Res QA1.3

Nome _______________________________ Nº ____
Data: ___ / ___ / ___
Nome _______________________________ Nº ____
11.º Ano Turma: ___
Professor ____________________________ Classificação ____________________
Questão Aula – RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS
Apresente todas as explicações de forma clara e organizada,
indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.
(45)
1.
A figura do lado representa um prisma quadrangular regular,
cuja altura mede o dobro da aresta a da base. Estão também
desenhadas duas das diagonais espaciais (e) desse prisma.
Determine a amplitude do ângulo maior formado pelas
diagonais espaciais do prisma.
Apresente o resultado em graus, minutos e segundos
(segundos arredondados às unidades).
Como as diagonais se cruzam no centro do prisma e formam dois triângulos isósceles, traçando a
altura de um desses triângulos em relação à base 2a obtemos triângulos retângulos, sendo 2 o
ângulo das duas diagonais, conforme ilustra a figura da direita (secção que contém as diagonais).
Conhecendo o cateto a e a hipotenusa
e
2
, pela razão seno podemos
descobrir a amplitude de .
Nota: Só precisamos de conhecer dois lados do triângulo.
Calculemos a medida da diagonal espacial do prisma:
e2  a 2  a 2   2a   e2  6a 2  e   6a 2  e   6a
2
Outro processo: aplicar duas vezes o teorema de Pitágoras.
Sendo e  0 , temos e  6a
Temos: se n  
a
Assim,   sen1
e
2

2a
2a
2


e
6a
6
2
 54,7356...
6
Portanto, 2  109, 4712...
2  109º 0, 4712... 60' = 109º 28,2732...' = 109º 28'  0,2732... 60'' = 109º 28' 16,3942...''
Logo, o ângulo das diagonais espaciais do prisma é 109º 28' 16''
Matemática A – 11º Ano
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2.
Para maior segurança, o comprimento das rampas de acesso para deficientes deve ser, pelo
menos, cinco vezes maior do que a altura h que a rampa permite atingir.
(20)
2.1. Determine a amplitude do angulo  (inclinação da rampa), que uma rampa de comprimento
igual 5 vezes a sua altura total faz com o plano horizontal.
Apresente o resultado com aproximação às décimas.
Como temos a hipotenusa 5h e sabemos que o cateto oposto a  mede h, podemos aplicar a razão
seno para descobrir a amplitude de .
Temos s en  
h 1

5h 5
Assim,   sen1
1
 11,5369...
5
Portanto,   11,5º (1 c.d.)
(40)
2.2. De acordo com o enunciado será que a amplitude do ângulo  depende da altura da rampa?
Justifique adequadamente.
Se mantivermos a razão constante entre a altura (cateto oposto) e o comprimento da rampa
(hipotenusa) obtemos sempre triângulos semelhantes.
Assim, os ângulos agudos dos triângulos retângulos que se formam têm sempre a mesma
amplitude. Neste caso, a inclinação (ângulo ) não depende da altura da rampa.
Contudo, de acordo com o enunciado temos r  5h , sendo r o comprimento da rampa.
Imaginemos que temos duas rampas com a mesma altura, uma de comprimento 5h e outra de
comprimento 6h.
Sem efetuar cálculos, podemos afirmar que o ângulo  diminui à medida que o comprimento da
rampa (hipotenusa) aumenta, para rampas com a mesma altura. Comprovemos:
No 1.º caso temos   sen1
1
 11,5369...
5
No 2.º caso temos   sen1
1
 9,5940...
6
Portanto, a inclinação da rampa só não depende da sua altura se mantivermos a razão entre a sua
altura e o seu comprimento.
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(45)
3.
Uma escada de bombeiro forma um ângulo de 60º com a horizontal quando está encostada
a um edifício de um dos lados de uma rua, atingindo uma janela que está a 10 metros de
altura. Quando está encostada ao edifício do outro lado da rua, a mesma escada forma um
ângulo de 45º, mantendo o pé de apoio, tal como sugere a figura seguinte.
Determine a largura da rua, com aproximação ao centímetro.
A largura da rua corresponde à soma dos dois catetos horizontais dos dois triângulos
apresentados, que vamos representar por x e y. Assim, a largura r da rua é, r = x + y.
Como temos um ângulo agudo e um lado do triângulo da direita podemos descobrir os
restantes dois lados do triângulo: o cateto y e a hipotenusa e (escada).
Temos: tan 60º 
10
10
10
 y
 y
y
tan 60º
3
Como a escada é a mesma (hipotenusa dos dois
triângulos), para calcular a medida do cateto x temos
de conhecer o comprimento da escada.
Temos:
sen 60º 
20
10
10
10
 e
 e 3  e
e
sen 60º
3
2
Agora já podemos descobrir a medida do cateto x:
Temos: cos 45º 
x
20
3
 x
A largura da rua é r 
20
20
2
10 2
cos 45º  x 

 x
3
3 2
3
10 2 10 10 2  10


= 13,9384…
3
3
3
Portanto, a rua tem aproximadamente, 13,94 metros de largura.
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(50)
4.
Uma montanha separa o centro de duas aldeias, situadas à mesma altura, identificados pelas
letras A e B, conforme sugere a figura abaixo.
Da aldeia A avista-se o marco geodésico G, situado no cume da montanha, com um ângulo
de elevação de 50º e da aldeia B avista-se o mesmo marco com um ângulo de 30º.
Sabe-se que a distância entre as duas aldeias é 3500 metros.
Determine a altura da montanha, com aproximação ao metro.
Nota: Se proceder a arredondamentos nos cálculos intermédios mantenha, pelo menos, 3 casas decimais.
Como temos de arranjar triângulos retângulos de moda a aproveitar os ângulos agudos, traçando a
altura do triângulo em relação ao vértice G ficamos com dois triângulos retângulos em H.
Desta forma GH  h representa a altura da montanha (pedida).
Como AB  3,5 km , sendo AH  x temos HB  3,5  x
Aplicando as razões trigonométricas aos dois
triângulos retângulos podemos escrever um
sistema de duas equações e duas incógnitas:
h

tan 50º  x

tan 30º  h
3,5  x

Resolvendo o sistema obtemos os valores de x e h.
h  x tan 50º
h  x tan 50º
    
 


h  3,5  x  tan 30º
 x tan 50º  3,5 tan 30º  x tan 30º
 x tan 50º  x tan 30º  3,5 tan 30º
3,5 tan 30º

h
 tan 50º

    

tan 50º  tan 30º
 

 xtan 50º  tan 30º   3,5 tan 30º
 x  3,5 tan 30º
tan 50º  tan 30º

Portanto, h 
3,5 tan 30º tan 50º
= 1,3612…
tan 50º  tan 30º
A montanha tem 1,361 km = 1361 metros de altura.
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