Óptica Geométrica: Óptica de raios com matrizes

Óptica 02/2007
UFRJ - IF
Prof. Paulo H. S. Ribeiro
Óptica Geométrica:
Óptica de raios com matrizes
Aula 14
Adriano Henrique de Oliveira Aragão
Sumário
• Ótica Geométrica: postulados
• A equação do raio
• Princípio de Fermat
• Equações de Hamilton
Caracterização geométrico-óptica de componentes óticos
• Matrizes de raios
Óptica Quântica: explica a maioria
dos fenômenos ópticos
Óptica Eletromagnética:
tratamento clássico mais
completo sobre a luz
Óptica Ondulatória:
aproximação escalar para a
Óptica Eletromagnética
Óptica de Raios: Quando as ondas de luz passam por
objetos de dimensões muito maiores que o seu
comprimento de onda.
O Comportamento da luz pode ser descrito por raios
obedecendo certas leis geométricas
Postulados da Óptica de Raios (segundo Saleh & Teich)
1. Luz viaja na forma de raios. Os raios são emitidos por uma
fonte de luz e podem ser observados quando alcançam um
detector óptico.
2. Um meio óptico é caracterizado pelo seu índice de refração
n=c/v, onde v (c) é a velocidade da luz no meio (vácuo). O
tempo que a luz leva para percorrer uma distância d é
t=d/v=nd/c. A distância nd é conhecida como caminho óptico.
3. Em um meio não homogêneo, n(r) é função da posição
r=(x,y,z). O comprimento do caminho óptico ao longo de um
dado traçado entre dois pontos A e B é:
∫
B
A
n ( r ) ds ,
onde ds é o elemento diferencial de comprimento ao longo do
caminho.
+ Princípio de Fermat
Princípio de Fermat
Raios ópticos viajando entre dois pontos A e B seguem um caminho tal
que o tempo do trajeto entre eles é um extremo relativo aos caminhos
vizinhos. Matematicamente,
B
δ ∫ n(r )ds = 0,
A
Usualmente, o caminho óptico é um mínimo, caso no qual,
“De todos os caminhos possíveis para ir de um ponto a
outro, a luz segue aquele que é percorrido no tempo
mínimo”.
Meio homogêneo (n=cte): caminho ótico mínimo corresponde à
distância mínima -> Propagação retilínea da luz entre 2 pontos.
P.F. leva a lei da reflexão e da refração
Onde está o ponto P que
minimiza o caminho ótico
[AP]+[PB]?
d (n1 AP + n2 PB)
=0
dx
⇒
n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
Ainda o Princípio de Fermat:
ds 1
T = ∫ = ∫ n[r ( s )]ds
v c
Considere uma variação no caminho:
Calcule
1
δT = ∫ δnds + nδds
c
usando
δn = ∇n ⋅ δr
r ( s) → r ( s) + δr ( s)
,
dr dδr
δds = (dr + δdr ) − (dr ) ≈ ds ⋅
ds ds
2
e integrando por partes, obtém-se
2
d ⎛ dr ⎞
∇n − ⎜ n ⎟ = 0
ds ⎝ ds ⎠
A equação do raio
d ⎛ dr ⎞
∇n − ⎜ n ⎟ = 0
ds ⎝ ds ⎠
ds é um comprimento diferencial ao longo da trajetória do raio
ds =
(dx ) + (dy ) + (dz )
2
2
2
Trajetória descrita por x(s), y(s) e z(s), sendo que r(s) é o vetor
formado com essas componentes.
Solução dessa equação + condições de contorno =
trajetórias representando um grupo (feixe) de raios.
Equação paraxial do raio: ds ≈ dz
d ⎛ dx ⎞ ∂n
⎜n ⎟ ≈
dz ⎝ dz ⎠ ∂x
Formulações equivalentes:
Equação Eikonal: O eikonal S(r) é uma função da posição tal que
• suas superfícies equiníveis são ortogonais em
todo lugar aos raios óticos,
• os comprimentos do caminho ótico ao longo de
todos os raios de uma superfície equinível para
outra são iguais.
• os raios estão ao longo do gradiente de S(r).
∇ S (r )
B
B
A
A
∫ n(r )ds = ∫
2
= n 2 (r )
∇S (r ) ds = S ( B) − S ( A)
Equação eikonal é equivalente ao princípio de Fermat!
Formulação Hamiltoniana: Defina uma hamiltoniana
H ( x, y, σ x , σ y ; z ) = − n 2 ( x, y, z )( f / c ) − σ x2 − σ y2
2
Onde: Usualmente representamos a distribuição de luz sobre um
plano z=cte especificando o ponto (x,y) e os ângulos (θx,θy) nos
quais os raios interceptam o plano.
(θx,θy) é o ângulo que o raio faz com o plano (y,x)-z.
σ x, y ≡
sin σ x , y
λ
e use
e λ é o comprimento de onda da luz no meio.
dx ∂H
=
dz ∂σ x
dσ x
∂H
=−
dz
∂x
Componentes Ópticos:
Espelho Plano: Reflete raios originados de um ponto tal que os
raios refletidos parecem se originar de um outro ponto atrás do
espelho, chamado imagem.
Espelho Parabolóide: Foca todos raios incidentes paralelos ao seu
eixo em um mesmo ponto, o chamado foco.
Espelho Esférico:
s= distância do objeto
s’= distância da imagem
r= raio de curvatura
sin θ1 (r − s ')
=
sin θ 2 (s − r )
Aberração esférica! Diferentes raios não vão para o mesmo foco
Aproximação paraxial:
1 1 2 1
+ = =
s s' r f
Interface dielétrica curvada:
s= distância do objeto
s’= distância da imagem
r= raio de curvatura
sin θ1 (s '− r ) n2
=
sin θ 2 (s + r ) n1
Aproximação paraxial:
Aberração esférica também!
n1 n2 n2 − n1
+ =
s s'
r
Lentes delgadas: Para uma lente com índice n e raios de curvaturas
r1 e r2, as distâncias das imagens e do objeto estão relacionadas por
⎛1 1⎞ 1
1 1
+ = (n − 1)⎜⎜ − ⎟⎟ =
s s'
⎝ r1 r2 ⎠ f
Combinação de lentes delgadas: a distância focal f de qualquer
número de lentes delgadas (todas em contato mútuo) é
1 1 1 1
= + + +…
f
f1 f 2 f 3
Caracterização geométrico-óptica de componentes óticos
1) Secções do espaço livre (raios paraxiais!!)
d ⎛ dx ⎞ ∂n
⎜n ⎟ ≈
dz ⎝ dz ⎠ ∂x
Para n constante,
d ⎛ dy ⎞ ∂n
⎜n ⎟ ≈
dz ⎝ dz ⎠ ∂y
d 2 ( x, y )
=0
2
dz
-> raios são linhas retas
Se um raio intercepta o plano z=z1 em (x1,y1) fazendo ângulos
(θx1,θy1) com os planos y-z e x-z, então o raio irá interceptar o
plano z=z2=z1+d em (x2,y2) fazendo ângulos (θx2,θy2), onde
x2 = x1 + θ x1d
θ x 2 = θ x1
y2 = y1 + θ y1d
θ y 2 = θ y1
y2 = y1 + θ y1d
θ y 2 = θ y1
2) Lentes delgadas: Para uma lente delgada de foco em f,
x2 = x1
θ x2
x1
= θ x1 −
f
Matriz de transferência de raios
Na aproximação paraxial, a relação entre o ponto de entrada e o
de saída de um sistema ótico é linear, sendo que de forma geral,
podemos escrever
y2 = Ay1 + Bθ1
θ2 = Cy1 + Dθ1
O que nos permite escrever
⎡ y2 ⎤
⎡A
⎢θ ⎥ = ⎢ C
⎣
⎣ 2⎦
B ⎤ ⎡ y1 ⎤
⎥
⎢
⎥
D ⎦ ⎣θ 1 ⎦
Essa matriz caracteriza a transformação que o sistema ótico faz
nos raios incidentes
Exemplos:
1) Reflexão em um espelho plano:
⎡1
M = ⎢
⎣0
0⎤
⎥
1⎦
2) Propagação no espaço livre:
⎡1
M = ⎢
⎣0
d⎤
⎥
1⎦
3) Reflexão em um espelho esférico:
M
⎡1
= ⎢2
⎢⎣ r
0⎤
⎥
1⎥
⎦
4) Refração em uma superfície esférica
M
⎡
= ⎢−
⎢
⎣
1
(n 2
− n1
n2r
)
0
n1
n2
⎤
⎥
⎥
⎦
5) Refração em uma superfície plana:
M
⎡1
= ⎢0
⎢
⎣
0
n1
n2
⎤
⎥
⎥
⎦
6) Transmissão através de uma lente delgada
M
⎡ 1
= ⎢− 1
⎢
f
⎣
0⎤
⎥
1⎥
⎦
Uma das vantagens dessa técnica é que podemos decompor um
sistema ótico complicado em uma multiplicação de matrizes mais
simples:
M1
...
M2
=
M
onde
M = MN
M 2M1
Mn
Matrizes de raios para feixes Gaussianos
O formalismo de matrizes também é útil para descrever feixes
Gaussianos. Se nós temos um feixe Gaussiano de comprimento de
onda λ, raio de curvatura R e cintura do feixe w, é possível definir
um parâmetro complexo para o feixe q através de:
1 1 iλ
= − 2
q R πw
Esse feixe pode ser propagado através de um sistema ótico com uma
matriz dada usando a equação
⎡A
⎡q2 ⎤
⎢ 1 ⎥ = k ⎢C
⎦
⎣
⎣
B ⎤ ⎡q1 ⎤
⎥
⎢
⎥
D ⎦⎣ 1 ⎦
Fim!
Pausa para café e depois, Gabriela entra em ação.