Exemplo 1

TRANSMISSÃO E DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA
TDE
Aula 2 – Representação dos Sistemas de
Energia Elétrica em p.u.
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TDE – Transmissão e Distribuição de Energia
Introdução


Para representação de sistemas de energia elétrica ao invés de serem
utilizadas as unidades originais para as grandezas envolvidas (MVA, kV,
kA, Ω) são utilizadas unidades relativas (“por unidade” ou p.u.), obtidas
através da normalização dos valores originais destas grandezas por
valores pré-estabelecidos para cada grandeza, denominados valores de
base.
Relação matemática:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟(𝑝𝑢) =

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟(𝑆𝐼)
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟(𝑏𝑎𝑠𝑒)
→ 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 [𝑝𝑢] (1)
O sistema p.u., consiste na definição de valores de base para as
grandezas (tensão, corrente, potência, etc.), seguida da substituição dos
valores das variáveis e constantes (expressas no SI) pelas suas
relações com os valores de base pré-definidos.
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TDE – Transmissão e Distribuição de Energia
Vantagens da representação em p.u. (Haffner, 2012)

Realizando a normalização em todas as grandezas do sistema, é
possível:
 Manter os parâmetros do sistema elétrico dentro de uma faixa de valores
conhecidos evitando erros grosseiros.
 Quando se utiliza o valor nominal da tensão como valor de referência (valor de
base), pode-se verificar a partir do valor normalizado da tensão (em pu) sua
distância do valor desejado (nominal).
 Valores em pu próximos a unidade significam proximidades do valor nominal
enquanto valores de tensão muito abaixo ou acima de 1 pu representam
condições anormais de operação.
 Eliminar todos os transformadores ideais do sistema elétrico.
 A tensão de operação do sistema permanece sempre próxima de 1,00.
 Todas as grandezas possuem a mesma unidade ou pu (embora os valores
de base sejam diferentes para cada uma das grandezas).
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TDE – Transmissão e Distribuição de Energia
Definição das Grandezas de Base 1/3


A definição das grandezas de base é a etapa mais relevante e mais
sujeita à falhas no processo de representação em p.u.!
Existem apenas duas grandezas de base primárias:
 Potência de Base [MVA] que deve ser a mesma para todo o sistema!
 pode ser trifásica ou monofásica, sendo: 𝑆3𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 3 × 𝑆1𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒 → 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 [𝑀𝑉𝐴]
 seu valor é arbitrário, porém usualmente adota-se
 Tensão de Base [kV] tem valor diferente em cada “região de tensão”!
 As regiões são separadas pelos transformadores ao longo do sistema;
 Define-se a tensão de base (de linha ou de fase) em uma única região!
𝑉𝐿 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 3 × 𝑉𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒 → 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 [𝑘𝑉]
 Calcula-se as tensões de base nas demais regiões conforme a relação de espiras
dos transformadores que as separam.
Vbase 1
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 1
𝑁1
=
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 2
𝑁2
Vbase 2
(2)
região 1
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região 2
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TDE – Transmissão e Distribuição de Energia
Definição das Grandezas de Base 2/3

As grandezas de base secundárias (corrente, impedância ou
admitância) também são definidas para cada região de tensão e podem
ser obtidas a partir das grandezas de base primárias.
 As relações entre elas são as mesmas conhecidas anteriormente.
 Correntes de base:
𝐼𝐿 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝐼𝑌 𝑏𝑎𝑠𝑒 =
𝐼∆ 𝑏𝑎𝑠𝑒 =
𝐼𝑌 𝑏𝑎𝑠𝑒
3
=
𝑆𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑉𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒
=
𝑆3𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒
3×𝑉𝐿 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑆3𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒
3
𝑉𝐿 𝑏𝑎𝑠𝑒
3
=
𝑆3𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒
3×𝑉𝐿 𝑏𝑎𝑠𝑒
[𝑘𝐴] (3)
[𝑘𝐴](4)
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Definição das Grandezas de Base 3/3
 Impedâncias e admitâncias de base:
𝑍𝑌 𝑏𝑎𝑠𝑒 =
𝑌𝑌 𝑏𝑎𝑠𝑒 =
𝑉𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝐼𝑌 𝑏𝑎𝑠𝑒
1
𝑍𝑌 𝑏𝑎𝑠𝑒
=
=
𝑉𝐿 𝑏𝑎𝑠𝑒
3
𝑆3𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒
3×𝑉𝐿 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑆3𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒
(𝑉𝐿 𝑏𝑎𝑠𝑒 )2
𝑍∆ 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 3 × 𝑍𝑌 𝑏𝑎𝑠𝑒 =
𝑌Δ 𝑏𝑎𝑠𝑒 =
1
𝑍Δ 𝑏𝑎𝑠𝑒
=
=
(𝑉𝐿 𝑏𝑎𝑠𝑒 )2
𝑆3𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒
[Ω](5)
[𝑆](6)
3×(𝑉𝐿 𝑏𝑎𝑠𝑒 )2
𝑆3𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑆3𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒
3×(𝑉𝐿 𝑏𝑎𝑠𝑒 )2
[Ω] (7)
[𝑆] (8)
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Operação de Mudança de Base

Uma operação bastante frequente na modelagem de sistemas elétricos
é a mudança de base de valores de impedâncias.
 Um exemplo clássico da necessidade de mudança de base é a
compatibilização do valor das impedâncias dos transformadores.
 Os dados de placa são fornecidos pelo fabricante em valores percentuais,
tendo:
 a potência de base como sendo a potência nominal do equipamento e;
 as tensões de base como sendo as tensões terminais dos enrolamentos.
 Nem sempre as bases do fabricante são as mesmas adotadas para a
solução de todo o sistema elétrico do problema!

Procedimento:
 Recuperar os valores das grandezas no (SI) e recalcular os valores em p.u.
para as bases adotadas no sistema utilizando a equação (1), ou:

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(9)
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Exemplo 1 – Solução Convencional

Uma fonte trifásica, 2400 V, sequência ABC, alimenta duas cargas
conectadas em paralelo:
 Carga 1: 300 kVA, fator de potência igual a 0,8 indutivo
 Carga 2: 144 kW, fator de potência igual a 0,6 capacitivo

Se a Fase A é utilizada como referência angular, determinar:
 O circuito equivalente por fase (diagrama de impedância).
 As correntes de linha das Fases A, B e C
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Exemplo 1 – Solução Convencional
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Exemplo 1 – Solução Convencional
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Exemplo 1 – Solução Convencional
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Exemplo 2 – Solução via p.u.

Considerando os dados do Exemplo 1 e as seguintes grandezas de
base primárias, determinar:
𝑆3𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 300 𝑘𝑉𝐴
𝑉𝐿 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 2,4 𝑘𝑉
 As bases do sistema por unidade
 O circuito equivalente por fase em valores por unidade
 Determinar o fasor corrente da Fase A em valores por unidade e [A]
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Exemplo 2 – Solução via p.u.

Cálculo das bases do sistema

Cálculo das grandezas do problema em p.u.
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Exemplo 2 – Solução via p.u.

Circuito equivalente em p.u.

Cálculos da corrente da fase A
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Exercício

Considere o diagrama unifilar de um sistema elétrico trifásico:
 O comprimento da linha entre os dois transformadores é desprezível
 A capacidade do gerador 3 é de 4160 kVA (2,4 kV e 1000 A), que este
opera em condição nominal ( IL= 1000 A) alimentando uma carga puramente
indutiva.
 A potência nominal do transformador trifásico T1 é 6000 kVA (2,4/24 kV Y/Y)
com reatância de 0,04 pu.
 O transformador T2 tem capacidade nominal de 4000 kVA, sendo
constituído por um banco de três transformadores monofásicos (24/12 kV
Y/Y) com reatância de 4% cada.
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Exercício

Determinar:
a) A potência base.
b) A tensão de linha base.
c) A impedância base.
d) A corrente base.
e) Resuma os valores base em uma tabela.
f) Os valores das correntes em A.
g) A corrente em pu.
h) O novo valor das reatâncias dos transformadores considerando sua nova
base.
i) O valor pu das tensões das Barras 1,2 e 4.
j) A potência aparente nas Barras 1,2 e 4.

sugestão:
𝑆3𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 2080 𝑘𝑉𝐴
𝑉𝐿 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 2,5 𝑘𝑉 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑚 2,4 𝑘𝑉
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Bibliografia:



HAFFNER, S. L. “Notas de Aula – Análise de Sistemas de Potência”.
Disponível em http://slhaffner.phnet.us/
Hadi Saadat (1999). Power system analysis. McGraw-Hill, New York,
697p.
Alcir J. Monticelli, Ariovaldo V. Garcia (2003). Introdução a sistemas de
energia elétrica. Editora da Unicamp.
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