A) / P(A) - Engenharia de Produção e Transportes

Probabilidade
ENG09004 – 2014/2
Prof. Alexandre Pedott
[email protected]
ENG 09004 – Estatística para Engenharia
Alguns anos atrás, um homem ganhou na loteria
nacional espanhola com um bilhete que terminava com o
numero 48.
Orgulhoso por seu “feito”, ele revelou a teoria que o
levou a fortuna. “Sonhei com o numero 7 por 7 noites
consecutivas”, disse, “e 7 vezes 7 e 48.”
Leonard Mlodinow
O andar do bêbado
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PROBABILIDADE
Gerolamo Cardano (Milão, Itália: 1501–1576)
Nobre, Médico e Famoso
Apaixonado por jogos de azar e apostas
“Livro de Jogos de Azar” (jogos de dados)
Primeiro trabalho a desenvolver princípios estatísticos da
probabilidade.
Cardano define a probabilidade de um evento como sendo a
razão entre o número de resultados favoráveis e o número de
possíveis resultados.
Análise Combinatória
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PROBABILIDADE
Galileo Galilei (1564–1642)
Relacionou os números possíveis em jogos de dados em
“Sobre o jogo de dados”.
Estabeleceu as primeiras noções de erros em observações
astronômicas – como representar erros nos resultados
observados.
Apontou características da distribuição normal: simetria em
torno do “valor verdadeiro”.
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PROBABILIDADE
Blaise Pascal (1623-1662)
Inventor: máquina de calcular; barômetro de mercúrio; seringa.
Provou a existência do vácuo.
Em 1654 trocou correspondências com Pierre Fermat(1601-1665)
onde estabeleceram um método sistemático para calcular
probabilidades.
Em 1655, aos 32 anos, internou-se
monastério em Paris.
As correspondências de Pascal e
Fermat foram publicadas em 1679, em
Toulouse, sendo hoje consideradas a
origem do desenvolvimento da teoria
matemática da probabilidade.
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PROBABILIDADE
Suponha que em um grupo de mil atletas 10% tenham usado
medicamentos proibidos. Um teste antidoping é aplicado no
grupo. A eficiência do teste é de 50%. A taxa de falso positivo é
de 1%.
Se o teste de um atleta desse grupo der positivo, qual a
probabilidade de que ela tenha ingerido medicamentos proibidos?
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PROBABILIDADE
Suponha que uma mãe tenha dois filhos pequenos. Você
sabe que um deles é uma menina. Qual a probabilidade de que
o outro também seja?
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PROBABILIDADE
A Teoria das Probabilidades estuda os fenômenos aleatórios.
Fenômeno Aleatório: são os fenômenos cujo resultado não
pode ser previsto exatamente. Se o fenômeno se repetir, sob
condições similares, o resultado não será sempre o mesmo.
Experimento Aleatório: Qualquer fenômeno aleatório que
possa ser executado pelo homem.
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4.1. Espaço Amostral e Eventos
Os resultados de um experimento aleatório podem ser
representados em um espaço amostral ao qual chamaremos
de S.
O espaço S pode ser uni ou k-dimensional, discreto ou
contínuo, finito ou infinito.
A figura a seguir apresenta um espaço bidimensional onde
aparecem os eventos A e B.
Como pode ser visto, os
eventos A e B estão
completamente contidos em
S e apresentam interseção,
ou seja, a sua ocorrência
simultânea é possível.
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4.1. Espaço Amostral e Eventos
Evento: É um conjunto de resultados possíveis do
experimento. É um subconjunto de S.
Exemplo:
Em uma linha de produção, peças são fabricadas em série.
Conte o nº de peças defeituosas em cada 200 peças
produzidas. S = {0, 1, 2, ..., 200};
Eventos:
A: ocorrer 10 peças defeituosas. A = {10};
B: ocorrer entre 10 e 15 peças defeituosas. B = {10, 11, 12,
13, 14, 15};
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4.2. Operações com Eventos
Usando o símbolo  para união e o símbolo  para interseção,
podemos definir os eventos C e D:
C = A  B  conjunto de valores que pertence a A ou B ou a
ambos;
D = A  B  conjunto de valores que pertence simultaneamente a
A e B;
Usaremos o símbolo  para representar o conjunto vazio, e uma
barra sobre a letra, por exemplo A, para representar o
complemento de A, isto é, o conjunto
de pontos que não pertence a A.
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4.3. Definição de Probabilidade
Para um evento E em S, podemos definir a existência de uma
função P tal que P represente a probabilidade que x
pertença a E. Isto é:
P(E)  Pr (x  E)
Alternativamente, pode ser enunciado:
Para um evento E em S, podemos definir a existência de uma
função P tal que P represente a probabilidade de ocorrência
de E. Isto é:
P(E) = Pr(ocorrência do evento E)
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4.3. Definição de Probabilidade
Essa função P deve satisfazer algumas propriedades:
1) 0  P(E)  1
2) Se E1 e E2 são tais que E1  E2 = ,
tem-se que P(E1  E2) = P(E1) + P(E2)
3) A probabilidade de ocorrência de um ponto qualquer do
espaço amostral S deve ser igual a 1: P(S)=1
Essas propriedades são importantes para derivar várias regras
de cálculo de probabilidades.
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4.3. Definição de Probabilidade
Para determinar a probabilidade de um evento, usaremos o
ponto de vista das freqüências relativas:
P(E) = m(E) / m(S)
onde m(E) e m(S) representam as medidas de E e S.
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4.4. Soma de Probabilidade
Eventos mutuamente exclusivos  E1  E2 =  .
Para eventos mutuamente exclusivos, a soma das
probabilidades é dada pela generalização da propriedade 2.
P(E1  E2 .... Ek ) =  P(Ei )
Se os eventos E1 e E2 não são mutuamente exclusivos, mas
são independentes, pode-se demonstrar que:
P(E1  E2 ) = P(E1 ) + P(E2 ) - P(E1  E2 )
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4.4. Soma de Probabilidade
Para o caso de três eventos, a generalização anterior é
P(E1  E2  E3 ) = P(E1 ) + P(E2 ) + P(E3 ) - [P(E1  E2 ) +
+ P(E1  E3 ) + P(E2  E3 )] + P(E1  E2  E3 )
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4.4. Soma de Probabilidades
Exemplo: Um digestor químico é alimentado por material que
vem de dois tanques independentes.
O material do tanque 1 pode ser uma concentração de ácido
que varia uniformemente entre 4 e 8, enquanto que o material
do tanque 2 pode apresentar uma concentração de base entre
5 e 10.
Sejam os seguintes eventos:
A: material do tanque 1 com conc. superior a 6
B: material do tanque 2 com conc. inferior a 6
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4.4. Soma de Probabilidades
P(A) = m(A) / m(S)
P(A) = 10 / 20 = 0,5
P(A) = 1 - P(A) = 0,5
P(B) = 4 / 20 = 0,20
P(B) = 1 - P(B) = 0,80
P(A  B) = 2/20 = 0,10
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
= 0,50 + 0,20 - 0,10 = 0,60
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4.4. Soma de Probabilidades
Exemplo: Considerando os dados do exemplo anterior, e
sabendo que o processo apresenta problemas quando a
concentração de ácido supera a concentração de base, calcule
a probabilidade disso acontecer.
Solução:
P(E1) = m(E1) / m(S)
P(E1) = [(3x3)/2] / 20 = 0,225
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4.5. Produto de Probabilidade
A probabilidade de um evento A foi definida como a medida
do conjunto A dividida pela medida de S.
Poderíamos, então, escrever P(A/S) para indicar de forma
explícita que a probabilidade de A está referida a todo o
espaço amostral S. Assim:
P(A) = P(A/S) = m(A) / m(S)
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4.5. Produto de Probabilidades
Algumas vezes, no entanto, estaremos interessados em calcular
a probabilidade de um evento E1 referida a um sub-espaço de
S, por exemplo, ao espaço definido por E2:
P(E1/E2) = m (E1  E2) / m(E2)
Dividindo-se numerador e denominador por m(S):
P(E1/E2) = [m (E1  E2) / m(S)] / [m(E2) / m(S)]
P(E1/E2) = P(E1  E2) / P(E2)
Essa expressão define a probabilidade de E1 dado E2 ou
referida a E2. A partir dessa expressão, obtém-se:
P(E1  E2) = P(E1/E2) . P(E2)
(eq. 2)
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4.5. Produto de Probabilidades
Da mesma forma, poderíamos escrever:
P(E2/E1) = P(E1  E2) / P(E1)
e então obter:
P(E1  E2) = P(E2/E1) . P(E1)
(eq. 3)
As expressões (2) e (3) são análogas e definem a
probabilidade do produto, ou seja, da ocorrência simultânea
de E1 e E2.
Para três eventos tem-se:
P(E1  E2  E3)= P(E1) . P(E2/E1) . P(E3/E1  E2)
ou expressões equivalentes usando P(E2) ou P(E3).
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4.5. Produto de Probabilidades
Exemplo: Para o exemplo do digestor químico calcule a
probabilidade da concentração de ácido superar a
concentração de base quando sabe-se que a concentração de
ácido é superior a 6,0.
Solução: O que se pede é a P(E1) dado A. Essa probabilidade
é:
m(E1  A)/m(S) 4/20
P(E1/A) 

 0,40
m(A)/m(S)
10/20
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4.6. Eventos Independentes
Dois eventos, E1 e E2 são ditos independentes se:
P(E1 /E2 ) = P(E1 )
nesse caso,
P(E1  E2 ) = P(E1 ) . P(E2 )
Para k eventos independentes, tem-se:
P(E1  ....  Ek ) = P P(Ei )
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4.6. Eventos Independentes
Exemplo: Um construtor se submete a licitação para duas
obras independentes, A e B. Baseado na experiência, os
engenheiros estimam que a probabilidade de ganhar a obra A
é 0,25; e a probabilidade de ganhar a obra B é 0,33. Pede-se:
a) Estimar a probabilidade de ganhar ao menos uma das duas
obras:
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(AB) =
= 0,25 + 0,33 - (0,25 . 0,33) = 0,5
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4.6. Eventos Independentes
b) Estimar a probabilidade de ganhar a obra A, sabendose que o construtor irá ganhar ao menos uma obra:
P(A  (A  B)) 0,25
P(A/A  B) =

 0,50
P(A  B)
0,50
Note que P(A  (A  B)) é obviamente o mesmo que A,
já que A está completamente contido em (A  B).
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4.6. Eventos Independentes
c) Se o construtor submete-se a outra licitação para uma obra
C, com probabilidade de ganhar igual a 0,25, qual a
probabilidade de ganhar ao menos uma obra?
P(A  B  C) = 0,25 + 0,33 + 0,25 - (0,25 . 0,33 + 0,25 . 0,25 +
0,33 . 0,25) + (0,25 . 0,33 . 0,25) = 0,625
Note que para o caso de eventos independentes vale também:
P(ABC) = 1 - P(A  B  C)
= 1 - (0,75 . 0,67 . 0,75) = 0,625
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4.7. Probabilidade Total
Seja que no campo amostral S exista um evento B que
consiste de k componentes mutuamente exclusivos:
B = B1  B2  ...  Bk ;
Bi  B j = 
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4.7. Probabilidade Total
E dado que no campo do evento B exista um outro evento A
que pode ou não ocorrer simultaneamente com todos os
componentes de B. Nesse caso, podemos escrever:
A = (A  B1 )  (A  B2 )  .....  (A  Bk )
Isso quer dizer que o evento A está descrito em forma total
pelos componentes B1....Bk do evento B, os quais são
mutuamente exclusivos. Então usando-se (1) e (2) tem-se:
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4.7. Probabilidade Total
P(A) = P(A  B1 ) +....+ P(A  Bk )
P(A) = P(B1 ) . P(A/B1 ) +....+ P(Bk ) . P(A/Bk )
P(A) =  P(Bi ) . P(A/Bi )
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4.7. Probabilidade Total
Exemplo
Na construção de um edifício usa-se 1000 Kg de material por
dia; desse total, 600 Kg são adquiridos do fornecedor B1 e
400 Kg do fornecedor B2.
Assim B = B1  B2, onde B é a provisão de 1000 Kg/dia
O material pode ser defeituoso e por experiência prévia sabese que B1 e B2 têm as probabilidades de 0,03 e 0,01,
respectivamente, de serem defeituosos.
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4.7. Probabilidade Total
Chamando A o evento material defeituoso tem-se:
A = (A  B1 )  (A  B2 )
Isto é, se o material é defeituoso, pode vir de B1 ou B2.
Então A pode ser calculado a partir de:
P(B1 ) = 0,6;
P(B2 ) = 0,4
P(A/B1 ) = 0,03;
P(A/B2 ) = 0,01
P(A) = P(B1 ).P(A/B1 ) + P(B2 ).P(A/B2 )
P(A) = (0,6).(0,03) + (0,4).(0,01) = 0,018 + 0,004 = 0,022
Assim a probabilidade total de que o material seja defeituoso,
vindo de B1 ou B2, é igual a 0,022.
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4.8. Teorema de Bayes
O Teorema de Bayes permite calcular a probabilidade
posterior de um evento Bj , P(Bj /A), baseada em nova
informação referente ao evento A e conhecendo-se a
probabilidade anterior Bj , P(Bj ).
Usando o conceito de probabilidade condicional, tem-se:
P(Bj /A) = P(Bj  A) / P(A)
Como A está descrito em termos de B1 ,.....,Bk, tem-se o
Teorema de Bayes:
P(Bj /A) = P(Bj  A) /  P(Bj ) . P(A/Bj )
P(Bj /A) = P(Bj ) . P(A/Bj ) / [  P(Bj ) . P(A/Bj )]
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4.8. Teorema de Bayes
Nota-se que o Teorema de Bayes determina a probabilidade
posterior de um evento Bj , em função de um evento A e da
probabilidade anterior de Bj.
Exemplo:
Uma seção de pavimento de concreto é aceita se sua
espessura for superior a 7,5 cm. A experiência prévia indica
que 90% das seções construídas são aceitas.
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4.8. Teorema de Bayes
A medição da espessura é feita usando um aparelho ultrasônico, cuja confiabilidade é de 80%, ou seja, há uma
probabilidade de 80% que a conclusão baseada neste
aparelho seja correta.
Pede-se:
a) Qual a probabilidade que a seção esteja bem construída e
seja aceita na inspeção?
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4.8. Teorema de Bayes
Solução:
Seja A: seção bem construída, isto é, e > 7,5 cm.
P(A) = ?
Seja B: O aparelho indica que a seção está bem construída, ou
seja, indica que e > 7,5 cm. P(B)=0,90
Ainda, P(A/B) = 0,80
Assim, o que se pede é a P(A  B):
P(A  B) = P(B) . P(A/B) = (0,90) . (0,80) = 0,72
b) A probabilidade que a seção não esteja bem construída e
seja aceita:
P(A  B)  P(B).P(A / B)  (0,90).(0,20)  0,18
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4.8. Teorema de Bayes
c) A probabilidade que a seção seja aceita quando se sabe que
a seção está bem construída.
Essa probabilidade pode ser estimada usando o Teorema de
Bayes. O que se pede é a P(B/A).
Como somente podemos dizer que a seção está bem
construída baseado nas medições temos:
A  (B  A)  (B  A)
Assim,
P(A)  P(B) . P(A / B)  P(B) . P(A / B)
P(A) = (0,90) . (0,80) + (0,10) . (0,20) = 0,74
P(B / A) 
P(B) . P(A / B) (0,90) . (0,80)

 0,973
P(A)
0,74
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4.8. Teorema de Bayes
Como se vê, a probabilidade anterior P(B) = 0,90 é agora
modificada para P(B/A) = 0,973 depois de se saber o
evento: a seção está bem construída.
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Exemplo
Os arquivos da polícia revelam que, das vítimas de acidente
automobilístico que utilizam cinto de segurança, apenas 10%
sofrem ferimentos graves, enquanto que a incidência é de 50%
entre as vítimas que não utilizam cinto de segurança. Estima-se
que em 60% a porcentagem dos motoristas que usam o cinto. A
polícia acaba de ser chamada para investigar um acidente em
que houve um indivíduo gravemente ferido. Calcule a
probabilidade de ele estar usando o cinto no momento do
acidente. A pessoa que dirigia o outro carro não sofreu
ferimentos graves. Calcule a probabilidade dela estar usando o
cinto no momento do acidente.
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Exemplo
Dados
Evento (C): “Usar cinto de segurança”
P(C) = 0,6
Probabilidade de usar cinto
P(NC) = 0,4
Probabilidade de não usar cinto
Evento (F) : “Sofrer ferimento grave”
P(F/C) = 0,1
Probabilidade de sofrer ferimentos em
P(F/NC) = 0,5
um acidente, mesmo utilizando cinto de
segurança
Probabilidade de sofrer ferimentos em
um acidente, quando não está utilizando
cinto
de segurança
ENG 09004 – Estatística para Engenharia
Exemplo
Logo teremos:
P(NF/C) = 0,9 Probabilidade de não sofrer
ferimentos em um acidente,
mesmo utilizando cinto de
segurança
P(NF/NC)=0,5 Probabilidade de não sofrer
ferimentos
em um acidente, não
utilizando cinto de segurança
ENG 09004 – Estatística para Engenharia
Exemplo
a) Probabilidade do motorista ferido estar utilizando cinto no
momento do acidente.
P( B / A) 
P( B).P( A / B)
 P( B).P( A / B)
P(C ).P( F / C )
P(C ).P( F / C )  P( NC ).P( F / NC )
0,6  0,1
0,06
0,06
P(C / F ) 


 0,2307  23,07%
(0,6  0,1)  (0,4  0,5) 0,06  0,2 0,26
P(C / F ) 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia
Exemplo
b) Probabilidade do motorista que não estava ferido estar
utilizando cinto no momento do acidente.
P( B / A) 
P( B).P( A / B)
 P( B).P( A / B)
P(C ).P( NF / C )
P(C / NF ) 
P(C ).P( NF / C )  P( NC ).P( NF / NC )
0,6  0,9
0,54
0,54
P(C / NF ) 


 0,729729  72,97%
(0,6  0,9)  (0,4  0,5) 0,54  0,2 0,74
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Exercícios
4.1. Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se eles não
tem elementos em comum, ou seja, se eles não podem
ocorrer simultaneamente. E um grupo de eventos é dito
coletivamente exaustivo se eles esgotam todos os resultados
possíveis para o experimento em questão. Dê um exemplo de
eventos mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivo.
4.2. Qual a probabilidade de adivinhar o dia da semana em
que nasceu Pedro Alvarez Cabral? Que suposição você fez para
calcular essa probabilidade?
ENG 09004 – Estatística para Engenharia
Exercícios
4.3. Seja P(A)= 0,30 e P(B)=0,80 e P(AB)=0,15. Pede-se:
a) A e B são mutuamente exclusivos?
b) Determine P(B)
c) Determine P(AB)
4.4. Sejam A e B mutuamente excludentes, P(A)=0,52 e
P(B)=0,27. Pede-se:
a) A e B são coletivamente exaustivos?
b) Determine P(AB)
c) Determine P(AB)
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Exercícios
4.5. As falhas de diferentes equipamentos são independentes
uma das outras. Se há três equipamentos e as suas respectivas
probabilidades de falha em um determinado dia são 1%, 2% e
5%, indique:
a) a probabilidade de todos os equipamentos falharem em um
mesmo dia
b) de nenhum falhar
4.6. Uma fábrica de azulejos tem um processo de inspeção em 3
etapas. A probabilidade de um lote defeituoso passar sem ser
detectado em uma dessas etapas é de aproximadamente 25%. Com
base nessa informação, calcule a probabilidade de um lote
defeituoso passar sem ser detectado por todas as 3 etapas.
ENG 09004 – Estatística para Engenharia
Exercícios
4.7. Há 99% de probabilidade de uma máquina fabricar uma peça
sem defeitos. Supondo que a fabricação de peças sucessivas
constitua eventos independentes, calcule as seguintes
probabilidades:
a) de duas peças em seqüência serem defeituosas
b) de dez peças em seqüência sem defeitos
4.8. Três máquinas A, B e C fabricam matrizes para estamparia. O
histórico dessas máquinas revela que elas produzem
respectivamente 1%, 2% e 3% de defeituosos. Um inspetor
examina uma matriz e verifica que ela está perfeita. Sabendo que
cada máquina é responsável por 1/3 da produção total, calcule a
probabilidade de ela ser produzida por cada uma das máquinas.
ENG 09004 – Estatística para Engenharia
Exercícios
4.9. Repita o exercício 4.8 para o caso em que o inspetor
tivesse examinado a matriz e verificado que ela era
defeituosa.
4.10. Repita o exercício 4.8 para o caso em que as máquinas A,
B e C fossem responsáveis, respectivamente, pelos seguintes
percentuais da produção total: 20%, 40% e 40%.
ENG 09004 – Estatística para Engenharia
Exercícios
4.11. Uma cidade tem 30 mil habitantes e três jornais X, Y, Z.
Uma pesquisa de opinião revela que: 12 mil lêem X, 8 mil Y, 7
mil X e Y, 6 mil Z, 4.500 lêem X e Z, mil Y e Z e 500 lêem X,Y e Z.
Qual a probabilidade de que um habitante leia:
a) pelo menos um jornal
b) só um jornal
c) ler o jornal X sabendo que ele lê o jornal Z
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Exercícios
4.12. Uma empresa exploradora de petróleo perfura um poço
quando acha que há pelo menos 25% de chance de encontrar
petróleo. Ela perfura 4 poços, aos quais são atribuídas
probabilidades de 0,3 ; 0,4 ; 0,7 e 0,8.
 a) Determine a probabilidade de nenhum poço produzir
petróleo, com base nas estimativas da empresa.
 b) Determine a probabilidade de os quatro poços produzirem
petróleo.
 c) Qual a probabilidade de só os poços com probabilidades 0,3 e
0,7 produzirem petróleo?
ENG 09004 – Estatística para Engenharia