Meu nome: Minha Instituição

Meu nome:
Minha Instituição:
NÍVEL 4
Respostas sem justificativa não serão consideradas
1. O Teorema Fundamental da Aritmética enuncia que todo número natural maior que 1 ou é primo ou
pode ser escrito de forma única, a menos da ordem dos fatores, como produto de potências de números
primos.
Assim, considere um número natural 𝑛, com 𝑛 > 1.
a) Determine o número de divisores naturais de 𝑛.
Uma solução:
Satisfazendo o Teorema Fundamental da Aritmética podemos escrever o número natural
𝑥
𝑥
𝑥
𝑛 da seguinte forma
𝑥
𝑛 = 𝑝0 0 ∙ 𝑝1 1 ∙ 𝑝2 2 ∙ ⋯ ∙ 𝑝𝑟 𝑟 , onde 𝑝0 , 𝑝1, 𝑝2 , ⋯, 𝑝𝑟 são números primos e 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯, 𝑥𝑟 expoentes
naturais.
𝑛, é dado pelo produto
Assim, pela contagem simples temos que o número de divisores naturais de
𝑑(𝑛) = (𝑥0 + 1)(𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1) ⋯ (𝑥𝑟 + 1).
NOTA
b) Determine o número de divisores naturais pares de 𝑛.
Uma solução:
𝑥
𝑥
𝑥
Em 𝑛 = 𝑝00 ∙ 𝑝11 ∙ 𝑝22 ∙ ⋯ ∙ 𝑝𝑥𝑟 𝑟 , considere 𝑝0
𝑥
𝑥
𝑥
= 2. Então 𝑛 = 2𝑥0 ∙ 𝑝1 1 ∙ 𝑝2 2 ∙ ⋯ ∙ 𝑝𝑟 𝑟 . Para que esse número
tenha divisores pares é necessário que ele seja um número par e, portanto, 𝑥0
≠ 0.
Logo, respeitando essa restrição, e pela contagem simples o número de divisores naturais pares é dado pelo produto
𝑑𝑃 (𝑛) = 𝑥0 (𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1) ⋯ (𝑥𝑟 + 1).
NOTA
1
NÍVEL 4
Respostas sem justificativa não serão consideradas
c) Determine o número de divisores naturais ímpares de 𝑛.
Uma solução:
Sendo
𝑥0 o expoente do primo 𝑝0 = 2, basta subtrairmos o número total de divisores naturais pelo número de
divisores naturais pares, ou seja,
𝑑𝐼 (𝑛) = 𝑑(𝑛) − 𝑑𝑃 (𝑛) = (𝑥0 + 1)(𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1) ⋯ (𝑥𝑟 + 1) − 𝑥0 (𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1) ⋯ (𝑥𝑟 + 1)
𝑑𝐼 (𝑛) = (𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1) ⋯ (𝑥𝑟 + 1)(𝑥0 + 1 − 𝑥0 )
𝑑𝐼 (𝑛) = (𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1) ⋯ (𝑥𝑟 + 1).
NOTA
d) Sendo 𝑦 ∈ ℕ, encontre o número de divisores naturais pares do número natural 𝑛 = 2𝑦 ∙ 32 ∙ 5𝑦 ∙ 7,
sabendo que o número possui 30 divisores ímpares.
Uma solução:
O número de divisores naturais ímpares é dado por:
𝑑𝐼 (𝑛) = (2 + 1)(𝑦 + 1)(1 + 1) = 30. Assim, temos
(2 + 1)(𝑦 + 1)(1 + 1) = 30
𝑦+1 =
30
6
𝑦 =5−1
𝑦=4
Já o número de divisores naturais pares é dado por:
𝑑𝑃 (𝑛) = 𝑦(2 + 1)(𝑦 + 1)(1 + 1). Então,
𝑑𝑃 (𝑛) = 4(2 + 1)(4 + 1)(1 + 1) = 4 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 2 = 120.
NOTA
TOTAL
2
NÍVEL 4
Respostas sem justificativa não serão consideradas
2. Observe a sequência das potências de base 2:
20 = 1; 21 = 2; 2² = 4; 2³ = 8; 24 = 16; 25 = 32; ⋯.
Podemos representar de forma única, a menos da ordem, qualquer número natural como uma potência
de base 2 ou como soma de termos dessa sequência. Por exemplo, o número 20 pode ser escrito como
20 = 2² + 24 = 4 + 16, já o número 33 pode ser escrito por 33 = 20 + 25 = 1 + 32 = 33.
a) Encontre as somas das potências de base 2 que representam os números 44, 447 e 897.
Uma solução:
44 = 22 + 23 + 25
447 = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 27 + 28
897 = 20 + 27 + 28 + 29
NOTA
b) Com os dez primeiros termos da sequência das potências de base 2 podemos expressar qualquer
número natural de 1 a 1023 como uma potência de base 2 ou como soma de termos dessa sequência.
Desse modo, o número 849 pode ser escrito como 849 = 20 + 24 + 26 + 28 + 29 , sendo assim, chamamos
de número OMI do 849 o número 98640, ou seja, o número formado pelos expoentes da soma das
potências de 2 em ordem decrescente.
Nessas condições, determine o número OMI de 44, 447 e 897.
Uma solução:
44 → 𝑂𝑀𝐼 = 532
447 → 𝑂𝑀𝐼 = 87543210
897 → 𝑂𝑀𝐼 = 9870
NOTA
3
NÍVEL 4
Respostas sem justificativa não serão consideradas
c) Dos números naturais de 1 a 1023 o número 1 é o que tem o menor número OMI, a saber, o número
OMI 0, já o número 1023 possui o maior número OMI, 9876543210. O segundo menor número OMI é o
do número 2, o terceiro menor é o do número 4. Já o décimo primeiro número OMI é o do número 3,
conforme tabela a seguir.
Ordem
(posição)
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
Número
Natural
1
2
4
8
16
32
64
128 256 512
Número
OMI
0
1
2
3
4
5
6
9º
7
8
10º 11º 12º 13º
9
⋯
1023º
3
5
6
⋯
1023
10
20
21
⋯
9876543210
Qual é o 50º número natural na sequência apresentada na tabela? E o 115º?
Uma solução:
 Números OMI com 1 dígito:
10 números (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
 Números OMI com 2 dígitos:
1__
⏟
,
2__
⏟
,
3__
⏟
,
4__
⏟
,
5__
⏟
,
6__
⏟
,
7__
⏟
,
8__
⏟
,
9__
⏟
1 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 2 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 3 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 4 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 5 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 6 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 7 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 8 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 9 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
⋮
46º: 87
47º: 90
48º: 91
49º: 92
50º: 93 = 29 + 23 = 512 + 8 = 520.
 Números OMI com 3 dígitos:
2__ __ , 3__
⏟
⏟ __ , 4__
⏟ __ , 5__
⏟ __ , 6__
⏟ __ , 7__
⏟ __ , 8__
⏟ __ , 9__
⏟ __
1 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 3 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 6 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 10 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 15 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 21 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 28 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 36 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
⋮
111º: 765
112º: 810
113º: 820
114º: 821
115º: 830 = 28 + 23 + 20 = 256 + 8 + 1 = 265.
NOTA
4
NÍVEL 4
Respostas sem justificativa não serão consideradas
d) Qual é a posição do número natural 44 na sequência apresentada na tabela?
Uma solução:
44 → 𝑂𝑀𝐼 = 532
Conforme apresentado no item anterior (item c), temos:
 Números OMI com 1 dígito: 10 números.
 Números OMI com 2 dígitos: 45 números.
 Números OMI com 3 dígitos:
2__ __
⏟
1 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜
3__
⏟ __
3 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
4__
⏟ __
6 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
51 __
⏟
1 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜
52 __
⏟
2 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
Portanto, temos até aqui na sequência
68 números. Logo,
530: 69ª posição
531: 70ª posição
532: 71ª posição
∴ 44 → 𝑂𝑀𝐼 = 532 ocupa a 71ª posição.
NOTA
TOTAL
5
NÍVEL 4
Respostas sem justificativa não serão consideradas
3. Miguel adora Matemática e vive brincando com os números. Nas vésperas do Natal, criou uma árvore
natalina numérica formada por números binomiais, conforme mostra a figura abaixo.
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏𝟎
𝟗
𝟖
𝟒𝟓
𝟑𝟔
𝟏𝟐𝟎
𝟏
𝟕
𝟐𝟖
𝟖𝟒
𝟐𝟏𝟎
𝟏
𝟔
𝟐𝟏
𝟓𝟔
𝟏𝟐𝟔 𝟐𝟓𝟐
𝟏
𝟓
𝟏𝟓
𝟑𝟓
𝟕𝟎
𝟏𝟐𝟔 𝟐𝟏𝟎
𝟏
𝟒
𝟏𝟎
𝟐𝟎
𝟑𝟓
𝟓𝟔
𝟖𝟒
𝟏𝟐𝟎
𝟏
𝟑
𝟔
𝟏𝟎
𝟏𝟓
𝟐𝟏
𝟐𝟖
𝟑𝟔
𝟒𝟓
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
𝟔
𝟕
𝟖
𝟗
𝟏𝟎
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
a) Determine a soma da árvore natalina, ou seja, a soma de todos os números que constituem a árvore.
Uma solução:
Podemos organizar os números binomiais formando o Triângulo de Pascal, da seguinte forma:
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟑
𝟑
𝟏
𝟏
𝟒
𝟔
𝟒
𝟏
𝟏
𝟓
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟓
𝟏
𝟏
𝟔
𝟏𝟓
𝟐𝟎
𝟏𝟓
𝟔
𝟏
𝟏
𝟕
𝟐𝟏
𝟑𝟓
𝟑𝟓
𝟐𝟏
𝟕
𝟏
𝟏
𝟖
𝟐𝟖
𝟓𝟔
𝟕𝟎
𝟓𝟔
𝟐𝟖
𝟖
𝟏
𝟏
𝟗
𝟑𝟔
𝟖𝟒
𝟏𝟐𝟔
𝟏𝟐𝟔
𝟖𝟒
𝟑𝟔
𝟗
𝟏
𝟏
𝟏𝟎
𝟒𝟓
𝟏𝟐𝟎
𝟐𝟏𝟎
𝟐𝟓𝟐
𝟐𝟏𝟎
𝟏𝟐𝟎
𝟒𝟓
𝟏𝟎
𝟏
Assim, as somas das linhas serão dadas por:
20 , 21 , 22 , ⋯ , 210 .
Portanto, trata-se da soma de uma Progressão Geométrica
𝑆=
(PG) de razão 2 com 11 termos. Então
1(211 − 1)
= 211 − 1 = 2048 − 1 = 2047
2−1
NOTA
6
NÍVEL 4
Respostas sem justificativa não serão consideradas
b) Suponha uma árvore que tenha 𝑛 linhas, mostre que a soma da linha imediatamente superior à base
é dada por 𝑠(𝑛) =
𝑛2 −𝑛
2
.
Uma solução:
A linha imediatamente superior a base da árvore é da forma 1, 2, 3, ⋯ , 𝑛 − 1. Portanto, temos uma Progressão
Aritmética (PA) de razão 1 com 𝑛 − 1 termos. Logo, a soma dessa linha é a soma da
𝑃𝐴(1, 2, 3, ⋯ , 𝑛 − 1), que
é dada por:
𝑠(𝑛) =
(1 + 𝑛 − 1)(𝑛 − 1) 𝑛(𝑛 − 1) 𝑛2 − 𝑛
=
=
2
2
2
∎
NOTA
c) Considere ainda uma árvore com 𝑛 linhas, mostre que a soma da árvore natalina é dada por
𝑆(𝑛) = 2𝑛 − 1.
Uma solução:
Podemos organizar os números binomiais formando o Triângulo de Pascal, da seguinte forma:
𝟎
( )
𝟎
𝟏
( )
𝟎
𝟐
( )
𝟎
𝟏
( )
𝟏
𝟐
( )
𝟏
𝟐
( )
𝟐
⋮
⋮
⋮
𝒏
( )
𝟎
⋯
⋯
𝒏
( )
𝒏
Assim, as somas das linhas serão dadas por:
20 , 21 , 22 , ⋯ , 2𝑛−1
Portanto, trata-se da soma de uma Progressão Geométrica
(PG) de razão 2 com 𝑛 termos. Então
20 (2𝑛 − 1) 1(2𝑛 − 1)
𝑆(𝑛) =
=
= 2𝑛 − 1
2−1
1
∎
NOTA
TOTAL
7
NÍVEL 4
Respostas sem justificativa não serão consideradas
4. Uma sequência numérica está distribuída na primeira fila da pirâmide abaixo. Para determinar o número
que está contido em um bloco, basta realizarmos a média aritmética dos dois blocos que servem de apoio
para o bloco em questão.
𝒏ª fileira
(𝒏 − 𝟏)ª fileira
(𝒏 − 𝟐)ª fileira
(𝒏 − 𝟑)ª fileira
⋮
𝟒ª fileira
⋯
𝟑ª fileira
⋯
𝟐ª fileira
𝟏ª fileira
127,5
100
111
122
133
⋯
144
⋯
969
980
a) Qual é o valor contido no 1º bloco da esquerda na 4ª fileira?
Uma solução:
Para determinar o bloco em questão dividiremos o problema em três etapas:
1º) Determinar os três primeiros blocos da esquerda na
2ª fileira:
100 + 111
= 105,5
2
111 + 122
= 116,5
2
122 + 133
= 127,5
2
2º) Determinar os dois primeiros blocos da esquerda na
3ª fileira:
105,5 + 116,5
= 111
2
116,5 + 127,5
= 122
2
3º) Determinar o primeiro bloco da esquerda na 4ª fileira:
111 + 122
= 116,5
2
Portanto, o valor contido no 1º bloco da esquerda na 4ª fileira é 116,5.
NOTA
8
NÍVEL 4
Respostas sem justificativa não serão consideradas
b) Determine o número contido no bloco do topo da pirâmide.
Uma solução:
É possível notar que a
1ª fileira é uma progressão aritmética (PA) com 81 termos de razão igual a 11 e primeiro
termo igual a 100.
De forma análoga, percebe-se que a
2ª fileira é uma PA de razão igual a 11, porém, com 80 termos e primeiro
termo igual a 105,5.
Na
3ª fileira temos uma PA com a mesma razão, mas com 79 termos. Entretanto, percebe-se que os elementos
desta PA são os mesmos da PA da 1ª fileira com a exclusão do primeiro e do último elemento.
A partir de então, gera um padrão de repetição de
PA′s de forma alternada, onde uma fileira tem elementos da 1ª
fileira e na fileira acima desta temos elementos da
2ª fileira, ambas com a exclusão dos elementos das
extremidades.
A cada fileira com um número ímpar de blocos excluímos os elementos das extremidades, implicando que o
elemento no bloco do topo da pirâmide é o elemento central da
PA da 1ª fileira, isto é, o 41º bloco da 1ª fileira.
Assim, temos que
𝑎41 = 𝑎1 + (41 − 1) ∙ 𝑟
𝑎41 = 100 + 40 ∙ 11
𝑎41 = 100 + 440
𝑎41 = 540
Portanto, o número contido no bloco do topo da pirâmide é
540.
NOTA
c) Qual é a soma de todos os primeiros blocos da esquerda de cada fileira?
Uma solução:
É fácil ver que a sequência dos números contidos nos primeiros blocos da esquerda de cada fileira formam uma PA
de razão 5,5, onde o primeiro termo é 100 e o último termo é 540. Vale ressaltar que ao todo são 81 fileiras, logo,
basta calcular a soma dos 81 termos dessa PA:
(𝑎1 + 𝑎81 ) ∙ 81
2
(100 + 540) ∙ 81 640 ∙ 81
=
=
= 320 ∙ 81 = 25.920
2
2
𝑆81 =
𝑆81
Portanto, a soma de todos os primeiros blocos da esquerda de cada fileira é
25.920.
NOTA
TOTAL
9
NÍVEL 4
Respostas sem justificativa não serão consideradas
5. A figura abaixo representa uma sequência de quadrados enfileirados horizontalmente da esquerda
para direita. O primeiro quadrado 𝐴𝐵𝐻𝐼 tem lado igual a 1, o segundo 𝐵𝐶𝐽𝐾 tem lado igual a 2, o terceiro
tem lado igual a 3 e assim sucessivamente.
a) Encontre as coordenadas dos quatro vértices do centésimo quadrado.
Uma solução:
Seja 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ o centésimo quadrado da sequência e 𝐴′(𝑥, 𝑦). Então, 𝐵′(𝑥 + 100, 𝑦),
𝐶′(𝑥 + 100, 𝑦 + 100) e
𝐷′(𝑥, 𝑦 + 100), com 𝑥 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 e 𝑦 = 0, pois 𝐴′ pertence ao eixo X e é vértice do nonagésimo
nono quadrado da sequência. Assim, encontrando o valor de 𝑥 , temos
𝑥 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 =
(1 + 99) ∙ 99
= 4.950
2
Portanto, 𝐴′(4.950, 0), 𝐵′(5.050, 0), 𝐶′(5.050, 100) e 𝐷′(4.950, 100).
NOTA
10
NÍVEL 4
Respostas sem justificativa não serão consideradas
b) Determine as coordenadas dos quatro vértices do n-ésimo quadrado.
Uma solução:
Seja
𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ o n-ésimo quadrado da sequência e 𝐴′(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ). Então, 𝐵′(𝑥𝑛 + 𝑛, 𝑦𝑛 ), 𝐶′(𝑥𝑛 + 𝑛, 𝑦𝑛 + 𝑛) e
𝐷′(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 + 𝑛), com 𝑥𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + (𝑛 − 1) e 𝑦𝑛 = 0, pois 𝐴′ pertence ao eixo X e é vértice do
(𝑛 − 1)-ésimo quadrado da sequência. Assim, encontrando o valor de 𝑥𝑛 , temos
𝑥 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + (𝑛 − 1) =
(1 + 𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 1) 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) 𝑛2 − 𝑛
=
=
2
2
2
Logo,
𝑥𝑛 =
𝑛2 −𝑛
Portanto, 𝐴′ (
2
, 0), 𝐵′ (
𝑛2 +𝑛
2
𝑛2 +𝑛
, 0), 𝐶′ (
2
𝑛2 − 𝑛
𝑛2 + 𝑛
+𝑛 =
2
2
𝑛2 −𝑛
, 𝑛) e 𝐷′ (
2
, 𝑛).
NOTA
c) Calcule a soma das áreas dos cem primeiros quadrados da sequência.
Uma solução:
Seja 𝑆(100) a soma das áreas dos cem primeiros quadrados da sequência. Assim,
100
2
2
2
2
2
2
𝑆(100) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 98 + 99 + 100 = ∑ 𝑘²
𝑘=1
Considere a sequência
100
𝑃𝑖,100 = ∑ 𝑖
𝑘=1
com
𝑖 = 1, 2, 3, ⋯ , 100. Desse modo, temos
𝑃1,100 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 98 + 99 + 100
𝑃2,100 = 2 + 3 + 4 + ⋯ + 98 + 99 + 100
𝑃3,100 = 3 + 4 + 5 + ⋯ + 98 + 99 + 100
⋮
𝑃98,100 = 98 + 99 + 100
𝑃99,100 = 99 + 100
𝑃100,100 = 100
De fato,
𝑃𝑖,100 =
(𝑖+100)(100+1−𝑖)
2
, pois trata-se da soma dos termos de uma progressão aritmética
primeiro termo igual a 𝑖 , razão igual a
(PA) de
1 e último termo igual a 100.
11
NÍVEL 4
Respostas sem justificativa não serão consideradas
Por outro lado, note que
100
𝑆(100) = ∑ 𝑃𝑖,100
𝑖=1
100
1
𝑆(100) = ∙ ∑(1 + 100)(100 + 1 − 𝑖)
2
𝑖=1
100
100
100
100
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
1
1
1
1
𝑆(100) = ∙ ∑ 1002 + ∙ ∑ 100 + ∙ ∑ 𝑖 − ∙ ∑ 𝑖 2
2
2
2
2
2 ∙ 𝑆(100) = 1003 + 1002 +
101 ∙ 100
− 𝑆(100)
2
3 ∙ 𝑆(100) = 1.000.000 + 10.000 + 5.050
3 ∙ 𝑆(100) = 1.015.050
𝑆(100) = 338.350
Portanto a soma das áreas dos cem primeiros quadrados da sequência é
338.350 𝑢. 𝑎..
Outra solução:
Basta usar a informação fornecida no próximo item (item d) que a soma das áreas dos
sequência é dado por
Assim, fazendo 𝑛
𝑆(𝑛) =
𝑛 primeiros quadrados da
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
6
.
= 100, temos
𝑆(100) =
100 ∙ (100 + 1)(2 ∙ 100 + 1) 100 ∙ 101 ∙ 201 2.030.100
=
=
= 338.350
6
6
6
Portanto a soma das áreas dos cem primeiros quadrados da sequência é
338.350 𝑢. 𝑎..
NOTA
12
NÍVEL 4
Respostas sem justificativa não serão consideradas
d) Mostre que a soma das áreas dos 𝑛 primeiros quadrados da sequência é dada por 𝑆(𝑛) =
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
6
.
Uma solução:
Seja 𝑆(𝑛) a soma das áreas dos 𝑛 primeiros quadrados da sequência. Assim,
2
𝑆(𝑛) = 1
2
2
+2 +3
100
+ ⋯ + (𝑛 − 2)2
+ (𝑛 − 1)2
+ 𝑛2
= ∑ 𝑘²
𝑘=1
Considere a sequência
100
𝑃𝑖,𝑛 = ∑ 𝑖
𝑘=1
com
𝑖 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑛. Desse modo, temos
𝑃1,𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + (𝑛 − 2) + (𝑛 − 1) + 𝑛
𝑃2,𝑛 = 2 + 3 + 4 + ⋯ + (𝑛 − 2) + (𝑛 − 1) + 𝑛
𝑃3,𝑛 = 3 + 4 + 5 + ⋯ + (𝑛 − 2) + (𝑛 − 1) + 𝑛
⋮
𝑃𝑛−2,𝑛 = (𝑛 − 2) + (𝑛 − 1) + 𝑛
𝑃𝑛−1,𝑛 = (𝑛 − 1) + 𝑛
𝑃𝑛,𝑛 = 𝑛
De fato, 𝑃𝑖,100
=
(𝑖+𝑛)(𝑛+1−𝑖)
2
, pois trata-se da soma dos termos de uma progressão aritmética
termo igual a 𝑖 , razão igual a 1 e último termo igual a
(PA) de primeiro
𝑛.
Por outro lado, note que
𝑛
𝑆(𝑛) = ∑ 𝑃𝑖,𝑛
𝑖=1
𝑛
1
𝑆(𝑛) = ∙ ∑(1 + 𝑛)(𝑛 + 1 − 𝑖)
2
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
1
1
1
1
2
𝑆(𝑛) = ∙ ∑ 𝑛2 + ∙ ∑ 𝑛 + ∙ ∑ 𝑖 − ∙ ∑ 𝑖
2
2
2
2
2 ∙ 𝑆(𝑛) = 𝑛3 + 𝑛2 +
(1 + 𝑛)𝑛
2
− 𝑆(𝑛)
1
1
2𝑛3 + 3𝑛2 + 𝑛 𝑛(2𝑛2 + 3𝑛 + 1) 𝑛 [2 ∙ (𝑛 + 1) (𝑛 + 2)] 𝑛(𝑛 + 1) (2𝑛 + 2 ∙ 2)
3 ∙ 𝑆(𝑛) =
=
=
=
2
2
2
2
13
NÍVEL 4
Respostas sem justificativa não serão consideradas
3 ∙ 𝑆(𝑛) =
𝑆(𝑛) =
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
2
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
∎
Outra solução:
Como 𝑛 é natural, a igualdade 𝑆(𝑛)
=
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
6
pode ser mostrada por indução em 𝑛.
NOTA
TOTAL
14