3.2 Temperatura termodinâmica

Figura 12: Ciclo de Carnot
isotermicamente até um estado B; a continuação se comprime adiabaticamente até o estado C;
posteriormente se expande isotermicamente o fluido até o estado D e o ciclo se fecha a través de
uma expansão adiabática até A. Por definição o fluido está em contato com dois termostatos
(nos processos A → B e D → A) e termicamente isolado (nos processos B → C e D → A);
além disso em todos esses processos o sistema está em contato com uma ou várias fontes de
trabalho; durante as expansões o sistema realiza trabalho sobre as fontes de calor e estas fontes
fazem trabalho sobre o sistema nas compressões.
A partir da análise da maquina de Carnot somos capazes de definir, do ponto de vista
termodinâmica, o conceito de “mais quente do que” (ou seu antônimo): Diremos que um sistema
sem vínculos adiabáticos internos está mais quente do que outro (o qual se diz que está mais
frio que o primeiro) se o primeiro cede (no caso de um motor) ou absorve(no caso de um
refrigerador) mais calor do sistema auxiliar que use ele como fonte de calor.
3.2
Temperatura termodinâmica
Quase todo processo real que podemos pensar como realizado por um sistema é irreversível,
contudo podemos idealizar um processo que são feitos de forma muito cuidadosa e de forma lenta
que para efeitos práticos são totalmente reversíveis. No caso de uma maquina termodinâmica
reversível, se utilizamos um sistema auxiliar que este em equilíbrio térmico com as fontes de
calor quando troca energia com elas e se evitada a dissipação de calor por atrito. É claro que um
máquina sem efeito dissipativos e sem troca de calor entre os sistemas a diferentes temperaturas
terá um rendimento maior que outra mais imperfeita.
Isso que acabamos de analisar é em essência o enunciado do teorema de Carnot: Nenhuma
21
Figura 13: carnot
maquina térmica que opere entre dois termostatos dados pode ter um rendimento superior ao
de uma maquina de Carnot do mesmo tipo que opere entre os mesmos termostatos. A fim de
provar suponhamos um motor térmico cujo rendimento é
η=
|Q2 |
|W |
=1−
|Q1 |
|Q1 |
(7)
que compararemos com uma máquina de Carnot
C
η =
C
W |QC
1|
Caso o teorema de Carnot fosse falso teríamos que
η > ηC
C
W |W |
>
|Q1 |
|QC
1|
Como o motor de Carnot é reversível, pode ser vertido em cada passo conservando o módulo
C C C
W , Q1 e Q2 . Se escolhemos W C = |W |, se verifica que podemos montar a figura 13,
onde o trabalho de uma das maquinas flui para a outra. Como a primeira lei exige que
C C C
W = Q1 − Q2 = |W | = |Q1 | − |Q2 |
de onde
C
Q1 − |Q1 | = QC
2 − |Q2 |
Esse valor de diferencia de calor é positivo, como se mostra a continuação
η > ηC
1
1
>
|Q |
|QC
1|
C1 Q1 > |Q1 |
22
(8)
Figura 14: Carnot
C
Q1 − |Q1 | > 0
que, da eq. 8, implica
C
Q2 − |Q2 | > 0
Como a maquina que foi construída resulta na maquina da figura 14 (a), que pela equação
8 é igual à maquina da fig. 14 (b), então se conclui que o único efeito de essa maquina seria
levar calor, QC
2 − |Q2 |, de um termostato a outro sem nenhuma outra consequência, mas este
resultado é contrario às observações experimentais (na verdade este é o enunciado de Clausius
da II lei). Consequentemente toda maquina reversível do mesmo tipo que opere entre as mesmas
fontes de calor deveram ter o mesmo rendimento.
Como os termostatos (ou fontes) são caraterizados pelas suas temperaturas empíricas, resulta uma consequência do teorema de Carnot o seguinte argumento: o rendimento de uma
maquina reversível que opere entre dois termostatos depende unicamente da suas temperaturas
(e, naturalmente do tipo de maquina que esteja sendo utilizada, motor, bomba ou refrigerador),
ou seja:
C
Q 1 = f (θ1 , θ2 )
(9)
|QC
2|
onde f é deve ser uma função universal ou sejam, uma função que não depende do sistema.
Dado três termostatos I, II e III, com temperaturas empíricas θ1 , θ2 e θ3 , podemos fazer
ao
funcionar entre I e II um motor de Carnot, cujo sistema auxiliar C (12) ceda calor QC
2
termostato II, e entre o II e III um motor cujo sistema auxiliar C (23) absorva o calor QC
2 (ver
fig. 15). Baseado no resultado 9, deve ser verdade que
C
Q 1 |QC
2|
= f (θ1 , θ2 )
C
Q 2 |QC
3|
= f (θ2 , θ3 )
Note que
C C
Q 1 Q 2 C
|QC
2 | |Q3 |
23
=
C
Q 1 |QC
3|
C
Q 1 |QC
3|
= f (θ1 , θ3 )
Figura 15: Carnot
consequentemente
f (θ1 , θ2 ) f (θ2 , θ3 ) = f (θ1 , θ3 )
para isso ser verdade, necessariamente temos que admitir
f (θ1 , θ2 ) =
T (θ1 )
T (θ2 )
f (θ2 , θ3 ) =
T (θ2 )
T (θ3 )
f (θ1 , θ3 ) =
T (θ1 )
T (θ3 )
onde T (θ) é uma função universal da temperatura que recebe o nome de temperatura termodinâmica que é uma grandeza física, como se mostra na relação
C
Q T (θ1 )
T1
= 1C
≡
T2
T (θ2 )
|Q2 |
a qual mostra que o cociente de seus valores é um cociente de energias.
A escala Kelvin se obtém assinado o valor de 273, 16K à temperatura do ponto triplo da
água assim, se uma maquina de Carnot funciona entre dois termostatos, um dos quais está
em equilíbrio térmico com a água no seu estado onde as tres fases coexistem (ponto triplo)
do qual absorve (ou cede) calor, Qcpta , desse termostato, se assina à temperatura T do outro
termostato o valor
C
Q T ≡ 273, 16K × C Qpta
onde QC é o calor absorvido desse termostato.
Finalmente, podemos expressar os rendimentos da maquina de Carnot (motor de Carnot)
como
T2
(10)
η =1−
T1
onde T1 é a temperatura do termostato mais quente e T2 a temperatura do termostato mais
frio.
24