Lei da Indução - Instituto de Física / UFRJ

IF/UFRJ – Física III – 2011/1 – Raimundo
Turmas IFA/OV1/ BCMT/MAI/IGM/MAA
10a Lista de Problemas – Lei da Indução
1. Uma antena de UHF circular tem 11,2 cm de diâmetro. O campo magnético do sinal
de TV é normal ao plano da espira e, em um dado instante, sua magnitude está
mudando à taxa de 157 mT/s. O campo é uniforme. Encontre a fem induzida na
antena.
2. Na figura ao lado uma bobina de 120 voltas, raio
de 1,8 cm e resistência 5,3 Ω é colocada do lado
de fora de um solenóide com 220 voltas/cm e
diâmetro de 1,6 cm. Se a corrente no solenóide
está aumentando de 0 a 1,5 A a uma taxa
constante num período de 0,16 s, (a) que corrente aparecerá na bobina enquanto a
corrente do solenóide estiver mudando? (b) Como os elétrons condutores da bobina
são afetados pelo solenóide de tal modo a estabelecer uma corrente? Afinal, o fluxo
magnético está totalmente confinado ao interior do solenóide.
3. Uma espira fechada de fio consiste em um par de
semicírculos idênticos, com raio de 3,7 cm, colocados em
planos mutuamente perpendiculares. A espira foi formada
dobrando uma espira circular, até que as duas metades
ficassem perpendiculares. Um campo magnético uniforme B,
de magnitude 76 mT, é perpendicular ao diâmetro na dobra e
faz ângulos de 62o e 28o com os planos dos semicírculos,
como vemos na figura. O campo magnético é reduzido a uma taxa uniforme até
zero, em um intervalo de tempo de 4,5 ms. Determine a fem
induzida.
4. Na figura ao lado, o fluxo que atravessa a espira é ΦB(0) no
instante t = 0. Suponha que o campo magnético B esteja
variando de forma contínua, mas não especificada, em módulo e
direção, de modo que no instante t o fluxo é representado por
ΦB(t). (a) Mostre que a carga resultante q(t), que passa através
do resistor R no intervalo de tempo t, é
independentemente da forma específica da lei de variação de B.
(b) Se ΦB(t) = ΦB(0) em um caso particular, temos q(t) = 0. A corrente induzida é
necessariamente zero, durante o intervalo de tempo de 0 a t?
5. Um campo magnético uniforme B está variando em módulo à taxa constante dB/dt.
Uma dada massa m de cobre é transformada em um fio de raio r e com ele
construímos uma espira circular de raio R. Mostre que a corrente induzida na espira
não depende do tamanho do fio ou da espira e, considerando B perpendicular ao
plano da espira, esta corrente é dada por
onde ρ é a resistividade e δ a
densidade do cobre.
6. Um fio é moldado em três segmentos circulares de raio r =
10,4 cm, como vemos na figura. Cada segmento é um
quadrante de um círculo, com ab no plano xy, bc no plano yz e
ca no plano zx. (a) Se um campo magnético uniforme B aponta
na direção positiva do eixo x, encontre a fem induzida no fio
quando B aumenta à taxa de 3,32 mT/s. (b) Qual o sentido da
fem no segmento bc?
7. Uma espira de fio circular de 10 cm de diâmetro é colocada com sua normal fazendo
8.
9.
10.
11.
um ângulo de 30o com a direção de um campo magnético uniforme de 0,50 T. A
espira é “balançada” de tal modo que sua normal descreve um cone em torno da
direção do campo, à taxa constante de 100 rev/min; o ângulo entre a normal e a
direção do campo (= 30o) permanece constante durante o processo. Calcule a fem
induzida na espira.
A figura mostra um bastão condutor de
comprimento L sendo empurrado através de
trilhos condutores sem atrito, à velocidade
constante v. Um campo magnético vertical
uniforme B preenche a região em que o bastão se move. Considere L = 10,8 cm, v =
4,86 m/s e B = 1,18 T. (a) Encontre a fem induzida no bastão. (b) Considerando a
resistência do bastão igual a 415 mΩ e a resistência dos trilhos desprezível, calcule a
corrente na espira condutora. (c) Qual a taxa de geração de energia interna (efeito
Joule) no bastão? (d) Encontre a força que precisa ser aplicada por um agente
externo para que o bastão se mantenha em movimento. (e) Qual a taxa de variação
em relação ao tempo do trabalho que esta força realiza sobre o bastão? Compare esta
resposta com a resposta do item (c).
Na figura um bastão condutor de massa m e
comprimento L desliza sem atrito sobre dois
trilhos horizontais. Existe um campo magnético
vertical uniforme B na região onde o bastão está
se movendo. O gerador G fornece uma corrente
constante i que flui por um trilho, através do
bastão, voltando para o gerador através do outro trilho. Encontre a velocidade do
bastão como função do tempo, considerando que ele está em repouso em t = 0.
No problema anterior (veja a figura) o gerador de corrente constante G é substituído
por uma bateria que fornece uma fem constante E. (a) Mostre que a velocidade do
bastão agora se aproxima de um valor limite constante vT e dê a sua magnitude e
orientação. (b) Qual a corrente no bastão quando é atingida esta velocidade limite?
(c) Analise as situações deste problema e do problema anterior do ponto de vista da
transferência de energia.
A figura mostra duas espiras de fio paralelas com um eixo comum. A
menor (raio r) está separada da maior (raio R) por uma distância x >> R.
Conseqüentemente, o campo magnético devido à corrente i na espira
maior é aproximadamente constante através da menor e igual ao valor
para pontos do eixo. Suponha que x esteja aumentando à taxa constante
dx/dt = v. (a) Determine o fluxo magnético através da área circundada
pela espira menor, como uma função de x. (b) Calcule a fem gerada na
espira menor. (c) Determine o sentido da corrente induzida que flui
através da espira menor.
12. Um fio rígido moldado em forma de um semicírculo de
raio a gira a uma freqüência v em um campo magnético
uniforme, como sugere a figura. Qual (a) a freqüência e
(b) a amplitude da fem induzida na espira?
13. Em um certo local , o campo magnético da Terra tem magnitude B = 59 µT e é
inclinado para baixo a um ângulo de 70o com a horizontal. Uma bobina circular
horizontal de pequena espessura com raio de 13 cm tem 950 voltas e uma resistência
total igual a 85 Ω. Ela é ligada a um galvanômetro cuja resistência é 140 Ω. A
bobina gira de 180 graus em torno de um diâmetro horizontal. Quanta carga flui
através do galvanômetro durante esta rotação? (Sugestão: veja o Problema 4).
14. A figura mostra um bastão de
comprimento L se movendo com
velocidade constante v ao longo de
trilhos condutores horizontais. O campo
magnético através do qual o bastão se
move não é uniforme, sendo provocado
por uma corrente i em um longo fio
retilíneo paralelo aos trilhos. Considerando v = 4,86 m/s; a = 10,2 mm, L = 9,83 cm, i = 110 A, a resistência do bastão
como 415 mΩ e a resistência dos trilhos desprezível (a) calcule a fem induzida no
bastão. (b) Qual a corrente na espira condutora? (c) Qual a taxa de dissipação de
energia por efeito Joule no bastão? (d) Qual a força que precisa ser aplicada ao
bastão por um agente externo para manter seu movimento? (e) A que taxa esse
agente externo precisa realizar trabalho sobre o bastão? Compare esta resposta com
a do item (c).
15. Uma espira retangular de fio com comprimento a, largura
b e resistência R é colocada próxima a um fio
infinitamente longo em que passa uma corrente i como
mostra a figura. A distância entre o fio e a espira é D.
Encontre (a) a magnitude do fluxo magnético através da
espira e (b) a corrente na espira enquanto ela se move
para longe do fio, com velocidade v.
16. A figura mostra um “gerador homopolar”, um dispositivo que utiliza como rotor um
disco condutor sólido. Esta máquina pode produzir uma fem
maior do que qualquer uma que use rotores de espiras, pois ela
pode girar a uma velocidade angular muito maior antes que as
forças centrífugas deformem o rotor. (a) Mostre que a fem
produzida é dada por E = πνBR2, onde ν é a freqüência de
rotação, R o raio do rotor e B o campo magnético uniforme
perpendicular ao rotor. (b) Encontre o torque que precisa ser exercido pelo motor
que gira o rotor quando a corrente de saída é i.
17. Um bastão com comprimento L, massa m e resistência R
desliza sem atrito sobre dois trilhos paralelos
condutores, de resistência desprezível, como ilustra a
figura. Os trilhos estão conectados na parte inferior,
formando uma espira condutora onde o bastão é a parte
superior. O plano dos trilhos faz um ângulo θ com a
horizontal e existe um campo magnético uniforme
vertical B na região onde está o dispositivo. (a) Mostre que o bastão adquire uma
velocidade limite cujo módulo é
(b) Mostre que a taxa com que a
energia interna está sendo gerada no bastão (efeito Joule) é igual à taxa com que o
bastão está perdendo energia potencial. (c) Discuta a situação se B fosse orientado
para baixo, ao invés de para cima.
18. Um freio eletromagnético que utiliza correntes parasitas consiste de um disco de
condutividade σ e espessura t, girando ao redor de um eixo através de seu centro,
com um campo magnético B aplicado perpendicularmente ao
plano do disco sobre uma pequena área a2 (veja a figura). Se a
área a2 está a uma distância r do eixo, encontre uma expressão
aproximada para o torque que tende a diminuir a velocidade do
disco, no instante em que sua velocidade angular é igual a ω.
19. A figura mostra duas regiões circulares R1 e R 2, com raios r1 = 21,2 cm e r 2 = 32,3
cm, respectivamente. Em R1 há um campo magnético uniforme B1 = 48,6 mT
apontando para dentro da página, e em R2 há um campo
magnético uniforme B2 = 77,2 mT apontando para fora
da página (ignore qualquer possível não-uniformidade
desses campos). Ambos os campos estão diminuindo à
taxa de 8,50 mT/s. Calcule a integral
para cada
um dos três caminhos indicados.
20. Prove que o campo elétrico E em um capacitor de placas paralelas carregado não
pode cair abruptamente a zero à medida que nos
deslocamos perpendicular às linhas de campo, como
sugere a seta na figura (veja o ponto a). Nos
capacitores reais as deformações de borda das linhas
de força sempre ocorrem, o que significa que E se
aproxima de zero de uma maneira contínua e gradual; compare com o Problema 18
da Lista 8. (Sugestão: aplique a lei de Faraday ao trajeto
retangular formado pela linha pontilhada na figura).
21. Um campo magnético uniforme B preenche um volume
cilíndrico de raio R. Um bastão de metal de comprimento
L é colocado como mostra a figura. Se B está variando à
taxa dB/dt mostre que a fem produzida pelo campo
magnético variável e que age entre as extremidades do
bastão é dada por
.
22. Quatro cargas pontuais, cada uma de valor q,
B0
estão grudadas, em posições igualmente espaçadas, na borda de uma roda não-condutora de
q
raio b, a qual está suspensa horizontalmente,
podendo girar sem atrito em torno do eixo; veja q
q
a figura. Na região central (sombreada na figura), até um raio a, há um campo magnético
uniforme, B0, que aponta para cima. No instante t = 0, a intensidade do campo magnético coq
meça a diminuir, a uma taxa conhecida, dB/dt.
(a) Obtenha o campo elétrico induzido (módua
lo, direção e sentido), em todo o espaço. (b)
Descreva qualitativamente o que acontece com
b
a roda, a partir de t = 0, explicitando cuidadosamente as relações de causa e efeito. (c) Obtenha a velocidade angular da roda quando o campo tiver sido desligado totalmente.
[Lembre-se que, para rotação em torno de um eixo fixo, a relação entre torque, τ, e
aceleração angular, α, é τ = I⋅α, onde I é o momento de inércia da roda, suposto
conhecido.]
Respostas:
4) (b) Não. 6) (a) 28,2 µV; (b) de c para b. 7) Zero. 9) iLBt/m, afastando-se de G. 13) 25
µC. 14) (a) 253 µV; (b) 610 µA; (c) 154 nW; (d) 31,7 nN; (e) 154 nW. 15) (a)
; (b)
. 18) (Bar)2ωσt. 19) (a) -1,20 mV; (b) -2,79 mV; (c)
1,59 mV. 22) (a) E = - dB/dt a2/2r; (c) ω = 2 qB0a2/I.