Uma abordagem introdutória. - Stoa

WAGNER MARCELO POMMER
Conceitos e Aplicações de Estatística
para cursos de Ciências Gerenciais:
Uma abordagem introdutória.
1ª edição
SÃO PAULO
2013
WAGNER MARCELO POMMER
Conceitos e Aplicações de Estatística
para cursos de Ciências Gerenciais:
Uma abordagem introdutória.
SÃO PAULO
2013
AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE LIVRO
ELETRÔNICO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA
FINS DE ESTUDO E ENSINO, DESDE QUE CITADA A FONTE.
Catalogação
Pommer, Wagner Marcelo.
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências
Gerenciais: Uma abordagem introdutória, 2013. 79 p. ils.: Tabs
ISBN 978-85-914891-0-7
1. Estatística.
2.Ciências Gerenciais.
SUMÁRIO
Apresentação da Estatística
7
CAPÍTULO I : Amostragem Estatística
I- Introdução ...........................................................................................................
9
II- População e Amostra ......................................................................................... 10
III- Amostragem ...................................................................................................... 11
III.1- Amostragem Aleatória Simples (AAS) ............................................. 12
III.2- Amostragem Proporcional Estratificada ............................................ 13
III.3- Amostragem Sistemática ................................................................... 14
III.4- Amostragem Aleatória por Conglomerados (Clusters) ..................... 15
III.5- Amostragem por Estágios Múltiplos ................................................. 15
IV- Exercícios ......................................................................................................... 16
CAPÍTULO II: As Distribuições de Freqüências
I- Conceitos iniciais ................................................................................................ 21
I.1- Dados brutos, tabela primitiva, rol e amplitude total ........................... 21
I.2- Distribuição de freqüências .................................................................. 21
I.3- Freqüência relativa e acumulada .......................................................... 22
I.4- Exercícios ............................................................................................. 23
II- Os gráficos das distribuições de freqüências ..................................................... 23
III- Distribuição de Freqüências com Intervalo de Classes .................................... 25
IV- Exercícios ........................................................................................................ 28
V- Aplicações envolvendo gráficos ........................................................................ 31
CAPÍTULO III: Medidas de Tendência Central e de Posição (sem Intervalo de Classes)
I- Média, Moda e Mediana.
37
I.1- A Média ................................................................................................ 37
I.2- A Moda ................................................................................................. 38
I.3- A Mediana ............................................................................................ 38
I.4- Outros exemplos e aplicações .............................................................. 38
I.5- Exercícios ............................................................................................. 41
II- Média Ponderada e Média Geométrica .............................................................. 42
II.1- A Média Ponderada ............................................................................. 42
II.2- A Média Geométrica ........................................................................... 43
III- Aplicações ..........................................................................................................
43
IV- Medidas de Posição: Percentis e Quartis
48
IV.1- Os Quartis .......................................................................................... 48
IV.2- Os Percentis ....................................................................................... 49
CAPÍTULO IV: Medidas de Tendência Central e de Posição (com Intervalo de Classes)
I- Medidas de Tendência Central: Média, Moda, Mediana..................................... 51
I.1- A Média em Distribuições com Intervalo de Classes............................... 51
I.2- A Moda em Distribuições com Intervalo de Classes................................ 52
I.3- A Mediana em Distribuições com Intervalo de Classes........................... 52
I.4- Exercícios Resolvidos .......................................................................... 53
II- Medidas de Posição: Quartis e Percentis .......................................................... 55
II.1- Exemplos ............................................................................................
56
CAPÍTULO V: Medidas de dispersão ou de variabilidade
V.1- Medidas de dispersão ou de variabilidade em distribuições sem Intervalo
de Classes ...............................................................................................................
59
V.2- Medidas de dispersão ou variabilidade em distribuições com Intervalo
de Classes ............................................................................................................... 61
V.3- Exercícios .......................................................................................................
62
CAPÍTULO VI: Aplicações dos Princípios Estatísticos
VI.1- Testes (2ª Bateria) .........................................................................................
65
VI.2- Testes (2ª Bateria) .........................................................................................
67
VI.3- Aplicações ..................................................................................................... 69
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................
73
ANEXOS ....................................................................................................................
75
APRESENTAÇÃO
É indiscutível o papel que a Estatística representa no mundo atual. Uma visão já
estabelecida pela Estatística a associa como uma importante ferramenta de coleta de dados,
de processamento da informação e da análise decorrente dos diversos conceitos que
contribuem no campo de trabalho e no meio científico.
Porém, o entendimento destes conceitos está além de uma simples instrumentalização
por meio de fórmulas. Alguém que tenha o domínio operacional da estatística possui um
conhecimento prático que permite obter vários indicadores estatísticos, mas o significado
deste ramo requer que o indivíduo compreenda os conceitos envolvidos e consiga realizar
uma interpretação apropriada, o que faz do ensino da Estatística algo mais do que o limitado
treino de cálculos e fórmulas.
Este livro tem a intenção de apresentar aos universitários, que não sejam
necessariamente da área de exatas, uma abordagem estatística mais prática e centrada nos
princípios essenciais de um curso introdutório em nível universitário, porém que inicie um
processo de significação dos conceitos essenciais desta área.
No decorrer da obra não buscamos enfatizar a linguagem formal matemática, mas
antes introduzir os conceitos mais básicos em linguagem acessível a alunos nãomatemáticos, de modo que a escrita matemática não seja um empecilho ao primeiro acesso a
esta área de conhecimento.
Outro ponto a se destacar é a utilização de contextos embasados na área de Ciências
Gerenciais. Minha experiência em ensino de Estatística nas diversas subáreas das Ciências
Gerenciais me despertou a atenção para situações próprias desta área. Visto que os alunos de
áreas não exatas podem se beneficiar por uma abordagem menos formal, apresentamos no
decorrer dos capítulos e, em especial, no Capítulo 6, situações que enfatizam a operação de
transferência do conhecimento estatístico para algumas dentre os inúmeros contextos de
aplicabilidade.
8
Capítulo I- Amostragem Estatística
I- Introdução.
A Estatística é um ramo da Matemática Aplicada que pode estar presente tanto no campo de
trabalho como no dia-a-dia do cidadão. Torna-se importante conhecer conceitos como médias,
desvios, taxas, porcentagens, dentre outros e as diversas formas de representação através de leitura,
interpretação, confecção de tabelas e gráficos.
O termo Estatística apareceu pela primeira vez no século XVIII, sugerida pelo alemão
Gottfried Achemmel (1719-1772), sendo derivada do latim statu (estado).
Corresponde a um ramo da matemática aplicada que investiga os processos de obtenção
(coleta), organização, descrição e análise de dados sobre uma população ou uma amostra (coleção
de elementos representativa de uma população), de modo a abrir a possibilidade de tirar conclusões
ou predições com base nesses dados.
Pode-se subdividir o estudo da Estatística em:
- Estatística Descritiva (etapas de coleta, organização e descrição dos dados);
- Estatística Inferencial ou Indutiva (etapas de análise e interpretação de dados).
Figura 1: O contexto de estudo da Estatística. [Fonte: IME-USP]
O Método Estatístico estuda as mudanças que ocorrem nas diversas variáveis da população
(ou amostra), registrando e determinando suas influências no fenômeno em estudo. Mas o que é
uma variável?
Variável é o conjunto de todos os valores possíveis que um evento pode assumir. A
Estatística estuda as variáveis quantitativas, que se subdividem em discretas e contínuas.
Se a variável quantitativa expressar elementos relativos a contagens é conhecida como
variável discreta e se puder assumir qualquer valor real é denominada variável contínua.
Capítulo 1: Amostragem Estatística
10
São exemplos de variáveis discretas: o número de gols marcados por um time num
campeonato, o número de clientes de um banco, o número de contribuintes do Imposto de Renda.
São exemplos de variáveis contínuas: as alturas dos alunos de uma escola, a produção nacional de
soja e a taxa de juros do cheque especial.
Se a variável for um atributo ela é denominada variável qualitativa. Como exemplos de
qualidades ou atributos têm-se a cor da pele, a cor dos olhos, a cor dos cabelos, a preferência por
um time de futebol ou uma determinada religião.
Exercício 1: Classifique as variáveis abaixo segundo o código abaixo.
Q = Variável Qualitativa
D = Variável Quantitativa Discreta.
C = Variável Quantitativa Contínua.
a) Jogando-se um dado, o ponto obtido: _____
b) O comprimento de um lápis: _____
c) O número de erros cometidos por um caixa num certo dia: ______
d) A quantidade de dinheiro que um cliente de banco movimenta num certo dia: ____
e) Ao preencher a ficha de cadastro de um emprego, no item que se refere ao sexo :
Masculino ou Feminino: _____
f) Nº de ações negociadas na Bolsa de Valores: ____
Resposta: a) D; b) C; c) D; d) C; e) Q; f) D.
Observação:
As variáveis qualitativas podem ser subdivididas em:
- Variável dicotômica: existem só duas possibilidades;
Exemplos: certo/errado; verdadeiro/falso; sim/não; corrupto/não-corrupto.
- Variável categórica: existe a possibilidade de mais de duas respostas;
Exemplos: raça, escolaridade. classe econômica-social, credo.
Existe outro critério de subdivisão das variáveis qualitativas:
- nominal: sexo, cor dos olhos;
- ordinal: classe social; grau de instrução.
II- População e Amostra
Um dos conceitos-chave da área de Estatística são população e amostra.
População: é o conjunto dos elementos que se deseja estudar, contendo pelo menos uma
característica em comum observável no universo do estudo.
Amostra: é um subconjunto da população, sendo obtido pela escolha ou extração de alguns
elementos da população, de modo a viabilizar a estimativa de propriedades da própria população.
Exemplos:
A- POPULAÇÃO: moradores de uma metrópole.
AMOSTRA: moradores de um bairro da metrópole em questão.
B- POPULAÇÃO: Eleitores brasileiros
AMOSTRA: os eleitores de algum estado ou de alguma cidade.
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
11
Uma população pode ser finita ou infinita. No caso da população finita, esta consiste de um
número finito ou fixo de elementos, medidas ou observações. Temos como exemplos os alunos de
um curso de administração, os funcionários de uma empresa ou os eleitores brasileiros.
Por outro lado, a denominada população infinita deve possuir incontáveis elementos. Em
verdade, dificilmente uma população do mundo cotidiano contém infinitos elementos. Nesse
sentido mundano, de modo aproximado e num viés simplificador, uma população considerada
infinita seria o número de nascimentos em um determinado país ou a produção mensal de parafusos
de uma grande multinacional.
Para inicialmente localizar os contextos onde se estuda Estatística, vamos colocar algumas
questões: Em que condições, quando e por que as pesquisas eleitorais sobre alguns milhares de
eleitores em potencial podem ou não predizer o resultado de uma eleição? Como as pesquisas de
audiência da TV podem ser autênticas se são coletadas informações de alguns lares?
Refletindo um pouco sobre as questões acima, as mesmas possuem um ponto em comum: Em
que condições devem-se efetuar estudos ou escolher uma população ou uma amostra?
Utilizando como exemplo o censo demográfico, que faz um exame das características dos
elementos de certa população, sua utilização pode ser viável quando: (a) a população é pequena (ou
ainda, quando o tamanho da amostra seria grande em relação às dimensões da população); (b)
quando se necessita um resultado o mais próximo possível do valor verdadeiro; (c) se já estão
disponíveis os dados da população.
De modo complementar, ao invés de censo, que recai sobre uma determinada população, o uso
de amostras se torna viável dependendo de alguns fatores, como:
• Menor gasto para a obtenção de dados e realização das análises (mote financeiro);
• Menor tempo operacional (questão temporal);
• Uma boa qualidade nos dados levantados (obter precisão);
• População muito grande ou de difícil acesso (restrição operacional);
• Mais fácil, com resultados satisfatórios para o que se pretende estudar (valor aproximado).
III- Amostragem
A escola de amostras se caracteriza quando há restrições econômicas, de tempo, de espaço,
operacional ou qualquer outro motivo. Neste caso, torna-se fundamental a escolha de alguns
elementos da população, mas que a representem o mais fielmente possível. Este subconjunto finito
de uma população é denominado amostra e é por meio dela que se procura estabelecer, estimar ou
inferir as propriedades e características dessa população, conforme se representa na figura 2.
Figura 2: Representação da relação população e amostra.
Capítulo 1: Amostragem Estatística
12
A técnica para se escolher uma amostra é denominada amostragem. Em Estatística as
principais técnicas são a amostragem probabilística e a amostragem não probabilística.
Na amostragem probabilística (ou aleatória), a probabilidade de um elemento da população ser
escolhido é ao acaso e pode ser determinada ou estimada por cálculos probabilísticos. Para a
formação da amostragem aleatória existe um procedimento de selecção dos elementos ou grupo de
elementos. e um modo tal que dá a cada elemento da população uma probabilidade de inclusão na
amostra calculável e diferente de zero.
Por outro lado, na amostragem não probabilística (não aleatória), não se conhece a
probabilidade de um determinado elemento da população. A seleção dos elementos da amostra é
subjetiva ou por julgamento. Neste curso, estudaremos somente a amostragem probabilística.
III.1- Amostragem Aleatória Simples (AAS), Acidental, Casual ou Randômica.
Quando se deseja escolher uma amostra simples de uma população homogênea basta efetuar
um sorteio. Esta é uma técnica bem simples, garantindo as mesmas chances de escolha, devido à
seleção aleatória de indivíduos. Neste tipo de amostra supõe-se que cada indivíduo da população
tem a mesma probabilidade de ser escolhido para compor a amostra.
Existe uma tabela denominada Tabela dos Números Aleatórios que facilita esta operação de
sorteio, que se encontra em calculadoras científicas. O acesso aos números aleatórios é realizado ao
se acionar a tecla Shift + RAN#. No visor da calculadora surge um número entre 0 e 1. Se for
multiplicado por mil, é possível uma rápida escolha aleatória de um número entre um e mil.
Exemplo: Sejam as idades de trinta alunos de uma escola, indicadas na tabela abaixo.
25 18 42 35 31
53 22 38 25 15
39 29 17 48 32
55 41 36 21 39
19 27 62 31 43
43 24 39 63 14
Pode-se obter, sem reposição, uma amostra aleatória simples (AAS) de tamanho n = 5,
utilizando-se da tabela de números aleatórios, dada no anexo II (ao final do livro).
A amostragem aleatória simples exige uma relação completa de todos os N elementos da
população, que no exemplo seria de trinta valores. A tabela fornecida possui 1500 elementos, pois
tem 100 linhas e 15 colunas. Para adaptar a tabela de números aleatórios a esta condição, uma das
possibilidades é inicialmente sortear a linha e a coluna para dar início a escolha. Suponha que um
sorteio tenha sido feito e obtido a 2ª linha e 1ª coluna, que está representada abaixo:
9
1ª
8
0
6
2ª
4
4
3ª
2
1
4ª
8
0
3
5ª
4
6ª
9
8
7ª
1
2
8ª
8
8
9ª
3
0
10ª
7
8
11ª
2
2
12ª
7
5
13ª
4
7
14ª
3
6
15ª
Como se deseja uma amostra de 5 elementos, dentro os 30 fornecidos, descartam-se os valores
acima de 30. Deste modo, resultam os valores: 06; 21; 12; 30; 22. Estes valores correspondem aos
alunos das posições 2ª; 4ª, 8ª, 10ª e 12ª. Estas posições, na tabela dada no em enunciado,
corresponde, respectivamente, as idades: 18 anos; 35 anos; 17 anos; 32 anos; 27 anos.
25 18 42 35 31
53 22 38 25 15
39 29 17 48 32
55 41 36 21 39
19 27 62 31 43
43 24 39 63 14
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
13
Caso fosse escolhida a 18ª linha temos os seguintes números (da esquerda para a direita):
4
6
3
9
8
2
7
3
2
8
0
2
1
2
9
2
2
6
9
5
3
1
2
5
0
0
0
5
9
6
Nessa situação teríamos os números 28; 02; 12; 26; 25, com idades 31; 39; 29; 48; 27 anos.
III.2- Amostragem Proporcional Estratificada
É utilizada quando se dispõe de uma população heterogênea que pode ser subdivida em
estratos (ou camadas), onde cada estrato apresenta grande homogeneidade. É muito utilizada, pois a
maioria das populações tem estratos bem definidos.
Dentre as várias possibilidades, ilustramos três populações com estratos bem definidos: a
distribuição de homens e mulheres na população brasileira; as diferentes distribuições econômicas
entre as nações (1° mundo e 3° mundo); os clientes de um banco pela faixa de renda bruta.
Na amostragem estratificada a idéia básica consiste em se especificar quantos itens da amostra
serão retirados de cada estrato. Considerando N o número total de elementos da população, i o
número de estratos, Ni o número de elementos do estrato i e n o tamanho da amostra a ser
elaborada, obtemos as seguintes relações:
n
N = N 1 + N 2 + ... + N L ; f =
... fração de amostragem
N
A i = N i .f ... número de elementos amostrais representantes de cada estrato.
Exemplo: Numa sala de aula com 70 alunos, cinquenta são mulheres. Obtenha uma amostra
proporcional estratificada com 10 alunos.
Solução: Temos dois estratos: homens e mulheres.
N1 = n° de mulheres = 50
N2 = n° de homens = 70 – 50 = 20
Note que N = N1 + N2, pois N = 50 + 20 = 70, conforme o enunciado.
f = n/N = 10/ 70 = 1/7 = 0,1429
O número de elementos amostrais representando cada estrato é:
A1 = N1.f = 50. 0,1429 = 7,145 e A2 = N2.f = 20. 0,1429 = 2,858
Como o número de elementos amostral representando cada estrato deve ser um número inteiro
positivo, utilizamos a seguinte regra de aproximação: décimo menor que cinco, mantém o inteiro;
décimo igual ou maior a cinco, acrescenta-se uma unidade a parte inteiro do número (ver Anexo 1).
Daí: A1 = 7 e A2 = 3, totalizando dez (10) elementos da amostra.
Representando os resultados, temos:
População Cálculos/Amostra
Amostra
Homens
20
2,858
3
Mulheres
50
7,145
7
TOTAL
70
10
10
Capítulo 1: Amostragem Estatística
14
III.3 - Amostragem Sistemática.
Suponha uma população onde um elemento qualquer tenha igual chance de pertencer a
determinada amostra. Se nesta população for necessária uma coleta de dados por um longo período
de tempo, pode-se escolher um ritmo para a tomada de amostras.
Assim, numa população cujos elementos são todos conhecidos e que se apresentam
ordenados, a amostragem sistemática faz retiradas periódicas (em termos matemáticos, a cada k
elementos, um é escolhido).
Exemplo: Seja uma população de mil peças diárias numa linha de produção. O setor de
controle de qualidade escolhe para análise uma a cada cem peças produzidas. Como proceder para
escolher uma amostra sistemática para o Controle de Qualidade?
Se em cada cem peças uma é tomada como amostra, ao final do dia serão analisadas dez
peças, pois a produção diária é de mil peças.
N = População diária = 1 000 peças.
n = Tamanho da Amostra = 10 peças.
N 1000
=
= 100.
n
10
Escolhe-se um número aleatoriamente, por sorteio ou pela tabela de números aleatórios (por
Intervalo = I =
amostragem aleatória simples) entre 1 e 100, que chamaremos de k. Por exemplo, obteve-se por
sorteio k = 25.
A amostra sistemática, com dez elementos, será composta pelas seguintes peças:
25ª, 125ª, 225ª, 325ª, 425ª, 525ª, 625ª, 725ª, 825ª, 925ª.
De maneira geral, na Amostragem Sistemática deve-se:
- conhecer N = População total.
- conhecer n = tamanho da amostra.
- calcular I = N , como sendo o intervalo constante (regular) entre as posições que serão
n
retiradas as amostras.
- obter, por método aleatório, um número k situado entre 1 e I. A seguir obtenha uma
sequência de elementos efetuando a adição de k com I (progressão aritmética de razão I e a1 = k)
(k, k + I; k + 2I; k + 3I: ... )
Uma grande vantagem da amostragem sistemática em relação as duas já estudadas é a grande
facilidade de execução. Como no caso estudado da Amostragem Aleatória Simples, a Amostragem
Sistemática também requer uma lista completa dos elementos da população.
Observações:
1) Há casos onde o tamanho da população é desconhecido. Neste caso não é possível se
determinar o valor de I. O problema terá um encaminhamento mais intuitivo, pois será necessário se
estipular um valor para I.
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
15
2) Em certas ocasiões, a Amostragem Sistemática é mais adequada dentre as existentes, pela
enorme facilidade de execução. Por exemplo, suponha que você deve realizar uma rápida pesquisa
com clientes de um ‘shopping center’ sobre a percepção a respeito de determinado produto. Você
pode optar por entrevistar uma a cada cem pessoas que entram numa no local. Uma técnica bem
propícia é a sistemática, devido à facilidade da operação. Imagine-se fazendo sorteios a cada cem
pessoas que entrasse na loja: você teria que pará-los, pedir todos os nomes dos cem clientes, colocar
numa urna e sortear. Um pouco inconveniente, não acha.
III.4- Amostragem Aleatória por Conglomerados (Clusters).
Existem casos onde é inviável ou não é possível estabelecer uma lista com todos os elementos
da população, sendo que esta pode ser agrupada em pequenos estratos (ou conglomerados), com
homogeneidade entre os elementos internos dos estratos (conglomerados). Por consequência, o
número de conglomerados (clusters) é muito grande, pois não se conhece o tamanho da população.
Inicialmente, na amostragem aleatória por conglomerados, se possível, deve-se estabelecer os
conglomerados apropriados, seguindo o critério de uniformidade de seus elementos. A seleção dos
conglomerados é feita por amostragem aleatória simples, sendo que os elementos dos
conglomerados escolhidos podem ser analisados na parte ou no todo.
Exemplo: Considere a seguinte situação. Numa pequena cidade, um grupo de estudantes
deseja saber a intenção de voto num candidato X. Não há condição de entrevistar todos os
moradores da cidade. A utilização de um processo aleatório (por sorteio) e por estratos fica
comprometido, pela dificuldade em se conhecer toda a população (listagem de nomes).
A melhor escolha recai na amostragem por conglomerado. Escolhem-se os quarteirões como
conglomerados (clusters), sorteiam-se alguns deles, e efetua-se a pesquisa in-loco dos moradores
das casas dos quarteirões sorteados.
Mas qual a diferença entre conglomerados e estratos. Na amostragem por estratos, cada
camada possui elementos semelhantes e, além disso, cada camada tem elementos escolhidos
proporcionalmente à população. Na amostragem por conglomerados sorteiam-se alguns
conglomerados e são entrevistados parte ou todos os elementos do conglomerado escolhido. Isto em
decorrência de alguma impossibilidade de fazer um levantamento de todos os cidadãos e também
eleger um critério para reuni-los em estratos, devido ao caráter heterogêneo dos clusters escolhidos.
Resumindo, a amostragem por conglomerados pode ser usada quando a população pode ser
dividida em um grande número de conglomerados (subpopulações) heterogêneos representativos da
população global. Deste modo, a amostragem é feita sobre os conglomerados, e não mais sobre os
indivíduos da população. A amostragem por conglomerados tem como vantagens a facilidade
administrativa e econômica, assim como não exige uma lista completa da população.
III.5- Amostragem por Estágios Múltiplos.
São aqueles casos onde se efetua uma combinação de dois ou mais das técnicas mostradas
acima. No exemplo mencionado no item da amostragem por conglomerados, após o sorteio inicial
dos conglomerados, poderíamos ter novamente sorteado alguns elementos dentro do conglomerado.
Capítulo 1: Amostragem Estatística
16
Um exemplo interessante para ilustrar a composição dos diversos tipos de amostragem pode
ser
encontrado
em
uma
reportagem
disponível
em
http://www.unama.br/PRINCIPAL/Comunicado/noticias/1270/not1011. html. Uma empresa de ônibus
encomendou uma pesquisa inédita junto a uma Universidade local para se conhecer a preferência
dos usuários em transporte coletivo de uma determinada cidade do Brasil, pretendendo avaliar a
preferência e os gostos associados aos aspectos sóciocultural e econômico da população.
A contratante tinha observado uma diminuição da demanda do transporte coletivo, e a
crescente utilização de bicicletas e deslocamento a pé, o que é bom para a saúde dos usuários, mas
não conveniente para os negócios da empresa. A pesquisa pretendia diagnosticar o motivo da troca
do ônibus pelos meios alternativos (a pé ou de bicicleta).
A metodologia utilizada foi a modelagem matemática de comportamento, relacionando o
número de viagens e atributos do modo de transporte. A pesquisa teve a duração de seis meses,
utilizando dez alunos de cursos diversos devidamente preparados. A fase da coleta dos dados
constou de entrevistas em 430 domicílios sorteados localizados em 14 macro-zonas. Para o critério
da estratificação utilizou-se como variáveis:
- renda (9 faixas salariais, de menos de R$ 260 até maior ou igual a R$ 4.940);
- faixa etária (4 faixas, de 16 a 65 anos);
- gênero (masculino e feminino).
IV- Exercícios:
1- Uma indústria possui em sua linha 4 produtos, cuja produção diária está indicada na tabela
abaixo. O controle de qualidade escolhe algumas peças para análise, correspondendo a 0,01% da
produção diária de cada produto. Obter o número de elementos da amostra de cada produto,
considerando a Amostragem Proporcional Estratificada.
Produto Produção
diária
1
41 000
2
26 000
3
29 000
4
47 000
Total
Amostra
2- Uma pequena escola possui somente as quatro primeiras séries. A tabela abaixo representa
o número de alunos dos dois sexos. Obtenha o número de elementos da amostra de cada série, para
um total amostral de 10 alunos. Considere a Amostragem Proporcional Estratificada.
ESCOLA Nº de alunos Amostra
1ª série
30
2ª série
26
3ª série
24
4ª série
27
Total
3- Uma pequena cidade resolveu fazer uma pesquisa de opinião através de técnicas de
amostragem. Os entrevistados serão cidadãos entre 18 e 60 anos, representados no quadro abaixo e
discriminados em função do sexo. Obter o número de elementos da amostra de cada distrito, sendo
que se deseja entrevistar mil cidadãos. Considere a Amostragem Proporcional Estratificada
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
Bairros
A
B
C
D
E
F
Total
Eleitores
Masculinos
Eleitores
Femininos
800
620
710
930
1 500
2 500
900
580
750
1100
1750
2400
AMOSTRA
Eleitores
Masculino
17
AMOSTRA
Eleitores
Feminino
4- (UFMG) Num estudo sobre estado nutricional dos estudantes da rede escolar de uma
cidade, decidiu-se complementar os dados antropométricos com alguns exames laboratoriais. Como
não se podia exigir que o estudante fizesse estes exames, decidiu-se estratificar a população por
nível escolar (1º grau e 2º grau) e por tipo de escola (pública e privada), selecionando-se voluntários
em cada estrato, até completar as cotas. Com base nos dados da tabela abaixo, qual deve ser a cota a
ser amostrada em cada estrato, considerando que se deseja uma amostra de 200 estudantes?
Nível escolar
Tipo de escola
pública
privada
1º grau
48%
14%
2º grau
26%
12%
5- Num banco, um fiscal observa que há vários caixas, cada qual movimentando uma
quantidade de dinheiro. Em termos de variáveis, é correto afirmar que:
a) a quantidade de caixas é uma variável contínua e a quantia de dinheiro movimentada é uma
variável discreta.
b) a quantidade de caixas é uma variável discreta e a quantia de dinheiro movimentada é uma
variável contínua.
c) a quantidade de caixas e a quantia de dinheiro movimentada representam variável discreta.
d) a quantidade de caixas e a quantia de dinheiro movimentada representa uma variável
contínua.
e) a quantidade de caixas é uma variável qualitativa e a quantia de dinheiro movimentada é
uma variável discreta
Respostas:
1)
Produto
Produção diária
Amostra
1
2
3
4
Total
41 000
26 000
29 000
47 000
143 000
4
3
3
5
15
Note que 0,01% de 143 000 não coincide com o tamanho da amostra.
2)
ESCOLA
1ª série
2ª série
3ª série
4ª série
Total
Nº de alunos
30
26
24
27
107
Amostra
300/107=2,80= 3
260/107 = 2,43 = 2
240/107 = 2,24 = 2
270/107 = 2,52 = 3
10
Capítulo 1: Amostragem Estatística
18
3Bairros
Eleitores
Eleitores
Masculinos Femininos
AMOSTRA
Eleitores
Masculino
800x486/7060=55
620x486/7060=43
710x486/7060=49
930x486/7060=64
1500x486/7060=103
2500x486/7060=172
486
AMOSTRA Eleitores
Feminino
A
800
900
900x514/7480= 62 (61,84)
B
620
580
580x x514/7480=40 (39,86)
C
710
750
750x514/7480=52 (51,54)
D
930
1 100
1100x514/7480=76 (75,59)
E
1 500
1 750
1750x514/7480=120 (120,25)
F
2 500
2 400
2400x514/7480=164* (164,92)
Totais
7 060
7 480
514
7 060 + 7 480 = 14 540 →
7060 000/ 14 540 = 485,56 = 486 eleitores masculinos
7480 000/ 14 540 = 514,44 = 514 eleitores masculinos
1 000 eleitores
Verificando a soma dos elementos da amostra, nota-se que a Amostra Feminina possui soma
515 eleitores. Como a amostra deve possuir 514 eleitores, é necessário corrigir este problema que
surge devido as aproximações. Não existe método. Um conselho aos alunos é seguir o lema ‘Retire
do elemento com maior quantidade (mais rico) ou acrescente para o elemento com menor
quantidade (mais pobre)’. No caso, mudei 165 para 164 (*)
4Tipo de escola
Nível escolar
pública
privada
1º grau
48% (96 alunos)
14% (28 alunos)
2º grau
26% (52 alunos)
12% (24 alunos)
48% + 14% + 26% + 12% = 100%
48% de 200 = 0,48x 200 = 96 alunos
14% de 200 = 0,14 x 200 = 28 alunos
26% de 200 = 0,26x 200 = 52 alunos
12% de 200 = 0,12x 200 = 24 alunos
100% de 200 = 1 x 200 = 200 alunos
5- B
Para saber mais:
Um pesquisador que deseja realizar uma pesquisa estatística deverá traçar um Plano de
Amostragem, que deverá conter:
• os objetivos da pesquisa;
• a população a ser amostrada;
• os parâmetros a serem estimados;
• a unidade de amostragem;
• a forma de seleção da amostra;
• o tamanho da amostra;
• o custo do levantamento;
• a confiabilidade desejada.
Idealize uma pesquisa. Escolha algum tema relacionado ao seu curso, explique o motivo que o
levou a essa escolha (o objetivo). A seguir, descreva a população a ser estudada, as características
da amostra e o método da amostragem. Escreva os procedimentos na forma de um texto.
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
19
Extras
1- Numa escola existem 250 alunos, sendo 35 na 1ª série, 32 na 2ª, 30 na 3ª, 28 na 4ª, 35 na 5ª, 32
na 6ª, 31 na 7ª e 27 na 8ª. Obtenha uma amostra de 40 alunos e preencha o quadro seguinte.
Séries
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
Totais
População
35
Cálculo Proporcional
5,6
Amostra Final
2- Uma cidade apresenta o seguinte quadro relativo às suas escolas de 1º grau. Obtenha uma
amostra de 120 alunos.
Sugestão: Primeiramente, você terá que saber qual é o tamanho de amostra das estudantes do
sexo feminino e qual a amostra masculina, de um total de 120 alunos. Então, tome os totais de
estudantes homens (876) e mulheres (955): 876 + 955 = 1831 estudantes, e calcule qual é a amostra
de homens e mulheres.
ESCOLAS
A
B
C
D
E
F
Totais
Nº de estudantes
Masculino
80
102
110
134
150
300
876
Nº de estudantes
Feminino
95
120
92
228
130
290
955
3- Numa empresa com 600 funcionários, deseja-se estimar a percentagem de funcionários
favoráveis a certo programa de treinamento. Qual deve ser a percentagem de funcionários a
participar da amostra, de tal forma que se garanta, com alto nível de confiança, um erro amostral
não superior a 4%?
4- Numa eleição, deseja-se estimar a quantidade da amostra a ser pesquisada com relação a
intenção de voto. A meta é obter uma margem de confiança de 95%, ou seja, uma margem de erro
de 2,5 pontos percentuais (para mais ou para menos). Qual o tamanho da amostra?
Capítulo 1: Amostragem Estatística
Respostas:
1Séries
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
Totais
População
35
32
30
28
35
32
31
27
250
Cálculo Proporcional
5,6
5,1
4,8
4,5
5,6
5,1
5,0
4,3
20
Amostra
6
5
5
4
6
5
5
4
40
2ESCOLAS
A
B
C
D
E
F
Totais
Nº de estudantes
Masculino
80
102
110
134
150
300
876
Nº de estudantes
Feminino
95
120
92
228
130
290
955
Amostra de Estudantes
Masculino
Amostra de Estudantes
Feminino
5
7
7
9
10
19
57
6
8
6
15
9
19
63
1
1
=
= 625 funcionários. Como se conhece a população, efetua-se a
2
E
0,04 2
n .N
625.600
correção do tamanho da amostra: n = 0
=
, que resulta cerca de 306 funcionários.
N + n0 625 + 600
Daí, o percentual de funcionários é de 306/600 = 0,51 = 51%.
3- Resposta: n0 =
4- Segundo o critério aproximado delineado acima: n0 =
Existe outro critério, dado pela expressão:
eleitores.
1
1
=
= 1600.
2
E
0,0252
1,96
2,5
=
, expressão que resulta n = 1573
2. n 100
Capítulo II - Distribuições de Frequências
Nas aplicações cotidianas, geralmente ocorre que o conjunto a ser estudado apresenta um
grande número de dados, o que implica na necessidade de um modo de representação mais
simplificado e ágil. A Distribuição de frequências é uma técnica estatística usada para representar
uma coleção de objetos em forma de tabelas, de modo a sistematizar alguns indicadores estatísticos.
I- Conceitos iniciais.
I.1- Dados brutos, tabela primitiva, rol e amplitude total.
Os dados brutos são aqueles obtidos sem qualquer tipo de organização. Eles podem ser
organizados linearmente, escritos numa sequência numérica ou na forma denominada tabela
primitiva. Os dados brutos podem ser organizados segundo algum critério. Em se tratando de dados
numéricos, que serão trabalhados neste livro, a ordenação poderá ser de modo crescente ou
decrescente. Esta organização de dados brutos é denominada rol. Do rol, podemos obter a amplitude
total, que é a diferença entre o maior e o menor valor do rol.
Por exemplo, imagine uma situação onde um dado comum foi lançado oito vezes, tendo sido
obtidos os seguintes resultados (os dados brutos): 2; 4; 6; 5; 6; 3; 2; 1. Organizando estes dados
brutos em ordem crescente (que será a opção deste livro, salvo orientação em contrário), teremos o
seguinte rol de dados brutos: 1; 2; 2; 3; 4; 5; 6; 6. No presente exemplo, a amplitude total é dada por
AT = 6 – 1 = 5.
I.2- Distribuição de frequências.
O termo frequência provém do latim frequentia, representando intuitivamente um contexto de
repetição de fatos ou acontecimentos. Em Estatística, a frequência indica o número de vezes que um
valor ou um subconjunto de valores do domínio de uma variável aleatória aparece numa experiência
ou observação de caráter estatístico.
Denomina-se distribuição de frequências a representação do rol na forma de uma tabela de
dupla entrada. Através de uma entrada da tabela primitiva são representados os dados da variável em
estudo e em outra entrada a frequência simples (ou absoluta) dos dados. Denomina-se frequência
simples (ou absoluta) ao número de vezes que ocorre um fenômeno. Estaremos adotando para a
frequência a letra f (minúscula).
No exemplo do lançamento de um dado oito vezes, exposto logo acima, temos a seguinte
distribuição de frequências simples.
Capítulo 2 - Distribuições de Frequências
N° obtido
f
1
1
2
2
3
1
4
1
5
1
6
2
Total
∑f =8
22
Note que o total de dados obtidos sempre coincide com a somatória de frequências (cujo
símbolo é ∑f). No caso, ∑ f = 8.
No caso do exemplo dado, a frequência acumulada é representada por FAC (3ª coluna). Para se
obter cada valor da frequência acumulada basta adicionar o valor da FAC da linha anterior com a
frequência simples, conforme indicado no esquema abaixo. Note que o último valor de FAC coincide
com a somatória das frequências simples (∑ f).
N° obtido
f
FAC
1
1
1
2
2
3
3
1
4
4
1
5
5
1
6
6
2
8
Total
∑f =8
I.3- Frequência relativa e acumulada
Também é possível expressar os valores das frequências em percentagens, conhecidas como
f .100
frequência relativa (símbolo fr), que pode ser obtida por: f r =
(%)
∑f
N° obtido frequência
simples (f)
1
1
2
2
3
1
4
1
5
1
6
2
Total
8
frequência
relativa (fr)
1x 100/8=12,5 %
2 x 100/8=25%
1 x 100/8=12,5 %
1 x 100/8=12,5 %
1 x 100/8=12,5 %
2 x 100/8=25%
8 x 100/8= 100%
22
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
23
Ainda, outro conceito é o de frequência acumulada. Representa o total de todas as frequências
até uma determinada ordem e seu símbolo é Fac. No exemplo acima temos:
N° obtido
1
2
3
4
5
6
Total
frequência
simples (f)
1
2
1
1
1
2
8
frequência
relativa (fr)
12,5 %
25%
12,5 %
12,5 %
12,5 %
25%
100%
frequência
acumulada (Fac)
1
1+2=3
1+2+1=4
1+2+1+1=5
1 + 2 + 1 + 1+ 1 = 6
1 + 2 + 1 + 1+ 1 + 2 = 8
----------
I.4- Exercícios:
1- Os resultados do lançamento de um dado foram alocados na tabela primitiva abaixo.
Organize o rol e faça a distribuição de frequências simples (f). Também, determine a frequência
relativa (fr) e acumulada (Fac). Utilize uma ordenação crescente de dados.
6
1
2
5
6
4
2
3
6
6
3
5
4
5
3
3
1
2
6
3
1
2
6
3
6
3
5
5
4
6
Resolução:
Números
1
2
3
4
5
6
Totais
f
3
4
7
3
5
8
30
fr(%)
10
13,3
23,3
10
16,7
26,7
100
Fac
3
7
14
17
22
30
Exercício 2- Elabore uma coleta de dados envolvendo vinte de seus colegas de turma
envolvendo três itens (variáveis): alturas, peso e idade. Para cada variável, organize os dados em
ordem crescente e elabore uma tabela de distribuição de frequências (sem intervalo de classes).
Também, determine a frequência relativa (fr) e acumulada (Fac).
II- Os gráficos das distribuições de frequências.
As distribuições de frequência podem ser expressas tanto na forma de tabela como na forma
gráfica. Estudaremos a seguir como você transforma do registro em tabela para o gráfico.
O Histograma é uma representação gráfica de uma distribuição de frequência com intervalo de
classe. Nele, as frequências são representadas por retângulos verticais, onde a área do retângulo é
proporcional a sua frequência, ou seja, no eixo y teremos representa a frequência da variável e no
eixo x as representações da variável.
Vamos fazer uma aproximação, considerando os dados discretos obtidos no exercício 1 acima
e traçando o histograma.
Capítulo 2 - Distribuições de Frequências
Números
1
2
3
4
5
6
Totais
24
f
3
4
7
3
5
8
30
Neste caso, poderemos escolher uma escala 1: 1, para ambos os eixos. O histograma ficará:
10
8
8
6
6
f
f
10
4
4
2
2
0
0
1
2
3
4
5
6
1
Você pode elaborar o histograma no Excel. Digite a tabela de frequência, selecione a coluna de
frequências, clique na barra de ferramentas no ícone ‘Assistente de gráficos’, selecione colunas (no
tipo de gráfico), clique em avançar, escolha a opção linha ou coluna; clique em avançar; preencha as
opções dos significantes dos eixos; clique em avançar e clique em concluir.
Obs.: Mais rigorosamente, quando se trabalha com dados discretos, como, por exemplo, nos
números obtidos nos lançamentos de um dado, o Histograma não é a representação mais indicada.
Deveríamos estar lidando o gráfico em bastão. Nele, cada barra (retângulo = figura plana) fica
reduzida a um bastão (linha). É o mesmo procedimento do histograma, porém somente se indicam as
linhas.
O Polígono de frequência simples é outra forma de representação gráfica de uma distribuição
de frequência. Nele, as frequências são indicadas no eixo y e no eixo x as representações da variável.
Unindo-se os pontos dados por suas coordenadas (x;y) teremos o polígono de frequência simples.
Com os dados obtidos no exercício 1, podemos traçar o seguinte polígono de frequência simples:
24
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
25
10
8
f
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
Também pode ser feito no Excel. Na etapa de seleção de tipo de gráfico, escolha a opção linha
e siga os outros passos do histograma.
Por último, existe o polígono de frequência acumulada, onde no eixo y temos a representação
das frequências acumuladas.
Números
f
Fac
1
3
3
2
4
7
25
3
7
14
20
4
3
17
5
5
22
6
8
30
Totais
30
35
f
30
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
III- Distribuição de Frequências com Intervalo de Classes.
Existem ocasiões onde a coleta de dados revela valores reais. Neste caso, é costume separá-las
em grupos de valores e juntamos as frequências obtidas.
Seja uma coleta de dados com as notas dos alunos de uma turma com 20 alunos. Os dados
colocados são ordenados por ordem alfabética da turma (tabela primitiva):
Nº
Nota
Nº
Nota
1
7,0
11
3,5
2
6,5
12
9,5
3
6,0
12
5,0
4
5,5
14
6,5
5
7,5
15
7,0
6
8,5
16
5,5
7
8,0
17
4,5
8
4,5
18
2,5
9
6,0
19
8,0
10
7,0
20
6,0
Para se obter o rol devemos ordenar as notas de modo crescente. Então, temos:
2,5
6,5
3,5
6,5
4,5
7,0
4,5
7,0
5
7,0
5,5
7,5
5,5
8,0
6
8,0
A tabela de frequências simples, sem intervalos de classes fica:
6
8,5
6
9,5
Capítulo 2 - Distribuições de Frequências
Nota
2,5
3,5
4,5
5
5,5
6
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,5
Total
26
frequência
1
1
2
1
2
3
2
3
1
2
1
1
20
Neste caso, é mais comum o agrupamento de notas em intervalos, denominados intervalos de
classe. Por exemplo, poderíamos agrupar as notas de 2 em 2 pontos. Assim teríamos a distribuição
de frequências com intervalo de classes. Em Estatística, o símbolo ‘⌐’ indica um intervalo de
números. No caso de 0 ⌐ 2, este símbolo indica que os números entre 0 e 2 deverão ser
contabilizados, exceto o 2 que será contado no próximo intervalo; 2 ⌐ 4 significa que todas notas
entre 2 e 4 são contadas, exceto a nota 4. No último intervalo 8 ⌐ 10, o 10 será incluído. Com isto se
evita repetir contagens.
Classes
1
2
3
4
5
-----
Intervalo Frequência
simples
de notas
(f)
0⌐2
0
2⌐4
2
4⌐6
5
6⌐8
9
8 ⌐ 10
4
Total
20
Frequência
relativa
(fr)
0
10%
25%
45%
20%
100%
frequência
acumulada
(Fac)
0
2
7
16
20
---------
Vamos estudar os elementos que compõe uma distribuição de frequências com intervalo de
classes. No nosso exemplo, observamos que agrupamos os dados em 5 intervalos, que são
denominadas classes. Cada intervalo de classe tem um limite inferior (li) e um limite superior (Li).
Cada intervalo de classe tem uma amplitude, denominada amplitude de intervalo de classe, que
é definida por h = Li - li . No nosso caso, h = 2.
Além disso, a tabela apresenta uma amplitude total (AT), definida pela diferença do maior
valor do limite superior e do menor valor do limite inferior. No exemplo: AT = 10 – 0 = 10, apesar
dos valores 0 e 10 não fazerem parte da amostra.
Também, define-se amplitude amostral (AM) a diferença entre o maior e o menor valores da
amostra. No exemplo: AM = 9,5 – 2,5 = 7. Note que AT ≠ AM (nem sempre AT = AM).
Por último, define-se ponto médio de uma classe ao valor xi dado pela média dos limites
superior e inferior de cada classe, ou seja, xi = (Li + li )/2. O gráfico do histograma seria:
26
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
27
freqüência simples
H isto grama
10
8
6
4
2
0
0 ¬ 2
2 ¬ 4
4 ¬ 6
6 ¬ 8
8 ¬ 10
nota s
Para a elaboração do polígono de frequência simples, no caso de intervalos de classes,
deveremos determinar o ponto médio do intervalo de cada classe.
Ponto
Classes Intervalo Frequência frequência frequência
Pares
de notas simples (f) relativa (fr) acumulada médio (xi) ordenados
(Fac)
1
0⌐2
0
0
0
1
(1;0)
2
2⌐4
2
10%
2
3
(3;2)
3
4⌐6
5
25%
7
5
(5;5)
4
6⌐8
9
45%
16
7
(7;9)
5
8 ⌐ 10
4
20%
20
9
(9;4)
----Total
20
100%
---------------------
Para localizar os pontos no gráfico, devemos localizar os pares ordenados (xi; f). No Excel,
deveremos entrar com a tabela abaixo:
Polígono de freqüência simples
Ponto
médio (xi)
Frequência
simples (f)
1
0
3
2
4
5
5
2
7
9
9
4
10
8
f
6
0
0
2
4
6
8
10
xi
1
Para o caso do polígono de frequências acumuladas, o traçado deverá ser realizado com o par
ordenado (Limite superior; valor da frequência acumulada), ou seja, (Li ; f). No caso:
Capítulo 2 - Distribuições de Frequências
28
1
Frequência
acumulada
(FAC)
0
4
2
6
7
8
16
10
20
Polígono de freqüência acumulada
25
20
15
f
Limite
superior da
classe (Li)
2
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
xi
1
IV- Exercícios.
1- Complete os dados da tabela de distribuição de frequências.
Nº da Classe
Nº da Classe
1
2
TOTAIS
Classe
Classe
0 ⌐ 3
3 ⌐
6 ⌐9
⌐ 12
12 ⌐
15 ⌐
f
f
4
fr(%)
fr(%)
6,67
Fac
Fac
11
13
19
5
60
55
60
100
2- A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência do saldo médio de clientes de um
pequeno banco num determinado mês.
Saldo médio (R$) 1100 ⌐ 1200 ⌐ 1300 ⌐ 1400 ⌐ 1500
Nº de Clientes
600
500
350
250
Pede-se:
a) A Amplitude Total da distribuição: __________
b) O limite superior da 3ª classe: ____________
c) O limite inferior da 2ª classe: ____________
d) A amplitude da 4ª classe: ____________
e) A frequência relativa simples percentual da 4ª classe: ________
f) A frequência acumulada da 3ª classe: ______
g) O número de clientes que não atingem R$ 1 400,00 : _______
h) A percentagem de clientes que não atingem R$ 1 300,00._______
i) Até que classe estão incluídos 60% dos clientes? ______
j) O histograma.
k) O Polígono de frequências.
Indicar a escala nos padrões adequados. Utilizar régua.
28
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
3- Complete os dados da tabela de distribuição de frequências.
Nº da Classe
1
2
Classe
0 ⌐ 2
2 ⌐4
4 ⌐6
6 ⌐8
f
4
8
fr(%)
Fac
30
27
15
10
14 ⌐ 16
72
83
93
100
TOTAIS
4- A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência de áreas de loteamentos de uma
empresa construtora em um determinado mês.
ÁREAS (M2)
100 ⌐ 200 ⌐ 300 ⌐ 400 ⌐ 500 ⌐ 600 ⌐ 700 ⌐ 800
NÚMERO DE LOTES
60
50
35
20
12
2
1
Pede-se:
j) A Amplitude Total da distribuição: __________
k) O limite superior da 3ª classe: ____________
l) O limite inferior da 5ª classe: ____________
m) A amplitude da 4ª classe: ____________
n) A frequência relativa simples percentual da 6ª classe: ________
o) A frequência acumulada da 3ª classe: ______
p) O número de lotes que não atinge 600 m2: _______
q) A percentagem de lotes cuja área não atinge 400 m2._______
r) Até que classe estão inclusos 60% dos lotes? ______
s) A classe do 68º lote: _________
k) O histograma.
l) O Polígono de frequências.
m) O Polígono de frequências acumuladas.
Indicar a escala nos padrões adequados. Utilizar régua.
Respostas:
1Nº da Classe
1
2
3
4
5
6
TOTAIS
2-
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Classe
0 ⌐ 3
3 ⌐6
6 ⌐9
9 ⌐ 12
12 ⌐ 15
15 ⌐ 18
f
4
7
13
19
12
5
60
fr(%)
6,67
11,67
21,67
31,66
20
8,33
100
Fac
4
11
24
43
55
60
A Amplitude Total da distribuição: R$ 400,00.
O limite superior da 3ª classe: R$ 1 400,00.
O limite inferior da 2ª classe: R$ 1 200,00.
A amplitude da 4ª classe: R$ 100,00.
A frequência relativa simples percentual da 4ª classe: 14,71%
A frequência acumulada da 3ª classe: 1 450 clientes
O número de clientes que não atingem R$ 1 400,00: 1450 clientes
A percentagem de clientes que não atingem R$ 1 300,00: 64,7%
29
Capítulo 2 - Distribuições de Frequências
30
i) Até que classe estão incluídos 60% dos clientes? 2ª classe.
j) O histograma.
k) O Polígono de frequências simples.
Classe
1
2
3
4
Intervalo
1100 ⌐ 1200
1200 ⌐ 1300
1300 ⌐ 1400
1400 ⌐ 1500
Totais
f
600
500
350
250
Fr(%)
fac
35,29 600
29,41 1100
20,59 1450
14,71 1700
1700 100
fac (%)
33,3
61
80,4
91,5
-----Polígono de freqüências simples
800
nº de clientes
nº de clientes
Histograma
600
400
200
0
1
2
3
4
5
800
600
400
200
0
0
Classes
3- Complete os dados da tabela de distribuição de frequências.
Nº da Classe
Classe
f
fr(%)
1
0 ⌐ 2
4
4
2
2 ⌐4
8
8
3
4 ⌐6
18
18
4
6 ⌐8
27
27
5
8 ⌐ 10
15
15
6
10 ⌐ 12
11
11
7
12 ⌐ 14
10
10
8
14 ⌐ 16
7
7
TOTAIS
100
100
2
4
6
Classes
Fac
4
12
30
57
72
83
93
100
4- a) 700 m2 b) 400 m2 c) 500 m2 d) 100 m2 e) 1,11% f) 145 g) 177 h) 80,4%
i) 2ª classe j) 2ª classe
Classe
Intervalo
f
Fr(%)
fac
fac (%)
1
100 ⌐ 200
60
33,3
60
33,3
2
200 ⌐ 300
50
27,7
110
61
3
300 ⌐ 400
35
19,4
145
80,4
4
400 ⌐ 500
20
11,1
165
91,5
5
500 ⌐ 600
12
6,7
177
98,2
6
600 ⌐ 700
2
1,1
179
99,3
7
700 ⌐ 800
1
0,7
180
100
Totais
180
100
30
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
31
V- Aplicações envolvendo gráficos
1- A tabela a seguir mostra as áreas, em milhões de milhas quadradas, dos oceanos.
Representar os dados graficamente através de: (a) Histograma (Gráfico de Barras); (b) Polígono de
frequência simples (Gráfico de linhas); (c) Gráfico de setores.
Oceano
Pacífico (1) Atlântico (2)
Área
70,8
41,2
( milhões de milhas 2 )
Índico (3)
Antártico (4)
Ártico (5)
28,5
7,6
4,8
2- Segundo as estimativas do U.S. Geological Survey, as reservas mundiais de ouro em 2000
podem ser representadas pela tabela abaixo. Represente-a em: (a) Histograma (Gráfico de Barras);
(b) Polígono de frequência simples (Gráfico de linhas); (c) Gráfico de setores.
Utilize os valores em múltiplos de 1.000 t
Discriminação
Países
Brasil
África do Sul
Estados Unidos
Austrália
Canadá
Indonésia
China
Rússia
Peru
Uzbequistão
Outros Países
TOTAL
Reservas (t)
(p)
2000
1.800
19.000
5.600
4.000
1.500
1.800
...
3.000
200
5.300
5.900
48.100
Partic. (%)
3,7
39,5
11,6
8,3
3,1
3,7
......
6,2
.....
11,0
12,3
100,0
[Fontes: DNPM-DIRIN, USGS e GFMS. site:
http://www.dnpm.gov.br/dnpm_legis/suma2001/OURO.doc].
3- Elaborar o histograma pelos dados estatísticos fornecidos pelo Tribunal Superior Eleitoral
relativo a participação feminina nas candidaturas às Eleições de 2002:
Cargo
Feminino Masculino
Senador
8
46
Deputado Federal
42
471
Deputado Estadual
129
906
Deputado Distrital
5
19
Capítulo 2 - Distribuições de Frequências
32
4- Ainda segundo as estimativas do U.S. Geological Survey, a produção mundial de ouro no
período 1999-2000 pode ser representada pela tabela abaixo. Represente-a em um Gráfico em
colunas ou Barras Múltiplas.
.Discriminação
Países
Brasil
África do Sul
Estados Unidos
Austrália
Canadá
Indonésia
China
Rússia
Peru
Uzbequistão
Outros Países
Produção (t)
1999
2000p)
50
52
450
440
340
330
300
300
155
150
130
120
170
170
104
105
128
140
80
614
638
TOTAL
2.512
2.445
Site: http://www.dnpm.gov.br/dnpm_legis/suma2001/OURO.doc
Fontes: DNPM-DIRIN, USGS e GFMS
Notas: (p) Preliminar
(...) Não disponível, incluído em outros.
5- Represente na forma de histograma a série histórica:
a) do Produto interno bruto; b) da Renda nacional bruta; c) da Renda disponível bruta;
Principais agregados
macroeconômicos
Produto interno bruto
valor (1.000.000 R$)
Renda per capita (R$)
1999
2000
2001
2002
2003
963 846
1 101 255
1 198 736
1 346 028
1 556 182
5 771
6 430
6 896
7 631
8 694
Renda nacional bruta
939 739
1 068 658
1 153 452
1 294 084
1 501 032
(1.000.000 R$)
Renda disponível bruta
942 766
1 071 448
1 157 318
1 301 351
1 509 785
(1.000.000 R$)
Poupança bruta (1.000.000
150 238
190 793
200 817
249 212
317 172
R$)
Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisa, Departamento de Contas Nacionais
Sistema de
Contas Nacionais 1999-2003.
[Fonte: http://www.ibge.gov.br]
32
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
33
Respostas:
1Á rea co b erta p elo s
o cean o s
Á re a C o b e rta
Área Coberta pelos Oceanos
100
50
0
1
2
3
4
5
80
60
40
20
0
1
Oceano
2
3
4
5
Oceanos
1-(a)
1-(b)
1
2
3
4
5
1(c)
1-c) Cálculos:
70,8 → 152,9
(1)
x → 360°
152,9 x = 70,8.360 → 152,9 x = 25488 → x = 166,70°
41,2 → 152,9
(2)
→ 152,9 y = 14832 → y = 97°
y → 360°
28,5 → 152,9
→ 152,9 z = 10260 → y = 67,10°
(3)
z → 360°
7,6 → 152,9
(4)
→ 152,9 w = 2736 → w = 17,89°
w → 360°
(5)
t = 360 − (166,70 + 97 + 67,10 + 17,89) → t = 360 − 348,69 = 11,31°
Países
as
à f il
r i. .
Es
..
Au .
s ..
Ca .
...
In d
..
Rú .
ss
ia
Pe
r
Uz u
...
Ou
t...
20.000
15.000
10.000
5.000
0
Br
R e s e r v a e m O u r o (t )
20.000
18.000
16.000
14.000
12.000
10.000
8.000
6.000
4.000
2.000
0
Ã
B
E s fr ic a r a s
il
ta
do do
S
s
U ul
A u nid o
st s
rÃ
C a ¡lia
In n a d
do á
né
s
R ú ia
ss
ia
Uz
Pe
b
O e q ru
ut ui
ro s t
ã
s
Pa o
ís
es
R eservas de ouro (t)
2-
Páises
Capítulo 2 - Distribuições de Frequências
34
Brasil
África do Sul
Estados Unidos
Austrália
Canadá
Indonésia
Rússia
Peru
Uzbequistão
31000
906
900
800
700
600
Cargo
471
500
Feminino
400
Masculino
300
200
129
46
08
100
42
0
0
0519
0
700
600
500
400
300
200
100
0
Á
B
E s f r ic a r a s
i
ta
do do l
S
s
U n ul
A u id o
st s
r
C a á lia
In nad
do á
né
s
C h ia
i
R ú na
ss
ia
Uz
P
b
O e q e ru
ut u
r o is t
s
P a ão
ís
es
Produção Ouro (t) 1999/2000
4-
34
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
5- a)
2000000
P IB
1500000
1000000
500000
963846
1101255 1198736
1346028
1556182
Ano
PIB
1999
2000
2001
2002
2003
0
Ano
5-b)
2000000
1501032
1500000
1000000
1068658 1153452
939739
1294084
Ano
Renda nacional bruta
500000
1999
2000
2001
2002
2003
0
5- c)
2000000
1509785
1500000
1000000
942766
1071448 1157318
1301351
Ano
Renda disponível bruta
500000
1999
0
2000
2001
2002
2003
35
Capítulo III
Medidas de Tendência Central e de Posição (sem Intervalo de Classes)
Neste capítulo definiremos as medidas de tendência central - as médias, a mediana, a
moda - assim como as medidas de posição usuais - os quartis e os decentis. Também,
apresentamos algumas aplicações e orientamos na escolha da medida de tendência central
mais conveniente, de acordo com as características intrínsecas as respectivas definições.
I- Média, Moda, Mediana.
I.1- A Média
−
Para dados numéricos reais, o valor médio é geralmente simbolizado pela letra x e
−
representa a soma de todos os valores divido pelo número total de dados, ou seja: x =
∑ xii
n
.
Por exemplo, se um aluno tirou notas 5,0 e 8,0 em duas avaliações, o valor médio das
−
avaliações é de x =
x1 + x 2 5 + 8
=
= 6,5.
2
2
−
Exemplo: 1- Considerando-se o conjunto de dados abaixo, determine a média ( x ).
(a) 15, 18; 20; 13; 10; (b) 2, 0, 1, 0, 5, 18; (c) 1, 2, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 0, 3.
Resolução: (a) Quando se está calculando a média não é necessário organizar o rol de
dados em ordem crescente.
x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 15 + 18 + 20 + 13 + 10 76.
=
=
= 15,2.
5
5
5
−
x + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x6 2 + 0 + 1 + 0 + 5 + 18 26.
(b) x = 1
=
=
= 4,33.
6
6
6
−
1 + 2 + 3 + 4 + 2 + 1 + 3 + 5 + 0 + 3 24
(c) x =
=
= 2,4.
10
10
Para dados numéricos de natureza discreta, porém com repetição de elementos, pode-se
simplificar o cálculo. Por exemplo, no item (c) do exemplo dado logo acima, poderíamos
escrever:
−
1 + 2 + 3 + 4 + 2 + 1 + 3 + 5 + 0 + 3 0.1 + 1.2 + 2.2 + 3.3 + 2 + 4.1 + 5.1 24
=
= 2,4.
x=
=
10
10
10
−
Daí: x =
De modo mais geral, observe na resolução acima que cada valor de x é multiplicado pela
frequência correspondente. Se optarmos pela representação em forma de tabela, tem-se:
x
0
f
1
f .x
0.1 = 0
1
2
1.2 = 2
2
2
2.2 = 4
3
3
3.3 = 9
4
1
4.1 = 4
5
1
5.1 = 5
Total ∑ f .x = 24.
Em síntese, no caso de distribuição
discretas com repetição de dados, a
expressão para o cálculo é:
−
x=
∑ f .x 24
=
= 2,4.
∑f
10
Capítulo 3: Medidas de Tendência Central e de posição (sem Intervalo de Classes).
38
I.2- A Moda
A Moda, uma ideia bem próxima do conceito intuitivo, é o valor da sequência que tem
maior frequência. Por exemplo, na distribuição (2,5,3,8,9,4,2,1,5,4,8,9,0,2), o valor da moda é
Mo=2, pois o número 2 ressurge por três vezes, que é a maior frequência.
Caso a distribuição seja (2,5,3,3,9,4,2), a mesma é bimodal, pois apresenta duas modas,
ou seja, Mo1= 2 e Mo2= 3.
Um exemplo de distribuição trimodal é (1,0,1,2,0,1,2,3,4,2,4,4), com modas 1, 2 e 4.
I.3- A Mediana
O conceito de Mediana é o valor que divide uma distribuição em duas partes com a
mesma quantidade de valores. Neste caso, torna-se necessário fazer uma ordenação dos dados,
ou seja, montar o rol em ordem crescente ou em ordem decrescente (neste livro estaremos
realizando o rol em ordem crescente, a menos de qualquer indicação contrária).
Por exemplo, seja determinar o valor da mediana da sequência (2,5,3,3,9,4,2). Em
primeiro lugar, deve-se organizar o rol: (2,2,3,3,4,5,9). Como a distribuição tem sete valores
(uma ordem ímpar), o termo mediano é o 3, destacado em negrito.
Em uma sequência de ordem par, o valor mediano será a média dos dois valores situados
ao meio da distribuição. No exemplo (1,0,1,2,0,1,2,3,4,2,4,4), com doze valores, o rol em
ordem crescente é (0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4). Note que os dois valores centrais tem o
mesmo valor, que resulta na mediana igual a Md = 2.
Em outra situação, para a distribuição (2, 0, 1, 0, 5, 18), o rol fica (0, 0, 1, 2, 5, 18), com
1+ 2
valor mediano dado por M d =
= 1,5.
2
I.4- Outros exemplos e aplicações.
1- As notas de Estatística de um aluno universitário foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.
Determine a nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno.
Resposta: Organizando o ROL em ordem crescente (6, 8; 7,2; 7,2; 8,4; 8,7; 9,1).
Média = 7,9; Mediana = ( 7,2 + 8,4 )/2 = 7,8; Moda = 7,2
2- A tabela adiante apresenta o levantamento das quantidades de peças defeituosas para
cada lote de 109 unidades fabricadas em uma linha de produção de autopeças, durante um
período de 30 dias úteis. Considerando S a série numérica de distribuição de frequências de
peças defeituosas por lote de 109 unidades, julgue os itens abaixo.
(A) A moda da série S é 5.
(B) Durante o período de levantamento desses dados, o percentual de peças defeituosas
ficou, em média, abaixo de 3,7%.
(C) Os dados obtidos nos 10 primeiros dias do levantamento geram uma série numérica de
distribuição de frequências com a mesma mediana da série S.
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
Resolução:
. Para a série S de 30 valores temos:
Defeituosas fi FAC
x.f
1
4
4
1.4 = 4
2
5
9
2.5 = 10
3
6
15
3.6 = 18
4
5
20
4.5 = 20
5
5
25
5.5 = 25
6
3
28
6.3 = 18
7
2
30
7.2 = 14
∑ f .x = 109.
TOTAL
30 ---
39
(A) Falsa, pois a moda é 3.
(B) CORRETA, pois a média da distribuição
é: 109/ 30 = 3,63 %
(C) CORRETA, pois os 10 primeiros termos
da série são:
6+4+3+4+2+4+3+5+1+2
Em ordem crescente, temos:
1, 2, 2 , 3, 3 , 4 , 4 , 4, 5, 6 – mediana = 3,5
3- Um dado foi lançado 50 vezes. A tabela a seguir mostra os seis resultados possíveis e as
suas respectivas frequências de ocorrências:
Resultado 1
2
3
4
5
6
Frequência 7
9
8
7
9
10
A frequência de aparecimento de um resultado ímpar foi de:
a) 2/5
b) 11/25
c) 12/25
d) 1/2
e) 13/25
As frequências aparecimento de um resultado ímpar são: 7 + 8 + 9 = 24
A somatória das frequências é 50.
Resposta C: 24/ 50 = 12/25
4- O Departamento de Comércio Exterior do Banco X possui 30 funcionários com a
distribuição salarial em reais visualizada na tabela abaixo.
Quantos funcionários que recebem R$3.600,00 devem ser demitidos para que a mediana
desta distribuição de salários seja de R$ 2.800,00?
a) 8 ; b) 11 ;
c) 9 ;
d) 10 ;
e) 7
N° de
funcionários
10
12
5
3
Salários
(R$)
2 000,00
3 600,00
4 000,00
6 000,00
Fac
10
22
27
30
Classe mediana
Resposta D: Este é um exercício que exige uma interpretação conceitual.
Capítulo 3: Medidas de Tendência Central e de posição (sem Intervalo de Classes).
40
A atual mediana é ∑ f .x = 30 = 15. → que corresponde a Mediana de R$ 3.600,00
2
2
Uma das propriedades da mediana, é que quando o cálculo de ∑ fi / 2 coincide com a
frequência acumulada, a mediana é a média aritmética do valor de xi e xi + 1..
Para que a mediana se torna R$ 2 800,00, que é a média de 2 000 e 3 600, tem-se que:
∑ f .x 20
FAC =
=
= 10. Colocando estes resultados em uma nova tabela:
2
2
Número de
Salários em R$ Fac
funcionários
10
2 000,00
10
2
3 600,00
12
5
4 000,00
17
3
6 000,00
20
20
--Portanto, tem-se que demitir 10 funcionários com salário de 3 600 reais.
Verificando:
∑ fi = 20 = 10 → mediana = 2 000 + 3 600 000 = 2 800 Reais
2 2
2
5- Num curso de iniciação à informática, a distribuição das idades dos alunos, segundo o
sexo, é dada pelo gráfico abaixo.
Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar que:
a) o número de meninas com, no máximo, 16 anos é maior que o número de meninos nesse
mesmo intervalo de idades.
b) o número total de alunos é 19.
c) a média de idade das meninas é 15 anos.
d) o número de meninos é igual ao número de meninas.
e) o número de meninos com idade maior que 15 anos é maior que o número de meninas
nesse mesmo intervalo de idades.
Resposta:
a) Alternativa falsa, pois: O número de meninas com no máximo 16 anos é 1 + 2 + 1 = 4
e o n° de meninos coma te 16 anos é 2 + 1 + 4 = 7
b) Alternativa falsa, pois o número total de alunos e alunas é 20.
c) Alternativa falsa, pois: Meninas: (14.1 + 15.2 + 16.1 + 17.3 + 18.3 )/ 10 = 16,5
d) Alternativa correta, pois n° de meninos: 2 + 1 + 4 + 2 + 1 = 10 meninos e
n° de meninas é :1 + 2 + 1 + 3 + 3 = 10 meninas.
e) Alternativa falsa, pois n° de meninos com idade maior que 15 anos é: 4 + 2 + 1 = 7
meninos e o n° de meninas com idade maior que 15 anos é: 1 = 3 + 3 = 7 meninas
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
41
I.5- Exercícios.
1- Considerando-se o conjunto de dados abaixo, determine a média (x), a moda (Mo) e a
mediana (Md). Lembre-se de organizar os dados em ordem crescente.
a) 15, 18; 20; 13; 10; 16; 14.
b) 2, 3, 1, 2, 5, 7, 6, 5, 7, 4, 3, 2, 5, 9.
c) 1, 4, 4, 5, 6, 7, 10.
2- Os resultados do lançamento de um dado foram os dados abaixo da tabela primitiva.
Organize o ROL de dados brutos e faça a distribuição de frequências simples (f), frequência
relativa simples percentual (fr) e frequências acumuladas (Fac). Utilize uma ordenação
crescente de dados.
4
5
2
6
4
3
6
2
6
5
1
6
3
2
5
1
3
6
3
4
Pede-se:
a) Organizar e completar a tabela abaixo de distribuição de frequência sem intervalo de classe,
calculando a frequência simples (f); (b) Determine o valor da Moda e da Mediana; (c) Elabore o
polígono de frequência, o polígono de frequência acumulada e o histograma para a distribuição.
Dados Resultados
f
Fac
3- Calcular a média aritmética, a mediana (Md) e a Moda (M0) dos conjuntos abaixo:
a) A = {2, 5, 8, 9}.
b) B = {10; 14; 13; 15; 16; 18; 12}
c) C = {17; 18; 19; 20; 20; 20; 20; 21; 22; 23; 23; 24}.
d) D = {2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9}.
e) E = {5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9}.
f) F = {3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8 ,6}.
g) G = {20; 9; 7; 2; 12; 7; 20; 15; 7}.
h) H = {15; 18; 20; 13; 10; 16; 14}.
Respostas:
1a) média= 15,1 ; Amodal;
b) média= 4,36 ; Bimodal= 2 e 5;
c) Média= 5,29 ; Moda= 4;
. 2Resultados
f
Fac
1
2
2
2
3
5
3
4
9
4
3
12
5
3
15
6
5
20
Totais
20
Mediana= 15
Mediana= 4,5
Mediana= 5
Moda = 6 ( a maior frequência simples)
Mediana = 4, pois a sequência dada em forma de tabela
pode ser traduzida para a forma (1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4,
4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 5), com valores centrais 4 e 4, cuja
média é 4.
Outro modo: Primeiramente, você deve reconhecer a
classe mediana. Como a somatória das frequências simples
é Σ fi = 20, a classe mediana fica na metade deste valor, ou
seja, 10.
Procure, então a frequência acumulada
imediatamente superior, que no caso é 12 (4ª classe). Logo,
a mediana é 4.
Capítulo 3: Medidas de Tendência Central e de posição (sem Intervalo de Classes).
42
−
3- a) x = 6; Md=6,5 e Amodal.
−
b) Ordenando: (10; 12; 13; 14; 15; 16; 18) Valores: x 14; Md= 14 e amodal.
−
c) x =20,58 ; Md= 20; Mo= 20.
−
d) x =5,5; Md=5,5; Bimodal (modas 4 e 7).
−
e) Ordenando: (2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18). x =10,44; Md=10; Amodal.
−
f) x = 5,1; Md = 5; Mo = 5.
−
g) x = 11; Md = 9, Mo = 7.
h) 15,1; 15; Amodal.
II- A Média Ponderada e a Média Geométrica.
II.1- A Média Ponderada.
Considere uma distribuição formada por n números x1 , x2 , x3 , ..., xn. Anteriormente
definimos a média aritmética entre esses n números como a soma dos mesmos dividida por n,
−
isto é: x =
x1 + x 2 + x3 + ... + x n
.
n
No cálculo da média está implícito que cada valor xi tem igual importância (ou peso) que
os demais. Nenhum ‘vale mais’ ou ‘é mais importante’ que o outro, de modo que há uma
equidade de contabilização.
Isto não ocorre na média ponderada, onde a importância ou contribuição de uma
determinada variável é maior ou menor, dependendo do contexto. Num contexto de inflação,
por exemplo, o peso do aumento do valor do litro da gasolina é muito maior para o trabalhador
do que o aumento do valor do ingresso para ir ao estádio de futebol.
Em termos matemáticos, considere uma distribuição formada por n números reais x1 , x2
, x3 , ..., xn. A média ponderada entre esses n números, de acordo com pesos p1 , p2 , p3 , ..., pn
é dada por:
−
x=
x1 . p1 + x 2 p 2 + x3 p 3 + ... + x n p n
p1 + p 2 + p 3 + ... + p n
.Um grupo de 100 funcionários de uma empresa XNADA, com salários mensais
distribuídos de acordo com a tabela abaixo, pede-se determinar o valor do salário médio.
Valor do salário (R$)
Nº de funcionários
1.000,00
40
3.000,00
30
5.000,00
20
10.000,00
10
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
43
Resolução:
Os números de funcionários representam os pesos, ou seja, p1 = 40, p2 = 30, p3 = 20 e
p4
= 10. Os valores da variável salário são x1 = R$ 1.000,00, x2 = R$ 3.000,00,
x3 = R$ 5.000,00 e x4 = R$ 10.000,00. Então, o valor da média (ponderada) é:
−
x=
x1 . p1 + x 2 p 2 + x3 p 3 + .x 4 p 4 1000.40 + 3000.30 + 5000.20 + 10000.10 330000
=
=
= R$3.300,00.
p1 + p 2 + p 3 + p 4
40 + 30 + 20 + 10
100
Note que os maiores valores do salário de R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00 tiveram grande
peso na média, apesar de existirem 10 funcionários que ganham R$ 10.000,00.
II.2- A Média Geométrica.
Em relação a média geométrica de uma coleção de valores reais x1 , x2 , x3 , ..., xn, esta é
determinada pela expressão G = n x1 .x 2 .x3 . ..... .x n . Seja o exemplo da distribuição (4, 5, 6, 7,
10). A média geométrica é dada por: G = 5 x1 .x 2 .x3 . x 4 ..x5 = 5 4.5.6.7.10 = 5 8400 = 6,093.
A média geométrica entre 12, 14 e 16 é G = 3 x1. x2 . x3 = 3 12.14.16 = 3 2688 = 13,90.
A média geométrica é utilizada em administração e economia para determinar as taxas
médias de variação, de crescimento, ou em razões médias.
Obs.: A média geométrica é sempre menor que a média aritmética. No 1º exemplo, a
−
distribuição (4, 5, 6, 7, 10) tem média aritmética x = 6,4 ,maior que G = 6,093. No 2º exemplo,
−
a distribuição (12, 14, 16) tem média aritmética x = 14, maior que G = 13,90.
III- Aplicações
(ENEM- modificado) Um sistema de radar é
programado para registrar automaticamente a
velocidade de todos os veículos trafegando
por uma avenida, onde passam em média 300
veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima
velocidade permitida. Um levantamento
estatístico dos registros do radar permitiu a
elaboração da distribuição percentual de
veículos de acordo com sua velocidade
aproximada.
1- O valor médio das velocidades dos veículos que trafegam nessa avenida é de:
(A) 35 km/h (B) 44 km/h (C) 55 km/h; (D) 76 km/h; (E) 85 km/h.
Resolução: O valor médio das velocidades representa a média ponderada, onde os pesos são
o número de veículos. Assim:
5.20 + 15.30 + 30.40 + 40.50 + 6.60 + 3.70 + 1.80
MP =
5 + 15 + 30 + 40 + 6 + 3 + 1
Capítulo 3: Medidas de Tendência Central e de posição (sem Intervalo de Classes).
MP =
44
100 + 450 + 1200 + 2000 + 360 + 210 + 80 4440
=
= 44 km / h.
100
100
2- As notas de um aluno na disciplina de matemática numa escola que tem ano letivo
dividido em 3 trimestres são: 1° Trimestre 8,0 e 2° Trimestre 5,0. Determine a nota que ele
necessita obter no 3° Trimestre, dado que a média anual na escola é:
a) 6,0;
b) 6,0, mas os pesos nos trimestre são dados por:
Trimestre 1° trimestre 2° trimestre 3° trimestre
Pesos
2
3
4
Solução:
a) A média a ser utilizada aqui é a aritmética.
Nota do 1° trimestre + Nota do 2° trimestre + Nota do 3° trimestre 8 + 5 + x
MA =
=
Quantidade de notas
3
Mas a média anual deve ser igual a 6,0. Então:
13 + x
= 6 → 13 + x = 18 → x = 5
3
b) A média a ser utilizada aqui é a ponderada, onde os pesos dados na tabela. Assim:
p .Nota do 1° trimestre + p2 .Nota do 2° trimestre + p3 .Nota do 3° trimestre
MP = 1
p1 + p 2 + p3
2.8 + 3.5 + 4.x 16 + 15 + 4.x 31 + 4.x
MP =
=
=
2 +3 + 4
9
9
Mas a média é 6,0. Então:
31 + 4.x
= 6 ⇒ 31 + 4 x = 9.6 ⇒ 31 + 4 x = 54 ⇒ 4 x = 54 − 31 ⇒ 4 x = 23
9
23
Então : x =
= 5,75 . Assim, o aluno deve tirar 5,75 ou mais.
4
3- Uma fábrica de chocolates utiliza vários tipos
de embalagens. No último ano o quadro mostra a
saída de chocolates nos diversos tipos de embalagens.
a) Qual o valor médio das embalagens, em gramas?
b) Se a empresa decidir padronizar as embalagens em
um só tipo, qual seria a melhor escolha.
Tipos de
N° de
embalagens embalagens
100g
100 000
200g
80 000
250g
70 000
500g
50 000
1 kg
20 000
Resolução:
a) O valor médio é dado pela média ponderada, onde os pesos são dados pela massa das
embalagens. Chamando de pi a massa de cada embalagem e de Ni o número de embalagens
correspondente, temos:
p .N + p2 .N 2 + p3 .N3 + p4 N 4 + p5 .N5
MP = 1 1
Σ n° de embalagens
100. 100 000 + 200. 80 000 + 250. 70 000 + 500. 50 000 + 1000. 20 000
MP =
100 000 + 80 000 + 70 000 + 50 000 + 20 000
MP =
10 000 000 + 16 000 000 + 17 500 000 + 25 000 000 + 20 000 000 88500000
=
= 276,56 g
320 000
320 000
b) A de 100g, por dois motivos: Por ser a moda, que possui a maior venda. E por poder
ser utilizada para empacotar qualquer quantidade.
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
45
4- (FUVEST/G.V. 92) Num determinado país a população feminina representa 51% da
população total. Sabendo-se que a idade média (média aritmética das idades) da população
feminina é de 38 anos e a da masculina é de 36 anos. Qual a idade média da população?
a) 37,02 anos;
b) 37,00 anos;
c) 37,20 anos;
d) 36,60 anos; e) 37,05 anos
Solução: Considere a seguinte organização de dados:
População feminina População masculina
51%
49%
38 anos
36 anos
Como o exercício solicita a idade média da população, os pesos são os percentuais: p1=
51% e p2= 49%.
MP =
p1.N1 + p2 .N 2 51.38 + 49.36 1938 + 1764 3702
=
=
=
= 37,02 anos
p1 + p2
51 + 49
100
100
5- Em um conjunto de 100 observações numéricas, podemos afirmar que:
a) a média aritmética é maior que a mediana.
b) a mediana é maior que a moda.
c) 50% dos valores estão acima da média aritmética.
d) 50% dos valores estão abaixo da mediana.
e) 25% dos valores estão entre a moda e a mediana.
Resposta correta: d)
6- Julgue o item (coloque V ou F).
O sistema de avaliação de uma escola consiste da realização de quatro provas parciais e
uma prova geral. Sendo MP a média aritmética simples das provas parciais, a média final MF é
obtida calculando-se a média aritmética simples de MP e a prova geral. Neste caso, o peso da
prova geral, em relação às provas parciais, no cômputo de MF é igual a 4. ( ). Justifique
Solução: Verdadeira, pois:
Seja PPi as notas das provas parciais e PG a nota da prova geral. Como são 4 notas de PPi,
ΣPPi
então a média simples dela, PP =
. A média final MF é dada por:
4
ΣPP
ΣPP 4 PG
+ PG
+
PP + PG
4
4
4 = ΣPP + 4 PG = ΣPP + 4 PG
i
i
=
=
MF =
2
2
2
8 i
8
8
PP + PP2 + PP3 + PP4 + 4 PG
MF = 1
, ou seja, PG tem peso 4 em relação a cada PPi .
8
7- (F.C.Chagas) A média aritmética de 11 números é 45. Se o número 8 for retirado do
conjunto, a média aritmética dos números restantes será:
a) 48,7 b) 48 c) 47,5
d) 42 e) 41,5.
Solução:
11
Seja M11 a média das 11 medidas, dada por:
M 11 =
∑
1
11
xi
= 45
Podemos reescrevê-la como:
10
xi + 8
X +8
∑
M 11 = 1
= 45, ou ainda : 10
= 45
11
11
onde: X10 é a soma dos 10 números restantes, exceto o oito que foi retirado.
Capítulo 3: Medidas de Tendência Central e de posição (sem Intervalo de Classes).
46
Resolvendo-a, temos:
X
+ 8
10
11
= 45 → X
10
+ 8 = 11 . 45 → X
10
+ 8 = 495 → X
10
= 487
Daí, a média dos 10 números pedida é: 487/10= 48,7
8- Calculamos a média aritmética de dois números, somando-os e dividindo o resultado por
2. A média aritmética das raízes da equação 2x2-4x-11=0 é:
a) 2 b) –2 c) 1 d) –1 e) n.d.a
Solução:
A equação de 2° grau 2x 2 - 4x - 11 = 0 tem soluções :
− b ± delta
−b+ ∆
−b− ∆
; onde x1 =
e x2 =
2.a
2.a
2.a
A média aritmética destas duas raízes x1 e x 2 é dada por :
x=
− b + ∆ − b − ∆ − b + ∆ − b − ∆ − 2b − b
+
x1 + x 2
−b
2.a
2.a
2.a
=
=
=
= 2.a = .a =
x
2
2
2
2
2
2.a
_
−b
4
Ou seja : x =
=
=1
2.a 2.2
_
9- As notas de um candidato em suas provas de um concurso foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e
7,2. A nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno, são respectivamente:
a) 7,9; 7,8; 7,2 ; b) 7,2; 7,8; 7,9 ; c) 7,8; 7,8; 7,9 ; d) 7,2; 7,8; 7,9 ; e) 7,8; 7,9; 7,2
Resposta: A
10- Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos,
é 16. O maior valor que um desses inteiros pode assumir é
a) 16
b) 20
c) 50
d) 70
e) 100
Solução:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5
= 16
5
O valor de x5 será máximo quando os outros quatro valores de x forem mínimos. Como
os xi são inteiros positivos, temos: x1=1, x2 = 2, x3=3 e x4 = 4, nesta, ou em qualquer ordem.
Substituindo, vem:
1 + 2 + 3 + 4 + x5
= 16 → 10 + x5 = 80 → x5 = 70.
5
11- Define-se a média aritmética de n números dados como o resultado da divisão por n da
soma dos n números dados. Sabe-se que 3,6 é a média aritmética de 2,7; 1,4; 5,2; e x. O
número x é igual a:
a) 2,325
b) 3,1
c) 3,6
d) 5,1
e) 6,12
2,7 + 1,4 + 5,2 + x
Solução:
= 3,6 → 9,3 + x = 14,4 → x = 14,4 − 9,3 = 5,1.
4
12- O gráfico representa, em milhares de toneladas, a produção no Estado de São Paulo
de um determinado produto agrícola entre os anos de 1990 e 1998.
Analisando o gráfico, observa-se que a produção
a) foi crescente entre 1992 e 1995.
b) teve média de 40 mil toneladas ao ano.
c) em 1993 teve acréscimo de 30% em relação ao ano anterior.
d) a partir de 1995 foi decrescente.
e) teve média de 50 mil toneladas ao ano.
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
47
Resposta: E
13- Observe o demonstrativo do consumo de energia elétrica:
Para conhecimento, demonstramos a seguir a evolução do consumo de energia elétrica nos
últimos meses. Considere que o consumo médio, de agosto/98 a dezembro/98, foi igual ao que
ocorreu de janeiro/99 a abril/99. O consumo no mês de abril de 99, em kWh, foi igual a:
a) 141
b) 151
c) 161
d) 171
Solução: O consumo médio entre agosto/98 e dez/98 é dado por:
235 + 150 + 182 + 215 + 248 1030
x=
=
= 206.
5
5
O consumo médio entre janeiro/99 e abril/99 é dado por:
268 + 158 + 257 + consumo em abril
683 + a
= 206 →
= 206 → 683 + a = 824 → a = 141
4
4
14- Observe os gráficos a seguir, que representam, em reais, as vendas e os lucros anuais
de uma empresa no período de 1990 a 1995. De acordo com os gráficos, calcule:
a) a média, em milhões de reais, das vendas dessa empresa no período considerado;
b) a razão entre o lucro e a venda em 1992.
Capítulo 3: Medidas de Tendência Central e de posição (sem Intervalo de Classes).
Solução: a) Vendas: x =
48
2 + 4 + 6 + 3 + 1 + 2 18
=
= 3 milhôes.
6
6
b) Lucros: y = 200000 + 400000 + 600000 + 200000 + 300000 + 500000 = 2 200 000 = 366 666,67
6
y
Razão lucro/venda: Razão = lucro = = 366 666,67 = 0,1222 = 12,22%
venda x
3 000 000
6
Para finalizar as medidas de tendência central (média, moda e mediana), colocamos um
critério para comparação entre estas medidas de tendência central.
Critério
Média
Mediana
Moda
Uso cotidiano
Às vezes
Sempre
Pode não haver
Não, pois pode haver
mais de uma moda.
Existência
Mais comum/mais
familiar
Sempre
Unicidade
Sim
Sim
Afetada pelos
extremos?
Sim
Não
Não
Maior estabilidade e
adequada para
cálculos, Tratamento
algébrico ulterior e
métodos estatísticos
Não é influenciada por
valores extremos ou
erro de alguma medida,
que
afetariam a média.
Valor mais típico em
variáveis qualitativas;
Medida rápida e
aproximada.
Frequência de uso
Vantagem
IV- Medidas de Posição: Percentis e Quartis
IV.1- Os Quartis.
As Medidas de posição – os percentis e os quartis – não são medidas de posição central,
mas representam medidas importantes do modo como a distribuição de frequências se
comporta.
Os quartis representam as frações de ¼ de uma distribuição, ou seja, como se situa o
primeiro quarto (1º quartil), o segundo quarto (o 2º quartil) e o terceiro quarto (3º quartil),
conforme indicado na tabela abaixo.
Separatriz
1º quartil
2º quartil
3º quartil
Fração
1/4
2/4 ou 1/2
3/4
Como o 2º quartil (2/4) corresponde a fração ½, então o 2º quartil corresponde a
mediana da distribuição, ou seja, o valor que divide uma distribuição em duas partes iguais.
Os quartis são denominados separatrizes, pois demarcam duas partes de uma
distribuição, conforme pode ser visualizado na tabela acima.
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
49
Exemplo: 1- A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela a seguir:
a) Qual é a mediana dos salários dessa empresa?
b) Determine o 1° quartil; (c) Determine o 3° quartil.
N° de
funcionários
500.000,00
10
1.000.000,00
5
1.500.000,00
1
2.000.000,00
10
5.000.000,00
4
10.500.000,00
1
Total
31
Salário (R$)
Resolução:
Salário (R$)
500,00
1.000,00
1.500,00
2.000,00
5.000,00
10.000,00
Total
n° de funcionários
10
5
1
10
4
1
31
FAC
10
15
16
26
30
31
----
classe do 1º quartil
classe mediana
classe do 3º quartil
(a) Como a classe mediana se situa em ∑ f = 31 = 15,5, o salário que divide a distribuição
2
2
ao meio é de R$ 1.500,00. Isto pode ser obtido construindo a frequência acumulada e
observar o valor mais próximo superior a 15,5, no caso, 16, que corresponde a classe
mediana.
(b) Como ∑ f = 31 = 7,75, o salário que divide a distribuição no primeiro quarto é de R$
4
4
500,00. Isto pode ser obtido construindo a frequência acumulada e observar o valor mais
próximo superior a 7,75, no caso, 10, que corresponde a classe do 1º quartil.
(c) Como 3. ∑ f = 3.31 = 23,25, o salário que divide a distribuição no terceiro quarto é de
4
4
R$ 2.000,00. Isto pode ser obtido construindo a frequência acumulada e observar o valor
mais próximo superior a 22,25, no caso, 26, que corresponde a classe do 3º quartil.
IV.2- Os Percentis.
De modo análogo aos quartis, os percentis não são medidas de posição central, mas
representam medidas importantes do modo como a distribuição de frequências se comporta.
Os percentis representam as frações de 1
100
nas distribuições de freqüência. Por
exemplo, o percentil P90 representa o ponto onde uma distribuição reparte 90% dos valores e
os outros 10% restantes.
Capítulo 3: Medidas de Tendência Central e de posição (sem Intervalo de Classes).
50
No caso do exemplo dado acima, resolvido em relação aos quartis, o percentil P90
corresponderia a 90. ∑ f = 90.31 = 27,9, com um salário que corresponde a R$ 5.000,00. Isto
100
100
pode ser obtido construindo a frequência acumulada e observar o valor mais próximo superior
a 27,9, no caso, 30, que corresponde a classe P90.
Salário (R$)
500,00
1.000,00
1.500,00
2.000,00
5.000,00
10.000,00
Total
n° de funcionários
10
5
1
10
4
1
31
FAC
10
15
16
26
30
31
----
classe P90
Caso a situação fosse determinar o percentil P38, de 38. ∑ f = 38.31 = 11,78, obtém-se um
100
100
salário de R$ 1.000,00, dado que a frequência acumulada imediatamente superior é 15.
Capítulo IV
Medidas de Tendência Central e de Posição (com Intervalo de Classes).
No capítulo anterior definimos as medidas de tendência central e as medidas de posição para
distribuições discretas. No presente capítulo estenderemos o estudo das médias, da mediana, da
moda, assim como dos quartis e dos decentis para o caso das distribuições contínuas
I- Medidas de Tendência Central: Média, Moda, Mediana.
IV.1- A Média em Distribuições Contínuas
−
A média é dada pela expressão x =
∑ f .x m
, onde xm representa o ponto médio de cada classe.
∑f
Exemplo: Considere a distribuição de freqüências abaixo, com iguais amplitudes de intervalo.
a) Complete os dados da tabela de distribuição de freqüências.
b) Determine a média.
Nº da Classe
1
2
Classe
0 ⌐ 2
2 ⌐4
4 ⌐6
6 ⌐8
f
3
Fac
8
8
22
26
30
TOTAIS
Solução:
Nº da
Classe
1
2
3
4
5
6
TOTAIS
−
x=
Classe
f
xi
f. xi
0 ⌐2
2 ⌐4
4 ⌐6
6 ⌐8
8 ⌐ 10
10 ⌐ 12
3
5
8
6
4
4
30
1
3
5
7
9
11
3
15
40
42
36
44
180
∑ f .xm 180
=
=6
∑f
30
(xi = ponto médio do intervalo de classe).
IV.2- A Moda em Distribuições com Intervalo de Classes.
D1 = f mod al − f (anterior )


D2 = f mod al − f ( posterior )
D1

M o = l* +
.h * , onde 
h = amplitude mod al
D1 + D2

*
l = lim ite inf erior da classe mod al
.
Capítulo 3: Medidas de Tendência Central e de posição (com Intervalo de classes)
52
No exemplo anterior, vamos determinar a moda.
A classe modal é aquela que possui a maior freqüência simples. No caso, é a 3ª classe (com
intervalo defino por 4 ⌐ 6). O valor da freqüência modal é f*= 8, o valor da freqüência anterior a
classe modal é f(ant) = 5, o valor da frequência posterior a classe modal é f(post) = 6 e o limite
inferior da classe é l*= 4.
D1 = f* - f(anterior) = 8 – 5 = 3
D2 = f* - f(posterior) = 8 – 6 = 2
D1
3
6
M o = l* +
.h * = 4 +
.2 = 4 + = 5,2.
D1 + D2
3+ 2
5
IV.3- A Mediana em Distribuições com Intervalo de Classes.
FACTOTAL
2
M d = l* +
[

l * = lim ite inf erior da classe mediana.

− FAC anterior ]
 FAC TOTAL = Frequencia acumulada da classe mediana
*
.h , onde  FAC ant = Frequencia acumulada anterior a classe mediana
f*

h * = amplitude da classe mediana.


f * = frequência da classe mediana.
Continuando com os dados do exemplo anterior, vamos determinar a mediana.
Nº da
Classe
1
2
3
4
5
6
TOTAIS
Classe
f
FAC
0 ⌐ 2
2 ⌐4
4 ⌐6
6 ⌐8
8 ⌐ 10
10 ⌐ 12
3
5
8
6
4
4
30
3
8
16
22
26
30
Primeiramente, você deve reconhecer a classe mediana. Como a somatória das freqüências
simples é Σ fi = 30, a classe mediana fica na metade deste valor, ou seja, 15. Procure, então a
freqüência acumulada imediatamente superior, que no caso é 16 (3ª classe). Então, l* = 4. O valor
de FAC TOTAL = 30; h* = amplitude amostral da classe mediana é 2; f* = freqüências simples da
classe mediana= 8
FACTOTAL
− FAC anterior ]
[15 − 8]
2
M d = l* +
.h = 4 +
.2 = 5,75.
*
8
f
[
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
53
I.4- Exercícios Resolvidos
1- Dada a distribuição de freqüências de clientes que utilizam a operação de depósito de
cheques no terminal eletrônico de uma determinada agência de banco com intervalo de classes,
pede-se: (a) O valor da Média (x); (b) O valor da Moda (Mo); (c) O valor da mediana (Md)
Número de
clientes
0⌐5
5 ⌐ 10
10 ⌐ 15
15 ⌐ 20
20 ⌐ 25
TOTAL
freqüência
simples (f)
50
90
70
60
30
freqüência
relativa (%)
Freqüência
acumulada
Solução:
Número de
clientes
0⌐5
5 ⌐ 10
10 ⌐ 15
15 ⌐ 20
20 ⌐ 25
TOTAL
−
a) x =
freqüência freqüência Freqüência
x
simples (f) relativa (%) acumulada i (ponto médio)
50
16,67
50
2,5
90
30
140
7,5
70
23,33
210
12,5
60
20
270
17,5
30
10
300
22,5
300
100
----
fi . xi
2,5. 50=125
7,5. 90= 675
12,5.70= 875
17,5.60= 1050
22,5.30= 675
Soma =3400
∑ f .xm 3400
=
= 11,33.
∑f
300
b) Moda: A classe modal é aquela que possui a maior freqüência simples. No caso, é a 2ª classe
(de 5 a 10)
D1 = f* - f(anterior) = 90 – 50 = 40
D2 = f* - f(posterior) = 90 – 70 = 20
M o = l* +
D1
40
200
.h * = 5 +
.2 = 5 +
= 8,33.
D1 + D2
40 + 20
60
c) Mediana.
Primeiramente, você deve reconhecer a classe mediana. Como a somatória das freqüências
simples é Σ fi = 300, a classe mediana fica na metade deste valor, ou seja, 150. Procure, então a
freqüência acumulada imediatamente superior, que no caso é 210 (3ª classe – de 10 a 15). Então, l*
= 10. O valor de FAC TOTAL = 300, h* = amplitude amostral da classe mediana é 5 e f* (freqüências
simples da classe mediana) = 70.
FACTOTAL
− FAC anterior ]
[150 − 140]
2
M d = l* +
.h = 10 +
.5 = 10,71.
*
70
f
[
54
.
Capítulo 3: Medidas de Tendência Central e de posição (com Intervalo de classes)
2- A tabela abaixo apresenta uma distribuição de freqüência do saldo médio de clientes de um
pequeno banco num determinado mês.
Saldo médio (R$) 1100 ⌐ 1200 ⌐ 1300 ⌐ 1400 ⌐ 1500
Nº de Clientes
600
500
350
250
Pede-se: (a) A média; (b) A moda; (c) A mediana
Resolução:
Nº da Classe
1
2
3
4
TOTAIS
−
a) x =
Classe
1100 ⌐ 1200
1200 ⌐ 1300
1300 ⌐ 1400
1400 ⌐ 1500
f
600
500
350
250
Σf = 1700
xm
1150
1250
1350
1450
f. xm
1150.600 = 690.000
1250.500 = 625.000
1350.350 = 472.500
1450.250 = 362.500
Σ f. xm = 2.150.000
FAC
600
1100
1450
1700
∑ f .xm 2150000
=
= 213,2353.
∑f
1700
b) Moda: A classe modal é aquela que possui a maior freqüência simples. No caso, é a 1ª classe
(1100 ⌐ 1200)
D1 = f* - f(anterior) = 600 – 0 = 600
D2 = f* - f(posterior) = 600 – 500 = 100
M o = l* +
D1
600
60000
.h * = 1100 +
.100 = 1100 +
= 54,54
D1 + D2
600 + 500
1100
c) Mediana.
Para reconhecer a classe mediana, determina-se a somatória das freqüências simples
(Σ fi =
1700), de modo que a classe mediana fica na metade deste valor, ou seja, 850. Procure, na coluna da
freqüência acumulada, o valor imediatamente superior, que no caso é 1100
(2ª classe: 1200 ⌐
1300). Então, l* = 1200. O valor de FAC TOTAL = 1700; h* = amplitude amostral da classe mediana é
100; f* = freqüências simples da classe mediana = 500.
FACTOTAL
− FAC anterior ]
[850 − 600]
*
2
Md = l +
.h = 1200 +
.100 = 1250.
*
500
f
[
3- 3- Determine a média, moda e mediana da distribuição de freqüências abaixo.
1
2
3
4
5
6
7
8
TOTAIS
Classe
0 ⌐ 2
2 ⌐4
4 ⌐6
6 ⌐8
8 ⌐ 10
10 ⌐ 12
12 ⌐ 14
14 ⌐ 16
f
4
8
18
27
15
11
10
7
100
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
55
(a)
1
2
3
4
5
6
7
8
TOTAIS
Classe
0 ⌐ 2
2 ⌐4
4 ⌐6
6 ⌐8
8 ⌐ 10
10 ⌐ 12
12 ⌐ 14
14 ⌐ 16
f
4
8
18
27
15
11
10
7
100
xm
1
3
5
7
9
11
13
15
f.xm
4
24
90
189
135
121
130
105
798
FAC
4
12
30
57
72
83
93
100
∑ f .xm 798
=
= 7,98.
∑f
100
b) Moda: A classe modal é aquela que possui a maior freqüência simples. No caso, é a
classe (6 ⌐ 8)
−
a) x =
4ª
D1 = f* - f(anterior) = 27 –18 = 9
D2 = f* - f(posterior) = 27 – 15 = 12
M o = l* +
D1
9
18
.h * = 6 +
.2 = 6 +
= 6,857.
D 1 + D2
9 + 12
21
c) Mediana.
Como a somatória das freqüências simples é Σ fi = 100, a classe mediana fica na metade deste
valor, ou seja, 50 e a classe mediana é a 4ª (6 ⌐ 8). Então, l* = 6, FAC TOTAL = 100,
h* = 2 e
f* (freqüências simples da classe mediana) = 27.
F ACTOTAL
− FAC anterior ]
[50 − 30]
2
M d = l* +
.h = 6 +
.2 = 7,48.
*
27
f
[
II- Medidas de Posição com Intervalo de Classes: Quartis e Percentis.
O conceito destas medidas de posição foram tratados no capítulo anterior. O quadro abaixo
apresenta as expressões para se determinar essas medidas de posição.
Medidas de Posição
1º Quartil
2º Quartil ou mediana
3º Quartil
Percentil
1. ∑ f
[
− F AC anterior ]
*
4
Q1 = l +
.h.
f*
2. ∑ f
1. ∑ f
[
− FAC anterior ]
[
− F AC anterior ]
*
4
2
Q2 = l * +
.
h
ou
.
M
=
l
+
.h
d
f*
f*
3. ∑ f
[
− FAC anterior ]
4
Q3 = l * +
.h.
f*
P. ∑ f
− FAC anterior ]
[ i
*
100
Pi = l +
.h.
f*
.
Capítulo 3: Medidas de Tendência Central e de posição (com Intervalo de classes)
56
II.1- Exemplos
1- Considere a distribuição de freqüências abaixo, com iguais amplitudes de intervalo. Determine:
(a) o 1º quartil; (b) a mediana; (c) o 3º quartil; (d) o 40º percentil.
Nº da Classe
1
2
3
4
5
6
TOTAIS
Classe
0 ⌐ 2
2 ⌐4
4 ⌐6
6 ⌐8
8 ⌐ 10
10 ⌐ 12
f
3
5
8
6
4
4
30
Classe
0 ⌐ 2
2 ⌐4
4 ⌐6
6 ⌐8
8 ⌐ 10
10 ⌐ 12
f
3
5
8
6
4
4
30
Solução:
Nº da Classe
1
2
3
4
5
6
TOTAIS
(a)
FAC
3
8
16
22
26
30
Para reconhecer a classe do 1º quartil determina-se a somatória das freqüências simples
(Σfi = 30), e efetua-se ¼ deste valor, ou seja, Σfi/4 = 30/4 = 7,5. Procure, na coluna da freqüência
acumulada, o valor imediatamente superior, que no caso é 8, na 2ª classe (2 ⌐ 4). Então, l* = 2,
h* = 2 (amplitude amostral da classe do 1º quartil), FAC (anterior) = 3 e a freqüências simples da classe
mediana é f* = 5.
(a) 1º Quartil
1. ∑ f
[
− FAC anterior ]
[7,5 - 3]
4
Q1 = l * +
.h. = 2 +
.2 = 2 + 1,8 = 3,8.
*
5
f
(b) Mediana: Σfi/2 = 30/2 = 15, o que implica a 3ª classe como mediana (4 ⌐ 6), onde l* = 4, h = 2,
f* = 8 e FAC (anterior) = 8
(b) mediana
(c)
1. ∑ f
[
− FAC anterior ]
[15 − 8]
*
2
.M d = l +
.h = 4 +
.2 = 4,875.
*
8
f
Para reconhecer a classe do 3º quartil determina-se a somatória das freqüências simples
(Σ fi = 30), e efetua-se ¾ deste valor, ou seja, 3.Σfi/4 = 3.30/4 = 90/4 = 22,5. Procure, na coluna da
freqüência acumulada, o valor imediatamente superior, que no caso é 26, na 5ª classe (8 ⌐ 10).
Então, l* = 8, h* = amplitude amostral da classe do 3º quartil é 2, FAC (anterior) = 22 e a freqüências
simples da classe mediana é f* = 4.
(c) 3º Quartil
3. ∑ f
− FAC anterior ]
[22,5 - 22]
*
4
Q3 = l +
.h. = 8 +
.2 = 8,25.
*
4
f
[
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
57
(d) ) A classe do P40 é obtida por 40.Σfi/100 = 40.30/100 = 1200/100 = 12. Procure, na coluna da
freqüência acumulada, o valor imediatamente superior, que no caso é 16, na 3ª classe
(4 ⌐ 6).
Então, l* = 4, h* = amplitude amostral da classe do 3º quartil é 2, FAC (anterior) = 8 e a freqüências
simples da classe mediana é f* = 8.
Pi . ∑ f
− FAC anterior ]
[12 − 8]
P40 = l * + 100
= 4+
.2 = 4 + 1 = 5,0.
*
f
8
[
(d) P40
2-- Considere a distribuição de freqüências abaixo, com iguais amplitudes de intervalo.
(b) Determine o 1º quartil; (b) Determine a mediana; (c) Determine o 3º quartil; (d) P30.
Número de
clientes
0⌐5
5 ⌐ 10
10 ⌐ 15
15 ⌐ 20
20 ⌐ 25
TOTAL
freqüência
simples (f)
50
90
70
60
30
300
Solução:
Número de
clientes
0⌐5
5 ⌐ 10
10 ⌐ 15
15 ⌐ 20
20 ⌐ 25
TOTAL
(a)
freqüência Freqüência
simples (f) acumulada
50
50
90
140
70
210
60
270
30
300
300
----
Para reconhecer a classe do 1º quartil determina-se a somatória das freqüências simples
(Σfi = 300), e efetua-se ¼ deste valor, ou seja, Σfi/4 = 300/4 = 75. Procure, na coluna da freqüência
acumulada, o valor imediatamente superior, que no caso é 140, na 2ª classe (5 ⌐ 10). Então, l* = 5,
a amplitude amostral da classe do 1º quartil é h* = 5, FAC (anterior) = 50 e a freqüências simples da
classe mediana é f* = 90.
(a) 1º Quartil
1. ∑ f
− FAC anterior ]
[75 - 50]
4
Q1 = l * +
.h. = 5 +
.5 = 6,39.
*
90
f
[
(b) Mediana: Σfi/2 = 300/2 = 150, o que implica a 3ª classe como mediana (10 ⌐ 15), onde l* = 10,
h = 5, f* = 70 e FAC (anterior) = 140
(b) mediana
1. ∑ f
− FAC anterior ]
[150 − 140]
2
.M d = l * +
.h = 10 +
.5 = 10,71.
*
f
70
[
.
Capítulo 3: Medidas de Tendência Central e de posição (com Intervalo de classes)
58
(c) Para reconhecer a classe do 3º quartil determina-se a somatória das freqüências simples (Σ fi = 300), e
efetua-se ¾ deste valor, ou seja, 3.Σfi/4 = 3.300/4 = 900/4 = 225. Procure, na coluna da freqüência
acumulada, o valor imediatamente superior, que no caso é 270, na 4ª classe (15 ⌐ 20). Então, l* = 15, h* =
amplitude amostral da classe do 3º quartil é 5, FAC (anterior) = 210 e a freqüências simples da classe mediana é
f* = 60.
3. ∑ f
− FAC anterior ]
[225 - 210]
4
Q3 = l +
.h. = 15 +
.5 = 16,25.
f*
60
[
(c) 3º Quartil
*
(d) A classe do P30 é obtida por 30.Σfi/100 = 30.300/100 = 9000/100 = 90. Procure, na coluna da freqüência
acumulada, o valor imediatamente superior, que no caso é 140, na 2ª classe (5 ⌐ 10). Então, l* = 5, h* =
amplitude amostral da classe do 3º quartil é 5, FAC (anterior) = 50 e a freqüências simples da classe mediana é f*
= 90.
Pi . ∑ f
− FAC anterior ]
[90 − 50]
P30 = l * + 100
= 5+
.5 = 7,22.
*
f
90
[
(d) P30
3- A tabela abaixo apresenta uma distribuição de freqüência do saldo médio de clientes de
um pequeno banco num determinado mês.
Saldo médio (R$) 1100 ⌐ 1200 ⌐ 1300 ⌐ 1400 ⌐ 1500
Nº de Clientes
600
500
350
250
Determine: (a) o 1º quartil; (b) a mediana; (c) o 3º quartil; (d) P 65.
Resolução:
Nº da Classe
1
2
3
4
TOTAIS
Classe
1100 ⌐ 1200
1200 ⌐ 1300
1300 ⌐ 1400
1400 ⌐ 1500
f
600
500
350
250
Σf = 1700
FAC
600
1100
1450
1700
(a) 1º quartil: Σfi = 1700; Σfi/4 = 300/4 = 425; 1ª classe; l* = 1100, h* = 100, FAC (ant) = 0 e f* = 600.
1. ∑ f
− FAC anterior ]
[425 - 0]
4
Q1 = l * +
.h. = 1100 +
.100 = 70,83.
*
f
600
[
(a) 1º Quartil
(b) Mediana: Σfi/2 = 1700/2 = 850; 2ª classe; l* = 10, h = 5, f* = 1200; FAC (anterior) = 600
[
(b)
*
.
M
=
l
+
d
mediana
1. ∑ f
− FAC anterior ]
[850 − 600]
2
.h = 1200 +
.100 = 1250.
*
f
500
(c) 3º quartil: Σfi = 1700; 3Σfi/4 = 1275; 3ª classe; l* = 1300, h* = 100, FAC (anterior) = 1100 e f* = 350.
3. ∑ f
− FAC anterior ]
[1275 - 1100]
4
Q3 = l +
.h. = 1300 +
.100 = 1350.
*
350
f
[
(c) 3º
Quartil
*
(d) Σfi = 1700; 65Σfi/100=1105; 3ª classe; l* = 1300, h* = 100, FAC (anterior) = 1110 e f* = 350.
(d)
P65
65 . ∑ f
− F AC
100
=l +
f*
[
P65
*
anterior
]
.h . = 1300 +
[1105 - 1100]
. 100 = 1301 , 43 .
350
Capítulo V: Medidas de dispersão ou de variabilidade
Para se resumir os dados de uma distribuição não basta anunciar o valor de medida
central (média, moda ou mediana). Por exemplo, dizer que a temperatura média de uma cidade
foi de 20ºC não quer dizer muita coisa. Qual foi a temperatura máxima? E qual foi a
temperatura mínima?
No caso, se a central de notícias informa que a temperatura mínima foi de 15ºC e a
máxima foi de 25ºC, com média 20ºC, não é a mesma coisa que uma temperatura mínima de
5ºC e máxima de 35ºC, que também apresenta média 20ºC.
As medidas de dispersão ou variabilidade permitem situar os dados de determinada
distribuição de modo mais completo e compreensível. As principais medidas de dispersão ou
de variabilidade estão resumidas abaixo.
a) Desvio: d = xi − x
b) Desvio Médio = dm = É a média dos módulos dos desvios, ou seja:
i=n
dm
∑
=
i =1
fi . di
Σf
f 1 . d 1 + f 2 . d 2 + .. + f i d i
, ou ainda : d m =
Σf
c) Desvio-Padrão: σ (SIGMA, símbolo padrão). Utilizaremos:
Para variáveis discretas: σ =
Para variáveis contínuas: σ =
∑f
.d i
i i
2
n
∑ f .x
i
n
2
i
∑f
−(
i
.xi
n
∑ f .x
i
) =
2
n
2
i
− x2
d) Variância: s = σ 2
e) Coeficiente de Variação (CV): CV =
σ
x
.100%
V.1- Medidas de dispersão ou de variabilidade em distribuições sem Intervalo de Classes
Exemplo: Os resultados do lançamento de um dado foram os dados abaixo da tabela
primitiva.
4
1
2
5
4
4
2
6
6
3
3
5
4
5
3
3
4
2
4
3
1
2
6
3
6
3
5
5
4
6
Pede-se:
a) o desvio médio; (b) o desvio-padrão; (c) a variância; (d) o coeficiente de variação.
Capítulo 5: Medidas de dispersão ou de variabilidade.
Solução:
Organizando o Rol em ordem crescente fica:
desvio
(xi)
f
f.xi
d = xi − x
1
2
1.2=2
d1= 1-3,8= -2,8
2
4
2.4=8
d2 = 2-3,8= -1,8
3
7
3.7=21 d3 = 3-3,8= -0,8
4
7
4.7=28
d4 = 4-3,8= 0,2
5
5
5.5=25
d5 = 5-3,8= 1,2
6
5
6.5=30
d6 = 6-3,8= 2,2
Σ Σf = 30 Σf.xi = 114
60
d = xi − x
f .d
f .d 2
2,8
1,8
0,8
0,2
1,2
2,2
2. 2,8=5,6
4. 1,8=7,2
7. 0,8=5,6
7. 0,2=1,4
5. 1,2=6
5. 2,2=11
Σf . d = 36,8
2. 2,82=15,68
4. 1,82=12,96
7. 0,82=4,48
7. 0,22=0,28
5. 1,22=7,2
5. 2,22=24,2
Σf .d 2 = 64,8
(a) Para se calcular o desvio médio, é necessário antes calcular a média e cada desvio.
A média fica: x =
Σf .xi 114
=
= 3,8
Σf
30
O desvio médio vale: d m =
O desvio padrão fica: σ =
∑
f .d
=
Σf
∑f
i i
.d i
36,8
= 1,23
30
2
Σf
A variância será: s = σ 2 = 2,16
O Coeficiente de variação será: CV =
64,8
= 2,16 = 1,47
30
=
σ
x
.100% =
1,47
.100% = 38,68%
3,8
V.2- Medidas de dispersão ou de variabilidade em distribuições com Intervalo de Classes.
Exemplo 1: Determinar o desvio médio, o desvio-padrão; a variância e o coeficiente de variação.
Classe
1
2
3
4
5
6
7
Totais
Intervalo
100 ⌐ 200
200 ⌐ 300
300 ⌐ 400
400 ⌐ 500
500 ⌐ 600
600 ⌐ 700
700 ⌐ 800
f
60
50
35
20
12
2
1
180
Solução: Os valores de xi representam o ponto médio de cada intervalo. Assim:
desvio
Intervalo
f
xi
f. xi
d = xi − x
f .d
100 ⌐ 200
200 ⌐ 300
300 ⌐ 400
400 ⌐ 500
500 ⌐ 600
600 ⌐ 700
700 ⌐ 800
Total
60
50
35
20
12
2
1
180
150
250
350
450
550
650
750
60.150= 9000
50.250= 12500
35.350= 12250
20.450= 9000
12.550= 6600
2.650= 1300
1.750= 750
d1= 150-285,56= -135,56
d2 = 250-285,56= -35,56
d3 = 350-285,56= 64,44
d4 = 450-285,56= 164,44
d5 = 550-285,56= 264,44
d6 = 650-285,56= 364,44
d7 = 750-285,56= 464,44
60.135,56= 8133,6
50.35,56 = 1778
35.64,44= 2255,4
20.164,44= 3288,8
12.264,44= 3173,28
2.364,44= 728,88
1.464,44= 464,44
Σf.xi = 51 400
Σf . d = 19822,4
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
A média fica: x =
Σf .x i 51400
=
= 285,56
Σf
180
∑
O desvio médio vale: d m =
Intervalo
100 ⌐ 200
200 ⌐ 300
300 ⌐ 400
400 ⌐ 500
500 ⌐ 600
600 ⌐ 700
700 ⌐ 800
Total
σ=
∑ f .x
i
61
f
60
50
35
20
12
2
1
180
f .d
Σf
xi
150
250
350
450
550
650
750
=
19822,4
= 110,12
180
f. xi2
60.150 = 1 350 000
50.2502= 3 125 000
35.3502= 4 287 500
20.4502= 4 050 000
12.5502= 3 630 000
2.6502= 845 000
1.7502= 562 500
2
Σf.x i = 17 850 000
2
2
i
− x2 =
n
17 850 000
17 850 000
− 285,56 2 =
− 285,56 2
180
180
σ = 99166,667 − 81544,514 = 17622,153 = 132,75.
A variância será: s = σ 2 = 17 622,153
O Coeficiente de variação será: CV =
σ
x
.100% =
132,75
.100% = 46,49%
285,56
Exemplo 2: A tabela abaixo indica as medidas associativas do número de erros de
digitação de uma amostra de trinta livros. Pede-se:
a) qual o número médio de erros por página?
b) qual o número mediano de erros por página?
c) qual é o desvio padrão?
d) Se a dissertação tem 180 páginas, qual o número
esperado de erros?
a) Resposta: X =
∑ f .X i
∑f
= 0,77
b) O número mediano de erros por página é 0,5 (média
entre o 15o. e 16o. elementos)
c) Desvio padrão:
s=
∑ f (X − X )
∑f
2
= 0,99
d) O número esperado de erros é:
0,77 x 180 = 138,6 = 139 erros esperados
Erros Freqüência
0
15
1
10
2
3
3
1
4
1
Total:
30
Erros
0
1
2
3
4
Total:
Freqüência
15
10
3
1
1
30
Capítulo 5: Medidas de dispersão ou de variabilidade.
62
Exemplo 3- Na tabela a seguir são fornecidas as alturas de 100 estudantes do sexo masculino
de uma Universidade.
Altura (cm)
nº de estudantes
151-158
5
159-166
18
167-174
42
175-182
27
183-190
8
Determinar: (a) altura média dos estudantes ( X ); (b) o desvio médio (DM);
Solução:
Altura
(cm)
151-158
159-166
167-174
175-182
183-190
(f)
Ponto
médio (xi)
154,5
162,5
170,5
178,5
186,5
5
18
42
27
8
Σf = 100
(a) X =
fi.xi
|xi - X |
f .|xi - X |
772,5
2925,0
7161,0
4819,5
1492,0
Σf.xi = 17170,0
17,2
9,2
1,2
6,8
14,8
86,0
165,6
50,4
183,6
118,4
Σ f .|X - X | = 604,0
∑ f . X 17170, 0
=
= 171, 70cm
100
∑f
(b) DM =
∑ f X−X
N
=
604, 0
= 6, 04cm
100
V.3- Exercícios:
1- Determinar a média, o desvio médio e o desvio-padrão.
Notas
5
6
7
8
9
10
TOTAL
f
4
6
8
4
2
1
2- Determinar a média, o desvio médio e o desvio-padrão.
Notas
0⌐2
2⌐4
4⌐6
6⌐8
8 ⌐ 10
TOTAL
freqüência
simples (f)
20
15
12
8
5
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
63
3- As idades dos alunos de uma classe está representada abaixo. Determinar a média, o
desvio médio e o desvio-padrão.
Idades
15 ⌐ 18
18 ⌐ 24
24 ⌐30
30 ⌐ 40
40 ⌐ 50
TOTAL
f
13
20
17
3
1
4- Os Custos mensais de produtos de uma empresa são dados pela tabela abaixo.
Determinar a média, o desvio médio e o desvio-padrão.
Custos
(mil Reais)
N° de
produtos
10 ⌐ 15
15 ⌐ 20
20 ⌐ 25
25 ⌐ 30
30 ⌐ 35
6
5
4
3
1
5- Determinar a média, o desvio médio e o desvio-padrão.
x
0⌐3
3⌐7
7 ⌐ 10
10 ⌐ 13
13 ⌐ 20
TOTAL
f
11
7
FAC
23
8
40
Respostas:
1Notas
f
5
4
6
6
7
8
8
4
9
2
10
1
Total
25
Média=
6,88
Desvio médio=
Desviopadrão=
f.xi
20
36
56
32
18
10
172
desvio
-1,88
-0,88
0,12
1,12
2,12
3,12
f.mod(d)
7,52
5,28
0,96
4,48
4,24
3,12
25,6
f.d^2
14,1376
4,6464
0,1152
5,0176
8,9888
9,7344
42,64
1,02
1,31
2Intervalo
f
0
2
20
2
4
15
4
6
12
6
8
8
8
10
5
Total
60
Média= 3,76667
Desvio médio= 2,2278
Desvio padrão= 2,5844
xi
1
3
5
7
9
f.xi
20
45
60
56
45
226
desvio
-2,76667
-0,76667
1,23333
3,23333
5,23333
f.d
-55,3334
-11,50005
14,79996
25,86664
26,16665
-0,0002
f.mod(d)
55,3334
11,50005
14,79996
25,86664
26,16665
133,6667
f.d^2
153,0893
8,816743
18,25323
83,63538
136,9387
400,7333
Capítulo 5: Medidas de dispersão ou de variabilidade.
64
3Idades
15
18
24
30
40
Total
f
13
20
17
3
1
54
18
24
30
40
50
xi
16,5
21
27
35
45
f.xi
214,5
420
459
105
45
1243,5
desvio
-6,5278
-2,0278
3,9722
11,9722
21,9722
f.d
-84,8614
-40,556
67,5274
35,9166
21,9722
-0,0012
f.mod(d)
84,8614
40,556
67,5274
35,9166
21,9722
250,8336
f.d^2
553,9582
82,23946
268,2323
430,0007
482,7776
1817,208
f.d
-41,0526
-9,2105
12,6316
24,4737
13,1579
0,0001
f.mod(d)
41,0526
9,2105
12,6316
24,4737
13,1579
100,5263
f.d^2
280,886
16,96666
39,88933
199,654
173,1303
710,5263
Média= 23,0278
Desvio médio= 4,6451
Desvio padrão= 5,801
4Idades
10
15
20
25
30
Total
f
6
5
4
3
1
19
15
20
25
30
35
xi
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
f.xi
75
87,5
90
82,5
32,5
367,5
desvio
-6,8421
-1,8421
3,1579
8,1579
13,1579
Média= 19,3421
Desvio médio= 5,2909
Desvio padrão= 6,1152
5x
0
3
7
10
13
Total
3
7
10
13
20
f
11
7
5
8
9
40
Média=8,3625
Desvio médio= 4,9513
Desvio padrão=5,6391
Fac
11
18
23
31
40
xi
1,5
5
8,5
11,5
16,5
f.xi
16,5
35
42,5
92
148,5
334,5
desvio
-6,8625
-3,3625
0,1375
3,1375
8,1375
f.d
-75,4875
-23,5375
0,6875
25,1
73,2375
0
f.mod(d)
75,4875
23,5375
0,6875
25,1
73,2375
198,05
f.d^2
518,033
79,14484
0,094531
78,75125
595,9702
1271,994
Capítulo VI: Aplicações dos Princípios Estatísticos
Neste capítulo apresentamos algumas situações com contextos na área de Gerenciais. A
intenção é oferecer uma possível transferência dos conhecimentos estatísticos abordados nos
capítulos anteriores em um contexto mais próximo a realidade dos cursos da referida área.
VI.1- Testes (1ª Bateria)
1- Num banco, um fiscal observa que há vários caixas, cada qual movimentando uma
quantidade de dinheiro. Em termos de variáveis, é correto afirmar que:
a) a quantidade de caixas é uma variável contínua e a quantia de dinheiro movimentada
é uma variável discreta.
b) a quantidade de caixas é uma variável discreta e a quantia de dinheiro movimentada é
uma variável contínua.
c) a quantidade de caixas e a quantia de dinheiro movimentada representam variável
discreta.
d) a quantidade de caixas e a quantia de dinheiro movimentada representa uma variável
contínua.
e) a quantidade de caixas é uma variável qualitativa e a quantia de dinheiro
movimentada é uma variável discreta
2- Uma empresa apresentou o seguinte balanço de vendas nos meses de Janeiro,
Fevereiro e Março de 2004:
Meses
Balanço (R$)
Janeiro
14 000 ,00
Fevereiro
21 000 ,00
Março
35 000 ,00
Total
70 000,00
Qual das afirmativas abaixo é errada.
a) O mês de Janeiro representa 20% do balanço do 1º trimestre de 2004.
b) O mês de Fevereiro representa 30% do balanço do 1º trimestre de 2004.
c) O mês de Fevereiro representa 50% do balanço do 1º trimestre de 2004.
d) O mês de Fevereiro representa um aumento de 50% nas vendas em relação a Janeiro.
e) O mês de Março representa um aumento de 100% nas vendas em relação Fevereiro.
3- Um pequeno banco, desejoso de realizar uma pesquisa a respeito da qualidade de
atendimento com seus clientes que aplicam em um só tipo de fundo de investimento do tipo
A, B, C e D, verificou que existem 1250 clientes nestas condições. Como o custo de tal
pesquisa seria muito alto resolveram obter uma amostra estratificada proporcional de 100
clientes. Verifique qual alternativa está errada.
Capítulo 6: Aplicações dos Princípios Estatísticos.
Opção de
Investimento
A
B
C
D
Totais
66
Clientes
Amostra
da clientela
500
x
350
y
250
z
150
w
1250
100
a) A amostra de clientes que investem só na opção A é de 40 clientes.
b) A amostra de clientes que investem só na opção B é de 28 clientes.
c) A amostra de clientes que investem só na opção C é de 24 clientes.
d) A amostra de clientes que investem só na opção D é de 12 clientes.
e) A amostra de 100 clientes corresponde a 8% do total de 1250 clientes que investem só nas
opções A, B, C e D.
4- Um banco, desejoso de melhorar a qualidade de atendimento dos caixas, resolveu
implantar um método de observação, que consiste em um inspetor atribuir notas de zero a dez
para um determinado caixa num certo período de tempo, nota esta que depende de fatores
como: o caixa está atendendo ou não um cliente, o atendimento é rápido e não ocorrem
reclamações do cliente. Desta nota depende a permanência do empregado na função de caixa.
Um determinado caixa obtém as seguintes notas: 9, 10, 7, 10 , 8, 0, 8, 7, 8, 9.
Verifique qual a alternativa errônea.
a) A amplitude amostral do caixa é 10.
b) A média aritmética do caixa é 7,6
c) A moda do caixa é 8.
d) A seqüência de notas acima apresentada representa um rol.
e) A mediana do caixa é 8.
5- Uma pesquisa de opinião foi realizada para
avaliar os níveis de audiência de alguns canais de
televisão, entre 20h e 21h, durante uma
determinada noite. Os resultados obtidos estão
representados no gráfico de barras a seguir. O
número de residências atingidas nessa pesquisa foi
aproximadamente 200. A taxa percentual que
representam os assinantes da TVC em relação ao
total pode ser expressa aproximadamente por:
a) 10 %;
b) 20 %;
Respostas:
1- B; 2- E;
c) 30%;
3- C;
d) 40%;
4- D;
5-A
e) 50%
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
67
VI.2- Testes (2ª Bateria)
As questões 1 e 2 estão baseadas no Quadro I.
Quadro I: Balanço patrimonial (em R$ mil)
Ativo
Passivo
Disponibilidades
1.500
Circulante
12.000
Caixa
30
Fornecedores
5.000
Bancos conta movimento
70
Empréstimos
3.600
Aplicações com liquidez
2.500
Tributos
2.500
Salários e encargos
2.000
5.000
Exigível a longo prazo
8.200
13.500
Empréstimos bancários
8.200
Patrimônio líquido
7.450
Capital social
5.000
Circulante
18.750
Contas a receber
Estoques
Despesas do período seguinte
250
Permanente
7.400
Capital a Integralizar
Investimentos
1.200
Reservas de capital
2.000
Imobilizado
6.000
Reservas de lucros
2.500
Diferido
200
Total
27.650
Lucros acumulados
Total
(2.600)
550
27.650
1- O quadro I mostra informações referentes ao balanço patrimonial de uma empresa.
Com relação ao Ativo, considerando os itens disponibilidades, circulante e
permanente, qual a alternativa correta que indica, em Reais, os valores da moda e da
média entre estes valores, respectivamente:
a) 2 600,00 e 9 583,33
b) 18 750,00 e 9 583,33
c) 7 400,00 e 28 750,00
d) 9 583,33 e 28 750,00
e) 18 750,00 e 28 750,00
2- Com relação ao item circulante, qual a taxa de evolução (percentual) dos valores do
ativo em relação ao passivo?
a) 143,13%;
b) 135,11 %; c) 122,57%; d) 109,47%;
e) 56,60%
Capítulo 6: Aplicações dos Princípios Estatísticos.
68
A tabela abaixo se refere as questões 3, 4 e 5.
2- Considerando que os custos abaixo referem-se a produção de 20 unidades qual é o
custo médio (unitário) na produção de 20 unidades do produto.
3Aluguel do Prédio
R$ 14.000,00
Depreciação dos Equipamentos
R$
3.000,00
Energia Elétrica
R$
4.000,00
Mão-de-obra Direta
R$ 40.000,00
Matéria-prima Direta
R$ 30.000,00
Telefone
R$
1.000,00
Os custos diretos são variáveis proporcionais.
(a)
(b) R$ 4.600,00; b) R$ 3.680,00; (c) R$ 4.380,00; (d) R$ 3.500,00 (e) R$ 2.800,00
Questões 4, 5 e 6.
A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência dos salários mensais, em reais, de 77
funcionários da empresa Tudo Em Cima LTDA.
Salários
(R$)
3.000 ⌐ 4000
4.000 ⌐ 5000
5.000 ⌐ 6000
6.000 ⌐ 7000
7.000 ⌐ 8000
8.000 ⌐ 9000
9.000 ⌐ 10.000
TOTAIS
Número de
funcionários
20
15
12
10
8
7
5
4- Em relação a essa tabela, a porcentagem de funcionários que ganham menos de R$
6.000,00 é de:
a) 45,45%;
b) 56,74%;
c) 61,04%;
d) 67,93 %;
e) 74,03%
5- O valor da moda da distribuição é, em Reais:
a) 2638,89;
b); 3454,67
c) 3500,00;
Respostas:
1- B;
2- A;
3-A
; 4- C
; 5- D
d) 3571,429;
e) 4573,56
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
69
VI.3- Aplicações
A tabela abaixo se refere às questões 1, 2, 3 e 4.
1- A tabela acima indica o desempenho das exportações dos principais produtos feitos pela
indústria brasileira. Em 2003, o percentual representado pelo único maior produto exportador
em milhões de dólares (soja mesmo triturada) em relação ao valor total dos 25 principais
produtos é percentualmente representado por:
a) 10,37% b) 90, 85% c) 5% d) 4,29% e) 9,40%
2- No período entre 2002 para 2003, o desempenho percentual representado pelo soja
(mesmo triturada) é representado por:
a) 18,32%
b) 118,32%
c) 41,49%
d) 141,49%
e) 125%
3- Entre 2002 e 2003, a melhora de desempenho dos 25 principais produtos exportadores
brasileiros é percentualmente representada por:
a) 119,88% b) 219,88%
c) 58,38%
d) 19,88%
e) 5, 45%
Capítulo 6: Aplicações dos Princípios Estatísticos.
4- Entre 2002 e 2003, a melhora de desempenho dos totais gerais dos produtos
exportadores brasileiros é percentualmente representada por:
a) 21,08%
b) 121,08% c) 55,49%
d) 98, 47% e) 0%
70
QUESTÕES 5, 6 e 7.
Segundo dados da ABE (Associação de Exportadores Brasileiros), foram compilados dados
numa tabela indicando os vinte e um (21) principais produtos de exportação brasileiras no
período de Janeiro a Dezembro de 2003. Responda as questões 1, 2 e 3 tomando como base os
dados desta tabela.
EXPORTAÇÃO BRASILEIRA
Janeiro a Dezembro de 2003
Principais Produtos Exportados
US$ Milhões F.O.B.
N° de produtos
1 000 a 1 500
9
1 500 a 2000
7
2 000 a 2 500
1
2 500 a 3 000
2
3 000 a 3 500
1
3 500 a 4 000
0
4 000 a 4 500
1
5- A média, em milhões de dólares (F.O.B.) dos vinte e um (21) principais produtos brasileiros
de exportação é:
a) 1545,24 b) 1745,24 c) 1845,24 d) 2 000,00 e) 4 000,00
6- Determine o intervalo que pertence a mediana da distribuição, em milhões de dólares
(F.O.B.) dos vinte e um (21) principais produtos brasileiros de exportação é:
a) 1 000 a 1 500 b) 1 500 a 2 000 c) 2 000 a 2 500 d) 2 500 a 3 000 e) 4 000 a 4 500
7- Determine o intervalo que pertence a moda da distribuição, em milhões de dólares (F.O.B.)
dos vinte e um (21) principais produtos brasileiros de exportação é:
a) 1000 a 1 500 b) 1 500 a 2 000 c) 2 000 a 2 500 d) 2 500 a 3 000 e) 4 000 a 4 500
O gráfico e a tabela abaixo se referem as questões 8, 9 e 10 mostram a evolução das
receitas do comércio exterior brasileiro entre o ano de 1980 até o ano de 2003, em milhões de
dólares (F.O.B.) [Fonte SECEX].
X
ANO
1980
1985
1990
1995
2000
2002
2003
Exportações- Importações milhões de
milhões de
dólares FOB dólares FOB
20132
22955
25639
13153
31414
20661
46506
49972
55086
55839
60362
47240
73084
48260
Conceitos e Aplicações de Estatística para cursos de Ciências Gerenciais: Uma abordagem introdutória.
71
8- Com base nele, o valor percentual aproximado do desenvolvimento das receitas das
exportações brasileiras entre 2003 e 1980 pode ser representado por:
a) 54% b) 110% c) 163% d) 263% e) 363%
9- Os anos em que houve o melhor e o pior desempenho percentual entre exportações e
importações do comércio exterior foram respectivamente:
a) 2003 e 2002 b) 1985 e 1980 c) 2002 e 1995
d) 2003 e 1990
e) 2002 e 2000
10- A média das exportações no período entre 1980 a 2000 é, em milhões de dólares F.O.B.:
a) 35 755,40 b) 44 603,29 c) 32 516,00 d) 36 868,57 e) 40 000,00
Respostas:
1- A
2- Resposta: C
(4290/3032 = 1, 4149= 41,49%).
3- Resposta: D
(41357/34499 = 1,1988 = 19,88%)
4- Resposta: A
(73084/ 60 362 = 1,2108 = 21,08%)
5- Alternativa: C
Justificativa
US$ Milhões F.O.B.
N° de produtos
xi
xi.fi
1 000 a 1 500
9
1 250
1250 . 9 = 11250
1 500 a 2000
7
1 750
1750.7 =12250
2 000 a 2 500
1
2 250
2250.1 = 2250
2 500 a 3 000
2
2 750
2750.2 =5500
3 000 a 3 500
1
3250
3250.1 =3250
3 500 a 4 000
0
3 750
0
4 000 a 4 500
1
4 250
1.4250 = 4250
TOTAL
21
38 750
Média = 38 750: 21 = 1845,24 milhões de dólares.
6- Alternativa: B
Justificativa
US$ Milhões F.O.B. N° de produtos
Fi
1 000 a 1 500
9
9
1 500 a 2000
7
16
2 000 a 2 500
1
17
2 500 a 3 000
2
19
3 000 a 3 500
1
20
3 500 a 4 000
0
20
4 000 a 4 500
1
21
TOTAL
21
A classe mediana é a 2ª, pois a metade do somatório das freqüências é 21/2 = 10,5 A classe
mediana é aquela imediatamente superior a este valor
7- Alternativa A (Justificativa: A classe modal é a 1ª, ou seja, de 1000 a 1 500 milhões de dólares,
pois é onde temos a maior freqüência).
8- Alternativa d ( 73 084/ 20 132 = 3, 63 = 263%).
9- Alternativa B
10- Alternativa: A (20132+ 25639 + 31414+ 46506 + 55086): 5 = 35 755,4
Capítulo 6: Aplicações dos Princípios Estatísticos.
Questões do Provão e ENADE.
1Provão
2001.
2Provão
2001.
Soluções:
1-
2-.
14.10 + 12.20 + 16.30 + 20.40 140 + 240 + 480 + 800
=
= 166,00
100
100
R$ 166,00 de R$ 1000,00 representa a fração 166
= 0,166 ou 16,6%.
1000
−
30 + 50 + 40 + 100 220
x=
=
= 55 litros.
4
4
−
x=
72
73
Referências Bibliográficas
ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis J.; WILLIANS, Thomas A. Estatística
Aplicada à Administração e Economia. 2. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2007.
ARA, Amilton Braio; MUSETI, Ana Villares; SCHNEIDERMAN, Boris. Introdução à
Estatística. São Paulo: Edgar Blücher, 2003.
AZEVEDO, Paulo Roberto Medeiros de. Introdução à estatística. Natal: UFRN, 2005.
COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. 2. ed. São Paulo: Edgar Blücher, 2002.
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 1987.
DIEESE. Brasil e FMI: Retrospectiva e os números atuais da Dívida Externa. Informativo
Eletrônico do DIEESE, ano 2, n. 20, nov. 2001. Disponível em:
<http://www.dieese.org.br/esp/cju/anote20.pdf>.
FREITAS, Ladir Souza; CALÇA, José Atílio. Estatística: teoria e exercícios de aplicação.
São Bernardo do Campo: Universidade Metodista de São Paulo, 2007.
FREUND, John E. Estatística aplicada à economia, administração e contabilidade. 11. ed.
Porto Alegre: Bookman, 2006.
IBGE. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br>.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística Aplicada. 2. ed. São Paulo: Pearson Hall. 2004.
MANN, Prem S. Introdução à Estatística. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística básica. v. 2. São Paulo: Pearson Education, 2000.
NERY, Miguel Antonio Cedraz, SILVA, Emanoel Apolinário. Ouro, 2001. Disponível em:
<http://www.dnpm.gov.br/dnpm_legis/suma2001/OURO.doc>.
SEBRAE. Disponível em: <http://www.sebraesp.com.br>.
SILVA, Nilza Nunes. Amostragem Estatística. 2. ed. São Paulo: EDUSP, 2004.
SMOLE, Kátia Cristina Stocco, DINIZ, Maria Ignes, Matemática. Ensino Médio, Editora
Saraiva, São Paulo, 2003.
SPIEGEL, Murray R. Estatística, Editora. Rio de Janeiro: McGraw-Hill do Brasil, 1974.
SPINELLI, Walter, SOUZA, Maria Helena S. Introdução a Estatística. São Paulo: Editora
Ática, 1990.
STEIN, Carlos Efrain; LOESCH, Cláudio. Estatística e probabilidade. Blumenau: Edifurb,
2008.
STEVENSON, William J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harper, 1981.
SULLIVAN, Michael; ABE, Mizrahi. Matemática finita: uma abordagem aplicada. 9. ed.
Rio de Janeiro: LTC, 2006.
WALPOLE, Ronald E.; MYERS, Raymond H. Probabilidade e estatística para
engenharia e ciências. 8. ed. São Paulo: Pearson, 2009.
WEBSTER, Allen L. Estatística aplicada à administração e economia. São Paulo:
McGraw-Hill, 2006.
75
Anexo I – Critérios de arredondamentos:
Para as variáveis contínuas, utiliza-se o seguinte critério:
- quando o 1° algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4, o último algarismo permanece
inalterado.
- quando o 1° algarismo a ser abandonado for 5, 6, 7, 8 ou 9, o último algarismo aumenta uma
unidade.
Exemplos: Arredonde.
número critério
Número
Explicação
arredondado
2,38
décimo
2,4
Como o 1° algarismo a ser abandonado é 8, o algarismo 3
(décimo) é acrescido de uma unidade
125,41 décimo
5,4
Como o 1° algarismo a ser abandonado é 1, o algarismo 4
(décimo) permanece inalterado.
6,823 centésimo
6,82
Como o 1° algarismo a ser abandonado é 3, o algarismo 2
(centésimo) permanece inalterado.
14,238 centésimo
14,24
Como o 1° algarismo a ser abandonado é 8, o algarismo 3
(centésimo) é acrescido de uma unidade.
4,356 centésimo
4,36
Como o 1° algarismo a ser abandonado é 6, o algarismo 5
(centésimo) é acrescido de uma unidade.
1,2368 milésimo
1,237
Como o 1° algarismo a ser abandonado é 8, o algarismo 6
(miléimo) é acrescido de uma unidade.
2,3417 centésimo
2,34
Como o 1° algarismo a ser abandonado é 1, o algarismo 4
(centésimo) permanece inalterado.
Exercícios:
1- Responda:
a) Um aluno obteve como resposta a fração 1/3. Como ele representaria este
número com duas casas decimais.
b) Arredonde 24,448 para a centena mais próxima
c) Arredonde 5,56501 para o centésimo mais próximo.
d) Arredonde 134,854 para o décimo mais próximo.
2- Efetue o cálculo 2/9 e aproxime para:
a) para o décimo mais próximo
b) para a centena mais próxima
c) para o milésimo mais próximo.
3- Calcule 11/7 e aproxime para:
a) para o décimo mais próximo
b) para a centena mais próxima
c) para o milésimo mais próximo.
4- Faça os cálculos e arredonde.
a) 3/8
para o décimo mais próximo
b) 5/9
para o décimo mais próximo
c) 7/6
para a centena mais próxima
d) 13/7 para a centena mais próxima
76
Respostas:
1- Responda:
a) Um aluno obteve como resposta a fração 1/3. Como ele representaria este
número com duas casas decimais.
b) Arredonde 24,448 para a centena mais próxima
c) Arredonde 5,56501 para o centésimo mais próximo.
d) Arredonde 134,854 para o décimo mais próximo.
24,45
5,57
134,9
2- Efetue o cálculo 2/9 e aproxime para:
a) para o décimo mais próximo
b) para a centena mais próxima
c) para o milésimo mais próximo.
0,2
0,22
0,222
3- Calcule 11/7 e aproxime para:
a) para o décimo mais próximo
b) para a centena mais próxima
c) para o milésimo mais próximo.
4- Faça os cálculos e arredonde.
a) 3/8
para o décimo mais próximo
b) 5/9
para o décimo mais próximo
c) 7/6
para a centena mais próxima
d) 13/7 para a centena mais próxima
1,6
1,57
1,571
0,4
0,6
1,17
1,86
0,33
77
TABEL A DE NÚM EROS ALE ATÓRIOS [Fonte:
NIIPS – CSEO]
LC 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
01 4 5 0 5 8 7 4 4 6 4 2 4 6 3 9 3 3 5 5 1 8 7 3 6 5 7 3 2 8 3
02 9 8 0 6 4 4 2 1 8 0 3 4 9 8 1 2 8 8 3 0 7 8 2 2 7 5 4 7 3 6
03 4 1 4 1 0 1 6 7 4 1 8 6 4 9 4 2 4 4 0 7 8 0 0 5 4 8 5 3 2 6
04 7 4 4 9 5 1 0 6 7 3 9 3 2 5 4 2 8 8 5 3 8 7 8 1 1 8 7 5 9 4
05 7 3 0 3 3 6 2 0 4 2 8 1 9 8 2 7 5 8 6 0 7 1 8 3 0 7 6 3 9 5
06 6 6 6 4 8 6 3 2 8 4 0 8 9 7 4 5 6 0 7 6 0 9 2 9 3 9 6 9 7 6
07 8 5 3 8 1 6 6 7 8 1 3 3 7 1 5 3 1 6 2 8 8 7 2 1 3 6 9 0 8 1
08 3 5 5 0 7 2 1 3 3 3 0 7 1 5 3 7 2 3 1 4 9 2 3 4 5 1 4 9 3 9
09 2 9 6 3 8 1 2 1 0 8 5 7 1 4 9 5 6 3 7 6 2 4 7 4 0 5 6 1 7 5
10 6 6 8 4 4 7 4 8 4 6 9 7 2 7 4 5 1 7 5 2 0 2 5 8 1 1 6 2 0 3
11 6 2 2 7 8 8 8 2 0 3 9 9 3 5 1 5 0 5 9 5 9 2 2 3 2 8 4 4 2 0
12 6 8 8 7 9 6 7 3 9 3 5 3 2 3 9 3 8 8 0 9 7 0 9 9 5 4 5 5 1 8
13 7 8 2 8 9 3 2 0 7 5 9 0 6 7 0 6 6 2 5 3 4 5 2 2 0 9 7 4 7 1
14 6 4 3 8 8 5 0 0 0 5 1 4 7 3 7 4 6 7 9 5 1 3 5 3 2 4 7 2 3 2
15 3 6 1 1 7 8 3 9 6 3 2 6 1 8 8 3 7 8 9 2 9 3 8 7 3 5 8 7 2 6
16 7 5 5 1 5 3 2 7 8 1 7 1 2 2 0 6 8 6 5 8 7 1 0 2 8 8 0 5 6 6
17 8 8 8 1 5 9 7 6 2 5 5 2 8 8 1 9 0 0 5 9 2 0 1 3 9 8 6 3 2 5
18 4 6 3 9 8 2 7 3 2 8 0 2 1 2 9 2 2 6 9 5 3 1 2 5 0 0 0 5 9 6
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Tabela de Números Aleatórios [Fonte: http://www.random.org/nform.html ]