Relação entre Potencial Elétrico e Campo Elétrico

Cap. 6 - Relação entre Potencial Elétrico e Campo
Elétrico
S.J.Troise
Introdução
6.1
Mostremos agora que existe uma relação definida entre o potencial elétrico e vetor campo elétrico, ou seja,
uma expressão que permite calcular uma deles sempre que se conhece o outro. Isto permite que o campo elétrico
seja estudado conhecendo-se o vetor campo elétrico ou o potencial elétrico.
O estuda do campo elétrico através do potencial elétrico na região é muito mais simples pois, lembremos, o
potencial elétrico é um escalar.
Vimos no capítulo anterior que o trabalho realizado pela força eletrostática é dado por
B
G
G
∫ F ⋅ ds =
τAB =
−Q0(VB − VA )
A
Equação 6-1
G
onde F é a força de natureza eletrostática que atua sobre a carga Q 0 que se move entre os pontos A e B e
VB − VA é a diferença de potencial entre esses dois pontos. Dividamos ambos os membros desta expressão por Q0
B G
B
1
G
. F ⋅ ds
Q0
∫
=
A
F
∫ Q0
G
⋅ ds = −(VB − VA )
A
Equação 6-2
G
F
nada mais é do que o vetor campo elétrico que atua sobre a carga Q0 , ou seja, podemos
Porém,
Q0
escrever
B
G
G
∫ E ⋅ ds =
−(VB − VA )
A
Equação 6-3
Lembremos agora que no capítulo 6 vimos que o trabalho da força eletrostática não depende da trajetória
seguida pela carga móvel. Isso nos permite escrever a diferença de potencial como;
B
(VB − VA ) =
∫ dV
A
Equação 6-4
substituindo na Equação 6-1-3
B
∫
A
B
G
G
E × ds = − dV =
∫
A
B
∫ −dV
A
Equação 6-5
Sendo as duas integrais iguais, concluímos imediatamente que
G
G
E ⋅ ds = −dV
Equação 6-6
Este resultado mostra a existência de uma relação entre o vetor campo elétrico e a diferença de potencial.
Mostra mais exatamente que:
G
G
1- onde existe campo elétrico ( E <> 0 ) existe variação de potencial ( dV <> 0 )
G
G
2- onde existe variação de potencial ( dV <> 0 ) existe campo elétrico ( E × ds <> 0 ), ou seja, para que se
produza um campo elétrico basta que se produza uma diferença de potencial.
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Teo-06-2005.doc
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Introdução à Eletricidade
S.J.Troise
O Gradiente do Potencial
6.2
Lembremos que qualquer que seja o vetor campo elétrico e qualquer que seja o deslocamento elementar
eles podem ser decompostos em componentes, ou seja,
G
G
G
G
G
G
G
G
E = Exi + Ey j + Ezk
e
ds = dxi + dyj + dzk
Equação 6-7
Substituindo na Equação 6-6
G
G
G
G
G
G
Exi + Ey j + Ezk ⋅ ( dxi + dyj + dzk ) = −dV
(
)
( Ex.dx +
)
Ey.dy + Ez.dz = −dV
Suponhamos
( dx = 0
e
ou
agora que o deslocamento
dy = 0 ) . A Equação 6-8 fica
Ex = −
elementar
ocorra
somente
na
Equação 6-8
x
direção
dV
dx
Equação 6-9
Este resultado mostra que a componente do vetor campo elétrico pode ser calculada a partir do potencial
elétrico. Raciocinado de forma semelhante para deslocamentos elementares nos outros eixos
dV
dV
Ey = −
e
Ez = −
dy
dz
Equação 6-10
As equações Equação 6-1-9 e Equação 6-1-10 apresentam um erro de formalismo matemático pois as
derivadas devem ser parciais, ou seja, devemos escrever
∂V
∂V
∂V
Ex = −
, Ey = −
e Ez = −
∂x
∂y
∂z
Equação 6-11
Voltando à Equação 6-8. podemos escrever
G
∂V G
∂V G ⎞
⎛ ∂V G
E = −⎜
i +
j+
k⎟
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
Equação 6-12
representado por grad ou o termo que aparece entre parênteses é denominado gradiente do potencial elétrico seja
∂V G
∂V G ⎞
⎛ ∂V G
grad V = ⎜
i +
j +
k⎟
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
Equação 6-13
Assim, escreve-se
G
⎛ ∂V G
∂V G
∂V G ⎞
E = −grad V = − ⎜
i +
j+
k⎟
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
Equação 6-14
6.2.1
Exercícios de revisão teórica
6.2.1.1 ( ) Qual a relação existente entre potencial elétrico e campo elétrico?
6.2.1.2 ( ) Como é definido campo elétrico médio? Quando que este conceito é utilizado?
6.2.1.3 ( ) Qual a importância dessa relação?
6.2.2
Exercícios
6.2.2.1 ( ) Entre dois pontos do espaço, separados por uma distância de 0,5m existe uma diferença de potencial igual a 400V.
Calcule a intensidade média do vetor campo elétrico nessa região.
Resp:
6.2.2.2 ( ) O potencial elétrico varia ao longo de um eixo
componente do vetor campo elétrico na direção do eixo
s
1
de acordo com a expressão V = 3 ⋅ 104
s
s.
(V)‘. Calcule a
Resp:
3
3
6.2.2.3 ( ) Numa certa região do espaço o potencial elétrico é dado pela função V = 6 ⋅ 10 − 2 ⋅ 10 ⋅ x ( V). Calcule o
vetor campo elétrico na região
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Resp
(
6.2.2.4 ( ) Sendo V = 3 ⋅ 104 ⋅ x3 + 2 ⋅ y − z3
)
(V)a função que representa o potencial elétrico numa região do
espaço, determine o vetor campo elétrico nessa região.Numa certa região do espaço o potencial elétrico é dado pela função
V = 5.103 + 2.103 x V . Determine o vetor campo elétrico na região.
G
G
Resp:: E = −2 ⋅ 10−3i (N / C)
6.2.2.5 ( ) Sabe-se que numa região do espaço o vetor campo elétrico tem componente somente no eixo y sendo constante e
4
igual a 5,0.10 N / C . Determine o potencial elétrico na região.
Resp::
V(y) = −5.0 ⋅ 104 ⋅ y + C (N / C)
(
)
6.2.2.6 ( ) Sendo V = 2.103. x2 + 2.x.z
V a função que representa o potencial elétrico numa região do espaço,
determine o vetor campo elétrico.
Resp:
G
G
G
E = −4 ⋅ 103 ⋅ ⎡⎣(x + z)i + x ⋅ k ⎤⎦ (N / C):
6.2.2.7 ( ) Entre dois pontos do espaço separados de uma distância d = 0,3m existe uma diferença de potencial igual a 270V.
Determine o vetor campo elétrico médio entre esses dois pontos.
Resp:
G
Em = 900
N/C
6.2.2.8 ( ) Suponha que entre dois pontos do espaço existe uma diferença de potencial. Descreva o que acontece com uma
carga elétrica se ela for abandonada entre os dois pontos.
Resp:
6.2.2.9 ( ) Em um tubo de TV elétrons são acelerados por uma diferença de potencial e lançados contra a tela que contem um
material transdutor, isto é, que transforma energia mecânica em energia luminosa. Se a ddp de aceleração é 25 kV, calcule a
velocidade com que os elétrons atingem a tela.
Resp:
G
6.2.2.10 ( ) Na Equação 6-6 ds é um deslocamento qualquer no espaço. Calcule a variação de potencial a) quando este
deslocamento é paralelo ao vetor campo elétrico; b) quando é perpendicular ao vetor campo elétrico; c) quando o deslocamento
faz um ângulo qualquer com o vetor campo elétrico.
Resp:
6.2.2.11 ( ) A partir da análise do exercício anterior, conclua que existem superfícies nas quais o potencial é constante e que o
vetor campo elétrico é sempre normal elas
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