensionais e
tridimensionais para uma
partícula, indicando as
componentes em relação a
um sistema de coordenadas.
4.06 Relacionar os vetores
posição inicial e final, o
intervalo de tempo entre as
duas posições, e o vetor
velocidade média de uma
partícula, usando a notação
módulo-ângulo e a notação
dos vetores unitários.
4.07 Dado o vetor posição de
uma partícula em função do
tempo, determinar o vetor
velocidade instantânea.
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4-2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

Velocidade média é
Um deslocamento dividido pelo
o
Eq. (4-8)
intervalo de tempo correspondente
ou
Eq. (4-9)
Exemplo
o Uma partícula sofre um deslocamento de
em 2,0 s:
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4-2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

Velocidade instantânea é
o
o

A velocidade de uma partícula em um dado instante
O limite da velocidade média quando
o intervalo de tempo tende a 0
Eq. (4-10)
Gráficos do deslocamento e da velocidade instantânea:
Figura 4-3
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Figura 4-4
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4-2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

Na notação dos vetores unitários, temos a equação

Que também pode ser escrita na forma
Eq. (4-11)
Eq. (4-12)

Nota: o vetor velocidade não se estende de um ponto a outro;
mostra apenas o módulo e a direção da velocidade.
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4-2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea
Respostas: (a) Quadrante I
(b) Quadrante III
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4-3 Aceleração Média e Aceleração Instantânea
Objetivos do Aprendizado
4.08 Saber que a aceleração é
uma grandeza vetorial e,
portanto, possui um módulo
e uma orientação.
4.11 Dado o vetor velocidade
de uma partícula em função
do tempo, determinar o vetor
aceleração instantânea.
4.09 Desenhar vetores
aceleração bidimensionais e
tridimensionais, indicando as
componentes.
4.12 Para cada dimensão do
movimento, obter relações
entre a aceleração, a
velocidade, a posição e o
tempo, usando as equações
de aceleração constante do
Capítulo 2.
4.10 Relacionar os vetores
velocidade inicial e final, o
intervalo de tempo e o vetor
aceleração média.
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4-3 Aceleração Média e Aceleração Instantânea

Aceleração média é a variação de velocidade dividida pelo
intervalo de tempo correspondente
Eq. (4-15)

Aceleração instantânea é o limite da aceleração média
quando o intervalo de tempo tende a 0:
Eq. (4-16)

Podemos escrever a Eq. 4-16 na notação dos vetores unitários:
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4-3 Aceleração Média e Aceleração Instantânea

Temos:
Eq. (4-17)
Eq. (4-18)

Para obter as componentes da aceleração, derivamos
as componentes da velocidade em relação ao tempo
Figura 4-6
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4-3 Aceleração Média e Aceleração Instantânea

Nota: como no caso da velocidade, o vetor aceleração
não se estende de um ponto a outro; mostra apenas o
módulo e a direção da aceleração.
Respostas: (1) x: sim, y: sim, a: sim
(3) x: sim, y: sim, a: sim
(2) x: não, y: sim, a: não (4) x: não, y: sim, a: não
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4-4 Movimento Balístico
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4-4 Movimento Balístico
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Objetivos do Aprendizado
4.13 Explicar, em um gráfico
da trajetória de um projétil, a
variação do módulo e da
orientação da velocidade e
da aceleração ao longo do
percurso.
4.14 Calcular a posição e
velocidade de um projétil em
um dado instante a partir da
velocidade de lançamento.
4.15 Calcular a velocidade de
lançamento de um projétil a
partir da posição e
velocidade em um dado
instante.
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4-4 Movimento Balístico



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Um projétil é
o
uma partícula em movimento no plano vertical
o
com uma certa velocidade inicial
o
cuja aceleração é a aceleração de queda livre (g)
O movimento de um projétil é chamado de
movimento balístico
As componentes da velocidade inicial
são
Eq. (4-20)
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4-4 Movimento Balístico

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Podemos decompor o movimento
balístico bidimensional em dois
movimentos unidimensionais:
um movimento horizontal com
velocidade constante e um
movimento vertical com
aceleração constante.
Figura 4-10
Resposta: Sim. Como a componente vertical da velocidade é negativa, a bola
está caindo, o que significa que já passou pelo ponto mais alto da trajetória.
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4-4 Movimento Balístico

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Movimento horizontal:
o
Como a aceleração é zero, a velocidade é constante e
Eq. (4-21)

Movimento vertical:
o
Como a aceleração é g,
Eq. (4-22)
Eq. (4-23)
Eq. (4-24)
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4-4 Movimento Balístico

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A trajetória de um projétil é
o
o percurso do projétil no espaço (uma parábola)
o
calculado combinando as Eqs. 4-21 e 4-22:
Eq. (4-25)

O alcance horizontal é
o
A distância horizontal percorrida pelo projétil até voltar à
altura original
Eq. (4-26)
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4-4 Movimento Balístico


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Supusemos nos cálculos anteriores que a resistência
do ar pode ser desprezada
Nem sempre essa hipótese é válida:
Figura 4-13
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4-4 Movimento Balístico
Respostas: (a) não muda
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(b) diminui
(c) é sempre 0 (d) é sempre g (9,8 m/s2)
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4-5 Movimento Circular Uniforme
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4-5 Movimento Circular Uniforme
Objetivos do Aprendizado
4.16 Desenhar a trajetória de
uma partícula que descreve
um movimento circular
uniforme e explicar o
comportamento dos vetores
velocidade e aceleração
(módulo e orientação)
durante o movimento.
4.17 Aplicar as relações entre
o raio da trajetória circular e
o período, velocidade escalar
e aceleração escalar da
partícula.
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4-5 Movimento Circular Uniforme

Uma partícula está em movimento circular uniforme
o
se a trajetória é uma circunferência ou arco de circunferência
o
se a velocidade escalar é constante

Como a velocidade varia, o movimento é acelerado!

A velocidade e a aceleração têm
o
módulo constante
o
direção variável
Figura 4-16
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4-5 Movimento Circular Uniforme

A aceleração do movimento circular uniforme é
chamada de aceleração centrípeta
o
Significa “dirigida para o centro”
o
Aponta para o centro da trajetória circular
Eq. (4-34)

O período de revolução é
o
o tempo que a partícula leva para descrever uma
circunferência completa
Eq. (4-35)
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4-5 Movimento Circular Uniforme
Respostas: (a) (4 m/s)
(b) (8 m/s2)
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4-6 Movimento Relativo em Uma Dimensão
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4-6 Movimento Relativo em Uma Dimensão
Objetivo do Aprendizado
4.18 Aplicar a relação entre as medidas de posição, velocidade
e aceleração de uma partícula em dois referenciais que se
movem na mesma direção e com velocidade constante.
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4-6 Movimento Relativo em Uma Dimensão



As medidas de posição e velocidade dependem do
referencial do observador
o
Qual é o movimento do observador?
o
O referencial mais comum é o solo
Os índices “PA”, “PB” e
“BA” significam “P medido
por A”, “P medido por B” e
“B medido por A"
Os referenciais A e B são
usados para medir o
movimento do objeto P
Figura 4-18
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4-6 Movimento Relativo em Uma Dimensão

Relação entre as posições em referenciais diferentes:
Eq. (4-40)

Relação entre as velocidades:
Eq. (4-41)

Relação entre as acelerações (para referenciais não
acelerados, ou seja, com aBA = 0):
Eq. (4-42)
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4-6 Movimento Relativo em Uma Dimensão
Exemplo
Referencial A: x = 2 m, v = 4 m/s
Referencial B: x = 3 m, v = 2 m/s
P medido por A: xPA = 5 m, vPA = 2 m/s, a = 1 m/s2
P medido por B:
o
xPB = xPA + xAB = 5 m + (2m – 3m) = 4 m
o
vPB = vPA + vAB = 2 m/s + [4 m/s – (2m/s)] = 8 m/s
o
a = 1 m/s2
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4-7 Movimento Relativo em Duas Dimensões
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4-7 Movimento Relativo em Duas Dimensões
Objetivo do Aprendizado
4.19 Aplicar a relação entre as posições, velocidades e
acelerações de uma partícula medidas em dois referenciais
que se movem um em relação ao outro em duas dimensões
com velocidade constante.
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4-7 Movimento Relativo em Duas Dimensões

Como em uma dimensão, mas usando vetores:

Relação entre as posições em dois referenciais:
Eq. (4-43)

Velocidades:
Eq. (4-44)

Acelerações (para referenciais não acelerados):
Eq. (4-45)

Como em uma dimensão, a aceleração é a mesma
nos dois referenciais
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4-7 Movimento Relativo em Duas Dimensões

O movimento de P é medido nos referenciais A e B
Figura 4-19
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4
Resumo
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Resumo
Vetor Posição

Deslocamento
Localiza uma partícula

Mudança do vetor posição
Eq. (4-2)
Eq. (4-1)
Eq. (4-3)
Eq. (4-4)
Velocidade Média e
Instantânea
Aceleração Média e
Instantânea
Eq. (4-8)
Eq. (4-15)
Eq. (4-10)
Eq. (4-16)
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Resumo
Movimento Balístico

Movimento Circular Uniforme
Partícula sujeita apenas à
aceleração de queda livre (g)

Módulo da aceleração:
Eq. (4-34)
Eq. (4-22)

Período:
Eq. (4-35)
Eq. (4-23)
Movimento Relativo

A trajetória é uma parábola

Referenciais não acelerados
Eq. (4-25)

Eq. (4-44)
Alcance horizontal:
Eq. (4-26)
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Eq. (4-45)