Modelo Preditivo para a População de Mosquitos Aedes aegypti

C ENTRO F EDERAL
P ROGRAMA
DE
DE
E DUCAÇÃO T ECNOLÓGICA
P ÓS - GRADUAÇÃO
EM
DE
M INAS G ERAIS
M ODELAGEM M ATEMÁTICA
E
C OMPUTACIONAL
M ODELO P REDITIVO PARA A P OPULAÇÃO
DE
M OSQUITOS Aedes aegypti SOB
I NFLUÊNCIA DE VARIÁVEIS C LIMÁTICAS :
T EMPERATURA E P LUVIOSIDADE
F LÁVIA DA S ILVA C ORDEIRO
Orientador: Prof. Dr. José Luiz Acebal Fernandes
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
B ELO H ORIZONTE
F EVEREIRO
DE
2015
F LÁVIA DA S ILVA C ORDEIRO
M ODELO P REDITIVO PARA A P OPULAÇÃO DE
M OSQUITOS Aedes aegypti SOB I NFLUÊNCIA DE
VARIÁVEIS C LIMÁTICAS : T EMPERATURA E
P LUVIOSIDADE
Dissertação apresentado ao Programa de Pós-graduação
em Modelagem Matemática e Computacional do Centro
Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, como
requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em
Modelagem Matemática e Computacional.
Área de concentração:
Computacional
Modelagem
Matemática
e
Linha de pesquisa: Métodos Matemáticos Aplicados
Orientador:
Prof. Dr. José Luiz Acebal Fernandes
Centro Federal de Educação Tecnológica de
Minas Gerais
ii
C ENTRO F EDERAL DE E DUCAÇÃO T ECNOLÓGICA DE M INAS G ERAIS
P ROGRAMA DE P ÓS - GRADUAÇÃO EM M ODELAGEM M ATEMÁTICA E C OMPUTACIONAL
B ELO H ORIZONTE
F EVEREIRO DE 2015
iii
Agradecimentos
À Deus por mais esta conquista em minha vida. Sem Ele este trabalho não seria possível.
Aos meus pais, Helena e Valdemis, e aos meus irmãos, Charles e Fabiano, por todo amor,
carinho, compreensão e incetivo ao longo de toda minha caminhada.
Aos amigos do mestrado, afinal, sem eles o trabalho interdisciplinar seria muito mais difícil!
Em especial às meninas! À Lillia por me acolher desde o início do mestrado, com suas
palavras de apoio, com palavras duras quando foi preciso, mas, estava sempre do meu lado,
amiga eterna! À Ju e Carol, companheiras de algumas disciplinas. Elô, que chegou depois,
um pouco tímida, mas logo se enturmou!
Aos professores, por todos os ensinamentos, não só acadêmicos, compartilhados sempre
com sabedoria!
Ao meu orientador, José Luiz Acebal, por ter acreditado no meu potencial, pelos ensinamentos e pela paciência.
Aos integrantes do grupo LabEQ-UFMG pela colaboração no desenvolvimento deste trabalho.
Ao CEFET-MG, pelo apoio financeiro para a realização desta pesquisa.
iv
Resumo
Embora autoridades e população reunam esforços no controle da dengue, segundo a
Organização Mundial de Saúde (OMS), 50 a 100 milhões de pessoas são infectadas
anualmente. O orçamento dos órgãos públicos destinado ao controle da dengue cresce
anualmente, no entanto, na maioria dos países, tais recursos permanecem escassos,
portanto, é importante determinar métodos eficazes para aplicar os mecanismos de controle.
Em particular, é desejável conhecer o melhor período do ano para aplicar-se os mecanismos
de controle. Assim, este trabalho visa verificar a conjectura de que se a janela temporal de
ações de controle for realizada nas estações secas e frias do ano, então as infestações do
vetor nos períodos de alta pluviosidade e altas temperaturas diminuirão. Foi proposto um
modelo para descrever, por meio de equações diferenciais, as populações dos estágios
evolutivos do Aedes aegypti, contemplando a relação entre estas populações e as variáveis
meteorológicas: pluviosidade e temperatura. O modelo foi resolvido analiticamente e seu
comportamento confrontado com dados experimentais da população do vetor, corroborando
a conjectura de que a janela de controle do vetor deve ser adiantada.
Palavras-chave: Dengue. Variáveis meteorológicas. Propagação de vetor.
v
Abstract
Although authorities and population have joined efforts in control of the dengue, according
to the World Health Organization (WHO), 50 to 100 million people are infected annually. The
budget of public bodies for the dengue control grows annually, however, in most countries,
these resources remain scarce, therefore it is important to determine effective methods
to apply the control. In particular, it is desirable to know the best period of time of year
to implement the control actions. The present study aims to verify the conjecture that
the prevention time window is performed in the dry and cold seasons, then the vector
infestations during periods of high rainfall and high temperatures decrease. A model was
proposed to describe, through differential equations, the populations of the evolutionary
stages of the Aedes aegypti, contemplating the relationship between these populations and
the meteorological variables: rainfall and temperature. The model was solved analytically
and behavior confronted with experimental data of the vector population, supporting the
conjecture that the vector control window should be advanced.
Keywords: Dengue. Meteorological variables. Vector propagation.
vi
Lista de Figuras
Figura 1 – Distribuição mundial do Aedes aegypti até 2011. . . . . . . . . . . . . .
1
Figura 2 – Casos de Dengue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Figura 3 – Ciclo Evolutivo do Aedes aegypti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Figura 4 – Ciclo de Infecção da Dengue no Mosquito e no Homem . . . . . . . . .
8
Figura 5 – Municípios brasileiros infestados por Aedes aegypti em 1995 e 2010 . .
10
Figura 6 – Armadilha MosquiTrap versão 1.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Figura 7 – Armadilha MosquiTrap versão 2.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Figura 8 – O sistema MI-Dengue é composto por uma armadilha, a MosquiTRAP,
um celular para coleta de dados e um sistema de gestão de dados online 13
Figura 9 – Diagrama da interação entre fases do ciclo evolutivo do Aedes aegypti e
pluviosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Figura 10 – Comparação entre os dados teóricos de fêmeas de Aedes aegypti pós repasto
sanguíneo obtidos na simulação do modelo (5) e dados reais de IMFA da cidade
de Lavras, Minas Gerais, Brasil no período de 2009/2010. . . . . . . . . . . .
24
Figura 11 – Diagrama da interação entre fases do ciclo do Aedes aegypti e os parâmetros pluviosidade e temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Figura 12 – Ajuste do parâmetro α1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Figura 13 – Ajuste do parâmetro α2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Figura 14 – Ajuste do parâmetro µF1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Figura 15 – Pluviosidade de Lavras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Figura 16 – Temperatura de Lavras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Figura 17 – Evolução da população de ovos (E(t)) de Aedes aegypti em Lavras - MG. 41
Figura 18 – Evolução da população de ovos (A(t)) de Aedes aegypti em Lavras - MG. 41
Figura 19 – Evolução da população de fêmeas de Aedes aegypti pré repasto sanguíneo (F1 (t)) em Lavras - MG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Figura 20 – Evolução da população de fêmeas de Aedes aegypti pré repasto sanguíneo (F2 (t)) em Lavras - MG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Figura 21 – Comparação entre os dados teóricos da população f2 (2) obtidos na
simulação computacional e os dados reais de IMFA da cidade de Lavras,
durante os anos de 2009 e 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 22 – Comparação entre a diferença relativa das populações F2 (t)
44
. . . . . .
45
Figura 23 – Pluviosidade de Curvelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Figura 24 – Temperatura de Curvelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Figura 25 – Evolução da população de ovos de Aedes aegypti (E(t)) em Curvelo - MG. 47
Figura 26 – Evolução da população de larvas e pupas de Aedes aegypti (A(t)) em
Curvelo - MG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
47
Figura 27 – Evolução da população de fêmeas de Aedes aegypti pré repasto sanguíneo (F1 (t)) em Curvelo - MG.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Figura 28 – Evolução da população de fêmeas de Aedes aegypti pós repasto sanguíneo (F2 (t)) em Curvelo - MG.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Figura 29 – Comparação entre os dados teóricos da população f2 (2) obtidos na
simulação computacional e os dados reais de IMFA da cidade de Curvelo,
durante o ano de 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
49
Lista de Tabelas
Tabela 1 – Intervalo de Variação dos Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Tabela 2 – Intervalo dos parâmetros do modelo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Tabela 3 – Variação média dos coeficientes α1 , α2 and µF 1 em função da temperatura 28
Tabela 4 – Diferença relativa percentual da área da população F2 (t) do modelo 11
realizando controle em uma SBP e em uma SAP na cidade de Lavras,
Minas Gerais, Brasil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
46
Sumário
1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Objetivos
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1
Objetivo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2
Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2 Organização do texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 – Conceitos Básicos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1 Dengue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
Dengue no Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2
Biologia do Aedes aegypti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.3
Formas de Transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.4
Prevenção e Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.5
Influência de Variáveis Climáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2 Conceitos Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3 – Modelos Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.1 Modelos Analisados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2 Modelo Envolvendo Pluviosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.2.1
Análise de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.2.2
Parametrização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.2.3
Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.3 Modelo Envolvendo Temperatura Média e Pluviosidade . . . . . . . . . . .
24
3.3.1
Pontos Críticos do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.3.2
Parametrização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4 – Resultados e Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.1 Análise da Estabilidade dos Pontos Críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.2 Validação do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.2.1
Lavras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.2.2
Curvelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5 – Conclusão e Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Referências
51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
Capítulo 1
Introdução
Os primeiros relatos históricos sobre dengue no cenário mundial são de 1779, na Ilha de
Java, no Sudeste Asiático, segundo a Fundação Nacional de Saúde (FNS). Nas Américas,
existem relatos de dengue há mais de 200 anos, com epidemias registradas no Caribe e
nos Estados Unidos (FNS, 2001).
Até 1970 as epidemias graves de dengue atingiram apenas 9 países, mas atualmente a
dengue é considerada uma doença endêmica em mais de 100 países (NEWS, 2012), sendo
considerada um dos principais problemas de saúde pública do mundo (OMS, 2003). Nas
últimas décadas a incidência de dengue aumentou muito em todo o mundo. Segundo a
Organização Mundial de Saúde (OMS), em 2012 mais de 2,5 bilhões de pessoas (40% da
população mundial) viviam em áreas com risco de dengue, estimando-se 50 a 100 milhões
de novas infecções anualmente e 500 mil hospitalizações por febre hemorrágica do dengue,
com letalidade de aproximadamente 2,5% por ano (OMS, 2012).
Figura 1 – Distribuição mundial do Aedes aegypti até 2011.
Fonte: OMS (2012)
1
A figura 1 mostra as regiões do mundo com risco de transmissão de dengue até 2011. Os
países mais atingidos estão localizados em uma larga faixa abaixo e acima do Equador,
35o N e 35o S (BARRETO; TEIXEIRA, 2008) devido, principalmente, ao clima favorável
ao desenvolvimento do Ae. aegypti, principal transmissor da doença. O vetor da dengue
raramente persiste fora da região limitada na figura, no entanto, projeções de elevação de
2o C na temperatura até o final do século XXI provavelmente aumentarão a extensão da
área de distribuição de dengue no planeta (DONALÍSIO; GLASSER, 2002).
O aumento das regiões atingidas pela dengue está intimamente relacionado aos fatores climáticos e sociais. A incidência de casos de dengue aumenta com o aumento da temperatura,
da pluviosidade e da umidade do ar, pois tais fatores favorecem o aumento da quantidade
de criadouros artificiais e também aceleram o desenvolvimento do vetor (RIBEIRO et al.,
2006). Além disso, o rápido crescimento demográfico, a inadequada infra-estrutura urbana,
o aumento da produção de resíduos sólidos, a debilidade das campanhas de saúde e o
despreparo dos agentes de saúde, bem como da população, para o controle da dengue
favorecem a ocorrência de novas epidemias da doença (MENDONÇA; SOUZA; DUTRA,
2009).
Considerando-se as variáveis sócio-climáticas associadas ao ciclo de vida do Ae. aegypti,
modelos matemáticos capazes de descrever a dinâmica populacional e a disseminação
deste vetor, assim como as epidemias causadas por ele, vêm sendo desenvolvidos. Além
disso, esses modelos matemáticos buscam diminuir o gasto com as estratégias de controle
do vetor e aumentar sua eficiência.
Os órgãos públicos gastam cada vez mais no controle das populações do Ae. aegypti, mas
como tais recursos são limitados, faz-se necessário que se conheça a melhor época do
ano para se iniciar as medidas de prevenção e controle do vetor (BARSANTE, 2012). A
conjectura abaixo, feita pelo professor Álvaro Eiras do Laboratório de Ecologia Química
de Insetos Vetores do Instituto de Ciências Biológicas da Universidade Federal de Minas
Gerais (LabEQ - UFMG) foi parcialmente verificada por Barsante (2012).
Conjectura 1 (Eiras, Á. E.) "Se intensificarmos o controle do vetor da dengue na estação
fria e seca, ou seja, se adiantarmos a janela de controle do vetor da doença, diminuiremos
acentuadamente as infestações do vetor no verão e com isso reduziremos o número
de casos de dengue, impacto social e o custo dos órgãos públicos no combate destes
vetores."(BARSANTE, 2012)
Nos trabalhos de Barsante (2012) e Barsante et al. (2013) foi estudada a influência da
pluviosidade na população de fêmeas do Ae. aegypti em fase de oviposição e verificou-se
2
que o controle realizado na semana epidemiológica de baixa pluviosidade é amplamente
vantajoso em relação ao controle realizado na semana epidemiológica de alta pluviosidade.
Com o intuito de ser ainda mais realista, neste trabalho a conjectura 1 será verificada através
da relação existente entre pluviosidade e temperatura média e a população de fêmeas do
Ae. aegypti em fase de oviposição.
1.1
Objetivos
1.1.1
Objetivo Geral
O objetivo geral deste trabalho é criar um modelo baseado em equações diferenciais
capaz de descrever a dinâmica das populações dos estágios evolutivos do Ae. aegypti sob
influência de variáveis meteorológicas: pluviosidade e temperatura e, assim, contribuir para
melhorar a eficiência do controle da dengue.
1.1.2
Objetivos Específicos
• Elaborar uma revisão bibliográfica sobre o vetor da dengue, evidenciando os efeitos
dos índices pluviométricos e da temperatura na evolução da população deste vetor.
• Modificar o modelo não-linear e não autônomo desenvolvido por Barsante et al.
(2013), de forma que o mesmo seja capaz de reproduzir a dependência da evolução
da população de fêmeas do Ae. aegypti não só com a intensidade pluviométrica, mas
também com a temperatura.
• Calibrar os parâmetros do modelo utilizando um conjunto de dados reais fornecidos
pela ECOVEC.
• Validar o modelo comparando os dados obtidos através de simulações numéricas
com os dados reais de algumas cidades do Brasil, fornecidos pelo (LabEQ - ICB UFMG) e pela ECOVEC.
• Validar completamente a conjectura 1 (parcialmente verificada por Barsante (2012)).
1.2
Organização do texto
Descreveremos aqui a organização do texto. O capítulo 2 é dividido em duas partes, na
primeira parte, destinada aos conceitos básicos da dengue, foi feito um breve histórico da
doença no Brasil, destacando também a biologia do Aedes aegypti, principal transmissor
da doença, formas de transmissão, formas de prevenção e controle e a influência das
variáveis meteorológicas no ciclo evolutivo do vetor. A segunda parte é composta por alguns
conceitos matemáticos, como ponto crítico e suas classificações e bifurcação.
3
Alguns modelos matemáticos relacionados ao tema deste trabalho são descritos, sucintamente, no capítulo 3. Além disso, neste capítulo o nosso modelo é descrito detalhadamente,
evidenciando pontos críticos e parametrização sob influência de temperatura e pluviosidade.
No capítulo 4, Resultados e Discussão, fizemos a validação do modelo proposto, através da
comparação de dados reais de duas cidades de Minas Gerais com dados obtidos através
de simulação computacional, e demonstramos a existência de um ponto de bifurcação
transcrítica, através da análise de estabilidade dos pontos críticos do modelo. No capítulo 5
apresentamos conclusões deste trabalho e algumas possibilidades de trabalhos futuros.
4
Capítulo 2
Conceitos Básicos
2.1
Dengue
A dengue é uma doença infecciosa causada por um vírus transmitido pela picada do mosquito Aedes infectado, tendo como principal vetor de importância epidemiológica na transmissão da dengue nas Américas, o Ae. aegypti (MS, 2010). Essa espécie, provavelmente,
chegou ao Brasil no século XVIII, juntamente com as embarcações que transportavam
escravos, já que seus ovos resistem, sem contato com a água, por até um ano.
2.1.1
Dengue no Brasil
Existem evidências da ocorrência de epidemias de dengue no Brasil desde 1846, mas os
primeiros registros na literatura médica datam de 1916, em São Paulo, e 1923, em Niterói
(TEIXEIRA; BARRETO; GUERRA, 1999).
Nas décadas de 1950 e 1960 o vetor da dengue foi eliminado no Brasil, mas tal sucesso
trouxe uma despreocupação quanto à vigilância entomológica do mosquito. Em meados dos
anos setenta, por se tratar de uma época favorável à disseminação do vetor, devido à urbanização intensa e desorganizada no país, o Ae. aegypti voltou a atingir o Brasil (MENDONÇA;
SOUZA; DUTRA, 2009). Em 1982, na cidade de Boa Vista/RO, aconteceu a primeira epidemia de dengue, confirmada em laboratório, com a ocorrência de aproximadamente 11 mil
casos da doença (TEIXEIRA; BARRETO; GUERRA, 1999).
No início da década de 90, a dengue se manteve praticamente restrita aos Estados do
Rio de Janeiro, do Ceará, de Alagoas e Pernambuco (TEIXEIRA; BARRETO; GUERRA,
1999). A partir de meados desta década os sorotipos DENV-1 e DENV-2 se disseminaram
para outros estados brasileiros, acompanhando a dispersão do Ae. aegypti (BARRETO;
TEIXEIRA, 2008).
A introdução do sorotipo DENV-3 no Brasil, em 2001, foi responsável pela grande epidemia
5
de 2001 a 2003 (Nogueira et al. (2005) apud Barreto e Teixeira (2008)), quando foram
notificados 1.564.112 casos de dengue no país, sendo 4.123 na forma hemorrágica, com
217 óbitos. Considerando que estas notificações representaram apenas 15% do total
notificado, o número de casos pode ter sido de aproximadamente 10 milhões. Esse número
pode ser ainda maior, chegando a 40 milhões, se considerarmos que grande parte das
infecções pelo vírus da dengue é assintomática (CâMARA et al., 2007). Após essa epidemia,
registrou-se uma queda no número de notificações, no entanto, no período de 2005 a 2008,
o número de casos notificados voltou a crescer (BARRETO; TEIXEIRA, 2008), sendo que
em 2008 mais de 900 mil casos foram notificados (MS, 2010). Em 2009 a quantidade de
casos caiu novamente, mas voltou a crescer em 2010, atingindo 1.381.254 notificações
(MS, 2010).
A figura 2 mostra a situação epidemiológica da dengue no Brasil em 2011 e nos quatros
primeiros meses de 2012. Em 2012, no período de janeiro a abril, houve uma redução de
44% nos casos em relação a 2011, mas ainda assim, foram confirmados mais de mil casos
graves da doença e 74 óbitos nesse período (MS, 2012).
Figura 2 – Casos de Dengue
Fonte: MS (2012)
Em 2013 foram notificados 1.476.917 casos de dengue, da semana epidemiológica 1 a 44.
Se comparado com a quantidade de casos notificados em 2010, no mesmo período, houve
um aumento superior a 50%. Apesar desse crescimento de casos notificados de 2010 para
2013, houve uma queda de 61% nos casos graves (16.758 para 6.566) e de 10% nos óbitos
(638 para 573) (AMÉRICO, 2013).
2.1.2
Biologia do Aedes aegypti
O vírus da dengue pode ser transmitido por várias espécies de mosquitos do gênero Aedes.
No Brasil, estão presentes as espécies Ae. aegypti e Ae. albopictus, sendo o Ae. aegypti o
principal transmissor da dengue, devido ao seu papel na transmissão da dengue no Brasil,
será o foco neste estudo.
6
O Ae. aegypti se desenvolve através de metamorfose completa (FNS, 2001) e seu ciclo de
vida apresenta dois ambientes distintos: aquático, compreendendo as fases de ovo, larva e
pupa, e aéreo, compreendendo a fase alada (adulta) do vetor (figura 3).
Figura 3 – Ciclo Evolutivo do Aedes aegypti.
Fonte: Secretaria Municipal de Saúde (2010)
Os ovos possuem contorno alongado e fusiforme, medindo cerca de 1mm de comprimento.
Adquirem a cor negra brilhante após a postura, quando são brancos. A fêmea deposita,
preferencialmente, os ovos, individualmente, nas paredes internas dos recipientes que
servem como criadouros, próximos à superfície da água. A fecundação ocorre durante a
postura e o desenvolvimento do embrião, em condições favoráveis de umidade e temperatura, ocorre em 48 horas. Terminado esse processo, os ovos resistem à dessecação por até
450 dias. Essa resistência permite que os ovos sejam transportados por longas distâncias
em recipientes secos, dificultando o controle do vetor da dengue (FNS, 2001).
A fase larvária do Ae. aegypti compreende o período de alimentação e crescimento. As
larvas se alimentam de material orgânico acumulado nas paredes e no fundo dos criadouros.
A duração dessa fase depende da temperatura, disponibilidade de alimento e densidade
larvária no recipiente, sendo que em condições ótimas não ultrapassa 5 dias, já em baixa
temperatura e escassez de alimento se prolonga por várias semanas (FNS, 2001).
Na fase pupal, que dura de 2 a 3 dias, ocorre a metamorfose do estágio larval para o adulto.
As pupas não se alimentam e quando estão inativas se mantêm na superfície da água,
facilitando a emergência do inseto adulto (FNS, 2001).
O mosquito adulto representa a fase reprodutora do inseto. Após 24 horas de emergirem do
estado pupal, machos e fêmeas estão prontos para o acasalamento. A fêmea necessita de
7
apenas uma inseminação para fecundar todos os ovos que venha a produzir ao longo da
sua vida (FNS, 2001).
Os machos e as fêmeas do Ae. aegypti alimentam-se da seiva das plantas, no entanto, a
fêmea se alimenta preferencialmente de sangue de animais vertebrados, principalmente do
homem (antropofilia).
2.1.3
Formas de Transmissão
O agente etiológico da dengue é um arbovírus (vírus transmitido por artrópodes, como os
mosquitos) do gênero Flavivírus, pertencente à família Flaviviridae. Várias espécies de
Aedes podem transmitir a doença, sendo o Ae. aegypti o principal vetor, devido ao seu
comportamento urbano (MAFRA; LEMOS, 2009).
Existem quatro sorotipos conhecidos do vírus da dengue: DENV1, DENV2, DENV3 e
DENV4; e todos eles podem levar a quadros graves da doença. O homem infectado
desenvolve imunidade permanente ao sorotipo causador da doença e imunidade temporária
aos demais sorotipos (MAFRA; LEMOS, 2009).
A transmissão da dengue aos humanos ocorre através da picada da fêmea do Ae. aegypti,
já que ela necessita de sangue humano para maturar seus ovos. Não ocorre transmissão
da doença pelo contato direto de uma pessoa doente com uma sadia, nem pela água, por
alimentos ou outros objetos.
Figura 4 – Ciclo de Infecção da Dengue no Mosquito e no Homem
Fonte: Modificado de Mafra e Lemos (2009)
A figura 4 ilustra o ciclo de infecção da dengue e quando a fêmea do vetor pica uma pessoa
infectada e então se inicia o período de incubação extrínseco do vírus, que dura de 8 a 10
dias. O mosquito infectado transmite o vírus para uma pessoa sadia, iniciando o período de
incubação intrínseco, que dura de 3 a 15 dias. Uma pessoa infectada pode transmitir o vírus
para outros mosquitos desde o dia anterior ao aparecimento dos primeiros sintomas da
doença e durante o período febril agudo que pode durar de 3 a 10 dias, e os vírus dengue
circulam no sangue periférico.
8
2.1.4
Prevenção e Controle
Como ainda não há vacina para a dengue, a prevenção da doença só é efetiva quando a
vigilância entomológica ou o combate ao vetor antecedem a introdução do vírus. Quando
um ou mais sorotipos do vírus já circulam em determinada região, as medidas de combate
ao vetor e a vigilância epidemiológica da doença são pouco eficientes, gerando dificuldades
técnico-científicas e operacionais aos órgãos responsáveis pela prevenção da dengue
devido à complexidade epidemiológica da doença (TEIXEIRA; BARRETO; GUERRA, 1999).
No Brasil, a prevenção da dengue se dá por meio do monitoramento e controle do vetor,
mas com baixa eficiência e altos custos (BARSANTE, 2012).
Considerando a cadeia epidemiológica da dengue, o seu elo vulnerável é o vetor ((TEIXEIRA;
BARRETO; GUERRA, 1999), (TAUIL, 2001)) . O controle do Ae. aegypti é um desafio, principalmente para os países em desenvolvimento (DONALÍSIO; GLASSER, 2002), uma vez
que, mesmo quando os recursos destinados às ações de controle são apropriados, muitas
vezes o sucesso não é alcançado devido a cinco fatores principais: busca por soluções
fáceis, perda de habilidades técnicas e gerenciais do pessoal responsável pelo programa,
agravamento do problema, desconsideração de experiências passadas e expectativa de
fracasso (Halstead (1988) apud Donalísio e Glasser (2002)).
O controle integrado, envolvendo poder público e população, tem sido recomendado nas
últimas décadas por apresentar maior sustentabilidade que as estratégias centralizadas e
baseadas em um único método. No controle integrado do Ae. aegypti as medidas preventivas
são constiuídas de ações simples e eficazes, direcionadas aos criadouros e dependentes de
cuidados adotados pela população. Atualmente, a tecnologia disponível abrange medidas
de controle físico, químico e biológico (DONALÍSIO; GLASSER, 2002).
No controle biológico são usados organismos vivos capazes de competir, eliminar ou
parasitar as larvas ou formas aladas do vetor (TEIXEIRA; BARRETO; GUERRA, 1999).
Para o controle em bebedouros de grandes animais, fossos de elevador de obras, espelhos
d’água, fontes ornamentais, piscinas abandonadas e depósitos de água não potável são
indicados predadores do tipo peixes larvófagos, por sua fácil obtenção e manutenção. As
bactérias do tipo Bacillus thuringiensis var israelensis (Bti) são específicas para o controle
de larvas do Ae. aegypti e vem sendo utilizadas em regiões do Brasil onde foi detectada
resistência ao larvicida organofosforado (DONALÍSIO; GLASSER, 2002).
O controle químico é utilizado nas fases larval e adulta do Ae. aegypti. O tratamento
focal com larvicida é empregado mundialmente, sendo o inseticida organofosforado o
mais utilizado. O controle químico por adulticida pode ser feito de duas formas, ambas
utilizadas por muitos programas de controle do Ae. aegypti: o tratamento perifocal consiste
na borrifação de inseticida de ação residual e a aplicação espacial de inseticida a ultra baixo
9
volume (UBV) é indicada para situações de transmissão (DONALÍSIO; GLASSER, 2002).
No Brasil, o Ae. aegypti é monitorado por pesquisa larvária, ovitrampas iscadas e aspirador
de mochila. A pesquisa larvária é realizada bimestralmente e requer intenso trabalho de
campo e laboratório. Esse método é pouco sensível e fornece taxas de risco de dengue
pouco confiáveis, pois utiliza índices entomológicos baseados em formas imaturas do vetor.
As ovitampras iscadas com infusões de ervas são mais sensíveis que a pesquisa larvária,
no entanto, são mais indicadas para períodos de baixa densidade populacional do vetor, pois
só permite quantificar o número de ovos depositados e não a densidade populacional de
uma determinada área. O aspirador de mochila é utilizado para capturar a forma adulta do
Ae. aegypti em repouso, principalmente dentro dos domicílios. É um método com limitações,
especialmente por ser invasivo e trabalhoso (EIRAS; RESENDE, 2009).
Figura 5 – Municípios brasileiros infestados por Aedes aegypti em 1995 e 2010
Fonte: Ministério da Saúde (a)
Apesar de todas essas estratégias de monitoramento e controle do Ae. aegypti, nos últimos
anos houve um aumento da dispersão do mosquito em todo o país. Entre 1995 e 2010 a
quantidade de municípios brasileiros com presença do vetor passou de 1753 para 4007
(aumento de quase 130%), conforme mostra a figura 5.
Assim, visando uma forma mais eficiente de monitoramento e, consequentemente, de
R
controle do Ae. aegypti, foi desenvolvida a armadilha MosquiTRAP
. Essa armadilha foi
criada com base em estudos do comportamento de oviposição de fêmeas Ae. aegypti.
A primeira versão da armadilha (figura 6) era constituída de um frasco contendo 300ml
de infusão de gramíneas, utilizada como atraente de oviposição, e um cartão adesivo
removível, na parte interna, acima do nível da água, onde os mosquitos adultos ficavam
10
presos (RESENDE et al., 2010).
Figura 6 – Armadilha MosquiTrap versão 1.0
Fonte: Resende et al. (2010)
A segunda versão da armadilha (figura 7) é um frasco preto e fosco, de aproximadamente
dois litros, dividido em duas partes. A parte inferior, que contem 300ml de água e uma tela
para evitar a oviposição, e a superior, que acopla na base. Acima do nível da água, na
tela de proteção, é fixado o atraente sintético de oviposição (AtrAedes). Entre a base e a
parte superior foi colocado um cartão adesivo inodoro capaz de reter os mosquitos adultos
(RESENDE et al., 2010). Essa armadilha é usada em sistema privado de Monitoramento
Inteligente da Dengue (MI-Dengue).
O MI-Dengue é um programa de serviços desenvolvido pela Ecovec Ltda., Belo Horizonte,
Brasil, que realiza monitoramento de vetores adultos, permitindo ao município obter, semanalmente, uma imagem da infestação do Ae. aegypti, utilizando um pequeno número
R
de agentes de saúde. Além da armadilha MosquiTRAP
, o sistema ultiliza um sistema
informatizado para monitorar a população de vetores. As armadilhas, georreferenciada por
GPS, são posicionadas dentro da área urbana do município e são vistoriadas semanalmente
pelos agentes de endemias equipados com celulares. As informações de campo, enviadas
em tempo real para uma central, são processadas imediatamente, gerando mapas de
infestação codificados por cores, tabelas de incidência por bairros, relatórios de plano de
ação para controle, além da área de gestão de equipe e insumos (Eiras e Resende (2009),
ECOVEC (2014)). Assim é possível que se faça uma análise da situação de forma mais
apurada e objetiva, permitindo que as secretarias de saúde e centros de epidemiologia
preparem planos de ação mais objetivos.
A figura 8 mostra todas as ferramentas que compõem o MI-Dengue. A armadilha utilizada é
11
Figura 7 – Armadilha MosquiTrap versão 2.0
Fonte: Resende et al. (2010)
a MosquiTRAP, que já foi descrita nesta seção, ilustrada na figura 7. O dispositivo móvel é
um telefone celular de baixo custo que é transformado em um formulário eletrônico e central
de envio de dados. Esta ferramenta permite que os dados coletados na casa dos moradores
sejam disponibilizados imediatamente para os gestores. O site do sistema MI-Dengue é o
local onde o gestor do programa de controle da dengue de cada município pode acessar os
dados de forma analítica e mais conclusiva. Nele, as informações de campo são organizadas
em forma de gráficos, tabelas e mapas que, por sua vez, orientam o gestor na tomada de
decisões (ECOVEC, 2014).
O sistema MI-Dengue utiliza o Índice Médio de Fêmeas Aedes (IMFA) como indicador
entomológico para classificar cada região do município que utiliza o sistema. O IMFA é
dado por IMFA =
k
, sendo k o número médio de fêmeas Ae. aegypti capturadas em
n
n armadilhas instaladas por semana epidemiológica em uma área de monitoramento. A
predição de risco do município é classificada por verde ou satisfatória (IMFA abaixo de
0,15), amarela ou moderada (IMFA entre 0,15 e 0,30), laranja ou de alerta (IMFA entre
0,30 e 0,60), e vermelho ou crítica (IMFA igual ou superior a 0.6) (ECOVEC, 2013). O
MI-Dengue já foi implementado em mais de 50 municípios, dentro e fora do Brasil, com o
objetivo de direcionar as ações de prevenção da dengue. Estudos concluídos recentemente
mostraram que nos municípios que implantaram o sistema houve uma melhora significativa
nos resultados das ações de prevenção da doença (ECOVEC, 2014).
12
Figura 8 – O sistema MI-Dengue é composto por uma armadilha, a MosquiTRAP, um celular
para coleta de dados e um sistema de gestão de dados online
Fonte: Modificado de ECOVEC (2013)
2.1.5
Influência de Variáveis Climáticas
A incidência de casos de dengue varia juntamente com as condições climáticas e está relacionada, principalmente, com o aumento de temperatura e pluviosidade, já que estes fatores
favorecem o aumento da quantidade de criadouros disponíveis e também o desenvolvimento
do vetor (RIBEIRO et al., 2006).
Em alguns países tropicais, o pico de ocorrência de dengue coincide com os meses de
alta pluviosidade, entretanto, os depósitos de armazenamento de água, que geralmente
independem da precipitação, representam o principal habitat da fase larval nestes países.
Tal fato sugere que o aumento de casos de dengue pode não estar tão relacionado com a
densidade de mosquitos, mas sim com o aumento da sobrevida dos mosquitos adultos, que
ocorre nas condições de temperatura e umidade típicas da estação chuvosa, aumentando a
probabilidade de fêmeas infectadas transmitirem o vírus (DONALÍSIO; GLASSER, 2002).
Segundo Ribeiro et al. (2006) a ocorrência de casos de dengue autóctone (contraída no
próprio território estudado), em São Sebastião - SP, por sexo, faixa etária e local provável de
infecção e sua relação com as variáveis temperatura e pluviosidade. Os resultados mostraram que há uma forte associação entre o número de casos, pluviosidade e temperatura, e
conclui-se que a chuva e a temperatura de um determinado mês contribuíram para explicar
o número de casos de dengue de dois a quatro meses depois. Além disso, constatou-se que
o aumento da densidade populacional no município coincidiu com os meses de verão, que
apresentam maiores valores de temperatura e pluviosidade e, consequentemente, elevados
índices vetoriais. Esse cenário é favorável à ocorrência de dengue.
13
O trabalho de Beserra et al. (2009) avaliou o efeito da temperatura sobre o ciclo de vida
do Ae. aegypti, além de determinar as exigências térmicas para o seu desenvolvimento e
estimar o número de gerações anuais do inseto em campo. O ciclo de vida do Ae. aegypti
foi estudado em câmaras climatizadas em seis temperaturas diferentes (18 ± 2o C , 22 ± 2o C ,
26 ± 2o C , 28 ± 2o C , 32 ± 2o C , 34 ± 2o C ) e fotofase de 12 horas. Os resultados mostraram
que o tempo de desenvolvimento de ovo, larva, pupa e de ovo a adultos diminuíram com o
aumento da temperatura. Constatou-se também que os extremos de 18o C e 34o C diminuem
o número de ovos por fêmea, e que temperaturas a partir dos 28o C diminuem a longevidade
da espécie.
No trabalho de Costa, Santos e Albuquerque (2010) foi analisado o efeito de pequenas
variações de temperatura e umidade sobre a atividade reprodutiva e a sobrevivência do Ae.
aegypti. O estudo foi realizado com 678 fêmeas do vetor, no primeiro ciclo gonotrófico, nas
temperaturas de 23-27o C, 28-32o C e 33-37o C; associada à umidade relativa de 60 ± 8%
e 80 ± 6%. Conclui-se que as fêmeas mantidas à temperatura de 25o C e umidade de
80%, sobreviveram duas vezes mais e produziram 40% mais ovos, que aquelas mantidas a
35o C e 80% de umidade. Constatou-se também que 45% das fêmeas mantidas a 35o C e
60% de umidade tiveram a postura inibida. Esses resultados mostram a relação existente
entre fatores climáticos e aspectos reprodutivos do Ae. aegypti, e podem contribuir com o
entendimento da dinâmica populacional do mosquito.
A influência da variação da temperatura diurna (DTR) na transmissão do vírus da dengue
pelo Ae. aegypti foi estudada por Lambrechts et al. (2011). Foram realizados dois experimentos independentes usando diferentes sorotipos DENV e constatou-se que os mosquitos
foram menos susceptíveis à infecção pelo vírus e morreram mais rápido sob maior DTR em
torno da mesma temperatura. Além disso, utilizando um modelo termodinâmico, verificaram
que, para temperaturas médias < 18o C , a transmissão de DENV aumenta quando DTR
aumenta, já para temperaturas médias > 18o C , altos DTR reduzem a transmissão do DENV.
Em Silva e Silva (2009) foram analisados vários estudos que relacionam condições bioclimáticas e dengue. Com base nesses estudos se propuseram a analisar e diagnosticar a
influência e potencialidade das variáveis bioclimáticas, temperatura e umidade, em relação
às condições biofísicas do Ae. aegypti no estado do Rio Grande do Norte. No desenvolvimento da pesquisa, coletaram dados de temperatura e umidade; e utilizaram Correlação
Linear de Pearson, Lógica Nebulosa, Distribuição Normal Reduzida ou Gaussiana e Estatística Descritiva para analisar os dados. Concluiu-se que temperaturas médias abaixo
de 0o C e acima de 40o C são letais ao mosquito; entre 0o C e 18o C suas atividades são
suspensas (diapausa); entre 18o C e 21o C e entre 34o C e 40o C, o Ae. aegypti encontra
dificuldades de desenvolvimento; a faixa de 21o C a 29o C apresenta-se como favorável
ao seu desenvolvimento; na faixa entre 29o C e 32o C ocorre potencialidade máxima de
14
desenvolvimento do vetor; e, finalmente, entre 32o C e 34o C há um declínio no potencial
máximo de desenvolvimento do Ae. aegypti. Quanto à umidade relativa do ar, o mosquito
encontra grande potencialidade de desenvolvimento na faixa entre 70% e 100%.
Diante de todas essas evidências da relação existente entre variáveis climáticas e dengue,
vamos nos basear no modelo de Barsante (2012) para construir um modelo preditivo capaz
de descrever a dinâmica populacional dos estágios evolutivos do Ae. aegypti sob influência
de variáveis meteorológicas.
2.2
Conceitos Matemáticos
Definição 2 Um sistema pode ser definido como um conjunto de objetos agrupados por
alguma interação, existindo relações de causa e efeito nos fenômenos que ocorrem com
seus elementos. Um sistema é dito dinâmico quando algumas de suas grandezas variam
no tempo.
Definição 3 (Sistemas Dinâmicos) Um sistema dinâmico representado por equações diferenciais de primeira ordem pode ser escrito como
dx1
= f1 (t, x1 , x2 , . . . , xn ),
dt
dx2
= f2 (t, x1 , x2 , . . . , xn ),
dt
(1)
..
.
dxn
= fn (t, x1 , x2 , . . . , xn ),
dt
onde a variável independente t e as funções xi e fi são tais que t ∈ I =]a, b[, xi : I → R e
fi : I × Rn → R, com i = 1, 2, 3, . . . , n.
Um sistema dinâmico, como descrito na definição 3, é dito autônomo se todas as funções
fi não dependem da variável independente t, mas apenas das variáveis dependentes, xi .
Além disso, se cada uma das funções, fi , do sistema dinâmico for uma função linear das
variáveis dependentes xi , então o sistema é dito linear ; caso contrário, é não-linear.
Definição 4 (Ponto Crítico) Considere um sistema dinâmico autônomo linear da forma
v~0 (t) = A~v (t),
(2)
em que A é uma matriz quadrada de ordem n. Se existirem pontos tais que A~v (t) = ~0, estes
são chamados de pontos críticos (ou triviais) do sistema. Nestes pontos, v~0 (t) = 0 para todo
15
v , ou seja, os pontos críticos correspondem a soluções constantes (ou de equilíbrio) do
sistema de equações diferenciais. Os pontos críticos podem ser classificados como estável,
assintoticamente estável e instável.
Definição 5 (Ponto Crítico Estável) Um ponto crítico, ~x0 , de um sistema dinâmico autônomo linear é dito estável se, dado qualquer > 0, existe um δ > 0, tal que toda solução
~ do sistema 2, que satisfaz, em t = 0,
~x = φ(t)
~
kφ(0)
− ~x0 k < δ,
existe para todo t positivo e satisfaz
~ − ~x0 k < kφ(t)
para todo t ≥ 0.
Definição 6 (Ponto Crítico Assintoticamente Estável) Um ponto crítico, ~x0 é dito assintoticamente estável se é estável e se existe um δ0 , com 0 < δ0 < δ , tal que, se uma solução
~ satisfaz
~x = φ(t)
~
kφ(0)
− ~x0 k < δ0 ,
então
~ = ~x0 .
lim φ(t)
t→∞
Definição 7 (Ponto Crítico Instável) Um ponto crítico que não é estável é dito instável.
Definição 8 (Polinômio Característico) Considere a matriz A da definição 4 e a matriz
identidade In . O polinômio característico da matriz A é dado por
p(λ) = det(A − λIn ) = a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an ; ai ∈ R; a0 6= 0,
(3)
onde as raízes de p(λ) são os autovalores de A.
Teorema 9 Considere a sequência de coeficientes do polinômio 3, dada por a0 , a1 , · · · , an−1 , an .
Seja k o número total de mudanças de sinal a partir de um coeficiente para o próximo da
sequência. O número de raízes reais positivas do polinômio é igual a k ou k menos um
inteiro par positivo. Se k = 1 então existe exatamente uma raiz real positiva.
16
Definição 10 A Tabela de Routh associada ao polinômio 3 é dada por

r11 = a0 r12 = a2 r13 = a4 r14 = a6



 r =a r =a r =a r =a
 21
1
22
3
23
5
24
7



 r
r3,2
r3,3
r3,4

3,1



 r
r4,2
r4,3
r4,4

4,1




..
..
..
..

.
.
.
.



rn+1,1
rn+1,2
rn+1,3
rn+1,4
onde ri,j = ri−2,j+1 −
···




··· 




··· 




··· 









···
(4)
ri−2,1
(ri−1,j+1 ).
ri−1,1
Teorema 11 Todas as raízes do polinômio 3 tem parte real estritamente menor que zero
se, e somente se, todos os n + 1 elementos da primeira coluna da matriz 4 são diferentes
de zero e possuem o mesmo sinal.
A estrutura qualitativa das soluções de um sistema dinâmico pode mudar juntamente com a
variação de um ou mais parâmetros do sistema. Em particular, pontos fixos de um sistema
dinâmico podem ser criados, destruídos ou apenas tem sua estabilidade alterada. Essas
mudanças qualitativas no sistema dinâmico são chamadas de bifurcações e os valores dos
parâmetros para os quais elas ocorrem são chamados de ponto de bifurcação (Guevara
(2003), Strogatz (1994)).
As bifurcações são importantes cientificamente pois fornecem modelos de transição e
instabilidade quando ocorre a variação de um parâmetro. Além disso, existem situações
científicas em que um ponto fixo precisa existir para todos os valores de parâmeto e nunca
pode ser destruído. Por exemplo, na equação logística e em modelos simples, usados
para determinar o crescimento de uma única espécie, existe um ponto fixo para população
nula, independente do valor da taxa de variação. No entanto, tal ponto fixo precisa mudar
sua estabilidade quando um parâmetro varia. A bifurcação transcrítica, definida abaixo,
possibilita essa mudança de estabilidade.
Definição 12 (Bifurcação Transcrítica) Sejam µ = µ0 um parâmetro, x1 e x2 os pontos
fixos de um dado sistema de equações diferenciais. A bifurcação transcrítica ocorre se os
dois pontos críticos coincidem em µ0 , para µ > µ0 tem-se que x1 é instável e x2 é estável
17
e para µ < µ0 , x1 é estável e x2 é instável. Ou seja, na bifurcação transcrítica existe uma
troca de estabilidade entre dois pontos fixos.
18
Capítulo 3
Modelos Matemáticos
A dengue, como vimos ao longo deste trabalho, tem sido motivo de preocupação para a
sociedade em várias regiões do mundo. Assim, para que haja controle da doença é extremamente importante conhecer hábitos e tempo de vida do vetor, locais de maior incidência,
processos de cura, influência dos fatores climáticos, dentre outros fatores relacionados à
doença.
Para Forattini (2002) apud Ribeiro et al. (2006), as variáveis climáticas, temperatura e
pluviosidade, em geral se relacionam com a transmissão da dengue. O conhecimento
desse processo pode propiciar maior entendimento sobre a dinâmica de transmissão e,
assim, contribuir para seu controle. Nesse sentido, vários modelos matemáticos vêm sendo
desenvolvidos com o intuito de descrever a dinâmica populacional do ciclo evolutivo do Ae.
aegypti.
3.1
Modelos Analisados
Um modelo matemático para descrever a transmissão de dengue foi desenvolvido por
Yang et al. (2007). O modelo é composto por dois sistemas de equações diferenciais.
O primeiro sistema é composto por cinco equações que descrevem as populações de
mosquitos: larva, pupa, adultos suscetíveis, adultos infectados mas não infectantes e adultos
infectantes. O segundo descreve a população humana através de quatro equações que
representam os indivíduos suscetíveis, expostos, infectantes e recuperados. Com base no
estado estacionário desses sistemas determinou-se os pontos críticos e suas estabilidades;
e, consequentemente o número de reprodutibilidade basal. Com base nesse parâmetro
epidemiológico estudou-se os valores limiares dependentes da temperatura. Concluiu-se
que o risco de colonização e infestação por mosquitos é muito elevado para temperaturas
entre 16 e 23o C, já as temperaturas entre 25 e 30o C favorecem a deflagração de dengue.
No trabalho de Esteva e Yang (2011) foi desenvolvido um modelo para analisar o efeito
19
da inserção de machos estéreis e utilização de inseticidas na dinâmica de evolução da
dengue, a partir das fases aquática (ovos, larvas e pupas) e alada, com o objetivo de
reduzir a população de vetores da dengue a níveis aceitáveis ou até mesmo eliminá-los
do ambiente. Dando continuidade a este trabalho, Thomé (2007) propôs um modelo de
otimização baseado em técnicas de controle ótimo. Ele desenvolveu um modelo funcional
de custo capaz de minimizar gastos relacionados com a mortalidade de fêmeas fertilizadas
do vetor, produtos químicos e inserção de machos estéreis. Este problema foi resolvido
analiticamente e numericamente.
o trabalho de Barsante (2012) foi proposto um modelo preditivo capaz de descrever a
dinâmica das populações do ciclo evolutivo do Ae. aegypti, baseando-se em dados de pluviosidade. Verificou-se a vantagem de se fazer controle do vetor nas semanas epidemiológicas
frias e secas sobre o método de controle usual, realizado nas semanas epidemiológicas
quentes e chuvosas. A validação do modelo foi realizada por comparação entre dados de
capturas de fêmeas grávidas para a cidade de Lavras (Minas Gerais, Brasil) e a população
de fêmeas Ae. aegypti grávidas prevista teoricamente usando dados de pluviosidade da
mesma cidade e no mesmo período. Esse modelo será detalhado na próxima seção uma
vez que foi usado como base para o modelo desenvolvido neste trabalho.
3.2
Modelo Envolvendo Pluviosidade
Nesta seção vamos descrever, suscintamente, o trabalho de Barsante (2012), que será
usado como base para a formulação do modelo proposto aqui. O modelo citado trata da
influência da pluviosidade na população de fêmeas Ae. aegypti grávidas através de um
sistema dinâmico não linear. Esse sistema descreve a dinâmica das quatro populações do
ciclo evolutivo do Ae. aegypti em função do tempo. A população de ovos é representada
por E(t); a população aquática (larvas + pupas) é representada por A(t); a população
de fêmeas pré-repasto é representada por F1 (t) e a população de fêmeas pós-repasto é
representada por F2 (t). A figura 9 ilustra o diagrama dessa interação populacional.
Neste diagrama considerou-se:
•
•
•
•
•
φ - taxa de oviposição intrínseca por unidade de fêmeas acasaladas férteis;
C - capacidade do meio;
α1 - taxa por unidade de indivíduo com que os ovos passam para a fase aquática;
µE - taxa por unidade de indivíduo que morre naturalmente da população de ovos;
cE - taxa por unidade de indivíduo que morre adicionalmente devido ao controle na
população de ovos;
• α2 - taxa por unidade de indivíduo em que o vetor passa da população aquática para
a população de fêmeas pré-repasto sanguíneo;
20
Figura 9 – Diagrama da interação entre fases do ciclo evolutivo do Aedes aegypti e pluviosidade
Fonte: Modificado de Barsante (2012)
• µA - taxa por unidade de indivíduo que morre naturalmente na fase aquática;
• cA - taxa por unidade de indivíduo que morre adicionalmente devido ao controle na
população aquática;
• α3 - taxa por unidade de indivíduo com que fêmeas pré-repasto sanguíneo se transformam em fêmeas pós-repasto sanguíneo;
• µF 1 - taxa por unidade de indivíduo que morre naturalmente da população de fêmeas
pré-repasto sanguíneo;
• cF 1 - taxa por unidade de indivíduo que morre adicionalmente devido ao controle na
população de fêmeas pré-repasto sanguíneo;
• µF 2 - taxa por unidade de indivíduo que morre naturalmente de fêmeas pós-repasto
sanguíneo;
• cF 2 - taxa por unidade de indivíduo que morre adicionalmente devido ao controle na
população de fêmeas pós-repasto sanguíneo.
Assim, o sistema de equações diferenciais não-lineares que representam a dinâmica deste
21
vetor é dado por:







































dE
dt
= φ(p) 1 −
dA
dt
= α1 (p)E − α2 (p)A − µA (p)A − cA (t)A,
E
C(t)
F2 − α1 (p)E − µE (p)E − cE (t)E,
dF1
= α2 (p)A − α3 (p)F1 − µF1 (p)F1 − cF1 (t)F1 ,
dt
(5)
dF2
= α3 (p)F1 − µF2 (p)F2 − cF2 (t)F2 .
dt
Os parâmetros p e t representam índice pluviométrico e tempo, respectivamente. A primeira
equação do modelo 5 representa a taxa de variação da população de ovos E(t), que é
abastecida pelos ovos depositados
pelapopulação F2 (t) auma taxa de oviposição por
unidade de indivíduo dada por φ 1 −
E
. O fator
C
1−
E
C
atenua φ, caso a população
de ovos seja suficientemente grande comparada com o valor de C , que representa a capacidade do meio para manter vivos os indivíduos desta população associada à abundância
de nutrientes, criadouros disponíveis, dentre outros. A população E(t) sofre decréscimo
proporcional à taxa com que os indivíduos evoluem desta fase para a população aquática,
σA (p); devido à mortalidade natural da espécie, a uma taxa por unidade de indivíduo, µE (p);
e também devido à mortalidade adicional a uma taxa por unidade de indivíduo cE (t).
A taxa de variação da população aquática, A(t), é representada pela segunda equação do
modelo. Esta população sofre acréscimo devido a uma taxa de ovos, σA (p), que evoluem por
unidade de tempo para esta fase. A população aquática sofre decréscimo devido à taxa com
que os indivíduos desta fase evoluem para a fase alada, γ(p); devido à mortalidade natural
da espécie a uma taxa, µA (t), por unidade de indivíduo; e também devido à mortalidade
adicional a uma taxa por unidade de indivíduo, cA (t).
A terceira equação do modelo 9 representa a taxa de variação da população de fêmeas
pré-repasto sanguíneo F1 (t). A população sofre acréscimo devido a uma taxa por unidade
de indivíduo com que esta população evolui para a fase alada dada por γ(p). Esta população
sofre decréscimo a uma taxa por unidade de fêmeas que praticam o repasto sanguíneo,
β(p); a uma taxa por unidade de indivíduo dada por µF1 (p), que representa a mortalidade
natural da espécie; e também sofre decréscimo devido à mortalidade adicional a uma taxa
cF1 (t).
A última equação do modelo 9 representa a taxa de variação da população de fêmeas aca-
22
saladas pós-repasto sanguíneo, F2 (t). Esta população é acrescida pela taxa por unidade de
fêmeas que praticam o repasto sanguíneo, β(p). O decréscimo ocorre devido à mortalidade
natural da espécie, a uma taxa por unidade de indivíduo dada por µF2 (p), e também devido
à mortalidade adicional a uma taxa por unidade de indivíduo dada por cF2 (t).
3.2.1
Análise de Estabilidade
Todas as variáveis do modelo dependem da pluviosidade, no entanto, com o intuito de
estudar os pontos críticos do sistema 5, Barsante (2012) considerou os parâmetros entomológicos (φ, C , α1 , α2 , α3 , µE , µA , µF1 , µF2 )e as taxas de controle (cE , cA , cF1 , cF2 ) constantes.
Assim, os pontos críticos do modelo são:
3.2.2
Parametrização
As faixas dos parâmetros entomológicos adotados no modelo 5 estão ilustradas na tabela 1,
sendo que a unidade de todos eles é dias−1 .
Tabela 1 – Intervalo de Variação dos Parâmetros
Taxas
φ
C
α1
α2
α3
µE
µA
µF 1
µF 2
Valor Mínimo
0,56
1
0,01
0,06
0,333
0,01
0,164
0,043
0,057
Valor Máximo
11,2
1
0,5
0,16
1
0,01
0,164
0,17
0,33
Por simplicidade, Barsante (2012) adotou uma parametrização linear para dependência dos
parâmetros do modelo 5 com a pluviosidade p = p(t). Assim, sendo Π um dos parâmetros
da tabela 1, a parametrização será dada por:
Π(p) = Πmin (p) + a(p − pmin ), sendo a =
Πmax (p) − Πmin (p)
.
pmax − pmin
Definidos todos os parâmetros do modelo 5, a dinâmica das populações foi observada
R
através do algoritmo de Runge-Kutta de quarta ordem, implementado em MATLAB
.
3.2.3
Resultados
Em seu trabalho, Barsante (2012) analisou o efeito da pluviosidade acumulada semanalmente na dinâmica da população de fêmeas Ae. aegypti em fase de oviposição, fase em
23
que ocorre a picada e, consequentemente, a transmissão do vírus. Para validar o modelo,
os dados obtidos pela simulação computacional foram comparados com os dados reais de
IMFA da cidade de Lavras (Minas Gerais, Brasil), referentes às semanas epidemiológicas 9
a 52 do ano de 2009 e 1 a 52 de 2010, fornecidos pela parceria do LabEQ-UFMG com a
Ecovec Ltda. (figura 10).
Figura 10 – Comparação entre os dados teóricos de fêmeas de Aedes aegypti pós repasto sanguíneo obtidos na simulação do modelo (5) e dados reais de IMFA da cidade de Lavras,
Minas Gerais, Brasil no período de 2009/2010.
0.5
1
F2(t)
IMFA
0.8
0.3
0.6
0.2
0.4
0.1
0.2
F2(t)
IMFA
0.4
0
9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97101
Semana Epidemiológica
0
Fonte: Barsante (2012)
Analisando o gráfico da figura 10, Barsante (2012) verificou que existem razoáveis coincidências nas ocorrências de picos e que os vales apresentam perfis semelhantes, embora
as pequenas flutuações do IMFA não tenham sido reproduzidas pelo modelo.
3.3
Modelo Envolvendo Temperatura Média e Pluviosidade
O modelo 9 se mostrou bem próximo da realidade como verificamos no gráfico da figura
10, no entanto, a influência da temperatura sobre o ciclo evolutivo do Ae. aegypti não foi
considerada. Com o intuito de deixar o modelo ainda mais próximo das condições reais,
a variável meteotológica temperatura será inserida no modelo 9. Dessa forma, o modelo
proposto aqui descreve a influência da temperatura e da pluviosidade na população de
fêmeas Ae. aegypti grávidas através de um sistema dinâmico não-linear. O diagrama da
figura 11 ilustra a interação das quatro fases do ciclo evolutivo do vetor.
24
Figura 11 – Diagrama da interação entre fases do ciclo do Aedes aegypti e os parâmetros
pluviosidade e temperatura
As populações e os parâmetros utilizados são os mesmos do modelo 9, por isso não
serão repetidos aqui. Assim, o novo sistema de equações diferenciais não-lineares que
representam a dinâmica do vetor descrito neste trabalho é o seguinte:







































dE
dt
= φ(p, T ) 1 −
dA
dt
= α1 (p, T )E − α2 (p, T )A − µA (p, T )A − cA (t)A,
E
C(t)
F2 − α1 (p, T )E − µE (p, T )E − cE (t)E,
dF1
= α2 (p, T )A − α3 (p, T )F1 − µF1 (p, T )F1 − cF1 (t)F1 ,
dt
(6)
dF2
= α3 (p, T )F1 − µF2 (p, T )F2 − cF2 (t)F2 .
dt
As quatro equações do sistema 6 representam, respectivamente, as taxa de variação das
populações de ovos, aquática (larvas e pupas), fêmeas pré-repasto sanguíneo e fêmeas
pós-repasto sanguíneo, já descritas na seção anterior.
3.3.1
Pontos Críticos do Modelo
Para determinar os pontos críticos do sistema 6, vamos considerar que os parâmetros
entomológicos (φ, C , α1 , α2 , α3 , µE , µA , µF1 , µF2 ) e as taxas de controle (cE , cA , cF1 , cF2 )
são constantes no tempo, embora dependam da temperatura e da pluviosidade.
25
De acordo com a definição 4, para determinarmos os pontos fixos do sistema 6 precisamos
igualar o lado esquerdo das quatro equações a zero. Assim, retirando p, T e t para simplificar
a notação, temos:

E

F2 − α1 E − µE E − cE E = 0,
φ
1
−

C









α 1 E − α 2 A − µ A A − cA A
= 0,





α2 A − α3 F1 − µF1 F1 − cF1 F1










α3 F1 − µF2 F2 − cF2 F2




= 0,
(7)
= 0.
Resolvendo o sistema 7, encontramos os dois pontos críticos do modelo 6, chamados de
P0 (ponto crítico trivial) e P1 (ponto crítico não-trivial).
P0 =


E










 A
= 0,
= 0,
(8)



F1 = 0,









F2 = 0.
P1 =



E













A



1
= C 1−
RM
,
α1
=
(α2 + µA + cA )
1
1−
C,
RM
(9)



α2
α1
1


1−
F1 =
C,


(α3 + µF1 + cF1 ) (α2 + µA + cA )
RM









α3
α2
α1
1

 F2 =
1−
C.
(µF2 + cF2 ) (α3 + µF1 + cF1 ) (α2 + µA + cA )
RM
sendo RM a taxa de reprodutividade basal do vetor, dada por:
RM =
α1
α2
α3
φ
.
(α1 + µE + cE ) (α2 + µA + cA ) (α3 + µF1 + cF1 ) (µF2 + cF2 )
26
3.3.2
Parametrização
Os parâmetros do modelo 11, que eram representados por equações lineares dependentes
apenas da pluviosidade, serão representados por equações dependentes de temperatura e
pluviosidade. Indicando a sequência de coeficientes por Ψ = (φ, α1 , α2 , α3 , µE , µA , µF 1 , µF 2 ),
temos
Ψ(p, T ) = Π(p) + Θ(T ),
(10)
onde Π(p) e Θ(T ) representam a dependência da pluviosidade e da temperatura, respectivamente. Para os coeficientes dependentes da pluviosidade foi usada a parametrização por lei de potência (CORDEIRO et al., 2013), ou seja, considerando Π(p) =
(φ(p), α1 (p), α2 (p), α3 (p), µE (p), µA (p), µF 1 (p), µF 2 (p)), temos
Π(p) = Πmin +
(Πmax − Πmin )
(p − pmin )r .
(pmax − pmin )r
(11)
A Tabela 2 mostra os valores mínimo e máximo, associados à semana de chuva mínima
(pmin ) e máxima (pmax ), respectivamente, utilizados na equação 11 para cada um dos
coeficientes entomológicos.
Tabela 2 – Intervalo dos parâmetros do modelo 11
Parâmetro
Faixa
Parâmetro
Faixa
Parâmetro
Faixa
φ
0, 56 − 11, 2
C
1 − 1
α1
0, 01 − 0, 5
µE
0, 01 − 0, 01
cE
0, 3 − 0, 3
α2
0, 06 − 0, 16
µA
0, 164 − 0, 164
cA
0, 3 − 0, 3
µF1
0, 043 − 0, 17
cF1 = cF2
0-0
α3
0, 2 − 0, 2
µF2
0, 057 − 0, 17
Para determinar como os coeficientes α1 , α2 , µF 1 e µF 2 se relacionam com a temperatura
utilizamos os estudos de Beserra et al. (2006) e Smith et al. (1988). A pesquisa realizada
por Beserra et al. (2006) foi conduzida com populações de Ae. aegypti coletadas em cinco
municípios pertencentes a quatro regiões bioclimáticas da Paraíba - Brasil. O ciclo biológico
de cada população foi estudado em câmaras climatizadas e em salas de criação reguladas
a 18, 22, 26, 30 e 34◦ C, e fotofase de 12 horas. De acordo com Smith et al. (1988), nenhuma
das fases do ciclo evolutivo do Ae. aegypti sobrevive à temperatura de 46◦ C, sendo que
a 43◦ C apenas as larvas sobrevivem por mais de 4 horas. Utilizando a temperatura letal
ao vetor e a duração de cada fase do seu ciclo evolutivo construímos a Tabela 3. Esses
27
estudos sugerem que os parâmetros dependem da temperatura de forma quadrática, ou
seja, para Θ(T ) = (α1 (T ), α2 (T ), µF 1 (T ), µF 2 (T )), temos
Θ(T ) = Θ0p + a(T − TOp )2 .
(12)
Por simplicidade, propomos o ajuste quadrático, biologicamente plausível, pois espera-se
que o processo metabólico do vetor tenha temperaturas ideais de funcionamento, e diminua
sua eficiência em temperaturas fora desse valor. A proposta do ajuste é mostrar a parábola
que melhor se ajusta aos dados dos trabalhos de Beserra et al. (2006) e Smith et al. (1988),
citados anteriormente.
Tabela 3 – Variação média dos coeficientes α1 , α2 and µF 1 em função da temperatura
18◦ C
22◦ C
26◦ C
30◦ C
34◦ C
43◦ C
46◦ C
α1
0,095511
0,166113
0,240385
0,30303
0,324675
-
0
α2
0,038491
0,061275
0,09434
0,128866
0,116822
0
-
µF 1 = µF 2
0,023148
0,025202
0,024486
0,040225
0,050865
-
-
Figura 12 – Ajuste do parâmetro α1
Media
Ajuste
0.3
0.25
α1
0.2
0.15
0.1
0.05
0
15
20
25
30
35
Temperatura (°C)
40
45
Os dados da tabela 3, referentes ao parâmetro α1 , foram plotados e ajustados por uma
função quadrática, utilizando o MATLABr , na versão Rb2009, conforme o gráfico da figura
28
12. A equação do ajuste é dada por
α1 (T ) = 0, 3029 − 0, 001339(T − 31, 17)2 .
Os dados referentes ao parâmetro α2 (tabela 3) também foram plotados e ajustados por
uma função quadrática, conforme a figura 13, donde temos
α2 (T ) = 0, 1178 − 0, 0006558(T − 29, 88)2 .
Figura 13 – Ajuste do parâmetro α2
Media
fit
0.12
0.1
α2
0.08
0.06
0.04
0.02
0
15
20
25
30
35
Temperature (°C)
40
45
Como as populações F1 e F2 referem-se às fêmeas adultas do Ae. aegypti, consideramos
µF 1 = µF 2 . A figura 14 ilustra o ajuste quadrático feito com os dados do parâmetro µF1 . A
equação do ajuste feito no MATLABr é dada por
µF 1 (T ) = µF 2 (T ) = 0, 02281 + 0, 0001501(T − 20, 13)2 .
O parâmetro φ(t) = −0.0176T 2 + 0.8714T − 9.7903, referente à taxa de oviposição, foi
extraído do trabalho de Lana (2009), no qual o processo de oviposição foi simulado como um
processo dinâmico, sendo que a temperatura controlava a quantidade de ovos depositados
por cada fêmea. Os parâmetros µA = 0.01 + 0.9725e((4.85−T )/2.7035) e µE = 0, 01 foram
encontrados em (OTERO; SOLARI; SCHWEIGMANN, 2006), observe que o parâmetro µE
não depende da temperatura.
Segundo (BARSANTE, 2012), a fêmea adulta do Ae. aegypti, em condições climáticas ideais
(26◦ C), demora apenas um dia para acasalar, já em condições desfavoráveis (extremos
29
Figura 14 – Ajuste do parâmetro µF1
Média
Ajuste
0.05
0.045
µ F1
0.04
0.035
0.03
0.025
15
20
25
Temperatura (ºC)
30
35
de 19◦ C e 33◦ C), demora, em média, cinco dias. Ajustando estes dados por uma parábola
encontramos α3 = 1 −
1
(T − 26)2 .
64
Assim, os parâmetros usados na simulação computacional serão dados por:
φmax − φmin
(p − pmin )r + −0.0176T 2 + 0.8714T − 9.7903,
r
(pmax − pmin )
α1
− α1min
α1min + max
(p − pmin )r + 0, 3029 − 0, 001339(T − 31, 17)2 ,
(pmax − pmin )r
− α2min
α2
α2min + max
(p − pmin )r + 0, 1178 − 0, 0006558(T − 29, 88)2 ,
r
(pmax − pmin )
α3
1
− α3min
α3min + max
(p − pmin )r + 1 − (T − 26)2 ,
r
(pmax − pmin )
64
µE
− µEmin
µEmin + max
(p − pmin )r + 0, 01,
(pmax − pmin )r
µA
− µAmin
µAmin + max
(p − pmin )r + 0.01 + 0.9725e((4.85−T )/2.7035) ,
(pmax − pmin )r
µF
− µF1min
µF1min + 1max
(p − pmin )r + 0, 02281 + 0, 0001501(T − 20, 13)2 ,
(pmax − pmin )r
µF
− µF2min
µF2min + 2max
(p − pmin )r + 0, 02281 + 0, 0001501(T − 20, 13)2 .
r
(pmax − pmin )
φ(p, T ) = φmin +
α1 (p, T ) =
α2 (p, T ) =
α3 (p, T ) =
µE (p, T ) =
µA (p, T ) =
µF1 (p, T ) =
µF2 (p, T ) =
30
Capítulo 4
Resultados e Discussão
Neste capítulo serão apresentados resultados dos testes computacionais a fim de analisar
o comportamento do modelo 11, verificando sua plausibilidade biológica através da comparação com dados reais das cidades de Lavras e Curvelo. Faremos também uma análise dos
pontos críticos do modelo e a verificação da conjectura.
O sistema dinâmico 6 foi implementado em MATLABr , na versão Rb2009, utilizando o
algoritmo de Runge-Kutta de quarta ordem para descrever a dinâmica populacional. As
condições iniciais do modelo foram definidas como sendo as coordenadas do ponto crítico
não trivial da primeira semana epidemiológica de cada cidade analisada.
4.1
Análise da Estabilidade dos Pontos Críticos
A análise de estabilidade dos pontos críticos, P0 e P1 , é determinada pelos autovalores
associados à matriz Jacobiana. As matrizes jacobianas referentes a P0 e P1 são dadas,
respectivamente, por

BP0


=



BP1



=


−(α1 + µE + cE )
0
0
φ
α1
−(α2 + µA + cA )
0
0
0
α2
−(α3 + µF1 + cF1 )
0
0
0
α3
−(µF2 + cF2 )

φ
−RM (µF2 + cF2 )
0
0
RM
α1
−(α2 + µA + cA )
0
0
0
α2
−(α3 + µF1 + cF1 )
0
0
0
α3
−(µF2 + cF2 )

31


,





.


Os polinômios característicos associados às matrizes BP0 e BP1 , sendo λ os autovalores
correspondentes, são dados por:
ΦP0 (λ) = λ4 + [(α1 + µE + cE ) + (α2 + µA + cA ) + (α3 + µF1 + cF1 ) + (µF2 + cF2 )]λ3
+ (α1 + µE + cE )[(α2 + µA + cA ) + (α3 + µF1 + cF1 )]λ2
+ (α2 + µA + cA )[(α3 + µF1 + cF1 ) + (µF2 + cF2 )]λ2
+ (µF2 + cF2 )[(α1 + µE + cE ) + (α3 + µF1 + cF1 )]λ2
(13)
+ (α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )[(α3 + µF1 + cF1 ) + (µF2 + cF2 )]λ
+ (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )[(α1 + µE + cE ) + (α2 + µA + cA )]λ
+ (α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )(1 − RM ),
ΦP1 (λ) = λ4 + [(α2 + µA + cA ) + (α3 + µF1 + cF1 ) + (µF2 + cF2 )]λ3
φα1 α2 α3
+
λ3
(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
+ (µF2 + cF2 )[(α2 + µA + cA ) + (α3 + µF1 + cF1 )]λ2
(14)
φα1 α2 α3
λ2
+ (α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 ) +
(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
φα1 α2 α3
φα1 α2 α3
+
λ2
+
(α + µA + cA )(µF2 + cF2 ) (α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )
2
φα1 α2 α3
φα1 α2 α3
φα1 α2 α3
+
+
λ
+
(α2 + µA + cA ) (α3 + µF1 + cF1 ) (µF2 + cF2 )
1
+ (α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )λ + φα1 α2 α3 1 −
.
RM
Segundo o Critério de Estabilidade de Hurwitz, a estabilidade de um ponto crítico é estabelecida pela parte real dos autovalores, portanto, para determinar a estabilidade não é
necessário calcular explicitamente os valores de λ, basta conhecermos o sinal de suas
partes reais. Assim, vamos demonstrar três teoremas referentes à estabilidade do modelo.
Teorema 13 O ponto de equilíbrio trivial, P0 = (0, 0, 0, 0) é estável se 0 < RM < 1 e
instável se RM > 1.
Demonstração: Considerando o polinômio característico 3 temos a seguinte Tabela de
32
Routh:












1
a2 a4

a1
a3 0 


a1 a2 − a3
a4 0 
,
a1

2
a1 a4

0 0 
a3 −

a1 a2 − a3
a4
0 0
(15)
onde
a1 = (α1 + µE + cE ) + (α2 + µA + cA ) + (α3 + µF1 + cF1 ) + (µF2 + cF2 ),
a2 = (α1 + µE + cE )[(α2 + µA + cA ) + (α3 + µF1 + cF1 )]
+ (α2 + µA + cA )[(α3 + µF1 + cF1 ) + (µF2 + cF2 )]
+ (µF2 + cF2 )[(α1 + µE + cE ) + (α3 + µF1 + cF1 )],
a3 = (α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )[(α3 + µF1 + cF1 ) + (µF2 + cF2 )]
+ (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )[(α1 + µE + cE ) + (α2 + µA + cA )],
a4 = (α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )(1 − RM ).
Agora vamos provar que todos os elementos da primeira coluna da matriz 15 são positivos.
Todos os parâmetros do modelo são positivos, logo:
a1 = (α1 + µE + cE ) + (α2 + µA + cA ) + (α3 + µF1 + cF1 ) + (µF2 + cF2 ) > 0.
Como a1 > 0, para provarmos que
a1 a2 − a3
> 0, basta provarmos a1 a2 − a3 > 0.
a1
Efetuando-se os cálculos necessários, temos
a1 a2 − a3 = 2(α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )
+ 2(α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )(µF2 + cF2 )
+ 2(α1 + µE + cE )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
+ 2(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
+ (α1 + µE + cE )2 [(α2 + µA + cA ) + (α3 + µF1 + cF1 ) + (µF2 + cF2 )]
+ (α2 + µA + cA )2 [(α1 + µE + cE )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )]
+ (α3 + µF1 + cF1 )2 [(α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )(µF2 + cF2 )]
+ (µF2 + cF2 )2 [(α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )] > 0.
33
Sabendo que a1 a2 − a3 > 0, então a3 −
a21 a4
a1 a2 a3 − a23 − a21 a4
=
> 0 se a1 a2 a3 −
a1 a2 − a3
a1 a2 − a3
a23 − a21 a4 > 0, como está provado abaixo:
a1 a2 a3 − a23 − a21 a4 = (α1 + µE + cE )3 (α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )
+ (α1 + µE + cE )3 (α2 + µA + cA )2 (µF2 + cF2 )
+ (α1 + µE + cE )3 (α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )2
+ (α1 + µE + cE )3 (α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )
+ (α1 + µE + cE )3 (α2 + µA + cA )(µF2 + cF2 )2
+ (α1 + µE + cE )3 (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )2
+ (α1 + µE + cE )2 (α2 + µA + cA )3 (α3 + µF1 + cF1 )
+ (α1 + µE + cE )2 (α2 + µA + cA )3 (µF2 + cF2 )
+ (α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )3 (α3 + µF1 + cF1 )2
+ (α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )3 (µF2 + cF2 )2
+ (α2 + µA + cA )3 (α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )
+ (α2 + µA + cA )3 (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )2
+ (α1 + µE + cE )2 (α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )3
+ (α1 + µE + cE )2 (α3 + µF1 + cF1 )3 (µF2 + cF2 )2
+ (α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )3
+ (α1 + µE + cE )(α3 + µF1 + cF1 )3 (µF2 + cF2 )2
+ (α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )3 (µF2 + cF2 )
34
+ (α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )3 (µF2 + cF2 )2
+ (α1 + µE + cE )2 (α2 + µA + cA )(µF2 + cF2 )3
+ (α1 + µE + cE )2 (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )3
+ (α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )2 (µF2 + cF2 )3
+ (α1 + µE + cE )(α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )3
+ (α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )3
+ (α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )3
+ 2(α1 + µE + cE )3 (α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
+ 2(α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
+ 2(α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )3 (µF2 + cF2 )
+ 2(α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )3
+ 2(α1 + µE + cE )2 (α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )2
+ 2(α1 + µE + cE )2 (α2 + µA + cA )2 (µF2 + cF2 )2
+ 2(α1 + µE + cE )2 (α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )2
+ 2(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )2
+ 4(α1 + µE + cE )2 (α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
+ 4(α1 + µE + cE )2 (α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )
+ 4(α1 + µE + cE )2 (α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )2
+ 4(α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )
+ 4(α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )2
+ 4(α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )2
+ φα1 α2 α3 [(α1 + µE + cE ) + (α2 + µA + cA )]2
+ φα1 α2 α3 [(α3 + µF1 + cF1 ) + (µF2 + cF2 )]2
+ 2φα1 α2 α3 [(α1 + µE + cE ) + (α2 + µA + cA )][(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )] > 0.
Finalmente, se 0 < RM < 1, então
a4 = (α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )(1 − RM ) > 0,
ou seja, todos os elementos da primeira coluna da Tabela de Routh são estritamente
positivos e, pelo teorema 11, todas as raízes do polinômio 13 têm parte real estritamente
menor que zero, logo P0 é estável. Caso contrário, ou seja, se RM > 1, P0 é instável. Teorema 14 O ponto de equilíbrio não trivial, P1 , é estável se RM > 1 e instável se
0 < RM < 1.
35
Demonstração: Considerando o polinômio característico 3, a tabela de Routh também será
dada por 15, onde:
a1 = (α2 + µA + cA ) + (α3 + µF1 + cF1 ) + (µF2 + cF2 )
φα1 α2 α3
+
,
(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
a2 = (α2 + µA + cA )[(α3 + µF1 + cF1 ) + (µF2 + cF2 )] + (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
φα1 α2 α3
1
1
φα1 α2 α3
+
+
+
,
(α2 + µA + cA ) (α3 + µF1 + cF1 ) (µF2 + cF2 )
(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
a3 = (α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
φα1 α2 α3
φα1 α2 α3
φα1 α2 α3
+
+
,
+
(α2 + µA + cA ) (α3 + µF1 + cF1 ) (µF2 + cF2 )
1
a4 = φα1 α2 α3 1 −
.
RM
Como todos os parâmetros do modelo são positivos, temos
a1 = (α2 + µA + cA ) + (α3 + µF1 + cF1 ) + (µF2 + cF2 )
φα1 α2 α3
+
> 0.
(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
Como a1 > 0, para que
abaixo.
a1 a2 − a3
> 0 basta que a1 a2 − a3 > 0, como segue provado
a1
36
a1 a2 − a3 = (α2 + µA + cA )2 [(α3 + µF1 + cF1 ) + (µF2 + cF2 )]
+ (α3 + µF1 + cF1 )2 [(α2 + µA + cA ) + (µF2 + cF2 )]
+ (µF2 + cF2 )2 [(α2 + µA + cA ) + (α3 + µF1 + cF1 )]
+ 2(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
1
1
1
+
+
+ 2φα1 α2 α3
(α2 + µA + cA ) (α3 + µF1 + cF1 ) (µF2 + cF2 )
φα1 α2 α3 (α2 + µA + cA )
+
(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
φα1 α2 α3 (α3 + µF1 + cF1 )
+
(α2 + µA + cA )(µF2 + cF2 )
φα1 α2 α3 (µF2 + cF2 )
+
(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )
(φα1 α2 α3 )2
+
(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )
(φα1 α2 α3 )2
+
(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )2
(φα1 α2 α3 )2
> 0.
+
(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )2
a21 a4
a1 a2 a3 − a23 − a21 a4
=
> 0 basta provar a1 a2 a3 − a23 − a21 a4 ,
a1 a2 − a3
a1 a2 − a3
pois já provamos que a1 a2 − a3 > 0.
Para provar que a3 −
a1 a2 − a3 − a23 − a21 a4 = (α2 + µA + cA )3 (α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )
+ (α2 + µA + cA )3 (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )2
+ (α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )3 (µF2 + cF2 )
+ (α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )3 (µF2 + cF2 )2
+ (α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )3
+ (α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )3
+ 2φα1 α2 α3 (α2 + µA + cA )2
+ 2φα1 α2 α3 (α3 + µF1 + cF1 )2
+ 2φα1 α2 α3 (µF2 + cF2 )2
+ 4φα1 α2 α3 (α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )
37
+ 4φα1 α2 α3 (α2 + µA + cA )(µF2 + cF2 )
+ 4φα1 α2 α3 (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
+ 3(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )2
φ2 α12 α22 α32
+ 4
(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )
φ2 α12 α22 α32
+ 4
(α2 + µA + cA )(µF2 + cF2 )
φ2 α12 α22 α32
+ 4
(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
2φ2 α12 α22 α32
2φ2 α12 α22 α32
2φ2 α12 α22 α32
+
+
+
(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )2
(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )φα1 α2 α3
+
(µF2 + cF2 )
(α2 + µA + cA )2 (µF2 + cF2 )φα1 α2 α3
+
(α3 + µF1 + cF1 )
(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )2 φα1 α2 α3
+
(µF2 + cF2 )
(α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )φα1 α2 α3
+
(α2 + µA + cA )
(α2 + µA + cA )(µF2 + cF2 )2 φα1 α2 α3
+
(α3 + µF1 + cF1 )
(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )2 φα1 α2 α3
+
(α2 + µA + cA )
φ3 α13 α23 α33
+ 3
(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )2
φ3 α13 α23 α33
+
(α2 + µA + cA )3 (α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )
φ3 α13 α23 α33
+
(α2 + µA + cA )3 (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )2
φ3 α13 α23 α33
+
(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )3 (µF2 + cF2 )
φ3 α13 α23 α33
+
(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )3 (µF2 + cF2 )2
φ3 α13 α23 α33
+
(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )3
φ3 α13 α23 α33
+
(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )3
(α2 + µA + cA )φ2 α12 α22 α32
+
(α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )
38
+
+
+
+
+
+
(α2 + µA + cA )φ2 α12 α22 α32
(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )2
(α3 + µF1 + cF1 )φ2 α12 α22 α32
(α2 + µA + cA )2 (µF2 + cF2 )
(α3 + µF1 + cF1 )φ2 α12 α22 α32
(α2 + µA + cA )(µF2 + cF2 )2
(µF2 + cF2 )φ2 α12 α22 α32
(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )
(µF2 + cF2 )φ2 α12 α22 α32
(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )2
(α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )
+ (α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )
+ (α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )2
+ 2(α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )
+ 2(α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )2 (α3 + µF1 + cF1 )(µF2 + cF2 )2
+ 2(α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )(α3 + µF1 + cF1 )2 (µF2 + cF2 )2
+ 2(α1 + µE + cE )(α2 + µA + cA )φα1 α2 α3
+ 2(α1 + µE + cE )(α3 + µF1 + cF1 )φα1 α2 α3
+ 2(α1 + µE + cE )(µF2 + cF2 )φα1 α2 α3 > 0.
Finalmente, se RM > 1, então a4 = φα1 α2 α3
1
1−
RM
> 0, ou seja, todos os elementos
da primeira coluna da Tabela de Routh são estritamente positivos e, pelo teorema 11, todas
as raízes do polinômio 14 tem parte real estritamente menor que zero, logo P1 é estável.
Caso contrário, P1 é instável. Teorema 15 O sistema 6 apresenta uma bifurcação transcrítica no ponto RM = 1.
Demonstração: Nos teoremas 13 e 14 provamos que se 0 < RM < 1 o ponto crítico P0 é
estável e P1 é instável, já se RM > 1 então P0 é instável e P1 é estável, os seja, em RM = 1
ocorreu uma troca de estabilidade, caracterizando um bifurcação. Além disso, se RM = 1
temos P0 = P1 = (0, 0, 0, 0), ou seja, os pontos críticos coincidem. Como não houve criação
ou destruição de pontos críticos e houve uma troca de estabilidade em RM = 1, pela
definição 12, temos uma bifurcação transcrítica. 39
4.2
Validação do Modelo
O modelo foi validado através da comparação entre os resultados dos experimentos computacionais e os dados amostrais de IMFA das cidades de Lavras e Curvelo. Para a cidade de
Lavras, Minas Gerais, Brasil, dispomos de dados amostrais de IMFA, pluviosidade acumulada semanalmente e temperatura média semanal, referentes às semanas epidemiológicas
9 a 52 do ano de 2009 e 1 a 52 do ano de 2010. Para a cidade de Curvelo, Minas Gerais,
Brasil, temos dados de IMFA, pluviosidade acumulada semanalmente e temperatura média
semanal referentes às semanas epidemiológicas 8 a 51 do ano de 2009. Os dados de
temperatura e pluviosidade são do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) e foram
nos passado através do LabEQ-UFMG. Os dados de IMFA foram coletados e fornecidos a
nós pela Ecovec.
4.2.1
Lavras
Os dados de pluviosidade e temperatura da cidade de Lavras estão mostrados nas figuras 15
e 16, respectivamente. Observe que Lavras apresenta um verão chuvoso, com temperaturas
variando entre 23 e 25o C, condições ideais para proliferação do vetor da dengue.
Figura 16 – Temperatura de Lavras
Figura 15 – Pluviosidade de Lavras
150
26
Temperatura Média (ºC)
Pluviosidade (mm 3)
24
100
50
22
20
18
16
0
14
9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97101
Semana Epidemiológica
9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97101
Semana Epidemiológica
As figuras 17, 18, 19 e 20 ilustram a dinâmica populacional dos estágios evolutivos do Ae.
aegypti, para a cidade de Lavras, sem utilização de controle e assumindo r = 0, 7, que
foi definido empiricamente. Analisando a figura 17, percebemos que para longos períodos
chuvosos, como ocorrido entre as semanas 33 e 67, a população de ovos se manteve
elevada, sofrendo pouca variação, mesmo ocorrendo grandes variações de pluviosidade. A
figura 18 ilustra a evolução populacional da fase aquática (larvas + pupas) do Ae. aegypti.
Analisando a figura percebemos que há semelhança de picos entre a população aquática
e os índices pluviométricos da cidade, correlacionando a influência da pluviosidade nesta
fase do ciclo evolutivo do vetor.
40
Figura 17 – Evolução da população de ovos (E(t)) de Aedes aegypti em Lavras - MG.
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
120
80
E(t)
E(t)
Temperature (ºC)
60
Pluviosidade(mm3)
40
Pluviosidade(mm)
100
20
9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97101
Semana Epidemiológica
0
Figura 18 – Evolução da população de ovos (A(t)) de Aedes aegypti em Lavras - MG.
3
A(t)
Temperature(ºC)
Pluviosidade(mm3)
A(t)
2
50
1
0
9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97101
Semana Epidemiológica
Pluviosidade(mm)
100
0
Na figura 19 temos a evolução da população F1 (t). Analisando as curvas, percebemos que
os picos de F1 (t) acontecem juntamente com os picos de pluviosidade, mostrando que,
assim como a população aquática, a população F1 (t) sofre grande influência da pluviosidade.
41
Figura 19 – Evolução da população de fêmeas de Aedes aegypti pré repasto sanguíneo
(F1 (t)) em Lavras - MG.
Pluviosidade(mm)
100
F1(t)
F1(t)
Temperature(ºC)
Pluviosidade(mm3)
0.4
0.2
0
9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97101
Semana Epidemiológica
0
Figura 20 – Evolução da população de fêmeas de Aedes aegypti pré repasto sanguíneo
(F2 (t)) em Lavras - MG.
2
F2(t)
Temperature (ºC)
100
Pluviosidade(mm)
F2(t)
Pluviosidade (mm3)
1
0
9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97101
Semana Epidemiológica
42
0
Finalmente, a evolução da população F2 (t) está ilustrada na figura 20. A população F2 (t)
também acompanha os índices pluviométricos, no entanto, um longo período chuvoso, como
ocorrido entre as semanas epidemiológicas 33 e 67 causa pouca variação na população.
Como nosso objetivo é avaliar a influência de variáveis meteorológicas (temperatura e
pluviosidade) sobre a população de fêmeas Ae. aegypti em fase de oviposição, pois é
nesta fase que ocorre a picada e, consequentemente, a transmissão do vírus da dengue,
vamos concentrar nossa análise na população F2 do modelo. A comparação entre os dados
de IMFA e a população F2 gerada pelo modelo pode ser entendida como a validação do
modelo. Os dados de IMFA não podem ser considerados exatos, uma vez que o fenômeno
de captura pode sofrer influência de diversas formas, como climáticas e humanas. Além
disso, a coleta para os dados de IMFA é feita semanalmente, impondo um atraso médio de
4 dias sobre os dados. Assim, a comparação entre IMFA e F2 deve ser feitas apenas de
forma qualitativa, analisando coincidências entre ocorrências de picos e vales.
Para compararmos a população F 2, gerada pelo modelo, com a população de fêmeas
Ae. aegypti em fase de oviposição, dada pelo IMFA, definimos uma nova população, f2 . A
população f2 foi obtida a partir da população F2 , através de dois ajustes realizados sobre
os eixos x e y . No eixo x foi feita uma translação de F2 , com o objetivo de coincidir o maior
número de picos entre F2 e IMFA. No eixo y foi feito um ajuste pelo método dos mínimos
quadrados com o intuito de comparar a área sob as curvas. Para este ajuste no eixo y
fizemos F2 · a = f2 e, em seguida, D = (IM F A − f2 )2 . Quanto menor o valor de D, melhor
é o nosso ajuste.
Na figura 21 temos a comparação entre f2 e IMFA. Neste caso, o melhor ajuste ocorreu
com uma translação de aproximadamente uma semana epidemiológica e D = 0.029162.
Observe que o nosso modelo conseguiu uma curva bem semelhante à curva do IMFA, no
entanto, não conseguiu acompanhar os picos do IMFA que aconteceram nas semanas 47,
57, 61, 65 e 67, período que também ocorreram altos índices pluviométricos.
Para verificação da conjectura 1 simulamos a realização do controle apenas nas populações
A(t) e E(t), pois, no Brasil, o Ministério da Saúde realiza o controle, principalmente,
sobre essas duas populações. O tempo de controle foi estabelecido em uma semana
epidemiológica e o valor do controle foi fixado em cE = cA = 0, 3, por dia. O controle é
considerado eficiente quando reduz ao máximo a população de Ae. aegypti e também
quando seu efeito é mais duradouro, ou seja, o controle deve ser efetivo durante o maior
tempo possível. A avaliação da eficiência do controle será relativamente mensurada através
da comparação entre a dinâmica da população F2 (t) sem controle e com controle. Para
realizar essa comparação, definimos, assim como Barsante (2012), as diferenças relativas,
43
Figura 21 – Comparação entre os dados teóricos da população f2 (2) obtidos na simulação
computacional e os dados reais de IMFA da cidade de Lavras, durante os anos
de 2009 e 2010
1
1
f (t)
2
0.9
Imfa
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97101
Semana Epidemiológica
Imfa
f2(t)
0.9
0
M (t) e N (t), como:
M (t) =
[F2 (t) SBP ] − [F2 (t) SRC]
,
[F2 (t) SRC]
(16)
N (t) =
[F2 (t) SAP ] − [F2 (t) SRC]
,
[F2 (t) SRC]
(17)
sendo,
SBP: Semana epidemiológica de baixa pluviosidade
SAP: Semana epidemiológica de alta pluviosidade
SRC: Semana epidemiológica sem realização de controle.
A figura 22 ilustra as curvas M (t) e N (t). A curva N (t) foi representada utilizando a
equação 17 e considerando a semana epidemiológica 27 como sendo de baixa pluviosidade.
Analogamente, para representar M (t) foram consideradas a equação 16 e a semana
epidemiológica 47 como de alta pluviosidade. Analisando as duas curvas, percebemos
que ao realizarmos o controle em uma semana de baixa pluviosidade, obtivemos um pico
de maior profundidade e também de maior extensão, indicando maior durabilidade se
44
Figura 22 – Comparação entre a diferença relativa das populações F2 (t)
0%
M(t)
N(t)
−5%
Redução Relativa
−10%
−15%
−20%
−25%
−30%
−35%
−40%
9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97101
Semana Epidemiológica
comparado ao pico refente ao controle realizado em uma semana de alta pluviosidade. Tal
fato mostra que o controle realizado em uma semana de baixa pluviosidade é muito mais
eficiente que o controle realizado em uma semana de alta pluviosidade.
Com o objetivo de avaliar quão mais eficiente é o controle realizado em uma semana
epidemiológica de baixa pluviosidade, vamos calcular a área sob as curvas M (t) e N (t).
A diferença percentual em relação ao tamanho da população F2 (t), dada por R, foi avaliada
por integrais ao longo do período estudado, a fim de comparar a eficiência das ações de
controle realizadas em SAP e SBP:
R
R
N (t)dt − M (t)dt
I
I
R
R=
× 100%.
M (t)dt
I
(18)
A Tabela 4 ilustra a diferença relativa percentual (equação 18) da área da população F2 (t)
do modelo 6 realizando controle sobre três semanas epidemiológicas de baixa pluviosidade
24, 27 e 30 e sobre três semanas epidemiológicas de alta pluviosidade 38, 47 e 51, e em
pares, foram consideradas todas as combinações destas semanas no período de estudo na
cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil.
Analisando este conjunto de dados, observamos que ao se realizar o controle nas semanas
epidemiológicas de baixa pluviosidade, tem-se uma diferença relativa percentual maior da
45
Tabela 4 – Diferença relativa percentual da área da população F2 (t) do modelo 11 realizando
controle em uma SBP e em uma SAP na cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil.
SAP
38
47
52
24
142.67%
117.11%
92.07%
27
305.87%
263.11%
189.20%
30
231.81%
196.85%
162.62%
SBP
área da população F2 (t) quando comparado ao controle realizado nas semanas epidemiológicas de alta pluviosidade. O controle na SBP mostrou-se vantajoso em relação ao
controle na SAP nas semanas 24-52 e 24-47, variando de 92.07% a 117.11%, no entanto,
nas semanas restantes, o controle na SBP mostrou-se ainda mais vantajoso, atingindo até
305.87%.
4.2.2
Curvelo
Os dados de pluviosidade e temperatura da cidade de Curvelo estão representados nas
figuras 23 e 24, respectivamente. Observe que da semana epidemiológica 10 a 13 e também
da 40 a 48, ocorrem picos de pluviosidade e temperatura, favorecendo a proliferação do
vetor.
Figura 23 – Pluviosidade de Curvelo
Figura 24 – Temperatura de Curvelo
120
29
28
100
Temperatura Média (ºC)
Pluviosidade (mm 3)
27
80
60
40
26
25
24
23
22
20
21
0
8
12
16
20
24
28
32
36
Semana Epidemiológica
40
44
20
48
8
12
16
20
24
28
32
36
Semanas Epidemiológicas
40
44
48
As figuras 25, 26, 27 e 28 ilustram a dinâmica populacional de cada uma das populações
do modelo 11, considerando r = 1, 4. O valor de r foi definido empiricamente e é diferente
do valor encontrado para a cidade de Lavras. Esperava-se que o valor de r fosse o mesmo
para as duas cidades, já que o parâmetro é referente à biologia do mosquito. Portanto, o
modelo precisa ser melhorado.
46
Figura 25 – Evolução da população de ovos de Aedes aegypti (E(t)) em Curvelo - MG.
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
100
E(t)
E(t)
Temperature Média(ºC)
Pluviosidade(mm)
80
60
Pluviosidade(mm)
120
40
20
8
12
16
20
24
28
32
36
Semana Epidemiológica
40
44
48
0
Figura 26 – Evolução da população de larvas e pupas de Aedes aegypti (A(t)) em Curvelo
- MG.
4
A(t)
100
2
0
8
12
16
20
24
28
32
36
Semana Epidemiológica
40
44
48
Pluviosidade(mm)
A(t)
Temperature Média(ºC)
Pluviosidade(mm)
0
Assim como aconteceu na cidade de Lavras, a população de ovos sofreu pouca influência
dos picos de pluviosidade (figura 25), já a população da fase aquática sofre grandes
alterações quando ocorrem os picos de pluviosidade (figura 26).
A população F1 sofre pequenas elevações quando ocorrem os picos de pluviosidade (figura
27), já a população F2 sofre grandes alterações quando ocorrem pluviosidades elevadas,
47
sendo que entre as semanas 20 e 34, quando ocorreram as temperaturas mais baixas,
ocorreram também as menores populações.
Figura 27 – Evolução da população de fêmeas de Aedes aegypti pré repasto sanguíneo
(F1 (t)) em Curvelo - MG.
100
F1(t)
0.6
F1(t)
Temperature Média(ºC)
Pluviosidade(mm)
0.4
50
Pluviosidade(mm)
150
0.2
0
8
12
16
20
24
28
32
36
Semana Epidemiológica
40
44
48
0
Figura 28 – Evolução da população de fêmeas de Aedes aegypti pós repasto sanguíneo
(F2 (t)) em Curvelo - MG.
3
150
F2(t)
100
1
50
F2(t)
2
0
8
12
16
20
24
28
32
36
Semana Epidemiológica
40
44
48
Pluviosidade(mm)
Temperature Média(ºC)
Pluviosidade(mm)
0
Na figura 29 temos a comparação entre IMFA e a população f2 , obtida a partir da população
F2 , como descrito para a cidade de Lavras. Percebe-se que o modelo acompanha bem
48
os dados reais até a semana epidemiológica 46, mas a partir daí, quando começam os
picos de pluviosidade, o modelo não consegue acompanhar o crescimento da população de
fêmeas pós repasto sanguíneo, dada pelo IMFA.
Figura 29 – Comparação entre os dados teóricos da população f2 (2) obtidos na simulação
computacional e os dados reais de IMFA da cidade de Curvelo, durante o ano
de 2009
1
1
f (t)
2
0.9
Imfa
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
12
16
20
24
28
32
36
Semana Epidemiológica
49
40
44
48
0
Imfa
f2(t)
0.9
Capítulo 5
Conclusão e Trabalhos Futuros
A dengue é considerada a principal doença viral veiculada por mosquitos (OMS, 2012) e
como ainda não existe uma vacina efetiva e de baixo custo a curto prazo, qualquer política
pública para o controle da epidemia da dengue em climas tropicais deve necessariamente
incluir estratégias apropriadas para minimizar população de vetores (TAKAHASHI, 2004).
O modelo estudado foi desenvolvido de forma a descrever a variação no ciclo evolutivo
do Ae. aegypti, em função das variações de temperatura média e pluviosidade. A relação
entre os parâmetros do modelo 11 e pluviosidade foram definidas por Barsante et al. (2013)
e Cordeiro et al. (2013), já a relação entre temperatura e fases do ciclo evolutivo do Ae.
aegypti foram pesquisados e definidos aqui.
O modelo foi implementado e seus resultados foram comparados com dados amostrais
de duas cidades brasileiras, mostrando que o modelo tem um comportamento similar
ao esperado para os estágios evolutivos de desenvolvimento do Ae. aegypti. Assim, o
modelo 11 pode ser utilizado para prever a população de fêmeas Ae. aegypti numa região
bioclimática, com base em dados meteorológicos, de pluviosidade e temperatura, permitindo
conduzir programas de controle do vetor a fim de minimizar os custos dos gestores públicos.
Na comparação entre as ações de controle do vetor realizadas em semanas de baixa
pluviosidade (SBP) e semana chuvosos (SAP), verificou-se que o controle realizado nas
semanas secas é muito vantajoso, reduzindo a população de vetores. Este resultado está
sendo usado para conduzir experimentos biológicos a fim de orientar as políticas de controle
de vetores no Brasil.
Trabalhos futuros podem incluir os efeitos da umidade relativa do ar, juntamente com a
pluviosidade e temperatura, nos parâmetros entomológicos do modelo 11. Além disso,
métodos de otimização podem ser utilizados para refinar todos os parâmetros do modelo e
definir os intervalos de tempo em que as ações de controle na população destes vetores
devem ser realizadas.
50
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