1. Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade

ANÁLISE DE UMA METAHEURÍSTICA BASEADA NO ALGORITMO DE COLÔNIA DE FORMIGAS PARA RESOLUÇÃO
DE PROBLEMAS DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO
ANDRÉ LUIZ MIYAHARA TAKAHASHI1, JAMES CLAUTON1
1.
Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Estadual Paulista – Campus de Ilha Solteira,
Avenida Brasil, 56, Centro, CEP 15385000, Ilha Solteira-SP-Brasil
E-mails: [email protected]/[email protected])
Abstract This paper presents an application of an ant colony algorithm for optimal power flow solution. Some modifications
are made so that the ant colony algorithm can be used to solve power loss minimization problems. Results obtained from computer simulations using a test system shows that the adapted Ant System algorithm has a good convergence speed for solutions
of good quality besides not been able to find good final solutions like a Chu-Beasley genetic algorithm.
Keywords Applications in electrical systems, Bio- inspired systems, Optimal Power Flow
Resumo Neste trabalho é apresentado uma metodologia adaptada de um algoritmo de colônia de formigas voltada para a solução de problemas de fluxo de potência ótimo. O algoritmo de colônia de formigas é modificado de maneira a ser aplicado em
um problema de minimização das perdas na transmissão de energia. Os resultados obtidos de simulações indicam que o algoritmo Ant System adaptado possui boa velocidade de convergência para soluções de boa qualidade, embora não forneça a melhor
solução quando comparado a um algoritmo genético de Chu-Beasley.
Palavras-chave Aplicações em sistemas elétricos, Sistemas bio-inspirados, Fluxo de Potência Ótimo
1
Introdução
O fluxo de potência ótimo (FPO) representa um problema de otimização da operação de sistemas elétricos de potência no qual o objetivo, na maioria dos
casos, é minimizar os custos da geração de energia
e/ou reduzir as perdas na transmissão de energia. O
problema é formado por um conjunto de restrições
compostas por equações, representando o fluxo de
potência, e por inequações, representando os limites
operacionais impostos às variáveis do sistema.
A resolução do FPO é feita, em geral, através do
emprego de métodos de otimização clássica, em especial os métodos de busca multidirecional baseados
no uso de derivadas. O uso dessas técnicas, entretanto, esbarra em duas grandes limitações. A primeira
limitação está atrelada à própria natureza do problema. A análise de sistemas de energia é, por si só, uma
tarefa complexa, dada a grande dimensão dos sistemas, acarretando em um grande número de variáveis
a serem analisadas e em um grande número de restrições a serem atendidas. Some-se a isso a característica não-linear inteira e mista do problema, e tem-se
um dos problemas de otimização mais complexos. Já
a segunda limitação está relacionada com o fato de a
grande maioria dos pesquisadores da área de sistemas
de energia, possuem acesso às informações de uma
fração do sistema. Em conjunto, essas duas limitações acabam reduzindo a eficiência da solução do
FPO através de métodos de otimização clássica (Pereira, 2010).
Dentro desse contexto, as metaheurísticas ganham campo. Embora sejam técnicas que não ofere-
çam a garantia de obtenção da melhor solução existente (ótimo global), as metaheurísticas se tornaram
populares pelo fato de fornecerem soluções de boa
qualidade e de serem ferramentas versáteis, visto que
podem ser implementadas de diferentes maneiras.
Essa diversidade é importante, na medida em que a
busca por soluções de boa qualidade de diferentes
maneiras cria constantes possibilidades de melhorias
nos algoritmos já conhecidos, aumentando dessa
forma a eficiência na aplicação dessas técnicas.
Neste trabalho é aplicada uma adaptação do algoritmo de colônia de formigas (Ant System – AS),
para a resolução do problema de FPO proposto pela
IEEE PES (Power & Energy Society) aplicado ao
sistema teste de 57 barras. Os resultados obtidos
através do AS são comparados com resultados obtidos a partir do uso de um algoritmo genético simples
(Genetic Algorithm - GA) e um algoritmo genético
de Chu-Beasley (Chu-Beasley Genetic Algorithm –
CBGA).
2 Algoritmo de Colônia de Formigas
A metaheurísticas de colônia de formigas pertence a uma classe de algoritmos desenvolvidos com
base na observação do comportamento de animais e
insetos. O AS é baseado no comportamento de uma
colônia de formigas durante a etapa de busca por
alimentos. Ao encontrar uma fonte de alimento, a
formiga faz a coleta e retorna ao ninho. No trajeto de
retorno, ela deposita uma substância no solo denominada de feromônio. O feromônio funciona como um
guia para que as demais formigas consigam encontrar
a mesma fonte de alimento e também como um indi-
cador de qualidade, já que a quantidade de feromônio
depositada no trajeto indica a quantidade e a qualidade do alimento encontrado. Dessa forma, mesmo sem
a existência de um mecanismo de comunicação direta, as formigas conseguem cooperar entre si de maneira a otimizar o processo de busca por alimento.
Outro processo natural acrescentado ao algoritmo AS
é o processo de evaporação do feromônio. Com o
passar do tempo, o feromônio presente no solo diminui devido à evaporação. O processo de evaporação
em conjunto com o depósito de feromônio pelas formigas ajudam na tomada de decisão das demais formigas que estão à procura de alimento. Para exemplificar isso, considere a figura 1.
Figura 1. Processo de busca de alimento de um grupo de formigas:
Adaptado de Pereira, 2010
Na figura 1, observa-se que as formigas possuem
duas opções de trajeto para chegar à fonte de alimento, com a escolha inicial sendo feita de forma aleatória.
Para entender como os mecanismos de depósito
de feromônio e de evaporação contribuem para a
otimização, vamos supor que inicialmente duas formigas, A1 e A2, acabaram de encontrar a fonte de
alimento e necessitam retornar para o ninho com sua
coleta.
A formiga A1 seleciona o caminho superior, enquanto que a formiga A2 escolhe o caminho inferior.
Admitindo que ambas as formigas se movem em velocidades semelhantes, a formiga A2 chegará primeiro ao ninho, tendo ambas as formigas depositado
feromônio ao longo do trajeto. Com isso, uma terceira formiga, A3, no ninho, tem uma probabilidade
maior de encontrar primeiro a trilha de feromônio
deixada pela formiga A2 do que a trilha da formiga
A1.
Mesmo que, por um determinado período de
tempo, as formigas continuem se distribuindo igualmente entre os caminhos, com o passar do tempo o
movimento tende a se concentrar pelo menor caminho já que, como as formigas vão e voltam mais rápido, a quantidade de viagens por esse caminho tende
a ser maior. Somada à maior utilização (e por consequência), maior depósito de feromônio, o processo de
evaporação tende a diminuir de maneira mais significativa a quantidade de feromônio presente no caminho mais longo.
Dessa forma, o uso de ambos os mecanismos
contribui para que as formigas selecionem o menor
caminho. Tais mecanismos formam a base do algo-
ritmo definido como Sistema de Formigas ou Ant
System.
O algoritmo AS é estruturado da seguinte maneira.
Passo 1: Defina o número de agentes (formigas artificiais), a quantidade inicial de feromônio sobre as
rotas e a taxa de evaporação;
Passo 2: Para cada agente, construa uma rota (solução). Durante a transição do estado i para o estado j,
a possibilidade do agente k escolher uma das Mk rotas possíveis é dada por (1)


k
Pij  


[ ij ] [ij ]

uM k
[ iu ] [iu ]
, se j  M k
(1)
0, caso contrário
Na equação (1), Pijk representa a probabilidade
do agente k escolher a rota que conecta o estado i
com um estado j, enquanto que τij é a quantidade de
feromônio presente sobre a rota i-j. Já ηij equivale ao
inverso da distância entre o estado i e o estado j, Mk
representa o conjunto dos estados “vizinhos” ao estado i e que ainda não foram visitados pelo agente k.
Por fim, α, β são pesos atribuídos à quantidade de
feromônio depositada e ao inverso do comprimento
da rota, indicando qual a importância desses dois
parâmetros no processe de escolha da rota.
Passo 3: Após os agentes completarem o trajeto
(formarem uma solução), é feita a atualização global
do feromônio depositado sobre as rotas usando (2).
NA
 ij  (1  p) ij 
 
k
ij
(2)
k 1
Em (2), p representa a taxa de evaporação, cujo
valor é limitado no intervalo [0,1], NA representa o
número total de agentes (formigas) e Δτijk é a quantidade de feromônio depositada pelo agente k na rota ij. Essa quantidade é determinada por (3).
 ijk
 Q0
, se o agente k utiliza a rota i - j

  Dk

0, caso contrário
(3)
Na equação (3) Q0 representa a quantidade inicial de feromônio depositada sobre a rota i-j enquanto
que Dk equivale ao comprimento total do trajeto percorrido pelo agente k (valor da função objetivo para a
solução encontrada pelo agente k).
Passo 4: Os trajetos obtidos são avaliados. O melhor
trajeto (com o menor comprimento) é comparado
com solução incumbente. Caso seja melhor, é feita a
atualização da solução incumbente. Caso contrário, o
caminho obtido é descartado.
Passo 5: Se nenhum critério de parada for satisfeito,
retorna-se ao passo 2.
3 Fluxo de Potência Ótimo
O cálculo do fluxo de potência em uma rede de
energia elétrica tem como base determinar o estado
da rede, distribuição e fluxos por meio de equações e
inequações algébricas. Um sistema de energia elétrica pode ser dividido em dois grupos, componentes
internos e componentes externos. Fazem parte do
primeiro grupo as linhas de transmissão, os transformadores, os reatores e os bancos de capacitores do
sistema. Já o grupo de componentes externos é composto por geradores e carga.
Os componentes internos podem ser representados através do fluxo de potência entre dois nós da
rede elétrica, já os componentes externos são representam por injeções de potência nos nós da rede.
Na representação básica do fluxo de potência,
cada barra da rede é representada por quatro variáveis: o módulo da tensão Vi, o ângulo da tensão θi e
as injeções líquidas de potência ativa e reativa Pi e
Qi. A resolução do problema baseia-se na premissa
de que das quatro variáveis, duas são conhecidas (são
dados do problema) e as demais duas são as incógnitas a serem determinadas. Com base nisso, as barras
do sistema podem ser classificadas de acordo com as
variáveis que são fornecidas ao problema e com as
variáveis que são definidas como incógnitas.
Tabela 1. Classificação de barras em um problema de fluxo de
potência.
Em (6) e (7), Ωi representa o conjunto das barras
do sistema que se encontram conectadas à barra i; Pij
é o fluxo de potência ativa no circuito i-j; Qij é o fluxo de potência reativa no circuito i-j e Bshi é a susceptância shunt na barra i.
O conjunto de restrições de desigualdade representado pela inequação (5) contém as restrições operacionais de tensão, injeção de potência ativa e reativa apresentadas a seguir:
Vi min  Vi  Vi max
(8)
Pi min  Pi  Pi max
(9)
Qimin  Qi  Qimax
(10)
O problema do fluxo de potência, por si só, é um
problema de relativa complexidade, visto que sua
solução passa pelo uso de métodos numéricos voltados à resolução de problemas não-lineares. Se ao
problema for adicionada uma função objetivo f(x,z)
representando os custos de operação e/ou as perdas
do sistema, então o de fluxo de potência a ser determinado passa a ser chamado de fluxo de potência
ótimo. O FPO representa a solução de um problema
de otimização não linear cujo objetivo pode ser representado de maneira genérica por (11).
min f ( x, z )
Tipo
Dados
Barra de Carga
Barra de Geração
Barra de Referência
Pi, Qi
Vi, Pi
Vi, θi
Vi, θi
Qi, θi
Pi, Qi
Com isso, o problema de fluxo de potência pode
ser formulado por meio de um conjunto de equações
e inequações algébricas a seguir:
g ( x, z )  0
(4)
h ( x, z )  0
(5)
Nas equações (4) e (5) x e z representam variáveis de estado e variáveis de controle, respectivamente. A equação (4) é a forma genérica para representar
o balanço de potência ativa e reativa em cada uma
das barras, representado por (5) e (6).
P
 Pi
(6)
 Qi  Vi 2 Bshi
(7)
ij
j i
Q
ij
ji
(11)
Incógnitas
A resolução de problemas de otimização nãolinear, sobretudo os que possuem as características
do modelo utilizado para os sistemas elétricos com a
presença de variáveis inteiras e variáveis contínuas, é
um dos grandes desafios no campo de pesquisa da
busca por métodos numéricos de solução que sejam
capazes de determinar o ótimo global do problema
(melhor solução, ou melhor conjunto de soluções).
Dada a dificuldade em se obter soluções para
problemas como os de FPO, foram propostas maneiras alternativas para se encontrar soluções que, ainda
que não sejam necessariamente pontos de ótimo globais, possuam uma boa qualidade. É com esse objetivo, de encontrar soluções de boa qualidade para problemas de otimização de alta complexidade, que surgiram e continuam a surgir diversas heurísticas e metaheurísticas. Dentre as várias classes de heurísticas,
destacam-se aquelas baseadas em processos naturais
e/ou em teorias evolutivas, como o algoritmo genético. Na sequência é feita a adaptação do Ant System
para a resolução do problema de FPO de sistemas
elétricos de potência.
4 Ant System adaptado ao problema de FPO
Na literatura existem exemplos de aplicação de
algoritmos baseados em colônias de formigas para a
resolução de problemas envolvendo fluxo de carga e
fluxo de potência ótimo. Em quase todos os trabalhos
em que essa metodologia é utilizada, os resultados
obtidos sugerem uma boa performance do algoritmo,
sobretudo na velocidade de convergência para uma
solução de boa qualidade (Soares et al, 2011, Sreejith
et al, 2009).
Por outro lado, a aplicação do AS é utilizada
apenas para problemas em que a função objetivo seja
minimizar os custos de geração. Nesses problemas, o
parâmetro ηij que relaciona o comprimento dos
trajetos no algoritmo de colônia de formigas, é
utilizado para relacionar os custos de geração para
cada gerador.
Para aplicar o Ant System a um problema de
FPO em que a função objetivo seja minimizar as
perdas de potência no sistema de transmissão são
necessárias algumas considerações. As variáveis
contínuas devem ser discretizadas, de forma que a
sua faixa de variação seja subdividida em vários
estados possíveis. O parâmetro ηij não pode mais ser
atrelado ao custo de geração das unidades geradores,
mas sim à participação que o aumento do fluxo de
potência em cada linha representa nas perdas totais.
Outro parâmetro importante do algoritmo diz
respeito à montagem das matrizes de probabilidade.
Simulações adicionais considerando a montagem da
matriz de probabilidades baseada puramente na
distribuição de feromônio (equivalente a α=1 e β=0
em (1)), mostram quem a convergência do algoritmo
para soluções de boa qualidade é bastante
prejudicada. Dessa forma, opta-se por simular o
comportamento das formigas por uma estrutura
distinta. Por essa razão, optou-se por definir o
algoritmo como uma adaptação do Ant System,
possuindo a seguinte estrutura.
Passo 5: Após cada agente finalizar seu trajeto (constituir uma solução), é feita a avaliação da função objetivo para os trajetos iniciais. O melhor trajeto passa
a ser a solução incumbente.
Passo 6: A solução incumbente é replicada para todos
os agentes. A ideia por traz dessa réplica é simular o
fato de que as formigas tendem a seguir em sua maioria pelo melhor caminho encontrado.
Passo 7: Para cada agente, são feitas alterações aleatórias em uma quantidade finita de estados, de forma
a provocar ligeiras alterações no trajeto. O conceito
utilizado aqui foi o de simular eventuais alterações
feitas no trajeto pelas formigas para evitar algum
predador ou transpor algum obstáculo.
Passo 8: Avaliam-se os trajetos obtidos após as alterações. O melhor trajeto é comparado com a solução
incumbente. Caso seja um trajeto melhor, a solução
incumbente é atualizada. Caso contrário, o trajeto é
descartado.
Passo 9: Se o critério de parada (neste caso, o número limite de iterações) não for atendido, retorna-se ao
passo 6.
4 Resultados
O algoritmo Ant System apresentado é aplicado
então ao sistema teste IEEE de 57 barras considerando uma configuração de alto carregamento do sistema. O diagrama unifilar desse sistema é apresentado
na figura 2.
Algoritmo Ant System Adaptado
Passo 1: Defina o número de agentes (formigas artificiais)
Passo 2: Defina o número de estados, ne, calcule o
valor do passo para a transição de um estado para
outro utilizando (15) e faça a discretização das variáveis contínuas.
step x 
V xmax  V xmin
ne
(12)
Passo 3: Determine o número de estados de cada
variável inteira.
Passo 4: Para cada agente, construa os trajetos iniciais. A escolha dos estados que formarão a solução é
feita de forma aleatória. Isso é feito para simular o
comportamento das formigas no início do processo
de busca por alimento.
Figura 2. Sistema IEEE de 57 barras
Para analisar o comportamento do algoritmo, foram feitas simulações dos sistemas testes utilizando o
algoritmo genético simples e o algoritmo de ChuBeasley. As simulações foram feitas utilizando a versão R2009b do MATLAB® e executadas em um
computador com processador Intel i3 de 3,3 GHz.
A função objetivo a ser minimizada é uma função objetivo penalizada. A inserção da penalização
na função objetivo visa mensurar as eventuais infactibilidades da solução encontrada de maneira que a
solução convirja para uma solução factível. A função
objetivo penalizada pode ser representada, genericamente, por (13).
P( x, z )  f ( x, z )  M I ( x, z )
(13)
Na equação (13), f ( x, z ) representa as perdas
no sistema de transmissão, I ( x, z ) é uma função que
representa as infactibilidades da solução e M é um
valor numérico de ordem elevada (nas simulações
utilizou-se M = 107).
As curvas de convergência dos algoritmos analisados nesse trabalho são apresentadas nas figuras 3 e
4. Note que a curva de convergência do algoritmo
genético é omitida por apresentar características bastante semelhantes à curva de convergência do CBGA.
1400
1200
1000
P(x,z)
800
600
400
200
0
200
400
600
800
1000
nº de iterações
1200
1400
Figura 3. Curva de convergência – Ant System Adaptado
3500
3000
2500
P(x,z)
2000
1500
1000
500
0
1200
1250
1300
1350
nº de iterações
1400
função P( x, z ) , decorrentes das funções de penalização impostas ao não cumprimento de algumas das
condições impostas por (6) a (10).
A comparação entre as curvas de convergência
evidencia que o algoritmo AS adaptado apresenta
uma convergência mais rápida em relação aos demais
métodos.
No que diz respeito à solução final encontrada
pelos métodos ao final do valor limite de iterações
(definido em 10.000 para todos os algoritmos), verifica-se através dos dados apresentados na tabela 2
que todos métodos convergem para P( x, z ) < 30.
1450
1500
Figura 4. Curva de convergência – Chu-Beasley
Em todos os algoritmos utilizados nota-se que a
solução inicial é composta por elevados valores da
Tabela 2. Comparação entre os algoritmos aplicados ao Sistema
IEEE 57 barras.
Algoritmo
CBGA
AS adaptado
GA
mín
P ( x, z )
24,3869
27,3111
29,3819
Δt(s)
95,47
88,27
75,33
Pode-se notar ainda que, dentre os três algoritmos analisados, a melhor solução encontrada é a fornecida pelo algoritmo de Chu-Beasley enquanto que,
a solução de pior qualidade é fornecida pelo algoritmo genético básico.
Por outro lado, o tempo gasto por cada algoritmo
para que fossem computadas as 10.000 iterações é
inversamente proporcional à qualidade das soluções
obtidas por cada método.
Assim, observa-se que os resultados vão de encontro ao obtido na literatura para problemas de
FPO. Nesses problemas também é verificado que os
algoritmos baseados em colônias de formiga destacam-se pela sua rápida convergência para a região de
soluções de boa qualidade, obtendo entretanto, valores finais apenas razoáveis (Soares, et al, 2011, Pereira, 2010) quando comparados com outros algoritmos,
como o CBGA.
A melhor qualidade das soluções encontradas
pelo AS adaptado em comparação com o algoritmo
genético básico reflete o fato de que as “formigas”
foram forçadas a trilhar caminhos muito próximos do
melhor trajeto descoberto. Essa metodologia, embora
acarrete no risco de estacionamento em ótimos locais,
fornece maior probabilidade de obter melhores resultados do que a alteração cíclica e quase aleatória da
população da forma como ocorre no algoritmo genético básico.
Quanto ao esforço computacional empregado
por cada método, fica evidente que o processo de
busca na vizinhança por uma solução de melhor qualidade acarreta em maior tempo de processamento.
Deve-se ressaltar que a forma como os algoritmos
foram programados possui grande influência nos resultados, de maneira que, deve-se ter cuidado ao se
comparar os tempos necessários para que fossem
finalizados os processos de busca.
5 Conclusão
Os resultados obtidos mostram que a metodologia utilizada é capaz de encontrar resultados de boa
qualidade, embora piores do que os encontrados pelo
algoritmo genético de Chu-Beasley, mas melhores do
que os encontrados a partir de um algoritmo genético
básico.
Ressalta-se ainda que a função objetivo utilizada
para resolução do problema desfavorece o uso de
métodos baseados em colônia de formiga devido à
dificuldade em se obter parâmetros necessários para a
definição das probabilidades no processo de construção dos trajetos.
Assim, uma solução proposta aqui para contornar a ausência da matriz de feromônio e do uso da
matriz de probabilidade para a escolha do caminho é
a utilização de um modelo que prega a realização de
perturbações feitas na solução incumbente como
forma de obter melhorias no valor da função objetivo.
Ainda que tal escolha acarrete na descaracterização do algoritmo quando comparado com os algoritmos de colônia de formigas encontrados na literatura,
há a possibilidade de ganhos na eficiência da busca
por uma solução de melhor qualidade.
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