Apostila 2- Movimento Circular

Mecânica Geral
Apostila 2: Movimento Circular
Professor Renan Faria
Movimento Circular
Grandezas Angulares
As grandezas até agora utilizadas de deslocamento/espaço (s, h, x, y), de velocidade (v) e de
aceleração (a), eram úteis quando o objetivo era descrever movimentos lineares, mas na análise de
movimentos circulares, devemos introduzir novas grandezas, que são chamadas grandezas
angulares, medidas sempre em radianos. São elas:



deslocamento/espaço angular: φ (phi)
velocidade angular: ω (ômega)
aceleração angular: α (alpha)
Saiba mais...
Da definição de radiano temos:
Desta definição é possível obter a relação:
E também é possível saber que o arco correspondente a 1rad é o ângulo formado
quando seu arco S tem o mesmo comprimento do raio R.
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Espaço Angular (φ)
Chama-se espaço angular o espaço do arco formado, quando um móvel encontra-se a uma abertura
de ângulo φ qualquer em relação ao ponto denominado origem.
E é calculado por:
Deslocamento angular (Δφ)
Assim como para o deslocamento linear, temos um deslocamento angular se calcularmos a
diferença entre a posição angular final e a posição angular inicial:
Sendo:
Por convenção:
No sentido anti-horário o deslocamento angular é positivo.
No sentido anti-horário o deslocamento angular é negativo.
Velocidade Angular (ω)
Análogo à velocidade linear, podemos definir a velocidade angular média, como a razão entre o
deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento:
Sua unidade no Sistema Internacional é: rad/s
Sendo também encontradas: rpm, rev/min, rev/s.
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Também é possível definir a velocidade angular instantânea como o limite da velocidade angular
média quando o intervalo de tempo tender a zero:
Aceleração Angular (α)
Seguindo a mesma analogia utilizada para a velocidade angular, definimos aceleração angular
média como:
Algumas relações importantes
Através da definição de radiano dada anteriormente temos que:
mas se isolarmos S:
derivando esta igualdade em ambos os lados em função do tempo obteremos:
mas a derivada da Posição em função do tempo é igual a velocidade linear e a derivada da Posição
Angular em função do tempo é igual a velocidade angular, logo:
onde podemos novamente derivar a igualdade em função do tempo e obteremos:
mas a derivada da velocidade linear em função do tempo é igual a aceleração linear, que no
movimento circular é tangente à trajetória, e a derivada da velocidade angular em função do tempo
é igual a aceleração angular, então:
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Então:
Linear
Angular
S
=
φR
v
=
ωR
a
=
αR
Período e Frequência
Período (T) é o intervalo de tempo mínimo para que um fenômeno ciclico se repita. Sua unidade é
a unidade de tempo (segundo, minuto, hora...)
Frequência (f) é o número de vezes que um fenômeno ocorre em certa unidade de tempo. Sua
unidade mais comum é Hertz (1Hz=1/s) sendo também encontradas kHz, MHz e rpm. No
movimento circular a frequência equivale ao número de rotações por segundo sendo equivalente a
velocidade angular.
Para converter rotações por segundo para rad/s:
sabendo que 1rotação = 2π rad,
Movimento Circular Uniforme
Um corpo está em Movimento Curvilíneo Uniforme, se sua trajetória for descrita por um círculo
com um "eixo de rotação" a uma distância R, e sua velocidade for constante, ou seja, a mesma em
todos os pontos do percurso.
No cotidiano, observamos muitos exemplos de MCU, como uma roda gigante, um carrossel ou as
pás de um ventilador girando.
Embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudança de direção e sentido, logo existe
uma aceleração, mas como esta aceleração não influencia no módulo da velocidade, chamamos
de
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Aceleração Centrípeta.
Esta aceleração é relacionada com a velocidade angular da seguinte forma:
Sabendo que
e que
, pode-se converter a função horária do espaço linear para o
espaço angular:
então:
Movimento Circular Uniformemente Variado
Quando um corpo, que descreve trajetória circular, e sofre mudança na sua
velocidade angular, então este corpo tem aceleração angular (α).
As formas angulares das equações do Movimento Curvilíneo Uniformemente
Variado são obtidas quando divididas pelo raio R da trajetória a que se
movimenta o corpo.
Assim:
MUV
MCUV
Grandezas lineares
Grandezas angulares
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E, aceleração resultante é dada pela soma vetorial da aceleração tangencial e
da aceleração centrípeta:
Exemplo:
Um volante circular com o raio 0,4 metros gira, partindo do repouso, com
aceleração angular igual a 2 rad/s².
(a) Qual será a sua velocidade angular depois de 10 segundos?
(b) Qual será o ângulo descrito neste tempo?
(c) Qual será o vetor aceleração resultante?
(a) Pela função horária da velocidade angular:
(b) Pela função horária do deslocamento angular:
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(c) Pelas relações estabelecidas de aceleração tangencial e centrípeta:
Exercícios
1) O lançador de um disco faz o disco se mover ao longo de uma
circunferência de raio igual a 0,80 m. Em um dado instante, o lançador
gira com velocidade angular de 10 rad/s, que aumenta a 50 rad/s 2 .
Neste instante, determine a componente tangencial e a componente
centrípeta da aceleração do disco e o módulo da aceleração resultante.
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Solução:
𝑎𝑡𝑔 = 𝑟 ∝= 0,80 .50,0 = 40 𝑚/𝑠 2
𝑎𝑟𝑎𝑑 = 𝑤 2 𝑟 = 102 .0,80 = 80,0 𝑚/𝑠 2
O módulo do vetor aceleração é:
𝑎 = √𝑎𝑡𝑔 2 + 𝑎𝑟𝑎𝑑 2 = 89,4 m/s2
2) O volante do protótipo de um motor está sendo testado. A posição
angular θ desse volante é dada por:
𝜃 = 2𝑡 3 (rad)
O diâmetro do volante é igual a 0,36m.
a) Ache a o ângulo θ, em radianos nos instantes: t1=2,0 s e t2= 5,0 s.
b) Ache a distância percorrida por uma partícula da periferia do volante
nesse intervalo de tempo.
c) Calcule a velocidade angular média entre t1 e t2 .
Solução:
a)
𝜃1 = 2. 23 = 16 𝑟𝑎𝑑
𝜃1 = 2. 53 = 250 𝑟𝑎𝑑
b) O volante gira com um deslocamento angular de
Δθ = 250 – 16 = 234 rad
O raio r é metade do diâmetro, ou 0,18 m. então :
S = r.θ = 0,18 . 234 = 42m
c)
𝜔𝑚 =
∆𝜃
∆𝑡
=
250−16
5,0−2,0
= 78 𝑟𝑎𝑑/𝑠
3) Você acaba de assistir a um filme em DVD, e o disco está diminuindo a
rotação até parar. A velocidade angular do disco é igual a 27,5 rad/s no
instante t=0s e sua aceleração angular é constante e igual a -10,0 rad/s2.
Uma linha PQ na superfície do disco coincide com o eixo Ox no instante
t=0.
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a) Qual a velocidade angular do disco no instante t=0,3 s ?
b) Qual é o ângulo formado entre a linha PQ e o eixo Ox nesse instante
?
Solução:
a) Usando a equação:
𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡
= 27,5 + (−10,0). 0,30 = 24,5 𝑟𝑎𝑑/𝑠
b) Usando a equação:
𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 +
1 2
𝛼𝑡
2
= 0 + 27,5 .0,30 + 0,5 . (−10,0). 0,32 = 7,80 𝑟𝑎𝑑
4) Você foi solicitado para projetar a hélice de um avião que deve girar a
2400 rpm. A velocidade do avião deve ser de 75 m/s, e a velocidade da
extremidade da lâmina da hélice não pode superar 270 m/s.
a) Qual o raio máximo que a hélice pode ter ?
b) Com esse raio, qual é a aceleração da extremidade da hélice ?
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f = 2400 rpm = 2400. 2π/60s = 251 rad/s
a) O módulo da velocidade é dado por:
𝑣𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚 = √𝑣𝑎𝑣𝑖ã𝑜 2 + 𝑣𝑡𝑔 2
Sendo: v = ωr
𝑣𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚 2 = 𝑣𝑎𝑣𝑖ã𝑜 2 + 𝜔2 . 𝑟 2
𝑟=
𝑟=
√𝑣𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚 2 − 𝑣𝑎𝑣𝑖ã𝑜 2
𝜔
√2702 − 752
= 1,03 𝑚
251
b) A aceleração centrípeta é:
𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 = 𝜔2 . 𝑟
𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 = 2512 . 1,03 = 65.000 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2
5) Um disco gira livremente em torno de um eixo horizontal que passa pelo
seu centro. Uma corda é enrolada no disco e um corpo A, ligado à
corda, é deixado cair sob a ação da gravidade. O movimento de A é
uniformemente acelerado.
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Em t=0 s, a velocidade do corpo a é v=0,04 m/s e em t=2 s, A desce 0,2
m. Achar as acelerações tangencial e centrípeta neste tempo.
ac
0,1m
D
0
A
t=0s
at
0,2m
x
t=2s
Corpo A: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 +
𝑥 = 0,04𝑡 +
𝑎𝑡 2
𝑡
2
𝑎𝑡 2
𝑡
2
v=v0+at
v=0,04 + 0,06t
Em t=2 s, x= 0,2 m
𝑎𝑐 =
0,2=0,04.2 + at/2 . 22
𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑟
(0,04+0,06𝑡)^2
0,1
at=0,06 m/s2
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Lista de Exercícios
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