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TIPLER & MOSCA
SOLUÇÃO
MECÂNICA, OSCILAÇÕES E ONDAS,
TERMODINÂMICA
ÿ Cirlei Xavier
Bacharel e Mestre em Física
pela Universidade Federal da Bahia
Maracás Bahia
Outubro de 2015
Sumário
1
Movimento em Uma Dimensão
1
3
Sumário
2
Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica b
m
ÿ Cirlei Xavier
Capítulo 1
Movimento em Uma Dimensão
PROBLEMAS CONCEITUAIS
1. Qual é velocidade média para uma viagem de ida-e-volta de um objeto lançando verticalmente para cima, a partir do solo, que cai retornando ao solo?
Observe que o objeto parte do solo e retorna ao solo, então seu deslocamento é zero, ou
seja, 4y = 0. Dessa forma, temos
νm =
4y y2 − y1
0
=
= 0.
=
4t
t2 − t1 4t
Portanto, a velocidade média é zero.
2. Um objeto, atirado verticalmente para cima, cai de volta e é apanhado no mesmo local
de onde foi lançado. Seu tempo de vôo é T; sua altura máxima é H. Despreze a resistência
do ar. A expressão correta para sua rapidez média, para o vôo completo, é
a) H/T
b) 0
c) H/2T
d) 2H/T
Observe que a aceleração é constante em todo o movimento do objeto. A velocidade
média é zero, pois o deslocamento é zero. Nota-se que a distância total percorrida é 2H no
intervalo de tempo T. A sua rapidez média, ou seja, sua velocidade escalar média é
Rm =
2H
S
=
.
4t
T
Resposta d.
3. Usando a informação da questão anterior, qual a rapidez média (e a velocidade média)
para a primeira metade da viagem? Qual a rapidez média (e a velocidade média) para a
segunda metade da viagem? (Resposta em termo de H e de T.)
Tanto a primeira metade da viagem como a segunda metade da viagem o objeto percorre
a distância H no intervalo de tempo de T/2. Portanto, a rapidez média nas duas metade da
viagem são iguais, e valem:
S
H
2H
Rm =
=
=
.
4t T /2
T
Orientando o sentido positivo do movimento para cima. Então velocidade média na
primeira metade do movimento é:
νm =
4y H − 0 2H
=
=
.
4t
T /2
T
3
Capítulo 1.
Movimento em Uma Dimensão
4
Porém, para a segunda metade temos um sinal negativo devido a orientação do movimento, isto é:
4y 0 − H −2H
νm =
=
=
.
4t
T /2
T
4. Dê um exemplo do cotidiano para um movimento unidimensional em que (a) a velocidade aponta para o oeste e a aceleração aponta para o leste, e (b) a velocidade para o norte
e a aceleração aponta para o norte.
A aceleração é definida como a = dν/dt. O sinal da aceleração de um objeto não lhe diz se
o objeto está aumentando ou diminuindo a rapidez. Se a velocidade é positiva (negativa) e a
aceleração também é positiva (negativa), a velocidade do objeto está aumentando no sentido
positivo da trajetória ( sentido negativo). Se a velocidade é negativa (positiva) e a aceleração
é positiva (negativa), a velocidade do objeto está diminuindo no sentido negativo da trajetória (sentido positivo). Então, os exemplos podem ser
(a) Um carro movendo para o oeste com velocidade positiva ν > 0 e a aceleração negativa
a = (4ν/ 4 t) < 0 (desacelerando; aceleração apontando para o leste).
(b) Um carro movendo para o norte com velocidade positiva ν > 0 e a aceleração positiva
a = (4ν/ 4 t) > 0(acelerado; aceleração apontando para o norte).
5. Coloque-se no centro de uma grande sala. Chame a orientação para a sua direita de
“positiva” e a orientação para a sua esquerda de “negativa”. Caminhe pela sala ao longo
de uma linha reta, usando uma aceleração constante para rapidamente atingir uma rapidez
constante ao longo de uma linha reta na orientação negativa. Após atingir esta rapidez
constante, mantenha sua velocidade negativa, mas faça sua aceleração se tornar positiva. (a)
Descreva como sua rapidez variou em sua caminhada. (b) Esboce um gráfico de x versus t
para seu movimento. Suponha que você começou em x=0. (c) Diretamente sob o gráfico da
Parte (b), esboce um gráfico v, versus t.
Inicialmente, na origem x = 0, sai com uma velocidade zero e com aceleração negativa e
constante no sentido negativo da orientação. A velocidade variou até atingir, em um dada
instante t1 , a velocidade constante. Depois de permanecer por um tempo com a velocidade
constante, ela começa a diminui, a partir do instante t2 , ocorrendo uma desaceleração (aceleração positiva).
6. Verdadeiro/Falso: O deslocamento é sempre igual ao produto da velocidade média
pelo intervalo de tempo. Explique sua escolha.
Verdadeiro, pois a velocidade média é a razão do deslocamento pelo intervalo de tempo,
então, podemos expressar o deslocamento como 4x = νm · 4t. Nota-se que se a aceleração é
constante a velocidade média pode ser calculada por νm = (νi + νf )/2.
7. A afirmativa “para a velocidade de um objeto permanecer constante sua aceleração
deve permanecer zero” é verdadeira ou falsa? Explique sua escolha.
Verdadeira, pois se a aceleração é a variação da velocidade no tempo a = dν/dt, se a velocidade é constante, então a aceleração deve ser zero (ou se a aceleração é zero a velocidade
é constante).
8. Trace, cuidadosamente, gráficos da posição, da velocidade e da aceleração em função
do tempo, no intervalo 0 ≤ t ≤ 30 s para um carrinho que, em sequência, tem o seguinte
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Movimento em Uma Dimensão
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movimento. O carrinho move-se à rapidez constante de 5,0 m/s no sentido +x. Ele passa
pela origem em t = 0,0 s. Ele continua a 5,0 m/s durante 5,0 s, após o que, ganha rapidez à
taxa constante de 0,50 m/s a cada segundo, durante 10,0 s. Após ganhar rapidez por 10,0 s,
o carrinho perde 0,50 m/s em rapidez, a uma taxa constante, nos próximos 15,0 s.
Nos primeiros 5 s a posição é dada por x1 = ν1 t1 , ou seja, x1 = 5, 0t1 . Depois, ganha
rapidez de α2 = 0, 5 m/s2 durante 10 s. Então, temos ν2 = ν2,0 + α2 t e x2 = x2,0 + ν2,0 t2 +
(α2 /2)t2 , ou seja, ν2 = 2, 5 + 0, 5t2 e x2 = 6, 25 + 2, 5t2 + 0, 25t22 no intervalo 5 ≤ t2 ≤ 15, onde
ν2,0 = (ν1 − 2, 5). Após ganhar rapidez por 10 s, o carrinho perde rapidez a uma taxa de
α3 = −0, 5 m/s2 . Temos, a velocidade dada por ν3 = ν3,0 + α3 t3 , onde ν3,0 = [ν2 (15) + 7, 5],
e a posição dada por x3 = x3,0 + ν3,0 t3 + (α3 /2)t32 , ou seja, ν3 = 17, 5 − 0, 5t3 e x3 = −106, 25 +
17, 5t3 − 0, 25t32 no intervalo 15 ≤ t3 ≤ 30 s.
2 0 0
1 2
1 8 0
1 0
1 6 0
8
v (m /s ), a (m /s .s )
1 4 0
x (m )
1 2 0
1 0 0
8 0
6 0
6
4
2
4 0
0
2 0
0
-2
0
2
4
6
8
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
2 0
2 2
2 4
2 6
2 8
3 0
3 2
0
t(s )
2
4
6
8
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
2 0
2 2
2 4
2 6
2 8
3 0
3 2
t(s )
(a)
(b)
9. Verdadeiro/falso: Velocidade média é sempre igual à metade da soma das velocidades
inicial e final. Explique sua escolha.
Falso. A definição de velocidade média é νm = 4x/4t. Observe que, para o movimento
uniforme, se o objeto retorna a sua origem, por exemplo νf = νi (constante) e x2 = x1 , a
velocidade média será zero. Nota-se que se νf = νi = 0 e x2 , x1 , então a velocidade média
será diferente de zero, e isto é verdade. Pela afirmação, teríamos, nesse caso, uma velocidade
média igual a zero, e isto não é verdade. Porém, para o movimento uniformemente variado
(aceleração constante), a velocidade média também é igual à metade da soma das velocidades inicial e final, νm = (νi + νf )/2, nos instantes que definem o intervalo. Portanto, veja
que nem sempre a velocidade média é igual à metade da soma das velocidades inicial e final.
10. Dois gêmeos idênticos estão sobre uma ponte horizontal e cada um atira uma pedra
na água, diretamente para baixo. Eles atiram as pedras exatamente no mesmo instante, mas
uma tinge a água antes da outra. Como isto pode ocorrer? Explique o que eles fizeram de
diferente. Ignore qualquer efeito de resistência do ar.
A aceleração, g, é constante e age sobre as duas pedras no mesmo sentido e direção.
Contudo, podemos pensar em duas possíveis explicação para esse problema, mesmo desprezando a resistência do ar. Por exemplo, as pedras pode ser diferentes, que não é o caso,
isto é, a que atingiu a água primeiro, pode ter maior massa do que a outra. É mais provável
que ela são idênticas, mas a que atingiu primeiro a água pode ter sido atirada com maior
velocidade inicial do que a outra.. Vamos analisar a equação do movimento,
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m
FÍSICA para Cientistas e Engenheiros b
Capítulo 1.
Movimento em Uma Dimensão
1
y − y0 = ν1,0 t1 + gt12 ;
2
1
y − y0 = ν2,0 t2 + gt22 .
2
6
(1.1)
(1.2)
Portanto, concluímos que a única forma das duas pedras caírem em tempos diferentes
será devido somente a diferentes velocidades inicias.
11. O Dr. Josiah S. Carberry está no topo da Torre Sears, em Chicago, Querendo imitar
Galileu e ignorando a segurança dos pedestres lá embaixo, ele larga uma bola de boliche do
topo da torre. Um segundo após, ele larga uma segunda bola de boliche. Enquanto as bolas
estão no ar, a separação entre elas (a) aumenta com o tempo, (b) diminui, (c) permanece a
mesma? Ignore efeitos devido à resistência do ar.
Vamos chamar de t1 o tempo para a primeira boliche e o tempo t2 para a segunda beliche.
A boliche primeira terá seu tempo de queda igual ao tempo da segunda boliche mais um,
ou seja, t1 = t2 + 1, e ambas com velocidade inicial igual a zero, ν1,0 = ν2,0 = 0, e o espaço
inicial são iguais, y1,0 = y2,0 . As equações para os deslocamentos e para as velocidades das
duas boliches são:
1
y1 − y1,0 = g(t2 + 1)2 ;
2
1
y2 − y2,0 = gt22 .
2
ν1 − ν1,0 = g(t2 + 1);
ν2 − ν2,0 = gt2 .
Subtraindo os deslocamentos e também as velocidades, obtemos
y1 − y2 = g(t2 + 0, 5);
ν1 − ν2 = g.
(1.3)
Portanto, temos um afastamento entre as boliches que aumenta com o tempo t2 e a primeira bola se move mais rápido do que a segunda bola sempre com um fator g.
12. Quais das curvas posição versus tempo da figura 2-28 mostram melhor o movimento
de um objeto (a) com aceleração positiva, (b) com velocidade constante positiva, (c) que está
sempre em repouso e (d) com aceleração negativa? (Pode haver mais de uma resposta correta para cada parte do problema.)
(a) a posição em função do tempo com a aceleração positiva pode variar de duas forma,
uma com a velocidade negativa (movimento retardado retrógrado) positiva (movimento acelerado progressivo), este a posição cresce como um arco de parábola; curva d.
(b) O movimento com velocidade constante e positiva a posição em função do tempo
cresce proporcionalmente em linha reta; a curva é b.
(c) O objeto em repouso sua posição permanece constante; curva e.
(d) Podemos ter dois movimento com aceleração negativa, um com velocidade positiva
(movimento retardado progressivo), e outra com velocidade negativa (movimento acelerado
retrógrado). O primeiro movimento a curva posição versus tempo é a curva c e o segundo
movimento a curva é a.
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Capítulo 1.
Movimento em Uma Dimensão
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13. Quais das curvas velocidade versus tempo da Figura 2-29 melhor descrevem o movimento de um objeto (a) com aceleração constante positiva, (b) com aceleração positiva
que descreve com o tempo, (c) com aceleração positiva que cresce com o tempo e (d) sem
aceleração? (Pode haver mais de uma resposta correta para cada parte do problema.)
(a) Com aceleração constante a curva velocidade em função do tempo é uma reta; a curva
que melhor representa é a curva b.
(b) Com aceleração positiva que cresce com o tempo, a velocidade diminui no tempo,
então a curva que melhor representa é a curva c.
(c) A curva velocidade em função do tempo para o movimento com velocidade positiva
e aceleração positiva é a curva d, pois a velocidade aumenta no tempo.
(d) Sem aceleração, temos um movimento com aceleração zero, logo a velocidade é constante. A curva é e.
14. O diagrama da Figura 2-30 traça a localidade de um objeto que se move em linha
reta ao longo do eixo x. Suponha o objeto na origem em t = 0. Dos cinco tempos mostrados,
para qual tempo (ou quais tempos) o objeto está (a) mais afastado da origem, (b) instantaneamente em repouso, (c) entre dois repousos instantâneos e (d) afastando-se da origem?
(a) No instante B o objeto muda seu sentido, seu deslocamento é máxima neste instante,
então o objeto está mais afastado da origem.
(b) O objeto se encontra instantaneamente em repouso no ponto B e D. Observa-se que
nestas posições a velocidade é zero, ou seja, ν = dx/dt = 0.
(c) O objeto está entre dois repousos instantâneos no instante E, e neste instante o objeto
se encontra em repouso, ou seja, sua velocidade é zero. Observe que a inclinação da curva é
zero.
(d) O objeto está afastando-se da origem nos instante A.
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Capítulo 1.
Movimento em Uma Dimensão
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15. Um objeto move-se ao longo de uma linha reta. Seu gráfico posição versus tempo está
mostrado na Figura 2-30. Em qual tempo (ou quais tempos) (a) sua rapidez é mínima, (b)
sua aceleração é positiva e (c) sua velocidade é negativa?
(a) A rapidez (módulo da velocidade instantânea) é mínima no ponto em que a inclinação
da curva x versus t é zero. Isso, acontece nos instantes B, D e E.
(b) A aceleração do objeto é positiva no instante A e no instante D, pois a inclinação da
reta tangente é positiva e aumenta com o passar do tempo em A e D.
(c) A inclinação da reta tangente é negativa no instante C, então a velocidade é negativa.
16. Para cada um dos quatro gráficos x versus t na Figura 2-31, responda às seguintes
questões. (a) A velocidade no tempo t2 é maior, menor ou igual à velocidade no tempo t1 ?
(b) A rapidez no tempo t2 é maior, menor ou igual à rapidez no tempo t1 ?
Sabemos que a velocidade instantânea é a inclinação da reta tangente à curva x versus t.
Ela pode ser positiva ou negativa dependendo da orientação do movimento. Já a rapidez,
modulo da velocidade instantânea, é sempre positiva.
No gráfico a, nota-se que o ângulo da reta tangente em t1 é positivo, enquanto o ângulo
no instante t2 é negativo e menor. Dessa forma, a velocidade no instante t1 é positiva, já no
instante t2 a velocidade é negativa. Então, devido à inclinação da reta tangente à curva, (a)
a velocidade no tempo t1 é maior do que a velocidade no tempo t2 e (b) sua rapidez também
é maior.
A curva no gráfico b é um reta, então a inclinação da reta tangente à curva é constante,
isto é, a velocidade é constante para qualquer instante considerado. Logo, (a) a velocidade e
(b) a rapidez são iguais no dois instantes, t2 e t1 .
No gráfico c, tem-se no instante t2 um ângulo de inclinação da reta tangente positivo,
porém menor em modulo do ângulo de inclinação no instante t1 . Então, a velocidade no
instante t1 é negativa e positiva no instante t2 . Portanto, (a) a velocidade é maior no instante
t2 do que no instante t1 . Porém, a rapidez em t1 é maior.
Na curva do gráfico d, a inclinação da reta tangente no instante t2 é negativa e aumenta
conforme o tempo passa. Dessa forma, a velocidade é negativa e está aumentando, assim,
o objeto desloca-se no sentido negativo. Já no instante t1 a inclinação é positiva e diminui
conforme o tempo passa. Sendo assim, a velocidade está diminuindo e o objeto desloca no
sentido positivo. Observe que o ângulo de inclinação da reta em t1 é maior em modulo do
que em t2 . (a) a velocidade no instante t1 é maior e (b) sua rapidez é menor do que no tempo
t2 .
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