Sumário - Profa. Dra. Eveliny Barroso da Silva

Universidade Federal de Mato Grosso
Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
Sumário
1
Introdução
1.1 Fases do Trabalho Estatístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ramificações da Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Estatística Descritiva
2.1 Classificação de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tipos de séries estatísticas . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Análise de Variáveis Qualitativas . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Distribuição de Frequências . . . . . . . . . . .
2.3.2 Representação Gráfica . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Análise de Variáveis Quantitativas . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Distribuição de Frequências - Variável Discreta. .
2.4.2 Representação Gráfica - Variável Discreta . . . .
2.4.3 Distribuição de Frequências - Variável Contínua.
2.4.4 Representação Gráfica - Variável Contínua . . .
2.4.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Somatório
4
Medidas de Posição ou Tendência Central
4.1 Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Propriedades da média . . . . . . .
4.1.2 Exercícios: . . . . . . . . . . . . .
4.2 Mediana (Md) . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Moda (Mo) . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Comparação entre Média, Mediana e Moda
4.5 Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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29
5
Separatrizes
5.1 Quartis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Decis e Percentis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
30
32
32
6
Medidas de Dispersão
6.1 Amplitude Total . . . .
6.2 Amplitude Interquartílica
6.3 Variância . . . . . . . .
6.4 Coeficiente de Variação .
6.5 Exercícios . . . . . . . .
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32
33
33
33
35
36
7
Momentos, Assimetria e Curtose
7.1 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Curtose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
37
39
41
8
Box Plot ou Desenho Esquemático
42
9
Tabelas Bidimensionais e Medidas de Associação
9.1 Medidas de Associação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
10 Correlação e Regressão Linear Simples
10.1 Análise de Correlação . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Diagrama de Dispersão . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Coeficiente de Correlação Linear de Pearson
10.2 Regressão Linear Simples . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Coeficiente de Determinação - R2 . . . . . .
10.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
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Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
1
Introdução
O surgimento da palavra Estatística deriva da palavra latina statisticum collegium que significa “conselho de Estado”. Há indícios de que 3000 anos A.C. já se faziam censos na Babilônia, China e Egito e até mesmo o 4o livro do
Velho Testamento faz referência a uma instrução dada a Moisés, para que fizesse um levantamento dos homens de Israel
que estivessem aptos para guerrear. Usualmente, estas informações eram utilizadas para a taxação de impostos ou para
o alistamento militar. O Imperador César Augusto, por exemplo, ordenou que se fizesse o Censo de todo o Império Romano. Contudo, mesmo que a prática de coletar dados sobre colheitas, composição da população humana ou de animais,
impostos, etc., fosse conhecida pelos egípcios, hebreus, caldeus e gregos, e se atribuam a Aristóteles cento e oitenta descrições de Estados, apenas no século XVII a Estatística passou a ser considerada disciplina autônoma, tendo como objetivo
básico à descrição dos bens do Estado. A palavra Estatística foi cunhada pelo acadêmico alemão Gottfried Achenwall
(1719-1772), que foi um notável continuador dos estudos de Hermann Conrig (1606- 1681). Gottfried determinou os objetivos da Estatística e suas relações com as demais ciências. Com a Escola Alemã as tabelas tornaram-se mais completas,
surgiram as representações gráficas e o cálculo das probabilidades, e a Estatística deixou de ser simples catalogação de
dados numéricos coletivos para se tornar o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo (“população”), partindo da
observação de partes desse todo (“amostras”). Atualmente, os estudos estatísticos têm avançado rapidamente e, com seus
processos e técnicas, têm contribuído para a organização dos negócios e recursos do mundo moderno.
(Fonte: http://www.ifba.edu.br/dca/Corpo_Docente/MAT/ICCL/APOSTILA_DE_ESTAT_STICA.pdf)
mundo moderno.
A Estatística é uma ciência cujo campo de aplicação estende-se a diversas áreas do conhecimento humano. Em
função da facilidade que o uso dos computadores nos proporciona, muitos pesquisadores consideram-se aptos a fazerem
análises e inferências estatísticas sem um conhecimento mais aprofundado dos conceitos e teorias. Tal prática, em geral,
resulta em interpretações equivocadas e muitas vezes errôneas.
No desenvolvimento científico e em nosso próprio dia-a-dia, estamos sempre fazendo observações de fenômenos,
gerando dados. Quando as pessoas ouvem a palavra “estatística”, imaginam logo taxas de acidente, índices de mortalidade, litros por quilômetro etc. Os agrônomos estão frequentemente analisando o efeito de agrotóxicos na agricultura,
os engenheiros analisam dados de propriedades de materiais e todos nós, ao lermos jornais e revistas, estamos vendo
resultados estatísticos provenientes do censo demográfico, de pesquisas eleitorais etc.
Entende-se a Estatística como um conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, organizar, descrever, analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em qualquer área do conhecimento.
Denomina-se por dados um (ou mais) conjunto de valores, numéricos ou não.
As variáveis são o foco principal da pesquisa em ciências. Uma variável é simplesmente algo que pode variar,
isto é, pode assumir valores ou categorias diferentes. Alguns exemplos de variáveis são gênero (sexo), velocidade de
digitação, número de sintomas registrados de uma doença, nível de ansiedade, número de gols em uma partida de futebol,
cores favoritas etc. Estes são exemplos de itens que se pode medir e registrar e que variam de uma situação ou pessoa para
outra.
As análises estatísticas dependem da forma como os dados são coletados e o planejamento estatístico da pesquisa
indica o esquema sob o qual os dados serão obtidos. Portanto, o planejamento da pesquisa e a análise estatística dos
dados estão intimamente ligados. Dessa forma, o pesquisador deve possuir um razoável conhecimento de estatística para
desenvolver suas pesquisas ou, então, consultar um estatístico para auxiliá-lo. Esta consulta deve ser feita antes do início
da pesquisa, ainda durante a fase de elaboração do projeto. 1
1.1
Fases do Trabalho Estatístico
O Trabalho Estatístico pode ser descrito pelas etapas a seguir:
• Definição do problema - Consiste na:
– formulação correta do problema;
– examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo (revisão da literatura);
– saber exatamente o que se pretende pesquisar definindo o problema corretamente (variáveis, população, hipóteses, etc.)
• Planejamento -Determinar o procedimento necessário para resolver o problema:
– Como levantar informações;
1 ANDRANDE,
Dalton; OGLIARI, Paulo. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas, Editora UFSC. 2007.
3
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Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
– Tipos de levantamentos: Por Censo (completo); Por Amostragem (parcial).
– Cronograma, Custos, etc.
• Coleta de dados - Consiste na obtenção dos dados referentes ao trabalho que desejamos fazer;
– A coleta pode ser: Direta - diretamente da fonte ou Indireta - feita através de outras fontes.
– Os dados podem ser obtidos pela própria pessoa (primários) ou se baseia no registro de terceiros (secundários).
• Apuração dos dados - Consiste em resumir os dados, através de uma contagem e agrupamento. É um trabalho de
coordenação e de tabulação.
• Apresentação dos dados - É a fase em que vamos mostrar os resultados obtidos na coleta e na organização. Esta
apresentação pode ser:
– Tabular (apresentação numérica)
– Gráfica (apresentação geométrica)
• Análise e interpretação dos dados - É a fase mais importante e também a mais delicada. Tirar conclusões que
auxiliam o pesquisador a resolver seu problema.
1.2
Ramificações da Estatística
1. Estatística Descritiva
Compreende a organização, o resumo e, em geral, a simplificação de informações que podem ser muito complexas.
A finalidade é tornar as coisas mais fáceis de entender, de relatar e de discutir. A média industrial Dow-Jones, a
taxa de desemprego, o custo de vida, o índice pluviométrico, tudo isto se enquadra nessa categoria. A estatística
descritiva vai resumir as informações através do uso de certas medidas-síntese, que tornem possível a interpretação
de resultados. No sentido mais amplo, suas funções são:
•
•
•
•
coleta de dados;
organização e classificação destes dados;
apresentação através de gráficos e tabelas;
cálculo de coeficientes (estatísticos), que permitem descrever resumidamente os fenômenos.
2. Probabilidade
É útil para analisar situações que envolvem o acaso. Exemplo de situações que enquadram-se na categoria do acaso:
Jogos de dados e de cartas ou Lançamento de uma moeda para o ar. A maioria dos jogos esportivos é influenciada
pelo acaso até certo ponto.
3. Inferência
Refere-se a análise e interpretação de dados amostrais. Utilizando uma amostra é possível fazer inferência para a
toda população. Um exemplo do uso da inferência no nosso dia-a-dia é que não precisamos beber toda a sopa para
saber se está ou não salgada. A idéia básica da amostragem é efetuar determinada mensuração sobre uma parcela
pequena, mas típica, de determinada “população” e utilizar essa informação para fazer inferência sobre a população
toda.
Firmas comerciais e entidades governamentais recorrem a amostragem por várias razões. O custo é usualmente um
fator relevante. Coligir dados e analisar resultados custa dinheiro e, em geral, quanto maior o número de dados
coligidos, maior o custo. A amostragem reduz a quantidade de dados a coligir e analisar, diminuindo assim os
custos. 2
Em estatística utilizaremos extensivamente os termos população e amostra. Assim, definiremos esses termos no
contexto da estatística:
• População: conjunto dos elementos (valores, pessoas, medidas) que possuem pelo menos uma característica em
comum. Podem ser tanto seres animados ou inanimados;
• Amostra: um subconjunto de elementos extraídos de uma população;
• Censo: é uma coleção de dados relativos a todos os elementos de uma população;
• Estatística: é a medida numérica que descreve uma característica da amostra;
• Parâmetro: é a medida numérica que descreve uma característica da população;
2 TRIOLA,
Mário. Introdução à Estatística. 7a ed. Editora LTC. 1999
4
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2
Estatística Descritiva
Os métodos estatísticos envolvem a análise e a interpretação de números, tais como renda anual, vendas mensais, escores de testes, no de peças defeituosas etc. Tais números são designados por dados. Para interpretar os dados
corretamente, em geral é preciso primeiro organizar e sumarizar os números. 3
2.1
Classificação de variáveis
Os dados estatísticos se obtêm mediante um processo que envolve a observação ou outra mensuração de itens tais
como renda anual numa comunidade, escores de testes, quantidade de café por xícara servida por uma máquina automática
etc. Tais itens chamam-se variáveis, porque originam valores que tendem a exibir certo grau de variabilidade quando se
fazem mensurações sucessivas.
Antes da escolha da análise descritiva apropriada é necessária a classificação da variável de interesse, pois a
adequação da técnica está diretamente relacionada ao tipo de variável em questão.
De acordo com a estrutura numérica as variáveis podem ser classificadas em:
• Qualitativas - se os resultados das observações serão expressos através de categorias, que se distinguem por alguma
característica não-numérica. Ex: Sexo, Nível de escolaridade, Cor da pele, Estado civil, Tipo sanguíneo.
• Quantitativas - se os resultados das observações serão expressos sempre através de números, que representam
contagens ou medidas. Ex: Idade, Altura, Peso, Número de nascidos vivos, População.
As variáveis qualitativas podem ser classificadas, por sua vez, em:
1. Nominal - caracteriza-se por dados que consistem apenas em nomes, rótulos ou categorias. Os dados não podem
ser dispostos segundo um esquema ordenado. Ex: Estado civil (casado, solteiro, viúvo etc.).
2. Ordinal - envolve dados que podem ser dispostos em alguma ordem, mas as diferenças entre os valores dos dados
não podem ser determinadas ou não tem sentido. Ex: Nível de escolaridade (fundamental, médio, superior etc.).
Em relação às variáveis quantitativas, estas podem ser classificadas em:
1. Discreta - só pode assumir valores pertencentes a um conjunto finito ou enumerável. Ex: Número de alunos
presentes às aulas de determinado professor; número de mortos em um surto de determinada doença. Geralmente,
seus valores são resultados de um processo de contagem, razão pela qual seus valores são expressos através de
números inteiros não-negativos.
2. Contínua - pode assumir qualquer valor pertencente a um determinado intervalo do conjunto dos Reais. Ex: Estatura
e peso dos alunos do curso de estatística; temperatura máxima diária de Cuiabá. Pode-se dizer que a variável
contínua resulta normalmente de mensurações.
2.1.1
Exercícios
1. O que você entende por Estatística?
2. Quais as ramificações da Estatística? Defina e explique as funções de cada uma.
3. Por que motivo devemos saber como classificar as variáveis a serem estudadas?
4. De acordo com a estrutura numérica como podem ser classificadas as variáveis? Explique cada uma.
5. Em um estudo estatístico a característica de interesse pode ser qualitativa (nominal ou ordinal) ou quantitativa
(discreta ou contínua). Classifique as variáveis nos exemplos que se seguem:
a) população: moradores de certa cidade
variável: cor dos olhos (pretos, castanhos, azuis, verdes)
b) população: casais residentes em certa cidade
variável 1: número de filhos
variável 2: classe econômica
c) população: candidatos ao vestibular
variável 1: renda familiar
variável 2: sexo (masculino, feminino)
variável 3: número de pessoas na família
3 BUSSAB,
W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. 4a ed., Atual Editora, S.P., 2010.
5
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d) população: sabonetes de certa marca
variável: peso líquido
e) população: aparelhos produzidos por uma linha de montagem
variável: número de defeitos por unidade
f) No de inscrições no seguro social;
g) No de passageiros no ônibus da linha Rio - SP;
h) Escolaridade;
i) Peso médio dos recém - nascidos;
j) Cada cigarro Camel tem 16,13 mg de alcatrão;
2.2
Tipos de séries estatísticas
Série estatística é uma sucessão de dados estatísticos que medem a intensidade do fenômeno, segundo suas características qualitativas ou quantitativas. As séries estatísticas serão classificadas de acordo com a variação de três elementos:
tempo, local e o fenômeno. 4 São elas:
• Série Histórica - É aquela em que o elemento que serve como base de classificação é a fração do tempo, como o
dia, o mês, o ano, o século, etc. Ex: Valores do PIB no Brasil no período de 1982 a 1986. cidade de Salvador-Ba.
– Elemento variável: Época
– Elementos Fixos: Local e Fenômeno
Tabela 1: Valores do PIB no Brasil no período de 1982 a 1986.
Anos
PIB
1982 779,94
1983 760,20
1984 803,53
1985 869,90
1986 941,26
Fonte: Morettin; Bussab-Estatística Básica.
• Série Geográfica - É aquela que apresenta como elemento variável somente o local (fator geográfico). Ex: Casos de
dengue nos municípios de Sinop, Rondonópolis e Cuiabá no ano de 2002.
– Elemento variável: Local
– Elementos Fixos: Época e Fenômeno
Tabela 2: Casos de dengue nos municípios de Sinop, Rondonópolis e Cuiabá no ano de 2002.
Municípios
No de casos
Cuiabá
32
Rondonópolis
15
Sinop
9
Fonte: Dados fictícios.
• Série Específica - É aquela série que apresenta como elemento ou caráter variável o fenômeno (ou espécie), permanecendo fixos a época e o local. Ex: Os alunos de uma Faculdade, em determinado ano, classificados segundo o
tipo sanguíneo.
– Elemento variável: Fenômeno
– Elementos Fixos: Local e Época
• Série Mista - refere-se às séries que são combinações de outros tipos de séries já estudadas.
Alguns exemplos de séries mistas serão apresentadas a seguir:
1. Série Geográfica - Temporal:
4 CRESPO,
A.A.; Estatística Fácil. Editora: Saraiva.
6
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Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
Tabela 3: Classificação de alunos de uma Faculdade, em determinado ano, segundo o tipo sanguíneo.
Tipo Sanguíneo Número de alunos
A
96
B
149
AB
132
O
92
Fonte: Dados fictícios.
Tabela 4: Taxa de atividade feminina urbana (em percentual) em três regiões do Brasil. 1981/90.
Região
Ano
1981 1984 1986 1990
Norte
28,9 30,3 34,0 37,1
Nordeste 30,2 32,6 34,3 37,8
Sudeste
34,9 37,2 40,1 40,7
Fonte: Anuário Estatístico do Brasil - 1990
2. Série Geográfica - Especifica:
Tabela 5: Consumo em kg, de alguns tipos de alimentos “per capita” anual em algumas regiões metropolitanas do Brasil
- 1988.
Cidades
Alimento
Hortaliças Carne Pescado
Belo Horizonte
44,5
21,6
1,3
Rio Janeiro
54,3
24,7
4,9
São Paulo
46,7
26,1
2,9
Fonte: Anuário Estatístico do Brasil - 1988
2.2.1
Exercícios
1. A séria Estatística é chamada de Histórica ou Temporal quando:
a) O elemento variável é o tempo. b) O elemento variável é o local.
c) Não tem elemento variável.
2. Abaixo encontramos algumas tabelas. Calcule a porcentagem, faça um breve comentário sobre os resultados e diga
que tipo de série estatística cada tabela pertence:
Tabela 6: Matriculas no ensino superior segundo áreas de ensino - Brasil - 1975.
Áreas de ensino
Matriculas %
Ciências Biológicas
32.109
Ciências Exatas e Tecnologicas
65.949
Ciências Agrárias
2.419
Ciências Humanas
148.842
Letras
9.883
Artes
7.464
Duas ou mais áreas
16.323
Total
Fonte: Serviço de estatística da educação e da cultura.
7
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Tabela 7: Áreas dos oceanos (em milhões de km2 ).
Oceano
Área %
Antártico 33,8
Ártico
23,2
Atlântico 199,4
Índico
137,2
Pacífico 342,7
Total
Fonte: Dados fictícios.
Tabela 8: Faturamento da companhia Beta 1990 - 1997.
Ano Vendas (em U S$ 1.000,00) %
1990
2.181
1991
3.948
1992
5.642
1993
7.550
1994
10.009
1995
11.728
1996
18.873
1997
29.076
Total
Fonte: Departamento de Marketing da Companhia.
2.3
Análise de Variáveis Qualitativas
Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer o comportamento dessa variável,
analisando a ocorrência de suas possíveis realizações. Nesta seção veremos uma maneira de dispor um conjunto de
realizações, para se ter uma idéia global sobre elas, ou seja, de sua distribuição. Para dados qualitativos a enumeração e
tabulação é a forma mais simples de representá-los.
2.3.1
Distribuição de Frequências
Uma distribuição de frequência é a forma de representação tabular de dados que mostra a frequência (ou o número)
de observações em cada uma das diversas classes não sobrepostas.
Alguns aspectos importantes devem ser levados em consideração na construção de uma tabela: 5
1. Toda tabela deve ter um título completo, contendo três questões: o que está sendo estudado?, onde foi feito o
estudo? em que período (época) este estudo foi realizado? O título deve ser colocado na parte superior da tabela.
2. Se a fonte de dados não é do próprio autor, ela deve ser indicada abaixo da tabela.
3. As notas e chamadas são utilizadas para fazer esclarecimentos de ordem geral e específica, respectivamente. Ambas
são numeradas (ou símbolos como o asterisco) e colocadas abaixo da tabela.
4. De preferência, usar o mesmo número de casas decimais para os algarismos.
5. As tabelas não devem ser fechadas lateralmente, mas linhas horizontais devem ser colocadas no início e no final.
A seguir será discutido um exemplo, no qual se destaca a forma de representação dos dados qualitativos mais
comuns.
Exemplo: Em uma determinada pesquisa, tem-se interesse em verificar a opinião de estudantes à respeito das salas
de cinema da cidade. Uma amostra de 50 estudantes apresentou os seguintes resultados:
Para desenvolver a distribuição de frequência para estes dados, contamos o número de vezes que cada resposta
aparece no conjunto de dados. A resposta “Regular a boa” aparece 32 vezes e a “Muito boa” aparece 18 vezes.
Uma distribuição de frequências mostra o número (frequência) de observações em cada uma das classes não sobrepostas. No entanto, é comum termos interesse na proporção (f ri ), ou porcentagem (f ri (%)), das observações em cada
classe que serve para fazermos comparações entre diferentes categorias independente do tamanho amostrado em cada
uma delas. Para a Tabela 10 temos:
5 ANDRANDE,
Dalton; OGLIARI, Paulo. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas, Editora UFSC. 2007.
8
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Tabela 9: Dados de uma amostra de 50 estudantes.
Regular a boa
Muito Boa
Regular a boa Regular a boa
Regular a boa
Muito Boa
Regular a boa
Muito boa
..
..
.
.
Muito Boa
Muito Boa
Muito Boa
Regular a boa
Regular a boa
Regular a boa
Fonte: Daniel Furtado - Estatística Básica.
Tabela 10: Distribuição de frequências da Opinião dos alunos a respeito das salas de cinema na cidade.
Opinião
Regular a boa Muito boa
frequência(fi )
32
18
frequência relativa (f ri )
0,64
0,36
frequência percentual(f ri (%))
64
36
Fonte: Tabela 9 - Notas de Aula.
fi : frequência absoluta ou simples da categoria i;
f ri : frequência relativa de uma classe: é a proporção das observações que pertencem à classe,
f ri = fi /n, onde n é o tamanho da amostra;
f ri (%) : frequência percentual de uma classe é a frequência relativa multiplicada por 100.
Segundo Barbetta et al. (2004), as freqüências relativas em percentual são úteis ao se comparar tabelas ou pesquisas
diferentes. Por exemplo, quando amostras (ou populações) têm números de elementos diferentes, a comparação através
das freqüências absolutas pode resultar em afirmações errôneas enquanto que pelas freqüências relativas em percentual
não, pois os percentuais totais são os mesmos.
2.3.2
Representação Gráfica
Nesta seção serão apresentados os gráficos mais utilizados para a representação das variáveis qualitativas.
Um gráfico de barras é um dispositivo gráfico para retratar os dados qualitativos que foram sintetizados em uma
distribuição de frequência, em uma distribuição de frequência relativa ou em uma distribuição de frequência percentual.
Um gráfico de barras têm por finalidade comparar grandezas, por meio de retângulos de igual largura, dispostos horizontalmente e com alturas proporcionais às grandezas. Devemos deixar uma distância entre os retângulos. Para as variáveis
qualitativas ordinais, devemos respeitar a ordem das categorias, como mostrado na figura a seguir.
Figura 1: Opinião de estudantes à respeito das salas de cinema da cidade.
Fonte: Tabela 10 - Notas de Aula.
Para efetuar uma análise comparativa de várias distribuições, podemos construir um gráfico de barras múltiplo. A
figura a seguir é um exemplo de gráfico de barras múltiplo.
9
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Figura 2: Distribuição das porcentagens da resistência a ferrugem de híbridos de milho para as regiões preferenciais.
Fonte: Andrade, D; Ogliari, P. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas.
Quando os retângulos são colocados na posição vertical, temos os gráficos de colunas. A finalidade desse tipo de
gráfico é a mesma dos gráficos de barras, isto é servem para comparar grandezas.
Figura 3: Opinião de estudantes à respeito das salas de cinema da cidade.
Fonte: Tabela 10 - Notas de Aula.
Gráfico de colunas tridimensional:
Figura 4: Distribuição das porcentagens da resistência a ferrugem de híbridos de milho para as regiões preferenciais.
Fonte: Andrade, D; Ogliari, P. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas.
10
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O gráfico de pizza (ou setores) é um dispositivo gráfico comumente usado para apresentar as distribuições de
frequência relativa e de frequência percentual para dados qualitativos.
Figura 5: Opinião de estudantes à respeito das salas de cinema da cidade.
Fonte: Tabela 10 - Notas de Aula.
Para desenhar um gráfico de pizza primeiro desenha-se um círculo e então usa-se as frequências relativas para
subdividir o círculo em setores ou partes, que correspondem à frequência relativa para cada classe. Por exemplo, como o
círculo tem 360 graus e a categoria “Regular a boa” tem uma frequência relativa de 0,64, o setor do gráfico rotulado de
“Regular a boa” consiste em 0, 64 × 360 = 230.4 graus.
Gráfico de linhas : Sua aplicação é mais indicada para representações de séries temporais sendo por tal razão,
conhecidos também como gráficos de séries cronológicas. Sua construção é feita colocando-se no eixo vertical (y) a
mensuração da variável em estudo e na abscissa (x), as unidades da variável numa ordem crescente. Este tipo de gráfico
permite representar séries longas, o que auxilia detectar suas flutuações tanto quanto analisar tendências. Também podem
ser representadas várias séries em um mesmo gráfico.
Figura 6: Número de matriculas no curso de engenharia civil da UEM no período de 1999 a 2005.
Fonte: Guedes, T.A; Acorsi, C.R.L; Martins, A.B; Janeiro, V. Projeto de Ensino - UEM.
11
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2.3.3
Exercícios
1. Construa uma tabela para descrever o seguinte gráfico:
Figura 7: Composição do rebanho bovino da fazenda capim branco, Araguari - MG - Brasil, 2005.
Fonte: Daniel Furtado - Estatística Básica.
2. A equipe de nadadores de Cuiabá apresentou-se no Campeonato Brasileiro de Natação de 1987 com 20 nadadores
do estilo borboleta, 30 de costa, 60 estilo craw e 50 estilo peito. Descreva esses dados em uma tabela. Que tipos de
gráficos podem melhor representar esses dados. Trace 2 gráficos entre todos possíveis.
3. A seguir estão tipos de rochas:
SIENITO
GABRO
Q-DIORITO
SIENITO
DIORITO
GABRO
SIENITO
GABRO
DIORITO
NORITO
MONZONITO
NORITO
GABRO
Q-DIORITO
SIENITO
DIORITO
DIORITO
MONZONITO
NORITO
Q-DIORITO
DIORITO
MONZONITO
DIORITO
MONZONITO
SIENITO
MONZONITO
Q-DIORITO
DIORITO
DIORITO
MONZONITO
Q-DIORITO
SIENITO
NORITO
DIORITO
GABRO
DIORITO
NORITO
DIORITO
GABRO
SIENITO
Fonte: Landim, P.M.P; Análise Estatística de Dados Geológicos. Ed.Unesp.
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a) Qual a classificação desses dados? (Qualitativo [O/N] ou Quantitativo [D/C])
b) Resuma esses dados através de uma distribuição de freqüência;
c) Construa um gráfico de setores e um de barras para os dados;
d) Qual tipo de rocha aparece com maior freqüência?
4. Para adequar os produtos às preferências dos clientes, uma empresa fez uma pesquisa sobre os provedores e a
qualidade dos serviços prestados utilizando uma amostra de 20 clientes, obtendo as seguintes variáveis:
Tabela 11: Variáveis observadas de 20 clientes de um provedor.
Amostra
Sexo
Qualidade Amostra
Sexo
Qualidade
1
feminino
Boa
11
feminino
Ruim
2
feminino
Boa
12
feminino
Ruim
3
feminino
Boa
13
masculino
Boa
4
feminino
Boa
14
masculino
Boa
5
feminino
Boa
15
masculino
Ótimo
6
feminino
Ótimo
16
masculino
Regular
7
feminino
Ótimo
17
masculino
Regular
8
feminino
Regular
18
masculino
Ruim
9
feminino
Regular
19
masculino
Ruim
10
feminino
Ruim
20
masculino
Ruim
Fonte: Notas de Aula - Profo Anderson Souza - UFMT.
a) Classifique as variáveis descritas na tabela;
b) Faça a representação tabular e gráfica adequada para cada variável. Interprete os resultados.
2.4
Análise de Variáveis Quantitativas
Assim como nas variáveis qualitativas, a análise das variáveis quantitativas dar-se-á por meio de tabelas e gráficos,
porém, como se trata de variáveis numéricas também é possível estudar o comportamento destas variáveis através de
algumas medidas de resumo (média, mediana etc) que serão apresentadas neste curso na próxima seção.
A análise tabular também é feita com o uso das distribuições de frequências que constituem-se num caso particular
das séries estatísticas, nas quais todos os elementos são fixos. Na distribuição de frequências os dados referentes ao
fenômeno são apresentados através de gradações, onde é feita a correspondência entre categorias ou valores possíveis e
as frequências respectivas. Alguns conceitos importantes serão apresentados através de um exemplo:
Um novo medicamento para cicatrização está sendo testado e um experimento é feito para estudar o tempo (em dias
completos) de completo fechamento em cortes provenientes de uma cirurgia. Uma amostra em trinta cobaias forneceu os
valores:
17
17
16
15
18
14
17
17
15
16
15
17
16
15
14
17
14
18
16
16
16
14
14
18
17
15
16
15
18
18
Fonte: Lima, A.C.P; Magalhães, M.N. Noções de Probabilidade e Estatística. Editora Edusp. 2004.
1. Dados Brutos - É o conjunto dos dados numéricos obtidos após a coleta dos dados.
No exemplo:
Variável de estudo: Tempo (em dias completos) de completo fechamento em cortes provenientes de uma
cirurgia;
Classificação: A variável “Tempo” sozinha é classificada como contínua, pois pode assumir qualquer valor
em um intervalo. Como no exemplo só interessa ao pesquisador coletar dias completos, a variável deixa de
ser contínua e passa a ser discreta.
Dados Brutos:
17 - 16 - 18 - 17 - 15 - 15 - 16 - 14 - 14 - 16 - 16 - 14 - 17 - 16 - 18 - 17 - 15 - 14 - 17 - 16 - 17 - 15 - 17 - 18 16 - 14 - 18 - 15 - 15 - 18
13
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Como pode ser observado, os valores estão dispostos de forma desordenada. Em razão disso, pouca informação se consegue obter inspecionando-se os dados anotados. Mesmo uma informação tão simples como a de
saber os valores mínimos e máximo requer um certo exame dos dados coletados.
2. Rol - É o arranjo dos dados brutos em uma determinada ordem crescente ou decrescente.
Ex: Utilizando os mesmos dados anteriores:
14 - 14 - 14 - 14 - 14 - 15 - 15 - 15 - 15 - 15 - 15 - 16 - 16 - 16 - 16 - 16 - 16 - 16 - 17 - 17 - 17 - 17 - 17 - 17 - 17 18 - 18 - 18 - 18 - 18
Apresenta vantagens concretas em relação aos dados brutos. Ele torna possível visualizar, de forma bem ampla, as
variações dos dados, uma vez que os valores extremos são percebidos de imediato. Mas, a análise com este tipo de
disposição começa a se complicar quando o número de observações tende a crescer.
3. Amplitude total (H) - É a diferença entre o maior e o menor valor observado da variável em estudo.
Ex: Utilizando os mesmos dados anteriores:
H = 18 - 14 = 4.
Interpretação: No exemplo, H = 4, representa a diferença entre o tempo de cicatrização mais lento e o mais rápido,
ou seja, 4 dias. OBS: A amplitude total também é usada como uma medida de variabilidade dos dados, quanto
maior a amplitude maior a variabilidade do conjunto.
4. Frequência absoluta simples (fi ) - Já apresentada anteriormente, conta o número de vezes que o elemento aparece
na amostra ou o número de elementos pertencentes a uma classe (ou categoria).
5. Frequência Acumulada (Fi ) - Índica o número de itens de dados observados até aquele dado valor (ou classe). A
frequência acumulada auxiliará no cálculo da mediana e de separatrizes, medidas de posição (ou tendência central)
que serão apresentadas na próxima seção.
Para condensarmos melhor os dados, é aconselhável a elaboração de distribuições de frequência. Uma tabela com
distribuição de frequência é uma tabela onde se procura fazer um arranjo dos valores e suas respectivas frequências, onde a
frequência de determinado valor será dado pelo número de observações ou repetições de um valor ou de uma modalidade.
As tabelas de frequências podem representar tanto valores individuais como valores agrupados em classes.
2.4.1
Distribuição de Frequências - Variável Discreta.
É uma tabela onde os valores da variável aparecem individualmente. Esse tipo de distribuição é utilizada geralmente para representar uma variável discreta, com pouca variedade de valores.
Exemplo: Utilizando os mesmos dados anteriores, a tabela a seguir representa a distribuição de frequências referente aos tempos de cicatrização (em dias completos) de 30 cobaias.
Tabela 12: Distribuição de frequências referente aos tempos de cicatrização (em dias completos) de 30 cobaias.
Tempos(Xi ) 14 15 16 17 18 Total(n)
fi
5
6
7
7
5
30
Fonte: Lima, A.C.P; Magalhães, M.N. Noções de Probabilidade e Estatística. Editora Edusp. 2004.
A soma das frequências absolutas simples (fi ) é sempre igual ao número total de valores observados, ou seja, n =
f
i=1 i , onde k é o número de valores distintos observados. No exemplo acima temos 5 valores diferentes observados,
consequentemente 5 fi0 s.
OBS: Este tipo de tabela não é aconselhável quando se trabalha com variáveis que apresentam uma grande quantidade de valores distintos (mesmo sendo dados discretos), uma vez que a tabela poderá ficar muito extensa, dificultando,
além de sua elaboração, as análises e conclusões dos dados pesquisados.
Pk
2.4.2
Representação Gráfica - Variável Discreta
Para a representação da variável discreta são utilizados os gráficos de colunas ou barras e o de setores.
Outras formas:
14
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Figura 8: Gráfico de colunas referente aos tempos de cicatrização (em dias completos) de 30 cobaias.
Fonte: Dados da Tabela 12.
Figura 9: Gráfico de barras referente aos tempos de cicatrização (em dias completos) de 30 cobaias.
Fonte: Dados da Tabela 12.
Figura 10: Gráfico de setores referente aos tempos de cicatrização (em dias completos) de 30 cobaias.
Fonte: Dados da Tabela 12.
15
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2.4.3
Distribuição de Frequências - Variável Contínua.
Quando a variável é contínua, como por exemplo: peso, altura, salário, renda etc. é natural que em uma amostra
retirada apareça uma grande diversidade de valores. Devido a esta possibilidade, não é recomendado utilizarmos uma
tabela de distribuição de frequências simples onde apareça diversos valores com frequências muito pequenas e que não
está de fato desempenhando a sua verdadeira função que é resumir as informações. Em vez de resumir, uma tabela de
distribuição de frequências simples para uma variável contínua com resultados bem diversos será uma tabela extensa e
difícil de interpretar.
Com o objetivo de resumir os dados originais em uma distribuição de frequências, utiliza-se os dados agrupados
ou em classes e não mais individual. As classes podem ser definidas como sendo os subintervalos da Amplitude Total de
uma variável (grupo de valores). Quando a variável objeto de estudo for contínua geralmente será conveniente agrupar os
valores observados em classes.
Se, por outro lado, a variável for discreta e o número de valores representativos dessa variável for muito grande,
recomenda-se o agrupamento dos dados em classes. Da mesma forma, se a variável for contínua mas os resultados
observados se repetem muito, não apresentando uma grande diversidade, também é possível utilizarmos a tabela de
distribuição de frequências simples não agrupados em classes.
A seguir serão apresentadas as diversas situações citadas anteriormente.
(A) Variável Contínua com grande diversidade de valores:
Exemplo: Foram feitas medidas em operários da construção civil a respeito da taxa de hemoglobina no sangue (em
gramas/ cm3 ):
16,3
13,5
15,2
12,7
12,3
12,3
13,7
13,5
14,1
15,4
11,1
11,3
12,2
11,7
11,7
12,6
12,5
13,4
13,9
15,2
12,3
13,2
14,4
13,0
13,6
16,9
12,7
15,8
12,6
14,7
Fonte: Lima, A.C.P; Magalhães, M.N. Noções de Probabilidade e Estatística. Editora Edusp. 2004.
(B) Variável Contínua com pouca diversidade de valores:
Exemplo: Uma turma da 6a série de determinada escola obteve as seguintes notas na disciplina de português:
7
7
6
5
8
4
7
7
5
6
5
7
6
5
4
7
4
8
6
6
6
4
4
8
7
5
6
5
8
8
Fonte: Dados fictícios.
(C) Variável Discreta com grande diversidade de valores:
Exemplo: Idade (em anos completos) dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
24 - 23 - 22 - 28 - 35 - 21 - 23 - 33 - 34 - 24 - 21 - 25 - 36 - 26 - 22 30 - 32 - 25 -26 - 33 - 34 - 21 - 31 - 25 - 31 - 26 - 25 - 35 - 33 - 31
Fonte: Dados fictícios.
Para as 3 situações citadas em (A), (B) e (C), serão apresentadas as tabulações.
(A) Devido a grande diversidade de valores nas taxas de hemoglobina no sangue medidas em operários da construção
civil a melhor forma de tabular os dados é agrupando-os em classes. Para construção de tabelas de frequências para
dados agrupados em classes os 4 conceitos listados a seguir, complementam os 5 primeiros já apresentados:
1. Definição do número de classes (k) - É importante que a distribuição conte com um número adequado de
classes. Se esse número for escasso, os dados originais ficarão tão comprimidos que pouca informação poderá
ser extraida desta tabela. Se, por outro lado, forem utilizadas muitas classes, haverá algumas com frequência
nula ou muito pequena, apresentando uma distribuição irregular e prejudicial a interpretação do fenômeno.
Para determinar o número de classes há diversos métodos. Milone (2004, p.36) apresenta os seguintes critérios
para a determinação do√
número de intervalos, denotado por k:
1. Raiz quadrada: k = n;
2. Regra de Sturges: k = 1 + 3, 3 log n;
3. Regra de Milone: k = −1 + 2 × ln n;
Neste curso será adotado o método a seguir:
16
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√
k = 5, para 20 ≤ n ≤ 25 e k = n, para n > 25;
Deve-se lembrar que sendo k o número de classes, o resultado obtido por cada um dos critérios deve ser
o número inteiro mais próximo ao obtido. Milone (2004) acrescenta ainda que, adotando o princípio de
que os agrupamentos devem ter no mínimo cinco e no máximo 20 classes, o critério da raiz é valido para
25 ≤ n ≤ 400, o do log para 16 ≤ n ≤ 572.237 e o do ln para 20 ≤ n ≤ 36.315.
Mesmo tendo outros critérios de determinação do número de classes, o que se deve ter em mente é que a
escolha dependerá sobretudo da natureza dos dados e da unidade de medida em que eles se encontram, e não
somente de regras muitas vezes arbitrárias e pouco flexíveis. Para facilitar a análise é conveniente que se
mantenham os intervalos de classe sempre constantes. A experiência do pesquisador também conta muito
na definição das classes.
√
No exemplo: k = 30 ∼
= 5, 48 = 5 classes;
2. Amplitude do Intervalo de Classe (h) - A amplitude de um intervalo de classe corresponde ao comprimento
desta classe. Numericamente, sua amplitude pode ser definida como a diferença existente entre os limites
superior (ou inferior) de duas classes consecutivas (h = ls − li ).
h=
H
k
Ex: Utilizando os mesmos dados anteriores: h = 16,9−11,1
= 5, 8/5 = 1, 16
5
3. Limites de Classe - Os limites de classe são seus valores extremos. O símbolo ` indica a inclusão do
limite inferior do intervalo naquela classe e símbolo a indica a inclusão do limite superior do intervalo naquela classe. Neste curso adotaremos o símbolo ` na construção das classes, pois ele é o mais usual. Para a
construção das classes temos:
li1 : Limite inferior da 1a classe; Usualmente é o menor valor da amostra. No exemplo: 11,1.
ls1 : Limite superior da 1a classe; ls1 = li1 + h. No exemplo: 11,1 + 1,16 = 12,26.
li2 : Limite inferior da 2a classe; li2 = ls1 . No exemplo: 12,26.
ls2 : Limite superior da 2a classe; ls2 = li2 + h. No exemplo: 12,26 + 1,16 = 13,42.
Para a n-ésima classe:
lin : Limite inferior da na classe; lin = ls(n−1) . Ou seja, será igual ao limite superior da classe imediatamente
anterior.
lsn : Limite superior da na classe; lsn = lin + h.
4. Pontos Médios ou Centrais da Classe (P mi ) - É a média aritmética simples entre o limite superior e o inferior
de uma mesma classe.
Ex: Utilizando os mesmos dados anteriores: P m1 = (11,1 + 12,26)/2 = 11,68.
Para obter os pontos médios das demais classes, basta acrescentar ao ponto médio da classe precedente a
amplitude do intervalo de classe. No exemplo anterior: P m2 = h + P m1 = 1, 16 + 11, 68 = 12, 84, e assim
sucessivamente.
Para o Exemplo (A):
Tabela 13: Distribuição de frequências referente as Taxas de hemoglobina no sangue (em gramas/ cm3 ) de 30 operários
da construção civil.
Tx Hemoglobina P mi fi
f ri
f ri (%) Fi
11,10 ` 12,26
11,68 5 0,1667
16,67
5
12,26 ` 13,42
12,84 11 0,3667
36,67
16
13,42 ` 14,58
14,00 7 0,2333
23,33
23
14,58 ` 15,74
15,16 4 0,1333
13,33
27
15,74 ` 16,90
16,32 3 0,1000
10,00
30
Total
30
1
100
Fonte: Lima, A.C.P; Magalhães, M.N. Noções de Probabilidade e Estatística. Editora Edusp. 2004.
Na Tabela 26 temos que na 1a classe serão contados na amostra elementos a partir do 11,10 até o 12,25, na 2a classe
serão contados os elementos a partir do 12,26 até o 13,41 e assim por diante.
2.4.4
Representação Gráfica - Variável Contínua
A representação gráfica das distribuições de frequências para dados em classes é feita através do histograma e/ou
polígono de frequências.
17
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Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
1. Histograma - É um gráfico formado por um conjunto de retângulos justapostos, de forma que a área de cada
retângulo seja proporcional à frequência da classe que ele representa.
2. Polígonos de Frequência - Unindo por linhas retas os pontos médios das bases superiores dos retângulos do
histograma, obtém-se outra representação dos dados, denominada polígono de frequência
Figura 11: Histograma e Polígono de frequências referente as taxas de hemoglobina no sangue de 30 operários da construção civil.
Fonte: Dados da Tabela 13.
3. Apresentação Ramo-e-Folha - Apresenta a forma e ordem dos dados. Pode ser utilizado na organização dos
dados antes de dispor na tabela.
Exemplo: Um dos principais indicadores da poluição do ar nas grandes cidades é a concentração de ozônio na
atmosfera. O nível de concentração de ozônio na atmosfera foi medido em São Paulo durante o inverno de 1998, e
os resultados são apresentados a seguir:
Tabela 14: Concentração de ozonio na atmosfera em São Paulo, inverno de 1998.
6,6 4,4 5,7 4,5 3,7 3,5 1,4 6,6 6,0 4,2 4,4 5,3 5,6
9,4 7,6 6,2 3,3 5,9 6,8 2,5 5,4 4,4 5,4 4,7 3,5 4,0
3,8 4,7 3,1 6,8 9,4 2,4 3,0 5,6 4,7 6,5 3,0 4,1 3,4
3,4 5,8 7,6 1,4 3,7 6,8 1,7 5,3 4,7 7,4 6,0 6,7 10,9
2,0 3,7 5,7 5,8 3,1 5,5 1,1 5,1 5,6 5,5 1,4 3,9 6,6
5,8 1,6 2,5 8,1 6,6 6,2 7,5 6,2 6,0 5,8 2,8 6,1 4,1
A apresentação ramo-e-folha é apresentada a seguir:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0
0
0
1
0
4
1
4
9
4
4
0
1
3
0
5
4
5
1
1
3
0
6
4
5
1
2
4
1
6
6
8
3
4
4
2
7
4
4
5
2
4
4
5
2
5
5
6
5
5
7
6
6
7
7
6
6
7
7
7
6
7
7
7
6
8
9
8
7
8
8
8
8
8
8
9
4
Exercício: A partir do ramo e folha acima, disponha os dados em uma tabela de frequências.
(B) Agora iremos analisar a situação (B) descrita anteriormente onde a variável de estudo era Notas dos alunos da 6a
série na disciplina de português. Apesar dos valores apresentados serem inteiros, a variável “Nota” pode assumir
qualquer valor em um intervalo, por exemplo: 6,5. Como no exercício não foi especificado que o professor adotaria
apenas números inteiros, esta variável é classificada como contínua.
PASSO 1 - Calcular a amplitude total (H): H = 8 - 4 = 4; (amplitude pequena)
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Tabela 15: Distribuição de frequências referente as notas dos alunos da 6a série na disciplina de português.
Notas(Xi )
4
5
6
7
8
Total(n)
fi
5
6
7
7
5
30
f ri (%)
16,67 20,00 23,33 23,33 16,67
100
Fonte: Dados fictícios.
PASSO 2 - Dispor os dados em uma tabela de distribuição de frequências simples;
PASSO 3 - Representação Gráfica:
Figura 12: Gráfico de setores referente as notas dos alunos da 6a série na disciplina de português.
Fonte: Dados da Tabela 15.
(C) Agora iremos analisar a situação (C) descrita anteriormente, variável discreta com grande variedade de valores. A
variável de estudo é Idade (em anos completos) dos alunos da UFMT - 2010, como no exemplo já foi especificado
que as idades observadas seriam em anos completos, esta variável só assume valores inteiros, por isso é classificada
como discreta.
PASSO 1 - Rol das observações:
Ex: Utilizando os mesmos dados anteriores:
21 - 21 - 21 - 22 - 22 - 23 - 23 - 24 - 25 - 25 - 25 - 25 - 26 - 26 - 26 - 28 - 30 - 31 - 31 - 31 -32 - 33 - 33 - 33 - 34 34 - 34 - 35 - 35 - 36
PASSO 2 - Cálculo da amplitude total (H): H = 36 - 21 = 15 anos; (amplitude alta)
PASSO 3 - Dispor os dados em uma distribuição de frequências. Apenas por questão de uma melhor visualização,
primeiramente será apresentado a distribuição de frequências simples e posteriormente distribuição em classes.
Idade(Xi )
fi
Tabela 16: Idade dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
21 22 23 24 25 26 28 30 31 32 33 34 35 36 TOTAL(n)
3
2
2
1
4
3
1
1
3
1
3
3
2
1
30
Fonte: Dados hipotéticos.
Observando a Tabela 16, podemos perceber a grande diversidade de valores e a extensão da tabela. Por conta desta
tabela não resumir tanto as informações iremos colocar estes dados em classes.
Na Tabela 17 temos que na 1a classe serão contados na amostra elementos a partir do 21 até o 23,99, na 2a classe
serão contados os elementos a partir do 24 até o 26,99 e assim por diante.
Representação Gráfica:
19
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Tabela 17: Idade dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
Idade
P mi fi
f ri f ri (%) Fi
21 ` 24 22,5
7 0,23
23
7
24 ` 27 25,5
8 0,27
27
15
1 0,03
3
16
27 ` 30 28,5
30 ` 33 31,5
5 0,17
17
21
9 0,30
30
30
33 ` 36 34,5
TOTAL
30
1
100
Fonte: Dados hipotéticos.
Figura 13: Histograma e Polígono de frequências referente as idades dos alunos do curso de estatística da UFMT 2010.
Fonte: Dados da Tabela 17.
2.4.5
Exercícios
1. Em um estudo sobre o potencial de germinação de sementes de algodão dividiu-se uma área em 48 parcelas com a
mesma área, tipo de solo, iluminação, etc. Em cada uma destas parcelas foram plantadas 4 sementes e verificou-se
o número de sementes que germinaram. Os dados obtidos são apresentados a seguir:
2
2
0
0
1
0
0
1
2
4
1
0
3
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
2
0
0
0
0
0
2
1
3
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
a) Especifique a variável estudada, classificando-a. Justifique a sua resposta.
b) Represente tabularmente e graficamente os dados acima.
c) Qual a proporção de parcelas em que germinaram no máximo 2 sementes?
2. Os dados seguintes representam 20 observações relativas ao índice pluviométrico em determinados municípios do
Estado:
144
141
152
150
Tabela 18: Milímetros de Chuva
159 160 160 151 157 146
142 146 142 141 141 150
154
143
145
158
Para os conjuntos de dados da Tabela 3:
a) Construir a tabela de freqüências constituída pelas freqüências absolutas simples, as freqüências relativas, as
freqüências acumuladas e os Pontos médios de classes;
b) Construir um histograma e um polígono de freqüências;
3
Somatório
Nas próximas seções serão vistos alguns coeficientes estatísticos que fazem uso do somatório. Um somatório é um
operador matemático que nos permite representar facilmente somas muito grandes ou até infinitas. É representado com a
20
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Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
letra grega sigma Σ, e é definido por:
n
X
xi
i=1
em que corresponde a soma dos termos "xi , em que o índice i varia de 1 a n.
Regras de somatório:
• Somatório de uma constante
Se k é uma constante, então
n
X
k = k + k + k + ... + k = nk
i=1
• Somatório do produto de uma constante por uma variável
Se k é uma constante e xi uma variável
n
X
kxi = kx1 + kx2 + kx3 + ... + kxn = k(x1 + x2 + x3 + ... + xn ) = k
i=1
n
X
xi
i=1
• Somatório de uma soma algébrica
O somatório de uma soma de variáveis é igual à soma dos somatórios de cada variável
n
X
(xi + yi ) =
i=1
n
X
xi +
i=1
n
X
yi
i=1
Se a e b são constantes e xi uma variável
n
X
(a + bxi ) =
i=1
n
X
a+
i=1
n
X
bxi = na + b
i=1
n
X
xi
i=1
Observações:
n
X
xi yi
6=
i=1
n
X
xi
i=1
n
X
x2i
6=
i=1
n
X
n
X
yi
i=1
!2
xi
i=1
Exemplos:
Seja X = {4, 7, 9, 12, 3}, obter:
5
4
5
X
X
X
3xi = 93
2xi = 64,
xi = 35,
i=1
i=1
Sabendo que
3
X
i=2
xi = 6,
i=1
a)
b)
3
X
i=1
3
X
(xi + 1) =
x2i = 14, determinar
i=1
3
X
xi +
i=1
3
X
(xi − 1) =
i=1
4
2
3
X
i=1
3
X
1=6+3=9
i=1
x2i
− 2xi + 1 =
3
X
i=1
x2i
−2
3
X
xi +
i=1
3
X
1 = 14 − 12 + 3 = 5.
i=1
Medidas de Posição ou Tendência Central
Foi visto até agora a sintetização dos dados sob a forma de tabelas, gráficos e distribuições de frequências. Agora,
vamos aprender o cálculo de medidas que possibilitem representar um conjunto de dados relativos à observação de determinado fenômeno de forma resumida.
As medidas de tendência central ou posição são assim denominadas por indicarem um ponto em torno do qual se
concentram os dados. Este ponto tende a ser o centro da distribuição dos dados. Vale a pena chamar a atenção que, para
o cálculo dessas medidas, é necessário que a variável seja quantitativa. 6
As principais medidas de tendência central são: Média, Mediana e Moda.
6 BUSSAB,
W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. 4a ed., Atual Editora, S.P., 2010.
21
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Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
4.1
Média
É a medida de tendência central mais comumente utilizada para descrever resumidamente uma distribuição de
frequência (centro de massa de um conjunto dados).
Notação:
X̄ é chamada média amostral e
µ é a média populacional.
Observações:
• A média é afetada por valores extremos;
• A média é bastante utilizada em distribuições simétricas;
• Não utilizável em variáveis categóricas;
• A média pode ser utlizada para variáveis discretas, inclusive com decimais.
(a) Média Aritmética Simples: É dada pelo quociente entre a soma dos valores observados e a frequência total (
o número total de observações). Genericamente, podemos escrever:
X̄ =
n
X
xi
n
i=1
onde n é o tamanho da amostra observada e xi é o valor genérico da observação.
Exemplo: Em uma pesquisa foram coletados os pesos de recém-nascidos (em kg): 2,7; 3,9; 4,1; 4,3; 5,4;
A média aritmética será dada por:
X̄ =
2, 7 + 3, 9 + 4, 1 + 4, 3 + 5, 4
= 4, 08
5
Interpretação: O peso médio dos recém-nascidos observados é de 4,08 quilos.
(b) Média para dados em distribuição de frequências:
Exemplo:
Tabela 19: Idade de pacientes renais (em anos).
Idade (xi ) 26 28 30 32 37 Total
fi
3 10 12 5 19
49
Fonte: Dados fictícios.
A média aritmética será dada por:
Pk
i=1
X̄ =
n=
Pk
i=1
xi fi
n
fi e k é o número de valores distintos da tabela;
P5
X̄ =
X̄ =
X̄ =
i=1
xi fi
n
x1 × f1 + x2 × f2 + x3 × f3 + x4 × f4 + x5 × f5
f1 + f2 + f3 + f4 + f5
26 × 3 + 28 × 10 + 30 × 12 + 32 × 5 + 37 × 19
49
∼
X̄ = 32, 26
Interpretação: A idade média dos pacientes renais observados foi de aproximadamente 32,26 anos.
22
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Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
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Tabela 20: Pesos dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
Pesos(kg) Frequência (fi ) P mi
59 ` 63
3
61
63 ` 67
5
65
9
69
67 ` 71
71 ` 75
12
73
11
77
75 ` 79
TOTAL
40
Fonte: Dados fictícios.
(c) Média para dados agrupados em classes:
Pk
X̄ =
i=1
P mi f i
n
Exemplo:
onde P mi é o ponto médio da classe “i”; P mi = li+ls
2 ,
li + ls = limite inferior da classe + limite superior da classe.
• Quando os dados estiverem agrupados em classes a média será calculada da mesma forma apresentada anteriormente, a única alteração será no xi que para dados agrupados em classes será substituído por P mi , ou seja, ponto
médio da classe “i”.
A média será dada por:
Pk
P mi fi
n
61 × 3 + 65 × 5 + 69 × 9 + 73 × 12 + 77 × 11
X̄ =
3 + 5 + 9 + 12 + 11
X̄ ∼
= 71, 3
i=1
X̄ =
Interpretação: O peso médio dos alunos do curso de estatística 2010 da UFMT, foi de 71,3 Kg.
OBS: Perde-se um pouco de precisão na média quando estamos trabalhando com dados agrupados em classes.
(d) Média aritmética ponderada:
Às vezes, associam-se os números X1 , X2 , · · · , Xk a certos fatores de ponderação ou pesos w1 , w2 , · · · , wk , que dependem do significado ou importância atribuída aos números. 7 Nesse caso,
P
w1 X1 + w2 X2 + · · · + wk Xk
i wi Xi
X̄ =
= P
w1 + w2 + · · · + wk
i wi
tem a denominação de média aritmética ponderada.
Exemplo: Se o exame final, em um curso, tem peso 3 e as provas correntes peso 1, e um estudante tem grau 85 naquele
exame e 70 e 90 nas provas, seu grau médio é:
X̄ =
4.1.1
415
(1)(70) + (1)(90) + (3)(85)
=
= 83.
1+1+3
5
Propriedades da média
Dentre as principais propriedades da média podemos destacar as seguintes:
a) multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a média do conjunto fica multiplicada por
essa constante;
Seja X = {x1 , x2 , x3 , · · · , xn } uma amostra aleatória de tamanho n, c uma constante e X̄ a média da amostra.
7 SPIEGEL,
Murray R. Estatística, 3a Edição. Editora Pearson. 1993.
23
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Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
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Se multiplicarmos ou dividirmos todos os valores de uma variável X pela constante c, o valor de X̄ MÉDIA fica
multiplicada ou dividida pela constante.
n
X
X̄
∗
cxi
i=1
=
n
n
X
= c
=
xi
i=1
n
cX̄
b) somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica acrescida
ou diminuída dessa constante.
Seja X = {x1 , x2 , x3 , · · · , xn } uma amostra aleatória de tamanho n, c uma constante e X̄ a média da amostra.
Se somarmos ou subtrairmos todos os valores de uma variável X pela constante c, o valor de X̄ MÉDIA fica
multiplicada ou dividida pela constante.
n
X
X̄
∗
=
(xi + c)
i=1
n
n
X
=
i=1
=
=
4.1.2
n
X
c
i=1
n
n
X
=
xi +
i=1
n
n
X
xi
+
nc
X̄ +
n
X̄ + c
c
i=1
n
Exercícios:
1. Sejam dados referentes a um levantamento onde observou-se o número de peças defeituosas em 25 máquinas de
uma empresa.
Tabela 21: Número de peças defeituosas em 25 máquinas de uma empresa
3 5 7 1 3
6 5 5 5 3
8 5 2 6 2
4 4 4 3 5
6 2 2 4 5
Fonte: Dados fictícios.
a) Calcule a média para os dados brutos. Interprete o resultado;
b) Disponha os dados em uma tabela de frequências e calcule a média. Houve diferença nos resultados? Justifique.
c) Faça uma representação gráfica adequada para os dados. Analisando o gráfico qual o número de peças defeituosas que foi predominante?
2. Utilizando os dados da Tabela a seguir responda:
a) Calcule a média para os dados brutos. Interprete o resultado;
b) Disponha os dados em uma tabela de frequências e calcule a média;
c) Faça uma representação gráfica adequada para os dados. Interprete.
24
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Tabela 22: Dados ordenados, relativos ao tempo em segundos para carga de um aplicativo num sistema compartilhado (30
observações).
6,94
7,27
7,46
7,97
8,03
8,37
8,56
8,66
8,88
8,95
9,30
9,33
9,55
9,76
9,80
9,82
9,98
9,99
10,14 10,19 10,42 10,44 10,66 10,88
10,88 11,16 11,80 11,88 12,25 12,34
Fonte: Dados fictícios.
4.2
Mediana (Md)
É definido como o valor que divide uma série ordenada de tal forma que pelo menos a metade dos itens sejam
iguais ou maiores do que ela, e que a outra metade dos itens sejam menores do que ela. Colocados em ordem crescente, a
mediana é o elemento que ocupa a posição central.
Como a mediana divide os dados ordenados ao meio, ela não é sensível a valores discrepantes. A depender de
como estejam os dados, deve-se diferenciar a forma como encontra-se a mediana.
Observações:
• Não é utilizável em variáveis categóricas;
• Pouco afetada por valores discrepantes;
• Bastante utilizada para distribuições assimétricas.
1. Determinação da Mediana para Dados Brutos:
Seja x(1) , x(2) , · · · , x(n) o rol das observações em ordem crescente. A mediana dessas observações será dada por:
8
(a) n ímpar: M d = X( n+1 ) ;
2
(b) n par: M d =
X( n ) +X( n +1)
2
2
2
;
Exemplos:
(a) n ímpar:X = {1, 3, 6, 7, 9}. M d = X( 5+1 ) = X(3) , logo a mediana será dada pelo 3o elemento, M d = 6.
2
Interpretação da Mediana: Metade das observações vão até 6 e a outra metade é maior (ou igual) que 6.
X( 6 ) +X( 6 +1)
(b) n par:X = {1, 3, 6, 7, 9, 12}. M d = 2 2 2 , logo a mediana será dada pela média entre o 3o elemento
X +X
e o 4o elemento, M d = (3) 2 (4) = 6+7
2 = 6, 5. Interpretação da Mediana: Metade das observações vai até
6,5 e a outra metade é maior (ou igual) que 6,5.
2. Determinação da Mediana para Dados em Distribuição de Frequências Simples:
Da mesma forma como foi calculado anteriormente, encontra-se mediana usando as expressões (a) ou (b), para n
ímpar ou par. Em seguida, acrescenta-se à tabela de frequência uma coluna com as frequências acumuladas (Fi ).
Com o uso destas frequências (Fi ) encontra-se a posição da mediana e em seguida o elemento mediano.
Exemplo:
Tabela 23: Idade dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
Idade(xi ) 21 22 23 24 25 26 28 30 31 32 33 34 35 36
fi
3
2
2
1
4
3
1
1
3
1
3
3
2
1
Fi
3
5
7
8 12 15 16 17 20 21 24 27 29 30
Total
30
-
Fonte: Dados fictícios.
Solução:
Como n = 30 (par), o elemento mediano será dada por: Xmd =
X( 30 ) +X( 30 +1)
2
2
2
;
Assim, a mediana será dada pela média aritmética entre o 15o e o 16o elemento, M d =
8 BUSSAB,
W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. 4a ed., Atual Editora, S.P., 2010.
25
X(15) +X(16)
;
2
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Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
Se olharmos as frequências acumuladas (Fi ) na Tabela 23 veremos que o 15o elemento se encontra na 6a
coluna e o 16o elemento na 7a coluna e as idades correspondentes a cada coluna são:
M d = (26 + 28)/2 = 27;
Interpretação: 50% dos alunos do curso de estatística de 2010 tem idade igual ou superior a 27 anos;
3. Determinação da Mediana de Dados Agrupados em Classes.
Para dados agrupados, a mediana, pode ser obtida por interpolação. Primeiramente encontramos a classe mediana,
onde n/2 nos fornece a posição do elemento mediano, não se fazendo distinção entre número par ou ímpar de
observações. Uma vez determinada a classe mediana, a mediana será calculada através da seguinte expressão:
n
− Fant
Md = l + h 2
fmd
onde,
l = limite inferior da classe mediana;
h = amplitude do intervalo da classe mediana;
n
2 = posição do elemento mediano;
Fant = frequência acumulada até a classe anterior à classe mediana;
fmd = frequência absoluta simples da classe mediana.
Exemplo 1:
Tabela 24: Idade dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
Idade
P mi fi
f ri f ri (%) Fi
21 ` 24 22,5
7 0,23
23
7
8 0,27
27
15
24 ` 27 25,5
27 ` 30 28,5
1 0,03
3
16
30 ` 33 31,5
5 0,17
17
21
33 ` 36 34,5
9 0,30
30
30
TOTAL
30
1
100
Fonte: Dados hipotéticos.
A mediana será dada por:
M d = 24 + 3
15 − 7
8
= 27.
Interpretação: 50% dos alunos do curso de estatística de 2010 tinham idade superior a 27 anos.
Exemplo 2:
Encontre a mediana utilizando os dados da tabela a seguir:
Pesos(kg)
59 ` 63
63 ` 67
67 ` 71
71 ` 75
75 ` 79
TOTAL
Frequência
3
5
9
12
11
40
Solução 1: Somando-se as três primeiras frequências têm-se 3 + 5 + 9 = 17. Logo, para obtermos o 20o peso (n/2)
desejado, são necessários mais 3 dos 12 casos existentes na 4a classe. Como o 4o intervalo de classe é dado por 71 ` 75,
a mediana situa-se a 3/12 da distância entre 71 e 75 e é:
M d = 71 +
3
(75 − 71) = 72.
12
Solução 2: Utilizando o histograma também podemos encontrar a mediana:
26
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Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
Em cada coluna do histograma temos as frequências das respectivas classes, mais uma vez, somando-se as três
primeiras frequências têm-se 3 + 5 + 9 = 17. Logo, para obtermos o 20o peso (n/2) desejado, são necessários mais 3 dos
12 casos existentes na 4a classe. Assim a mediana será dada por:
75 − 71
M d − 71
=
3
12
3(75 − 71)
12
M d = 1 + 71 = 72.
M d − 71 =
4.3
Moda (Mo)
A moda é outra medida de tendência central, sendo, no entanto a menos usada. Sua vantagem é que pode ser usada
para variáveis qualitativas. Genericamente, pode-se definir a moda como o valor mais frequente da distribuição.
Observações:
• Um conjunto de dados pode apresentar mais de uma moda;
• A moda pode ser calculada para variáveis qualitativas e quantitativas;
• Um conjunto de dados sem moda é chamado Amodal.
1. Determinação da Moda de Valores Não-Tabulados.
Considerando um conjunto ordenado de valores, a moda será o valor predominante, o valor mais frequente desse
conjunto. Embora seu significado seja o mais simples possível, nem sempre a moda existe (distribuição amodal) e
nem sempre é única. Se apresentar apenas uma moda diremos que é unimodal; se possuir duas modas diremos que
é bimodal; se tiver várias modas (mais que duas) diremos que é multimodal. Exemplos:
X = {1, 2, 4, 7, 9}: conjunto Amodal;
X = {1, 2, 2, 4, 7, 9}: conjunto Unimodal, moda = 2;
X = {1, 2, 2, 4, 4, 7, 9}: conjunto Bimodal; moda = 2 e 4;
2. Determinação da Moda para Valores Tabulados.
No caso de dados tabelados não agrupados em classe, a determinação da moda é imediata, bastando para isso,
consultar a tabela, localizando o valor que apresenta a maior frequência. Analisando a Tabela 23, observa-se que a
idade que possui o maior fi é a idade 25, com fi = 4. Ou seja, a idade mais frequente entre os estudantes do curso
de estatística de 2010 é 25 anos ou a idade mais observada entre os estudantes foi 25 anos.
Para variáveis qualitativas, a moda será a categoria que mais apareceu.
Observando os resultados da Tabela 25, conclui-se que a categoria que foi observada com maior frequência foi a Regular
a boa, logo essa será a moda. Interpretação: A maioria dos estudantes considera que as salas de cinema da cidade está
classificada como “Regular a boa”.
27
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Tabela 25: Distribuição de frequências da Opinião dos alunos a respeito das salas de cinema na cidade.
Opinião
Regular a boa Muito boa
frequência(fi )
32
18
Fonte: Estatística Básica - Daniel Furtado.
Para dados agrupados a moda se localiza na classe de maior freqüência (classe modal) e é obtida por meio da
expressão (Moda de Czuber): 9
∆1
Mo = l +
h
∆1 + ∆ 2
• l é o limite inferior da classe modal;
• h é a amplitude da classe modal;
• ∆1 é a diferença da freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente anterior;
• ∆2 é a diferença da freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente posterior.
Exemplo: Utilizando a Tabela 26 temos:
Tabela 26: Idade dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
Idade
P mi fi
f ri f ri (%) Fi
21 ` 24 22,5
7 0,23
23
7
24 ` 27 25,5
8 0,27
27
15
27 ` 30 28,5
1 0,03
3
16
30 ` 33 31,5
5 0,17
17
21
33 ` 36 34,5
9 0,30
30
30
TOTAL
30
1
100
Fonte: Dados hipotéticos.
9−5
(9 − 5) + (9 − 0)
Mo ∼
= 33 + 0, 92 ∼
= 34.
M o = 33 + 3
Interpretação: A idade mais frequente entre os alunos do curso de estatística 2010 é 34 anos.
4.4
Comparação entre Média, Mediana e Moda
• Média
– Definição: Soma de todos os valores dividido pelo total de elementos do conjunto.
– Vantagens: Centro de massa da distribuição; Possui propriedades matemáticas atraentes.
– Limitações: É influenciada por valores extremos.
– Quando usar:
1. Deseja-se obter a medida de posição que possui a maior estabilidade;
2. Houver necessidade de um tratamento algébrico posterior.
• Mediana
– Definição: Valor que divide o conjunto em duas partes iguais.
– Vantagens: Menos sensível a valores extremos que a média.
– Limitações: Difícil de determinar para grande quantidade de dados.
– Quando usar:
1. Deseja-se obter o ponto que divide o conjunto em partes iguais;
2. Há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média;
9 SPIEGEL,
Murray R. Estatística, 3a Edição. Editora Pearson. 1993.
28
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• Moda
– Definição: Valor mais freqüente.
– Vantagens: Valor “típico”; Maior quantidade de valores concentrados neste ponto.
– Limitações: Pode não haver moda para certos conjuntos de dados.
– Quando usar:
1. Deseja-se obter uma medida rápida e aproximada da posição;
2. A medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.
4.5
Simetria
A determinação das medidas de posição permite discutir sobre a simetria da distribuição dos dados.
• Distribuição simétrica - X = Md = Mo
• Distribuição assimétrica - ocorrem diferenças entre os valores da média, mediana e moda. A assimetria pode ser:
– à direita - X > Md > Mo
– à esquerda - X < Md < Mo
4.6
Exercícios
1. Para os exercícios (1) e (2) da seção 4.1.2, páginas 24 e 25, calcule:
a) As medidas de posição para os dados brutos, interprete os resultados obtidos;
b) As medidas de posição para os dados tabulados. Houve diferença nos resultados? Justifique.
c) Verifique se as distribuições dos dados são simétricas ou assimétricas (à direita ou à esquerda).
2. Em um estudo sobre o potencial de germinação de sementes de algodão dividiu-se uma área em 48 parcelas com a
mesma área, tipo de solo, iluminação, etc. Em cada uma destas parcelas foram plantadas 4 sementes e verificou-se
o número de sementes que germinaram. Os dados obtidos são apresentados a seguir:
2
2
0
0
1
0
0
1
2
4
1
0
3
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
2
0
0
0
0
0
2
1
3
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
Para o conjunto de dados da acima calcule:
a) As medidas de posição para os dados brutos, interprete os resultados obtidos;
b) As medidas de posição para os dados tabulados. Houve diferença nos resultados? Justifique.
c) Verifique se as distribuições dos dados são simétricas ou assimétricas (à direita ou à esquerda).
3. Os dados seguintes representam 20 observações relativas ao índice pluviométrico em determinados municípios do
Estado:
144
141
152
150
159
142
160
146
160
142
151
141
157
141
146
150
154
143
145
158
Para o conjunto de dados acima calcule:
a) As medidas de posição para os dados brutos, interprete os resultados obtidos;
b) As medidas de posição para os dados tabulados. Houve diferença nos resultados? Justifique.
c) Verifique se as distribuições dos dados são simétricas ou assimétricas (à direita ou à esquerda).
29
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5
Separatrizes
São as medidas que separam o rol ou a distribuição de frequências em partes iguais. Vimos que a mediana divide
a distribuição em duas partes iguais quanto ao número de elementos de cada parte. Agora vamos estudar outras medidas
que dividem a distribuição em partes iguais, são as chamadas separatrizes. São elas: 10
Quartis - Dividem a amostra em 4 partes iguais;
Decis - Dividem a amostra em 10 partes iguais;
Percentis - Dividem a amostra em 100 partes iguais;
5.1
Quartis
Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim:
Q1: 1o quartil. Deixa 25% dos elementos antes do seu valor;
Q2: 2o quartil. Deixa 50% dos elementos antes do seu valor. Coincide com a mediana;
Q3: 3o quartil. Deixa 75% dos elementos antes do seu valor. (Consequentemente, 25% dos elementos acima do
seu valor.)
Genericamente, para determinar a ordem ou posição do quartil a ser calculado, usaremos a seguinte expressão:
EQi =
in
,
4
i = 1, 2, 3;
onde: i = No do quartil a ser calculado; n = No de observações;
A regra para obtenção dos valores dos quartis, a partir da posição encontrada, será dada por:
quando n é impar, o arredondamento deve ser para cima da posição encontrada; e
quando n é par , devemos fazer a média do valor encontrado e do subsequente.
Exemplo 1: para n ímpar- X = {11, 12, 12, 14, 14, 17, 19}, vamos calcular o quartil 1 desse conjunto:
1. Fazer o Rol das observações em ordem crescente;
2. Encontrar a posição do elemento:
EQi =
EQ1 =
1×7
4
in
4
= 1, 75o ∼
= 2o elemento,
Q1 = 12. Interpretação: 25% das observações são menores que 12 ou 75% das observações são superiores ou
iguais a 12.
Exemplo 2: para n par - X = {11, 12, 12, 14, 14, 17, 19, 19}, vamos calcular o quartil 3 desse conjunto:
1. Fazer o Rol das observações em ordem crescente;
2. Encontrar a posição do elemento:
EQi =
EQ3 =
3×8
4
in
4
= 6o . Entre o 6o e 7o elemento,
Q3 = 17+19
= 18. Interpretação: 75% das observações são menores que 18 ou 25% das observações são superiores
2
ou iguais a 18.
30
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Tabela 27: Idade de pacientes renais (em anos).
Idade (xi ) 26 28 30 32 37 Total
fi
3 10 12 5 19
49
Fi
3 13 25 30 49
Fonte: Dados fictícios.
,→ Exemplo 3: Quando os dados tiverem em uma distribuição de frequências:
1. Encontrar a posição do elemento:
EQi =
in
;
4
2. Olhar na Fi a posição do elemento e o valor correspondente;
No exemplo, EQ1 = 1×49
= 12, 25o ; Como n é ímpar arredondaremos para o número acima da posição encon4
o
trada, logo será o 13 elemento;
Olhando na Fi , o 13o elemento corresponde ao valor 28, ou seja, 25% dos pacientes renais observados têm até 28
anos.
Se o n fosse par, fariámos a média aritmética do elemento que antecede o EQi e o posterior.
,→ Exemplo 4:
Tabela 28: Idade dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
Idade
P mi fi
f ri f ri (%) Fi
21 ` 24 22,5
7 0,23
23
7
24 ` 27 25,5
8 0,27
27
15
27 ` 30 28,5
1 0,03
3
16
5 0,17
17
21
30 ` 33 31,5
33 ` 36 34,5
9 0,30
30
30
TOTAL
30
1
100
Fonte: Dados hipotéticos.
Para dados agrupados em classes, encontraremos os quartis de maneira semelhante à usada para o cálculo da
mediana:
EQi − Fant
Qi = l + h
fqi
onde,
l = limite inferior da classe que contem o quartil desejado;
h = amplitude do intervalo de classe;
EQi = elemento quartílico;
Fant = frequência acumulada da classe anterior à classe quartílica;
fqi = frequência absoluta simples da classe quartílica.
= 7, 5o , como os dados estão em classes, olha-se o Fi mais próximo de
No exemplo das idades EQ1 = 1×30
4
EQi , analisando a Tabela acima, temos que a 2a classe será a classe quartílica pois na 1a classe observamos até 7
elementos e o que passar disso cai na classe seguinte, logo:
7, 5 − 7 ∼
Q1 = 24 + 3
= 24, 2.
8
Interpretação: 25% dos estudantes tem até 24,2 anos. O Q1 encontrado aqui é diferente do quartil calculado para os
dados originais não tabulados, essa diferença se justifica pois nos dados em classes perdemos um pouco na precisão.
10 BUSSAB,
W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. 4a ed., Atual Editora, S.P., 2010.
31
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5.2
Decis e Percentis
Genericamente, para determinar a ordem ou posição do Decil a ser calculado, usaremos a seguinte expressão:
EDi =
in
,
10
i = 1, 2, 3, · · · , 9;
Do mesmo modo, para determinar a ordem ou posição do Percentil a ser calculado, usaremos a seguinte expressão:
EDi =
in
,
100
i = 1, 2, 3, · · · , 99;
onde: i = No do decil ou percentil a ser calculado; n = No de obs;
A forma de calcular os decis ou percentis é idêntica a dos quartis, o que muda é a forma de encontrar o elemento,
que ao invés de ser dividida por 4 fica dividida por 10 ou 100.
Para dados agrupados em classes, encontraremos os Decis ou os Percentis de maneira semelhante à usada para o
cálculo dos quartis:
EDi − Fant
Decis : Di = l + h
fdi
P ercentis : Pi = l + h
EPi − Fant
fpi
o
No exemplo das idades EP90 = 90×30
100 = 27 , como os dados estão em classes, olha-se o Fi mais próximo de EPi ,
analisando a Tabela 8, temos que a última classe será a classe do 90o percentil, logo:
27 − 21
P90 = 33 + 3
= 35.
9
Interpretação: 90% dos estudantes tem até 35 anos. O P90 encontrado aqui será diferente do Percentil achado
usando os dados brutos, essa diferença se justifica pois nos dados em classes perdemos um pouco na precisão.
5.3
Exercícios
1. Para os exercícios (1) e (2) da seção 4.1.2, páginas 24 e 25, calcule Q1 , Q3 e P95 . Interprete os resultados.
2. Para os dados da Tabela 8 calcule Q3 e D8 . Interprete os resultados.
3. Considere os seguintes dados sobre a distribuição de valores de metabolismo basal (cal/dia) em 36 adolescentes:
910
1190
960
1280
1090
1300
1220
1010
1240
1120
1380
1130
1040
1270
1070
1070
1280
1080
980
1210
1000
1310
1110
1360
1240
1040
1260
1140
1460
1180
1110
1420
1200
1020
1270
1100
Para o conjunto de dados acima responda:
a) Construa a tabela de freqüências constituída pelas freqüências absolutas simples, as freqüências relativas, as
freqüências acumuladas e os Pontos médios de classes;
b) Construir um histograma e um polígono de freqüências;
c) Calcule a média, a moda e a mediana para os dados brutos e a seguir para os dados agrupados, compare os
resultados e comente. Interprete cada medida obtida;
d) Calcule Q1, Q3, P68 e D8. Interprete os resultados.
6
Medidas de Dispersão
Uma breve reflexão sobre as medidas de tendência central permite-nos concluir que elas não são suficientes para
caracterizar totalmente uma sequência numérica. Se observarmos as sequências:
X : 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10.
Y : 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13.
Z : 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13.
32
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concluiremos que todas possuem a mesma média 13. No entanto são sequências completamente distintas do ponto de
vista de variabilidade dos dados. Na sequência Z não há variabilidade dos dados. Na sequência Y , a média 13 representa
bem a série, mas existem elementos da série levemente diferenciados da média 13. Na sequência X os elementos estão
bem diferenciados da média 13. As medidas de dispersão serão usadas para avaliar a representatividade da média. 11
6.1
Amplitude Total
A amplitude total de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor observado. A medida de
dispersão não leva em consideração os valores intermediários perdendo a informação de como os dados estão distribuídos
e/ou concentrados.
H = Xmax − Xmin
Exemplo: Utilizando os dados da Tabela 8, a amplitude total da idade dos alunos do curso de Estatística 2010 é:
H = 36 − 21 = 15
anos,
isto é, as idades dos alunos diferem em torno de 15 anos.
6.2
Amplitude Interquartílica
A amplitude interquartílica é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil. Esta medida é mais estável que a
amplitude total por não considerar os valores mais extremos. Esta medida abrange 50% dos dados e é útil para detectar
valores discrepantes.
dq = Q3 − Q1
Exemplo: Utilizando os dados da Tabela 8, a amplitude interquartílica da idade dos alunos do curso de Estatística da
UFMT é:
dq = 33, 5 − 24, 2 = 9, 3 anos
A amplitude entre o terceiro e primeiro quartil, que envolve 50% (centrais) dos alunos, é de 9,3 anos.
6.3
Variância
É a medida de dispersão mais usada e mais importante. Mede a concentração dos dados em torno da média. É dado
pela soma dos quadrados dos desvios dividido pelo número total de observações. A notação S 2 é usada para representar
a variância amostral.
1. Variância amostral (S 2 ) para dados não tabulados
n
X
Xi − X̄
S =
n−1
i=1
2
2
,
(1)
desenvolvendo o quadrado do parentêses obtem-se:
1
S =
n−1
2
( n
X
)
Xi2
− nX̄
2
.
(2)
i=1
Exemplo: Calcular a variância do conjunto A = {10, 12, 13, 20, 25, 34, 45}, X̄= 22,71.
Na Tabela 29 di é chamadado de desvio, a soma do desvio é nula. A soma dos desvios ao quadrado dividido por
n − 1 resulta na variância e a raíz quadrada da variância é o desvio-padrão.
p
∼ 13 e S 2 = 167, 9.
Logo, S = 1007, 4/6 =
2. Desvio-Padrão (S): É a raíz quadrada da variância. Deixa a medida de variabilidade na mesma unidade de medida
dos dados, diferente da variância. Exemplo: Se calculamos a variância das alturas de um conjunto de 10 crianças,
essa variância terá como unidade de medida cm2 e o desvio padrão cm, mesma unidade de medida das observações
coletadas.
11 BUSSAB,
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33
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Xi
10
12
13
20
25
34
45
Total
Tabela 29: Cálculo da variância.
di = (Xi − X̄) d2i = (Xi − X̄)2
-12,71
161,54
-10,71
114,70
-9,71
94,28
-2,71
7,34
2,29
5,24
11,29
127,46
22,29
496,84
0,03
1007,4
Fonte: Dados hipotéticos.
3. Variância de dados tabulados em distribuição de frequências: Quando os valores vierem dispostos em uma tabela
de frequências, o cálculo da variância se fará através da seguinte fórmula:
2
k
X
Xi − X̄ fi
S =
n−1
i=1
2
(3)
Se os dados forem agrupados em classe Xi é substituído por P mi .
k
X
P mi − X̄
S =
n−1
i=1
2
2
fi
ou desenvolvendo o quadrado do parênteses obtém-se:
( n
)
X
1
2
2
2
S =
X fi − nX̄ .
n − 1 i=1 i
Se os dados forem agrupados em classe Xi é substituído por P mi .
( n
)
X
1
2
2
2
S =
P mi fi − nX̄ .
n − 1 i=1
(4)
(5)
(6)
Exemplo: Os dados a seguir referem-se as vendas de determinada empresa e produtividade de seus vendedores.
Tabela 30: Distribuição de frequências referente às vendas de determinada empresa e produtividade de seus vendedores.
Vendas(x 1000 - R$)(xi ) No de vendedores(fi )
xi fi
x2i fi
70
1
70
702 × 1
120
12
1440 1202 × 12
170
27
4590 1702 × 27
220
31
6820 2202 × 31
270
10
2700 2702 × 10
Total
81
15620
3187400
Fonte: Dados hipotéticos.
A média para os dados apresentados na tabela acima será dada por:
P
xi fi
15620 ∼
X̄ =
=
= 192, 84.
n
81
∼ 192, 84 (x 1000 - R$).
Logo as vendas médias dessa empresa foi de =
A variância será dada por:
S2 ∼
=
1
× 3187400 − 81(192, 84)2 ∼
= 2.190, 39
81 − 1
O desvio padrão será dada por:
S=
p
2.190, 39 ∼
= 46, 8
34
Universidade Federal de Mato Grosso
Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
Tabela 31: Idade dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
Idade
P mi fi P mi fi
P m2i fi
21 ` 24 22,5
7
157,5 22, 52 × 7
24 ` 27 25,5
8
204
25, 52 × 8
1
28,5
28, 52 × 1
27 ` 30 28,5
30 ` 33 31,5
5
157,5 31, 52 × 5
9
310,5 34, 52 × 9
33 ` 36 34,5
TOTAL
30
858
25231,5
Fonte: Dados hipotéticos.
Apresentando uma variabilidade razoavelmente alta.
Para dados agrupados em classes usaremos o exemplo das idades citado anteriormente.
A média para os dados apresentados na tabela acima será dada por:
P
P mi fi
858 ∼
X̄ =
=
= 28, 6.
n
30
A idade média dos alunos é de 28,6 anos.
A variância será dada por:
S2 ∼
=
1
× 25231, 5 − 30(28, 6)2 ∼
= 23, 1
30 − 1
O desvio padrão será dada por:
S=
p
23, 1 ∼
= 4, 8
Apresentando uma variabilidade moderada.
Interpretação do desvio-padrão (análoga à da variância):
• Devemos ter em mente que o desvio-padrão mede a variação entre valores. Assim:
• Se os valores estiverem próximos uns dos outros, então o desvio-padrão será pequeno, e consequentemente os dados
serão homogêneos.
• Se os valores estiverem distantes uns dos outros, então o desvio-padrão será grande, e consequentemente os dados
serão heterogêneos.
• A desvantagem do uso da variância perante o uso do desvio-padrão é que a unidade de medida utilizada é igual ao
quadrado da unidade de medida dos dados. No entanto, por conta da maior facilidade do trato algébrico com funções
quadráticas, a variância será a medida de dispersão mais utilizada quando tratarmos da inferência estatística.
6.4
Coeficiente de Variação
Trata-se de uma medida relativa de dispersão, útil para comparação em termos relativos do grau de concentração
em torno da média de séries distintas.
É dada por:
CV =
S
× 100
X̄
Como o CV é uma medida que exprime a variabilidade relativa à média, é usualmente expresso em porcentagem.
Exemplo: Tomemos os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos:
Estaturas
Pesos
X̄
175 cm
68 kg
s
5,0 cm
2,0 kg
Fonte: Dados hipotéticos.
Temos:
CVE =
5
× 100 = 2, 85%
175
35
(7)
Universidade Federal de Mato Grosso
Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
2
× 100 = 2, 94%
68
Logo, nesse grupo de indivíduos, os pesos apresentam maior grau de dispersão que as estaturas.
O Coeficiente de variação pode ser usado em um conjunto de dados para determinar a homogeneidade dos mesmos.
O grau de homogeneidade geralmente é determinado pelo próprio pesquisador e depende de que tipo de estudo está sendo
feito. Nesse curso usaremos um grau de até 20% para os dados serem considerados homogêneos.
CVP =
6.5
Exercícios
Tabela 32: Informações sobre sexo, idade (anos), altura (metro e centímetro), peso (kg), estado civil, número de irmãos,
transporte, procedência, relação do trabalho com o curso de Estatística e meio de informação dos alunos da disciplina
Inferência Estatística do curso de Estatística da UEM - 21/03/2005.
No Sexo Id Altura Peso Est.Civil No ir. Transp. Procedência Trabalho Inform
1
F
20
1,60
58
Solteiro
1
Próprio
Maringá
Não Rel.
TV
2
F
26
1,65
59
Solteiro
2
Coletivo
Fora do Pr
Não trab. Revista
F
18
1,64
55
Solteiro
2
Próprio
Maringá
Não trab.
TV
3
4
F
25
1,73
60
Solteiro
2
Coletivo Outro no Pr Não Rel.
TV
M
35
1,76
83
Casado
6
Coletivo Outro no Pr Não Rel.
TV
5
6
F
20
1,62
58
Solteiro
2
Coletivo Outro no Pr Não Rel.
Rádio
7
F
29
1,72
70
Solteiro
3
Coletivo
Maringá
Não trab.
TV
M
23
1,71
62
Separado
2
Próprio Outro no Pr Não Rel. Internet
8
9
F
20
1,63
63
Solteiro
2
Próprio
Maringá
Não trab.
TV
10
M
20
1,79
75
Solteiro
2
Próprio
Fora do Pr
Não trab. Internet
11
M
20
1,82
66
Solteiro
1
Próprio
Fora do Pr
Não trab.
TV
12
F
30
1,68
46
Solteiro
3
Próprio Outro no Pr Parc.Rel.
TV
13
F
18
1,69
64
Solteiro
1
Próprio
Maringá
Parc.Rel.
TV
14
M
37
1,82
80
Casado
2
Próprio
Maringá
Não Rel.
TV
15
M
25
1,83
62
Solteiro
1
Próprio Outro no Pr Não Rel.
TV
16
F
20
1,63
68
Solteiro
2
Coletivo
Maringá
Não trab.
TV
17
M
21
1,71
80
Solteiro
2
Coletivo
Maringá
Não Rel. Internet
18
M
25
1,80
82
Casado
1
Próprio Outro no Pr Não Rel. Internet
19
F
24
1,62
55
Solteiro
2
Próprio
Maringá
Não trab.
Jornal
M
19
1,74
58
Solteiro
2
Próprio
Maringá
Com.Rel.
TV
20
21
F
21
1,55
65
Solteiro
1
Próprio
Maringá
Não trab.
TV
22
M
22
1,73
62
Solteiro
0
Próprio
Maringá
Não trab.
Jornal
1. Com base na Tabela (32) responda:
a) Classifique as variáveis descritas na tabela;
b) Faça um resumo estatístico para as variáveis qualitativas (Representação tabular e gráfica adequada);
c) Faça um resumo estatístico para as variáveis quantitativas: No de irmãos e Peso (Representação tabular e
gráfica adequada);
d) Calcule as medidas de Posição e Dispersão para as variáveis quantitativas: No de irmãos e Peso; Interprete os
resultados; (Usar dados originais);
e) Calcule Q1, Q3 e P95 para as variáveis quantitativas: No de irmãos e Peso (Usar dados originais).
2. Calcule para cada uma das distribuições abaixo as seguintes medidas:
a) de tendência central: média aritmética, mediana e moda. (Interprete os resultados)
b) de dispersão: amplitude total, desvio-padrão e variância. (Interprete os resultados)
i) Pesos de recém-nascidos (em kg): 2.7; 3.9; 4.1; 4.3; 5.4;
ii) Taxas sanguíneas de uréia (mg/dl): 27; 31; 32; 34; 46; 61;
iii)
iv)
36
Universidade Federal de Mato Grosso
Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
Tabela 33: Idade de pacientes renais (em anos).
Idade 26 28 30 32 37 Total
fi
3 10 12 5 19
49
Tabela 34: Número de atendimentos em serviço médico por funcionários de uma empresa.
No de Atendimentos 0
1 2 3 4 Total
fi
24 21 3 51 1 100
Estaturas
No de alunos
145`150
2
Tabela 35: Altura de 140 alunos (em cm).
150`155 155`160 160`165 165`170 170`175
10
27
38
27
21
175`180
8
180`185
7
v)
c) Calcule o primeiro quartil, o quadragésimo centil e o nono decil para o conjunto de dados referente à Altura
dos 140 alunos. (Interprete os resultados)
3. Os dados para este exemplo provêm de uma jazida de carvão, localizada em Sapopema-PR, na qual foram obtidos
valores para as variáveis espessura da camada de carvão, teor de cinzas, teor de enxofre e rendimento para a
obtenção de um produto lavrado com 20% de cinzas. Como descrito por Cava (1985) e Landim et al. (1988), esse
depósito situa-se a cerca de 20km a noroeste da Figueira, no nordeste do Estado do Paraná, em sedimentos da parte
superior do Membro Triunfo da Formação Rio Bonito.
a) Resuma os dados da variável Teor de Cinzas em uma tabela de distribuição de freqüências;
b) Para a Tabela construida em (a), faça a representação gráfica adequada;
c) Calcule as medidas de tendência central e dispersão para a variável: Teor de Cinzas (Use os dados tabulados);
7
Momentos, Assimetria e Curtose
7.1
Momentos
Se X1 , X2 , · · · , Xn são n valores assumidos pela variável X, define-se a quantidade 12
Pn
xr
X1r + X2r + · · · + Xnr
= i=1 i ,
Mr =
n
n
denominada momento de ordem r. O primeiro momento, com r = 1, é a média aritmética X̄.
Definimos o momento de ordem r centrado em relação a uma constante a como: 13
Pn
(xi − a)r
mr = i=1
.
n
Definimos o momento de ordem r centrado em relação a X̄ como:
Pn
(xi − X̄)r
a
Mr = i=1
,
n
1. Momentos para dados em distribuição de frequências
Pn
xr fi
Mr = i=1 i ,
n
Pn
mr =
Mra
i=1 (xi
n
Pn
=
Murray R. Estatística, 3a Edição. Editora Pearson. 1993.
P.L.O.Costa. Estatística, 2a Edição, Editora Edgard Blücher Ltda. 2002.
37
(9)
(10)
(11)
.
− X̄)r fi
,
n
i=1 (xi
12 SPIEGEL,
13 NETO,
− a)r fi
(8)
(12)
(13)
Universidade Federal de Mato Grosso
Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
Espessura
0,8
0,72
0,69
0,8
0,73
1,19
0,94
0,96
1,05
1,32
1,02
1,2 2
1,1
1,18
1,3
1,55
1,57
1,3
1,18
1,4
1,3
1,5
1,4
1,85
1,2
1,23
1,3
1,62
2,09
1,6
1,4
1,41
1,38
1,04
1,31
1,28
0,55
Cinzas
38,6
22,6
39
37,1
40,8
34,1
25
29,3
33
29,7
33,7
6,13
25,41
22,8
19,1
35,1
16,9
20,5
39,1
38,6
27,5
25,4
24,3
57,4
22
27
32,1
36,8
19,5
47,8
43,1
36,6
39,6
31,1
64,8
43,24
27,2
Enxofre
15,2
6,1
7,9
10,1
4,9
7,21
5,79
7,92
7,03
7,32
8,1
7,4
8,6
6
8,1
7,93
6,31
6,27
5,74
8,68
7,75
6,87
6,9
5,6
7,46
5,99
8,07
5,24
5,34
5,93
5,6
8,17
5,12
6,39
5,71
5,4
9,01
Rendimento a 20%
0,81
0,83
0,67
0,99
0,81
1,32
1,32
1,12
1,19
1,37
0,91
1,64
1,49
1,4
2,13
1,75
1,9
1,89
1,32
1,43
1,55
2,03
1,59
1,15
1,77
1,57
1,46
1,77
1,21
1,44
1,18
1,48
1,3
1,28
1,09
1,33
0,82
Análise estatística de dados geológicos. Autor: LANDIM, PAULO MILTON BARBOSA.
38
Universidade Federal de Mato Grosso
Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
Para dados agrupados em classe, no lugar de xi coloca-se P mi .
Interessa-nos particularmente saber calcular os momentos centrados de terceira e de quarta ordem. Aplicando-se a
definição e fazendo algumas transformações, chega-se as expressões:
Pn
Pn
x3
x2
m3 = i=1 i − 3x̄ i=1 i + 2x̄3 ,
(14)
n
n
Pn
i=1
m4 =
x4i
n
Pn
− 4x̄
i=1
x3i
n
+ 6x̄2
Pn
i=1
x2i
n
− 3x̄4 ,
Havendo frequências a considerar, as expressões equivalentes são as seguintes:
Pn
Pn
x2 fi
x3 fi
m3 = i=1 i − 3x̄ i=1 i + 2x̄3 ,
n
n
Pn
m4 =
i=1
n
x4i fi
Pn
− 4x̄
i=1
x3i fi
n
+ 6x̄2
Pn
i=1
n
x2i fi
− 3x̄4 ,
(15)
(16)
(17)
• Vantagens: ótimos estimadores para parâmetros populacionais, ex: média e variância; Pode ser utilizado também
no cálculo dos coeficientes de assimetria e curtose.
• Desvantagens: pode ser um pouco trabalhoso ou complicado de calcular; Às vezes podemos ter mais de um estimador de momentos;
7.2
Assimetria
As medidas de assimetria procuram caracterizar como e quanto a distribuição de frequências se afastam da condição de simetria. A medida de assimetria é um indicador da forma da distribuição dos dados. Ao construir uma distribuição
de freqüências e/ou um histograma, está-se buscando, também, identificar visualmente, a forma da distribuição dos dados
que é ou não confirmada pelo coeficiente de assimetria de Pearson (A) definido como: 14
A=
x̄ − mo
.
sx
(18)
Quando |A| < 0, 15, podemos considerar a distribuição como praticamente simétrica. Por outro lado, costuma-se considerar a assimetria como moderada se 0, 15 < |A| < 1, e forte se |A| > 1.
O momento de terceira ordem também pode ser usado como medida de assimetria de uma distribuição. Entretanto
é mais conveniente a utilização de uma medida adimencional o que leva a definição do coeficiente de assimetria:
a3 =
m3
.
s3
(19)
Onde: a3 = 0 indica que a distribuição é praticamente simétrica, a3 > 0 indica que a distribuição é assimétrica positiva e a3 < 0 indica que a distribuição assimétrica negativa. Esse coeficiente indica o sentido da assimetria e, sendo
adimencional, pode ser usado para comparar diversos casos.
Uma distribuição é classificada como:
• Simétrica: se média = mediana = moda.
• Assimétrica Negativa: se média ≤ mediana ≤ moda. O lado mais longo do polígono de freqüência (cauda da
distribuição) está à esquerda do centro.
• Assimétrica Positiva: se moda ≤ mediana ≤ média. O lado mais longo do polígono de freqüência está à direita do
centro.
14 NETO,
P.L.O.Costa. Estatística, 2a Edição, Editora Edgard Blücher Ltda. 2002.
39
Universidade Federal de Mato Grosso
Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
Figura 14: Representação gráfica de uma distribuição simétrica.
Figura 15: Representação gráfica de uma distribuição Assimétrica Negativa.
Figura 16: Representação gráfica de uma distribuição Assimétrica Positiva.
40
Universidade Federal de Mato Grosso
Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
Resumo dos coeficientes de assimetria:
Indicador da forma da distribuição dos dados;
É classificada como: Assimétrica (positiva ou negativa - à direita ou à esquerda) ou Simétrica.
o
Coeficiente de Assimetria de Pearson: A = x̄−m
sx ; onde: x̄ = média, mo = moda e sx = desvio padrão. Se |A| < 0, 15,
podemos considerar a distribuição praticamente simétrica. Se 0, 15 < |A| < 1, costuma-se considerar como assimetria
moderada e forte se |A| > 1. A desvantagem do uso do coeficiente de assimetria de pearson é que ele não é recomendado
em distribuições amodais ou bimodais em diante pois dificulta a interpretação. Quando isto ocorrer pode-se utilizar o co3
eficiente de assimetria baseado no momento de 3a ordem: a3 = m
s3 . Se a3 = 0 a distribuição é considerada praticamente
simétrica, se a3 > 0 simetria positiva e a3 < 0 assimetria negativa. Fazer a análise de assimetria sempre comparando o
resultado do coeficiente obtido com o gráfico (polígono, histograma ou box plot são os mais usuais).
7.3
Curtose
A medida de curtose é o grau de achatamento da distribuição, é um indicador da forma desta distribuição. É
definido como: 15
k=
Q3 − Q1
.
2(P90 − P10 )
(20)
A curtose ou achatamento é mais uma medida com a finalidade de complementar a caracterização da dispersão em uma
distribuição. Esta medida quantifica a concentração ou dispersão dos valores de um conjunto de dados em relação às
medidas de tendência central em uma distribuição de freqüências.
Uma distribuição é classificada quanto ao grau de achatamento como:
Figura 17: Classificações de uma distribuição quanto ao grau de achatamento.
• Leptocúrtica: quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência bastante fechada, com os dados fortemente
concentrados em torno de seu centro, K < 0,263.
• Mesocúrtica: quando os dados estão razoavelmente concentrados em torno de seu centro, K= 0,263
• Platicúrtica: quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência mais aberta, com os dados fracamente concentrados em torno de seu centro, K > 0,263.
A caracterização do achatamento de uma distribuição só tem sentido, em termos práticos, se a distribuição for
aproximadamente simétrica. Entre as possíveis medidas de achatamento, também temos o coeficiente de curtose, obtido
pelo quociente do momento centrado de quarta ordem pelo quadrado da variância, ou seja,
a4 =
m4
m4
= 2.
s4
m2
(21)
Este coeficiente é adimencional, sendo menor que três para as distribuições platicúrticas, igual a três para uma distribuição
mesocúrtica e maior que três para as distribuições leptocúrticas.
15 SPIEGEL,
Murray R. Estatística, 3a Edição. Editora Pearson. 1993.
41
Universidade Federal de Mato Grosso
Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
Resumo: Por curtose entende-se o aplainamento (afilamento ou achatamento) da curva característica do conjunto
ou distribuição. O que a justifica é a possibilidade de haver conjuntos e distribuições com idênticas medidas de posição,
de dispersão e assimetria.
A curtose mede a divergência entre a curva considerada e a convencionada como normalmente achatada (também se
diz que ela mede a concentração dos dados em torno do seu centro). À curva normalmente achatada dá-se o nome de
mesocúrtica; à mais achatada que ela, platicúrtica; à menos achatada (ou mais afilada), leptocúrtica.
8
Box Plot ou Desenho Esquemático
• O gráfico Box Plot (ou desenho esquemático) é uma análise gráfica que utiliza cinco medidas estatísticas: valor
mínimo, valor máximo, mediana, primeiro e terceiro quartil da variável quantitativa.
• Este conjunto de medidas oferece a idéia da posição, dispersão, assimetria, caudas e dados discrepantes.
• A posição central é dada pela mediana e a dispersão pelo desvio interquartílico dq = Q3 −Q2 . As posições relativas
de Q1 , Q2 e Q3 dão uma noção da assimetria da distribuição.
• Os comprimentos das caudas são dados pelas linhas que vão do retângulo aos valores atípicos. Segundo Triola
(2004), um outlier ou ponto discrepante é um valor que se localiza distante de quase todos os outros pontos da
distribuição. A distância a partir da qual considera-se um valor como discrepante é aquela que supera 1, 5dq.
De maneira geral, são considerados outliers todos os valores inferiores Li = Q1 − 1, 5dq ou os superiores a
Ls = Q3 + 1, 5dq. 16
Resumo do Box-Plot: Dá uma idéia da posição, dispersão, assimetria, caudas e dados discrepantes. A posição
central é dada pela mediana e a dispersão pelo desvio interquartílico (dq ). As posições relativas de Q1 , Q2 , Q3 dão uma
noção da assimetria da distribuição. Quando tiver em dúvidas em classificar um conjunto de dados como simétrico ou não,
pode tentar comparar o formato do box plot com os resultados dos coeficientes de assimetria e também com o formato do
polígono de frequências (ou com histograma).
Exemplo: A construção do gráfico Box Plot pode ser exemplificada utilizando os dados a seguir:
1) Ordenar os dados em seqüência crescente:
18
22
18
23
19
24
20
25
20
25
20
25
20
26
20
29
20
30
21
35
21
37
Determinar as cinco medidas:
1. Mediana:
Como n é par, M d =
X n +X n +1
2
2
2
2. Primeiro Quartil:
Q1 = X 1(n) = X 22
= X5,5 =
4
4
=
20+20
2
3. Terceiro Quartil:
Q3 = X 3(n) = X 3×22 = X16,5 =
4
X11 +X12
2
4
=
21+22
2
= 21, 5;
= 20;
25+25
2
= 25;
4. Desvio interquartílico:
dq = Q3 − Q1 = 25 − 20 = 5;
5. Limite inferior:
Li = Q1 − 1, 5dq
Li = 20 − 1, 5 × 5 = 12, 5;
6. Limite superior:
Ls = Q3 + 1, 5dq
Ls = 25 + 1, 5x5 = 32, 5;
Construir uma escala com valores (mesma amplitude) que incluam os valores máximo e mínimo dos dados. Construir
uma caixa (retangular) estendendo-se de Q1 a Q3 , e trace uma linha na caixa no valor da mediana.
As figuras a seguir mostrarão passo a passo como fazer o box-plot:
Identificar os pontos discrepantes
16 LIMA,
A.C.Pedroso; MAGALHÃES, M.Nascimento. Noções de Probabilidade e Estatística. Editora Edusp. 2004.
42
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Figura 18: Idade dos alunos do curso de estatística da UEM.
43
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Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
No conjunto de dados não existe aluno com idade inferior a 12,5, ou seja, não há aluno com idade considerada
discrepante inferiormente, logo o limite inferior do gráfico será o menor valor da amostra (Xmin ). Entretanto, existem
dois indivíduos cujas idades são superiores a 32,5, pontos estes considerados discrepantes neste conjunto de dados: as
idades 35 e 37. Estes pontos são identificados no diagrama de caixas por meio de um pontinho e o limite superio do
gráfico será o Ls calculado.
Note-se que no intervalo interquartílico (dentro do retângulo) existem 50% dos dados, dos quais, 25% estão entre a
linha da mediana e a linha do primeiro quartil e os outros 25% estão entre a linha da mediana e a linha do terceiro quartil.
Cada linha da cauda mais os valores discrepantes contêm os 25% restantes da distribuição. A Figura 18 mostra que a
distribuição das idades dos alunos apresenta assimetria positiva, ou seja, dispersam-se para os valores maiores.
9
Tabelas Bidimensionais e Medidas de Associação
É muito frequente o interesse em verificar se duas variáveis qualitativas apresentam-se associadas, isto é, se o
conhecimento de uma variável ajuda a entender uma outra variável. Por exemplo, sabendo-se que determinado tipo de
doença está associado com o hábito de fumar, o governo pode promover campanha para alertar a população. 17
Exemplo:
A Tabela 36 mostra três distribuições de frequências, uma para cada região preferencial (região indicada para o
cultivo de milho). Dizemos que esta tabela é bidimencional, pois apresenta a distribuição de duas variáveis: resistência à
ferrugem e região preferencial.
Tabela 36: Distribuição de frequências da resistência à ferrugem de híbridos de milho, segundo as regiões preferenciais.
Resistencia
Região Preferencial
à ferrugem Chapecó Campos Novos Içara Total
r
10
3
12
25
mr
6
12
2
20
ms
9
3
3
15
s
7
1
2
10
Total
32
19
19
70
Fonte: ANDRANDE, Dalton; OGLIARI, Paulo. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas, Editora UFSC. 2007.
Legenda: r - resistente; s - susceptível; ms - moderadamente susceptível; mr - moderadamente resistente.
Como os totais das linhas e das colunas (totais marginais) da Tabela 36 são diferentes, isto dificulta a comparação.
Trabalhando com a proporção (frequência relativa) ou com a frequência relativa percentual tornamos os resultados comparáveis. Nesse exemplo, os totais de híbridos por região foram estabelecidos pelo pesquisador, portanto devemos obter
as porcentagens por região, conforme apresentado na Tabela 37.
Tabela 37: Distribuição das porcentagens da resistência à ferrugem de híbridos de milho, segundo as regiões preferenciais.
Resistencia
Região Preferencial
à ferrugem Chapecó Campos Novos Içara
r
31,2
15,8
63,2
mr
18,8
63,2
10,5
ms
28,1
15,8
15,8
s
21,9
5,2
10,5
Total
100
100
100
Fonte: Tabela 36.
Algumas observações com respeito a Tabela 37:
• Em Campos Novos a porcentagem de híbridos moderadamente resistentes é bem superior as outras duas regiões;
• Içara apresenta maior porcentagem de híbridos resistentes à ferrugem (63,2%), bem superior as outras duas regiões;
• Percebe-se que em Chapecó a distribuição é mais homogênea nas categorias de resistência.
Representação Gráfica da Tabela 37:
17 ANDRANDE,
Dalton; OGLIARI, Paulo. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas, Editora UFSC. 2007.
44
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Figura 19: Distribuição das porcentagens da resistência a ferrugem de híbridos de milho para as regiões
Fonte: Tabela 37.
Exercício Resolvido
Um estudo sobre o tempo de vida de duas amostras de Biomphalaria straminea (Amostra A: 45 indivíduos agrupados numa bacia e Amostra I: 49 indivíduos isolados em copos de vidro), produziu os resultados da Tabela 38 :
Tabela 38: Número de indivíduos classificados segundo o tempo de vida, em dias, para duas condições de agrupamento.
Tempo de vida Condições de Agrupamento Total
(em dias)
Agrupados
Isolados
58 a 179
3
6
9
180 a 300
6
19
25
301 a 422
36
24
60
Total
45
49
94
Fonte: ANDRANDE, Dalton; OGLIARI, Paulo. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas, Editora UFSC. 2007.
a) Dos indivíduos submetidos à condição de Agrupados, qual a porcentagem de indivíduos com tempo de vida entre
301 e 422?
b) Dos indivíduos submetidos à condição de Isolados, qual a porcentagem de indivíduos com tempo de vida de no
máximo 300 dias?
c) Você concluiria que o tempo de vida está relacionado com a condição de agrupamento? Justifique.
Respostas:
a) De um total de 45 indivíduos submetidos à condição de Agrupados, a porcentagem dos que apresentaram tempo de
vida entre 301 e 422 é: 36/45 = 0,80 ou 0,80 × 100 = 80%.
b) Do total de 49 indivíduos submetidos à condição de Isolados, 25 (= 6 + 19) indivíduos sobreviveram no máximo
300 dias. Este valor corresponde a (25/49)×100 = 51,02%.
c) Sim, pois pode-se verificar que enquanto 80% dos indivíduos submetidos à condição de Agrupados sobreviveram
entre 301 e 422 dias, somente 48,98% (= 24/49)×100 sobreviveram entre 301 e 422 dias na condição de Isolados.
9.1
Medidas de Associação
Até agora, vimos como as tabelas bidimencionais (ou tabelas de contigência) podem ser utilizadas para verificar
uma possível associação entre duas variáveis. Agora iremos aprender como medir a grandeza dessa associação através de
medidas estatísticas que indiquem se existe ou não relação entre duas variáveis qualitativas e qual a sua magnitude, isto é,
a grandeza da associação. No caso de estarmos trabalhando com variáveis quantitativas, elas podem ser categorizadas e
transformadas em variáveis qualitativas. Por exemplo, na variável “Rendimento Médio de híbridos de milho para a região
45
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de Chapecó”, podemos dividir a amostra em três categorias: menor do que 1500kg/ha (rendimento baixo), maior ou igual
a 1500 e menor ou igual a 3000 (rendimento normal) e maior do que 3000 (rendimento alto). 18
Coeficiente de Contigência de Pearson
Existem várias medidas de associação e seu uso depende do tipo e finalidade do estudo. Neste curso usaremos
uma medida de associação comumente utilizada, que é o Coeficiente de contingência de Pearson. Podemos através desse
coeficiente, por exemplo, verificar a grandeza da associação entre condições de agrupamento (isolados ou agrupados) e
tempo de vida dos caramujos.
Karl Pearson propôs o chamado coeficiente de contigência, representado pela letra C, definido por:
s
χ2
,
(22)
C=
2
χ +n
onde n é o número total de observações e χ2 é uma estatística dada por:
χ2 =
s X
r
X
(f oij − f eij )2
,
f eij
i=1 j=1
(23)
onde f oij e f eij são as frequências observadas e esperadas da i-ésima linha e j-ésima coluna, respectivamente; s e r
são o número de linhas e o número de colunas da tabela. No exemplo a seguir será mostrado como obter as frequências
esperadas f eij .
Este coeficiente nem sempre está entre zero e um, um fator de correção foi proposto para facilitar a interpretação:
C∗ = p
C
t(t − 1)
,
(24)
onde t é o mínimo entre o número de colunas e de linhas da tabela.
Exemplo: A Tabela 39 refere-se ao número de pássaros de uma particular espécie, classificados de acordo com o
local da floresta onde se alimentam, para duas estações do ano. Um pesquisador levantou a hipótese (no início do trabalho),
Tabela 39: Distribuição conjunta das variáveis local da floresta e estação do ano.
Estação
Local da Floresta
Total
do ano
Árvores
Arbustos
Chão
Primavera 30(50,8%) 20(33,9%) 9(15,3%)
59(100%)
13(21,3%) 22(36,1%) 26(42,6%) 61(100%)
Outono
Total
43(35,8%) 42(35,0%) 35(29,2%) 120(100%)
Fonte: ANDRANDE, Dalton; OGLIARI, Paulo. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas, Editora UFSC. 2007.
de que os pássaros alimentam-se nestes três locais da floresta nas mesmas proporções na primavera e no outono. Em outras
palavras, o pesquisador formulou a hipótese de que não existe associação entre as duas variáveis.
a) Você concordaria com a hipótese formulada pelo pesquisador? Justifique utilizando porcentagens e o Coeficiente
de Contigência de Pearson.
b) Faça um gráfico de barras múltiplo para representar os dados da Tabela 39.
Obs: Este exercício será feito em sala de aula.
9.2
Exercícios
1. Na Tabela 40 estão apresentados resultados de um experimento no qual um pesquisador está procurando verificar se
existe associação entre hábito de crescimento (3 = indeterminado trepador e 4 = indeterminado prostado) e porte (Tr =
trepador, EB = ereto na base e Pr = prostado) na cultura de feijão de vagem.
a) Construa a tabela da distribuição de frequência conjunta para as variáveis hábito de crescimento e porte;
b) Faça um gráfico de coluna múltipla para a distribuição de frequência conjunta do item (a);
c) Para os dados da Tabela 40 podemos considerar que o hábito está associado com o porte? Se houver associação,
qual a grandeza da mesma?
46
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Tabela 40: Hábito de crescimento (H) e porte (P) para 50 materiais de feijão de vagem.
H
P H
P H
P H
P H
P
4
Tr
4
Tr
4 Tr
4 Pr
4 Tr
4
Tr
4 Tr
4 Tr
3 Pr
4 EB
3
Pr
3
Pr
3 Tr
4 Pr
3 Pr
3
Pr
4 Tr
3 Pr
3 Pr
4
Tr
4
Tr
3
Pr
4 Tr
4 Tr
4 Tr
4
Tr
3 EB
4 Tr
3 Pr
4 Tr
4 EB
4 Tr
4 Pr
4 Tr
3
Pr
3 EB
4 EB
4 Tr
3 Pr
4 Tr
4
Tr
3 Pr
4 Tr
3 Pr
4
Tr
4
Tr
4
Tr
4 Tr
4 Tr
4 Tr
Fonte: ANDRANDE, Dalton; OGLIARI, Paulo. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas, Editora UFSC. 2007.
Tabela 41: Distribuição de frequências conjunta de plantas segregando para dois caracteres numa progênie da espécie
“X”.
Ciclo
Virescência
Total
Normal Virescente
Tardio
3470
910
4380
Precoce
1030
290
1320
Total
4500
1200
5700
Fonte: ANDRANDE, Dalton; OGLIARI, Paulo. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas, Editora UFSC. 2007.
2. Os dados da Tabela 41 têm por objetivo verificar se os caracteres ciclo (Tardio e Precoce) e Virescência (Normal e
Virescente), de uma progênie da espécie “X”, segregam de forma independentemente.
a) Construa a tabela da distribuição de frequência relativa percentual conjunta para as variáveis Ciclo e Virescência e
verifique se os dois pares de genes são herdados independentemente ou existe associação;
b) Faça um gráfico de coluna múltipla para a distribuição de frequência conjunta do item (a);
3. Um economista agrícola está estudando fatores que afetam a adoção de uma nova variedade de arroz altamente produtiva. Os resultados estão na Tabela 42.
Tabela 42: Distribuição de frequências conjunta referente a fatores que podem afetar a adoção de uma nova variedade de
arroz.
Posse
Adoção
Total
Adota Não Adota
Proprietário
102
26
128
Vários arrendatários
42
10
52
Único arrendatário
5
2
7
Total
149
38
187
Fonte: ANDRANDE, Dalton; OGLIARI, Paulo. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas, Editora UFSC. 2007.
a) A adoção é afetada pela situação de posse de terra?
b) Faça um gráfico de coluna (ou barra) múltipla mostrando o comportamento da adoção, segundo a situação de posse
de terra. Interprete os resultados.
4. Foi conduzido um experimento com o objetivo de avaliar o poder germinativo de duas cultivares de cebola: Bola
Precoce - EMPASC 352 e Norte 14. Foram utilizadas para o teste de germinação quatro repetições de 100 sementes,
totalizando 400 sementes para cada cultivar. A variável em estudo é o número de sementes que germinaram. Os resultados
estão na tabela 43.
a) Faça um gráfico mostrando o comportamento das cultivares com relação à germinação das sementes. Interprete os
resultados.
18 ANDRANDE,
Dalton; OGLIARI, Paulo. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas, Editora UFSC. 2007.
47
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Tabela 43: Distribuição de frequências conjunta da Germinação de sementes de duas cultivares de cebola.
Cultivares
Germinação
Total
Germinaram Não germinaram
Bola Precoce
392
8
400
Norte 14
381
19
400
Total
773
27
800
Fonte: ANDRANDE, Dalton; OGLIARI, Paulo. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas, Editora UFSC. 2007.
b) Verifique se existe associação entre entre as cultivares e a germinação de sementes. Justifique utilizando porcentagens e o Coeficiente de Contigência de Pearson.
5. Determinado posto de qualidade de um laticínio retira uma amostra dos pesos dos litros de leite produzidos em um dia,
classificando-os de acordo com seu tipo (B, C, UHT), e condições de peso (dentro ou fora das especificações). A Tabela
46 mostra a distribuição de frequências conjunta de 6.850 unidades de leite, disposta numa tabela de contingência.
Tabela 44: Distribuição de frequências conjunta do tipo de leite e condição do peso.
Condições do Peso
Tipo do Leite
Total
B
C
UHT
Dentro das especificações 500 4.500 1.500 6.500
Fora das especificações
30
270
50
350
Total
530 4.770 1.550 6.850
Fonte: Dados extraídos da dissertação de mestrado de Luciana S.C.V da Silva - Programa de Pós-graduação em engenharia de produação/ UFSC, 2001.
a) Faça um gráfico mostrando o comportamento dos Tipos de leite com relação às Condições de Peso. Interprete os
resultados.
b) Verifique se existe associação entre os Tipos de leite e as Condições de Peso. Justifique utilizando porcentagens e o
Coeficiente de Contigência de Pearson.
6. Uma metalúrgica produz grandes quantidades de parafusos, trabalhando em três turnos. O setor da qualidade deseja
verificar se o desempenho dos turnos é semelhante, o que poderia ser avaliado através das proporções de peças aprovadas,
direcionadas a retrabalho ou rejeitadas. Como parte do Controle Estatístico de Processos, amostras aleatórias de parafusos
são coletadas de cada turno. Uma dessas amostras, com a classificação das peças está mostrada na tabela a seguir:
Tabela 45: Distribuição de frequências conjunta da situação das peças e turno.
Situações das Peças
Turno
Total
Matutino Vespertino Noturno
Aprovadas
432
456
424
1.312
Retrabalho
185
190
180
555
Rejeitadas
45
48
39
132
Total
530
4.770
1.550
6.850
Fonte: BARBETTA, Pedro A.; REIS, Marcelo M. e BORNIA, Antonio C. Estatística para cursos de Engenharia e informática. São Paulo: Editora Atlas S.A., 2004.
a) Faça um gráfico mostrando a Situação das peças com relação ao Turno. Interprete os resultados.
b) Verifique se existe associação entre a Situação das peças e o Turno. Justifique utilizando porcentagens e o Coeficiente de Contigência de Pearson.
10
10.1
Correlação e Regressão Linear Simples
Análise de Correlação
É comum na prática, o interesse em se analisar o comportamento conjunto de duas ou mais variáveis quantitativas.
Nesta seção trataremos do estudo de correlação entre duas variáveis quantitativas. Suponha que seja de interesse obter
uma medida estatística que indique se existe ou não relação entre duas variáveis e se existe relação qual a sua magnitude
e sinal. Veja alguns exemplos:
48
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• Idade e altura das crianças;
• Tempo de prática de esportes e ritmo cardíaco;
• Tempo de estudo e nota na prova;
• Doses de Nitrogênio e a produção de milho;
• Taxa de desemprego e taxa de criminalidade; e
• Expectativa de vida e taxa de analfabetismo.
10.1.1
Diagrama de Dispersão
O primeiro passo para verificar a possível correlação entre duas variáveis quantitativas, em termos de um conjunto
de elementos em que se observem essas duas variáveis, é através do diagrama (ou gráfico) de dispersão, em que os valores
destas variáveis são representados por pontos, num sistema cartesiano. Esta representação é feita sob forma de pares
ordenados (X, Y), onde X é um valor observado de uma variável e Y é o correspondente valor da outra variável.
Exemplo 1 - Números de anos de serviço e número de clientes de 10 agentes de uma companhia de seguros:
Tabela 46: Números de anos de serviço e No de clientes de 10 agentes de uma companhia de seguros.
Agente Anos de serviço (X) No de clientes (Y )
A
2
48
B
4
56
C
5
64
D
6
60
E
8
72
F
2
45
G
3
57
H
7
80
I
6
75
J
3
47
Na Figura 20 estão representados os pares (X, Y ) observados na Tabela 46. Através da observação da disposição
dos pontos, concluí-se que há uma dependência entre as variáveis, porque no conjunto à medida que aumenta o tempo de
serviço, aumenta o número de clientes. Temos então uma correlação positiva.
Figura 20: Gráfico de dispersão do Tempo de serviço versus No de clientes
49
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Exemplo 2 - Numa pesquisa com 10 famílias com renda bruta mensal entre 10 e 60 salários mínimos, mediu-se:
Y: a % da renda bruta anual gasta com assistência médica. X: renda bruta mensal (expressa em no de salários-mínimos).
Tabela 47: Dados referentes a renda bruta anual gasta com assistência médica e No de salários mínimos por família.
Família X
Y
A 12 7,2
B 16 7,4
C 18 7,0
D 20 6,5
E 28 6,6
F 30 6,7
G 40 6,0
H 48 5,6
I 50 6,0
J 54 5,5
Figura 21: Gráfico de dispersão da Renda bruta anual e gasto com assistência médica.
Observando a Figura 21, nota-se que existe uma dependência inversa, ou seja, uma correlação negativa, aumentando a renda bruta, diminui a porcentagem da mesma, gasta em assistência médica.
Exemplo 3 - Oito indivíduos foram submetidos a um teste sobre conhecimento de língua estrangeira e, em seguida,
mediu-se o tempo gasto por cada um para aprender operar uma determinada máquina. Assim,
X: resultado obtido no teste (máximo 100 pontos)
Y : tempo em minutos necessário para aprender operar satisfatoriamente a máquina.
Do diagrama de dispersão, Figura 22, conclui-se que parece não haver nenhum tipo de dependência entre as duas
variáveis, pois conhecer o resultado do teste não ajuda prever o tempo gasto para aprender a operar a máquina.
10.1.2
Coeficiente de Correlação Linear de Pearson
O coeficiente de correlação linear de Pearson, representado pela letra r, é utilizado para quantificar a correlação
entre duas variáveis quantitativas. Assume valores no intervalo [-1,+1] e é calculado por:
P
P P
n( xy) − ( x y)
p P
r = Corr(X, Y ) = p P
(25)
P
P
n( x2 ) − ( x)2 n( y 2 ) − ( y)2
onde r = −1 indica uma relação linear negativa perfeita, r = 1 indica uma relação linear positiva perfeita e r = 0 indica
que não há relação linear entre as variáveis. Pode haver outro tipo de relação entre X e Y .
50
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Tabela 48: Dados referentes ao resultado de um teste sobre conhecimento em língua estrangeira e tempo gasto para
aprender a operar uma determinada máquina.
Indivíduos X
Y
A 45 343
B 52 368
C 61 355
D 70 334
E 74 337
F 76 381
G 80 345
H 90 375
Figura 22: Gráfico de dispersão do resultado obtido no teste e tempo em minutos necessário para aprender operar satisfatoriamente a máquina.
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Para obter os somatórios da equação de r procede-se da seguinte maneira:
P
xy:
Fazem-se os produtos X × Y , referente a cada par de observações e depois efetua-se a soma;
P
x:
Somam-se
os valores da variável X;
P
y:
Somam-se
os
valores da variável Y ;
P 2
x
:
Elevam-se
ao
quadrado cada valor de X e, depois, efetua-se a soma.
P 2
y : Elevam-se ao quadrado cada valor de Y e depois efetua-se a soma.
Exemplo: Considere as seguintes variáveis:
Y - consumo de cerveja em um dia (em 100 litros); e
X - temperatura máxima (em o C).
Estas variáveis foram observadas em nove localidades com as mesmas características demográficas e sócio-econômicas.
A seguir, veja a tabela com os dados amostrais.
Tabela 49: Dados referentes a consumo de cerveja em um dia (em 100 litros) e temperatura máxima (em o C).
Temperatura Consumo
16
290
31
374
38
393
39
425
37
406
36
370
36
365
22
320
10
269
Verifique através do coeficiente de correlação se existe associação entre as variáveis e plote os dados num gráfico
de dispersão.
10.2
Regressão Linear Simples
A análise estatística de um conjunto de dados pode ser realizada através de uma variedade de métodos existentes.
A escolha do método a ser utilizado deve estar de acordo com o tipo de informação disponível e os objetivos que se deseja
alcançar. Considere as seguintes situações:
• Um estado implementa novas punições severas para motoristas bêbados; Qual é o efeito disso sobre sobre os
acidentes fatais nas estradas?
• Uma diretoria regional de ensino reduz o tamanho de suas turmas do ensino fundamental; qual é o efeito disso sobre
as pontuações dos alunos nos exames nacionais?
• Você conclui com sucesso mais um ano de estudos da universidade; qual é o efeito disso sobre seu salário futuro?
O modelo de regressão linear relaciona uma variável X, a outra Y . Como Y é afetado por X, Y é chamada de variável
dependente e X de variável independente. Exemplos de Y e X:
Y : consumo X: Renda;
Y : Salário X: Anos de estudo;
Y : Vendas X: Gastos com propaganda.
O modelo usado com maior freqüência é o linear, na forma:
Yi = α + βXi + ei ,
i = 1, · · · , n.
(26)
onde:
i) Yi : variável resposta (dependente) de interesse relativa ao indivíduo i;
ii) Xi : variável explicativa (independente);
iii) ei : erro aleatório não observável, aquilo que não é possível "prever"através do modelo;
iv) α e β coeficientes de inclinação e angular da reta, respectivamente. Esses parâmetros são desconhecidos e precisam
ser estimados.
52
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Dentre os métodos de estimação o mais utilizado na análise de regressão é o método dos mínimos quadrados. Isto se deve
em grande parte a simplicidade computacional e matemática do mesmo, e o que é ainda mais importante, está presente
em praticamente todos os pacotes de programas estatísticos disponíveis no mercado. Além disso, o aspecto inferencial é
amplamente desenvolvido e divulgado.
,→ Estimadores de mínimos quadrados para α e β:
α̂ = ȳ − β x̄
(27)
P
yi xi − nȳx̄
β̂ = P 2
xi − nx̄2
(28)
Interpretação dos parâmetros do modelo:
1) Intercepto (α̂): é o valor esperado para Y quando X = 0.
2) Coeficiente angular (β̂): representa o quanto varia a média de Y para cada aumento de uma unidade da variável X.
10.2.1
Coeficiente de Determinação - R2
O coeficiente de determinação R2 , também chamado de lucro relativo, representa o poder explicativo da regressão
e tem por objetivo avaliar a “qualidade” do ajuste. Seu valor fornece a proporção da variação total da variável Y explicada
pela variável X através da função ajustada. Pode-se expressar R2 por:
P
(xi − x̄)2
(29)
R2 = β̂ 2 × P
(yi − ȳ)2
10.3
Exercícios
1. Considere os seguintes dados amostrais obtidos de um estudo da relação entre o número de anos que os candidatos
a certo emprego no exterior estudaram alemão no curso secundário ou na faculdade, e as notas obtidas em um teste de
proficiência naquela língua:
Indivíduo
No de Anos (X)
Nota do teste (Y )
1
3
57
2
4
78
3
4
72
4
2
58
5
5
89
6
3
63
7
4
73
8
5
84
9
3
75
10
2
48
a) Faça um gráfico de dispersão dos dados;
b) Estime os coeficientes de regressão do modelo e determine a equação da reta de mínimos quadrados que nos permita
predizer a nota do teste a partir do número de anos de estudo em alemão. Interprete os coeficientes do modelo;
c) Qual o lucro relativo (R2 ) que se tem usando o modelo de RLS?
d) Calcule o coeficiente de correlação entre as duas variáveis e interprete;
2. Os dados abaixo referem-se ao resíduo de cloro em uma piscina em vários momentos, após ter sido tratada com
produtos químicos:
X
Y
0
2,2
2
1,2
4
1,5
6
1,4
8
1,1
10
1,1
12
0,9
onde X representa o No de horas que a piscina foi tratada e
Y representa: Resíduos de cloro (partes por milhão).
Para
P esses dados,
P
P
P
P
X = 42, X 2 = 364, Y = 9, 4, Y 2 = 13, 72 e XY = 47, 4.
A leitura a zero horas foi feita imediatamente após completado o tratamento químico.
a) Ajuste uma reta de mínimos quadrados que nos permita predizer o resíduo de cloro em termos do número de horas
após a piscina ter sido tratada com produtos químicos.
b) Com a equação da reta de mínimos quadrados, estime o resíduo de cloro na piscina 5 horas após ter sido tratada.
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Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
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c) Com a equação da reta de mínimos quadrados, estime o resíduo de cloro na piscina 8 horas após ter sido tratada.
Por que razão sua resposta é um tanto diferente das 1,1 partes por milhão efetivamente observadas ao final de 8
horas?
d) Calcule o coeficiente de correlação entre as duas variáveis e interprete;
e) Qual o lucro relativo (R2 ) que se tem usando o modelo de RLS?
3. Em uma certa localidade obtiveram-se os seguintes dados sobre a precipitação pluviométrica anual (X) e a produção
de algodão em kilos por área , Y para um período de 7 anos.
Ano
X
Y
1
18
520
2
159
190
3
118
208
4
115
213
5
22
310
6
127
194
7
111
160
a) Faça um gráfico de dispersão para os dados;
b) Determine a equação de mínimos quadrados que nos permita predizer a produção de algodão em kg por área a partir
dos dados sobre precipitação pluviométrica anual;
c) Qual o lucro relativo (R2 ) que se tem usando o modelo de RLS?
d) Qual seria a produção de algodão estimada se em um dado ano a precipitação pluviométrica for 100?
e) Calcule o coeficiente de correlação entre as duas variáveis e interprete;
4. Em dada região de Bocaina - SP, acredita-se que o gado alimentado em determinado pasto tem um ganho de peso maior
que o usual. Estudos de laboratório detectaram uma substância no pasto e deseja-se verificar se ela pode ser utilizada
para melhorar o ganho de peso de bovinos. Foram escolhidos 15 bois de mesma raça e idade, e cada animal recebeu uma
determinada concentração da substância X (em mg/l). O ganho de peso após 30 dias, denotado por Y , foi anotado e os
dados foram os seguintes:
X
Y
0,2
9,4
0,5
11,4
0,6
12,3
0,7
10,2
1,0
11,9
1,5
13,6
2,0
14,2
2,5
16,2
3,0
16,2
3,5
17,7
4,0
18,8
4,5
19,9
5,0
22,5
5,5
24,7
6,0
23,1
a) Estime a equação de regressão. Interprete os coeficientes do modelo;
b) Verifique se existe correlação entre concentração da substância e peso;
c) Para que o gado ganhasse 30 Kg de quanto deveria ser a concentração da substância?
5. Os dados amostrais a seguir representam a procura por um produto (em milhares de unidades) e seu preço (em centavos)
cobrado em 6 áreas de mercado diferentes:
Preço(X)
Procura(Y)
18
9
10
125
14
57
11
90
16
22
13
79
a) Ajuste uma reta de mínimos quadrados com a qual possamos predizer a procura do produto em termos do seu preço;
b) Interprete os coeficientes do modelo;
c) Calcule o coeficiente de correlação entre as duas variáveis e interprete;
6. Os dados a seguir mostram as despesas com propaganda (expressas em percentagem das despesas totais) e o lucro
líquido operacional (expresso em percentagem do total de vendas) em uma amostra de 6 drogarias:
a) Ajuste uma reta de mínimos quadrados que permita predizer o lucro operacional líquido em termos das despesas
com propaganda;
b) Interprete os coeficientes do modelo;
c) Calcule o coeficiente de correlação entre as duas variáveis e interprete;
d) Calcule o coeficiente de determinação do modelo e interprete;
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Despesas com propaganda
1,5
1,0
2,8
0,4
1,3
2,0
Lucro operacional líquido
3,6
2,8
5,4
1,9
2,9
4,3
7. Uma indústria submete seus operários a um teste de aptidão, e três meses depois mede a produtividade desses operários.
Os resultados obtidos de uma amostra de 6 operários, estão na tabela abaixo.
aptidão (X)
produtividade (Y )
22
48
26
52
15
25
19
40
20
43
18
30
a) Determine a reta de regressão que se ajuste aos dados. Interprete os coeficientes obtidos;
b) Se um operário tira 24 no teste de aptidão, qual a sua produtividade esperada, depois de três meses?
8. A tabela abaixo apresenta dados referentes a idade X e a pressão sistólica Y para um grupo de 12 mulheres.
X
Y
56
147
42
125
72
160
36
118
63
149
47
128
a) Determine o coeficiente de correlação;
b) Determine a reta de regressão;
c) Estime a pressão de uma mulher de 45 anos.
55
55
150
49
145
38
115
42
140
68
152
60
155
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Referências
[1] ANDRANDE, Dalton; OGLIARI, Paulo. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas, Editora UFSC. 2007.
[2] BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. 4a ed., Atual Editora, S.P., 2010.
[3] BARBETTA, Pedro A.; REIS, Marcelo M. e BORNIA, Antonio C. Estatística para cursos de Engenharia e informática. São Paulo: Editora Atlas S.A., 2004.
[4] CRESPO, A.A.; Estatística Fácil. Editora: Saraiva.
[5] FONSECA, J.S.; MARTINS, G. de A. Curso de estatística, 4a ed., Editora Atlas, SP., 2010.
[6] JAY L. DEVORE, Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências, Editora THOMSON, SP, 2006.
[7] JOHN E. FREUND, Estatística Aplicada à Economia, Administração e Contabilidade, 11a ed., Editora Artmed Bookman, SP., 2006.
[8] LIMA, A.C.Pedroso; MAGALHÃES, M.Nascimento. Noções de Probabilidade e Estatística. Editora Edusp. 2004.
[9] MILONE, Giuseppe. Estatística Geral e Aplicada. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004.
[10] MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica. 7a ed. Editora Makron Books. Vols. 1 e 2. 1999.
[11] NETO, P.L.O.Costa. Estatística, 2a Edição, Editora Edgard Blücher Ltda. 2002.
[12] SPIEGEL, Murray R. Estatística, 3a Edição. Editora Pearson. 1993.
[13] STEVENSON, W.J. Estatística aplicada à administração. Tradução de Alfredo Alves de Farias. Harbra, S.P., 1981.
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