MATEMÁTICA Prof. Pacher Prefeitura de Jaguarão OPERADORES E SÍMBOLOS Símbolo Nome Significados e exemplos + adição Lê-se como "mais" Ex: 2 + 3 = 5, significa que se somarmos 2 e 3 o resultado é 5. Lê-se como "menos" Ex: 5 - 3 = 2, significa que se subtrairmos 3 de 5, o resultado é 2. subtração - O sinal - também denota um número negativo. Por exemplo: (-6) + 2 = -4. Significa que se somarmos 2 em -6, o resultado é -4. / divisão * ou x ou . multiplicação = igualdade Lê-se como "dividido" Ex: 6/2 = 3, significa que se dividirmos 6 por 2, o resultado é 3. Lê-se como "multiplicado" Ex: 8*2 = 16, significa que se multiplicarmos 8 por 2, o resultado é 16. Lê-se como "igual a" Ex: x = y, significa que x e y possuem o mesmo valor. Por exemplo: 3+5 = 7+1 N é o conjunto dos números naturais. São os números que vão de 0 a . Todo número natural é seguido imediatamente por outro número natural chamado sucessor, ou seja: N = { 0,1,2,3,4,...}. N números naturais O símbolo N* é usado para indicar o conjunto de números naturais não-nulos, ou seja: N* = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} O conjunto dos números inteiros é o conjunto dos números naturais acrescido dos seus opostos negativos. É representado pela letra Z, devido ao fato da palavra Zahl em alemão significar "número". números inteiros Z = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Z O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não-nulos: Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...} O símbolo Z + é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não-negativos: Z + = { 0,1,2,3,4,...} O símbolo Z − é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não-positivos: Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 1 MATEMÁTICA Prof. Pacher Prefeitura de Jaguarão Z − = {..., -3, -2, -1, 0} * O símbolo Z é usado para indicar o conjunto de números inteiros positivos: + * Z = { 1,2,3,4,5, ...} + * O símbolo Z é usado para indicar o conjunto de números inteiros negativos: − * Z = { -1, -2, -3, -4, -5...} − Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N é um subconjunto de Z ou que N está contido em Z: Símbolo Nome N⊂Z Significados e exemplos Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) obtemos um número racional. Todo número racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária. A letra Q deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já que um número racional é um quociente de dois números inteiros. Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se a = 1 e b = 2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata. Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por exemplo, a = 1 e b = 3 nos dá o número racional 0,33333... É a chamada dízima periódica. Q números racionais Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros. * Q = { a/b | a ∈ Z e b ∈ Z }. Lembre-se que não existe divisão por zero!. * O símbolo Q é usado para indicar o conjunto de números racionais não-nulos: * Q ={x∈ Q|x 2 Atualizada Janeiro/2010 ≠0} Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prof. Pacher Prefeitura de Jaguarão O símbolo Q é usado para indicar o conjunto de números racionais não-negativos: + Q = { x ∈Q | x ≥ 0 } + O símbolo Q é usado para indicar o conjunto de números racionais não-positivos: − Q ={x∈ Q|x ≤ 0} − O símbolo Q*+ é usado para indicar o conjunto de números racionais positivos: * Q = { x ∈Q | x > 0 } + O símbolo Q * é usado para indicar o conjunto de números racionais negativos: − * Q = {x ∈ Q | x < 0} − I números irracionais Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula, que não se repetem periodicamente, obtemos um número chamado irracional. Os números irracionais mais famosos são: π ≅ 3,141592... , e ≅ 2,71828182... , 2 ≅ 1,414... ., 3 ≅ 1,732... , etc. O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais, indicado por R. Indicamos por R* o conjunto dos números reais sem o zero, ou seja, o símbolo R* é usado para representar o conjunto dos números reais não-nulos: * R =R-{0} R números reais * O símbolo R é usado para indicar o conjunto de números reais não-negativos: * R = { x ∈R | x ≥ 0 } O símbolo R- é usado para indicar o conjunto de números reais não-positivos: R- = { x ∈ R | x ≤ 0 } Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 3 MATEMÁTICA Prof. Pacher Prefeitura de Jaguarão * O símbolo R é usado para indicar o conjunto de números reais positivos: + * R = { x ∈R | x > 0 } + O símbolo R*- é usado para indicar o conjunto de números reais negativos: R números complexos C * = { x ∈R | x < 0 } − Um número complexo representa-se por a+bi, sendo a a parte real e b a parte imaginária. Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária, representada pela letra i, como sendo a raiz quadrada de -1. Pode-se escrever então: i = −1. É menor que, é maior que comparação < , > x < y significa que x é menor que y x > y significa que x é maior que y é menor ou igual a, é maior ou igual a ≤ , ≥ comparação Símbolo Nome { , } chaves x ≤ y significa: x é menor ou igual a y; x ≥ y significa: x é maior ou igual a y Significados e exemplos o conjunto de... Ex: {a, b, c} representa o conjunto composto por a, b e c. Significa que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio. { } ou Φ conjunto vazio Ex: A={1,2,3} B={4,5,6} A ∩ B= Φ ∀ para todo Significa "Para todo" ou "Para qualquer que seja". Ex: ∈ pertence ∀ x > 0, x é positivo. Significa que para qualquer x maior que 0, x é positivo. Indica relação de pertinência. Ex: 5 4 Atualizada Janeiro/2010 ∈ N Significa que o 5 pertence aos números naturais. Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prof. Pacher ∉ não pertence Prefeitura de Jaguarão Não pertence . Ex: -1 ∉ N. Significa que o número -1 não pertence aos números naturais. Indica existência. ∃ existe Ex: ∃ x ∈Z | x > 3 Significa que existe um x pertencente ao conjunto dos números inteiros tal que x é maior que 3. ⊂ está contido ⊂/ não está contido ⊃ contém Ex: N ⊂ Z ou seja, o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. Ex: R ⊂/ N ou seja, o conjunto dos números reais não está contido no conjunto dos números naturais. Ex: Z ⊃ N, ou seja, o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais. Lê-se como "A união B" , é o mesmo que A ou B. A∪B união de conjuntos Ex: A={ 5,7,10 } B={ 3,6,7,8 } A ∪ B = { 3,5,6,7,8,10 } Lê-se como "A intersecção B" , é o mesmo que A * B. Ex: A∩B intersecção de conjuntos A={1,3,5,7,8,10 } B={2,3,6,7,8 } A ∩ B = { 3,7,8 } Lê-se como "diferença de A com B". A - B diferença de conjuntos É o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Ex: A - B = {x | x ∈ A e x Atualizada Janeiro/2010 ∉ B} Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 5 MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher TESTES e) 2,88 1. Complete o quadro, conforme divisibilidade, por 2, 3, 5 e 10 f) 7,32 a) 472 é divisível por: b) 721 é divisível por: c) 468 é divisível por: d) 58 é divisível por: e) 1520 é divisível por: f) 134 é divisível por: g) 10000 é divisível por: h) 2725 é divisível por: 2. Simplifique as frações, tornando-as irredutíveis: 4. Efetue as operações indicadas a seguir: a) 6,28 : 4 = b) 4,617 : 5,7 = c) 3,15 : 1,5 = d) 0,54 : 0,3 = e) 7,232 : 0,4 = f) 1 : 0,0102 = g) 3,132628 : 3,07 = a) b) c) 7 49 12 48 5. (FUNRIO-RJ) Escrevendo os números 8 − 0,7 e − 26 2 − , 3 5 em ordem crescente de valores, 9 obtemos d) e) 64 a) -0,7, -5/9 e -2,3 124 b) -0,7, -2/3 e -5/9 55 c) -5/9, -2/3 e -0,7 10 d) -2/3, -0,7 e -5/9 3. Transforme em fração e simplifique: e) -5/9, -0,7 e -2/3 a) 1,2 3 b) 3,24 6. (FUNRIO-MG) O valor da expressão c) 0,03 4 d) 0,004 a) 6 4 1 Atualizada Janeiro/2010 − + 1 5 1 10 7 11 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher b) c) d) e) 11 7 7 20 11 Se 25 funcionários de uma empresa participaram do passeio anunciado, qual será o custo total, em reais, com passagens e alimentação? 20 1 7 7. (FUNRIO-MG) O conjunto dos números inteiros x que satisfazem 1 x 11 < < é formado pelos 4 7 14 inteiros: a) b) c) d) e) 1, 2, 3 e 4 2, 3, 4 e 5 3, 4, 5 e 6 4, 5, 6 e 7 5, 6, 7 e 8 a) b) c) d) e) 995,00 905,50 895,00 890,00 875,50 11. (CESGRANRIO-SOPH-RO) O gráfico abaixo apresenta dados sobre a produção de castanhado-pará na Região Norte. 8. A soma dos divisores inteiros e positivos de 36 é: a) b) c) d) e) 83 85 87 89 91 9. (FUNRIO-MG) Aldo, Bernardo e Célio repartiram uma pizza. Aldo comeu comeu 2 7 da pizza, Bernardo 1 da pizza e Célio comeu o restante. 3 Podemos afirmar que: a) b) c) d) e) Aldo comeu o maior pedaço. Bernardo comeu o maior pedaço. Célio comeu o maior pedaço. Bernardo comeu o menor pedaço. Célio comeu o menor pedaço. Com base no gráfico, pode-se concluir que x é igual a: a) b) c) d) e) 9 11 17 19 21 12. Calcule o que segue usando o mmc: a) 1 + 3 2 − 3 8 9 10. (CESGRANRIO-COMPERJ-2008) b) Atualizada Janeiro/2010 2 6 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 7 MATEMÁTICA Prof. Pacher c) 12 + 5 d) 1+ 1 15 Prefeitura de Jaguarão 16. Faça as seguintes contas (deixe o resultado o mais simplificado possível): 1 15 a) (1,44 ÷ 0,3 – 0,2 ÷ 0,05) * 20 = −1 1 e) 1− 2 f) 1 + 9 b) 3 4 − 2 20 3= −4 5 3 5 = c) −9 13. (FUNRIO-RJ) Ordenando as frações 1 3 7 11 5 , , , e , a maior e a menor são, 4 2 5 6 4 respectivamente, a) b) c) 3 2 3 e 17. Somado-se os resultados de 4 872 : 24 e 1 177 : 11, obtém –se : a) 382 b) 310 c) 204 d) 38 5 4 1 18. A divisão 654 : 9 870 tem o mesmo resultado que : e 2 4 11 5 e 6 4 a) 0,654 : 0 987 b) 65,4 : 9,87 c) 65,4 : 98,7 d) 6,54 : 98,7 7 1 e 5 4 11 1 e) e 6 4 d) 19. (FCC) O resultado de 64 - 8 : 0,16 é um número compreendido entre: 14. O valor da divisão de 0,6 por 0,0025 é: a) 50 e 60 a) b) c) d) e) 60 80 120 240 300 b) 40 e 50 c) 30 e 40 d) 20 e 30 15. Efetue a operação indicada: e) 10 e 20 0,0004 : 0,0002. 8 Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prof. Pacher Prefeitura de Jaguarão 0,2 x 0,3 20. O valor da expressão (1 - 0,3) x (3 - 1,4) + 1,83 é: 3,2 - 2,0 a) 2,95 b) 7,25 27.(PUC-SP) Qual é o valor de 25 . 12,8 ? 100 c) 11,07 a) 3,2 d) 13,03 b) 32 21. A divisão 2,4375 : 6,5; o mesmo resultado que: c) 1,6 a) 24375 : 65000 b) 24375 : 6500 c) 24375 : 650 d) 24375 : 65 d) 16 22. O resultado de: 24 : [ ( 14 – 6 ) . 3 ] é : 28. Calculando-se –27 + ( -32 ) + 50, obtém-se: e) 0,32 a) 9 b) 8 c) 1 d) 0 a) –1 b) –5 c) –7 d) –9 23. O resultado de (2100 – 72 x 23 ) : 12 é : a) 704 b) 37 c) 36 d) 21 29. Calcule o valor da expressão aritmética que segue 67 – [ 74 - ( 22 + 9 – 8 ) + 15 ]. 30. Calcule o valor da expressão aritmética que segue: 24. O resultado de 2( 5,42 + 8,58 ) – 0,2 é : a) 13,8 b) 14 c) 28 d) 27,8 38 + { 23 – [ 6 – ( 1 + 4 ) + 2 ] – 1}. 31. Calculando-se – 4 – 1,2 – ( - 3,5), obtém-se: 25. Qual é a sentença falsa ? a) 1/3 > ¼ b) 6/42 = 5/35 c) 8/32 = ¼ d) 1/5 < 1/100 26. (FUVEST) Calcule: Atualizada Janeiro/2010 a) –1,9 b) -1,7 c) –1,5 d) –1,3 32. Efetuando-se − 10 + ( −1,2) ⋅ ( −5) ( −0,8) ⋅ 5 − 2 , obtém-se: a) 2/3 b) 1/2 c) - 1/2 d) - 2/3 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 9 MATEMÁTICA Prof. Pacher 33. Represente as porcentagens que seguem, em frações reduzidas. Prefeitura de Jaguarão 37. O valor de (1/4 - 1/2 ) · 8 é: a) 18% b) 2,3% c) 4% a) -2 b) - 1/2 c) 1/2 d) 2 e) 5/2 d) 200% 38. (FUVEST) Calcule: 1 - 1 10 6 . 34. Encontre o resultado dos cálculos abaixo: 39. (UNIFOR) Efetuando-se a) 10 3 8 .( + ) , obtém8 5 30 se: a) 13/12 b) b) 12/13 c) c) 5/11 d) 11/28 35. (UF-SM) Dados os números reais: 2 1 5 1 + , b= 3 2 4 2 que: a= e c = 0,12 , pode-se afirmar e) 15/29 1 + 0,3 2 40. (PUC-SP) O valor de 8 a)1/5 a) c < b < a b)3/16 b) a < b < c c)1/10 c) c < a < b d)13/16 d) b < c < a e) b < a < c 41. (FUVEST-SP) O valor da expressão 36. (FUNRIO/2008-PREF. NITERÓI/RJ) Dividir um número por 0,125 é o mesmo que multiplicá-lo por: a) b) c) d) e) 10 1 1 1− − 6 3 é: 2 3 1 1 + + 2 6 2 2 4 8 12 24 Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher a)1/2 a) R$ 182,00 b) R$ 192,00 c) R$ 198,00 d) R$ 207,00 b)3/5 c)3/4 47. Um aluguel de R$ 550,00 sofreu um aumento de 18%. Ele passou a valer: d)-3/5 42. (FESP-PE) Resolvendo a expressão 5 1 2 1 9 1 1 − − : − . 2 − 3 6 3 5 4 2 a) R$ 649,00 b) R$ 612,00 c) R$ 504,00 d) R$ 99,00 48. Dê a dízima periódica correspondente a cada fração. a) b) c) d) a)17/12 b)12/17 5/9 7/3 1029/180 1/36 c)3/8 49. Dada a dízima periódica, represente na forma de fração: d)3/85 a) 0,44444... 100 43. (Fuvest-SP) A metade de 2 a) b) c) d) e) é: b) 0,0444... 50 2 100 1 99 2 51 2 50 1 c) 0,00444... d) 0,000444... e) 0,125412541254.... 44. Quanto é 13% de R$ 850,00 ? f) 0,545454... g) 0,1252525... a) R$ 130,00 b) R$ 120,50 c) R$ 110,50 d) R$ 108,00 h) 1,123444... i) 0,04777... j) 2,00333... 45. De o valor da expressão 14,5% de 80 + 37,5% de 40. GABARITO .01. a) 2 46. 30% de R$640,00 é igual a: Atualizada Janeiro/2010 b) nenhum Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 11 MATEMÁTICA Prof. Pacher c) 2 e 3 .09. c d) 2 .10. c e) 2, 5 e 10 .11.a f) 2 .12. g) 2, 5 e 10 a) 29/18 h) 5 b) -1/24 .02. c) 37/15 a) 1/7 d) 16/15 b) 1/4 e) 1/2 c) 4/13 f) 127/90 d) 16/31 .13. e e) 11/2 .14.d .03. .15. 2 a) 6/5 .16. a) 16 Prefeitura de Jaguarão b) 81/25 b) 5/12 c) 3/100 c) –-1/15 d) 1/250 e) 72/25 f) 183/25 .04. a) 1,57 b) 0,81 .17. b .18. d .19. e .20. a .21. a .22. c .23. b .24. d .25. d .26. 0,05 c) 2,1 .27. a d) 1,8 e) 18,08 f) 98,04 g) 1,0204 .05. b .06. b .07. b .08. e 12 .28. d .29. 1 .30. 57 .31. b .32. a .33. a) 9/50 b) 23/1000 Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prof. Pacher Prefeitura de Jaguarão c) 1/25 d) 2 .34. a) 4/5 b) 3/4 c) 7/6 .35. a .36.c .37. a .38. -1/15 .39. a .40. c .41. b .42. d .43.c .44. c .45.26,6 .46. b .47. a .48.. a) 0,555... b) 2,333... c) 5,71666... d) 0,02777... .49. a) 4/9 b) 2/45 c) 2/450 d) 2/4500 e) 418/3333 f) 124/990 g) 10111/9000 h) 6/11 i) 43/900 j) 601/300 Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 13 MATEMÁTICA Prof. Pacher Prefeitura de Jaguarão MATEMÁTICA Programa 1 Números inteiros, racionais e reais. 2 Sistema legal de medidas. 3 Razões e proporções. 4 Regras de três simples e composta. 5 Porcentagens. 6 Funções e gráficos. 7 Seqüências numéricas. 8 Progressões aritméticas e geométricas. 9 Juros simples e compostos. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS E SUAS EQUIVALÊNCIAS Orientação para conversão entre unidades de tempo Orientação para conversão de medidas de comprimento Orientação para conversão de medidas de área 14 Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prof. Pacher Prefeitura de Jaguarão Orientação para conversão de medidas de volume Orientação para conversão de medidas de capacidade Orientação para conversão de medidas de massa Orientação para conversão de medidas de ângulos Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 15 MATEMÁTICA Prof. Pacher Prefeitura de Jaguarão 05. Um período de tempo de 500 horas corresponde exatamente a: TESTES a) 20 dias 01. (UNB-CESPE) Se um dia corresponde a 24 horas, então 9/12 do dia correspondem a: b) 20,8 dias a) 8h c) 20 dias e 20 horas b) 9h d) 20 dias e 22 horas c) 12h e) 19 dias e 21 horas d) 18h e) 20h 02. (FCC/2007-MPU) Considerando que, em certo ano, o dia 23 de junho ocorreu em um sábado, o dia 22 de outubro desse mesmo ano ocorreu em a) b) c) d) e) uma segunda-feira uma terça-feira uma quinta-feira um sábado um domingo 03. (UFRJ-NCE) Numa partida de futebol foram marcados dois gols no primeiro tempo: o primeiro, aos 18 min 25 s e, o segundo, aos 23 min e 12 s. O tempo decorrido entre os dois gols foi de: a) b) c) d) e) 4 min 47 s 4 min 48 s 4 min 57 s 5 min 47 s 5 min 48 s 04. (FCC) Uma transfusão de sangue é programada para que o paciente receba 25 gotas de sangue por minuto. Se a transfusão se estendeu por 2 horas e 12 minutos, e cada gota injeta 0,1ml de sangue, quantos ml de sangue o paciente recebeu? a) b) c) d) e) 330 530 880 1900 3300 06. (FUNRIO/2008-PM/RJ) Um recipiente contém 15 litros de soro que devem ser distribuídos em frascos de 250 ml. O número de frascos que serão utilizados é: a) b) c) d) e) 60 56 58 55 59 07. (FCC/2009-METRÔ/SP) Um médico prescreveu 375 mg de certo medicamento, que é comercializado em uma suspensão de 25 mg /ml . Se uma colher de chá equivale a 5 ml , então o número de colheres de chá necessárias para administrar a dose prescrita é a) b) c) d) e) . 6 5 4 3 2 08. (ESAF/2002-TJ/CE) Quantos hectares mede 2 2 um km , dado que um hectare mede 10.000m ? a) 1 b) 10 c) 100 d) 1.000 e) 10.000 16 Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher 09. (ESAF/2002-TJ/CE) Quanto pesa um carregamento de 100 milheiros de tijolos, admitindo que um tijolo pesa 2,5 kg? d) 13.035 e) 12.125 a) 250 kg b) 2,5 ton 13. (ESPP) Quantos centímetros há em 2 Km? c) 25 ton a) 2000 d) 250 ton b) 20000 e) 2.500 ton c) 200000 d) 2000000 10. (FCC) Às 13h 45min iniciei um trabalho. Às 16h 45min já tinha executado 3/4 desse trabalho. Prosseguindo nesse ritmo, terminarei meu trabalho às: a) b) c) d) e) 3 14. (ESPP) Transformando-se 4734 dm na unidade imediatamente superior obtém-se: a) 4,734 km 17h 17h 15min 17h 30min 17h 45min 18h b) 4,734 m c) 47,34 m 3 3 3 d) 47,34 km 3 11. (UNB-CESPE) Na revisão de um livro, o autor gastou 5h55min para rever o texto, 2h05min para rever a ordem dos exercícios e 4h25min para correção das figuras. O tempo gasto na revisão foi de: 15. (ESPP) Vera mede 1,80 m de altura, e Adriana mede 150 centímetros. A razão entre a altura de Vera e de Adriana é: a) 12h35min a) 5/6 b) 12h30min b) 12/7 c) 12h25min08s c) 7/12 d) 12h15min d) 6/5 e) 12h25min 12. A aluna Viviane da Escola Parque quando está de férias, costuma bronzear-se uma hora doze minutos e vinte e cinco segundos, diariamente. Quantos segundos, ela ficará exposta aos raios solares, durante três dias? 16. (ESPP) A distância percorrida pelos atletas na maratona de São Paulo é 42 km, essa distância, em centímetros, é: a) 420 cm b) 4200 cm a) 12.105 c) 42000 cm b) 13.135 d) 4200000 cm c) 12.035 Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 17 MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher 17. (ESPP) Um termômetro marcava - 4 graus pela manhã, mas, à tarde, a temperatura aumentou para 6 graus. Houve, portanto, uma variação de: I. 1 mililitro equivale a 0,01 decímetro cúbico. o o II. A diferença ( 36 12' 25'' ) - ( 22 38' 45'' ) é igual o a 13 33' 40'' . a) 2 graus III. 0,01% equivale a 100 ppm (partes por milhão). b) 10 graus c) 24 graus É correto afirmar que SOMENTE d) 1,5 grau 18. (ESPP) Um rapaz que resolveu caminhar 2,5km, caminhou, em metros: a) 25 metros c) 25000 metros d) 2500 metros 19. (ESPP) Um terreno tem área de 1534 decímetros quadrados, esse terreno tem em metros: a) 1,534 m b) 153,4 m 2 c) 15,34 m d) 1534 m I é verdadeira. II é verdadeira. III é verdadeira. I e II são verdadeiras. II e III são verdadeiras. 22. (FCC/2008-METRÔ/SP) Considere que, num dado instante, a velocidade de certo veículo é de 81 km/h. Essa velocidade, quando expressa em metros por segundo (m/s), é numericamente igual a b) 250 metros 2 a) b) c) d) e) 2 a) b) c) d) e) 1,35 2,25 13,5 22,5 135 23. (FCC/2007-TRT-23ª) Certo dia, um Auxiliar Judiciário gastou 11 880 segundos para arquivar uma determinada quantidade de processos. Se ele iniciou essa tarefa às 12 horas e 45 minutos e trabalhou ininterruptamente até completá-la, então ele a concluiu às 2 20. (ESPP) Marcelo comprou 2,35 Kg de carne para um churrasco, transformando isso em grama, Marcelo comprou: a) b) c) d) e) 15 horas e 13 minutos. 15 horas e 24 minutos. 16 horas e 3 minutos. 16 horas e 26 minutos. 16 horas e 42 minutos. 24. (FCC/2007-PMSP) Um determinado processo de trabalho necessita da realização de 3 etapas. A a a 1 se completa em 40 minutos, a 2 precisa de 50 a minutos e a 3 é feita em meia hora. O tempo total para a realização deste processo de trabalho é a) 2,350 gramas b) 2350 gramas c) 23,50 gramas d) 235,0 gramas 21. (FCC/2009-METRÔ/SP) Considere as seguintes afirmações: 18 Atualizada Janeiro/2010 a) b) c) d) e) 1h20min 1h30min 1h40min 1h50min 2h00min Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher 3 25. (ESAF/2002-TJ/CE) Quantos cm existem em 10 litros? 13 C 14 B 15 D 16 D 17 B 18 D 19 C 20 B 21 E 22 D 23 C 24 E 25 D 26 C a) 10 b) 100 c) 1.000 d) 10.000 e) 100.000 26. (FUNRIO/2008-PM/RJ) Um reservatório, contendo 5000 litros de água, está sendo esvaziado por meio de uma torneira cuja vazão é de 800 cm³ por segundo. O tempo necessário para esvaziar completamente o reservatório é, aproximadamente, igual a: a) b) c) d) e) 1h 34min 1h 39min 1h 44min 1h 49min 1h 54min GABARITO RAZÃO 01 D 02 A 03 A 04 A 05 C 06 A 07 D 08 C 09 D 10 D Exemplo: 11 E 12 D A razão entre 6 e 3 é expressa por 6:3 ou 6/3 . Se eu pretendo comparar a e b determino a razão a : b ou a/b, agora se eu disser que a razão entre Existem várias maneiras de comparar duas grandezas, por exemplo, quando se escreve a > b ou a < b ou ainda a = b, estamos a comparar as grandezas a e b. Mas essa comparação, muitas vezes, pouco nos diz. Daí a utilizar-se, no dia a dia, a razão entre duas grandezas, isto é o quociente entre essas grandezas. a é mesmo que é mesmo que → a : b → a/b b Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 19 MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher elas é 2, estou a afirmar que a é duas vezes maior que b. APLICAÇÕES Escala = comprimento do desenho comprimento real EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Entre as aplicações práticas de razões especiais, as mais comuns, são: 01. Em um desenho, um comprimento de 8m está representado por 16 cm. Qual a escala usada para fazer esse desenho? 8 m=800 cm. Velocidade média A velocidade média em geral é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida e um tempo gasto neste percurso. Isto significa que, 1 medida no desenho é igual 50 dessas medidas no real. distância Velocidade média = percorrida tempo gasto no percurso Exemplo: Densidade Demográfica O cálculo da densidade demográfica também chamada de população relativa de uma região, é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o número de habitantes e a área em uma região. 01. Suponhamos que um carro percorreu 120 km em 2 horas. A velocidade média do carro nesse percurso, á calculada a partir da razão: número de Densidade demográfica = território 120 km V. média = habitantes área total do 2 horas O que significa que, por 1 hora o carro percorreu 60 km. 02. Um município paranaense ocupa a área de 100 2 000 km . De acordo com o censo realizado, tem população aproximada de 50 000 habitantes. A densidade demográfica desse município é obtida assim: Densidade 100 000 hab demográfica = 50 000 km Escala Escala é a comparação da razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos na mesma unidade de medida. 20 Atualizada Janeiro/2010 2 Isto significa que para cada quilômetro quadrado, esse município tem 2 habitantes. Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher d) 6,5 % TESTES e)) 7,5 % 1. Dois segmentos tem 4 cm e 20m de comprimento, respectivamente. Determine a razão entre o comprimento do primeiro e o comprimento do segundo. 06. A distância entre dois pontos é de 34m. Num desenho, essa distância está expressa por 68cm. A escala usada para fazer esse desenho foi de: 2. A escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 100m foi representado por um segmento de 5cm é: 7. Em um desenho, um comprimento de 8m está representado por 16 cm. Qual a escala usada para fazer esse desenho? 3. Num concurso havia 90 candidatos. Tendo sido aprovados 30, a razão entre o número de reprovados e o número de aprovados é: 8. Sabendo que 1 cm no desenho corresponde a 2,5m no real, qual foi a escala usada para fazer esse desenho? 4. (CESGRANRIO) A razão entre o número de homens e de mulheres, funcionários da firma W, é 3/5. Sendo N o número total de funcionários (número de homens mais número de mulheres), um possível valor para N é: a) 46 b) 49 9. Numa carta geográfica, 1 cm representa 10 km no real. Qual foi a escala usada nessa carta geográfica? 10. Um ônibus parte de uma cidade A às 13h15min. Após percorrer 302 Km, chega numa cidade B às 17h15min. A velocidade média do ônibus, nesse percurso, foi de: d) 54 11. (CESGRANRIO) Em uma empresa, a razão do número de empregados homens para o de mulheres é 3/7. Portanto, a porcentagem de homens empregados nessa empresa é: e) 56 a) 30% c) 50 b) 43% 05. (FCC) Para o transporte de valores de certa empresa são usados dois veículos, A e B. Se a capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de 32 000 quilogramas, então a razão entre as capacidades de A e B, nessa ordem, c) 50% d) 70% e) 75% equivale a a) 0,0075 % b) 0,65 % GABARITO 01 1/500 02 1/2000 c) 0,75 % Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 21 MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher 03 2 04 E Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro? 05 E Grandeza inversamente proporcional 06 1/50 6 = 72 8 ⇒ x= 96 kg x 07 1/50 08 1/250 09 1/1000000 TESTES 10 75,5 11 A 1. (FUNRIO) Constatou-se num vilarejo, que no ano de 2006, 120 pessoas foram vitimadas pela dengue. No ano seguinte, esse número caiu para 90 pessoas. Podemos dizer, então, que houve uma redução no número de vitimados da ordem de a) 20% REGRA DE TRÊS b) 25% REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA c) 30% Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Com 10Kg de trigo podemos fabricar 7Kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28Kg de farinha? d) 35% e) 40 % 2. Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia. Supondo que fossem percorridos 200 Km por dia, quantos dias seriam empregados para fazer a mesma viagem? Grandeza diretamente proporcional 10 x = 7 3. (ESPP) Dez trabalhadores de uma construtora fazem uma casa pré-fabricada em 90 dias. O número de pessoas, trabalhando no mesmo ritmo, que seriam necessárias para construir a mesma casa em 60 dias é: ⇒ x= 40 kg 28 REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA a) 12 b) 13 Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção. c) 14 d) 15 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. Com a velocidade média de 75 Km/h, um ônibus faz um percurso em 40 min. Devido a um pequeno 22 Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prof. Pacher congestionamento, esse ônibus faz o percurso de volta em 1h. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta? Prefeitura de Jaguarão c) 4 horas d) 3 horas 5. (NC.UFPR) Um trajeto pode ser feito de automóvel, em uma hora e quarenta e cinco minutos, à velocidade média de 80 quilômetros por hora. Em quanto tempo se faz o mesmo trajeto à velocidade média de 70 quilômetros por hora? 11. Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 Km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140 Km/h? a) 1 h 55 min c) 2 h 10 min e) 2 h 20 min 12. (NC.UFPR) Se em cada porção de 55 g de creme alimentício 60,5 mg são de cálcio, então o cálcio contido em 30 g desse creme é de: b) 2 h d) 2 h 15 min 6. Se meu carro pode percorrer um distância de 350 Km com 25 litros de gasolina, quantos quilômetros pode percorrer com 1litros de gasolina? a) 29 mg b) 30 mg c) 31 mg d) 32 mg e) 33 mg 7. Um trem percorre à velocidade de 60 km/h, vai da cidade de Curitiba até Paranaguá, em 90 minutos. Se a velocidade for de 120 km/h, qual será o tempo gasto? 13. (NC.UFPR) Uma empresa transportadora tem 180 encomendas para serem entregues em vários endereços da cidade. Observou-se que foram entregues 30 delas em 2 horas e 15 minutos. Se for mantida essa média de tempo gasto, para entregar todas as encomendas serão necessárias exatamente: 8. Sabemos que a carga máxima de um elevador é de 7 adultos com 80 Kg cada um. Quantas crianças, de 35 kg cada uma, atingiram a carga máxima desse elevador? a) 15 horas e 15 minutos. b) 14 horas e 30 minutos. c) 14 horas. d) 13 horas e 30 minutos. e) 1 e) 3 horas e 15 minutos 9. (ESPP) Uma classe de 30 alunos foi acampar e levou alimentos para 10 dias. Chegando ao local, encontraram mais 20 alunos. O número de dias que durarão os alimentos, com a nova turma é: 14 . (FCC-TRF) Suponha que quatro técnicos judiciários sejam capazes de atender, em média, 54 pessoas por hora. Espera-se que seis técnicos, com a mesma capacidade operacional dos primeiros, sejam capazes de atender, por hora, a quantas pessoas? a) 8 dias a) b) c) d) e) b) 6 dias c) 4 dias 71 75 78 81 85 d) 20 dias 10. (ESPP) Um atleta percorre um 20 km em 2h, mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ele percorrerá 30 km? a) 1 hora b) 2 horas Atualizada Janeiro/2010 15. (FCC-TRF) Duas impressoras têm a mesma capacidade operacional. Se uma delas imprime 72 cópias em 6 minutos, quanto tempo a outra leva para imprimir 30 cópias? a) b) c) d) 2 minutos e 12 segundos. 2 minutos e 15 segundos. 2 minutos e 20 segundos. 2 minutos e 24 segundos. Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 23 MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher e) 2 minutos e 30 segundos. 16. (ESPP) Uma classe de 30 alunos foi acampar e levou alimentos para 10 dias. Chegando ao local, encontraram mais 20 alunos. O número de dias que durarão os alimentos, com a nova turma é: a) 8 dias b) 6 dias c) 4 dias d) 20 dias 17. (ESPP) Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo, dois trabalhadores constroem uma casa? a) 10 dias b) 20 dias c) 16 dias d) 5 dias 18. (FUNRIO/2008-RJ) Uma lata de óleo de cozinha custava R$2,40 quando sofreu um aumento de 5%. Agora, para comprar uma caixa com uma dúzia de latas de óleo, Mário vai gastar a) b) c) d) e) R$30,00 R$30,08 R$30,16 R$30,24 R$30,32 c) R$ 1039,50 d) R$ 2821,50 e) R$ 2700,00 GABARITO 01 B 02 9 03 D 04 50 05 B 06 14 07 45 08 16 09 B 10 D 11 3 12 E 13 D 14 D 15 E 16 B 17 C 18 D 19 D 19. (FUNRIO/2008- MG) Uma TV de plasma 32” custa R$ 2970,00. Para pagamento à vista tem-se um desconto de 5% do seu valor. Então o valor feito no pagamento à vista foi de: REGRA DE TRÊS COMPOSTA a) R$ 2673,00 b) R$ 2227,50 24 Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher x 960 60 0,66 C1 C2 C3 C4 c) 6 dias d) 7 dias 600 ↓ x 33 ↓ 960 1,28 ↓ 60 C6 Horas b)2,5 dias 7 C5 Padeiros a) 4 dias 7 Gordura Farinha Pães EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Para produzir 600 pães foram gastos 33 kg de farinha de trigo e 1,28 kg de gordura e foram necessários 2 padeiros, que trabalharam 4 horas por dia, durante 7 dias. Quantos dias serão necessários para produzir 960 pães, utilizando-se 60 kg de farinha e 0,66 kg de gordura, com 3 padeiros trabalhando 7 horas por dia? 3 Resolução por setas Dias Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações. O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação. 2 0,66 4 ↑ ↓ 3 ↑ 7 As setas no quadro acima, mostram que as colunas C5 e C6, são inversamente proporcionais à coluna C1, enquanto as demais são diretamente proporcionais a C1. Os dados na coluna C4, podem ser representados, suprimindo-se a vírgula (mesmo número de algarismos após a vírgula). Resolução: Este teste está resolvido pelo “dispositivo das setas” A equação será formada, invertendo-se os dados das colunas, C5 e C6, para que as setas fiquem apontadas para baixa, como as demais setas. DISPOSITIVO DAS SETAS Dispondo os dados em coluna, respeitando a mesma natureza e na mesma unidade de grandeza, obtemos a seguinte formação: 7 x Horas Padeiros Gordura Farinha Pães Dias 600 33 1,28 2 33 ⋅ 960 128 ⋅ 60 3 ⋅ 66 7 ⋅ 2 4 Processadas as simplificações no segundo membro, obtemos a nova equação: 7 7 = x 4 7 600 = logo x=4 4 E finalmente o valor de x, x =4. Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 25 MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher Tempo (min) ↑ 02. Para reduzir a termo pedidos orais, um funcionário que digita, em média, 60 caracteres por minuto atende 5 pessoas em 90 minutos. Após um período de reciclagem, o mesmo funcionário passa a atender 6 pessoas em 80 minutos. Sendo assim, o número de caracteres por minuto que agora ele digita é igual a: Fazendo a montagem da tabela conforme naturezas e grandezas, obtemos a regra de três composta: N° caracteres Tempo (min) N° pessoas 60 90 5 x 80 6 90 60 - - 80 x + 1) Mantendo o tempo fixo. N° pessoas N° caracteres - 5 60 - + 6 x + ↓ É uma grandeza inversamente proporcional. Formamos a equação. ⇒ x = 81 TESTES 1. Numa fábrica de calçados trabalham 16 operários, que produzem, em 8 horas diárias de serviço, 240 pares de calçados por dia. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, se a jornada de trabalho diária for de 10 horas? II) Discussão verificar se as grandezas são diretamente e/ou inversamente proporcionais. ↓ + 60 5 80 = ⋅ x 6 90 RESOLUÇÃO N° caracteres ↓ É uma grandeza diretamente proporcional. 2. (UFMG) Durante 60 dias, 10 máquinas, funcionando um certo número de horas por dia, produzem 90 000 peças. Qual é o número de dias que 12 dessas máquinas, funcionando o mesmo número de horas por dia, levarão para produzir 135 000 peças? 3. Meia dúzia de datilógrafas, preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafas, com a mesma capacidade das primeiras, prepararão 800 páginas? 4. Em uma granja, 32 galinhas produzem em média 100 dúzias em 10 dias. Quantas dúzias de ovos serão produzidas por 8 galinhas em 16 dias? 2) Mantendo o número de pessoas fixo. 26 Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prof. Pacher 5. (USP-SP) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3Kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentar-las durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas? 6. Dez máquinas fabricam 400m de tecidos em 16 dias. Em quantos dias 12 máquinas que têm o mesmo rendimento que as primeiras fazem 300m desse mesmo tecido? 7. Na merenda escolar, 40 crianças consumiram 156 litros de leite em 15 dias. Quantos litros de leite deverão ser consumidos por 45 crianças em 20 dias? 8. Em 3 horas, 3 torneiras despejam 2700 litros de água. Quantos litros despejam 5 dessas torneiras em 5 horas? Prefeitura de Jaguarão 11. Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia assentaram 255 postes de luz em 17 dias, quantos operários, com a mesma habilidade dos primeiros, serão precisos para assentar 420 postes em 25 dias de 7 horas de trabalho? a) 38 b) 40 c) 42 d) 44 e) 3 e) 5 12. (FCC) Uma máquina copiadora produz 1.500 cópias iguais em 30 minutos de funcionamento. Em quantos minutos de funcionamento outra máquina, com rendimento correspondente a 80% do da primeira, produziria 1 200 dessas cópias? a) 30 b) 35 9. Um supermercado dispõe de 20 atendentes que trabalham 8 horas por dia e custam R$ 3.600,00 por mês. Se o supermercado passar a ter 30 atendentes trabalhando 5 horas por dia, eles custarão, por mês, d) 42 e) 45 13. (ESAF) Cinco trabalhadores de produtividade padrão e trabalhando individualmente beneficiam ao todo 40 kg de castanha por dia de trabalho de 8 horas. Considerando que existe uma encomenda de 1,5 toneladas de castanha para ser entregue em 15 dias úteis, quantos trabalhadores de produtividade padrão devem ser utilizados para se atingir a meta pretendida, trabalhando dez horas por dia? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 a) R$ 3.375,00. b) R$ 3.400,00. c) R$ 3.425,00. d) R$ 3.450,00. e) R$ 3.475,00. 10. (PUCCMP-SP) Operando 12 horas por dia, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4000 peças em: Atualizada Janeiro/2010 c) 40 14. Com uma chapa metálica retangular de 1,5 m de comprimento por 2 m de largura, fazem-se 2 000 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 27 MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher arruelas. Quantas dessas arruelas podem-se fazer com uma chapa retangular de 2,5 m de comprimento por 3 m largura ? 15. (FUNRIO/2008-RJ) Numa clínica, três enfermeiras, trabalhando 8 horas por dia, atendem 480 pessoas. Com objetivo de aumentar o número de atendimentos, foram contratadas duas enfermeiras e a carga horária de trabalho de todas as enfermeiras passou a ser de 10 horas por dia. Pode-se esperar que o número de atendimentos passe a ser de: d) 45 minutos e) 50 minutos 18. (FCC) Uma indústria tem 34 máquinas. Sabese que 18 dessas máquinas têm, todas, a mesma eficiência e executam certo serviço em 10 horas de funcionamento contínuo. Se as máquinas restantes têm 50% a mais de eficiência que as primeiras, funcionando ininterruptamente, executariam o mesmo serviço em: a) 8 horas e 40 minutos b) 8 horas e 20 minutos c) 7 horas e 45 minutos d) 7 horas e 30 minutos a) b) c) d) e) e) 7 horas e 15 minutos 900 800 1000 700 600 GABARITO 16. Um batalhão de 1600 soldados tem víveres para dez dias à razão de três refeições diárias para cada homem. No entanto, juntaram-se a esse batalhão mais 400 soldados. Quantos dias durarão os víveres, se foi decidido agora que cada soldado fará duas refeições por dia? 17. (FCC) Uma impressora trabalhando continuamente emite todos os boletos de pagamento de uma empresa em 3 horas. Havendo um aumento de 50% no total de boletos a serem emitidos, três impressoras, iguais à primeira, trabalhando juntas poderão realizar o trabalho em 1 hora e: a) 30 minutos b) 35 minutos 01 32 02 75 03 15 04 40 05 5 06 10 07 234 08 7500 09 A 10 8 11 B 12 A 13 B 14 5000 c) 40 minutos 28 Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher 15 C 16 12 17 A 18 D EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Um elevador em movimento constante, eleva-se em 15 segundos 3 metros. Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência: Tempo (seg) 15 30 45 PROPORÇÃO PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do elevador também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do elevador também é triplicada. Sejam a, b, c, e d números reais não nulos. I) a = c b implica axd = Altura (m) 3 6 9 bxc Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo. d ∇ II) a = b c implica a+b d = 02. Quando o intervalo de tempo passa de 15 seg para 30 seg, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura do elevador varia de 3 m para 6 m, ou seja, a altura varia na razão 3/6. Observamos que estas duas razões são iguais: c+d b d ∇ III) ∇ IV) a b = c d implica a+c b+d a b = c d implica a 2 b 2 = = a b 2 c 2 d = = c d axc bxd GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 15 30 a m = b n = c = p k = a+b+c = 1 2 03. Quando o intervalo de tempo varia de 15 seg para 45 seg, a altura varia de 3 m para 9 m. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a altura na razão 3/9. Então, notamos que essas razões são iguais: 15 45 (a, b, c) é diretamente proporcional a (m, n, p) se, e somente se: = 3 6 = 3 9 = 1 3 Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que o elevador eleva-se e o valor numérico da altura atingida é sempre igual, assim dizemos então que a altura do é diretamente proporcional ao tempo. m+n+p GRANDEZAS INVERSAMENTE Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 29 MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher PROPORCIONAIS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS GRANDEZAS INVERSAMENTES PROPORCIONAIS (a, b, c) é inversamente proporcional a (m, n, p) se, e somente se: 01. A divisão do número de vereadores de determinada cidade é proporcional ao número de votos que cada partido recebe. Na última eleição nesta cidade, concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que receberam a seguinte votação: A teve 10 000, b teve 20 000 e C teve 40 000. Se o número de vereadores dessa cidade é 21. quantos deles são do partido B? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 ou mxa = nxb = pxc = k Exemplo: 1. Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a 180 Km da primeira. Se o percurso é realizado em: 1 hora, o carro mantém velocidade média de 180 Km/h; 2 horas, o carro mantém velocidade média de 90 Km/h; 3 horas, o carro mantém velocidade média de 60 Km/h. Sendo que Km/h=quilômetro por hora. Resolução I) x = número de candidatos do partido A, que é proporcional ao nº de votos obtidos. y = número de candidatos do partido B, que é proporcional ao nº de votos obtidos. z = número de candidatos do partido C, que é proporcional ao nº de votos obtidos. Construiremos uma tabela desta situação: Velocidade km/h 180 90 60 Tempo h 1 2 3 De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 1 hora com velocidade média de 180 Km/h. Quando diminui a velocidade à metade, ou seja 90 Km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade para a terça parte, 60 Km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica. Concluímos que para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são inversamente proporcionais. 30 Atualizada Janeiro/2010 II) Formadas as proporções, obtemos relações entre x, y e z, que indicam o número de votos de cada partido. x 10000 1 x 1 = = ⇒ = ⇒ y=2x y 20000 2 y 2 1ª equação x 10 000 1 x 1 = = ⇒ = ⇒ z =4x 2ª equação z 40 000 4 z 4 y 20 000 2 1 y 1 = = = ⇒ = ⇒ z =2y 3ª equação z 40 000 4 2 z 2 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher III) Adicionando o número de candidatos, obtemos a formação que segue: x + y + z = 21...................trocando: trocando z por 4x y por 2x e Obtemos a nova formação em x, siga: x + 2x + 4x = 21.................7x = 21......... x=3 Para x = 3........subst. na 1ª eq. y = 2x.......y = 2(3) = 6...... y = 6 Para x = 3.........subst. na 2ª eq. z = 4x.........z = 4(3) = 12........ z = 12 2. (ESAF) Um segmento de reta ligando dois pontos em um mapa mede 6,5 cm. Considerando que o mapa foi construído numa escala de 1: 25 000, qual a distância horizontal em linha reta entre os dois pontos? a) 162,5 m b) 15 hm c) 1,5 km d) 1,6 km e) 1 625 m 3. Quando se usa uma escala de 1:400, uma distância de 2,5 cm no desenho corresponde a quantos metros no real? 4. (FCC) Um técnico bancário foi incumbido de digitar as 48 páginas de um texto. Na tabela abaixo, têm-se os tempos que ele leva, em média, para digitar tais páginas. NÚMERODE PÁGINAS O número de candidatos do partido B, indicados pela letra y, é: y = 6 TEMPO (MINUTOS) Resposta, alternativa A 1 12 2 24 3 36 4 48 TESTES 1. (ESAF) Achar uma fração equivalente a 7/8 cuja soma dos termos é 120. Nessas condições, mantida a regularidade mostrada na tabela, após 9 horas de digitação desse texto, o esperado é que: a) 52/68 b) 54/66 c) 56/64 d) 58/62 a) b) c) d) e) Ainda devam ser digitadas 3 páginas. Todas as páginas tenham sido digitadas. Ainda devam ser digitadas 9 páginas. Ainda devam ser digitadas 8 páginas. Ainda devam ser digitadas 5 páginas. e) 60/60 Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 31 MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher 7. Uma mistura está formada por 4 partes de álcool e 3 partes de água. Quantos litros de álcool há em 140 litros dessa mistura? 5. (CESPE) 8. (FCC) Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10h, uma torneira B, enche o mesmo tanque sozinha em 15h. Em quanta horas as duas torneiras juntas encherão o tanque? O mapa do estado do Pará ilustrado acima está desenhado na escala 1:17.000.000, ou seja, uma distância de 1 cm no mapa corresponde à distância real, em linha reta, de 17 milhões de centímetros. Ao medir, com a régua, a distância no mapa entre Jacareacanga e Belém, um estudante encontrou 6,7 cm. Com base apenas nessas informações, é correto o estudante concluir que a distância real, em linha reta, entre essas duas cidades é a) inferior a 1.000 km. b) superior a 1.000 km e inferior a 1.080 km. c) superior a 1.080 km e inferior a 1.150 km. d) superior a 1.150 km. 06. (FCC) Um determinado serviço é realizado por uma única máquina em 12 horas de funcionamento ininterrupto e, em 15 horas, por uma outra máquina, nas mesmas condições. Se funcionarem simultaneamente, em quanto tempo realizarão esse mesmo serviço? a) b) c) d) e) 32 3 horas. 9 horas. 25 horas. 4 horas e 50 minutos. 6 horas e 40 minutos. Atualizada Janeiro/2010 9. Se uma torneira enche um tanque em 60 minutos e uma outra torneira enche o mesmo tanque em 30 minutos, em quanto tempo as duas torneiras juntas, enchem o tanque? 10. (FCC) Uma torneira gasta sozinha 20 min para encher um tanque. Outra torneira sozinha gasta 5min para encher o mesmo tanque. Em quanto tempo, as duas torneiras juntas enchem esse tanque? 11. (FCC) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito? a) 2 horas e 7 minutos. b) 2 horas e 5 minutos. c) 1 hora e 57 minutos. d) 1 hora e 43 minutos. e) 1 hora e 36 minutos. GABARITO 01 C 02 E 03 10 04 A 05 C Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher 06 E 07 80 08 6 09 20 10 4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Um aparelho de som pode ser comprado em 4 prestações de R$ 150,00 ou à vista com 10% de desconto. Quanto será pago, em reais, se a compra for deita à vista? Resolução: 11 D I) O custo final do aparelho em 4 prestações iguais a R$ 150,00, totaliza R$ 600,00. PORCENTAGEM Custo final = 4x150 = 600,00 CÁLCULO DE PORCENTAGEM II) Para pagamento a vista, terá 10% de desconto. Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento quer dizer por cem (dividido por cem). Toda razão da forma p/q na qual o denominador q=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem. Em geral, para indicar um índice de a por cento, escrevemos a % e para calcular a % de um número b, realizamos o produto: Custo à vista = 600 -10%x600 = 600 – 0,10x600= 600 – 60 = R$ 540,00 a % de b é o mesmo que: a%.b a ⋅b a%.b é o mesmo que : 100 ACRESCIMO PERCENTUAL Acrescentar a% de b, em b. Resposta: R$ 540,00 02. Do total de funcionários da empresa Fios S/A, 20% são da área de informática e outros 14% ocupam os 21 cargos de chefia. Quantos funcionários dessa empresa NÃO trabalham na área de informática? b + a%.b DECRESCIMO PERCENTUAL Decrescer a% de b, em b. b - a%.b Atualizada Janeiro/2010 a) 30 b) 99 c) 110 d) 120 e) 150 Resolução: I) Pela regra de três diretamente proporcional, envolvendo 14% que tem correspondência com 21 cargos, poderemos obter o total de funcionários da empresa. Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 33 MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher • fica devendo R$ 960,00 – R$ 500,00 = R$ 460,00; Nº de funcionários • paga R$ 500,00 no mês seguinte e portanto paga R$ 40,00 de juros. Porcentagem % 4) A taxa de juros mensal cobrada sobre o que 21 → 14 ficou devendo é x → 40, 00 = 460, 00 100 2 ≅ 0, 0869 ≅ 8, 7% 23 Ou por uma regra de três simples. II) O total de funcionários que trabalham na área de informática, é de 20%, restando para outras funções na empresa, 80%. Não informática = 80% de 150 = 80%.150 = 80 .150 100 $ 40,00 .x% $ 460,00 100% = 120 Reposta: letra A 120 não trabalham na área de informática. TESTES Resposta, alternativa D 1. (ESAF) Na compra a vista de um produto que custava R$ 180,00, um consumidor conseguiu um desconto de 12%. Por quanto saiu o produto? 03. Um aparelho de TV é vendido por R$ 1.000,00 em dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o 1º como entrada e o 2º um mês após a compra. Se o pagamentofor feito à vista, há um desconto de 4% sobre o preço de R$ 1.000,00. A taxa mensal de juros simples do financiamento é aproximadamente igual a: a) R$ 158,40 b) R$ 160,00 c) R$ 162,00 d) R$ 162,45 e) R$ 170,00 Resolução I) Preço de venda: R$ 1.000,00 2. (ESPP) O resultado da soma de 45% de 90 com 30% de 95 é: II) Preço da TV para pagamento à vista com desconto de 4%: a) 40,5 (100% – 4%) R$ 1.000,00 = R$ 960,00 III) No pagamento em duas parcelas, o cliente: • paga R$ 500,00 no ato; 34 Atualizada Janeiro/2010 b) 69 c) 100 d) 102,5 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prof. Pacher 3. (FCC/2008-DEF. PÚBLICA/SP) Após um aumento de 15% no preço da gasolina, um posto passou a vender o litro do combustível por R$ 2,599. O preço do litro de gasolina antes do aumento, em reais, era igual a a) b) c) d) e) 2,18 2,21 2,23 2,26 2,31 Prefeitura de Jaguarão e) 800 7. (ESAF) Um trabalhador teve um aumento salarial de 10% em um ano e de 20% no ano seguinte. Qual foi o aumento salarial total do trabalhador no período? a) 40% b) 32% 4. (ESPP) Num concurso foram inscritos 8600 candidatos. Dos inscritos, 15% faltaram. Logo, o número de candidatos que compareceram foi: c) 30% a) 1290 e) 10% d) 20% b) 6450 8. (ESAL-MG) Após conseguir um desconto de 15% no preço de uma mercadoria, foram pagos R$ 1 700,00 por essa mercadoria. O preço, sem desconto, seria em R$ de: c) 7310 d) 9890 a) 1 850,00 5. (ESAF) Transformando a fração 2/5 em taxa percentual, teremos: b) 1 950,00 a) 37,5% c) 2 200,00 b) 40% d) 1 900,00 c) 32,5% e) 2 000,00 d) 1,25% e) 35,7% 6. (PUCCAMP) O chefe de um setor recebe a incumbência de distribuir um prêmio de R$ 12.000,00 entre três funcionários, de acordo com a eficiência de cada um. Se um deles receber 20% desse valor e o segundo receber 55%, quanto receberá, em reais, o terceiro? a) 5 000 b) 3 000 c) 2 400 d) 1 600 Atualizada Janeiro/2010 9. Uma mercadoria foi vendida a uma pessoa com o lucro de 20%; esta vendeu-a com o lucro de 10%, e por fim, esta terceira vendeu-a com lucro de 5%. Qual a taxa única, que representa o valor final da mercadoria, após o último aumento. 10. Durante sua viagem ao país das Maravilhas a altura de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas da seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se lia: "beba-me e fique 25% mais alta". A seguir, comeu um pedaço de uma torta onde estava escrito: "prove-me e fique 10% mais baixa"; logo Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 35 MATEMÁTICA Prof. Pacher Prefeitura de Jaguarão após tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a mensagem: "beba-me e fique 10% mais alta". Finalmente, comeu um pedaço de outra torta na qual estava escrito:"proveme e fique 20% mais baixa". Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela: relação ao ano anterior. Além disso, suponha que o carro custa o dobro de uma moto e uma moto o dobro de uma bicicleta. Sendo assim, ao final de 5 anos: a) b) c) d) e) b) o carro valerá mais que a moto e a moto valerá mais que a bicicleta. ficou 1% mais baixa ficou 1% mais alta ficou 5% mais baixa ficou 5% mais alta ficou 10% mais alta a) nenhum dos 3 valerá nada. c) apenas a bicicleta valerá algo. d) a bicicleta valerá mais que o carro. 11. Ao comprar uma mercadoria, pagando a vista, obtive um desconto de 15% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 357,00 pela mercadoria, qual era o preço original? e) a bicicleta valerá mais que a moto. 14. (UFRJ-NCE) Ana vendeu uma bolsa por R$ 54,00, obtendo um lucro de 20% sobre o preço de custo. O lucro de Ana, em reais, foi de: 12. (ESAF) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou: a) exatamente igual b) 5% maior c) 5% menor a) b) c) d) e) R$ 64,80; R$ 43,20; R$ 13,50; R$ 10,80; R$ 9,00. 15. (MACK-SP) Um concurso, desenvolvido em três etapas sucessivas e eliminatórias, eliminou 30% dos ;: candidatos iniciais na 1ª etapa, 20% dos remanescentes na 2ª etapa e 25% dos que ainda permanecem na 3ª etapa. Assim, cumpridas as 3 etapas, a porcentagem de k que permaneceu é: a) 25% b) 35% c) 38% d) 40% e) 42% d) 10% menor e) 10% maior 16. (FCC) O preço de um objeto foi aumentado em 13. (ESAF/2009-SEFAZ/SP) Suponha que um 20% de seu valor. Como as vendas diminuíram, o carro perde por ano 20% de seu valor em relação novo preço foi reduzido em 10% de seu valor. Em ao ano anterior, uma moto perde por ano 30% de relação ao preço seu valor em relação ao ano anterior e uma bicicleta perde por ano 10% de seu valor em 36 Atualizada Janeiro/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher c) um aumento de 2%. 20. (ESPP) Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 30%. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$ 19.500,00. Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro, para o importador? d) uma diminuição de 2%. a) R$ 22.500,00 e) uma diminuição de 10%. b) R$ 24.000,00 inicial, o preço final apresenta a) um aumento de 10%. b) um aumento de 8%. c) R$ 25.350,00 17. (FCC) Atualmente, o aluguel da casa onde Carlos mora é $ 320,00. Se, no próximo mês, esse aluguel sofrer um aumento de 8% do seu valor, o novo aluguel será: a) $ 328,00 b) $ 337,00 c) $ 345,60 d) $ 345,60 e) $ 354,90 18. (ESAF) As vendas de uma microempresa passaram de R$ 3.000,00 no mês de janeiro para R$ 2.850,00 no mês de fevereiro. De quanto foi a diminuição relativa das vendas? d) R$ 31.200,00 GABARITO 01 A 02 B 03 D 04 C 05 B 06 B 07 B 08 E 09 38,6% 10 A 11 420 12 D 13 E 14 E a) 4% b) 5% c) 6% d) 8% e) 10% 15 E 19. Na lanchonete, um sanduíche que custava R$ 2,80 teve seu preço aumentado em 25%. Esse sanduíche passou a custar : 16 B 17 C a) R$ 3,50 c) R$ 2,95 18 B 19 A Atualizada Janeiro/2010 b) R$ 3,05 d) R$ 0,70 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 37 MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher 20 ax = - b B Para isolar x, passe o a operando inversamente. EQUAÇÃO DO 1º GRAU x = - b/a DEFINIÇÃO O conjunto verdade (raízes) é: V={ -b/a } Equação do primeiro grau com uma incógnita, é a equação que pode ser reduzida à forma: a≠0 ax + b = 0 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Em que: • x é a incógnita • a e b são constantes reais denominadas coeficientes. • b é o termo independente 01. Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1 000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de: a) 2 400,00 b) 2 200,00 c) 2 100,00 d) 1 800,00 e) 1 400,00 RESOLUÇÃO Nas equações, é costume chamar os valores que satisfazem as equações de raízes. Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto-verdade, isto é, o conjunto de suas raízes. Para a equação do 1º grau Resolução I) Fazendo x= prêmio, P1, P2 e P3 as três pessoas P1 1/4 de x = 1/4.x = X/4 P2 1/3 de x = 1/3.x = X/3 1 000 = 1 000 P3 R$ 1 000,00 = ax + b = 0 II) Adicionando as três partes obteremos o todo “x”. Passe o termo independente para o 2º membro 38 Atualizada Janeiro/2010 P1 + P2 + P3 = x Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prof. Pacher x 4 + x 3 + 1 000 = x ...o mmc (3 , 4) = 12 Prefeitura de Jaguarão c) 5/11 d) 11 3x + 4x + 12 000 12 = 12x 12 ....simplifique o denominador comum aos membros 04. (UFU-MG) O valor de x tal que 4 x − 1 −2 x + 1 = 2 3 é: a) 0 3x + 4x + 12 000 = 12x ....adicione o termos semelhantes em x e passe para o b) 5/16 c) 3 segundo membro d) 16/5 12 000 = 5x ....isole x, passando o multiplicador 5 de x para a operação inversa, divisão. Execute a operação de divisão. 05. (F. OBJETIVO-SP) Se x +3 − 5 = x + 1, então: 4 a) x = 6 Resposta: R$ 2 400 b) x = 8 c) x = -7 TESTES d) x = -9 01. Resolva a equação: 12x – 4 = 10x + 3 02. (PUC-RJ) A raiz da equação x − 3 x −1 = é: 7 4 06. (FCC) Um automóvel percorre uma certa distancia na 1ª hora de seu movimento, 3/4 dela na 2ª hora e a metade dela na 3ª hora. Ao final da 3ª hora, o motorista nota que se percorrer mais 75km completará o percurso que é o triplo do que percorreu na 1ª hora. Quantos km percorreu na 2ª hora? a) b) c) d) e) a) -3/5 b) 3/5 45 50 60 75 80 c) -5/3 d) 5/3 03. (FIA-SP) Se 3x = x −3 +2 4 a) 0 b) 1/11 Atualizada Janeiro/2010 07. (UFRJ-NCE) Se 2/5 de uma certa quantia corresponde a R$ 56,00, então 9/7 desta mesma quantia corresponde a: a) b) c) d) e) R$ 22,40 R$ 28,80 R$ 56,00 R$ 72,00 R$ 180,00 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 39 MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher 08. (UFRJ-NCE) Uma cooperativa de suco produz semanalmente 120 garrafas de 3 litros. Se a capacidade de cada garrafa fosse de 5 litros, o número de garrafas utilizadas semanalmente seria: a) b) c) d) e) 24 72 100 192 200 c) 39 d) 279 e) 27 13. (OB M) A balança da figura está em equilíbrio com bolas e saquinhos de areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais e os saquinhos também. O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas 09. (FCC) Qual a idade atual de uma pessoa se daqui a 8 anos ela terá exatamente o triplo da idade que tinha há 8 anos atrás? bolas? a) 15 anos. b) 16 anos. c) 24 anos. d) 30 anos. e) 32 anos. a) 1 10. Roberto disse a Valéria: "pense um número, dobre esse número, some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?". Valéria disse "15", ao Roberto que imediatamente revelou o número original que Valéria havia pensado. Calcule esse número. 11. (FCC) Obter dois números consecutivos inteiros cuja soma seja igual a 57. 12. (OBM) Renata digitou um número em sua calculadora, multiplicou-o por 3, somou 12, dividiu o resultado por 7 e obteve o número 15. O número digitado foi: a) 31 b) 7 40 Atualizada Janeiro/2010 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 14. (UPNET) Qual dos números abaixo é solução da equação: a) b) c) d) e) 3 − 5x 8 − x−3 4 = 1− 2+x 8 -5/16 1 -1/2 ½ 5/16 15. (FCC) Um trabalhador gasta 1/3 de seu salário com aluguel de casa e 1/5 com transporte. Quanto resta para outras despesas, se seu salário é de R$ 780,00 ? a) b) c) d) e) R$ 343,00 R$ 364,00 R$ 416,00 R$ 468,00 R$ 585,00 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prof. Pacher 16. (OBJETIVO) Dividindo-se o numero natural n por 17, obtemos o quociente 283 e o resto 6. podemos afirmar que n é igual a: b) 4 917 c) 3 815 d) 4 618 a) b) c) d) e) e) 4 418 17. Um número decimal x o resultado da divisão de 73 por 8. Quanto vale x? 18. (FCC) João gasta 1/3 do seu salário no aluguel do apartamento onde mora e 2/5 do que lhe sobra em alimentação, ficando com R$ 480,00 para as demais despesas. Portanto, o salário de João é igual a: R$ 1 200,00 R$ 1 500,00 R$ 1 800,00 R$ 2 100,00 R$ 2 400,00 19. (FGV) Para uma determinada viagem foi fretado um avião com 200 lugares. Cada pessoa deve pagar R$ 300,00 mais uma taxa de R$ 6,00 por cada lugar que ficar vago. Qual a receita arrecadada se comparecerem 150 pessoas para a viagem? 20. (FCC) Nos três andares de um prédio de apartamentos moram 68 pessoas. Sabe-se que: o número de residentes no segundo andar é o dobro do número dos que residem no primeiro; os residentes no terceiro andar excedem em 20 pessoas o número dos que residem no primeiro andar. Se x, y e z são os números de residentes no primeiro, segundo e terceiro andares, respectivamente, então a) x = 15 b) y = 25 c) z = 36 Atualizada Janeiro/2010 d) x = 12 e) y = 20 21. (FCC/2007-PMSP) Dois quintos da verba mensal de uma escola são reservados para projetos com os alunos e um terço do que sobra para gastos de emergência. A escola fica então com R$ 1.800,00 para os demais gastos. A verba mensal desta escola, em reais, é a) 4 817 a) b) c) d) e) Prefeitura de Jaguarão 3.600 4.500 5.400 6.300 7.200 22. Numa caminhada, Marcos percorreu um terço do percurso total até fazer uma primeira parada para descansar. Depois, percorreu novamente um terço do percurso restante e fez a sua segunda e última parada. Na etapa final, percorreu mais 1600 metros, chegando ao término da sua caminhada. Marcos caminhou um total de a) b) c) d) e) 3000 metros 3200 metros 3400 metros 3600 metros 3800 metros 23. (OBM) Toda a produção mensal de latas de refrigerante de uma certa fábrica foi vendida a três lojas. Para a loja A, foi vendida metade da produção; para a loja B, foram vendidos 2/5 da produção e para a loja C, foram vendidas 2500 unidades. Qual foi a produção mensal dessa fábrica? a) 4166 latas b) 10000 latas c) 20000 latas d) 25000 latas e) 30000 latas 24. (CESGRANRIO) Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 41 MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher ganhou R$ 1 000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de: 22 D 23 D 24 A a) 2 400,00 b) 2 200,00 c) 2 100,00 d) 1 800,00 e) 1 400,00 GABARITO 01 7/2 FUNÇÕES DO 1º GRAU FUNÇÃO CONSTANTE Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k , onde k é um número real que não depende de x. 02 C 03 C 04 B Exemplos: 05 C a) f(x) = 9 06 D 07 E 08 B Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x . 09 B Veja o gráfico a seguir: 10 9 11 28 e 29 12 A 13 B 14 E 15 B 16 A 17 9,125 18 A 19 90 000 20 D 01. f(x) = 2x + 8 ( a = 2 ; b = 8 ) 21 B 02. f(x) = -5x + 5 (a = -5; b = 5). 42 b) f(x) = -2 FUNÇÃO DO 1º GRAU Atualizada Janeiro/2010 Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ≠ 0 . Exemplos : Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU 01. (PUC-MG) A tabela a seguir foi gerada a partir da função linear y = ax + b. I) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta decrescente quando a<0. x y 5,2 23,0 5,3 24,0 5,4 5,5 25,0 26,0 5,6 27,0 O valor de a – b é: II) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta crescente quando a>0. a) b) c) d) e) 29 35 39 41 43 02. Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico: y 2 III) Na função f(x) = ax + b , x 0 4 • se b = 0 , f é dita função linear e • se b ≠ 0, f é dita função afim . IV) O gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = - b/a . V) O gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b), que é o termo independente b, onde b é chamado coeficiente linear . VI) O valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta. VII) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem, no ponto (0, 0). TESTES Atualizada Janeiro/2010 a) b) c) d) e) f(x)= -x+2 f(x) = -x/2 + 1 f(x)= -x/2 + 2 f(x)=4x f(x)= -x 03. Obtenha a função do 1º grau na variável x que passa pelos pontos ( 0, 1 ) e ( -3, 0): a) b) c) d) e) y= x/3 y=-x/3 + 1 y= 2x y= x/3 +1 y= -x 04. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta: Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 43 MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher y y 3 x 0 x -2 a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a=0;b=0 a>0;b>0 a<0;b>0 a>0;b=0 a>0;b<0 05. ( UF-MA ) A representação da função y = -3 é uma reta : a) b) c) d) e) paralela aos eixo das ordenadas perpendicular ao eixo das ordenadas perpendicular ao eixo das abscissas que intercepta os dois eixos nda 06. ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando : 0 y = 2x - 3 y = - 2x + 3 y = 1,5 x + 3 3y = - 2x y = - 1,5x + 3 08. ( FGV - SP ) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor de m + n é : a) b) c) d) e) 13/5 22/5 7/5 13/5 2,4 o 09. ( PUC - MG ) Uma função do 1 grau é tal que f(-1) = 5 e f(3)=-3. Então f(0) é igual a : y x 0 a) b) c) d) e) Atualizada Janeiro/2010 0 2 3 4 -1 10. ( FUVEST-SP ) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é : a<2 a<0 a=0 a>0 a=2 07. ( ITAJUBA-MG ) O gráfico abaixo pode representar qual das expressões ? 44 a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) f(x)= x-3 f(x)= 0,97x f(x)=1,3x f(x)=-3x f(x)= 1,03x Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher 11. (EXPCEX) O crescimento de um vegetal, sob certas condições e a partir de uma determinada altura, segue a função do gráfico abaixo. Mantidas tais condições, pode-se afirmar que a função que representa o crescimento do vegetal e sua altura no 12° dia são, respectivamente: y -1 0 x -2 a) b) c) d) e) a) h( t ) = 1 t −5 2 e 12 cm 15 h= m = 2t t = 2m m=t m+t=0 m - t=4 14. (UFPR) No interior de uma caverna existe uma estalagmite cuja altura aumenta de modo constante à razão de 1 cm a cada 10 anos. Nessas condições, a função h definida por h(t) = b) h( t ) 1 5 = t− 3 3 e h= 12 cm 5 c) h( t ) 1 = t +1 5 e h= 17 cm 5 d) h( t ) = 1 t +1 4 e e) h( t ) = t −5 5 e h= h= 17 cm 5 12 cm 15 12. ( MACK - SP ) A função f é definida por f(x)= ax + b . Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor de f( 3 )é: a) b) c) d) e) ≥ 0, relaciona a altura da estalagmite(em centímetros) com o tempo t (em anos) decorrido desde o inicio da sua formação. I) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o gráfico da função h é uma parábola. II) h(80) = 80 III) São necessários 200 anos para que haja um aumento de 20 cm na altura da estalagmite. IV) A altura da estalagmite proporcional ao tempo t. 13. ( UNIFOR ) Seja a função f de R em R definida por f(x) = mx + t representada pelo gráfico abaixo. Nestas condições: Atualizada Janeiro/2010 é diretamente Assim é correto afirmar: a) b) c) d) e) 0 2 -5 -3 -1 t , com t 10 FFVV VVVV FFFF VVFF FVFV 15. (FAE-PR) Dois números inteiros positivos são tais que a sua soma mais a sua diferença mais o seu produto é igual a 50. Quantas são as possíveis soluções para esse problema? Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 45 MATEMÁTICA Prefeitura de Jaguarão Prof. Pacher a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 20 b) 2 c) 40 d) 4 16. (UERJ-RJ) Analise o gráfico e a tabela: km a) b) c) d) e) Gasolina Álcool 14 10 1 COMBUSTÍVEl litro PREÇO POR LITRO (em Reais) Gasolina 1,50 Álcool 0,75 De acordo com esses dados, a razão entre o custo do consumo, por km, dos carros a álcool e a gasolina é igual a: a) b) c) d) 18. (Acafe-SC) Um táxi começa uma corrida com o taxímetro marcando R$ 4,00. Cada quilômetro rodado custa R$ 1,50. Se, ao final de uma corrida, o passageiro pagou R$ 37,00, a quantidade de quilômetros percorridos foi: 4/7 5/7 7/8 7/10 22 11 33 26 32 19. (ACAFE-SC) Dois atletas A e B fazem teste de Cooper numa pista retilínea, ambos correndo com velocidade constante. A distância (d) que cada um percorre é mostrada no gráfico abaixo. d(m) B 500 400 300 200 100 0 A 10 20 30 x t(min) Com base no gráfico, a alternativa correta é: 17. (EPCAR) A reta do gráfico abaixo indica a quantidade de soro (em ml) que uma pessoa deve tomar, em função de seu peso (dado em Kgf), num tratamento de imunização. A quantidade total de soro a ser tomada será dividida em 10 injeções idênticas. Quantos ml de soro receberá um indivíduo de 65 Kgf em cada aplicação? a) A é mais veloz que B, pois percorre 600m em 20 min. b) B percorre 1km em 20 min. c) B é mais veloz que A, pois percorre 400m em 5 min. d) A e B correm na mesma velocidade. e) A percorre 400m em 30 min. GABARITO ml 30 01 C 02 C 03 D 10 0 46 20 50 Atualizada Janeiro/2010 80 Kgf Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores MATEMÁTICA Prof. Pacher 04 E 05 B 06 B 07 C 08 B 09 C 10 B 11 C 12 E 13 C 14 A 15 D 16 D 17 D 18 A 19 B Atualizada Janeiro/2010 Prefeitura de Jaguarão Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 47