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Estudo das Energias e Funções de Onda
em um Ponto Quântico Cilíndrico
Study of Energies and Wave Functions in a
Cylindrical Quantum Dot
Sílvio José Prado
Faculdade de Ciências Integradas do Pontal – FACIP – UFU, Uberlândia, MG.
[email protected]
Resumo – este trabalho são calculadas a estrutura
eletrônica e as funções de onda de um ponto quântico
cilíndrico de CdTe. O modelo utilizado para realizar o
cálculo se baseia no Hamiltoniano k.p 8×8 de KaneWeiler, o qual leva em consideração a forte mistura
entre as bandas de condução e de valência, assim como
permite estudar o conjunto de simetrias associadas com
estes estados eletrônicos. Observe-se que, uma vez
definido um cilindro de altura 2Hz, ao variar o raio o
caráter do segundo e terceiro níveis de energia da
banda de valência sofrem mudanças entre os estados de
buraco pesado e buraco leve, devido a cruzamentos e
anti-cruzamentos entre os níveis de energia.
espacial leva a quantização de todos os graus
de liberdade do elétron, fazendo com que seu
espectro de energia seja semelhante ao de um
átomo, ou seja, consiste de um conjunto
discreto de autovalores, neste fato é que está o
grande interesse do ponto de vista da física
fundamental, como neste caso em que foi feito
um estudo das energias, funções de ondas e da
identificação dos estados eletrônicos, que são
objetos de estudo em cursos de Física Moderna
e Mecânica Quântica, assim como para as
possíveis
aplicações em microeletrônica e
Palavras-chave – Ponto quântico cilíndrico. Estrutura
eletrônica. Funções de onda. Hamiltoniano k.p. dispositivos opto-eletrônicos tais como diodos
Simetrias.
emissores de luz (PRADO2, 2003).
Abstract – In this work I calculate the electronic
structure and wave functions of a cylindrical quantum
dot of CdTe. The model used to perform the calculation
is based on the Hamiltonian 8 × 8 k.p Kane-Weiler,
which takes into account the strong mixing between the
conduction band and valence, as well as allows to study
the set of symmetries associated with these electronic
states. I note that, once defined a cylinder of height 2Hz,
to vary the radius the character of the second and third
energy levels of valence band undergo changes between
the states of heavy hole and light hole, due to anticrossings and crossings between energy levels.
Keywords – Cylindrical quantum dot, Electronic
structure, k.p Hamiltonian; Symmetries.
I INTRODUÇÃO
Os pontos quânticos (PQ’s) semicondutores
têm sido intensivamente investigados devido as
suas propriedades ópticas e elétricas
dependentes do tamanho. O confinamento
ISSN: 1984-3151
Para compreender e interpretar os
resultados experimentais é necessário um
estudo da dependência dos níveis de energia
com o tamanho do ponto quântico e sobre as
simetrias espaciais. A teoria de massa efetiva
tem fornecido bons resultados na descrição da
estrutura eletrônica em pontos quânticos
(NORIS et al., 1996).
Várias versões desta teoria usando
diferentes aproximações têm sido formuladas
para nanoestruturas tipo bulk, como blenda de
zinco (zinc-blende) e vurtzita (wurtzite). Foi
escolhido usar o modelo k.p 8×8 de KaneWeiler (KANE, 1966), para estudar todos os
diferentes aspectos da interação entre as bandas
de condução, valência e spin-órbita assim como
as simetrias dos estados eletrônicos (SERCEL;
VAHALA, 1990).
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II TEORIA
Para realizar este estudo teórico foi utilizado o
Hamiltoninao k.p 8×8 de Kane-Weiler
(PRADO1, 2003, SERCEL; VAHALA. 1990),
o qual leva em consideração exatamente a
interação entre as bandas de condução e de
valência e considera as contribuições de bandas
remotas.
Os estados dos elétrons e dos buracos
em um ponto quântico cilíndrico (PQC) podem
ser caracterizados pelos autoestados do
momento angular total definido pela soma dos
estados de Bloch, J, e do momento angular, L,
da função envelope. Dentro do modelo k.p,
estes estados podem ser escritos como uma
expansão linear na forma de uma função
espinor de oito componentes.
Devido à impossibilidade de resolver o
problema exato, algumas aproximações são
necessárias, tais como:
(i) Uso de um modelo de barreira de
potencial infinita, pois para os pontos quânticos
crescidos em matriz vítrea, os portadores de
carga do material semicondutor encontram uma
diferença de energia na interface semicondutorvidro da ordem de 3,0 eV, tornando este
aproximação bastante boa.
(ii) O Hamiltoniano k.p apresenta inversão
de simetria e a estrutura dos operadores permite
determinar uma simetria inerente, a qual por
sua vez permite a separação do espaço de
Hilbert em quatro subespaços ortogonais. Para
satisfazer a simetria de inversão dos operadores
da diagonal e fora da diagonal no
Hamiltoniano, cada subespaço deve ser
formado por uma combinação especial de
funções pares e ímpares (ver as equações (3) e
(4)). Considerando o Hamiltoniano completo,
existem termos que quebram a simetria de
inversão, não permitindo a separação do
subespaço de Hilbert em quatro subespaços,
que possibilitam a identificação dos estados
eletrônicos
e
simplificam
o
cálculo
computacional.
(iii) A componente do momento angular
Lz = hM da função de onda envelope é um bom
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número quântico. As funções de onda para
qualquer estado eletrônico são representadas
por um espinor de oito componentes. Um
conjunto completo de autofunções para o
Hamiltoniano k.p para um PQ cilíndrico pode
ser expandido em termos do produto das
funções periódicas de Bloch J , J z em k=0 e
das funções envelope. A função de onda foi
expandida em termos das soluções exatas dos
operadores da diagonal para cada tipo de
portador. Cada componente do espinor tem a
forma
F ± n , L ,m ( ρ , φ , z ) = Φ n L ( ρ , φ ) f ± ( z ),
(1)
onde o termo situado no plano é dado por,
Φ n L ( ρ , φ ) = An , L J L (k L n ρ )
e ± iLφ
2π
,
sendo An ,l ,
a
constante de normalização da função de
Bessel J L ( x ) . O termo dependente em z é dado
por
f + (z) =
mπ
1
cos( 1 z ), m1 = 1, 3, 5,...,
2H z
Hz
f − ( z) =
mπ
1
s en( 2 z ), m 2 = 2, 4, 6,...,
2H z
Hz
(2)
onde Hz representa a meia-altura do cilindro.
Devido à simetria inerente ao
método k.p e à geometria cilíndrica do ponto
quântico, os subespaços podem ser construídos
como uma combinação especial de funções
pares, Φ n 2l ( ρ , φ ) e f + ( z ) , e ímpares, Φ n 2l +1 ( ρ , φ )
e f − ( z ) . A forma geral do conjunto de espinores
que formam os subespaços é (PRADO1, 2010)
 Cnm,21 L(2L+1) Φn
(ρ ) f +
2L(2L + 1)

 m1
n
+
 Cn,2L+1(2L) Φ 2L +1(2L) (ρ) f
 m
n
−
 Cn,22 L(2L+1) Φ 2L(2L + 1) (ρ) f

 Cm2
Φn
(ρ ) f −
 n,2L(2L+1) 2L(2L + 1)
ψ I (II ) (ρ) = ∑  m
n
n,L,m1,2 Cn,22 L+1(2 L) Φ
(ρ ) f −

2L +1(2L)

 Cnm,22 L(2L+1) Φn
(ρ ) f −
2L(2L + 1)

 Cm1
(ρ ) f +
Φn
 n,2L+1(2L) 2L +1(2L)
 m1
+
n
 Cn,2L+1(2L) Φ 2L +1(2L) (ρ) f

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e+
hh+
lh+
so+
e−
hh−
lh−
so−



















(3)
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e
C
Φ
( ρ) f
2L +1(2L)

 m1
n
+
 Cn,2L(2L+1) Φ 2L(2L + 1) (ρ) f
 m
n
−
 Cn,22 L+1(2L) Φ 2L +1(2L) (ρ) f

 Cm2
Φn
( ρ) f −
 n,2L+1(2L) 2L +1(2L)
ψ III (IV ) (ρ) = ∑  m
n
n,L,m1,2 Cn,22 L+1(2L) Φ
( ρ) f −

2L(2L + 1)

 Cnm,22 L+1(2L) Φn
( ρ) f −
2L +1(2L)

 Cm1
Φn
( ρ) f +
 n,2L(2L+1) 2L(2L + 1)
 m1
+
n
 Cn,2L(2L+1) Φ 2L(2L + 1) (ρ) f

m1
n,2 L(2 L+1)
n
+
+
e
hh+
lh+
so+
e−
hh−









, (4)









valor mais baixo de L no conjunto das bases
para os estados das bandas de condução e de
valência, s representa o spin para cima (up) ou
para baixo (down) e m representa o número
quântico relativo à função f + ( − ) que aparece
nas equações (3) e (4). Estados pertencentes ao
mesmo subespaço não podem se cruzar, como
será mostrado na Figura 1 para os níveis de
energia.
O esquema de diagonalização utilizado
permite identificar facilmente os níveis de
energia, ou seja, qual o seu caráter dominante
so−
em relação aos componentes dos espinores (3)
m
onde Cn , L são constantes a serem determinadas. e (4).
lh−
De acordo com o modelo, os
estados (3) e (4) devem satisfazer a seguinte
condição
de
contorno:
ψ nI ,(LII, m), III ( IV ) ( ρ ≥ R, φ , z ≥ H z ) = 0 , tanto no raio R
do cilindro, quanto na meia-altura Hz e,
portanto o número de onda que aparece em
cada função Φ n L ( ρ , φ ) é dado por
k l n = µ nl R onde µ nl é o n-ésimo zero da função
de Bessel. A ordem imposta sobre o número
quântico orbital m nas equações (3) e (4) é
determinada pelos elementos fora da diagonal
do Hamiltoniano k.p. Os operadores P̂± mudam
a paridade da função de Bessel, enquanto que
Pˆz muda a paridade da função f ± ( z ) . O
acoplamento entre a banda de condução e a
banda de valência e a mistura de estados na
banda de valência aparecem devido às
contribuições dos termos fora da diagonal do
Hamiltoniano.
O cálculo da estrutura eletrônica foi
feito para um ponto quântico cilíndrico
semicondutor de CdTe, com meia-altura
Hz = 100 Ǻ.
Como o ponto quântico é simétrico na
direção z, a paridade da função de onda
também é introduzida como um número
quântico. Os estados para um dado número
quântico fz, são denotados por m X n ,s onde n é o
índice do estado que enumera os níveis de
energia do menor para o maior, X representa o
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III RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os parâmetros para o CdTe usados no cálculo
são a energia do gap Eg = 1,6069 eV, energia
da interação spin-órbita ∆0 = 0,953 eV. Os
parâmetros de Luttinger γ 1L = 5,37, γ 2L = 1,67,
γ 3L = 1,98, a não-parabolicidade da banda de
condução (1 + 2F) = 1,24, a massa efetiva do
elétron me = 0,091m0, e o parâmetro de Kane
de acoplamento das bandas de conduçãovalência Ep = 17,9 eV (PRADO2 et. al., 2003).
Para realizar o cálculo numérico cada
subespaço foi construído com relação aos
números quânticos L e m. A convergência dos
valores numéricos foi atingida usando matrizes
de tamanho 8N0 × 8N0, com N0 ≤ 30, para um
erro de 2,5 e V nas energias.
Na FIG. 1 é mostrado o espectro de
energia para o ponto quântico cilíndrico de
CdTe, calculado no ponto Γ e plotados como
função do inverso do raio, para um valor de
Hz = 1,0A, onde 1A = 100Ǻ. Nessa figura,
assim como na FIG. 2 estão plotados as
energias referentes aos subespaços I e IV, pois
as energias referentes aos subespaços I (III) e II
(IV) são degeneradas. Como esperado as
energias aumentam na banda de condução
conforme o raio diminui, e diminuem para a
banda de valência.
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Os estados da banda de valência exibem
um comportamento mais interessante, do que
aquele dos estados da banda de condução,
como o cruzamento e o anti-cruzamento do
segundo, terceiro e quarto níveis de energia.
números quânticos, L = 0, m1 = 1 e spin para
cima, 1 e1↑ (I), ou um estado com L = 0, m1 = 1
e spin para baixo, 2 e1↓ (II), vindo do subespaço
II, pois como foi mencionado os níveis de
Primeiro, observa-se na FIG. 1 que o energia dos subespaços I e II são degenerados.
nível de energia fundamental desta banda é
caracterizado como um estado de buraco
pesado, sendo representado como
1
hh1↑ (IV)
( 1lh1↑ (III)) e não troca de caráter conforme o
raio diminui.
Segundo, na FIG. 2, a qual é uma
ampliação da região marcada com um círculo
na FIG. 1, onde ocorre o anti-cruzamento entre
os níveis de energia da banda de valência em
torno de 1/R = 0,87A (115 Ǻ), o estado é
3↑
caracterizado como 3 lh3↑ (I) ( 2 lh (II)), tanto
antes quanto após o cruzamento. Entretanto o
segundo nível de energia representado como
3
lh2↑ (I) ( 2 lh2↓ (II)) troca de caráter após o anti-
cruzamento
passando
a
ser
3
hh2↓ (I)
Figura 1. Espectro de energia de elétrons e buracos para
( 2 hh 2↑ (II)).
um ponto quântico cilíndrico de CdTe, com Hz = 1,0A
Terceiro, o cruzamento entre os níveis (100 Ǻ) plotado em função do inverso do raio. As linhas
de energia mencionados ocorrem entre níveis sólidas (pontilhadas) representam os estados referentes
ao subespaço I (IV).
pertencentes a subespaços diferentes, como
previsto, este fato implica que o segundo nível
de energia, muda conforme o raio do PQ
diminui, ou seja, para R < 115Ǻ (1/R = 0,87
A), o caráter dominante do terceiro nível é
3
lh3↑ (I) ( 2 lh3↑ (II)), e acima deste valor passa a
3↑
ser 2 lh (IV) ( 1lh3↓ III), ou seja, trocando de
caráter na região onde R ≅ 125Ǻ (0,8A).
As figuras 3a, 3b e 4a e 4b, mostram as
energias e as funções de onda, dadas pela
equação (1) na direção z, em ρ = 0, ou seja, no
centro do cilindro. Estas figuras são para
R = 0,5A, 1,0A, 1,15A e 1,50A,
respectivamente. Nas figuras, o primeiro estado
da banda de condução tem dois nós situados
nas “tampas” do cilindro, ou seja, e Hz = ± Figura 2. Ampliação da região marcada com um círculo
1,0A, e nenhum antinó como esperado para o na figura 1, banda de valência, mostrando o cruzamento
nível fundamental. Esta função de onda e o anti-cruzamento entre os níveis de energia discutidos
no texto.
representa um elétron do subespaço I com
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A função de onda do segundo nível é
semelhante a do primeiro nível, pois ela advém
do subespaço IV, onde o elétron de menor
energia tem os números quânticos L = 1, m1 = 1
e spin para baixo, portanto ele tem energia
menor do que o estado do elétron com spin
para cima do mesmo subespaço que apresenta
os seguintes valores de L = 0 e m2 = 2. Logo o
nível de energia fundamental deve ter número
quântico m igual a 1.
Na banda de valência observa-se que o
estado fundamental, buraco pesado, subespaço
IV, com L=0, m1=1 e spin para baixo, assim
como o estado fundamental da banda de
condução tem dois nós e nenhum antinó, para
todos os valores de R mencionados.
O segundo estado para R = 0,5A, FIG.
3a, tem um antinó e dois nós e advém do
subespaço I, como pode ser visto na FIG. 1
(1/R=2A).
Este estado tem os seguintes números
quânticos L = 0, m2 = 2 e spin para baixo, como
o estado fundamental deve ter m1 = 1, este
nível de energia representa um estado excitado,
já o terceiro nível aparece do subespaço IV e
como pode ser visto na figura representa o
primeiro estado da banda de buraco leve. Na
FIG. 3b, onde 1/R = 1,0A, observa-se que o
segundo e o terceiro estados pertencem ao
subespaço I, assim como na FIG. 4a, e
representam os estados excitados das bandas de
buraco pesado e leve, respectivamente, ou seja,
como mencionado as funções de onda tem um
antinó. A FIG. 4a é para a região de anticruzamento entre os segundo e o terceiro níveis
de energia (1/R = 0,87A). Quando o raio
aumenta para 1/R = 1,5A, FIG. 4b, o segundo
estado continua a se buraco leve e o terceiro
estado passa a ser buraco leve como na FIG.
3a.
Figura 3. Espectro de energia e funções de onda em z
para ρ=0, plotado em função da altura do cilindro. A
figura (3a) é para um PQC de raio 0,5A e a figura (3b)
para um PQ de raio 1,0A.
Figura. 4. O mesmo da FIG. 3, agora para raios de 1,15A
e 1,50A, respectivamente figuras a e b.
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LUTTINGER, J. M. e KOHN, W., Motion of
Electrons and Holes in Perturbed Periodic
Neste trabalho foram calculadas a estrutura Fields, Physical. Review. Vol. 97, p. 869,
eletrônica e as funções de onda de um ponto 1955.
quântico cilíndrico de CdTe. Para realizar o
NORIS, D. J. et al. Size dependence of
cálculo foi utilizado o Hamiltoniano k.p de oito
exciton fine structure in CdSe quantum
bandas.
dots, Physical Review B, Vol. 53, p. 347
Os resultados mostram que as funções
(1996).
de onda estão de acordo com os resultados
encontrados nos livros didáticos de Mecânica PRADO1, S. J., Efeitos de tensão em um
Quântica, para um poço com barreira de ponto quântico cilíndrico auto-organizado,
potencial infinita. Outro resultado importante aceito para publicação, Ciência e Engenharia,
observado nas figuras 1 e 2 é que, dado um ISSN 0103-944X; ISSN eletrônico 1983-4071,
cilindro com uma certa altura fixa Hz, para 2010.
valores de R (raio) que variam de R< Hz
PRADO2, S. J. et al. Optical transitions in a
(cilindro “estreito” e “alto”) a R> Hz (cilindro
single CdTe spherical quantum dot, Physical
“largo” e “baixo”) o caráter do segundo e
Review B, Vol. 68, p. 235327-1-1235327-9,
terceiro níveis de energia da banda de valência
2003.
sofrem mudanças.
SERCEL, P. C. e VAHALA, K. J., Analytical
REFERÊNCIAS
formalism for determining quantum-wire
and quantum-dot band structure in the
Semiconductor and multiband
KANE,
E.
O.,
envelope-function
Semimetals, Willardson, R.K. e Beer, A.C., approximation. Physical Review. B, Vol. 42,
eds. (Academic Press, New York, 1966), vol. 3690, 1990.
1, p.75.
IV CONCLUSÕES
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