Matemática Aplicada

Matemática Aplicada
Professora conteudista: Ângela Maria Pizzo
Sumário
Matemática Aplicada
Unidade I
1 CONJUNTOS ..........................................................................................................................................................1
1.1 Introdução: a ideia de conjunto indo além da matemática ..................................................1
1.2 Definições matemáticas .......................................................................................................................3
2 PERTINÊNCIA E INCLUSÃO .............................................................................................................................4
3 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS .................................................................................................................6
3.1 Interseção ...................................................................................................................................................6
3.2 União ............................................................................................................................................................6
3.3 Diferença ou complemento relativo ................................................................................................7
4 CONJUNTOS NUMÉRICOS ...............................................................................................................................9
4.1 Números naturais ....................................................................................................................................9
4.2 Números inteiros .....................................................................................................................................9
4.3 Números racionais ............................................................................................................................... 10
4.4 Números irracionais ............................................................................................................................ 10
4.5 Números reais .........................................................................................................................................11
4.6 Produto cartesiano entre conjuntos............................................................................................. 12
5 APLICAÇÃO ........................................................................................................................................................ 14
6 FUNÇÕES ............................................................................................................................................................ 17
Unidade II
7 AJUSTE DE CURVAS ........................................................................................................................................ 30
8 MATEMÁTICA FINANCEIRA .......................................................................................................................... 42
MATEMÁTICA APLICADA
Unidade I
1 CONJUNTOS
1.1 Introdução: a ideia de conjunto indo além
da matemática
É premissa da matemática a precisão. Não nos é suficiente
saber o que é um objeto/conjunto de objetos; faz-se necessária
a aplicação concreta desses conceitos. A teoria dos conjuntos foi
estabelecida por Georg Ferdinand Ludwig Cantor (1845-1918),
5 que baseou seus primeiros conceitos como a seguir:
Conjunto: conceito rudimentar (primitivo) sem necessidade
de definição. Essa ideia pode ser deduzida intuitivamente e
através de exemplos. O homem, quando começa a se fixar
nos locais, em grupos (coletividade), percebe a necessidade
10 de conhecer seu espaço e suas posses, fazendo surgir esses
conceitos sociais primários.
Podemos, através da intuição, exemplificar alguns conjuntos
dentro do contexto moderno de civilização:
• o conjunto dos funcionários de uma empresa;
15
• o conjunto dos números naturais;
• o conjunto dos números reais;
• o conjunto dos países da América Latina que participam da
Organização das Nações Unidas (ONU);
• o conjunto dos números racionais;
1
Unidade I
• o conjunto dos números pares;
• o conjunto dos alunos da Universidade Paulista (UNIP);
• o conjunto dos números ímpares;
• o conjunto dos números naturais que são múltiplos de 4;
5
• o conjunto dos números reais que são solução da equação
x4 + x = 0.
É correto afirmar que um conjunto é composto por objetos.
Esse conceito de objeto também é primitivo, logo, aceito
intuitivamente.
10
Até este momento, possuímos dois conceitos primitivos:
conjunto e objeto. Mesmo diante de um objeto e de um
conjunto, necessitamos determinar a representação de esse
objeto pertencer ao conjunto. Aqui surge aqui um terceiro
conceito: pertencer.
15
Assim como os anteriores, trata-se de um conceito primitivo,
portanto, básico da natureza e do desenvolvimento cognitivo
humano.
Exemplos
• Piracaia pertence ao conjunto das cidades do Brasil;
20
• Katmandu não pertence ao conjunto das cidades do
Brasil;
• 57 pertence ao conjunto dos números naturais;
• 57 não pertence ao conjunto dos números primos;
• √2 pertence ao conjunto dos números reais;
25
2
• √2 não pertence ao conjunto dos números racionais.
MATEMÁTICA APLICADA
Diante das colocações supracitadas, estamos prontos para
esclarecer a teoria fundamentada em três conceitos primitivos
(conjunto, objeto e pertencer): estamos falando da teoria
intuitiva dos conjuntos.
5
Podemos notar que essa teoria tem início no desenvolvimento
lógico do ser humano, em suas necessidades de descrever áreas,
animais, valores, propriedades, relações interpessoais e até
empresariais.
A teoria dos conjuntos e suas ferramentas são amplamente
10 vistas em nossa formação básica, cabendo aqui apenas uma
breve revisão para recordá-las.
1.2 Definições matemáticas
Designa-se conjunto uma coleção de objetos.
Sua representação pode ser feita de três modos:
1. Representação ordinária: na representação ordinária,
15 os elementos do conjunto são explicitamente listados. Exemplos
incluem o conjunto das faces de um dado A = {1, 2, 3, 4, 5,
6}, o conjunto de regiões do Brasil A = {SU, SE, CO, NE, NO}, o
conjunto das notas musicais A = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si}.
2. Representação abstrata: na representação abstrata,
20 os elementos do conjunto são representados através de uma
caracterização que é previamente definida. Em termos gerais,
se os elementos de um conjunto A são caracterizados por uma
propriedade P, então o conjunto A pode ser assim enunciado:
A = {x tal que x satifaz a propriedade P}; ou, ainda, utilizando
25 símbolos: A = {x/x satisfaz P} (o símbolo / representa “tal
que”; às vezes a barra é substituída por ponto-e-vírgula). A
representação abstrata é amplamente utilizada em matemática
porque permite que se expressem quaisquer tipos de conjuntos,
bastando definir a propriedade que caracteriza os elementos do
3
Unidade I
conjunto. Por exemplo, se definirmos a propriedade P como “P:
regiões do Brasil”, então o conjunto das regiões do Brasil pode
ser reescrito como A = {x/x satisfaz P}.
3. Representação por diagramas de Venn: a vantagem
5 na utilização dos diagramas de Venn como representação de
conjuntos é seu apelo visual, muito útil para visualizar operações
entre conjuntos; entretanto, é importante salientar que o poder
analítico desse tipo de dispositivo é extremamente limitado. O
conjunto de números ímpares menores ou iguais a 13 pode ser
10 representado como:
A
9
7
13
11
3
5
2 PERTINÊNCIA E INCLUSÃO
Quando um elemento a está num conjunto A, dizemos
que ele pertence ao conjunto A e representamos esse fato
simbolicamente como:
a∈A
15
Se, ao contrário, o elemento não está no conjunto A,
então dizemos que o mesmo não pertence ao conjunto A e
representamos o fato como:
a∉A
Essas são as chamadas relações de pertinência que conectam
20 os conjuntos aos seus elementos. Quando o conjunto A não
possui elemento algum, dizemos que ele é o conjunto vazio e,
nesse caso, representamos tal conjunto pelo símbolo ∅.
4
MATEMÁTICA APLICADA
Dados dois conjuntos A e B, quando todo elemento de A é
também elemento de B, dizemos que o conjunto A está incluso
em B ou que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B; tal
fato é simbolicamente representado como:
5
A⊂B
Quando, por outro lado, existe ao menos um elemento que
pertence ao conjunto A e não pertence ao conjunto B, então
A não está incluso em B ou o conjunto A não é subconjunto
do conjunto B. Esse fato é simbolicamente representado
10 como:
A⊄B
Essas são as chamadas relações de inclusão e conectam
conjuntos a outros conjuntos. É importante ter em mente a
distinção entre pertinência e inclusão. No primeiro caso, a
15 relação é entre elemento e conjunto, e, no segundo, entre
dois conjuntos quaisquer. Por exemplo, as sentenças a seguir
possuem significados totalmente diferentes, embora pareçam
dizer a mesma coisa:
a ∈ A e {a} ⊂ A
20
A primeira sentença diz que o elemento a pertence ao
conjunto A, e a segunda sentença diz que o conjunto unitário
{a} está incluso ou é subconjunto do conjunto A.
A relação de inclusão é frequentemente utilizada para
determinar a igualdade entre conjuntos. Dois conjuntos A e B
25 são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos, fato
que pode ser estabelecido mostrando-se que:
A⊂BeB⊂A
5
Unidade I
3 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
Com base nessas definições e conceitos, foi formulada a
teoria algébrica dos conjuntos – estudo da criação de novos
conjuntos partindo-se de conjuntos já definidos, através das
operações de interseção, união, diferença e complemento.
3.1 Interseção
5
Os elementos que compõem o conjunto interseção são
aqueles comuns aos conjuntos relacionados.
Exemplo 1: dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B =
{0,1,2,3,4,5}, se pedirmos a interseção deles, teremos:
A ∩ B = {5}, dizemos que A “interseção” B é igual a 5.
10
Exemplo 2: dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C =
{-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção deles, teremos:
B ∩ C = {} ou B ∩ C = ∅; então, A e C são conjuntos
distintos1.
Exemplo 3: dados os conjuntos D = {11,12,13,14,15} e E
15 = {13,14,15}. A interseção dos conjuntos ficaria assim:
E ∩ D = {13,14,15} ou E ∩ D = E; pode ser concluído
também que E ⊂ D.
3.2 União
Gerados dois conjuntos A e B, a união entre A e B é o conjunto
delimitado:
A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}
20
Conjunto união: é composto por todos os elementos dos
conjuntos referidos.
Fonte: MIRANDA, Daniela de. Disponível em www.brasilescola.com.br.
1
6
MATEMÁTICA APLICADA
Exemplo 1: gerados os conjuntos A = {x | x é inteiro e -1
< x < 2} e B = {1,2,3,4}, a união desses dois conjuntos é:
A U B = {0,1,2,3,4}
Exemplo 2: gerados os conjuntos A = {1,2,13} e B =
5 {1,2,3,4,5}, a união desses conjuntos é:
A U B = {1,2,3,4,5,13}; nesse caso, podemos dizer que A U
B = B2.
Observe que o número de elementos da união é calculado por:
n(A ∪ B) = n(A) - n(B) - n(A ∩ B)
3.3 Diferença ou complemento relativo
Gerados dois conjuntos A e B, a diferença ou complemento
10 relativo de A e B é o conjunto definido como:
A | B = {x/x ∈ A e x ∉ B}
Gerados dois conjuntos A e B, é denominado conjunto
diferença ou de diferença entre A e B o conjunto formado pelos
elementos de A que não pertencem a B. O conjunto diferença é
15 representado por A – B.
Exemplo 1: A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7}; o conjunto
diferença ou a diferença é:
A – B = {1,2}
Exemplo 2: A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10}; o conjunto
20 diferença ou a diferença é:
A – B = {1,2,3,4,5}
Fonte: MIRANDA, Daniela de. Disponível em www.brasilescola.com.br.
2
7
Unidade I
Exemplo 3: A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}; o conjunto
diferença ou a diferença é:
A–B=∅
Exemplo 4: gerados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B =
5 {5,6}; o conjunto diferença ou a diferença é:
A – B = {1,2,3,4}. Como B ⊂ A, podemos escrever em forma
de complementar:
A – B = CA B = {1,2,3,4}.
Outros exemplos
10
Diferença entre conjunto
Gerados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7}, a
diferença desses conjuntos é demonstrada em outro conjunto,
designado de conjunto diferença.
Logo, A – B serão os elementos do conjunto A, subtraídos os
15 elementos que pertencerem ao conjunto B.
Portanto, A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Conjunto complementar
Conjunto complementar está relacionado à diferença de
conjunto. Encontramos um conjunto complementar quando,
20 por exemplo, gerados um conjunto A e B e o conjunto B A, então
o conjunto B é complementar em relação ao A.
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {6,8}
B ⊂ A, então o conjunto complementar será CAB = A – B =
25 {2, 3, 5}3.
Fonte: MIRANDA, Daniela de. Disponível em www.brasilescola.com.br.
3
8
MATEMÁTICA APLICADA
4 CONJUNTOS NUMÉRICOS
4.1 Números naturais
O conjunto dos números naturais foi o primeiro conjunto
gerado pelos homens, e tinha como função apontar quantidades.
Por exemplo, quantos animais pertencem a um grupo.
Inicialmente, o zero não estava incluso nesse conjunto, porém,
5 a necessidade de representação de quantias nulas concedeu
ao número zero a condição de pertencente ao conjunto dos
naturais. Logo:
N = {0, 1, 2, 3, ...}
4.2 Números inteiros
Os números inteiros bastaram à sociedade por algum
10 tempo. O passar do tempo e a ampliação das “trocas” de
mercadorias entre os homens tornaram iminente a criação de
uma representação numérica para as dívidas. Por exemplo, eu
“emprestei” um saco de trigo para um outro grupo de pessoas
e não o recebi de volta; acabei com minhas reservas. Como
15 indicar esse “empréstimo”? Com isso, nasceram os conhecidos
números negativos, e, juntamente com tais números, um novo
conjunto: o conjunto dos números inteiros, representado pela
letra Z:
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
20
O conjunto dos números inteiros é composto pelos números
naturais e todos os seus representantes negativos. Observe que
esse conjunto não possui começo nem término.
Todo número natural é inteiro, ou seja, N é um
subconjunto de Z.
9
Unidade I
4.3 Números racionais
Esses números surgem da necessidade de partilhar os bens
dos indivíduos. Como dividir corretamente um lote de terras?
Podem ser expressos na forma a/b, em que a e b são quaisquer
inteiros, onde b difere de 0.
Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente
de 0}.
5
Então, de acordo com o exemplo, podemos citar o –1/2, 1, 2,5,...
Podemos afirmar que números decimais exatos são racionais
porque:
0,1 = 1/10
2,3 = 23/10...
10
Também são racionais os números decimais periódicos:
0,1111... = 1/9
0,3232 ...= 32/99
Observe que outra representação do número 1 é exibida por
toda dízima periódica 0,9999... 9.
15
Essa representação é de grande utilidade quando trabalhamos
com estatística, avaliações de qualidade e produtividade e até
financeiramente (imagine o arredondamento do número 1
trabalhando em prol de um negócio!).
4.4 Números irracionais
São assim nomeados porque não podem ser expressos na
20 forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0. São formados
por dízimas infinitas não-periódicas:
Exs.: π = 3,141592654... ou √3 = 1,73205...
10
MATEMÁTICA APLICADA
4.5 Números reais
O conjunto formado por todos os números racionais e
irracionais é o conjunto dos números reais, indicado por R.
Como todo número natural é inteiro, como todo número inteiro
é racional e como todo número racional é real, temos:
N⊂Z⊂Q⊂R
5
Todos os conjuntos numéricos exibidos podem ser sintetizados
em um gráfico, conforme a seguir:
R
Q
Z
N
Conjuntos
Numéricos
N⊂Z⊂Q⊂R
Fonte: SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Élio Medeiros da; SILVA, Ermes
Medeiros da. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
Intervalo: nome dado a outro conceito fundamental
da comunicação das relações. Também muito utilizado em
10 estatística.
Sendo a e b dois números reais, com a < b, teremos os
seguintes subconjuntos de R nomeados intervalos:
• intervalo com fechamento nos extremos a e b: [a, b] =
{x ∈ R/a < x < b};
15
• intervalo com fechamento em a e abertura em b: [a, b] =
{x ∈ R/a < x < b};
11
Unidade I
• intervalo com abertura em a e fechamento em b: ]a, b] =
{x ∈ R/a < x < b};
• intervalo com abertura em a e b: ]a, b[ = {x ∈ R/a < x < b}.
Teremos ainda:
5
[a, + ∞[ = {x ∈ R/x > a}
[- ∞, b[ = {x ∈ R/b < 0}4
4.6 Produto cartesiano entre conjuntos
A partir de dois conjuntos A e B, o produto cartesiano entre
A e B é o conjunto definido como A x B = (x, y) / x e A e y E B}.
Exemplo: sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 5, 6}, então:
10
, ),(1, 2),(1, 5),(1, 6) 
(11
(2,1),(2, 2),(2, 5),(2, 6) 


A ×B = 

(3,1),(3,, 2),(3, 5),(3, 6) 
(4,1),(4, 2),(4, 5),(4, 6)
No diagrama abaixo, no plano cartesiano é apresentado o
produto cartesiano entre números reais.
ℜ
y
(x, y)
x
0
(y, x)
x
y
Disponível em www.somatematica.com.br.
4
12
ℜ
MATEMÁTICA APLICADA
O plano cartesiano é formado pelo conjunto ℜ × ℜ = {(x, y);
x ∈ ℜ, y ∈ ℜ}. É importante observar que o conjunto resultante
do produto cartesiano entre dois conjuntos corresponde a uma
coleção de pares ordenados, ou seja, cada elemento do produto
5 cartesiano toma a forma (x, y). Assim, as sentenças {x, y} e (x,
y) correspondem a objetos inteiramente distintos. O primeiro é
o conjunto formado pelos elementos x e y, e o segundo, ao par
ordenado (x, y). Desse modo, é imediato concluir que {x, y} = {y,
x}, mas (x, y) ≠ (y, x).
10
Podemos relacionar os pontos cartesianos tabelados abaixo
em um gráfico cartesiano, dividido nos quatro quadrantes.
Ponto
Coordenadas (x,y)
A
(2,2)
B
(0,3)
C
(-2,2)
D
(-3,0)
E
(-3,-3)
F
(-1,-2)
G
(0,-1)
H
(3,0)
2º quadrante
C
-3
1º quadrante
3 B
2
A
1
D
-4
y
-2
E
3º quadrante
-1 0
1
-1 G
F
-2
H
2
3
x
-3
-4
4º quadrante
Fonte: SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Élio Medeiros da; SILVA, Ermes
Medeiros da. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
13
Unidade I
Observando a figura, podemos fazer alguns exercícios:
1) Há algum ponto que pertence à bissetriz dos quadrantes
ímpares? Em caso afirmativo, transcreva as coordenadas
desses pontos.
5
10
Resposta: Sim; bissetriz é a reta que divide os quadrantes
considerados exatamente ao meio, portanto, os pontos A
(2; 2) e E (-3; -3) pertencem a ela.
2) Sempre, nesse caso, é possível identificar uma característica
comum às coordenadas dos pontos que pertencem à
bissetriz dos quadrantes ímpares? Em caso afirmativo,
transcreva-a.
Resposta: A abscissa é igual à ordenada.
15
3) Pode-se identificar qual é a característica comum às
coordenadas dos pontos que pertencem ao eixo x das
abscissas? E às coordenadas dos pontos que pertencem
ao eixo y das ordenadas?
Resposta: Os pontos que pertencem ao eixo x têm
ordenada zero. P (x; 0). Os pontos que pertencem ao eixo
y têm abscissa zero. P (0; y).
5 APLICAÇÃO
Ainda que fundamental e generalista, a teoria dos conjuntos
conduz a poucas aplicações práticas diretas. É mais utilizada para
desenvolver a álgebra de grupos, anéis e campos, em engenharia
e em outras áreas de exatas, assim como para desenvolver uma
base lógica para o cálculo, a geometria e a topologia. Todos esses
25 desenvolvimentos são aplicados extensivamente nos campos
da física, da química, da biologia, da engenharia elétrica e da
ciência da computação.
20
Na área de ciências humanas, seus conceitos servem de base
à estatística; esta, por sua vez, é direcionada a pesquisas de
14
MATEMÁTICA APLICADA
mercado, avaliação e desempenho de funcionários, cálculos de
riscos em investimentos, etc.
Exemplo
Em uma pesquisa de mercado, mil pessoas foram entrevistadas
5 em todo o território nacional sobre a preferência por marcas
de refrigerante. O gráfico abaixo mostra como a pesquisa foi
distribuída entre as regiões brasileiras.
Centro - oeste
10%
Norte
15%
Sudeste
30%
Sul
20%
Nordeste
25%
Três marcas de refrigerante foram pesquisadas, as marcas
A, B e C. Na pesquisa, verificou-se que 40% dos entrevistados
10 preferem a marca A, 25% a marca B e 35% a marca C. Também
foi constatado que entre aqueles que preferem a marca B, 70%
são da região nordeste, 8% da região sul, 2% da região centrooeste, 10% da região norte e 10% da região sudeste. A empresa
que encomendou a pesquisa deseja saber o seguinte:
15
a) Quantas pessoas pertencem ao conjunto dos sulistas que
preferem a marca B?
b) Dentro do conjunto de pessoas que preferem a marca B,
quantas são da região norte ou da região nordeste?
Solução
20
a) Pelos dados do gráfico, o número de pessoas que
consomem a marca B é 25% de mil pessoas = 250
15
Unidade I
pessoas. Dessas 250 pessoas, 8% são sulistas, portanto,
8% de 250 = 20 sulistas.
5
10
b) Do enunciado, dos que preferem a marca B, 10% são
da região norte, logo, 10% de 250 = 25 pessoas, e 70%
são da região nordeste, logo, 70% de 250 = 175 pessoas.
Representadas pelo conjunto A as pessoas da região
norte e pelo conjunto B as pessoas da região nordeste, o
número de pessoas que são da região norte ou nordeste é
dado por n(A ∪ B), com n(A ∩ B) = 0, pois não há pessoas
em comum das regiões norte e nordeste que preferem a
marca B, portanto,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = 25 + 175 – 0
n(A ∪ B) = 200 pessoas.
15
16
Logo, duzentas pessoas da região norte ou nordeste preferem
a marca B.
MATEMÁTICA APLICADA
6 FUNÇÕES
Na matemática, uma relação é apenas um conjunto de
pares requisitados. Se utilizamos {} como o símbolo para o
“conjunto”, temos abaixo alguns exemplos de relações entre
pares ordenados:
5
• {(0.1), (55.22), (3, - 50)}
• {(0, 1), (5, 2), (- 3, 9)}
• {(- 1.7), (1, 7), (33, 7), (32, 7)}
Por vezes, podemos identificar, em várias situações práticas,
variáveis que estão em relação de dependência. Aqui, buscamos
explicitar situações que envolvam essa relação de dependência,
10 determinando, assim, suas variáveis.
Essa identificação será baseada em parte da teoria de
conjuntos vista na unidade I. Lá, verificamos que podemos
relacionar números através de relações gráficas em um plano
cartesiano, números que, de maneira geral, são chamados de x
15 e y pelos matemáticos.
Apesar de amplamente rejeitado, em diversos momentos
de nosso dia a dia empregamos o conceito de função, até sem
perceber.
Exibiremos a seguir algumas situações do nosso cotidiano
20 nas quais podemos destacar tais relações funcionais.
17
Unidade I
• Quando completamos, velozmente, o cálculo de um
lanche, em que pedimos dois salgados e um refrigerante,
não sabemos imediatamente quanto iremos gastar?
5
• Ao completarmos uma previsão de gastos residenciais e
compará-los com a renda familiar, sabemos se teremos
condições de adquirir um bem?
• Ao finalizarmos um crediário e verificarmos se o valor
final terá um acréscimo e de quanto – isto é, aceitaremos
ou não os juros propostos pela empresa?
10
• Ao calcularmos a quantidade de material necessária para
uma reforma, podemos estimar os gastos iniciais?
É fato que o conceito de função, juntamente com sua
representação gráfica, é a ferramenta matemática mais
potente na formatação de problemas empresariais, motivo que
15 nos levará a estudá-lo de modo amplo. Além disso, deve ser
continuamente exercitada, pois, na figura de gestor, a tomada
de decisões amparada por ferramentas matemáticas é essencial
para o sucesso pretendido.
Claramente, em uma relação entre pares ordenados, não há
20 absolutamente nenhuma condição especial que a estabeleça,
isto é, qualquer conjunto de números é uma relação, contanto
que esses números sejam pares ordenados.
Já para uma função, temos condições precisas que definem
sua existência. Ainda assim, funções são um tipo especial da
25 relação.
Vejamos:
Uma relação f: A → B é chamada de função se:
(I) não há elemento x em A sem correspondente y em B (não
podem “sobrar” elementos de A);
18
MATEMÁTICA APLICADA
(II) qualquer elemento x de A tem um único correspondente
y em B (não pode haver elemento de A “associado” a mais
de um elemento de B).
Observação: no entanto, elementos distintos de A podem
5 ser associados a um mesmo elemento de B e podem “sobrar”
elementos de B.
Outra representação, mais conveniente e muito mais utilizada,
é: uma função é uma relação entre duas variáveis x e y, de forma
que o conjunto de valores para x seja atribuído e a cada valor x
10 seja associado um e somente um único valor para y, como y = f(x).
Nesse caso:
• o conjunto de valores de x é nomeado o domínio da
função;
15
• as variáveis x e y são nomeadas, simultaneamente,
independente e dependente.
A relação entre as variáveis x e y tem uma significação de
grande apelo visual, que destaca propriedades da função.
Pode-se, através da descrição gráfica da função, observar
diretamente, por exemplo, se as variáveis estão em relação
20 crescente (ou seja, aumento em x associado a aumento em y)
ou se a variação de y é dependente quadrática da variação de
x, etc.
Função constante
É toda função y = k, em que k é uma constante real. Verifica25 se que o gráfico dessa função é uma reta horizontal, passando
pelo ponto de ordenada k.
y
k
x
19
Unidade I
Função linear
Sendo A e B conjuntos de números reais, e m uma constante
real diferente de zero, dizemos que uma função f: A → B, com
f (x) = m. x é uma função linear.
5
O gráfico de uma função linear é um conjunto de pontos
sobre uma reta que passa pelo ponto (0,0), ou a origem do
gráfico cartesiano:
y
x
Função do 1º grau
Esse tipo de função apresenta um grande número de
10 aplicações em nosso dia a dia. Mesmo problemas muito
complexos podem ser representados, em primeira aproximação,
por esse tipo de função, daí seu uso frequente em economia,
gestão de recursos humanos, descrições de mercado, etc.
Uma função é chamada de função afim (ou função do 1º
15 grau) se sua sentença for dada por y = m . x + n, sendo m e n
constantes reais com m ≠ 0.
Verifica-se que o gráfico de uma função do 1º grau é uma
reta. Assim, o gráfico pode ser obtido por meio de dois pontos
distintos.
20
20
1) A constante n é chamada de coeficiente linear e representa,
no gráfico, a ordenada do ponto de interseção da reta com o
eixo y.
MATEMÁTICA APLICADA
2) A constante m é chamada de coeficiente angular e
representa a variação de y correspondente a um aumento
do valor de x igual a 1, aumento esse considerado a partir de
qualquer ponto da reta; quando m > 0, o gráfico corresponde a
5 uma função crescente, e, quando m < 0, o gráfico corresponde
a uma função decrescente.
Seja x1 a abscissa de um ponto qualquer da reta e seja x2 = x1 +
1. Sejam y1 e y2 as ordenadas dos pontos da reta correspondentes
àquelas abscissas. Teremos:
y1 = m . x1 + n
10
y2 = m . x2 + n
Subtraindo membro a membro as duas relações anteriores, e
tendo em conta que x2 = x1 + 1, obtém-se:
coeficiente angular m =
15
y2 − y1
x2 − x1
3) Assim, conhecendo-se dois pontos de uma reta A (x1 , y1 )
e B (x2 , y2 ), o coeficiente angular m é facilmente determinado.
4) Da mesma forma, conhecendo-se um ponto P (x0 , y0 ) de
uma reta e seu coeficiente angular m, a função correspondente
é dada por y – y0 = m (x – x0). Ou seja:
20
equação da reta y=m.(x - x0) + y0
Aplicações
O valor a ser pago na conta de água de uma empresa depende
do consumo medido no período; o tempo de uma viagem de
caminhão entre duas cidades depende da velocidade média
25 desenvolvida no trajeto; consequentemente, é um cálculo que
nos leva a um custo logístico.
21
Unidade I
Quando uma indústria lança um produto no mercado, para
fixar o preço desse produto, ela tem que levar em conta os custos
para a sua produção e a distribuição, que dependem de diversos
fatores, entre eles as despesas com energia, aluguel de prédio,
5 custo das matérias-primas e salários. Como esses custos podem
variar, a indústria tem que estar “equacionando” essas variáveis
para compor o preço do seu produto.
Podemos utilizar a linguagem matemática para representar
essas relações de dependência entre duas ou mais grandezas.
10
Dizemos que:
• o preço de uma peça de carne é dada em função do “peso”
da peça;
• a taxa de desemprego é dada em função do mês.
Vejamos algumas definições, úteis em uma análise gerencial
15 e em que se utilizam os conceitos e métodos analíticos das
funções.
Função demanda de mercado
A demanda (ou procura) de um determinado bem é a
quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir
20 num certo intervalo de tempo (dia, mês, ano e outros). Podemos
entender a demanda como a quantidade de produtos que
compradores desejam e podem adquirir em diversos níveis de
preço. Devemos observar uma relação inversa/negativa entre
preço e quantidade (lei geral da demanda). O que isso significa?
25
Quando se tratar de demanda, pense como um consumidor,
ou seja: “Se o preço estiver subindo, eu vou comprar menos”.
A demanda de um bem é função de várias variáveis: preço
por unidade do produto, renda do consumidor, preços de bens
22
MATEMÁTICA APLICADA
substitutos, gostos e outros. Supondo-se que todas as variáveis
mantenham-se constantes, exceto o preço unitário do produto
(p), verifica-se que o preço p relaciona-se com a quantidade
demandada (x). Chama-se função de demanda à relação entre
5 p e x, indicada por p = f(x).
O que regula a demanda de consumo? Fatores como:
• preço;
• renda;
• preço de produtos similares;
10
• gosto;
• expectativa;
• número de consumidores;
• marca;
• atendimento;
15
• localização;
• forma de pagamento;
• qualidade;
• propaganda;
• status;
20
• etc.
Existe a função de demanda para um consumidor individual
e para um grupo de consumidores (nesse caso, x representa a
quantidade total demandada pelo grupo, em um nível de preço
p). Em geral, quando nos referirmos à função de demanda,
25 estaremos nos referindo a um grupo de consumidores e
chamaremos de função de demanda de mercado.
Qd= -a.P +b
23
Unidade I
Onde:
• Qd é a quantidade de demanda por unidade de tempo;
• P é o preço do bem.
Essa função de primeiro grau é representada por uma reta
5 decrescente, já que a < 0. Isso está em concordância com o
gráfico de p em função de x (que chamaremos de curva de
demanda); é o de uma função decrescente, pois, quanto maior
o preço, menor a quantidade demandada. Cada função de
demanda depende dos valores em que ficaram fixadas as outras
10 variáveis (renda, preço de bens substitutos e outros). Assim, se
for alterada a configuração dessas outras variáveis, teremos
nova função de demanda.
Função oferta de mercado
Por outro lado, temos a definição de função oferta: é a
15 quantidade de produtos que vendedores desejam e podem
produzir para vender em diversos níveis de preço. Existe uma
relação direta/positiva entre preço e quantidade (lei geral da
oferta).
Quando se tratar de oferta, pense como um empresário: “Se
20 o preço estiver subindo, eu vou vender mais produtos”.
Quais são os fatores que influenciam a oferta feita ao
mercado?
25
24
•
•
•
•
•
•
preço;
preço dos insumos;
tecnologia;
expectativa;
concorrência;
demanda;
MATEMÁTICA APLICADA
5
•
•
•
•
•
•
•
sazonalidade;
impostos;
temperatura;
disponibilidade dos insumos;
tecnologia;
religião;
etc.
Chama-se de oferta de um bem a quantidade do bem que
os vendedores desejam oferecer no mercado em certo intervalo
10 de tempo. A oferta depende de várias variáveis: preço do bem,
preço dos insumos utilizados na produção, tecnologia utilizada
e outras. Mantidas constantes todas as variáveis, exceto o preço
do próprio bem, chamamos de função de oferta a relação entre
o preço do bem (p) e a quantidade ofertada (x) e a indicamos
15 por p = g(x).
Normalmente, o gráfico de p em função de x é o de uma
função crescente, pois, quanto maior o preço, maior a quantidade
ofertada. Tal gráfico é chamado de curva de oferta. Observemos
que temos uma curva de oferta para cada configuração das
20 outras variáveis que afetam a oferta.
Preço e quantidade de equilíbrio
É o ponto de interseção entre as curvas de demanda e
oferta. Assim, temos um preço e uma quantidade de equilíbrio.
Por exemplo:
p
oferta
3
500
demanda
x
25
Unidade I
Receita total
Seja x a quantidade vendida de um produto. Chamamos de
função receita o produto de x pelo preço de venda e indicamos
por R.
5
Custo total1
Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total
de produção (ou simplesmente custo) depende de x, e a relação
entre eles chamamos de função custo total (ou simplesmente
função custo), e a indicamos por C.
Existem custos que não dependem da quantidade
produzida, tais como aluguel, seguros e outros. A soma desses
custos que não depende da quantidade produzida, chamamos de
custo fixo e indicamos por CF. A parcela do custo que depende
de x chamamos de custo variável e indicamos por CV. Assim,
15 podemos escrever:
10
C = CF + CV
Verificamos também que, para x variando dentro de certos
limites (normalmente não muito grandes), o custo variável é
geralmente igual a uma constante multiplicada pela quantidade
20 x. Essa constante é chamada de custo variável por unidade.
Ponto crítico (break even point) ou ponto de
nivelamento
O ponto de nivelamento é o valor de x tal que R(x) = C(x).
Função lucro
25
É definida como a diferença entre a função receita R e a
função custo C. Assim, indicando a função lucro por L, teremos:
L(x) = R(x) − C(x)
1
26
Disponível em www.emersonmatematica.blogspot.com.br.
MATEMÁTICA APLICADA
Margem de contribuição
É a diferença entre o preço de venda e o custo variável por
unidade.
Vamos, agora, resolver exercícios, repetindo e exemplificando
5 essas definições administrativas de grande importância em
atividades empresariais.
Exercício 1
Quando o preço de venda de uma determinada mercadoria é
$ 100,00, nenhuma é vendida; quando a mercadoria é fornecida
10 gratuitamente, 50 produtos são procurados. Ache a função do
1º grau ou equação da demanda e calcule a demanda para o
preço de $ 30,00.
Solução
Sejam: p = preço de venda e D = demanda.
15
Do enunciado, temos: 1º) p = 100 ⇒ D = 0 e 2º) p = 0 ⇒ D = 50.
Como a função é do 1º grau, y = ax + b e, fazendo x = p e
y = D, temos: D = ap + b. Devemos achar os valores de a e b da
função.
Substituindo p = 100 e D = 0 ⇒ 0 = a.100 + b (Equação I).
20
Substituindo p = 0 e D = 50 ⇒ 50 = a.0 + b ⇒ b = 50.
Voltando à equação I, temos:
0 = a.100 + 50 ⇒ a = 0,5, e daí, D = -0,5p + 50.
A equação de demanda ou função demanda é:
D = 0,5p + 50.
25
Substituindo p = 30 na equação D = 0,5p + 50, temos:
D = 0,5. 30 + 50 = 65.
Assim, para o preço de $ 30,00, a demanda é de 65
unidades.
27
Unidade I
Exercício 2
Suponha que as funções demanda e oferta sejam dadas
por funções lineares, tais que:
5
D(p) = 34 - 5p
S(p) = -8 + 2p
Qual é o preço de equilíbrio de mercado para essas
funções?
Solução
De acordo com a definição dada, o equilíbrio de mercado é
um
par (p,y) tal que y = D(p) = S(p), ou seja:
10
34 - 5p = -8 +2p
34 + 8 = 2p + 5p
42 = 7p
p=6
15
Logo, o preço do equilíbrio é $ 6,00.
Para obter a quantidade de equilíbrio, basta substituir p =
6,00 em umas das funções, utilizando a função oferta; temos:
S = -8 + 2.6 = 4.
Logo, a quantidade de equilíbrio é de 4 unidades.
20
Exercício 3
Considere a função RT = 20,5.q, em que o preço é fixo ($
20,50) e q é a quantidade de produtos vendidos (0 ≤ q ≤ 120
unidades). Qual é a quantidade de produtos vendidos quando a
receita total atinge o valor de $ 1.025,00?
28
MATEMÁTICA APLICADA
Solução
RT = 1025
20,5.q = 1025
q=
1025
20,5
5
q = 50 unidades vendidas.
Portanto, a receita total atinge o valor de $ 1.025,00
quando são vendidas 50 unidades do produto.
29