PDF do Artigo - Gazeta de matemática

8
GAZETA DE MATEM A TICA
O método de Fubini para a integração das funções racionais
por Manuel
Como é sabido, pode sempre determinar-se a primitiva de toda a função racional desde que seja possível
resolver uma equação algébrica. O processo clássico
consiste em reduzir a função dada à soma dum polinómio inteiro e duma fracção algébrica irredutível
cujo numerador é de grau inferior ao do denominador. Esta decompõe-se, cm seguida, em fracções simples (correspondentes aos zeros do denominador da
fracção dada, cuja determinação poderá ser impossível como acima se aludiu); e procede-se à integração
destas o que se faz sistematicamente. É-se conduzido
assim, no caso geral, a uma combinação linear de
logaritmos do funções lineares ou do 2." grau, arcos- tangentes de funções lineares, e de funções algébricas.
Zaluar
A partir dêsto desenvolvimento a regra de Fubini
permite imediatamente estabelecer o tipo da primitiva,
à-parte constantes a determinar:
J
Tal observação levou o professor italiano Guido
Fubini (i) à descoberta do seu engenhoso método que
apresentaremos aos nossos leitores por ser de alguns
desconhecido.
Consideremos a função racional ? ( » ) / $ (£) onde
<P (x) e í- (x) designam dois polímónios inteiros de
coeficientes reais sem factores comuns sendo o grau
de 9 ( i ) inferior ao de ^ (as). Suponhamos que sabemos determinar as raízes de $ (x) = 0 e que conhecemos, portanto, o desenvolvimento íínico
tji (x) — (x — a)« (x —6)0 - (x^+px
(xí + rx + s)!*
com p*—4q < 0 , r* — 4* -<.0,
dx—A log (»—a) +D log (x — b) +
+•
m
+ ^|log(j; i -|-px + g) + J / i l o g ( x i - f r x + e ) + ••• +
2 x+p
2x+r
cpi(x)
arc *
+Af*arc *
T i ^ f
onde é
Í! (x) - (x - a)*-i • ( x - È ) M
(xZ + px + 1 ) * " ' .
* ( x ! + re-í-«)^"^ •••
e a>t (x) um polinómio, de coeficientes a determinar,
de grau inferior uma unidade ao de <|i| (x) .
Prova-se facilmente ( s ) que, derivando ambos os
membros da expressão anterior e desembaraçando de
denominadores [o menor denominador comum é <Kx)j
obtém-se, por identificação dos dois polinómios, um
sistema de equações lineares que permite determinar
as constantes. O processo indicado, como se acaba de
ver, dispensa a decomposição prévia de ip (x)/$ (ÍC) em
fracções simples e qualquer operação de integração.
Bastante engenhoso êste método, rápido na indicação do tipo da primitiva, c sobretudo de aplicação útil
quando a equação 41 ( ' c ) a d m i t e raízes complexas
de grau de multiplicidade elevado.
[Gajeío dl Matemática, 5t, Abril d» 1940],
II) Vide; O. Fubini, «Loaiocí dl AnalIsi Mttematicu 3.* ed.,
Torino, 1319, 5 76.
Ill Vido: O, Vizarili, «Loztoul dl Analisl Mateinatleai, Torino,
1330, Tol, I, páí. 41S-414.
Aplicação das propriedades do trinómio do 2° grau
à c/eferminaçao de alguns problemas de máximos e mínimos
por
J o s é da
O estudo das propriedades do trinómio do 2." grau
fornece matéria para a resolução de muitos problemas
quer de álgebra quer de geometria entre os quais problemas de máximos e ininimos do tipo dos que têm
sido propostos nos exames de aptidão ao Instituto Superior Técnico.
Como, geralmente, o assunto não é tratado nos liceus,
exporemos aqui um caminho a seguir para a resolução
de tais problemas, aplicando simplesmente conhecimentos adquiridos na 7.* classe dos iieeus.
Suponhamos que se pretendo resolver o Beguinte problema : Dado um círculo de raio igual a 5 inscrever
nêle um rectângulo de área igual a 48 .
Silva
Paulo
Se forem x e y os lados do rectângulo, as equações
que resolvem o problema são xy — 48 o x 2 + ^ = 1 0 0 .
Se multiplicarmos ambos os membros da primeira
equação por 2 , e lhe adicionarmos ordenadamente a
segunda, obtém-se o sistema equivalente: xy=4% e
x + y — l/l00-)-96 . Êste sistema é ainda equivalente
à equação X1—14.Y-{--á8=0 cujas soluções são x—6
e y*= 8 . É evidente que não podemos dar arbitrariamente a área do rectângulo, pois que, se ela pode ser
tão pequena quanto se quizer, não pode, no entanto,
ultrapassar, por exemplo a área do circulo. Poderá
portanto acontecer, o acontece, que dentre todos os
rectângulos que podem inscrever-se no círculo dado
9 GAZETA DE MATEM A TICA
haja um cuja área seja a maior de todas. Procuremos
então resolver êste problema:
Dado um círculo de raio R inscrever nêle um rectângulo cuja área seja máxima.
Começamos por pôr em equação o seguinte problema: determinar um rectângulo de área S inscrito
num circulo de raio R .
Duma maneira análoga à precedente somos conduzidos a resolver a equação X*— j/4ií*+2i" X+S — 0 ,
cujas soluções são os lados x e y do rectângulo procurado. O problema terá ou não soluções conforme os
valores de S . Exprimindo que as soluções desta
equação são reais tem-se a limitação procurada. Com
efeito, para que esta equação tenha soluções reais, é
necessário e suficiente que o descriminante seja positivo ou nulo, isto é, i =
+
4S > 0 donde se
tira S < 2 A ' . Quero dizer, S não pode exceder 2R2
e o máximo valor que S pode ter é 2R*, Neste caso
A = 0 e portanto x=*y=R \J2 . Vê-se assim que o rectângulo de área máxima ó o quadrado inscrito no círculo de raio R . Fica pois determinado o máximo
valor que pode tomar a área do rectângulo.
E este o método que devemos empregar na resolução
de problemas dês te género e que consiste em determinar as equações do problema de modo a sermos conduzidos a uma equação do 2.° grau (no caso em que isso
é possível) e procurar as condições para que a equação
tenha soluções reais; estas condições fornecem-nos as
limitações que dão os valores procurados.
Vejamos outro exemplo: Ê dado tim jxmto P às
distâncias a e 2a dos dois lados de um ângulo recto, e
dada uma recta qualquer pausando por P ; mostrar que
a área do triângulo compreendido entre o recta e os lados
do ângulo nunca pode ser inferior o 4a*. (Exame de
aptidão ao L S. T. — Ponto modêlo).
Na figura vê-se que o triângulo cuja área pretende
determinar-se é QOR. Seja OR=x e OQ=y.
Será
2 ax
1
y
x
então a área o =
e como ^ =
®a
x—a
"
x—a
x 2ax
ax2
e S= —
=
donde ax?— S s + a S — O ,
2 x—a x —a
Para que haja soluções reais deve ser
4 í i 3 S > 0 ou JS (S~ia2)>Q
e como S é positivo, por se tratar duma área, será S—4aí>0
e
S > 4cs-. Portanto a área será sempre maior e no
mínimo igual a 4a 3 .
Dêmos ainda exemplos dum outro tipo de problemas
que se resolvem pelo mesmo processo. Seja o seguinte
problema :
(J Qual é o menor valor que pode tomar a expressão
3x ! — 8x — 7 quando se atribui a x valores reais?
Seja K o valor do trinómio, é então
— &x + 7 — K
ou 3® 1 —8x+7 — K = 0 . A condição para que as soluções desta equação sejam reais é
g
A = 6 - 1 - 1 2 ( 7 - A ) > 0 ou K > - quere dizer, o trinóo
mio toma sempre valores superiores e no mínimo é
5
4
igual a —I valor que corresponde a ÍC = - t>
o
Vejamos outro exemplo:
2 j ' -f- 3-c + 2
Determinar o máximo e o mínimo de
Como o numerador e o denominador têm raízes complexas, são sempre positivos para valores reais de x
e então fazendo a fracção igual a K, desembaraçando
de denominador e simplificando vem (2—K)
+ (3-K)
x+(2-K)~Q.
A condição para que as soluções sejam reais é
3 A * — 1 0 A + 7 < 0 ; como êste trinómio tem as raíze»
7
„
.
'
— 1 e - j aquela condição é verificada para K < - e
3
3
7
então A" = - é um máximo; ou para A " > — 1 e A—
—1 é um mínimo.
Damos a seguir o enunciado de alguns problemas
que podem resolver-se por êste processo.
I -— Mostrar que o perímetro 2p de um rectângulo
inscrito num círculo do raio 11 não pode exceder
4R \J2,
II — Mostrar que o produto de dois números positivos, cuja soma é constante, é máximo quando os dois
números forem iguais.
III — Mostrar que a soma de dois números positivos,
cujo produto é constante, é mínima quando os números
forem iguais.
IV — De todos os triângulos rectângulos com o
mesmo perímetro 2p , qual é aquele cuja superfície m1
é máxima? E de todos os triângulos rectângulos cuja
área é constante qual é o de perímetro mínimo?
V — Qual ê o maior rectângulo que se pode inscrever
num quadrado dado?
asi-fis-l
VI — Determinar o máximo e o mínimo de
x*+3x-|-3
[Gaitla
ai Mitemáltca,
n.° 3, Junho de 1910]