Enunciado

FIS1053 - Projeto Apoio Eletromagnetismo – 02-Maio-2014.
LISTA de PROBLEMAS 9 – Revisão para G2 de FIS1051.
Temas: Circuito RC, Lei de Biot-Savart, Lei de Ampére
1ª. Questão
Uma espira plana é feita com o formato mostrado na figura: dois segmentos retos, de
comprimento d, são unidos a 90° entre si e o circuito é fechado com um segmento semicircular. Uma corrente de intensidade i percorre a espira, no sentido indicado. O ponto P
mostrado é o centro do semi-circulo.
Determine o campo magnético em P, gerado pela espira, seguindo os passos abaixo:
a) Obtenha o vetor campo magnético gerado pelo segmento semi-circular em P;

 0I
4r
( zˆ)
b) Obtenha o vetor campo magnético devido aos segmentos retos em P;

2 0 I
(^ z )
d
c) Escreva o vetor campo magnético total no ponto P.
total  C  R  
2 0 I 1
4   1 (^ z )
d


2ª. Questão
Uma espira retangular de cobre (condutora) é constituída de três fios leves e uma barra,
com dimensões L=20 cm e b=10 cm, como mostrado na figura. Um dos lados da espira
está apoiado por suportes verticais (não condutores) e a espira pode girar livremente em
torno deste eixo (eixo y). A barra condutora tem massa m=100g.
Um campo magnético B = 0,10 T na direção z (vertical) cobre uniformemente toda a região
onde se encontra a espira, como mostrado na figura (observe também a indicação dos eixos
coordenados).
(a) Suponha que uma corrente I= 10 A circular pela
espira no sentido indicado. Qual é a força sofrida pela
barra devida ao campo magnético (módulo, direção e
sentido)?
3
F  200 x10 N ( xˆ )
(b) Qual é o torque sofrido pela espira devido ao campo
magnético, em relação ao eixo de rotação da espira,
quando o plano da espira faz um ângulo θ=60° com
  10 x103 N .m( yˆ )
o eixo z?
? (c) Determine o ângulo que a espira faz com o eixo z na posição de equilíbrio. (considere
g=10m/s2).
  45º
3ª. Questão
Um cabo coaxial muito longo possui um fio condutor central de raio desprezível através do
qual flui uma corrente i para fora da página (direção z) e um tubo de raio interno a e raio
esterno b que transporta uma corrente de mesma intensidade i, uniformemente distribuída
em sua secção reta, fluindo no sentido oposto (para dentro da página), como indicado na
figura.
Utilizando a lei de Ampère encontre o vetor campo magnético B:
a) Na região I (r<a, fora do fio central).

b)
 0I
(anti  horário)
2r
Na região II (a< r <b).

 0 I  0 I (r 2  a 2 )

(anti  horário)
2r 2r (b 2  a 2 )
c) Na região III (r>b). Qual é a força por unidade de comprimento que o fio central
exerce sobre o tubo?
0
4º Questão:
Ftotal  0
Seja o circuito RC da figura ao lado com as seguintes fases:
Fase 1: a chave Ch1 está fechada e Ch2 está aberta, durante longo tempo.
Fase 2: Ch1 é aberta, Ch2 continua aberta, e o dielétrico do capacitor C1 é substituído por
outro de constante dielétrica duas vezes maior.
Fase 3: a chave Ch1 permanece aberta e Ch2 é fechada durante longo tempo.
R1 = 0,5 kR2 = 1,0 kR3 = 1,0 kR4 = 1,0 kR5 = 10,0 k
C1 = 1,0 F, C2 = 1,0 F;
Determine:
(a) A carga elétrica de cada capacitor no final da fase 1.
Q1  Q2  6C
(b) A d.d.p. no resistor R logo após a chave Ch2 ser fechada, no início da fase 3 (t=0)
9Volts
(c) As correntes no resistor R no início e no final da fase 3.
Início  I 
V
 I  0,9mA
R
No final os capacitores se descarregam:
I 0
(d) A energia total dissipada em R, na forma de calor.
  27 x106 J
? (e) Como foi gerada esta energia?
5ª. Questão:
Por um fio cilíndrico oco infinito de raios a e 2a passa uma densidade de corrente distribuída na sua seção reta
como:
1
𝐴
𝐽⃗ = 𝐽0 𝑧̂ [ 2 ]
𝑟
𝑚
Utilizando a Lei de Ampère faça um desenho representando a direção das linhas do campo
magnético e calcule a expressão do módulo do campo magnético em cada uma das
seguintes regiões:
⃗⃗ (1).
⃗⃗ = 0
(a ) r < a  𝐵
(b ) a < r < 2a 
(c ) r > 2a

𝑎
𝐵 = 𝜇0 𝐽0 . (1 − ). (2)
𝑟
𝑎
𝐵 = 𝜇0 𝐽0 . . (3)
𝑟
(d ) Faça um gráfico do módulo do campo magnético B em função de r.
Obs: A concavidade da curva entre
a e 2a é dada pelo sinal da
segunda derivada da função que
descreve essa curva.
B
µ0.J0/2
2
3
r
1
a
2a
6ª. Questão:
O circuito da figura ao lado é formado por dois arcos de
círculo de raios R e 2R e dois fios retilíneos de
comprimento R. cada arco forma um setor de ângulo igual
a π. O circuito é percorrido por uma corrente de
intensidade I no sentido indicado. Calcule, justificando:
(a ) as contribuições ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵1 e ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵2 dos segmentos retilíneos.
⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗1 = 0
 𝐵
𝐵2 = 0
(b ) as contribuições ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵3 e ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵4 dos arcos de raio R e 2R. 
𝜇0 𝐼
𝜇0 𝐼
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵3 = − 4𝑅
𝑘̂ e ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵4 = − 8𝑅
𝑘̂.
Para o campo magnético (módulo, direção e sentido) na origem O dos eixos XYZ, que
corresponde ao centro dos dois arcos de círculo.
Considere agora que o arco de raio R gire de 180° em torno do eixo X (X = eixo de
rotação).
(c ) Calcule os novos campos magnéticos ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵1 , ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵2 , ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵3 e ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵4 .
⃗⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗⃗
Os campos (𝐵
𝐵2 e ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵4 ) permanecem os mesmos. O campo ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵3 muda:
⃗⃗3𝑁𝑜𝑣𝑜 = 𝜇0 𝐼 𝑘̂.
𝐵
4𝑅
Enfim o circuito da figura acima é girado de um ângulo θ, conforme indica a figura abaixo:
(d ) calcule os novos campos magnéticos ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵1 ,
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵2 , 𝐵3 e 𝐵4 .
Nenhum dos campos muda, sendo a origem
dos eixos (O) também os centros dos arcos de
circunferência.
7ª. Questão:
PARTE I
Um contorno amperiano planar C engloba dois fios
retilíneos por onde fluem as correntes 𝐼1 e 𝐼2 .
Todos os sentidos estão indicados na figura ao lado.
O fio com 𝐼2 corta perpendicularmente o plano que
contém o contorno C, mas o fio com 𝐼1 o faz
segundo um ângulo θ (𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0,6 𝑒 cos 𝜃 = 0,8) .
(a ) Sabendo que 𝐼1 = 3𝐼2 e que a integral ... ao
longo de C fornece o valor 16π x10-10 T.m,
encontre o valor da intensidade de corrente 𝐼1 .
𝐼1 = 6,0 𝑚𝐴.
PARTE II
A figura mostra a seção transversal de
uma casca cilíndrica muito longa de raio
interno a e raio externo b, que conduz
uma corrente I uniformemente distribuída.
O fio mostrado à direita somente será
usado no item (c ).
(b ) Utilizando a Lei de Ampère, calcule o
módulo do vetor campo magnético a uma
distância r do centro para a < r < b.
𝐵(𝑟) =
𝜇0 𝐼
2𝜋𝑟
.(
𝑟 2 −𝑎2
𝑏 2 −𝑎2
).
(c ) Conforme mostra a figura, a casca cilíndrica está paralela ao eixo z, e um fio retilíneo
muito longo que transporta uma corrente i, está paralelo ao eixo y. O campo magnético
resultante desses dois objetos é medido fora da casca cilíndrica no ponto P e vale:
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑃 = 0,2 𝑚𝑇 𝑦̂ − 0,15 𝑚𝑇 𝑧̂ . Sabendo que d = 2 cm. Encontre as intensidades das correntes I
(na casca) e i (no fio) e seus respectivos sentidos (forneça as respostas em termos dos
vetores unitários).
Sugestão: O módulo do vetor campo magnético de uma distribuição cilíndrica muito longa
que transporta uma corrente I à distância x vale: 𝐵 =
𝐼 = 40,0 𝐴 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 (+𝑧̂)
8ª. Questão:
e
𝑖 = 15,0 𝐴 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 (−𝑦̂.
𝜇0 𝐼
2𝜋|𝑥|
.
No circuito da figura, os capacitores C1 , C2 e C3 têm as seguintes
propriedades:
- C1 e C2 : inicialmente descarregados, ambos com constante dielétrica k = 5
e capacitância de 2x10-9 F.
- C3 : carga inicial de 10-9 C, do tipo placas paralelas com vácuo entre elas e
de capacitância igual a 10-10 F.
Nesse circuito ocorrem as seguintes fases sucessivas:
- Fase 1: Chave S1 fechada e chave S2 aberta por um longo tempo.
- Fase 2: Chaves S1 e S2 abertas, os meios dos dielétricos dos capacitores C1
e C2 são substituídos por vácuo e a separação das placas de C3 é alterada.
- Fase 3: Chave S1 aberta e chave S2 fechada por um longo tempo.
Considerando 𝜀1 = 𝜀1 = 5,0 𝑉; 𝑅 = 1,0 𝑘Ω; 𝑟 = 10 𝑘Ω, determine:
(a ) As ddp`s 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 , 𝑉𝐵 − 𝑉𝐶 , 𝑉𝐷 − 𝑉𝐶 em função do tempo durante a fase
1. (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )(𝑡) = 10. 𝑒 −1000.𝑡 𝑉; (𝑉𝐵 − 𝑉𝐶 )(𝑡) = 10. (1 − 𝑒 −1000.𝑡 ) 𝑉; (𝑉𝐷 − 𝑉𝐶 )(𝑡) = 10 𝑉.
(b ) As cargas em C1 e C2 no final da fase 1. 𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞𝑒𝑞 = 10−8 𝐶.
(c ) Qual deve ser o aumento da separação entre as placas de C3 durante a
fase 2 para que a corrente no resistor r seja nula durante toda a fase 3?
Aumento de 5 vezes na separação entre as placas do capacitor C3.
(d ) A diferença entre as energias armazenadas em C3 na fase 1 e no final
da fase 2. ∆𝑈 = 20𝑥10−9 𝐽
9ª. Questão:
A figura 1 mostra um segmento de fio retilíneo de comprimento L de um fio
que conduz a corrente i no sentido (– z). O centro do segmento está na
origem. Um ponto está sobre o eixo y à distância d da origem.
(a ) Mostre, utilizando explicitamente a Lei de Biot-Savart, que o vetor
campo magnético em P devido a todo o segmento é dado por:
⃗⃗ = 𝜇0 𝐼 . 2 𝐿
𝐵
2𝜋𝑑 √𝐿
+4𝑑2
. (−𝑥̂).
Considere agora a Fig. 2 que mostra um ponto P à distância d de um fio
infinito com corrente i. O módulo do campo magnético devido ao fio infinito
𝜇 𝑖
0
no ponto P é dado por 𝐵 = 2𝜋𝑑
. A figura mostra também um segmento
retilíneo com corrente iS antiparalela a i. o segmento tem comprimento L = d
e está simetricamente disposto em relação ao ponto P do qual dista d/2.
(b ) Quanto deve valer a corrente iS para que o módulo do campo total em P
seja 3B0? 𝑖𝑆 = √2. 𝑖 .
Considere agora a Fig. 3 que mostra uma espira quadrada de lado que
conduz uma corrente de valor i. A espira é centrada em P.
(c ) Utilizando o resultado do item (a), calcule o módulo do campo
magnético em P em função de µ0 , d e i. A corrente i deve circular na espira
no sentido horário ou anti-horário para que o campo em P tenha sentido
saindo do papel?
Anti-horário

𝐵𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 =
2√2𝜇0 𝑖
𝜋𝑑
.
FIM