1. MÉDIA Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana

Exercício:
1. MÉDIA
Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem.
Determine a média aritmética da distribuição:
A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou xi fi
xifi
muito menores do que as restantes. Por outro lado a média reflete o valor de todas as
1
2
observações.
Assim, não se pode dizer em termos absolutos qual destas medidas de localização é 2
4
preferível, dependendo do contexto em que estão a ser utilizadas.
3
6
x =∑xi
4
8
n
A média é o quociente da divisão da soma dos valores das variáveis pelo número deles:
5
3
Ex. para dados não agrupados: Sabendo-se que a produção diária da vaca A, durante uma
6
1
semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, calcule a produção média na semana.
∑= ∑=
Com intervalo de classe
Desvio em relação a média – é a diferença entre cada elemento de um conjunto de Ex.:
valores e a média aritmética.
i
Estaturas (cm)
Ex. Determinar o desvio em relação a média no exemplo anterior.
1
150|--154
Cálculo da média para dados agrupados (média ponderada):
Sem intervalo de classe
x =∑xifi
∑fi
fi
xi
xifi
4
2
154|--158
9
3
158|--162
11
4
162|--166
8
5
166|--170
5
6
170|--174
3
∑=40
∑=6440
Ex.:Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável
Exercício:
Complete
o
esquema
para
o
cálculo
da
média
aritmética da distribuição de
o número de filhos do sexo masculino:
freqüência:
Nº de meninos
fi
xifi
Custos
450|--550|--650|--750|--850|--950|--1050|--1150
0
2
fi
8
10 11
16 13
5
1
1
6
i
xi
fi
xifi
2
10
1
8
4000
3
12
2
10
4
4
3
11
∑=34
∑=
4
16
Determine a média aritmética ponderada:
5
6
7
1100
∑=
R.:755
∑=
Exercício: Determine a moda
MODA (Mo)
Para um conjunto de dados, define-se moda como sendo:
O valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o intervalo de i
Estaturas (cm)
classe com maior frequência se os dados são contínuos.
450 |--550
Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que 1
representa a moda ou a classe modal.
2
550 |--650
3
Cálculo da moda para dados agrupados:
4
Sem intervalo de classe:Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de
um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para 5
os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana (se não forem susceptíveis de 6
ordenação).
7
Ex.: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 Mo=10
Série amodal: nenhum valor aparece mais vezes que outro. Ex.: 3, 5, 8, 10, 12, 13
Série bimodal: mais de um valor aparece mais vezes que outros. Ex.: 3, 4, 4, 4, 5, 7, 7, 7, R.: Mo=800
8, 10, 12, 13
Mo= 4 e 7
MEDIANA
fi
8
10
650 |--750
11
750 |--850
16
850 |--950
13
950 |--1050
5
1050|__1150
1
∑=64
A mediana, m, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida
do seguinte modo:
Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra)
que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à
mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n
elementos:
Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.
Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.
Cálculo da moda para dados agrupados:
Com intervalo de classe
Mo = l + L
2
l= limite inferior da classe modal,
L = limite superior da classe modal
Ex.: Determine a moda
i
Estaturas (cm)
fi
Ex.: Dada a série: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, determine a mediana.
1
150|--154
4
2
154|--158
9
Sem intervalo de classe:
Nº de meninos
fi
Fi
3
158|--162
11
0
2
2
4
162|--166
8
1
6
8
5
166|--170
5
2
10
18
6
170|--174
3
3
12
30
∑=40
4
4
34
Mo = 158 + 162 = 160
2
∑=34
34/2=17, MD=2 meninos
Ex. 2
xi
fi
Fi
12
1
1
14
2
3
15
1
4
16
2
6
17
1
7
20
1
Md = 15,5
Medidas de Dispersão
VARIÂNCIA: Define-se a variância, e representa-se por s2, como sendo a medida que
se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente
à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um:
( xi − x) 2
i =1
n −1
n
s2 = ∑
DESVIO PADRÃO: Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade
em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da
variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz
quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:
8
Exercícios:
Qual é a mediana nas distribuições?
a)
xi
2 4 6 8 10
fi
3 7 12 8 4
Md =
b)
xi
0 1 2 3 4 5
fi
2 5 9 7 6 3
( xi − x) 2
i =1
n −1
n
s= ∑
•
•
Md=
Resumindo, como a média é influenciada quer por valores muito grandes, quer por
valores muito pequenos, se a distribuição dos dados:
1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana
2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a
ser maior que a mediana
3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende
a ser inferior à mediana.
Representando as ditribuições dos dados (esta observação é válida para as representações
gráficas na forma de diagramas de barras ou de histograma) na forma de uma mancha,
temos, de um modo geral:
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto
maior for, maior será a dispersão dos dados.
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:
o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior, quanta mais
variabilidade houver entre os dados.
se s = 0, então não existe variabilidade, isto é, os dados são todos iguais.
A informação que o desvio padrão dá sobre a variabilidade deve ser entendida como a
variabilidade que é apresentada relativamente a um ponto de referência - a média, e não
propriamente a variabilidade dos dados, uns relativamente aos outros.
Ex.: Calcular o desvio padrão par ao conjunto de valores: 40, 45, 48, 52, 54, 62, 70
2
xi
x
xi - x
(xi- x )
40
53
-13
169
45
53
-8
64
48
53
-5
25
52
53
-1
1
54
53
1
1
62
53
9
81
70
53
17
289
∑=371
S=
630
Exercício: Complete o esquema para o cálculo do desvio padrão, dados os valores da Exercício:
variável: 8, 10, 11, 15, 16, 18
Complete o esquema para o cálculo do desvio padrão da distribuição:
2
xi
xi
1 2 3 4 5 6
x
xi - x
(xi- x )
fi
2 5 8 6 3 1
8
2
2
xi
fi
x
xi - x (xi- x ) (xi- x ) fi
10
11
1
15
2
16
3
18
4
∑=
S=
5
6
Dados agrupados
Sem intervalo de classes ou
Com intervalo de classe:
S=
( xi − x) 2 fi
s= ∑
amostral
i =1
n −1
n
Ex.:
i
Estaturas (cm)
fi
xi
1
150|--154
4
152
2
154|--158
9
156
xi
fi
0
2
3
158|--162
11
160
1
6
4
162|--166
8
164
2
12
5
166|--170
5
168
3
7
6
170|--174
3
172
4
3
∑=
S=
x
xi -
x
(xi-
2
x)
(xi-
2
x ) fi
x
xi -
x
(xi-
x )2
(xi-
x )2fi
S=
Exercício: Complete o esquema para o cálculo do desvio padrão da distribuição:
i
itervalo
fi
1
30|--50
2
2
50|--70
8
3
70|--90
12
4
90|--110
10
5
110|--130
5
∑=
xi
x
xi -
∑=
∑=
x
(xi-
x )2 (xi- x )2fi
Exercícios complementares:
3) Considere uma população de 40 profissionais liberais que foram, questionados sobre o
1) Os tempos despendidos por 12 alunos (N = 12), em segundos, para percorrer certo número de revistas e/ou jornais que os mesmos são assinantes, obteve-se a seguinte
trajeto, sem barreira, foram 16, 17, 16, 20, 18, 16, 17, 19, 21, 22, 16, 23. Determine o tabela:
valor, sem agrupar os dados: da moda, mediana e média; da variância absoluta, do
Nº de Publicações
Nº de Profissionais
desvio padrão.
0
6
2
2
i
Estaturas (cm)
fi
xi
x
xi - x
(xi- x )
(xi- x ) fi
1
8
i
2
12
3
10
4
4
∑
40
Pede-se:
a) A percentagem de profissionais que tem menos de 3 revistas e/ou jornais
(publicações).
b) valor da moda, da mediana e da média aritmética simples.
c) valor da variância absoluta, do desvio padrão.
2
2
Estaturas (cm)
fi
xi
x
xi - x
(xi- x )
(xi- x ) fi
2) Considerando uma população, de tamanho 16 (N = 16), constituída de alunos, cuja
variável de interesse X é o número de faltas de cada aluno, obteve-se: 0, 0, 1, 2, 2, 2,
4, 4, 4, 3, 0, 5, 4, 4, 3 e 2. Sem agrupar os dados, determine o valor: da moda,
mediana e média; da variância absoluta, do desvio padrão,
2
2
i
Estaturas (cm)
fi
xi
x
xi - x
(xi- x )
(xi- x ) fi
4) Em certo diia foi realizado um levantamento a respeito das idades dos alunos de um
curso noturno, obtendo-se a tabela abaixo:
Idades (anos)
Nº de Alunos
16 |- 20
8
20 |- 24
16
24 |- 28
12
28 |- 32
4
∑
40
i
Considerando esta turma como uma população, determine:
a) A percentagem de alunos com menos de 24 anos.
b) O valor da média aritmética simples e a moda.
c) O valor da variância absoluta, do desvio padrão.
Estaturas (cm)
fi
xi
x
xi - x
(xi-
i
x )2
(xi-
Nº de Funcionários
0 |- 2
26
2 |- 4
32
4 |- 6
34
6 |- 8
40
8 |- 10
28
10 |- 12
22
12 |- 14
18
∑
200
fi
xi
x
xi -
x
(xi-
x )2
(xi-
x )2fi
x )2fi
5) Em um levantamento realizado, em maio de 1983 nos 200 funcionários da empresa i
XK, em relação a variável expressa em unidades monetárias (u.m.), obteve-se a
seguinte tabela:
Salário (u.m.)
Estaturas (cm)
Considerando os 200 funcionários como de uma população, determine:
a) A percentagem de funcionários que recebem salário maior ou igual a 2 u.m. e
menor que 4 u.m.
b) A porcentagem de funcionários que recebem menos de 8 u.m.
c) O valor da moda e da média dos salários.
d) O valor da variância absoluta, do desvio padrão.
6) Considerando que foi extraída uma amostra aleatória simples de 10 alunos de
uma grande escola, cuja variável em estudo é a nota obtida em Matemática,
obteve-se: 5, 7, 8, 6, 5, 4, 8, 9, 10 e 6. Determine a média da amostra, a variância
da amostra e o desvio padrão da amostra.
2
2
Estaturas (cm)
fi
xi
x
xi - x
(xi- x )
(xi- x ) fi
7) Considerando que as três distribuições hipotéticas apresentam os valores 9) Uma pesquisa sobre a idade (em anos), de uma classe de calouros do curso de
indicados abaixo:
Computação de certa faculdade, revelou os seguintes valores:
17
17
17
18
18
18
18
18
18
18
Valores obtidos em três distribuições hipotéticas
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
DISTRIBUIÇÃO
18
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
20
20
A
B
C
20
20
20
20
20
20
21
21
21
21
N = 200
N = 50
N = 400
Construa uma distribuição de freqüência e em seguida determine a média, a mediana, a
moda e desvio padrão das idades.
∑f.X = 4000
∑f.X = 500
∑f.X = 3200
2
2
i
Estaturas (cm)
fi
xi
x
xi - x
(xi- x )
(xi- x ) fi
2
2
2
∑f.X = 85000
∑f.X = 5450
∑f.X = 32000
Determine os indicadores: média aritmética, variância absoluta, desvio padrão.
8) Uma empresa de informática possui 10 vendedores e cada um deles trabalha com
diferentes cargas horárias. As cargas horárias dos vendedores são dadas abaixo:
5
4
8
8
7
6
6
8
8
12
Calcule a média, a mediana, a moda e desvio padrão das cargas horárias desses
vendedores.
2
2
i
Estaturas (cm)
fi
xi
x
xi - x
(xi- x )
(xi- x ) fi
10) Um produto é condicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades. Considere
os produtos que compõe um determinado lote com seus respectivos pesos (em kg):
3
4
3,5
5
3,5
4
5
5,5
4
5
Determine:
a) O peso médio dos produtos;
b) A mediana correspondente ao peso dos produtos;
c) A Moda correspondente ao peso dos produtos;
d) A variação dos pesos dos produtos.
2
2
i
Estaturas (cm)
fi
xi
x
xi - x
(xi- x )
(xi- x ) fi
11) Considere as seguintes distribuições A, B e C, que representam a satisfação do cliente
em relação ao atendimento ao usuário:
Distribuição A
Distribuição B
Distribuição C
Satisfação do
Cliente
fi
Satisfação do
Cliente
fi
Satisfação do
Cliente
fi
0├
2├
4├
6├
8├
2
4
9
15
7
0├
2├
4├
6├
8├
5
8
11
8
5
0├
2├
4├
6├
8├
7
12
9
5
4
2
4
6
8
10
Σfi = 37
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
Σfi = 37
Σfi = 37
Calcular a média, mediana, moda e desvio padrão das distribuições A, B e C;
2
i
Estaturas (cm)
fi
xi
x
xi - x
(xi- x )
(xi-
i
Estaturas (cm)
fi
xi
x
xi -
x
(xi-
x )2
(xi-
x )2fi
x )2fi
i
Estaturas (cm)
fi
xi
x
xi -
x
(xi-
x )2
(xi-
x )2fi