Potencial Elétrico

Potencial Elétrico
Evandro Bastos dos Santos
14 de Março de 2017
1
Energia Potencial Elétrica
Vamos começar fazendo uma analogia mecânica. Para um corpo caindo em um campo
gravitacional ~g , a partir de uma altura hi até uma altura hf , a diferença de energia potencial
gravitacional entre os dois pontos será
hf
Z
Uf − Ui = −
m~g · d~l.
(1)
hi
Fazendo o produto escalar(~g · d~l = gdl cos π) e resolvendo a integral, temos que
Uf − Ui = mgh,
(2)
que é nosso resultado conhecido para a energia potencial gravitacional.
No caso do campo elétrico temos uma situação análoga
hf
Z
Uf − Ui = −
~ · d~l.
qE
(3)
hi
em que trocamos o campo gravitacional pelo campo elétrico e a massa pela carga elétrica.
É importante lembrar que a integral acima é uma integral de linha, porém como o campo
elétrico (assim como o campo gravitacional) é conservativo, para essa integral não importa o
caminho. Então escolhendo o melhor caminho (linha reta) e fazendo que Ui = 0 no infinito,
pois no infinito a carga elétrica está livre de campo (E
ltimes r12 ), temos que
Z
r
~ · d~l.
qE
U (r) = −
(4)
∞
que é interpretado como a energia necessária para trazer a carga de um ponto muito
distante até um ponto ~r próximo. Se for entre duas cargas pontuais, temos que:
U (r) =
1 qq0
4πε0 r
(5)
Exemplo: Um elétron está posicionado em uma região do espaço. Qual o trabalho necessário para trazer um pósitron (q=+e) do infinito até a posição de 2m de distância? Expresse
sua resposta com a melhor unidade ou subunidade que se adequar ao valor final.
1
1.1
Sistema de partículas
Assim como vimos na força elétrica, quando temos diversas cargas (q1 , q2 , q3 , ..., qn ) gerando
um campo elétrico, que faz uma força sobre uma carga q0 , teríamos a força sobre ela sendo:
F~0 =
n
1 X qi q 0
4πε0 i=1 (ri − r0 )2
(6)
E o campo elétrico nesse ponto, seria:
~
E(r)
=
n
qi
1 X
4πε0 i=1 (ri − r)2
(7)
No caso da energia potencial elétrica, vale a mesma relação, sendo portanto a energia de
interação entre n partículas,
~ =
U
2
n
1 X qi q0
.
4πε0 i=1 (ri − r0 )
(8)
Potencial Elétrico
O potencial elétrico nos ajudará no cálculo do campo elétrico, pois eles estão intimamente
ligados. Sendo, por vezes, mais fácil calcular o potencial elétrico e em seguida o campo
elétrico a partir dele.
Imagine um campo elétrico gerado por uma carga Q, ao ser colocada um carga de prova
q em seu espaço de atuação podemos perceber que, conforme a combinação de sinais entre
as duas cargas, esta carga q, será atraída ou repelida, adquirindo movimento, e consequentemente Energia Cinética.
Lembrando da energia cinética estudada em mecânica, sabemos que para que um corpo
adquira energia cinética é necessário que haja uma energia potencial armazenada de alguma
forma. Quando esta energia está ligada à atuação de um campo elétrico, é chamada Energia
Potencial Elétrica ou Eletrostática, simbolizada por Ep .
Ep =
KQq
r
(9)
A unidade usada para a energia potencial é o joule (J).
Pode-se dizer que a carga geradora produz um campo elétrico que pode ser descrito por
uma grandeza chamada Potencial Elétrico (ou eletrostático).
De forma análoga ao Campo Elétrico, o potencial pode ser descrito como o quociente
entre a energia potencial elétrica e a carga de prova q. Ou seja:
V =
Ep
q
(10)
V =
KQ
r
(11)
Logo
2
A unidade adotada, no SI para o potencial elétrico é o volt (V), em homenagem ao físico
italiano Alessandro Volta, e a unidade designa Joule por coulomb (J/C).
Quando existe mais de uma partícula eletrizada gerando campos elétricos, em um ponto
P que está sujeito a todas estes campos, o potencial elétrico é igual à soma de todos os
potenciais criados por cada carga, ou seja:
V = V1 + V2 + V3 + ... + Vn
2.1
(12)
Superfícies Equipotenciais
Uma maneira muito utilizada para se representar potenciais é através de equipotenciais, que
são linhas ou superfícies perpendiculares às linhas de força, ou seja, linhas que representam
um mesmo potencial.
Para o caso particular onde o campo é gerado por apenas uma carga, estas linhas equipotenciais serão circunferências, já que o valor do potencial diminui uniformemente em função
do aumento da distância (levando-se em conta uma representação em duas dimensões, pois
caso a representação fosse tridimensional, os equipotenciais seriam representados por esferas ocas, o que constitui o chamado efeito casca de cebola, onde quanto mais interna for a
casca, maior seu potencial).
Figura 1: Linhas equipotenciais
Um resultado interessante é que se todas as cargas em um condutor estão em repouso, e
como já vimos elas vão pera a superfície, então essa superfície é uma equipotencial.
2.2
Diferença de Potencial
Considere dois pontos de um campo elétrico, A e B, cada um com um posto a uma distância diferente da carga geradora, ou seja, com potenciais diferentes. Se quisermos saber a
diferença de potenciais entre os dois devemos considerar a distância entre cada um deles.
3
Figura 2: Diferença de potencial entre pontos
Então teremos que sua tensão ou d.d.p (diferença de potencial) será expressa por U e
calculada por:
U = V1 − V2
KQ KQ
−
U=
r1
r2
3
(13)
(14)
Cálculo do Potencial Elétrico
Sendo o potencial elético para uma distribuição discreta dado por
U
q0
(15)
n
1 X qi q0
.
4πε0 i=1 (ri − r0 )
(16)
V =
em que
~ =
U
então o potencial elétrico é simplesmente
V =
n
1 X qi
.
4πε0 i ri
(17)
Porém se as cargas estiverem distribuídas infinitesimalmente é conveniente escrever
1
V =
4πε0
Z
dq
r
(18)
que é muito parecido com o que vimos para o campo elétrico. Como o integrando tem
um grau menor do que no caso do campo elétrico, esse cálculo pode ser ligeiramente mais
fácil.
4
3.1
Potencial Elétrico a partir do Campo Elétrico
Nosso objetivo, no entanto, é calcular o potencial elétrico a partir do campo elétrico. Se a
força sobre uma carga q0 é dada por
~
F~ = q0 E.
(19)
O trabalho dessa força entre dois pontos a e b é
b
Z
F~ · d~l
Wa→b =
a
Z b
~ · d~l.
qE
Wa→b =
(20)
(21)
a
Como o trabalho entre dois pontos é a diferença de energia entre eles, temos que
Wa→b
= Va − Vb .
q0
(22)
Então
b
Z
~ · d~l
E
Va − Vb =
(23)
a
~ age na
é a diferença de potencial entre os pontos a e b, quando um campo elétrico E
N
região do espaço. Perceba, portanto, que o Volt é C m.
No caso de um elétron em uma região de potencial 1V, terá sua energia como sendo
U = qV
U = 1.6 · 10 C · 1V
−19
(24)
(25)
pode ser escrito simplesmente como U = 1eV (um elétron-volt). Portanto a unidade eV
é unidade de energia!
~ = 1.5 · 107 îV /m.
Exemplo: Considere um próton, em uma região de campo elétrico E
Calcule:
(a) A força sobre o próton.
(b) O trabalho do campo sobre o próton, para levar do ponto A(0,0) até o ponto B(3m,3m)
(c) A ddp entre os pontos A e B.
4
Gradiente de Potencial
Já vimos que
Z
Va − Vb =
b
~ · d~l.
E
(26)
a
Queremos, agora, determinar o campo elétrico a partir do potencial conhecido. A variação de potencial pode ser escrita como
5
b
Z
Va − Vb =
dV.
(27)
~ · d~l.
E
(28)
a
Então
Z
b
b
Z
dV =
a
a
Portanto,
~ · d~l.
dV = E
(29)
dV = −(Ex dx + Ey dy + Ez dz).
(30)
Calculando o produto escalar
Por exemplo, se não há dependência com y e z, temos que
dV = −Exdx
∂V
Ex = −
∂x
(31)
(32)
Para y e z temos formas análogas.
∂V
∂y
∂V
Ez = −
∂z
Ey = −
(33)
(34)
Então
~ =−
E
∂V ∂V ∂V
,
,
∂x ∂y ∂z
,
(35)
portanto,
~ = −∇V.
E
Ou seja, o campo elétrico é o gradiente do potencial elétrico.
5
Exercícios
Halliday 8ed: 3, 2, 14, 15
Halliday 9ed: 1, 2, 12, 17
6
(36)